प्रयोग (संभावना सिद्धांत): Difference between revisions

Latest revision as of 12:19, 8 September 2023

संभाव्यता सिद्धांत में, प्रयोग या परीक्षण (नीचे देखें) कोई भी प्रयोग है जिसे अनंत रूप से दोहराया जा सकता है और इसमें संभावित परिणाम (संभावना) का उत्तम रूप से परिभाषित समुच्चय (गणित) होता है, जिसे प्रारूप समिष्ट के रूप में जाना जाता है। तो उसे यादृच्छिकता कहा जाता है,^[1] यदि उसके एक से अधिक संभावित परिणाम हों, तो उसे नियतात्मक कहा जाता है। यादृच्छिक प्रयोग जिसके दो (परस्पर अनन्य घटनाएँ) संभावित परिणाम होते हैं, उसे बर्नौली परीक्षण के रूप में जाना जाता है।^[2]

जब कोई प्रयोग किया जाता है, तो परिणाम प्राप्त होता है- चूँकि इस परिणाम को किसी भी संख्या की घटनाओं (संभावना सिद्धांत) में सम्मिलित किया जा सकता है, जिनमें से सभी को उस परीक्षण पर घटित हुआ माना जाएगा। एक ही प्रयोग के कई परीक्षण करने और परिणामों को एकत्रित करने के पश्चात, प्रयोगकर्ता प्रयोग में घटित होने वाले विभिन्न परिणामों और घटनाओं की अनुभवजन्य संभावना का आकलन करना प्रारंभ कर सकता है और सांख्यिकी विश्लेषण की विधि को प्रारम्भ कर सकता है।

प्रयोग और परीक्षण

यादृच्छिक प्रयोग प्रायः बार-बार किए जाते हैं, जिससे सामूहिक परिणामों को सांख्यिकी के अनंत किया जा सके। प्रयोग की निश्चित संख्या में दोहराव को रचित प्रयोग के रूप में सोचा जा सकता है, इस स्थिति में व्यक्तिगत दोहराव का परीक्षण कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि सिक्के को सौ बार उछालता है और प्रत्येक परिणाम को रिकॉर्ड करता है, तो प्रत्येक उछाल को सभी सौ उछालों से बने प्रयोग के भीतर परीक्षण माना जाएगा।^[3]

गणितीय विवरण

यादृच्छिक प्रयोग का वर्णन या प्रारूप गणितीय संरचना द्वारा किया जाता है जिसे संभाव्यता समिष्ट के रूप में जाना जाता है। संभाव्यता समिष्ट का निर्माण और परिभाषित विशिष्ट प्रकार के प्रयोग या परीक्षण को ध्यान में रखकर किया जाता है।

किसी प्रयोग के गणितीय विवरण में तीन भाग होते हैं:

प्रारूप समिष्ट, Ω (या S), जो सभी संभावित परिणामों (संभावना) का समुच्चय (गणित) है।
घटना (संभावना सिद्धांत) का समुच्चय $\scriptstyle {\mathcal {F}}$ , जहां प्रत्येक घटना शून्य या अधिक परिणामों वाला समुच्चय है।
घटनाओं के लिए संभाव्यता का असाइनमेंट- अर्थात, घटनाओं से संभावनाओं तक फलन p मानचित्रण है।

परिणाम प्रारूप के एकल निष्पादन का परिणाम है। चूंकि व्यक्तिगत परिणाम कम व्यावहारिक उपयोग के हो सकते हैं, इसलिए परिणामों के समूहों को चिह्नित करने के लिए अधिक जटिल घटनाओं का उपयोग किया जाता है। ऐसी सभी घटनाओं का संग्रह सिग्मा-बीजगणित $\scriptstyle {\mathcal {F}}$ है, अंत में, प्रत्येक घटना के घटित होने की संभावना को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है; यह संभाव्यता माप फलन, P का उपयोग करके किया जाता है।

जब प्रयोग डिज़ाइन और स्थापित हो जाता है, तो प्रारूप समिष्ट Ω से सभी घटनाएं ω हो जाती हैं जिसमें चयनित $\scriptstyle {\mathcal {F}}$ परिणाम ω सम्मिलित है (याद रखें कि प्रत्येक घटना Ω का उपसमूह है) जिसे "घटित" कहा जाता है। संभाव्यता फलन P को इस प्रकार से परिभाषित किया गया है कि, यदि प्रयोग को अनंत बार दोहराया जाना था, तो प्रत्येक की घटना के सापेक्ष आवृत्तियां P द्वारा उन्हें निर्दिष्ट मानों के साथ सीमा (गणित) समाधान की ओर ले जायेंगा।

साधारण प्रयोग के रूप में, हम सिक्के को दो बार उछाल सकते हैं। प्रारूप समिष्ट (जहां दो फ्लिप का क्रम प्रासंगिक है) {(H, T), (T, H), (T, T), (H, H)} है जहां H का अर्थ है हेड और T का अर्थ है टेल। ध्यान दें कि (H, T), (T, H), ... में से प्रत्येक प्रयोग के संभावित परिणाम हैं। हम ऐसी घटना को परिभाषित कर सकते हैं जो तब घटित होती है जब दोनों फ्लिपों में से किसी में हेड आता है। इस घटना में (T, T) को छोड़कर सभी परिणाम सम्मिलित हैं।

यह भी देखें

संभाव्यता समिष्ट

संदर्भ

↑ Albert, Jim (21 January 1998). "सभी संभावित परिणामों की सूची बनाना (नमूना स्थान)". Bowling Green State University. Retrieved June 25, 2013.
↑ Papoulis, Athanasios (1984). "Bernoulli Trials". संभाव्यता, यादृच्छिक चर, और स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं (2nd ed.). New York: McGraw-Hill. pp. 57–63.
↑ "Trial, Experiment, Event, Result/Outcome - Probability". Future Accountant. Retrieved 22 July 2013.

बाहरी संबंध

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[1] Albert, Jim (21 January 1998). "सभी संभावित परिणामों की सूची बनाना (नमूना स्थान)". Bowling Green State University. Retrieved June 25, 2013.

[2] Papoulis, Athanasios (1984). "Bernoulli Trials". संभाव्यता, यादृच्छिक चर, और स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं (2nd ed.). New York: McGraw-Hill. pp. 57–63.

[3] "Trial, Experiment, Event, Result/Outcome - Probability". Future Accountant. Retrieved 22 July 2013.

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-{{short description|Procedure that can be infinitely repeated, with a well-defined set of outcomes}}
+{{short description|Procedure that can be infinitely repeated, with a well-defined set of outcomes}}संभाव्यता सिद्धांत में, '''प्रयोग''' या '''परीक्षण''' (नीचे देखें) कोई भी प्रयोग है जिसे अनंत रूप से दोहराया जा सकता है और इसमें संभावित [[परिणाम (संभावना)]] का उत्तम रूप से परिभाषित समुच्चय (गणित) होता है, जिसे प्रारूप समिष्ट के रूप में जाना जाता है। तो उसे यादृच्छिकता कहा जाता है,<ref>{{cite web |url=http://www-math.bgsu.edu/~albert/m115/probability/sample_space.html |title=सभी संभावित परिणामों की सूची बनाना (नमूना स्थान)|last=Albert |first=Jim |date=21 January 1998 |publisher= Bowling Green State University |accessdate=June 25, 2013}}</ref> यदि उसके एक से अधिक संभावित परिणाम हों, तो उसे नियतात्मक कहा जाता है। यादृच्छिक प्रयोग जिसके दो (परस्पर अनन्य घटनाएँ) संभावित परिणाम होते हैं, उसे बर्नौली परीक्षण के रूप में जाना जाता है।<ref>{{cite encyclopedia | last = Papoulis | first =  Athanasios | contribution = Bernoulli Trials | title = संभाव्यता, यादृच्छिक चर, और स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं| edition =  2nd | url = http://www.mhhe.com/engcs/electrical/papoulis/ | location = New York | publisher = [[McGraw-Hill]] | pages = 57–63 | year = 1984}}</ref>
-{{About|the probabilistic model used in actual experiments | a discussion about actual experiments|experiment}}
-{{Probability fundamentals}}
-संभाव्यता सिद्धांत में, एक [[प्रयोग]] या परीक्षण (नीचे देखें) कोई भी प्रयोग है जिसे अनंत बार दोहराया जा सकता है और इसमें संभावित [[परिणाम (संभावना)]] का एक [[अच्छी तरह से परिभाषित]] [[सेट (गणित)]] होता है, जिसे नमूना स्थान के रूप में जाना जाता है।<ref>{{cite web |url=http://www-math.bgsu.edu/~albert/m115/probability/sample_space.html |title=सभी संभावित परिणामों की सूची बनाना (नमूना स्थान)|last=Albert |first=Jim |date=21 January 1998 |publisher= Bowling Green State University |accessdate=June 25, 2013}}</ref> यदि किसी प्रयोग के एक से अधिक संभावित परिणाम हैं तो उसे यादृच्छिकता कहा जाता है, और यदि उसके केवल एक ही संभावित परिणाम हो तो उसे नियतात्मक प्रणाली कहा जाता है। एक यादृच्छिक प्रयोग जिसके बिल्कुल दो (परस्पर अनन्य घटनाएँ) संभावित परिणाम होते हैं, [[बर्नौली परीक्षण]] के रूप में जाना जाता है।<ref>{{cite encyclopedia | last = Papoulis | first =  Athanasios | contribution = Bernoulli Trials | title = संभाव्यता, यादृच्छिक चर, और स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं| edition =  2nd | url = http://www.mhhe.com/engcs/electrical/papoulis/ | location = New York | publisher = [[McGraw-Hill]] | pages = 57–63 | year = 1984}}</ref>
+जब कोई प्रयोग किया जाता है, तो परिणाम प्राप्त होता है- चूँकि इस परिणाम को किसी भी संख्या की [[घटना (संभावना सिद्धांत)|घटनाओं (संभावना सिद्धांत)]] में सम्मिलित किया जा सकता है, जिनमें से सभी को उस परीक्षण पर घटित हुआ माना जाएगा। एक ही प्रयोग के कई परीक्षण करने और परिणामों को एकत्रित करने के पश्चात, प्रयोगकर्ता प्रयोग में घटित होने वाले विभिन्न परिणामों और घटनाओं की अनुभवजन्य संभावना का आकलन करना प्रारंभ कर सकता है और सांख्यिकी विश्लेषण की विधि को प्रारम्भ कर सकता है।
-जब कोई प्रयोग किया जाता है, तो एक (और केवल एक) परिणाम निकलता है - हालाँकि इस परिणाम को किसी भी संख्या में [[घटना (संभावना सिद्धांत)]] में शामिल किया जा सकता है, जिनमें से सभी को उस परीक्षण पर घटित हुआ माना जाएगा। एक ही प्रयोग के कई परीक्षण करने और परिणामों को एकत्रित करने के बाद, एक प्रयोगकर्ता प्रयोग में घटित होने वाले विभिन्न परिणामों और घटनाओं की अनुभवजन्य संभावना का आकलन करना शुरू कर सकता है और सांख्यिकी के तरीकों को लागू कर सकता है।
 ==प्रयोग और परीक्षण==
-यादृच्छिक प्रयोग अक्सर बार-बार किए जाते हैं, ताकि सामूहिक परिणामों को सांख्यिकी के अधीन किया जा सके। एक ही प्रयोग की निश्चित संख्या में दोहराव को एक रचित प्रयोग के रूप में सोचा जा सकता है, इस स्थिति में व्यक्तिगत दोहराव को परीक्षण कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि कोई एक ही सिक्के को सौ बार उछालता है और प्रत्येक परिणाम को रिकॉर्ड करता है, तो प्रत्येक उछाल को सभी सौ उछालों से बने प्रयोग के भीतर एक परीक्षण माना जाएगा।<ref>{{cite web|website=Future Accountant|title=Trial, Experiment, Event, Result/Outcome - Probability|url=http://www.futureaccountant.com/probability/study-notes/trial-result-event-outcome.php|accessdate=22 July 2013}}</ref>
+यादृच्छिक प्रयोग प्रायः बार-बार किए जाते हैं, जिससे सामूहिक परिणामों को सांख्यिकी के अनंत किया जा सके। प्रयोग की निश्चित संख्या में दोहराव को रचित प्रयोग के रूप में सोचा जा सकता है, इस स्थिति में व्यक्तिगत दोहराव का परीक्षण कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि सिक्के को सौ बार उछालता है और प्रत्येक परिणाम को रिकॉर्ड करता है, तो प्रत्येक उछाल को सभी सौ उछालों से बने प्रयोग के भीतर परीक्षण माना जाएगा।<ref>{{cite web|website=Future Accountant|title=Trial, Experiment, Event, Result/Outcome - Probability|url=http://www.futureaccountant.com/probability/study-notes/trial-result-event-outcome.php|accessdate=22 July 2013}}</ref>
+== गणितीय विवरण ==
+{{main|संभाव्यता समिष्ट}}
-==गणितीय विवरण==
+यादृच्छिक प्रयोग का वर्णन या प्रारूप गणितीय संरचना द्वारा किया जाता है जिसे [[संभाव्यता स्थान|संभाव्यता समिष्ट]] के रूप में जाना जाता है। संभाव्यता समिष्ट का निर्माण और परिभाषित विशिष्ट प्रकार के प्रयोग या परीक्षण को ध्यान में रखकर किया जाता है।
-{{main|Probability space}}
-एक यादृच्छिक प्रयोग का वर्णन या मॉडलिंग एक गणितीय संरचना द्वारा किया जाता है जिसे [[संभाव्यता स्थान]] के रूप में जाना जाता है। एक संभाव्यता स्थान का निर्माण और परिभाषित एक विशिष्ट प्रकार के प्रयोग या परीक्षण को ध्यान में रखकर किया जाता है।
 किसी प्रयोग के गणितीय विवरण में तीन भाग होते हैं:
-# एक नमूना स्थान, Ω (या S), जो सभी संभावित परिणामों (संभावना) का सेट (गणित) है।
+# प्रारूप समिष्ट, Ω (या S), जो सभी संभावित परिणामों (संभावना) का समुच्चय (गणित) है।
-# घटना (संभावना सिद्धांत) का एक सेट <math>\scriptstyle \mathcal{F}</math>, जहां प्रत्येक घटना शून्य या अधिक परिणामों वाला एक सेट है।
+# घटना (संभावना सिद्धांत) का समुच्चय <math>\scriptstyle \mathcal{F}</math>, जहां प्रत्येक घटना शून्य या अधिक परिणामों वाला समुच्चय है।
-# घटनाओं के लिए संभाव्यता का असाइनमेंट - यानी, घटनाओं से [[संभावना]]ओं तक एक फ़ंक्शन पी मैपिंग।
+# घटनाओं के लिए संभाव्यता का असाइनमेंट- अर्थात, घटनाओं से [[संभावना|संभावनाओं]] तक फलन p मानचित्रण है।
-एक परिणाम मॉडल के एकल निष्पादन का परिणाम है। चूंकि व्यक्तिगत परिणाम कम व्यावहारिक उपयोग के हो सकते हैं, इसलिए परिणामों के समूहों को चिह्नित करने के लिए अधिक जटिल घटनाओं का उपयोग किया जाता है। ऐसी सभी घटनाओं का संग्रह एक [[सिग्मा-बीजगणित]] है <math>\scriptstyle \mathcal{F}</math>. अंत में, प्रत्येक घटना के घटित होने की संभावना को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है; यह [[संभाव्यता माप]] फ़ंक्शन, पी का उपयोग करके किया जाता है।
+परिणाम प्रारूप के एकल निष्पादन का परिणाम है। चूंकि व्यक्तिगत परिणाम कम व्यावहारिक उपयोग के हो सकते हैं, इसलिए परिणामों के समूहों को चिह्नित करने के लिए अधिक जटिल घटनाओं का उपयोग किया जाता है। ऐसी सभी घटनाओं का संग्रह [[सिग्मा-बीजगणित]] <math>\scriptstyle \mathcal{F}</math> है, अंत में, प्रत्येक घटना के घटित होने की संभावना को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है; यह [[संभाव्यता माप]] फलन, P का उपयोग करके किया जाता है।
-एक बार जब एक प्रयोग डिज़ाइन और स्थापित हो जाता है, तो नमूना स्थान Ω से सभी घटनाएं ω हो जाती हैं <math>\scriptstyle \mathcal{F}</math> जिसमें चयनित परिणाम ω शामिल है (याद रखें कि प्रत्येक घटना Ω का एक उपसमूह है) को "घटित" कहा जाता है। संभाव्यता फ़ंक्शन पी को इस तरह से परिभाषित किया गया है कि, यदि प्रयोग को अनंत बार दोहराया जाना था, तो प्रत्येक घटना की घटना की सापेक्ष आवृत्तियां पी द्वारा उन्हें निर्दिष्ट मूल्यों के साथ [[सीमा (गणित)]] समझौते में ले जाएंगी।
+जब प्रयोग डिज़ाइन और स्थापित हो जाता है, तो प्रारूप समिष्ट Ω से सभी घटनाएं ω हो जाती हैं जिसमें चयनित <math>\scriptstyle \mathcal{F}</math> परिणाम ω सम्मिलित है (याद रखें कि प्रत्येक घटना Ω का उपसमूह है) जिसे "घटित" कहा जाता है। संभाव्यता फलन P को इस प्रकार से परिभाषित किया गया है कि, यदि प्रयोग को अनंत बार दोहराया जाना था, तो प्रत्येक की घटना के सापेक्ष आवृत्तियां P द्वारा उन्हें निर्दिष्ट मानों के साथ [[सीमा (गणित)]] समाधान की ओर ले जायेंगा।
-एक साधारण प्रयोग के रूप में, हम एक सिक्के को दो बार उछाल सकते हैं। नमूना स्थान (जहां दो फ्लिप का क्रम प्रासंगिक है) {(H, T), (T, H), (T, T), (H, H)} है जहां H का अर्थ है हेड और T का अर्थ है टेल। ध्यान दें कि (H, T), (T, H), ... में से प्रत्येक प्रयोग के संभावित परिणाम हैं। हम एक ऐसी घटना को परिभाषित कर सकते हैं जो तब घटित होती है जब दोनों फ्लिपों में से किसी एक में हेड आता है। इस घटना में (T, T) को छोड़कर सभी परिणाम शामिल हैं।
+साधारण प्रयोग के रूप में, हम सिक्के को दो बार उछाल सकते हैं। प्रारूप समिष्ट (जहां दो फ्लिप का क्रम प्रासंगिक है) {(H, T), (T, H), (T, T), (H, H)} है जहां H का अर्थ है हेड और T का अर्थ है टेल। ध्यान दें कि (H, T), (T, H), ... में से प्रत्येक प्रयोग के संभावित परिणाम हैं। हम ऐसी घटना को परिभाषित कर सकते हैं जो तब घटित होती है जब दोनों फ्लिपों में से किसी में हेड आता है। इस घटना में (T, T) को छोड़कर सभी परिणाम सम्मिलित हैं।
 ==यह भी देखें==
-* संभाव्यता स्थान
+* संभाव्यता समिष्ट
 ==संदर्भ==
@@ Line 35: / Line 32: @@
 *{{Commonscat-inline}}
-{{Authority control}}
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