फलक (ज्यामिति)

ठोस ज्यामिति में चेहरा (फलक) एक सपाट सतह (तलीय (ज्यामिति) क्षेत्र (गणित)) है जो एक ठोस वस्तु की सीमा का भाग है; पॉलीहेड्रॉन विशेष रूप से सपाट सतहों द्वारा तीन आयामी ठोस बंधन है।

पॉलीहेड्रा और उच्च-आयामी पॉलीटोप के ज्यामिति के अति तकनीकी निरूपण में इस शब्द का उपयोग सामान्य पॉलीटोप (किसी भी आयाम के आयामों में) के किसी भी आयाम के तत्व के लिए भी किया जाता है।

बहुभुज चेहरा (फलक)

प्राथमिक ज्यामिति में पॉलीहेड्रोन की सीमा पर फलक बहुभुज है। बहुभुज चेहरे के अन्य नामों में पॉलीहेड्रॉन साइड और यूक्लिडियन तलीय टेससेलेशन सम्मिलित हैं।

उदाहरण के लिए छह वर्ग (ज्यामिति) में से कोई भी एक घन को बाध्य करता है जो क्यूब का एक फलक है। कभी-कभी फलक का उपयोग 4-पोलिटोप की 2-आयामी विशेषताओं को संदर्भित करने के लिए भी किया जाता है। इस अर्थ के साथ 4-आयामी टेसरैक्ट में 24 वर्ग फलक होते हैं जिनमें से प्रत्येक 8 क्यूब कोशिकाओं में से दो साझा करता है।

Schläfli प्रतीक द्वारा नियमित उदाहरण

पॉलीहेड्रोन	तारा पॉलीहेड्रोन	यूक्लिडियन प्ररेखन	हाइपरबोलिक प्ररेखन	4-पोलिटोप
{4,3}	{5/2,5}	{4,4}	{4,5}	{4,3,3}
घन के प्रत्येक शीर्ष पर 3 वर्ग फलक होते हैं।	छोटे तारामय द्वादशफलक में प्रति शीर्ष 5 पेंटाग्रामिक चेहरे होते हैं।	यूक्लिडियन तल मेंवर्गाकार टाइलिंग में प्रति शीर्ष 4 वर्ग फलक होते हैं।	क्रम-5 वर्गाकार टाइलिंग में प्रति शीर्ष 5 वर्ग फलक होते हैं।	टेसेरेक्ट में प्रति किनारे 3 चौकोर चेहरे हैं।

एक पॉलीहेड्रोन के बहुभुज फलकों की संख्या

किसी भी उत्तल बहुफलक की सतह में यूलर विशेषता होती है:

$V-E+F=2,$

जहां V वर्टेक्स (ज्यामिति) की संख्या है, E किनारे (ज्यामिति) की संख्या है और F चेहरों की संख्या है। इस समीकरण को यूलर के पॉलीहेड्रॉन फॉर्मूला के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार फलकों की संख्या शीर्षों की संख्या पर किनारों की संख्या के आधिक्य से 2 अधिक है। उदाहरण के लिए एक क्यूब (ज्यामिति) में 12 किनारे और 8 वर्टिस हैं, इसलिए उसके 6 फलक हैं।

के- फेस (चेहरा या फलक)

उच्च-आयामी ज्यामिति में पॉलीटोप के फलक सभी आयामों की विशेषताएं हैं। आयाम k का एक फलक के- फेस कहा जाता है। उदाहरण के लिए एक साधारण बहुफलक के बहुभुज फलक 2 फलक होते हैं। सेट थ्योरी में पॉलीटॉप के फलकों के सेट में पॉलीटोप स्वयं और खाली सेट सम्मिलित होता है जहां केवल सेट संगति के लिए -1 का "आयाम" दिया जाता है। किसी भी एन-पॉलीटोप (एन-आयामी पॉलीटोप) के लिए ≤1 ≤ k ≤ n।

उदाहरण के लिए इस अर्थ के साथ क्यूब के फलक में घन (3-फेस) इसके (वर्ग) फलक (ज्यामिति) # फलिका या (n-1) - फेस (2-फलक), (रैखिक) किनारों को सम्मिलित किया जाता है(1-चेहरे), (बिंदु) वर्टिस (0-चेज़), और खाली सेट। निम्नलिखित 4-पोलीटोप के 'फलक' हैं। 4-आयामी पॉलीटोप:

• 4-फलक-4-आयामी 4-पॉलीटोप ही
• 3-फलक-3-आयामी सेल (ज्यामिति) एस (पॉलीहेड्रोन चेहरे)
• 2-फलक-2-आयामी चेहरा (ज्यामिति) #ridge या (n-2) -फेस (बहुभुज चेहरे)
• 1-फलक-1-आयामी धार (ज्यामिति) एस
• 0-फलक-0-आयामी वर्टेक्स (ज्यामिति)
• रिक्त सेट जिसमें आयाम −1 है।

गणित के कुछ क्षेत्रों में जैसे कि पॉलीहेड्रल कॉम्बिनेटरिक्स पॉलीटोप स्पष्ट उत्तल है।औपचारिक रूप से पॉलीटोप पी का फलक किसी भी बंद आधे स्थान के साथ पी का प्रतिच्छेदन है जिसकी सीमा पी के आंतरिक भाग से भिन्न है। इस परिभाषा से यह ज्ञात होता है कि पॉलीटॉप के फलकों के सेट में पॉलीटॉप और रिक्त सेट सम्मिलित हैं।

गणित के अन्य क्षेत्रों में जैसे कि अमूर्त पॉलीटोप्स और स्टार पॉलीटोप्स के सिद्धांत उत्तलता की आवश्यकता में ढील दी गई है। सार सिद्धांत के लिए अभी भी आवश्यक है कि फलकों के सेट में स्वयं पॉलीटॉप और रिक्त सेट सम्मिलित हों।

सेल या 3-फेस

सेल 4-आयामी पॉलीटोप या 3-आयामी टेससेलेशन या उच्चतर का पॉलीहेड्रॉन तत्व (3-फेस) है। कोशिकाएं 4-पॉलीटोप और 3-हनीकॉम्बस के लिए पहलू (ज्यामिति) हैं।

उदाहरण:

Schläfli प्रतीक द्वारा नियमित उदाहरण

4-पॉलीटोपस		3-हनीकॉम्बस
{4,3,3}	{5,3,3}	{4,3,4}	{5,3,4}
टेसेरैक्ट में प्रति किनारे 3 क्यूबिक सेल (3-फलक) हैं।	The 120-सेल में प्रति किनारे 3 डोडेकाहेड्रल सेल (3-फलक) हैं।	क्यूबिक हनीकॉम्ब यूक्लिडियन 3-स्पेस को क्यूब्स से भरता है जिसमें 4 सेल (3-फलक) प्रति किनारे होते हैं।	ऑर्डर-4 डोडेकाहेड्रल हनीकॉम्ब डोडेकाहेड्रा, 4 कोशिकाओं (3-फलक) प्रति किनारे के साथ 3-आयामी हाइपरबोलिक स्थान भरता है।

फलिका या (n-1) -फलक

उच्च-आयामी ज्यामिति में फलिका (जिसे हाइपरफेस भी कहा जाता है) एन-पोलिटोप (एन -1) -फेस (पॉलीटोप से कम आयाम के चेहरे) हैं। पॉलीटोप उसके फालिकाओं से घिरा हुआ है।

उदाहरण के लिए:

• रैखिक भाग की फलिका इसके 0-चेहरे या वर्टेक्स (ज्यामिति) हैं।
• बहुभुज की फलिका इसके 1-चेहरे या किनारे (ज्यामिति) हैं।
• पॉलीहेड्रॉन या प्लेन टाइलिंग की फलिका इसके 2-फलक हैं।
• 4-पोलिटोप या उत्तल यूनिफ़ॉर्म हनीकॉम्ब की फलिका।
• 5-पोलिटोप या 4-हनीकॉम्ब की फलिका इसके 4-फलक हैं।

रिज (लकीरें) या (एन-2) -फलक

संबंधित शब्दावली में n-पॉलीटोप के (n - 2)-पृष्ठों को रिज (सबफेस भी) कहा जाता है। रिज को पॉलीटोप या हनीकॉम्ब के बिल्कुल दो फालिकाओं के मध्य की सीमा के रूप में देखा जाता है।

उदाहरण के लिए:

• 2 डी बहुभुज या 1 डी टाइलिंग की लकीरें इसके 0-फलक या वर्टेक्स (ज्यामिति) हैं।
• 3 डी पॉलीहेड्रॉन या समतल टाइलिंग की लकीरें इसके 1-फलक या किनारे (ज्यामिति) हैं।
• 4-पोलिटोप या 3-हनीकॉम की लकीरें इसके 2-फलक या बस फलक हैं।
• 5-पोलिटोप या 4-हनीकॉम की लकीरें इसके 3-फलक या सेल (ज्यामिति) हैं।

पीक या (एन-3) -फलक

(n - 3)- n-पॉलीटॉप के फलकों को वर्टेक्स कहा जाता है। वर्टेक्स में नियमित पॉलीटॉप या हनीकॉम्ब में पहलुओं और लकीरों का घूर्णी अक्ष होता है।

उदाहरण के लिए:

• 3 डी पॉलीहेड्रॉन या समतल टाइलिंग की चोटियां इसके 0-चेहरे या वर्टेक्स (ज्यामिति) हैं।
• 4-पोलिटोप या 3-हनीकॉम्बस इसके 1-फलक या किनारे (ज्यामिति) हैं।
• 5-पोलिटोप या 4-हनीकॉम्बस की चोटियां इसके 2-फलक या बस 'फलक' हैं।

यह भी देखें

• फेस (फलक) जाली

बाहरी कड़ियाँ

• Weisstein, Eric W. "Face". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Facet". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Side". MathWorld.