पैरेटो फ्रंट: Difference between revisions

Latest revision as of 15:51, 8 September 2023

बहुउद्देश्यीय अनुकूलन में, पैरेटो फ्रंट सभी पारेटो कुशल समाधानों का समुच्चय है।^[1] इसे व्यापक रूप से अभियांत्रिकी में उपयोग किया जाता है।^[2] यह प्रारूपो को प्रत्येक पैरामीटर की पूरी श्रृंखला पर विचार करने के अतिरक्त कुशल विकल्पों के समुच्चय पर ध्यान केंद्रित करने और इस समुच्चय के भीतर दुविधा को अंत करने की अनुमति देता है।^[3]^[4]

पैरेटो फ्रंटियर का उदाहरण। बॉक्सिंग बिंदु व्यवहार्य विकल्पों का प्रतिनिधित्व करते हैं, और छोटे मूल्यों को बड़े लोगों के लिए पसंद किया जाता है। बिंदु C पेरेटो सीमा पर नहीं है क्योंकि यह बिंदु A और बिंदु B दोनों का प्रभुत्व है। बिंदु A और B पर किसी अन्य का सख्ती से प्रभुत्व नहीं है, और इसलिए यह सीमा पर स्थित है।

उत्पादन-संभावना की सीमा। लाल रेखा पारेटो-कुशल फ्रंटियर का एक उदाहरण है, जहां सीमांत और उसके नीचे का क्षेत्र विकल्पों का एक सतत समुच्चय है। सीमांत पर लाल बिंदु उत्पादन के पारेटो-इष्टतम विकल्पों के उदाहरण हैं। सीमा से दूर के बिंदु, जैसे कि N और K, पारेतो-प्रभावी नहीं हैं, क्योंकि सीमांत पर ऐसे बिंदु मौजूद हैं जो उन पर पारेटो-प्रभुत्व रखते हैं।

परिभाषा

पेरेटो फ्रंटियर, P(Y), को अधिक औपचारिक रूप से निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है। फलन के एक प्रणाली पर विचार करें $f:X\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ , जहाँ X मीट्रिक स्थान में व्यवहार्य निर्णयों का एक स्थान है $\mathbb {R} ^{n}$ , और Y में मानदंड सदिश का व्यवहार्य समुच्चय है | $\mathbb {R} ^{m}$ इस प्रकार है कि $Y=\{y\in \mathbb {R} ^{m}:\;y=f(x),x\in X\;\}$ .

हम मानते हैं कि मापदंड मानों की अधिमानित दिशाएँ ज्ञात हैं। एक बिंदु $y^{\prime \prime }\in \mathbb {R} ^{m}$ दुसरे बिंदु $y^{\prime }\in \mathbb {R} ^{m}$ के लिए इस प्रकार अधिमानित किया जाता है की $y^{\prime \prime }\succ y^{\prime }$ सत्य हो। पेरेटो सीमांत इस प्रकार लिखा गया है:

P(Y)=\{y^{\prime }\in Y:\;\{y^{\prime \prime }\in Y:\;y^{\prime \prime }\succ y^{\prime },y^{\prime }\neq y^{\prime \prime }\;\}=\emptyset \}.

प्रतिस्थापन की सीमांत दर

अर्थशास्त्र में पैरेटो फ्रंटियर का एक महत्वपूर्ण दृष्टीकोण यह है कि पारेतो-दक्ष आवंटन पर, प्रतिस्थापन की सीमांत दर सभी उपभोक्ताओं के लिए समान होती है।^[5] एम उपभोक्ताओं और एन वस्तुओं के साथ एक प्रणाली और प्रत्येक उपभोक्ता के उपयोगिता फलन के रूप में विचार करके औपचारिक वर्णन $z_{i}=f^{i}(x^{i})$ प्राप्त किया जा सकता है जहां $x^{i}=(x_{1}^{i},x_{2}^{i},\ldots ,x_{n}^{i})$ , सभी के लिए मान सदिश है तथा सभी के लिए व्यवहार्यता बाधा है $\sum _{i=1}^{m}x_{j}^{i}=b_{j}$ के लिए $j=1,\ldots ,n$ . पेरेटो इष्टतम आवंटन खोजने के लिए, हम लैग्रैंगियन यांत्रिकी का अधिकतम प्रयोग करते हैं:

L_{i}((x_{j}^{k})_{k,j},(\lambda _{k})_{k},(\mu _{j})_{j})=f^{i}(x^{i})+\sum _{k=2}^{m}\lambda _{k}(z_{k}-f^{k}(x^{k}))+\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}\left(b_{j}-\sum _{k=1}^{m}x_{j}^{k}\right)

जहाँ $(\lambda _{k})_{k}$ और $(\mu _{j})_{j}$ गुणक के सदिश हैं। प्रत्येक संबंध में लैग्रैंगियन का आंशिक व्युत्पन्न $x_{j}^{k}$ लेना $j=1,\ldots ,n$ तथा $k=1,\ldots ,m$ प्रथम-क्रम स्थितियों की निम्नलिखित प्रणाली को संदर्भित करता है:

{\frac {\partial L_{i}}{\partial x_{j}^{i}}}=f_{x_{j}^{i}}^{1}-\mu _{j}=0{\text{ for }}j=1,\ldots ,n,

{\frac {\partial L_{i}}{\partial x_{j}^{k}}}=-\lambda _{k}f_{x_{j}^{k}}^{i}-\mu _{j}=0{\text{ for }}k=2,\ldots ,m{\text{ and }}j=1,\ldots ,n,

जहाँ $f_{x_{j}^{i}}$ , $f$ के आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है इसके संबंध में $x_{j}^{i}$ . जहाँ $k\neq i$ और $j,s\in \{1,\ldots ,n\}$ . उपरोक्त प्रथम-क्रम की स्थिति का अर्थ

{\frac {f_{x_{j}^{i}}^{i}}{f_{x_{s}^{i}}^{i}}}={\frac {\mu _{j}}{\mu _{s}}}={\frac {f_{x_{j}^{k}}^{k}}{f_{x_{s}^{k}}^{k}}}.

है।

इस प्रकार, पारेतो-इष्टतम आवंटन में, प्रतिस्थापन की सीमांत दर सभी उपभोक्ताओं के लिए समान होनी चाहिए।^{[citation needed]}

गणना

कंप्यूटर विज्ञान और उर्जा अभियांत्रिकी में विकल्पों के एक सीमित समुच्चय के पैरेटो फ्रंटियर की गणना के लिए कलन विधि का अध्ययन किया गया है।^[6]

अधिकतम सदिश समस्या या स्काईलाइन संकार्य ।^[7]^[8]^[9]
स्केलराइजेशन कलनविधि या भारित मूल्य की विधि।^[10]^[11]
$\epsilon$ -प्रतिबंध विधि।^[12]^[13]

अनुमान

चूंकि सभी पारेटो फ्रंट को उत्पन्न करना प्रायः संगणनीय रूप से कठिन होता है, एक अनुमानित पारेटो-फ्रंट की गणना के लिए कलनविधियाँ होती हैं। उदाहरण के लिए, लेग्रियल एट अल।^[14] एक समुच्चय S को परेटो-फ्रंट P का 'ε-सन्निकटन' होता हैं, यदि S और P के बीच हॉसडॉर्फ की निर्देशित दूरी अधिक से अधिक ε है। तो d मानो में किसी भी पेरेटो फ्रंट P का ε-अनुमानन (1/ε)^d का उपयोग करके पाया जा सकता है।

जित्लर, नोल्स और थिएले^[15] विभिन्न मानदंडों पर पारेटो- समुच्चय सन्निकटन के लिए कई कलनविधि की तुलना करते हैं जैसे मापन, एकरूपता और संगणनीय जटिलताए आदि।

संदर्भ

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बाहरी संबंध

Code to compute the Pareto front of a finite set of points in Julia: https://github.com/cossio/ParetoEfficiency.jl.

[1] roximedia. "Pareto Front". www.cenaero.be. Retrieved 2018-10-08.

[2] Goodarzi, E., Ziaei, M., & Hosseinipour, E. Z., Introduction to Optimization Analysis in Hydrosystem Engineering (Berlin/Heidelberg: Springer, 2014), pp. 111–148.

[3] Jahan, A., Edwards, K. L., & Bahraminasab, M., Multi-criteria Decision Analysis, 2nd ed. (Amsterdam: Elsevier, 2013), pp. 63–65.

[4] Costa, N. R., & Lourenço, J. A., "Exploring Pareto Frontiers in the Response Surface Methodology", in G.-C. Yang, S.-I. Ao, & L. Gelman, eds., Transactions on Engineering Technologies: World Congress on Engineering 2014 (Berlin/Heidelberg: Springer, 2015), pp. 399–412.

[5] Just, Richard E. (2004). The welfare economics of public policy : a practical approach to project and policy evaluation. Hueth, Darrell L., Schmitz, Andrew. Cheltenham, UK: E. Elgar. pp. 18–21. ISBN 1-84542-157-4. OCLC 58538348.

[6] Tomoiagă, Bogdan; Chindriş, Mircea; Sumper, Andreas; Sudria-Andreu, Antoni; Villafafila-Robles, Roberto (2013). "Pareto Optimal Reconfiguration of Power Distribution Systems Using a Genetic Algorithm Based on NSGA-II". Energies. 6 (3): 1439–55. doi:10.3390/en6031439.

[7] Nielsen, Frank (1996). "Output-sensitive peeling of convex and maximal layers". Information Processing Letters. 59 (5): 255–9. CiteSeerX 10.1.1.259.1042. doi:10.1016/0020-0190(96)00116-0.

[8] Kung, H. T.; Luccio, F.; Preparata, F.P. (1975). "On finding the maxima of a set of vectors". Journal of the ACM. 22 (4): 469–76. doi:10.1145/321906.321910. S2CID 2698043.

[9] Godfrey, P.; Shipley, R.; Gryz, J. (2006). "Algorithms and Analyses for Maximal Vector Computation". VLDB Journal. 16: 5–28. CiteSeerX 10.1.1.73.6344. doi:10.1007/s00778-006-0029-7. S2CID 7374749.

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[12] "On a Bicriterion Formulation of the Problems of Integrated System Identification and System Optimization". IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics. SMC-1 (3): 296–297. 1971. doi:10.1109/TSMC.1971.4308298. ISSN 0018-9472.

[Mavrotas2009-13] Mavrotas, George (2009). "Effective implementation of the ε-constraint method in Multi-Objective Mathematical Programming problems". Applied Mathematics and Computation. 213 (2): 455–465. doi:10.1016/j.amc.2009.03.037. ISSN 0096-3003.

[14] Legriel, Julien; Le Guernic, Colas; Cotton, Scott; Maler, Oded (2010). Esparza, Javier; Majumdar, Rupak (eds.). "Approximating the Pareto Front of Multi-criteria Optimization Problems". Tools and Algorithms for the Construction and Analysis of Systems. Lecture Notes in Computer Science (in English). Berlin, Heidelberg: Springer. 6015: 69–83. doi:10.1007/978-3-642-12002-2_6. ISBN 978-3-642-12002-2.

[15] Zitzler, Eckart; Knowles, Joshua; Thiele, Lothar (2008), Branke, Jürgen; Deb, Kalyanmoy; Miettinen, Kaisa; Słowiński, Roman (eds.), "Quality Assessment of Pareto Set Approximations", Multiobjective Optimization: Interactive and Evolutionary Approaches, Lecture Notes in Computer Science (in English), Berlin, Heidelberg: Springer, pp. 373–404, doi:10.1007/978-3-540-88908-3_14, ISBN 978-3-540-88908-3, retrieved 2021-10-08

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 {{Short description|Set of all Pareto efficient situations}}
-[[बहुउद्देश्यीय अनुकूलन]] में, पैरेटो फ्रंट सभी पारेटो कुशल समाधानों का समुच्चय है।<ref>{{Cite web|last=proximedia|title=Pareto Front|url=http://www.cenaero.be/Page.asp?docid=27103&|access-date=2018-10-08|website=www.cenaero.be}}</ref> इसे व्यापक रूप से [[अभियांत्रिकी]] में उपयोग किया जाता है।<ref>Goodarzi, E., Ziaei, M., & Hosseinipour, E. Z., ''Introduction to Optimization Analysis in Hydrosystem Engineering'' ([[Berlin]]/[[Heidelberg]]: [[Springer Science+Business Media|Springer]], 2014), [https://books.google.com/books?id=WjS8BAAAQBAJ&pg=PT111 pp. 111–148].</ref>{{rp|111–148}} यह प्रारूपो  को प्रत्येक पैरामीटर की पूरी श्रृंखला पर विचार करने के अतिरक्त कुशल विकल्पों के  समुच्चय पर ध्यान केंद्रित करने और इस  समुच्चय के अंदर व्यापार-बंद करने की अनुमति देता है।<ref>Jahan, A., Edwards, K. L., & Bahraminasab, M., ''Multi-criteria Decision Analysis'', 2nd ed. ([[Amsterdam]]: [[Elsevier]], 2013), [https://books.google.com/books?id=3mreBgAAQBAJ&pg=PA63 pp. 63–65].</ref>{{rp|63–65}}<ref>Costa, N. R., & Lourenço, J. A., "Exploring Pareto Frontiers in the Response Surface Methodology", in G.-C. Yang, S.-I. Ao, & L. Gelman, eds., ''Transactions on Engineering Technologies: World Congress on Engineering 2014'' (Berlin/Heidelberg: Springer, 2015), [https://books.google.com/books?id=eMElCQAAQBAJ&pg=PA398 pp. 399–412].</ref>{{rp|399–412}}
+[[बहुउद्देश्यीय अनुकूलन]] में, पैरेटो फ्रंट सभी पारेटो कुशल समाधानों का समुच्चय है।<ref>{{Cite web|last=proximedia|title=Pareto Front|url=http://www.cenaero.be/Page.asp?docid=27103&|access-date=2018-10-08|website=www.cenaero.be}}</ref> इसे व्यापक रूप से [[अभियांत्रिकी]] में उपयोग किया जाता है।<ref>Goodarzi, E., Ziaei, M., & Hosseinipour, E. Z., ''Introduction to Optimization Analysis in Hydrosystem Engineering'' ([[Berlin]]/[[Heidelberg]]: [[Springer Science+Business Media|Springer]], 2014), [https://books.google.com/books?id=WjS8BAAAQBAJ&pg=PT111 pp. 111–148].</ref> यह प्रारूपो  को प्रत्येक पैरामीटर की पूरी श्रृंखला पर विचार करने के अतिरक्त कुशल विकल्पों के समुच्चय पर ध्यान केंद्रित करने और इस समुच्चय के भीतर दुविधा को अंत करने की अनुमति देता है।<ref>Jahan, A., Edwards, K. L., & Bahraminasab, M., ''Multi-criteria Decision Analysis'', 2nd ed. ([[Amsterdam]]: [[Elsevier]], 2013), [https://books.google.com/books?id=3mreBgAAQBAJ&pg=PA63 pp. 63–65].</ref><ref>Costa, N. R., & Lourenço, J. A., "Exploring Pareto Frontiers in the Response Surface Methodology", in G.-C. Yang, S.-I. Ao, & L. Gelman, eds., ''Transactions on Engineering Technologies: World Congress on Engineering 2014'' (Berlin/Heidelberg: Springer, 2015), [https://books.google.com/books?id=eMElCQAAQBAJ&pg=PA398 pp. 399–412].</ref>
 [[File:Front_pareto.svg|thumb|300x300px|पैरेटो फ्रंटियर का उदाहरण। बॉक्सिंग बिंदु व्यवहार्य विकल्पों का प्रतिनिधित्व करते हैं, और छोटे मूल्यों को बड़े लोगों के लिए पसंद किया जाता है। बिंदु C पेरेटो सीमा पर नहीं है क्योंकि यह बिंदु A और बिंदु B दोनों का प्रभुत्व है। बिंदु A और B पर किसी अन्य का सख्ती से प्रभुत्व नहीं है, और इसलिए यह सीमा पर स्थित है।]]
 [[File:Pareto_Efficient_Frontier_1024x1024.png|thumb|256x256px|उत्पादन-संभावना की सीमा। लाल रेखा पारेटो-कुशल फ्रंटियर का एक उदाहरण है, जहां सीमांत और उसके नीचे का क्षेत्र विकल्पों का एक सतत  समुच्चय है। सीमांत पर लाल बिंदु उत्पादन के पारेटो-इष्टतम विकल्पों के उदाहरण हैं। सीमा से दूर के बिंदु, जैसे कि N और K, पारेतो-प्रभावी नहीं हैं, क्योंकि सीमांत पर ऐसे बिंदु मौजूद हैं जो उन पर पारेटो-प्रभुत्व रखते हैं।]]
 === परिभाषा ===
-पेरेटो फ्रंटियर, पी (वाई), को अधिक औपचारिक रूप से निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है। कार्य के साथ एक प्रणाली पर विचार करें <math>f: X \rightarrow \mathbb{R}^m</math>, जहाँ X [[मीट्रिक स्थान]] में व्यवहार्य निर्णयों का एक [[कॉम्पैक्ट जगह]] है <math>\mathbb{R}^n</math>, और Y में कसौटी सदिश  का व्यवहार्य  समुच्चय है <math>\mathbb{R}^m</math>, ऐसा है कि <math>Y = \{ y \in \mathbb{R}^m:\; y = f(x), x \in X\;\}</math>.
+पेरेटो फ्रंटियर, ''P''(''Y''), को अधिक औपचारिक रूप से निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है। फलन के एक प्रणाली पर विचार करें <math>f: X \rightarrow \mathbb{R}^m</math>, जहाँ X [[मीट्रिक स्थान]] में व्यवहार्य निर्णयों का एक [[कॉम्पैक्ट जगह|स्थान]] है <math>\mathbb{R}^n</math>, और Y में मानदंड सदिश का व्यवहार्य समुच्चय है | <math>\mathbb{R}^m</math>इस प्रकार है कि <math>Y = \{ y \in \mathbb{R}^m:\; y = f(x), x \in X\;\}</math>.
-हम मानते हैं कि मापदंड मानों की पसंदीदा दिशाएँ ज्ञात हैं। एक बिंदु <math>y^{\prime\prime} \in \mathbb{R}^m</math> एक और बिंदु के लिए (सख्ती से हावी) पसंद किया जाता है <math>y^{\prime} \in \mathbb{R}^m</math>, के रूप में लिखा गया है <math>y^{\prime\prime} \succ y^{\prime}</math>. पेरेटो सीमांत इस प्रकार लिखा गया है:
+हम मानते हैं कि मापदंड मानों की अधिमानित दिशाएँ ज्ञात हैं। एक बिंदु  <math>y^{\prime\prime} \in \mathbb{R}^m</math> दुसरे बिंदु <math>y^{\prime} \in \mathbb{R}^m</math> के लिए इस प्रकार अधिमानित किया जाता है की  <math>y^{\prime\prime} \succ y^{\prime}</math> सत्य हो। पेरेटो सीमांत इस प्रकार लिखा गया है:
 : <math>P(Y) = \{ y^\prime \in Y: \; \{y^{\prime\prime} \in Y:\; y^{\prime\prime} \succ y^{\prime}, y^\prime \neq y^{\prime\prime} \; \} = \empty \}. </math>
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 == प्रतिस्थापन की सीमांत दर ==
-अर्थशास्त्र में पैरेटो फ्रंटियर का एक महत्वपूर्ण दृष्टीकोण यह है कि पारेतो-कुशल आवंटन पर, प्रतिस्थापन की सीमांत दर सभी उपभोक्ताओं के लिए समान होती है।<ref>{{Cite book|last=Just, Richard E.|url=https://www.worldcat.org/oclc/58538348|title=The welfare economics of public policy : a practical approach to project and policy evaluation|publisher=E. Elgar|others=Hueth, Darrell L., Schmitz, Andrew.|year=2004|isbn=1-84542-157-4|location=Cheltenham, UK|pages=18–21|oclc=58538348}}</ref> एम उपभोक्ताओं और एन वस्तुओं के साथ एक प्रणाली और प्रत्येक उपभोक्ता के उपयोगिता समारोह के रूप में विचार करके एक औपचारिक बयान प्राप्त किया जा सकता है <math>z_i=f^i(x^i)</math> जहां <math>x^i=(x_1^i, x_2^i, \ldots, x_n^i)</math>, सभी के लिए मान सदिश है,जो सभी के लिए व्यवहार्यता बाधा है <math>\sum_{i=1}^m x_j^i = b_j</math> के लिए <math>j=1,\ldots,n</math>. पेरेटो इष्टतम आवंटन खोजने के लिए, हम लैग्रैंगियन यांत्रिकी को अधिकतम प्रयोग करते हैं:
+अर्थशास्त्र में पैरेटो फ्रंटियर का एक महत्वपूर्ण दृष्टीकोण यह है कि पारेतो-दक्ष आवंटन पर, प्रतिस्थापन की सीमांत दर सभी उपभोक्ताओं के लिए समान होती है।<ref>{{Cite book|last=Just, Richard E.|url=https://www.worldcat.org/oclc/58538348|title=The welfare economics of public policy : a practical approach to project and policy evaluation|publisher=E. Elgar|others=Hueth, Darrell L., Schmitz, Andrew.|year=2004|isbn=1-84542-157-4|location=Cheltenham, UK|pages=18–21|oclc=58538348}}</ref> एम उपभोक्ताओं और एन वस्तुओं के साथ एक प्रणाली और प्रत्येक उपभोक्ता के उपयोगिता फलन के रूप में विचार करके औपचारिक वर्णन <math>z_i=f^i(x^i)</math> प्राप्त किया जा सकता है  जहां <math>x^i=(x_1^i, x_2^i, \ldots, x_n^i)</math>, सभी के लिए मान सदिश है तथा सभी के लिए व्यवहार्यता बाधा है <math>\sum_{i=1}^m x_j^i = b_j</math> के लिए <math>j=1,\ldots,n</math>. पेरेटो इष्टतम आवंटन खोजने के लिए, हम लैग्रैंगियन यांत्रिकी का अधिकतम प्रयोग करते हैं:
 : <math>L_i((x_j^k)_{k,j}, (\lambda_k)_k, (\mu_j)_j)=f^i(x^i)+\sum_{k=2}^m \lambda_k(z_k- f^k(x^k))+\sum_{j=1}^n \mu_j \left( b_j-\sum_{k=1}^m x_j^k \right)</math>
-जहाँ  <math>(\lambda_k)_k</math> और <math>(\mu_j)_j</math> गुणक के सदिश हैं। प्रत्येक अच्छे  संबंध में लैग्रैंगियन का आंशिक व्युत्पन्न लेना <math>x_j^k</math> के लिए <math>j=1,\ldots,n</math> और <math>k=1,\ldots, m</math> और प्रथम-क्रम स्थितियों की निम्नलिखित प्रणाली देता है:
+जहाँ  <math>(\lambda_k)_k</math> और <math>(\mu_j)_j</math> गुणक के सदिश हैं। प्रत्येक संबंध में लैग्रैंगियन का आंशिक व्युत्पन्न <math>x_j^k</math> लेना <math>j=1,\ldots,n</math> तथा  <math>k=1,\ldots, m</math> प्रथम-क्रम स्थितियों की निम्नलिखित प्रणाली को संदर्भित करता है:
 : <math>\frac{\partial L_i}{\partial x_j^i} = f_{x^i_j}^1-\mu_j=0\text{ for }j=1,\ldots,n,</math>
 : <math>\frac{\partial L_i}{\partial x_j^k} = -\lambda_k f_{x^k_j}^i-\mu_j=0 \text{ for }k= 2,\ldots,m \text{ and }j=1,\ldots,n,</math>
-जहाँ  <math>f_{x^i_j}</math> के आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है <math>f</math> इसके संबंध में <math>x_j^i</math>. अब, कोई भी ठीक करें <math>k\neq i</math> और <math>j,s\in \{1,\ldots,n\}</math>. उपरोक्त प्रथम-क्रम की स्थिति का अर्थ है
+जहाँ  <math>f_{x^i_j}</math>, <math>f</math> के आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है  इसके संबंध में <math>x_j^i</math>. जहाँ  <math>k\neq i</math> और <math>j,s\in \{1,\ldots,n\}</math>. उपरोक्त प्रथम-क्रम की स्थिति का अर्थ
 : <math>\frac{f_{x_j^i}^i}{f_{x_s^i}^i}=\frac{\mu_j}{\mu_s}=\frac{f_{x_j^k}^k}{f_{x_s^k}^k}.</math>
+:है।
 इस प्रकार, पारेतो-इष्टतम आवंटन में, प्रतिस्थापन की सीमांत दर सभी उपभोक्ताओं के लिए समान होनी चाहिए।{{Citation needed|date=July 2020}}
 == गणना ==
-[[कंप्यूटर विज्ञान]] और पावर अभियांत्रिकी में विकल्पों के एक सीमित  समुच्चय के पैरेटो फ्रंटियर की गणना के लिए [[कलन विधि]] का अध्ययन किया गया है।<ref>{{cite journal|last1=Tomoiagă|first1=Bogdan|last2=Chindriş|first2=Mircea|last3=Sumper|first3=Andreas|last4=Sudria-Andreu|first4=Antoni|last5=Villafafila-Robles|first5=Roberto|year=2013|title=Pareto Optimal Reconfiguration of Power Distribution Systems Using a Genetic Algorithm Based on NSGA-II|journal=Energies|volume=6|issue=3|pages=1439–55|doi=10.3390/en6031439|doi-access=free}}</ref>
+[[कंप्यूटर विज्ञान]] और उर्जा अभियांत्रिकी में विकल्पों के एक सीमित समुच्चय के पैरेटो फ्रंटियर की गणना के लिए [[कलन विधि]] का अध्ययन किया गया है।<ref>{{cite journal|last1=Tomoiagă|first1=Bogdan|last2=Chindriş|first2=Mircea|last3=Sumper|first3=Andreas|last4=Sudria-Andreu|first4=Antoni|last5=Villafafila-Robles|first5=Roberto|year=2013|title=Pareto Optimal Reconfiguration of Power Distribution Systems Using a Genetic Algorithm Based on NSGA-II|journal=Energies|volume=6|issue=3|pages=1439–55|doi=10.3390/en6031439|doi-access=free}}</ref>
-* अधिकतम वेक्टर समस्या या [[स्काईलाइन ऑपरेटर]]।<ref>{{cite journal|last1=Nielsen|first1=Frank|year=1996|title=Output-sensitive peeling of convex and maximal layers|journal=Information Processing Letters|volume=59|issue=5|pages=255–9|citeseerx=10.1.1.259.1042|doi=10.1016/0020-0190(96)00116-0}}</ref><ref>{{cite journal|last1=Kung|first1=H. T.|last2=Luccio|first2=F.|last3=Preparata|first3=F.P.|year=1975|title=On finding the maxima of a set of vectors|journal=Journal of the ACM|volume=22|issue=4|pages=469–76|doi=10.1145/321906.321910|s2cid=2698043}}</ref><ref>{{cite journal|last1=Godfrey|first1=P.|last2=Shipley|first2=R.|last3=Gryz|first3=J.|year=2006|title=Algorithms and Analyses for Maximal Vector Computation|journal=VLDB Journal|volume=16|pages=5–28|citeseerx=10.1.1.73.6344|doi=10.1007/s00778-006-0029-7|s2cid=7374749}}</ref>
+* अधिकतम सदिश समस्या या [[स्काईलाइन ऑपरेटर|स्काईलाइन संकार्य]] ।<ref>{{cite journal|last1=Nielsen|first1=Frank|year=1996|title=Output-sensitive peeling of convex and maximal layers|journal=Information Processing Letters|volume=59|issue=5|pages=255–9|citeseerx=10.1.1.259.1042|doi=10.1016/0020-0190(96)00116-0}}</ref><ref>{{cite journal|last1=Kung|first1=H. T.|last2=Luccio|first2=F.|last3=Preparata|first3=F.P.|year=1975|title=On finding the maxima of a set of vectors|journal=Journal of the ACM|volume=22|issue=4|pages=469–76|doi=10.1145/321906.321910|s2cid=2698043}}</ref><ref>{{cite journal|last1=Godfrey|first1=P.|last2=Shipley|first2=R.|last3=Gryz|first3=J.|year=2006|title=Algorithms and Analyses for Maximal Vector Computation|journal=VLDB Journal|volume=16|pages=5–28|citeseerx=10.1.1.73.6344|doi=10.1007/s00778-006-0029-7|s2cid=7374749}}</ref>
-* स्केलराइजेशन एल्गोरिदम या भारित रकम की विधि।<ref name="Kimde Weck2005">{{cite journal|last1=Kim|first1=I. Y.|last2=de Weck|first2=O. L.|year=2005|title=Adaptive weighted sum method for multiobjective optimization: a new method for Pareto front generation|journal=Structural and Multidisciplinary Optimization|volume=31|issue=2|pages=105–116|doi=10.1007/s00158-005-0557-6|issn=1615-147X|s2cid=18237050}}</ref><ref name="MarlerArora2009">{{cite journal|last1=Marler|first1=R. Timothy|last2=Arora|first2=Jasbir S.|year=2009|title=The weighted sum method for multi-objective optimization: new insights|journal=Structural and Multidisciplinary Optimization|volume=41|issue=6|pages=853–862|doi=10.1007/s00158-009-0460-7|issn=1615-147X|s2cid=122325484}}</ref>
+* स्केलराइजेशन कलनविधि या भारित मूल्य की विधि।<ref name="Kimde Weck2005">{{cite journal|last1=Kim|first1=I. Y.|last2=de Weck|first2=O. L.|year=2005|title=Adaptive weighted sum method for multiobjective optimization: a new method for Pareto front generation|journal=Structural and Multidisciplinary Optimization|volume=31|issue=2|pages=105–116|doi=10.1007/s00158-005-0557-6|issn=1615-147X|s2cid=18237050}}</ref><ref name="MarlerArora2009">{{cite journal|last1=Marler|first1=R. Timothy|last2=Arora|first2=Jasbir S.|year=2009|title=The weighted sum method for multi-objective optimization: new insights|journal=Structural and Multidisciplinary Optimization|volume=41|issue=6|pages=853–862|doi=10.1007/s00158-009-0460-7|issn=1615-147X|s2cid=122325484}}</ref>
-* <math>\epsilon</math>वें>-प्रतिबंध विधि।<ref>{{cite journal|year=1971|title=On a Bicriterion Formulation of the Problems of Integrated System Identification and System Optimization|journal=IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics|volume=SMC-1|issue=3|pages=296–297|doi=10.1109/TSMC.1971.4308298|issn=0018-9472}}</ref><ref name="Mavrotas2009">{{cite journal|last1=Mavrotas|first1=George|year=2009|title=Effective implementation of the ε-constraint method in Multi-Objective Mathematical Programming problems|journal=Applied Mathematics and Computation|volume=213|issue=2|pages=455–465|doi=10.1016/j.amc.2009.03.037|issn=0096-3003}}</ref>
+* <math>\epsilon</math>-प्रतिबंध विधि।<ref>{{cite journal|year=1971|title=On a Bicriterion Formulation of the Problems of Integrated System Identification and System Optimization|journal=IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics|volume=SMC-1|issue=3|pages=296–297|doi=10.1109/TSMC.1971.4308298|issn=0018-9472}}</ref><ref name="Mavrotas2009">{{cite journal|last1=Mavrotas|first1=George|year=2009|title=Effective implementation of the ε-constraint method in Multi-Objective Mathematical Programming problems|journal=Applied Mathematics and Computation|volume=213|issue=2|pages=455–465|doi=10.1016/j.amc.2009.03.037|issn=0096-3003}}</ref>
 == अनुमान ==
-चूंकि पूरे पारेटो फ्रंट को उत्पन्न करना अक्सर कम्प्यूटेशनल रूप से कठिन होता है, एक अनुमानित पारेटो-फ्रंट की गणना के लिए एल्गोरिदम होते हैं। उदाहरण के लिए, लेग्रियल एट अल।<ref>{{Cite journal|last1=Legriel|first1=Julien|last2=Le Guernic|first2=Colas|last3=Cotton|first3=Scott|last4=Maler|first4=Oded|date=2010|editor-last=Esparza|editor-first=Javier|editor2-last=Majumdar|editor2-first=Rupak|title=Approximating the Pareto Front of Multi-criteria Optimization Problems|journal=Tools and Algorithms for the Construction and Analysis of Systems|series=Lecture Notes in Computer Science|volume=6015 |language=en|location=Berlin, Heidelberg|publisher=Springer|pages=69–83|doi=10.1007/978-3-642-12002-2_6|isbn=978-3-642-12002-2|doi-access=free}}</ref> एक समुच्चय S को परेटो-फ्रंट P का 'ε-सन्निकटन' कहते हैं, यदि S और P के बीच हॉसडॉर्फ की निर्देशित दूरी अधिक से अधिक ε है। वे देखते हैं कि d आयामों में किसी भी पेरेटो फ्रंट P का ε-अनुमानन (1/ε) का उपयोग करके पाया जा सकता है।<sup>d</sup> प्रश्न।
+चूंकि सभी पारेटो फ्रंट को उत्पन्न करना प्रायः संगणनीय रूप से कठिन होता है, एक अनुमानित पारेटो-फ्रंट की गणना के लिए कलनविधियाँ होती हैं। उदाहरण के लिए, लेग्रियल एट अल।<ref>{{Cite journal|last1=Legriel|first1=Julien|last2=Le Guernic|first2=Colas|last3=Cotton|first3=Scott|last4=Maler|first4=Oded|date=2010|editor-last=Esparza|editor-first=Javier|editor2-last=Majumdar|editor2-first=Rupak|title=Approximating the Pareto Front of Multi-criteria Optimization Problems|journal=Tools and Algorithms for the Construction and Analysis of Systems|series=Lecture Notes in Computer Science|volume=6015 |language=en|location=Berlin, Heidelberg|publisher=Springer|pages=69–83|doi=10.1007/978-3-642-12002-2_6|isbn=978-3-642-12002-2|doi-access=free}}</ref> एक समुच्चय S को परेटो-फ्रंट P का 'ε-सन्निकटन' होता हैं, यदि S और P के बीच हॉसडॉर्फ की निर्देशित दूरी अधिक से अधिक ε है। तो d मानो में किसी भी पेरेटो फ्रंट P का ε-अनुमानन (1/ε)<sup>d</sup>  का उपयोग करके पाया जा सकता है।
-Zitzler, नोल्स और थिएले<ref>{{Citation|last1=Zitzler|first1=Eckart|title=Quality Assessment of Pareto Set Approximations|date=2008|url=https://doi.org/10.1007/978-3-540-88908-3_14|work=Multiobjective Optimization: Interactive and Evolutionary Approaches|pages=373–404|editor-last=Branke|editor-first=Jürgen|series=Lecture Notes in Computer Science|place=Berlin, Heidelberg|publisher=Springer|language=en|doi=10.1007/978-3-540-88908-3_14|isbn=978-3-540-88908-3|access-date=2021-10-08|last2=Knowles|first2=Joshua|last3=Thiele|first3=Lothar|editor2-last=Deb|editor2-first=Kalyanmoy|editor3-last=Miettinen|editor3-first=Kaisa|editor4-last=Słowiński|editor4-first=Roman}}</ref> विभिन्न मानदंडों पर पारेटो- समुच्चय सन्निकटन के लिए कई एल्गोरिदम की तुलना करें, जैसे स्केलिंग, मोनोटोनिसिटी और कम्प्यूटेशनल जटिलता के लिए व्युत्क्रम।
+जित्लर, नोल्स और थिएले<ref>{{Citation|last1=Zitzler|first1=Eckart|title=Quality Assessment of Pareto Set Approximations|date=2008|url=https://doi.org/10.1007/978-3-540-88908-3_14|work=Multiobjective Optimization: Interactive and Evolutionary Approaches|pages=373–404|editor-last=Branke|editor-first=Jürgen|series=Lecture Notes in Computer Science|place=Berlin, Heidelberg|publisher=Springer|language=en|doi=10.1007/978-3-540-88908-3_14|isbn=978-3-540-88908-3|access-date=2021-10-08|last2=Knowles|first2=Joshua|last3=Thiele|first3=Lothar|editor2-last=Deb|editor2-first=Kalyanmoy|editor3-last=Miettinen|editor3-first=Kaisa|editor4-last=Słowiński|editor4-first=Roman}}</ref> विभिन्न मानदंडों पर पारेटो- समुच्चय सन्निकटन के लिए कई कलनविधि की तुलना करते हैं जैसे मापन, एकरूपता और संगणनीय जटिलताए आदि।
 == संदर्भ ==
@@ Line 45: / Line 46: @@
 == बाहरी संबंध ==
 * Code to compute the Pareto front of a finite set of points in Julia: https://github.com/cossio/ParetoEfficiency.jl.
-[[Category: पॉवर इंजीनियरिंग]] [[Category: परेटो दक्षता]]
+[[Category:All articles with unsourced statements]]
+[[Category:Articles with unsourced statements from July 2020]]
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