प्ररोही विधि: Difference between revisions
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Latest revision as of 16:45, 8 September 2023
संख्यात्मक विश्लेषण में, शूटिंग विधि एक सीमा मूल्य समस्या को प्रारंभिक मूल्य समस्या में कम करके हल करने की एक विधि है। इसमें विभिन्न प्रारंभिक स्थितियों के लिए प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान खोज सम्मिलित है जब तक कि कोई ऐसा समाधान न मिल जाए जो सीमा मूल्य समस्या की सीमा नियमों को भी पूरा करता हो। समान्य आदमी के शब्दों में, कोई एक सीमा से अलग-अलग दिशाओं में प्रक्षेप पथ को तब तक "शूट" करता है जब तक कि उसे वह प्रक्षेप पथ नहीं मिल जाता जो दूसरी सीमा की स्थिति को "हिट" करता है।
गणितीय विवरण
मान लीजिए कोई सीमा-मूल्य समस्या को हल करना चाहता है
मान लीजिये प्रारंभिक-मूल्य समस्या को हल करें
यदि , तब सीमा-मूल्य समस्या का भी समाधान है।
शूटिंग विधि कई अलग-अलग मूल्यों के लिए प्रारंभिक मूल्य समस्या को हल करने की प्रक्रिया है जब तक कि कोई समाधान नहीं मिल जाता है जो वांछित सीमा नियमों को पूरा करता है। समान्यत: कोई ऐसा संख्यात्मक रूप से करता है। समाधान(s) की जड़(s) से मेल खाते हैं
की मूल और सीमा मूल्य समस्या के समाधान समतुल्य हैं। यदि , का मूल है, तो सीमा मान समस्या का समाधान है। इसके विपरीत, यदि सीमा मान समस्या का समाधान है, तो यह प्रारंभिक मान समस्या का अद्वितीय समाधान भी है जहां है, इसलिए का मूल है।
व्युत्पत्ति और अंतर्ज्ञान
शूटिंग पद्धति शब्द की उत्पत्ति अर्तिल्लेरी से हुई है। शूटिंग विधि के लिए एक सादृश्य है
- स्थान पर एक अवस्था रखें , तब
- बदलाव के कोण को अलग-अलग करें
- तोप को तब तक दागें जब तक वह सीमा मान तक न पहुंच जाए।
प्रत्येक शॉट के बीच, तोप की दिशा को पिछले शॉट के आधार पर समायोजित किया जाता है, इसलिए प्रत्येक शॉट पिछले शॉट की तुलना में अधिक समीप लगता है। वांछित सीमा मान तक पहुंचने वाला प्रक्षेपवक्र सीमा मान समस्या का समाधान है - इसलिए इसे शूटिंग विधि नाम दिया गया है।
रेखीय शूटिंग विधि
यदि f का रूप है तो सीमा मान समस्या रैखिक है
उदाहरण
मानक सीमा मान समस्या
स्टोअर और बुलिर्श[2] (धारा 7.3.1) द्वारा एक सीमा मूल्य समस्या इस प्रकार दी गई है।
स्टोअर और बुलिर्श[2] बताएं कि दो समाधान हैं, जिसे बीजगणितीय विधियों से पाया जा सकता है।
ये प्रारंभिक स्थितियों w′(0) = −8 और w′(0) = −35.9 (लगभग) के अनुरूप हैं।
आइगेनवेल्यू समस्या
शूटिंग पद्धति का उपयोग आइजेनवैल्यू समस्याओं को हल करने के लिए भी किया जा सकता है। क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण पर विचार करें
- यदि एक ईजेनफंक्शन है, तो यह किसी भी गैर-शून्य स्थिरांक के लिए यह है।
- n-वीं उत्तेजित अवस्था की मूल n हैं जहां है।
- सम n के लिए, n-वीं उत्तेजित अवस्था मूल बिंदु पर सममित और शून्येतर है।
- विषम n के लिए, n-वीं उत्तेजित अवस्था एंटीसिमेट्रिक है और इस प्रकार मूल पर शून्य है।
n-वें उत्तेजित अवस्था और उसकी ऊर्जा को खोजने के लिए, शूटिंग विधि यह है:
- कुछ ऊर्जा का अनुमान लगाएं .
- श्रोडिंगर समीकरण को एकीकृत करें। उदाहरण के लिए, केंद्रीय परिमित अंतर विधि का उपयोग करें
- यदि n सम है, तो को किसी इच्छित संख्या पर स्थित करें (मान लें कि - तरंगक्रिया को वैसे भी एकीकरण के बाद सामान्य किया जा सकता है) और सममित गुण का उपयोग करें शेष सभी खोजें।
- यदि n विषम है, तो को कुछ इच्छित संख्या पर स्थित करें (जैसे कि - वैसे भी एकीकरण के बाद तरंग फ़ंक्शन को सामान्य किया जा सकता है) और शेष सभी खोजे
- की मूल को गिनें और ऊर्जा के अनुमान को परिष्कृत करें।
- यदि n या उससे कम मूल हैं, तो अनुमानित ऊर्जा बहुत कम है, इसलिए इसे बढ़ाएं और प्रक्रिया को दोहराएं।
- यदि n से अधिक मूल हैं, तो अनुमानित ऊर्जा बहुत अधिक है, इसलिए इसे कम करें और प्रक्रिया को दोहराएं।
ऊर्जा-अनुमान द्विभाजन विधि से किया जा सकता है, और जब ऊर्जा अंतर पर्याप्त रूप से छोटा हो तो प्रक्रिया को समाप्त किया जा सकता है। तब कोई अंतराल में किसी भी ऊर्जा को सही ऊर्जा मान सकता है।
यह भी देखें
टिप्पणियाँ
- ↑ Mathews, John H.; Fink, Kurtis K. (2004). "9.8 Boundary Value Problems". MATLAB का उपयोग करके संख्यात्मक विधियाँ (PDF) (4th ed.). Upper Saddle River, N.J.: Pearson. ISBN 0-13-065248-2. Archived from the original (PDF) on 9 December 2006.
- ↑ 2.0 2.1 Stoer, J. and Bulirsch, R. Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980.
संदर्भ
- Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Section 18.1. The Shooting Method". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
बाहरी संबंध
- Brief Description of ODEPACK (at Netlib; contains LSODE)
- Shooting method of solving boundary value problems – Notes, PPT, Maple, Mathcad, Matlab, Mathematica at Holistic Numerical Methods Institute [1]