होलोनोमिक आधार

गणित और गणितीय भौतिकी में, अलग-अलग गुणनफल के लिए एक समन्वय आधार या होलोनोमिक आधार M आधार (रैखिक बीजगणित) सदिश क्षेत्र {e₁, ..., e_n} का एक सम्मुच्चय बहुविध के एक क्षेत्र के प्रत्येक बिंदु P पर परिभाषित किया गया है

$\mathbf {e} _{\alpha }=\lim _{\delta x^{\alpha }\to 0}{\frac {\delta \mathbf {s} }{\delta x^{\alpha }}},$

जहां δs बिंदु P और निकटवर्ती बिंदु Q के बीच विस्थापन सदिश है जिसका P से समन्वय पृथक्करण समन्वय वक्र x^α के अनुदिश δx^α है (अर्थात बहुविध पर वक्र P जिसके लिए स्थानीय समन्वय प्रणाली x^α बदलता रहता है और अन्य सभी निर्देशांक स्थिर रहते हैं)।

ऐसे आधार और दिशात्मक व्युत्पन्न संचालक के बीच संबंध बनाना संभव है। स्पर्शरेखा सदिश u = u^αe_α के साथ x^α(λ) द्वारा परिभाषित मैनिफोल्ड पर एक पैरामीटरयुक्त वक्र C को देखते हुए, जहां u^α = dx^α/dλ, और C के प्रतिवैस में परिभाषित एक फलन f(x^α) है, C के साथ f की भिन्नता लिखी जा सकती है जैसे

${\frac {df}{d\lambda }}={\frac {dx^{\alpha }}{d\lambda }}{\frac {\partial f}{\partial x^{\alpha }}}=u^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}f.$

चूंकि हमारे पास u = u^αe_α है, पहचान अक्सर e_α और आंशिक व्युत्पन्न संचालक ∂/∂x^α समन्वय आधार सदिश के बीच सदिश की व्याख्या के अंतर्गत कार्यों पर कार्य करने वाले संचालक के रूप में की जाती है।

{e₁, ..., e_n} आधार के लिए एक स्थानीय परिस्थिति होलोनोमिक होने का अर्थ यह है कि सभी पारस्परिक लाइ व्युत्पन्न विलुप्त हो जाते हैं:

$\left[\mathbf {e} _{\alpha },\mathbf {e} _{\beta }\right]={\mathcal {L}}_{\mathbf {e} _{\alpha }}\mathbf {e} _{\beta }=0.$

एक आधार जो होलोनोमिक नहीं है उसे एनहोलोनोमिक गैर-होलोनोमिक या गैर-समन्वय आधार कहा जाता है।

मैनिफोल्ड m पर एक मापीय प्रदिश g को देखते हुए, सामान्यतः एक समन्वय आधार ढूंढना संभव नहीं है जो m के किसी भी खुले क्षेत्र u में लम्बवत होता है। एक स्पष्ट अपवाद तब होता है जब m वास्तविक समन्वय स्थान Rⁿ को मैनिफोल्ड के रूप में माना जाता है जिसमें g हर बिंदु पर यूक्लिडियन मापीय δ_ijeⁱ ⊗ e^j होता है।

यह भी देखें

• जेट बंडल
• टेट्राड औपचारिकता
• कुंची कलन