ऑर्डर एम्बेडिंग: Difference between revisions

Latest revision as of 16:31, 12 September 2023

श्रेणी सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, श्रेणी एम्बेडिंग एक विशेष प्रकार का मोनोटोन फलन है, जो एक आंशिक रूप से श्रेणी किए गए समूह को दूसरे में सम्मिलित करने का एक प्रणाली प्रदान करता है। गैलोइस कनेक्शन की तरह, श्रेणी एम्बेडिंग एक ऐसी धारणा का निर्माण करती है जो श्रेणी समरूपता की अवधारणा से सख्ती से कमजोर है। इन दोनों कमजोरियों को श्रेणी सिद्धांत के संदर्भ में समझा जा सकता है।

औपचारिक परिभाषा

औपचारिक रूप से, दो आंशिक रूप से श्रेणी किए गए समूह (पोसेट) $(S,\leq )$ और $(T,\preceq )$ दिए गए हैं, एक फलन (गणित) $f:S\to T$ एक श्रेणी एम्बेडिंग है यदि $f$ श्रेणी-संरक्षण और श्रेणी-प्रतिबिंबित दोनों है, अर्थात् $S$ में सभी $x$ और $y$ के लिए, एक है

x\leq y{\text{ if and only if }}f(x)\preceq f(y).

^[1]

ऐसा फलन आवश्यक रूप से इंजेक्टिव है, क्योंकि $f(x)=f(y)$ का तात्पर्य $x\leq y$ और $y\leq x$ है।^[1] यदि दो पोजेट्स $S$ और $T$ के बीच एम्बेडिंग श्रेणी उपस्थित है, तो कोई कहता है कि $S$ को $T$ में एम्बेड किया जा सकता है।

गुण

दोनों दिशाओं में

f(x)=(94x+3)/100

का उपयोग करके

(0,1)

और

[0,1]

का पारस्परिक क्रम एम्बेडिंग।

सेट

S

6 के भाजक का, आंशिक रूप से x द्वारा क्रमित, y को विभाजित करता है। एम्बेडिंग

id:\{1,2,3\}\to S

कोरट्रैक्शन नहीं हो सकता है।

एक श्रेणी समरूपता को एक विशेषण श्रेणी एम्बेडिंग के रूप में वर्णित किया जा सकता है। परिणामस्वरूप, f एम्बेड करने वाला कोई भी श्रेणी किसी फलन S के डोमेन और उसकी छवि (गणित) f(S) के बीच एक समरूपता को प्रतिबंधित करता है, जो एम्बेडिंग शब्द को उचित बताता है।^[1] दूसरी ओर, यह अच्छी तरह से हो सकता है कि दो (आवश्यक रूप से अनंत) पॉसेट श्रेणी-आइसोमोर्फिक हुए बिना एक-दूसरे में पारस्परिक रूप से श्रेणी-एम्बेडेबल हों।

वास्तविक संख्याएँ के खुले अंतराल $(0,1)$ और संबंधित बंद अंतराल $[0,1]$ द्वारा एक उदाहरण प्रदान किया जाता है। फ़ंक्शन $f(x)=(94x+3)/100$ पहले को दूसरे के उपसमुच्चय $(0.03,0.97)$ में और बाद वाले को पहले के सबसेट $[0.03,0.97]$ में मैप करता है, चित्र देखें। दोनों सेटों को प्राकृतिक तरीके से ऑर्डर करने पर, एफ ऑर्डर-संरक्षण और ऑर्डर-प्रतिबिंबित (क्योंकि यह एक एफ़िन फ़ंक्शन है) दोनों है। फिर भी, दोनों पदों के बीच कोई समरूपता मौजूद नहीं हो सकती, उदाहरण के लिए $[0,1]$ में न्यूनतम तत्व है जबकि $(0,1)$ में नहीं है। एक अंतराल में वास्तविक संख्याओं को ऑर्डर-एम्बेड करने के लिए आर्कटान का उपयोग करने वाले समान उदाहरण के लिए, और विपरीत दिशा के लिए पहचान माप देखें, उदाहरण के लिए जस्ट एंड वीज़ (1996) देखें।^[2]

रिट्रेक्ट ऑर्डर-संरक्षण मापों की एक जोड़ी $(f,g)$ है जिसकी कार्य संरचना $g\circ f$ पहचान है। इस स्थिति में, $f$ को कोरट्रैक्शन कहा जाता है, और यह एक श्रेणी एम्बेडिंग होना चाहिए।^[3] चूँकि, प्रत्येक श्रेणी एम्बेडिंग एक कोरट्रैक्शन नहीं है। एक तुच्छ उदाहरण के रूप में, खाली पोसेट से गैर-रिक्त पोसेट में $f:\emptyset \to \{1\}$ को एम्बेड करने वाले अद्वितीय ऑर्डर में कोई वापसी नहीं है, क्योंकि कोई श्रेणी-संरक्षण माप $g:\{1\}\to \emptyset$ नहीं है। अधिक स्पष्ट रूप से, समूह पर विचार करें 6 के विभाजक के समूह $S$ पर विचार करें, जो आंशिक रूप से x द्वारा y को विभाजित करके क्रमबद्ध हैं, चित्र देखें। एम्बेडेड उप-पोज़िट $\{1,2,3\}$ पर विचार करें। एम्बेडिंग $id:\{1,2,3\}\to S$ को वापस लेने के लिए $2$ और $3$ दोनों के ऊपर $\{1,2,3\}$ में कहीं $6$ भेजने की आवश्यकता होगी, किन्तु ऐसा कोई स्थान नहीं है।

अतिरिक्त परिप्रेक्ष्य

पोसेट्स को सामान्यतः कई दृष्टिकोणों से देखा जा सकता है, और श्रेणी एम्बेडिंग इतनी मूलभूत हैं कि वे प्रत्येक स्थान से दिखाई देते हैं। उदाहरण के लिए:

(मॉडल सिद्धांत) एक पोसेट एक समूह है जो (रिफ्लेक्सिव, एंटीसिमेट्रिक और ट्रांजिटिव) बाइनरी संबंध से लैस है। A → B को एम्बेड करने वाला श्रेणी A से B की प्राथमिक उपसंरचना में एक समरूपता है।
(ग्राफ़ सिद्धांत) एक पोसेट एक (सकर्मक, चक्रीय, निर्देशित, प्रतिवर्ती) ग्राफ़ (असतत गणित) है। A → B को एम्बेड करने वाला एक श्रेणी A से B के एक प्रेरित सबग्राफ के लिए एक ग्राफ समरूपता है।
(श्रेणी सिद्धांत) एक पोसेट एक (छोटी, पतली और कंकाल) श्रेणी (गणित) है जैसे कि प्रत्येक होम-सेट में अधिकतम एक तत्व होता है। A → B को एम्बेड करने वाला एक श्रेणी A से B तक एक पूर्ण और विश्वसनीय फ़ैक्टर है जो वस्तुओं पर इंजेक्टिव है, या समकक्ष A से B की पूर्ण उपश्रेणी में एक आइसोमोर्फिज्म है।

यह भी देखें

दुशनिक-मिलर प्रमेय
लेवर का प्रमेय

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Davey, B. A.; Priestley, H. A. (2002), "Maps between ordered sets", Introduction to Lattices and Order (2nd ed.), New York: Cambridge University Press, pp. 23–24, ISBN 0-521-78451-4, MR 1902334.
↑ Just, Winfried; Weese, Martin (1996), Discovering Modern Set Theory: The basics, Fields Institute Monographs, vol. 8, American Mathematical Society, p. 21, ISBN 9780821872475
↑ Duffus, Dwight; Laflamme, Claude; Pouzet, Maurice (2008), "Retracts of posets: the chain-gap property and the selection property are independent", Algebra Universalis, 59 (1–2): 243–255, arXiv:math/0612458, doi:10.1007/s00012-008-2125-6, MR 2453498, S2CID 14259820.

[dp02-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Davey, B. A.; Priestley, H. A. (2002), "Maps between ordered sets", Introduction to Lattices and Order (2nd ed.), New York: Cambridge University Press, pp. 23–24, ISBN 0-521-78451-4, MR 1902334.

[2] Just, Winfried; Weese, Martin (1996), Discovering Modern Set Theory: The basics, Fields Institute Monographs, vol. 8, American Mathematical Society, p. 21, ISBN 9780821872475

[3] Duffus, Dwight; Laflamme, Claude; Pouzet, Maurice (2008), "Retracts of posets: the chain-gap property and the selection property are independent", Algebra Universalis, 59 (1–2): 243–255, arXiv:math/0612458, doi:10.1007/s00012-008-2125-6, MR 2453498, S2CID 14259820.

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-श्रेणी सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, श्रेणी एम्बेडिंग एक विशेष प्रकार का [[मोनोटोन फ़ंक्शन|मोनोटोन फलन]] है, जो एक आंशिक रूप से श्रेणी किए गए सेट को दूसरे में सम्मिलित करने का एक प्रणाली प्रदान करता है। [[गैलोइस कनेक्शन]] की तरह, श्रेणी एम्बेडिंग एक ऐसी धारणा का निर्माण करती है जो [[ आदेश समरूपता | श्रेणी समरूपता]] की अवधारणा से सख्ती से कमजोर है। इन दोनों कमजोरियों को [[श्रेणी सिद्धांत]] के संदर्भ में समझा जा सकता है।
+श्रेणी सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, श्रेणी एम्बेडिंग एक विशेष प्रकार का [[मोनोटोन फ़ंक्शन|मोनोटोन फलन]] है, जो एक आंशिक रूप से श्रेणी किए गए समूह को दूसरे में सम्मिलित करने का एक प्रणाली प्रदान करता है। [[गैलोइस कनेक्शन]] की तरह, श्रेणी एम्बेडिंग एक ऐसी धारणा का निर्माण करती है जो [[ आदेश समरूपता |श्रेणी समरूपता]] की अवधारणा से सख्ती से कमजोर है। इन दोनों कमजोरियों को [[श्रेणी सिद्धांत]] के संदर्भ में समझा जा सकता है।
 == औपचारिक परिभाषा ==
-औपचारिक रूप से, दो आंशिक रूप से श्रेणी किए गए सेट (पोसेट) <math>(S, \leq)</math> और <math>(T, \preceq)</math> दिए गए हैं, एक [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन (गणित)]] <math>f: S \to T</math> एक श्रेणी एम्बेडिंग है यदि <math>f</math> [[आदेश-संरक्षण|श्रेणी-संरक्षण]] और [[आदेश-प्रतिबिंबित|श्रेणी-प्रतिबिंबित]] दोनों है, अर्थात् <math>S</math> में सभी <math>x</math> और <math>y</math> के लिए, एक है
+औपचारिक रूप से, दो आंशिक रूप से श्रेणी किए गए समूह (पोसेट) <math>(S, \leq)</math> और <math>(T, \preceq)</math> दिए गए हैं, एक [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन (गणित)]] <math>f: S \to T</math> एक श्रेणी एम्बेडिंग है यदि <math>f</math> [[आदेश-संरक्षण|श्रेणी-संरक्षण]] और [[आदेश-प्रतिबिंबित|श्रेणी-प्रतिबिंबित]] दोनों है, अर्थात् <math>S</math> में सभी <math>x</math> और <math>y</math> के लिए, एक है
 : <math>x\leq y \text{ if and only if } f(x)\preceq f(y).</math><ref name="dp02">{{citation
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   | year = 2002}}.</ref>
-ऐसा फलन आवश्यक रूप से [[ इंजेक्शन | इंजेक्टिव]] है, क्योंकि <math>f(x) = f(y)</math> का तात्पर्य <math>x \leq y</math> और <math>y \leq x</math> है।<ref name="dp02"/> यदि दो पोजेट्स <math>S</math> और <math>T</math> के बीच एम्बेडिंग श्रेणी उपस्थित है, तो कोई कहता है कि <math>S</math> को <math>T</math> में एम्बेड किया जा सकता है।
+ऐसा फलन आवश्यक रूप से [[ इंजेक्शन |इंजेक्टिव]] है, क्योंकि <math>f(x) = f(y)</math> का तात्पर्य <math>x \leq y</math> और <math>y \leq x</math> है।<ref name="dp02"/> यदि दो पोजेट्स <math>S</math> और <math>T</math> के बीच एम्बेडिंग श्रेणी उपस्थित है, तो कोई कहता है कि <math>S</math> को <math>T</math> में एम्बेड किया जा सकता है।
 == गुण ==
-[[File:Mutual embedding of open and closed real unit interval svg.svg|thumb|300px|का पारस्परिक श्रेणी एम्बेडिंग <math>(0,1)</math> और <math>[0,1]</math>, का उपयोग करना <math>f(x) = (94x+3)/100</math> दोनों दिशाओं में.]]
+[[File:Mutual embedding of open and closed real unit interval svg.svg|thumb|300px|दोनों दिशाओं में <math>f(x) = (94x+3)/100</math> का उपयोग करके <math>(0,1)</math> और <math>[0,1]</math> का पारस्परिक क्रम एम्बेडिंग।]]
-[[File:Lattice T(6).svg|thumb|सेट <math>S</math> 6 के भाजक का, आंशिक रूप से x द्वारा क्रमित, y को विभाजित करता है। एम्बेडिंग <math>id: \{ 1,2,3 \} \to S</math> कोरट्रैक्शन नहीं हो सकता.]]एक श्रेणी समरूपता को एक [[विशेषण]] श्रेणी एम्बेडिंग के रूप में वर्णित किया जा सकता है। परिणामस्वरूप, ''f'' एम्बेड करने वाला कोई भी श्रेणी किसी फलन ''S'' के डोमेन और उसकी [[छवि (गणित)]] ''f(S)'' के बीच एक समरूपता को प्रतिबंधित करता है, जो एम्बेडिंग शब्द को उचित बताता है।<ref name="dp02"/> दूसरी ओर, यह अच्छी तरह से हो सकता है कि दो (आवश्यक रूप से अनंत) पॉसेट श्रेणी-आइसोमोर्फिक हुए बिना एक-दूसरे में पारस्परिक रूप से श्रेणी-एम्बेडेबल हों।
+[[File:Lattice T(6).svg|thumb|सेट <math>S</math> 6 के भाजक का, आंशिक रूप से x द्वारा क्रमित, y को विभाजित करता है। एम्बेडिंग <math>id: \{ 1,2,3 \} \to S</math> कोरट्रैक्शन नहीं हो सकता है।]]एक श्रेणी समरूपता को एक [[विशेषण]] श्रेणी एम्बेडिंग के रूप में वर्णित किया जा सकता है। परिणामस्वरूप, ''f'' एम्बेड करने वाला कोई भी श्रेणी किसी फलन ''S'' के डोमेन और उसकी [[छवि (गणित)]] ''f(S)'' के बीच एक समरूपता को प्रतिबंधित करता है, जो एम्बेडिंग शब्द को उचित बताता है।<ref name="dp02"/> दूसरी ओर, यह अच्छी तरह से हो सकता है कि दो (आवश्यक रूप से अनंत) पॉसेट श्रेणी-आइसोमोर्फिक हुए बिना एक-दूसरे में पारस्परिक रूप से श्रेणी-एम्बेडेबल हों।
-[[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याएँ]]  के खुले अंतराल <math>(0,1)</math> और संबंधित [[बंद अंतराल]] <math>[0,1]</math> द्वारा एक उदाहरण प्रदान किया जाता है। फ़ंक्शन <math>f(x) = (94x+3) / 100</math> पहले को दूसरे के उपसमुच्चय <math>(0.03,0.97)</math> में और बाद वाले को पहले के सबसेट <math>[0.03,0.97]</math> में मैप करता है, चित्र देखें। दोनों सेटों को प्राकृतिक तरीके से ऑर्डर करने पर, एफ ऑर्डर-संरक्षण और ऑर्डर-प्रतिबिंबित (क्योंकि यह एक एफ़िन फ़ंक्शन है) दोनों है।<!---Can't avoid this [[WP:EASTEREGG]], since [[affine function]] talks only about geometry, while [[linear function]] talks about functions ℝ→ℝ and mentions "affine" as a name for "linear"'s wider notion.---> फिर भी, दोनों पदों के बीच कोई समरूपता मौजूद नहीं हो सकती, उदाहरण के लिए <math>[0,1]</math> में न्यूनतम तत्व है जबकि <math>(0,1)</math> में नहीं है। एक अंतराल में वास्तविक संख्याओं को ऑर्डर-एम्बेड करने के लिए आर्कटान का उपयोग करने वाले समान उदाहरण के लिए, और विपरीत दिशा के लिए [[पहचान मानचित्र|पहचान माप]] देखें, उदाहरण के लिए जस्ट एंड वीज़ (1996) देखें।<ref>{{citation|title=Discovering Modern Set Theory: The basics|volume=8|series=Fields Institute Monographs|first1=Winfried|last1=Just|first2=Martin|last2=Weese|publisher=American Mathematical Society|year=1996|isbn=9780821872475|page=21|url=https://books.google.com/books?id=TPvHr7fcvHoC&pg=PA21}}</ref>
+[[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याएँ]] के खुले अंतराल <math>(0,1)</math> और संबंधित [[बंद अंतराल]] <math>[0,1]</math> द्वारा एक उदाहरण प्रदान किया जाता है। फ़ंक्शन <math>f(x) = (94x+3) / 100</math> पहले को दूसरे के उपसमुच्चय <math>(0.03,0.97)</math> में और बाद वाले को पहले के सबसेट <math>[0.03,0.97]</math> में मैप करता है, चित्र देखें। दोनों सेटों को प्राकृतिक तरीके से ऑर्डर करने पर, एफ ऑर्डर-संरक्षण और ऑर्डर-प्रतिबिंबित (क्योंकि यह एक एफ़िन फ़ंक्शन है) दोनों है। फिर भी, दोनों पदों के बीच कोई समरूपता मौजूद नहीं हो सकती, उदाहरण के लिए <math>[0,1]</math> में न्यूनतम तत्व है जबकि <math>(0,1)</math> में नहीं है। एक अंतराल में वास्तविक संख्याओं को ऑर्डर-एम्बेड करने के लिए आर्कटान का उपयोग करने वाले समान उदाहरण के लिए, और विपरीत दिशा के लिए [[पहचान मानचित्र|पहचान माप]] देखें, उदाहरण के लिए जस्ट एंड वीज़ (1996) देखें।<ref>{{citation|title=Discovering Modern Set Theory: The basics|volume=8|series=Fields Institute Monographs|first1=Winfried|last1=Just|first2=Martin|last2=Weese|publisher=American Mathematical Society|year=1996|isbn=9780821872475|page=21|url=https://books.google.com/books?id=TPvHr7fcvHoC&pg=PA21}}</ref>
 रिट्रेक्ट ऑर्डर-संरक्षण मापों की एक जोड़ी <math>(f,g)</math> है जिसकी [[कार्य संरचना]] <math>g \circ f</math> पहचान है। इस स्थिति में, <math>f</math> को कोरट्रैक्शन कहा जाता है, और यह एक श्रेणी एम्बेडिंग होना चाहिए।<ref>{{citation
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   | volume = 59
   | year = 2008| s2cid = 14259820
-  }}.</ref> चूँकि, प्रत्येक श्रेणी एम्बेडिंग एक कोरट्रैक्शन नहीं है। एक तुच्छ उदाहरण के रूप में, खाली पोसेट से गैर-रिक्त पोसेट में <math>f: \emptyset \to \{1\}</math> को एम्बेड करने वाले अद्वितीय ऑर्डर में कोई वापसी नहीं है, क्योंकि कोई श्रेणी-संरक्षण माप <math>g: \{1\} \to \emptyset</math> नहीं है। अधिक स्पष्ट रूप से, सेट पर विचार करें  6 के [[भाजक|विभाजक]] के सेट <math>S</math> पर विचार करें, जो आंशिक रूप से x द्वारा y को [[विभाजित]] करके क्रमबद्ध हैं, चित्र देखें। एम्बेडेड उप-पोज़िट <math>\{ 1,2,3 \}</math> पर विचार करें। एम्बेडिंग <math>id: \{ 1,2,3 \} \to S</math> को वापस लेने के लिए <math>2</math> और <math>3</math> दोनों के ऊपर <math>\{ 1,2,3 \}</math> में कहीं <math>6</math> भेजने की आवश्यकता होगी, किन्तु ऐसा कोई स्थान नहीं है।
+  }}.</ref> चूँकि, प्रत्येक श्रेणी एम्बेडिंग एक कोरट्रैक्शन नहीं है। एक तुच्छ उदाहरण के रूप में, खाली पोसेट से गैर-रिक्त पोसेट में <math>f: \emptyset \to \{1\}</math> को एम्बेड करने वाले अद्वितीय ऑर्डर में कोई वापसी नहीं है, क्योंकि कोई श्रेणी-संरक्षण माप <math>g: \{1\} \to \emptyset</math> नहीं है। अधिक स्पष्ट रूप से, समूह पर विचार करें 6 के [[भाजक|विभाजक]] के समूह <math>S</math> पर विचार करें, जो आंशिक रूप से x द्वारा y को [[विभाजित]] करके क्रमबद्ध हैं, चित्र देखें। एम्बेडेड उप-पोज़िट <math>\{ 1,2,3 \}</math> पर विचार करें। एम्बेडिंग <math>id: \{ 1,2,3 \} \to S</math> को वापस लेने के लिए <math>2</math> और <math>3</math> दोनों के ऊपर <math>\{ 1,2,3 \}</math> में कहीं <math>6</math> भेजने की आवश्यकता होगी, किन्तु ऐसा कोई स्थान नहीं है।
 == अतिरिक्त परिप्रेक्ष्य ==
-{{unreferenced section|date=October 2013}}
+पोसेट्स को सामान्यतः कई दृष्टिकोणों से देखा जा सकता है, और श्रेणी एम्बेडिंग इतनी मूलभूत हैं कि वे प्रत्येक स्थान से दिखाई देते हैं। उदाहरण के लिए:
-पोसेट्स को सीधे तौर पर कई दृष्टिकोणों से देखा जा सकता है, और श्रेणी एम्बेडिंग इतनी बुनियादी हैं कि वे हर जगह से दिखाई देते हैं। उदाहरण के लिए:
+* ([[मॉडल सिद्धांत]]) एक पोसेट एक समूह है जो (रिफ्लेक्सिव, एंटीसिमेट्रिक और ट्रांजिटिव) [[ द्विआधारी संबंध |बाइनरी संबंध]] से लैस है। A → B को एम्बेड करने वाला श्रेणी A से B की प्राथमिक उपसंरचना में एक समरूपता है।
-* ([[मॉडल सिद्धांत]]) एक पोसेट एक सेट है जो (रिफ्लेक्सिव, एंटीसिमेट्रिक और ट्रांजिटिव) [[ द्विआधारी संबंध ]] से लैस है। ए → बी को एम्बेड करने वाला श्रेणी ए से बी की प्राथमिक उपसंरचना में एक समरूपता है।
+* (ग्राफ़ सिद्धांत) एक पोसेट एक (सकर्मक, चक्रीय, निर्देशित, प्रतिवर्ती) ग्राफ़ (असतत गणित) है। A → B को एम्बेड करने वाला एक श्रेणी A से B के एक [[प्रेरित सबग्राफ]] के लिए एक [[ग्राफ समरूपता]] है।
-* (ग्राफ़ सिद्धांत) एक पोसेट एक (सकर्मक, चक्रीय, निर्देशित, प्रतिवर्ती) ग्राफ़ (असतत गणित) है। ए → बी को एम्बेड करने वाला एक श्रेणी ए से बी के एक [[प्रेरित सबग्राफ]] के लिए एक [[ग्राफ समरूपता]] है।
+* (श्रेणी सिद्धांत) एक पोसेट एक (छोटी, पतली और कंकाल) [[श्रेणी (गणित)]] है जैसे कि प्रत्येक [[होम-सेट]] में अधिकतम एक तत्व होता है। A → B को एम्बेड करने वाला एक श्रेणी A से B तक एक पूर्ण और विश्वसनीय [[ऑपरेटर|फ़ैक्टर]] है जो वस्तुओं पर इंजेक्टिव है, या समकक्ष A से B की [[पूर्ण उपश्रेणी]] में एक आइसोमोर्फिज्म है।
-* (श्रेणी सिद्धांत) एक पोसेट एक (छोटी, पतली और कंकाल) [[श्रेणी (गणित)]] है जैसे कि प्रत्येक [[होम-सेट]] में अधिकतम एक तत्व होता है। ए → बी को एम्बेड करने वाला एक श्रेणी ए से बी तक एक पूर्ण और वफादार [[ऑपरेटर]] है जो वस्तुओं पर इंजेक्शन है, या समकक्ष ए से बी की [[पूर्ण उपश्रेणी]] में एक आइसोमोर्फिज्म है।
 ==यह भी देखें==
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 {{Order theory}}
-[[Category: आदेश सिद्धांत]]
+[[Category:Collapse templates]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 01/07/2023]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Navigational boxes| ]]
+[[Category:Navigational boxes without horizontal lists]]
+[[Category:Pages with script errors]]
+[[Category:Sidebars with styles needing conversion]]
+[[Category:Template documentation pages|Documentation/doc]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready]]
+[[Category:Templates generating microformats]]
+[[Category:Templates that are not mobile friendly]]
+[[Category:Templates using TemplateData]]
+[[Category:Wikipedia metatemplates]]
+[[Category:आदेश सिद्धांत]]

v t e Order theory
Topics Glossary Category
Key concepts	Binary relation Boolean algebra Cyclic order Lattice Partial order Preorder Total order Weak ordering
Results	Boolean prime ideal theorem Cantor–Bernstein theorem Cantor's isomorphism theorem Dilworth's theorem Dushnik–Miller theorem Hausdorff maximal principle Knaster–Tarski theorem Kruskal's tree theorem Laver's theorem Mirsky's theorem Szpilrajn extension theorem Zorn's lemma
Properties & Types (list)	Antisymmetric Asymmetric Boolean algebra topics Completeness Connected Covering Dense Directed (Partial) Equivalence Foundational Heyting algebra Homogeneous Idempotent Lattice Bounded Complemented Complete Distributive Join and meet Reflexive Partial order Chain-complete Graded Eulerian Strict Prefix order Preorder Total Semilattice Semiorder Symmetric Total Tolerance Transitive Well-founded Well-quasi-ordering (Better) (Pre) Well-order
Constructions	Composition Converse/Transpose Lexicographic order Linear extension Product order Reflexive closure Series-parallel partial order Star product Symmetric closure Transitive closure
Topology & Orders	Alexandrov topology & Specialization preorder Ordered topological vector space Normal cone Order topology Order topology Topological vector lattice Banach Fréchet Locally convex Normed
Related	Antichain Cofinal Cofinality Comparability Graph Duality Filter Hasse diagram Ideal Net Subnet Order morphism Embedding Isomorphism Order type Ordered field Ordered vector space Partially ordered Positive cone Riesz space Upper set Young's lattice

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