लॉग-सामान्य वितरण

Log-normal

Probability density function Identical parameter $\mu$ but differing parameters $\sigma$
Cumulative distribution function $\mu =0$
Notation	$\operatorname {Lognormal} (\mu ,\,\sigma ^{2})$
Parameters	$\mu \in (-\infty ,+\infty )$, $\sigma >0$
Support	$x\in (0,+\infty )$
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प्रायिकता सिद्धांत में, एक लॉग-सामान्य (या लॉगनोर्मल) वितरण एक यादृच्छिक चर का निरंतर संभावना वितरण होता है जिसका लघुगणक सामान्य रूप से वितरित किया जाता है। इस प्रकार, यदि यादृच्छिक चर X लॉग-सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, तो Y = ln(X) का सामान्य वितरण होता है। समतुल्य रूप से, अगर Y का सामान्य वितरण है, तो Y, X = exp(Y) के घातीय फलन का लॉग-सामान्य वितरण है। एक यादृच्छिक चर जो लॉग-सामान्य रूप से वितरित होता है, केवल सकारात्मक वास्तविक मान लेता है। यह सटीक और अभियांत्रिकी विज्ञान, साथ ही चिकित्सा, अर्थशास्त्र और अन्य विषयों (जैसे, ऊर्जा, सांद्रता, लंबाई, वित्तीय साधनों की कीमतों और अन्य मैट्रिक्स) में माप के लिए एक सुविधाजनक और उपयोगी मॉडल है।

फ्रांसिस गैल्टन के बाद वितरण को कभी-कभी गैल्टन वितरण या गैल्टन के वितरण के रूप में जाना जाता है।लॉग-नॉर्मल वितरण को अन्य नामों से भी जोड़ा गया है, जैसे मैकएलिस्टर, जिब्राट का नियम और कॉब-डगलस।

एक लॉग-सामान्य प्रक्रिया कई स्वतंत्र यादृच्छिक चर के गुणात्मक उत्पाद का सांख्यिकीय स्वतंत्रता बोध है, जिनमें से प्रत्येक सकारात्मक है। यह लॉग डोमेन में केंद्रीय सीमा प्रमेय (कभी-कभी जिब्रत का नियम कहा जाता है) पर विचार करके उचित है। लॉग-नॉर्मल वितरण एक रैंडम वेरियेट X- के लिए अधिकतम एन्ट्रापी प्रायिकता वितरण है - जिसके लिए ln(X) का माध्य और विचरण निर्दिष्ट किया गया है।

परिभाषाएँ

पीढ़ी और पैरामीटर

जब $Z$ एक मानक सामान्य चर हों, और $\mu$ और $\sigma >0$ दो वास्तविक संख्याएँ हों। फिर, यादृच्छिक चर का वितरण

$X=e^{\mu +\sigma Z}$

पैरामीटर के साथ लॉग-नॉर्मल वितरण कहा जाता है $\mu$ और $\sigma$। ये चर के प्राकृतिक लघुगणक का अपेक्षित मान (या माध्य) और मानक विचलन हैं, न कि अपेक्षा और मानक विचलन $X$ अपने आप।

सामान्य और लॉग-सामान्य वितरण के बीच संबंध। अगर $Y=\mu +\sigma Z$ सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, तो $X\sim e^{Y}$ लॉग-सामान्य रूप से वितरित है।

लॉगरिदमिक या घातीय फलन के आधार पर ध्यान दिए बिना यह संबंध सत्य है: यदि $\log _{a}(X)$ सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, तो ऐसा है $\log _{b}(X)$ किन्हीं दो धनात्मक संख्याओं के लिए $a,b\neq 1$। इसी तरह अगर $e^{Y}$ लॉग-सामान्य रूप से वितरित है, तो ऐसा ही है $a^{Y}$, जहां $0<a\neq 1$।

वांछित माध्य के साथ वितरण का उत्पादन करने के लिए $\mu _{X}$ और विचरण $\sigma _{X}^{2}$, एक उपयोग करता है

$\mu =\ln \left({\frac {\mu _{X}^{2}}{\sqrt {\mu _{X}^{2}+\sigma _{X}^{2}}}}\right)$ और $\sigma ^{2}=\ln \left(1+{\frac {\sigma _{X}^{2}}{\mu _{X}^{2}}}\right).$

वैकल्पिक रूप से, गुणात्मक या ज्यामितीय पैरामीटर $\mu ^{*}=e^{\mu }$ और $\sigma ^{*}=e^{\sigma }$ इस्तेमाल किया जा सकता है। उनकी अधिक प्रत्यक्ष व्याख्या है: $\mu ^{*}$ वितरण की माध्यिका है, और $\sigma ^{*}$ स्कैटर अंतराल निर्धारित करने के लिए उपयोगी है।

संभाव्यता घनत्व समारोह

एक धनात्मक यादृच्छिक चर X लॉग-सामान्य रूप से वितरित है (अर्थात, $X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu _{x},\sigma _{x}^{2})$), यदि X का प्राकृतिक लघुगणक सामान्य रूप से माध्य के साथ वितरित किया जाता है $\mu$ और विचरण $\sigma ^{2}$:

$\ln(X)\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$

होने देना $\Phi$ और $\varphi$ N(0,1) बंटन का क्रमशः संचयी प्रायिकता बंटन फलन और प्रायिकता घनत्व फलन हो, तो हमारे पास वह है

${\begin{aligned}f_{X}(x)&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\Pr(X\leq x)={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\Pr(\ln X\leq \ln x)={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\Phi \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)\\[6pt]&=\varphi \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right){\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)=\varphi \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right){\frac {1}{\sigma x}}\\[6pt]&={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi \,}}}}\exp \left(-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right).\end{aligned}}$

संचयी वितरण समारोह

संचयी वितरण समारोह है

$F_{X}(x)=\Phi \left({\frac {(\ln x)-\mu }{\sigma }}\right)$

कहाँ $\Phi$ मानक सामान्य बंटन का संचयी बंटन फलन है (अर्थात्, N(0,1))।

इसे इस प्रकार भी व्यक्त किया जा सकता है:

${\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left(-{\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)$

जहां erfc पूरक त्रुटि फलन है।

बहुभिन्नरूपी लॉग-सामान्य

अगर ${\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }})$ एक बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण है, तो $Y_{i}=\exp(X_{i})$ एक बहुभिन्नरूपी लॉग-सामान्य वितरण है। एक्सपोनेंशियल को रैंडम वेक्टर पर एलीमेंटवाइज लागू किया जाता है ${\boldsymbol {X}}$. का मतलब ${\boldsymbol {Y}}$ है

$\operatorname {E} [{\boldsymbol {Y}}]_{i}=e^{\mu _{i}+{\frac {1}{2}}\Sigma _{ii}},$

और इसका सहप्रसरण मैट्रिक्स है

$\operatorname {Var} [{\boldsymbol {Y}}]_{ij}=e^{\mu _{i}+\mu _{j}+{\frac {1}{2}}(\Sigma _{ii}+\Sigma _{jj})}(e^{\Sigma _{ij}}-1).$

चूंकि बहुभिन्नरूपी लॉग-सामान्य वितरण का व्यापक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है, इसलिए इस प्रविष्टि का शेष भाग केवल एकविभाजित वितरण से संबंधित है।

विशेषता कार्य और क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य

लॉग-सामान्य वितरण के सभी क्षण मौजूद हैं और

$\operatorname {E} [X^{n}]=e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}$

इसे देकर प्राप्त किया जा सकता है $z={\tfrac {\ln(x)-(\mu +n\sigma ^{2})}{\sigma }}$ अभिन्न के भीतर। हालाँकि, लॉग-सामान्य वितरण इसके क्षणों से निर्धारित नहीं होता है। इसका तात्पर्य यह है कि शून्य के पड़ोस में इसका परिभाषित क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य नहीं हो सकता है। दरअसल, अपेक्षित मूल्य $\operatorname {E} [e^{tX}]$ तर्क के किसी सकारात्मक मूल्य के लिए परिभाषित नहीं है $t$, परिभाषित अभिन्न विचलन के बाद से।

विशेषता समारोह (संभावना सिद्धांत) $\operatorname {E} [e^{itX}]$ के वास्तविक मूल्यों के लिए परिभाषित किया गया है t, लेकिन के किसी जटिल मान के लिए परिभाषित नहीं है t जिसका एक नकारात्मक काल्पनिक हिस्सा है, और इसलिए विशेषता कार्य मूल में विश्लेषणात्मक कार्य नहीं है। नतीजतन, लॉग-सामान्य वितरण की विशेषता फ़ंक्शन को अनंत अभिसरण श्रृंखला के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। विशेष रूप से, इसकी टेलर औपचारिक श्रृंखला भिन्न होती है:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}$

हालाँकि, कई वैकल्पिक विचलन श्रृंखला अभ्यावेदन प्राप्त किए गए हैं। अभिलाक्षणिक फलन के लिए एक बंद रूप सूत्र $\varphi (t)$ साथ $t$ अभिसरण के क्षेत्र में ज्ञात नहीं है। एक अपेक्षाकृत सरल अनुमानित सूत्र बंद रूप में उपलब्ध है, और इसके द्वारा दिया गया है

$\varphi (t)\approx {\frac {\exp \left(-{\frac {W^{2}(-it\sigma ^{2}e^{\mu })+2W(-it\sigma ^{2}e^{\mu })}{2\sigma ^{2}}}\right)}{\sqrt {1+W(-it\sigma ^{2}e^{\mu })}}}$

कहाँ $W$ लैम्बर्ट डब्ल्यू समारोह है। यह सन्निकटन एक स्पर्शोन्मुख विधि के माध्यम से प्राप्त किया गया है, लेकिन यह अभिसरण के पूरे क्षेत्र में तेज रहता है $\varphi$.

गुण

एक। $y$ के साथ एक लॉग-सामान्य चर है $\mu =1,\sigma =0.5$. $p(\sin y>0)$ सामान्य चर में परिवर्तित करके गणना की जाती है $x=\ln y$, फिर द्वारा परिभाषित डोमेन पर इसके घनत्व को एकीकृत करना $\sin e^{x}>0$ (नीला क्षेत्र), रे-ट्रेसिंग की संख्यात्मक विधि का उपयोग करते हुए।ख और ग। समारोह का पीडीएफ और सीडीएफ $\sin y$ लॉग-नॉर्मल वेरिएबल की गणना भी इस तरह से की जा सकती है।

विभिन्न डोमेन में संभावना

किसी भी मनमाना डोमेन में लॉग-सामान्य वितरण की प्रायिकता सामग्री को पहले चर को सामान्य में बदलकर, फिर रे-ट्रेस विधि का उपयोग करके संख्यात्मक रूप से एकीकृत करके वांछित सटीकता की गणना की जा सकती है। (मैटलैब कोड)

=== एक लॉग-सामान्य चर === के कार्यों की संभावनाएँ चूंकि किसी भी डोमेन में लॉग-नॉर्मल की संभावना की गणना की जा सकती है, इसका मतलब है कि लॉग-नॉर्मल वैरिएबल के किसी भी फ़ंक्शन के सीडीएफ (और परिणामस्वरूप पीडीएफ और व्युत्क्रम सीडीएफ) की भी गणना की जा सकती है।(मैटलैब कोड)

ज्यामितीय या गुणात्मक क्षण

लॉग-सामान्य वितरण का ज्यामितीय या गुणक माध्य है $\operatorname {GM} [X]=e^{\mu }=\mu ^{*}$. यह माध्यिका के बराबर है। ज्यामितीय मानक विचलन है $\operatorname {GSD} [X]=e^{\sigma }=\sigma ^{*}$.

अंकगणितीय आँकड़ों के अनुरूप, एक ज्यामितीय विचरण को परिभाषित कर सकता है, $\operatorname {GVar} [X]=e^{\sigma ^{2}}$, और भिन्नता का एक ज्यामितीय गुणांक डेटा, $\operatorname {GCV} [X]=e^{\sigma }-1$, प्रस्तावित किया गया है। लॉग-सामान्य डेटा में गुणात्मक भिन्नता का वर्णन करने के लिए, इस शब्द का उद्देश्य भिन्नता के गुणांक के अनुरूप होना था, लेकिन जीसीवी की इस परिभाषा का अनुमान के रूप में कोई सैद्धांतिक आधार नहीं है $\operatorname {CV}$ स्वयं (भिन्नता का गुणांक भी देखें)।

ध्यान दें कि ज्यामितीय माध्य अंकगणितीय माध्य से छोटा होता है। यह एएम-जीएम असमानता के कारण है और लघुगणक के अवतल कार्य होने का परिणाम है। वास्तव में,

$\operatorname {E} [X]=e^{\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}=e^{\mu }\cdot {\sqrt {e^{\sigma ^{2}}}}=\operatorname {GM} [X]\cdot {\sqrt {\operatorname {GVar} [X]}}.$

वित्त में, शब्द $e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}$को कभी-कभी उत्तल सुधार के रूप में व्याख्या किया जाता है। स्टोचैस्टिक कैलकुलस के दृष्टिकोण से, यह ज्यामितीय ब्राउनियन गति के लिए इटो के लेम्मा के समान सुधार शब्द है।

अंकगणितीय क्षण

किसी भी वास्तविक या जटिल संख्या n के लिए, लॉग-सामान्य रूप से वितरित चर X का n-वें क्षण पल (गणित) द्वारा दिया गया है: $\operatorname {E} [X^{n}]=e^{n\mu +{\frac {1}{2}}n^{2}\sigma ^{2}}.$

विशेष रूप से, अंकगणितीय माध्य, अपेक्षित वर्ग, अंकगणितीय विचरण, और अंकगणितीय मानक विचलन एक लॉग-सामान्य रूप से वितरित चर X का क्रमशः द्वारा दिया जाता हैं:

${\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}},\\[4pt]\operatorname {E} [X^{2}]&=e^{2\mu +2\sigma ^{2}},\\[4pt]\operatorname {Var} [X]&=\operatorname {E} [X^{2}]-\operatorname {E} [X]^{2}=(\operatorname {E} [X])^{2}(e^{\sigma ^{2}}-1)=e^{2\mu +\sigma ^{2}}(e^{\sigma ^{2}}-1),\\[4pt]\operatorname {SD} [X]&={\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}=\operatorname {E} [X]{\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}}{\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}},\end{aligned}}$

भिन्नता का अंकगणितीय गुणांक $\operatorname {CV} [X]$ अनुपात है ${\tfrac {\operatorname {SD} [X]}{\operatorname {E} [X]}}$. लॉग-नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन के लिए यह समान है:

$\operatorname {CV} [X]={\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}.$

इस अनुमान को कभी-कभी ज्यामितीय सीवी (जीसीवी) के रूप में संदर्भित किया जाता है। इसके ज्यामितीय विचरण के उपयोग के कारण। अंकगणितीय मानक विचलन के विपरीत, भिन्नता का अंकगणितीय गुणांक अंकगणितीय माध्य से स्वतंत्र है।

अंकगणित माध्य और अंकगणितीय विचरण ज्ञात होने पर पैरामीटर μ और σ प्राप्त किए जा सकते हैं:

${\begin{aligned}\mu &=\ln \left({\frac {\operatorname {E} [X]^{2}}{\sqrt {\operatorname {E} [X^{2}]}}}\right)=\ln \left({\frac {\operatorname {E} [X]^{2}}{\sqrt {\operatorname {Var} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}}}}\right),\\[4pt]\sigma ^{2}&=\ln \left({\frac {\operatorname {E} [X^{2}]}{\operatorname {E} [X]^{2}}}\right)=\ln \left(1+{\frac {\operatorname {Var} [X]}{\operatorname {E} [X]^{2}}}\right).\end{aligned}}$

संभाव्यता वितरण विशिष्ट रूप से क्षणों द्वारा निर्धारित नहीं होता है E[Xⁿ] = e^{nμ + 1/2n2σ2} के n ≥ 1. लिए। अर्थात्, समान क्षणों के साथ अन्य वितरण मौजूद हैं।वास्तव में, वितरण का एक पूरा परिवार लॉग-सामान्य वितरण के समान क्षणों के साथ होता है।

मोड, माध्यिका, क्वांटाइल्स

विभिन्न तिरछापन के साथ दो लॉग-सामान्य वितरणों के माध्य, माध्यिका और मोड (सांख्यिकी) की तुलना।

मोड (सांख्यिकी) संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन का वैश्विक अधिकतम बिंदु है। विशेष रूप से, समीकरण को हल करके $(\ln f)'=0$, हमें वह मिलता है:

$\operatorname {Mode} [X]=e^{\mu -\sigma ^{2}}.$

लघुगणक परिवर्तन चर के बाद से $Y=\ln X$ का सामान्य वितरण है, और क्वांटाइल्स को मोनोटोनिक परिवर्तनों के तहत संरक्षित किया जाता है, क्वांटाइल्स $X$ हैं

$q_{X}(\alpha )=e^{\mu +\sigma q_{\Phi }(\alpha )}=\mu ^{*}(\sigma ^{*})^{q_{\Phi }(\alpha )},$

जहां $q_{\Phi }(\alpha )$ मानक सामान्य वितरण का परिमाण है।

विशेष रूप से, एक लॉग-सामान्य बंटन का माध्य इसके गुणक माध्य के बराबर होता है,

$\operatorname {Med} [X]=e^{\mu }=\mu ^{*}.$

आंशिक अपेक्षा

एक यादृच्छिक चर की आंशिक अपेक्षा $X$ एक दहलीज के संबंध में $k$ के रूप में परिभाषित किया गया है

$g(k)=\int _{k}^{\infty }xf_{X}(x\vert X>k)\,dx.$

वैकल्पिक रूप से, सशर्त अपेक्षा की परिभाषा का उपयोग करके, इसे इस रूप में लिखा जा सकता है $g(k)=\operatorname {E} [X\mid X>k]P(X>k)$. लॉग-नॉर्मल रैंडम वेरिएबल के लिए, आंशिक अपेक्षा इसके द्वारा दी जाती है:

$g(k)=\int _{k}^{\infty }xf_{X}(x\vert X>k)\,dx=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}}\,\Phi \!\left({\frac {\mu +\sigma ^{2}-\ln k}{\sigma }}\right)$

कहाँ $\Phi$ सामान्य संचयी बंटन फलन है। सूत्र की व्युत्पत्ति वार्ता पृष्ठ में दी गई है। आंशिक अपेक्षा सूत्र में बीमा और अर्थशास्त्र में अनुप्रयोग हैं, इसका उपयोग ब्लैक-स्कोल्स सूत्र के लिए आंशिक अंतर समीकरण को हल करने में किया जाता है।

सशर्त अपेक्षा

लॉग-सामान्य यादृच्छिक चर की सशर्त अपेक्षा $X$- दहलीज के संबंध में $k$—इसकी आंशिक अपेक्षा को उस सीमा में होने की संचयी संभावना से विभाजित किया जाता है:

${\begin{aligned}E[X\mid X<k]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi \left[{\frac {\ln(k)-\mu -\sigma ^{2}}{\sigma }}\right]}{\Phi \left[{\frac {\ln(k)-\mu }{\sigma }}\right]}}\\[8pt]E[X\mid X\geqslant k]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi \left[{\frac {\mu +\sigma ^{2}-\ln(k)}{\sigma }}\right]}{1-\Phi \left[{\frac {\ln(k)-\mu }{\sigma }}\right]}}\\[8pt]E[X\mid X\in [k_{1},k_{2}]]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi \left[{\frac {\ln(k_{2})-\mu -\sigma ^{2}}{\sigma }}\right]-\Phi \left[{\frac {\ln(k_{1})-\mu -\sigma ^{2}}{\sigma }}\right]}{\Phi \left[{\frac {\ln(k_{2})-\mu }{\sigma }}\right]-\Phi \left[{\frac {\ln(k_{1})-\mu }{\sigma }}\right]}}\end{aligned}}$

वैकल्पिक मानकीकरण

द्वारा लक्षण वर्णन के अलावा $\mu ,\sigma$ या $\mu ^{*},\sigma ^{*}$, लॉग-नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन को पैरामीटराइज़ करने के कई तरीके हैं। प्रोबऑन्टो, संभाव्यता वितरण के ज्ञान का आधार और सत्तामीमांसा ऐसे सात रूपों को सूचीबद्ध करता है:

लॉग-नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन के पैरामीटराइजेशन का ओवरव्यू।

• लॉगनॉर्मल 1(μ,σ) माध्य, μ और मानक विचलन, σ, दोनों के साथ लॉग-स्केल पर

  $P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\sigma }})={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]$

• लॉगनॉर्मल 2(μ,υ) माध्य, μ और प्रसरण के साथ, υ, दोनों लॉग-स्केल पर

  $P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {v}})={\frac {1}{x{\sqrt {v}}{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2v}}\right]$

• लॉगनॉर्मल 3(m,σ) मध्यिका के साथ, m, प्राकृतिक पैमाने पर और मानक विचलन, σ, लॉग-स्केल पर
• $P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {\sigma }})={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\sigma ^{2}}}\right]$
• लॉगनॉर्मल 4(m,सी वी) मंझला, m, और भिन्नता के गुणांक, सी वी, दोनों के साथ प्राकृतिक पैमाने पर

  $P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {cv}})={\frac {1}{x{\sqrt {\ln(cv^{2}+1)}}{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\ln(cv^{2}+1)}}\right]$

• लॉगनॉर्मल 5(μ,τ) माध्य, μ और सटीक, τ, दोनों के साथ लॉग-स्केल पर

  $P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\tau }})={\sqrt {\frac {\tau }{2\pi }}}{\frac {1}{x}}\exp \left[-{\frac {\tau }{2}}(\ln x-\mu )^{2}\right]$

• लॉगनॉर्मल 6 (एम, पी_g) माध्यिका, मी और ज्यामितीय मानक विचलन, σ के साथ_g, दोनों प्राकृतिक पैमाने पर

  $P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {\sigma _{g}}})={\frac {1}{x\ln(\sigma _{g}){\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\ln ^{2}(\sigma _{g})}}\right]$

• लॉगनॉर्मल7(μ_N, पी_N) माध्य के साथ, μ_N, और मानक विचलन, σ_N, दोनों प्राकृतिक पैमाने पर

  $P(x;{\boldsymbol {\mu _{N}}},{\boldsymbol {\sigma _{N}}})={\frac {1}{x{\sqrt {2\pi \ln \left(1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}\right)}}}}\exp \left(-{\frac {{\Big [}\ln x-\ln {\frac {\mu _{N}}{\sqrt {1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}}}}{\Big ]}^{2}}{2\ln(1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2})}}\right)$

पुन: पैरामीटरकरण के उदाहरण

उस स्थिति पर विचार करें जब कोई दो अलग-अलग इष्टतम डिज़ाइन टूल का उपयोग करके एक मॉडल चलाना चाहेगा, उदाहरण के लिए पीएफआईएम और पॉपपेड। पूर्व क्रमशः एलएन2, बाद वाले एलएन7 पैरामीटराइजेशन का समर्थन करता है। इसलिए, पुन: पैरामीटरकरण की आवश्यकता है, अन्यथा दो उपकरण अलग-अलग परिणाम देंगे।

संक्रमण के लिए $\operatorname {LN2} (\mu ,v)\to \operatorname {LN7} (\mu _{N},\sigma _{N})$ निम्नलिखित सूत्र धारण करते हैं ${\textstyle \mu _{N}=\exp(\mu +v/2)}$ और ${\textstyle \sigma _{N}=\exp(\mu +v/2){\sqrt {\exp(v)-1}}}$.

संक्रमण के लिए $\operatorname {LN7} (\mu _{N},\sigma _{N})\to \operatorname {LN2} (\mu ,v)$ निम्नलिखित सूत्र धारण करते हैं ${\textstyle \mu =\ln \left(\mu _{N}/{\sqrt {1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}}}\right)}$ और ${\textstyle v=\ln(1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2})}$.

शेष सभी पुनः-पैरामीटरीकरण सूत्र परियोजना की वेबसाइट पर विनिर्देश प्रलेख में पाए जा सकते हैं।

एकाधिक, पारस्परिक, शक्ति

• एक स्थिरांक से गुणा: यदि $X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})$ तब $aX\sim \operatorname {Lognormal} (\mu +\ln a,\ \sigma ^{2})$ के लिए $a>0.$
• व्युत्क्रम: यदि $X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})$ तब ${\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Lognormal} (-\mu ,\ \sigma ^{2}).$
• शक्ति: यदि $X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})$ तब $X^{a}\sim \operatorname {Lognormal} (a\mu ,\ a^{2}\sigma ^{2})$ के लिए $a\neq 0.$

स्वतंत्र, लॉग-सामान्य यादृच्छिक चर का गुणन और विभाजन

यदि दो स्वतंत्र, लॉग-सामान्य चर $X_{1}$ और $X_{2}$ गुणा [विभाजित] हैं, उत्पाद [अनुपात] फिर से लॉग-सामान्य है, मापदंडों के साथ $\mu =\mu _{1}+\mu _{2}$ [$\mu =\mu _{1}-\mu _{2}$] और $\sigma$, जहां $\sigma ^{2}=\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}$. यह आसानी से के उत्पाद के लिए सामान्यीकृत है $n$ ऐसे चर।

अधिक सामान्यतः, यदि $X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} (\mu _{j},\sigma _{j}^{2})$ हैं $n$ स्वतंत्र, लॉग-सामान्य रूप से वितरित चर, फिर $Y=\textstyle \prod _{j=1}^{n}X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} {\Big (}\textstyle \sum _{j=1}^{n}\mu _{j},\ \sum _{j=1}^{n}\sigma _{j}^{2}{\Big )}.$

गुणक केंद्रीय सीमा प्रमेय

See also: जिब्रात का नियम

का ज्यामितीय या गुणक माध्य $n$ स्वतंत्र, समान रूप से वितरित, सकारात्मक यादृच्छिक चर $X_{i}$ दिखाता है, के लिए $n\to \infty$ मापदंडों के साथ लगभग एक लॉग-सामान्य वितरण $\mu =E[\ln(X_{i})]$ और $\sigma ^{2}={\mbox{var}}[\ln(X_{i})]/n$, मानते हुए $\sigma ^{2}$ परिमित है।

वास्तव में, यादृच्छिक चरों को समान रूप से वितरित करने की आवश्यकता नहीं है। के वितरण के लिए पर्याप्त है $\ln(X_{i})$ सभी के पास सीमित भिन्नता है और केंद्रीय सीमा प्रमेय के कई रूपों में से किसी की अन्य शर्तों को पूरा करते हैं।

इसे आमतौर पर जिब्रात के नियम के रूप में जाना जाता है।

अन्य

लॉग-सामान्य वितरण से उत्पन्न होने वाले डेटा के एक सेट में एक सममित लॉरेंज वक्र होता है (लॉरेंज विषमता गुणांक भी देखें)। हार्मोनिक $H$, ज्यामितीय $G$ और अंकगणित $A$ इस वितरण के साधन संबंधित हैं; ऐसा संबंध द्वारा दिया गया है

$H={\frac {G^{2}}{A}}.$

लॉग-सामान्य वितरण अनंत विभाज्यता (संभावना) हैं,लेकिन वे स्थिर वितरण नहीं हैं, जिनसे आसानी से निकाला जा सकता है।

संबंधित वितरण

• अगर $X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ एक सामान्य वितरण है, तो $\exp(X)\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2}).$
• अगर $X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})$ लॉग-सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, तब $\ln(X)\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ एक सामान्य यादृच्छिक चर है।
• होने देना $X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} (\mu _{j},\sigma _{j}^{2})$ संभवतः भिन्न होने के साथ स्वतंत्र लॉग-सामान्य रूप से वितरित चर $\sigma$ और $\mu$ पैरामीटर, और ${\textstyle Y=\sum _{j=1}^{n}X_{j}}$. का वितरण $Y$ की कोई बंद-रूप अभिव्यक्ति नहीं है, लेकिन एक अन्य लॉग-सामान्य वितरण द्वारा यथोचित अनुमान लगाया जा सकता है $Z$ दाहिनी पूंछ पर। 0 के पड़ोस में इसकी संभाव्यता घनत्व कार्य की विशेषता है और यह किसी लॉग-सामान्य वितरण के समान नहीं है। एल.एफ. फेंटन के कारण आमतौर पर इस्तेमाल किया जाने वाला सन्निकटन (लेकिन पहले आर.आई. विल्किंसन द्वारा कहा गया था और मार्लो द्वारा गणितीय औचित्य) एक अन्य लॉग-सामान्य वितरण के माध्य और विचरण से मेल करके प्राप्त किया जाता है:
  $${\begin{aligned}\sigma _{Z}^{2}&=\ln \!\left[{\frac {\sum e^{2\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}}(e^{\sigma _{j}^{2}}-1)}{(\sum e^{\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}/2})^{2}}}+1\right],\\\mu _{Z}&=\ln \!\left[\sum e^{\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}/2}\right]-{\frac {\sigma _{Z}^{2}}{2}}.\end{aligned}}$$
  मामले में यह सब $X_{j}$ एक ही विचरण पैरामीटर है $\sigma _{j}=\sigma$, ये सूत्र सरल करते हैं
  $${\begin{aligned}\sigma _{Z}^{2}&=\ln \!\left[(e^{\sigma ^{2}}-1){\frac {\sum e^{2\mu _{j}}}{(\sum e^{\mu _{j}})^{2}}}+1\right],\\\mu _{Z}&=\ln \!\left[\sum e^{\mu _{j}}\right]+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}-{\frac {\sigma _{Z}^{2}}{2}}.\end{aligned}}$$

अधिक सटीक सन्निकटन के लिए, संचयी वितरण समारोह, पीडीएफ और सही पूंछ का अनुमान लगाने के लिए मोंटे कार्लो विधि का उपयोग कर सकते हैं। सहसंबद्ध लॉग-सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का योग भी लॉग-सामान्य वितरण द्वारा अनुमानित किया जा सकता हैं।

$${\begin{aligned}S_{+}&=\operatorname {E} \left[\sum _{i}X_{i}\right]=\sum _{i}\operatorname {E} [X_{i}]=\sum _{i}e^{\mu _{i}+\sigma _{i}^{2}/2}\\\sigma _{Z}^{2}&=1/S_{+}^{2}\,\sum _{i,j}\operatorname {cor} _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}\operatorname {E} [X_{i}]\operatorname {E} [X_{j}]=1/S_{+}^{2}\,\sum _{i,j}\operatorname {cor} _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}e^{\mu _{i}+\sigma _{i}^{2}/2}e^{\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}/2}\\\mu _{Z}&=\ln \left(S_{+}\right)-\sigma _{Z}^{2}/2\end{aligned}}$$

• अगर $X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})$ तब $X+c$ कहा जाता है कि समर्थन के साथ तीन-पैरामीटर लॉग-सामान्य वितरण है $x\in (c,+\infty )$. $\operatorname {E} [X+c]=\operatorname {E} [X]+c$, $\operatorname {Var} [X+c]=\operatorname {Var} [X]$.
• कहा जाता है कि समर्थन के साथ तीन-पैरामीटर प्रारंभिक-सामान्य वितरण है।
• अगर $X\mid Y\sim \operatorname {Rayleigh} (Y)$ साथ $Y\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})$, तब $X\sim \operatorname {Suzuki} (\mu ,\sigma )$ (सुजुकी वितरण)।
• लॉग-नॉर्मल के लिए एक विकल्प जिसका अभिन्न अंग अधिक प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है सीडीएफ के लिए एक सन्निकटन प्राप्त करने के लिए रसद वितरण के आधार पर प्राप्त किया जा सकता है
  $$F(x;\mu ,\sigma )=\left[\left({\frac {e^{\mu }}{x}}\right)^{\pi /(\sigma {\sqrt {3}})}+1\right]^{-1}.$$
  यह एक लॉग-लॉजिस्टिक वितरण है।

सांख्यिकीय निष्कर्ष

मापदंडों का अनुमान

लॉग-सामान्य वितरण पैरामीटर μ और σ के अधिकतम संभावना अनुमानक का निर्धारण करने के लिए, हम उसी प्रक्रिया का उपयोग सामान्य वितरण के लिए कर सकते हैं। ध्यान दें कि

$$L(\mu ,\sigma )=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\varphi _{\mu ,\sigma }(\ln x_{i}),$$

कहाँ $\varphi$ सामान्य वितरण का घनत्व फलन है ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$. इसलिए, लॉग-लाइबिलिटी फलन है

$$\ell (\mu ,\sigma \mid x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=-\sum _{i}\ln x_{i}+\ell _{N}(\mu ,\sigma \mid \ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n}).$$

चूंकि पहला शब्द μ और σ के संबंध में स्थिर है, दोनों लघुगणक संभावना कार्य करते हैं, $\ell$ और $\ell _{N}$, उसी के साथ अपने अधिकतम तक पहुँचें $\mu$ और $\sigma$. इसलिए, अवलोकनों के लिए सामान्य वितरण के लिए अधिकतम संभावना अनुमानक समान हैं $\ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n})$,

$${\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{i}\ln x_{i}}{n}},\qquad {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum _{i}\left(\ln x_{i}-{\widehat {\mu }}\right)^{2}}{n}}.$$

परिमित n के लिए, अनुमानक के लिए $\mu$ निष्पक्ष है, लेकिन एक के लिए $\sigma$ पक्षपाती है। सामान्य वितरण के लिए, एक निष्पक्ष अनुमानक के लिए $\sigma$ के लिए समीकरण में हर n को n−1 से प्रतिस्थापित करके ${\widehat {\sigma }}^{2}$ प्राप्त किया जा सकता है।

जब व्यक्तिगत मूल्य $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ उपलब्ध नहीं हैं, लेकिन प्रतिरूप का मतलब है ${\bar {x}}$ और मानक विचलन एस है, तो संबंधित मापदंडों को निम्नलिखित सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो अपेक्षा के लिए समीकरणों को हल करने से प्राप्त होते हैं $\operatorname {E} [X]$ और विचरण $\operatorname {Var} [X]$ के लिए $\mu$ और $\sigma$:

$$\mu =\ln \left({\bar {x}}\ {\Big /}\ {\sqrt {1+{\frac {{\widehat {\sigma }}^{2}}{{\bar {x}}^{2}}}}}\right),\qquad \sigma ^{2}=\ln \left(1+{\frac {{\widehat {\sigma }}^{2}}{{\bar {x}}^{2}}}\right).$$

सांख्यिकी

लॉग-सामान्य रूप से वितरित डेटा का विश्लेषण करने का सबसे कुशल तरीका लॉगरिदमिक रूप से रूपांतरित डेटा के लिए सामान्य वितरण के आधार पर प्रसिद्ध विधियों को लागू करना है और यदि उपयुक्त हो तो परिणामों को वापस-परिवरतित करना है।

तितर बितर अंतराल

बिखराव अंतराल द्वारा एक बुनियादी उदाहरण दिया जाता है: सामान्य वितरण के लिए, अंतराल $[\mu -\sigma ,\mu +\sigma ]$ में संभाव्यता (या एक बड़े नमूने) का लगभग दो तिहाई (68%) शामिल है, और $[\mu -2\sigma ,\mu +2\sigma ]$ में 95% शामिल हैं। इसलिए, लॉग-सामान्य बंटन के लिए,

$$[\mu ^{*}/\sigma ^{*},\mu ^{*}\cdot \sigma ^{*}]=[\mu ^{*}{}^{\times }\!\!/\sigma ^{*}]$$

2/3 शामिल है, और

$$[\mu ^{*}/(\sigma ^{*})^{2},\mu ^{*}\cdot (\sigma ^{*})^{2}]=[\mu ^{*}{}^{\times }\!\!/(\sigma ^{*})^{2}]$$

संभावना का 95% शामिल है। अनुमानित मापदंडों का उपयोग करते हुए, इन अंतरालों में डेटा का लगभग समान प्रतिशत होना चाहिए।

मुक्त पैरामीटर σ को हल करने के लिए एन्ट्रापी का चरम सिद्धांत

अनुप्रयोगों में, $\sigma$ निर्धारित करने के लिए एक पैरामीटर है। उत्पादन और अपव्यय द्वारा संतुलित बढ़ती प्रक्रियाओं के लिए, शैनन एंट्रॉपी के चरम सिद्धांत का उपयोग दर्शाता है कि

$$\sigma ={\frac {1}{\sqrt {6}}}$$

इसके बाद इस मान का उपयोग नति परिवर्तन बिंदु और लॉग-सामान्य वितरण के अधिकतम बिंदु के बीच कुछ स्केलिंग संबंध देने के लिए किया जा सकता है। यह संबंध प्राकृतिक लघुगणक के आधार से निर्धारित होता है, $e=2.718\ldots$, और न्यूनतम सतह ऊर्जा सिद्धांत के लिए कुछ ज्यामितीय समानता प्रदर्शित करता है।

ये स्केलिंग संबंध कई विकास प्रक्रियाओं (महामारी फैलना, बूंदों के छींटे, जनसंख्या वृद्धि, बाथटब भंवर की घूमने की दर, भाषा वर्णों का वितरण, विक्षोभ का वेग प्रोफ़ाइल, आदि) की भविष्यवाणी करने के लिए उपयोगी हैं।उदाहरण के लिए, लॉग--सामान्य फ़ंक्शन ऐसे के साथ $\sigma$ छोटी बूंदों के प्रभाव और एक महामारी रोग के प्रसार के दौरान द्वितीयक रूप से उत्पन्न बूंदों के आकार के साथ अच्छी तरह से फिट बैठता है।

मूल्य ${\textstyle \sigma =1{\big /}{\sqrt {6}}}$ का उपयोग ड्रेक समीकरण के लिए एक संभाव्य समाधान प्रदान करने के लिए किया जाता है।

घटना और अनुप्रयोग

प्राकृतिक परिघटनाओं के वर्णन में लॉग-सामान्य वितरण महत्वपूर्ण है। कई प्राकृतिक विकास प्रक्रियाएं कई छोटे प्रतिशत परिवर्तनों के संचय द्वारा संचालित होती हैं जो लॉग स्केल पर योगात्मक हो जाती हैं। उपयुक्त नियमितता की शर्तों के तहत, परिणामी संचित परिवर्तनों का वितरण एक लॉग-सामान्य द्वारा तेजी से अच्छी तरह से अनुमानित होगा, जैसा कि "गुणात्मक केंद्रीय सीमा प्रमेय" पर ऊपर दिए गए अनुभाग में बताया गया है। रॉबर्ट जिब्रत (1904-1980) के बाद इसे जिब्राट के कानून के रूप में भी जाना जाता है, जिन्होंने इसे कंपनियों के लिए तैयार किया था। यदि इन छोटे परिवर्तनों के संचय की दर समय के साथ भिन्न नहीं होती है, तो वृद्धि आकार से स्वतंत्र हो जाती है। यहां तक ​​​​कि अगर यह धारणा सही नहीं है, तो समय के साथ बढ़ने वाली किसी भी उम्र में आकार का वितरण लॉग-सामान्य हो जाता है। नतीजतन, स्वस्थ व्यक्तियों में शारीरिक माप के लिए संदर्भ रेंज औसत के बारे में एक सममित वितरण मानकर लॉग-सामान्य वितरण द्वारा अधिक सटीक रूप से अनुमान लगाया जाता है।

एक दूसरा औचित्य इस अवलोकन पर आधारित है कि मौलिक प्राकृतिक नियम सकारात्मक चरों के गुणन और विभाजन को लागू करते हैं। उदाहरण परिणामी बल के साथ द्रव्यमान और दूरी को जोड़ने वाला सरल गुरुत्वाकर्षण नियम हैं, या एक समाधान में रसायनों की साम्य सांद्रता के लिए सूत्र है जो उत्पादों और उत्पादों की सांद्रता को जोड़ता है। शामिल चरों के लॉग-सामान्य वितरण को मानने से इन मामलों में सुसंगत मॉडल बनते हैं।

निम्नलिखित उपखंडों में विशिष्ट उदाहरण दिए गए हैं।

मानव व्यवहार

• इंटरनेट चर्चा मंचों में पोस्ट की गई टिप्पणियों की लंबाई लॉग-सामान्य वितरण का अनुसरण करती है।
• ऑनलाइन लेखों (चुटकुले, समाचार आदि) पर उपयोगकर्ताओं का समय एक लॉग-सामान्य वितरण का अनुसरण करता है।
• शतरंज के खेल की लंबाई लॉग-सामान्य वितरण का अनुसरण करती है।
• एक मानक उत्तेजना से मेल खाने वाली ध्वनिक तुलना उत्तेजनाओं की शुरुआत की अवधि एक लॉग-सामान्य वितरण का पालन करती है।
• रूबिक घन हल करता है, दोनों सामान्य या व्यक्तिगत रूप से, लॉग-सामान्य वितरण का पालन करते प्रतीत होते हैं।

जीव विज्ञान और चिकित्सा

• जीवित ऊतक के आकार का माप (लंबाई, त्वचा क्षेत्र, वजन)।
• अत्यधिक संचारी महामारी के लिए, जैसे कि 2003 में सार्स, यदि सार्वजनिक हस्तक्षेप नियंत्रण नीतियां शामिल हैं, तो अस्पताल में भर्ती मामलों की संख्या लॉग-सामान्य वितरण को बिना किसी मुक्त पैरामीटर के संतुष्ट करने के लिए दिखाई जाती है यदि एंट्रॉपी मान ली जाती है और मानक विचलन एन्ट्रापी उत्पादन की अधिकतम दर के सिद्धांत द्वारा निर्धारित किया जाता है।
• वृद्धि की दिशा में जैविक नमूनों के अक्रिय उपांगों (बाल, पंजे, नाखून, दांत) की लंबाई।
• किसी भी जीनोमिक क्षेत्र के लिए सामान्यीकृत आरएनए-एसइक्यू रीडकाउंट को लॉग-सामान्य वितरण द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित किया जा सकता है।
• प्रशांत बायोसाइंसेज अनुक्रमण रीड लेंथ लॉग-सामान्य वितरण का अनुसरण करती है।
• कुछ शारीरिक माप, जैसे कि वयस्क मनुष्यों का रक्तचाप (पुरुष/महिला उप-जनसंख्या पर अलग होने के बाद)।
• कई फार्माकोकाइनेटिक्स चर, जैसे सी अधिकतम, उन्मूलन जैविक आधा जीवन और उन्मूलन दर स्थिर।
• तंत्रिका विज्ञान में, न्यूरॉन्स की आबादी में फायरिंग दरों का वितरण अक्सर लगभग लॉग-नॉर्मल होता है। यह पहले कॉर्टेक्स और स्ट्रिएटम में और बाद में हिप्पोकैम्पस और एंटोरहिनल कॉर्टेक्स, और मस्तिष्क में कहीं और देखा गया है।साथ ही, इंट्रिंसिक गेन डिस्ट्रीब्यूशन और सिनैप्टिक वेट डिस्ट्रीब्यूशन लॉग-नॉर्मलभी प्रतीत होते हैं।
• ऑपरेटिंग-रूम प्रबंधन में, सर्जरी की अवधि का वितरण।
• जीवित कोशिकाओं के साइटोस्केलेटन में फ्रैक्चर के हिमस्खलन के आकार में, लॉग-सामान्य वितरण दिखाते हुए, स्वस्थ लोगों की तुलना में कैंसर कोशिकाओं में काफी अधिक आकार के साथ।

रसायन विज्ञान

रसायन विज्ञान में, लॉग-नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन का उपयोग पार्टिकल साइज वितरण और मोलर द्रव्यमान वितरण को मॉडल करने के लिए किया जाता है।

जल विज्ञान

• जल विज्ञान में, लॉग-नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन का उपयोग ऐसे चर के चरम मूल्यों का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है जैसे दैनिक वर्षा और नदी निर्वहन मात्रा के मासिक और वार्षिक अधिकतम मूल्यों के रूप में।

दाईं ओर की छवि, कम फ्रीक के साथ बनाई गई, द्विपद वितरण के आधार पर 90% आत्मविश्वास बेल्ट दिखाते हुए वार्षिक अधिकतम एक-दिवसीय वर्षा के लिए लॉग-सामान्य वितरण को फ़िट करने का एक उदाहरण दिखाता है।

संचयी बारंबारता विश्लेषण के हिस्से के रूप में वर्षा के आंकड़ों को प्लॉटिंग पोजीशन द्वारा दर्शाया जाता है।

सामाजिक विज्ञान और जनसांख्यिकी

• अर्थशास्त्र में, इस बात के प्रमाण हैं कि 97% -99% जनसंख्या की आय सामान्य रूप से वितरित की जाती है। (उच्च आय वाले व्यक्तियों का वितरण पारेटो वितरण का अनुसरण करता है)।
• यदि आय वितरण मानक विचलन के साथ लॉग-सामान्य वितरण का अनुसरण करता है $\sigma$, तो गिनी गुणांक, आमतौर पर आय असमानता का मूल्यांकन करने के लिए उपयोग किया जाता है, की गणना की जा सकती है $G=\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma }{2}}\right)$ जहां $\operatorname {erf}$ त्रुटि फलन है, चूंकि $G=2\Phi \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)-1$, जहां $\Phi (x)$ एक मानक सामान्य बंटन का संचयी बंटन फलन है।
• वित्त में, विशेष रूप से ब्लैक-स्कोल्स मॉडल, विनिमय दरों, मूल्य सूचकांकों और शेयर बाजार सूचकांकों के लघुगणक में परिवर्तन को सामान्य माना जाता है। (ये चर चक्रवृद्धि ब्याज की तरह व्यवहार करते हैं, साधारण ब्याज की तरह नहीं, और इसलिए गुणक हैं)। हालांकि, बेनोइट मंडेलब्रॉट जैसे कुछ गणितज्ञों ने तर्क दिया है कि लॉग-लेवी वितरण, जिसमें भारी पूंछ होती है, एक अधिक उपयुक्त मॉडल होगा, विशेष रूप से शेयर बाजार में गिरावट के विश्लेषण के लिए। वास्तव में, स्टॉक मूल्य वितरण आम तौर पर एक मोटी पूंछ प्रदर्शित करते हैं। स्टॉक मार्केट क्रैश के दौरान परिवर्तनों का मोटा-पूंछ वितरण केंद्रीय सीमा प्रमेय की धारणाओं को अमान्य कर देता है।
• साइनोमेट्रिक्स में, जर्नल लेखों और पेटेंट के उद्धरणों की संख्या असतत लॉग-सामान्य वितरण का अनुसरण करती है।
• ऐतिहासिक शहरी समुदाय आकार (जनसंख्या) जिब्रात के नियम को संतुष्ट करता है। शहर के आकार की विकास प्रक्रिया आकार के संबंध में आनुपातिक और अपरिवर्तनीय है। केंद्रीय सीमा प्रमेय से इसलिए, शहर के आकार का लॉग सामान्य रूप से वितरित किया जाता है।
• लॉग-सामान्य वितरण द्वारा यौन भागीदारों की संख्या का सबसे अच्छा वर्णन किया गया प्रतीत होता है।

प्रौद्योगिकी

• विश्वसनीयता (सांख्यिकी) विश्लेषण में, लॉग-सामान्य वितरण का उपयोग अक्सर एक अनुरक्षण योग्य प्रणाली की मरम्मत के लिए मॉडल समय के लिए किया जाता है।।
• बेतार संचार में, "लॉगरिदमिक मानों में व्यक्त स्थानीय-माध्य शक्ति, जैसे डीबी या नेपर, का सामान्य (यानी, गॉसियन) वितरण होता है। साथ ही, बड़ी इमारतों और पहाड़ियों के कारण रेडियो संकेतों की यादृच्छिक रुकावट, जिसे लुप्त होती कहा जाता है, को अक्सर लॉग-सामान्य वितरण के रूप में प्रतिरूपित किया जाता है।
• बॉल मिलिंग जैसे यादृच्छिक प्रभावों के साथ कम्युनिकेशन द्वारा उत्पादित कण आकार वितरण।
• सार्वजनिक रूप से उपलब्ध ऑडियो और वीडियो डेटा फ़ाइलों (MIME प्रकार) का फ़ाइल आकार वितरण परिमाण के पाँच आदेशों पर एक लॉग-सामान्य वितरण का अनुसरण करता है।।
• कंप्यूटर नेटवर्क और इंटरनेट यातायात विश्लेषण में, लॉग-नॉर्मल को प्रति यूनिट समय ट्रैफ़िक की मात्रा का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक अच्छे सांख्यिकीय मॉडल के रूप में दिखाया गया है।यह वास्तविक इंटरनेट अंशों के एक बड़े समूह पर एक मजबूत सांख्यिकीय दृष्टिकोण लागू करके दिखाया गया है। इस संदर्भ में, लॉग-नॉर्मल वितरण ने दो मुख्य उपयोग मामलों में अच्छा प्रदर्शन दिखाया है: (1) समय ट्रैफ़िक के अनुपात की भविष्यवाणी एक निश्चित स्तर से अधिक हो जाएगी (सेवा स्तर समझौते या लिंक क्षमता अनुमान के लिए) यानी बैंडविड्थ प्रावधानीकरण के आधार पर लिंक आयाम और (2) 95वें प्रतिशतक मूल्य निर्धारण की भविष्यवाणी करना।

यह भी देखें

• भारी पूंछ वाला वितरण
• लॉग-डिस्टेंस पाथ लॉस मॉडल
• संशोधित लॉगनॉर्मल पावर-लॉ वितरण
• धीमी लुप्तप्राय

अग्रिम पठन

• Crow, Edwin L.; Shimizu, Kunio, eds. (1988), Lognormal Distributions, Theory and Applications, Statistics: Textbooks and Monographs, vol. 88, New York: Marcel Dekker, Inc., pp. xvi+387, ISBN 978-0-8247-7803-3, MR 0939191, Zbl 0644.62014
• Aitchison, J. and Brown, J.A.C. (1957) The Lognormal Distribution, Cambridge University Press.
• Limpert, E; Stahel, W; Abbt, M (2001). "Lognormal distributions across the sciences: keys and clues". BioScience. 51 (5): 341–352. doi:10.1641/0006-3568(2001)051[0341:LNDATS]2.0.CO;2.
• Holgate, P. (1989). "The lognormal characteristic function". Communications in Statistics - Theory and Methods. 18 (12): 4539–4548. doi:10.1080/03610928908830173.
• Brooks, Robert; Corson, Jon; Donal, Wales (1994). "The Pricing of Index Options When the Underlying Assets All Follow a Lognormal Diffusion". Advances in Futures and Options Research. 7. SSRN 5735.

बाहरी संबंध

• The normal distribution is the log-normal distribution