इकोसिट्रिगोन: Difference between revisions

Regular icositrigon
Regular icositrigon
	A regular icositrigon
प्रकार	Regular polygon
किनारेs और कोने	23
स्लीपी सिंबल	{23}
कॉक्सेटर-डाइनकिन आरेख एस
समरूपता समूह	Dihedral (D23), order 2×23
आंतरिक कोण (डिग्री)	≈164.348°
गुण	Convex, cyclic, equilateral, isogonal, isotoxal

Latest revision as of 16:29, 13 September 2023

ज्यामिति में, इकोसिट्रिगोन (या इकोसिकाइट्रिगोन) या 23-गॉन 23-पक्षीय बहुभुज है। आईकोसिट्रिगोन को सबसे छोटा नियमित बहुभुज होने का गौरव प्राप्त है जो न्यूसिस निर्माण नहीं है।

नियमित इकोसिट्रिगोन

नियमित बहुभुज इकोसिट्रिगोन को श्लाफली प्रतीक {23} द्वारा दर्शाया गया है।

नियमित इकोसिट्रिगोन में ${\textstyle A={\frac {23}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{23}}=23r^{2}\tan {\frac {\pi }{23}}\simeq 41.8344\,a^{2}}$ के क्षेत्र के साथ ${\textstyle {\frac {3780}{23}}}$ घात के आंतरिक कोण होते हैं, जहाँ $a$ पक्ष की लंबाई है और $r$ अंतःत्रिज्या, या अंतःत्रिज्या है।

23 (संख्या) न तो फर्मेट प्राइम और न ही पियरपोंट प्राइम होने के कारण नियमित इकोसिट्रिगोन एक कम्पास और स्ट्रेटेज या कोण त्रिभाजन के साथ रचनात्मक नहीं है। इसके अतिरिक्त, नियमित आईकोसिट्रिगोन सबसे छोटा नियमित बहुभुज है^[1] जो न्यूसिस के साथ भी रचनात्मक नहीं है।

नियमित इकोसिट्रिगोन की गैर-संरचनात्मकता के संबंध में, ए बारागर (2002) ने दिखाया कि केवल एक कम्पास और दो-नुकीला सीधा किनारा का उपयोग करके नियमित 23-गॉन का निर्माण करना संभव नहीं है, यह प्रदर्शित करते हुए कि उक्त विधि से निर्मित प्रत्येक बिंदु क्षेत्र के टॉवर में स्थित है। $\mathbb {Q}$ पर ऐसा है कि $\mathbb {Q} =K_{0}\subset K_{1}\subset \dots \subset K_{n}=K$ , नेस्टेड क्षेत्र का अनुक्रम होना जिसमें प्रत्येक चरण पर विस्तार की घात 2, 3, 5, या 6 है।

मान लीजिए $\alpha$ में $\mathbb {C}$ कम्पास और दो बार नोकदार सीधा किनारा का उपयोग करके निर्माण किया जा सकता है। तब $\alpha$ क्षेत्र $K$ से संबंधित है जो क्षेत्र

$\mathbb {Q} =K_{0}\subset K_{1}\subset \dots \subset K_{n}=K$

के टॉवर में स्थित है लिए प्रत्येक चरण में सूचकांक $[K_{j}:K_{j-1}]$ 2, 3, 5, या 6 है। विशेष रूप से, यदि $N=[K:\mathbb {Q} ]$ , तो $N$ को विभाजित करने वाले एकमात्र प्राइम 2, 3 और 5 (प्रमेय 5.1) हैं।

यदि हम नियमित p-गॉन का निर्माण कर सकते हैं, तो हम $\zeta _{p}=e^{\frac {2\pi i}{p}}$ का निर्माण कर सकते हैं, जो कि घात $p-1$ के एक अलघुकरणीय बहुपद का मूल हैं। प्रमेय 5.1 के अनुसार, $\zeta _{p}$ $\mathbb {Q}$ के ऊपर घात $N$ के एक क्षेत्र $K$ में निहित है, जहाँ $N$ को विभाजित करने वाले एकमात्र अभाज्य 2, 3 और 5 हैं। किन्तु $\mathbb {Q} [\zeta _{p}]$ , $K$ का उपक्षेत्र है, इसलिए $p-1$ , $N$ को विभाजित करता है। विशेष रूप से, के लिए $p=23$ , $N$ 11 से विभाज्य होना चाहिए, और के लिए $p=29$ , N को 7 से विभाज्य होना चाहिए।^[2]

यह परिणाम 100-गॉन के नीचे अभाज्य-घात नियमित बहुभुजों पर विचार करते हुए स्थापित करता है, कि 23-, 29-, 43-, 47-, 49-, 53-, 59-, 67-, 71-, 79-, 83-, और 89-गोंन्स नेसिस के साथ का निर्माण करना असंभव है। किन्तु यह इतना शक्तिशाली नहीं है कि 11-, 25-, 31-, 41- और 61-गोंन्स के स्थितियों का फैसला कर सके। इलियट बेंजामिन और चिप स्नाइडर ने 2014 में पता लगाया कि नियमित हेंडेकैगन (11-गॉन) न्यूसिस रचनात्मक है; शेष स्थितियाँ अभी भी खुली हैं।^[3]

इकोसिट्रिगोन ओरिगैमी रचनात्मक भी नहीं है, क्योंकि 23 पियरपोंट प्राइम नहीं है, न ही दो या तीन की घात हैं।^[4] इसका निर्माण हिप्पियास, आर्किमिडीयन सर्पिल, और अन्य सहायक वक्रों के चतुर्भुज का उपयोग करके किया जा सकता है; फिर भी यह सभी नियमित बहुभुजों के लिए सत्य है।^[5]

संदर्भ

↑ Tomahawk-nonconstructible n-gons OEIS; https://oeis.org/A048136
↑ Arthur Baragar (2002) Constructions Using a Compass and Twice-Notched Straightedge, The American Mathematical Monthly, 109:2, 151-164, doi:10.1080/00029890.2002.11919848
↑ Benjamin, Elliot; Snyder, C. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 156.3 (May 2014): 409-424.; https://dx.doi.org/10.1017/S0305004113000753
↑ Young Lee, H. (2017) Origami-Constructible Numbers University of Georgia https://getd.libs.uga.edu/pdfs/lee_hwa-young_201712_ma.pdf
↑ P. Milici, R. Dawson The equiangular compass December 1st, 2012, The Mathematical Intelligencer, Vol. 34, Issue 4 https://www.researchgate.net/profile/Pietro_Milici2/publication/257393577_The_Equiangular_Compass/links/5d4c687da6fdcc370a8725e0/The-Equiangular-Compass.pdf

बाहरी संबंध

Automated Detection of Interesting Properties in Regular Polygons

[1] Tomahawk-nonconstructible n-gons OEIS; https://oeis.org/A048136

[2] Arthur Baragar (2002) Constructions Using a Compass and Twice-Notched Straightedge, The American Mathematical Monthly, 109:2, 151-164, doi:10.1080/00029890.2002.11919848

[3] Benjamin, Elliot; Snyder, C. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 156.3 (May 2014): 409-424.; https://dx.doi.org/10.1017/S0305004113000753

[4] Young Lee, H. (2017) Origami-Constructible Numbers University of Georgia https://getd.libs.uga.edu/pdfs/lee_hwa-young_201712_ma.pdf

[5] P. Milici, R. Dawson The equiangular compass December 1st, 2012, The Mathematical Intelligencer, Vol. 34, Issue 4 https://www.researchgate.net/profile/Pietro_Milici2/publication/257393577_The_Equiangular_Compass/links/5d4c687da6fdcc370a8725e0/The-Equiangular-Compass.pdf

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 {{Regular polygon db|Regular polygon stat table|p23}}
-[[ज्यामिति]] में, एक '''इकोसिट्रिगोन''' (या '''इकोसिकाइट्रिगोन''') या 23-गॉन एक 23-पक्षीय [[बहुभुज]] है। आईकोसिट्रिगोन को सबसे छोटा नियमित बहुभुज होने का गौरव प्राप्त है जो [[न्यूसिस निर्माण]] नहीं है।
+[[ज्यामिति]] में, '''इकोसिट्रिगोन''' (या '''इकोसिकाइट्रिगोन''') या 23-गॉन 23-पक्षीय [[बहुभुज]] है। आईकोसिट्रिगोन को सबसे छोटा नियमित बहुभुज होने का गौरव प्राप्त है जो [[न्यूसिस निर्माण]] नहीं है।
 ==नियमित इकोसिट्रिगोन==
-एक [[नियमित बहुभुज]] इकोसिट्रिगोन को श्लाफली प्रतीक {23} द्वारा दर्शाया गया है।
+[[नियमित बहुभुज]] इकोसिट्रिगोन को श्लाफली प्रतीक {23} द्वारा दर्शाया गया है।
-एक नियमित इकोसिट्रिगोन में <math display="inline">A = \frac{23}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{23} = 23r^2 \tan \frac{\pi}{23} \simeq 41.8344\,a^2</math> के एक क्षेत्र के साथ <math display="inline">\frac{3780}{23}</math> डिग्री के [[आंतरिक कोण]] होते हैं, जहाँ <math>a</math> पक्ष की लंबाई है और <math>r</math> अंतःत्रिज्या, या अंतःत्रिज्या है।
+नियमित इकोसिट्रिगोन में <math display="inline">A = \frac{23}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{23} = 23r^2 \tan \frac{\pi}{23} \simeq 41.8344\,a^2</math> के क्षेत्र के साथ <math display="inline">\frac{3780}{23}</math> घात के [[आंतरिक कोण]] होते हैं, जहाँ <math>a</math> पक्ष की लंबाई है और <math>r</math> अंतःत्रिज्या, या अंतःत्रिज्या है।
 [[23 (संख्या)]] न तो [[फर्मेट प्राइम]] और न ही पियरपोंट प्राइम होने के कारण नियमित इकोसिट्रिगोन एक [[सीधा किनारा और कम्पास निर्माण|कम्पास और स्ट्रेटेज]] या कोण त्रिभाजन के साथ रचनात्मक नहीं है। इसके अतिरिक्त, नियमित आईकोसिट्रिगोन सबसे छोटा नियमित बहुभुज है<ref>''Tomahawk-nonconstructible n-gons'' [[OEIS]]; https://oeis.org/A048136</ref> जो न्यूसिस के साथ भी रचनात्मक नहीं है।
-नियमित इकोसिट्रिगोन की गैर-संरचनात्मकता के संबंध में, ए बारागर (2002) ने दिखाया कि केवल एक कम्पास और दो-नुकीला सीधा किनारा का उपयोग करके एक नियमित 23-गॉन का निर्माण करना संभव नहीं है, यह प्रदर्शित करते हुए कि उक्त विधि से निर्मित प्रत्येक बिंदु क्षेत्र के एक टॉवर में स्थित है। <math>\Q</math> पर ऐसा है कि <math>\Q = K_0 \subset K_1 \subset \dots \subset K_n = K</math>, नेस्टेड फ़ील्ड्स का अनुक्रम होना जिसमें प्रत्येक चरण पर विस्तार की डिग्री 2, 3, 5, या 6 है।
+नियमित इकोसिट्रिगोन की गैर-संरचनात्मकता के संबंध में, ए बारागर (2002) ने दिखाया कि केवल एक कम्पास और दो-नुकीला सीधा किनारा का उपयोग करके नियमित 23-गॉन का निर्माण करना संभव नहीं है, यह प्रदर्शित करते हुए कि उक्त विधि से निर्मित प्रत्येक बिंदु क्षेत्र के टॉवर में स्थित है। <math>\Q</math> पर ऐसा है कि <math>\Q = K_0 \subset K_1 \subset \dots \subset K_n = K</math>, नेस्टेड क्षेत्र का अनुक्रम होना जिसमें प्रत्येक चरण पर विस्तार की घात 2, 3, 5, या 6 है।
-मान लीजिए <math>\alpha</math> में <math>\Complex</math> कम्पास और दो बार नोकदार सीधा किनारा का उपयोग करके निर्माण किया जा सकता है। तब <math>\alpha</math> एक क्षेत्र <math>K</math> से संबंधित है जो क्षेत्र
+मान लीजिए <math>\alpha</math> में <math>\Complex</math> कम्पास और दो बार नोकदार सीधा किनारा का उपयोग करके निर्माण किया जा सकता है। तब <math>\alpha</math> क्षेत्र <math>K</math> से संबंधित है जो क्षेत्र
 <math>\Q = K_0 \subset K_1 \subset \dots \subset K_n = K</math>
-के एक टॉवर में स्थित है लिए प्रत्येक चरण में सूचकांक <math>[K_j: K_{j - 1}]</math> 2, 3, 5, या 6 है। विशेष रूप से, यदि <math>N = [K :
+के टॉवर में स्थित है लिए प्रत्येक चरण में सूचकांक <math>[K_j: K_{j - 1}]</math> 2, 3, 5, या 6 है। विशेष रूप से, यदि <math>N = [K :
 \Q]</math>, तो <math>N</math> को विभाजित करने वाले एकमात्र प्राइम 2, 3 और 5 (प्रमेय 5.1) हैं।
-यदि हम नियमित पी-गॉन का निर्माण कर सकते हैं, तो हम निर्माण कर सकते हैं <math>\zeta_p = e^\frac{2\pi i}{p}</math>, जो डिग्री के एक [[अलघुकरणीय बहुपद]] का मूल है <math>p - 1</math>. प्रमेय 5.1 द्वारा, <math>\zeta_p</math> एक क्षेत्र में पड़ा है <math>K</math> डिग्री का <math>N</math> ऊपर <math>\Q</math>, जहां विभाजित करने वाले एकमात्र अभाज्य हैं <math>N</math> 2, 3 और 5 हैं। परंतु <math>\Q[\zeta_p]</math> का उपक्षेत्र है <math>K</math>, इसलिए <math>p - 1</math> विभाजित <math>N</math>. विशेष रूप से, के लिए <math>p = 23</math>, <math>N</math> 11 से विभाज्य होना चाहिए, और के लिए <math>p = 29</math>, N को 7 से विभाज्य होना चाहिए।<ref>Arthur Baragar (2002) Constructions Using a Compass and Twice-Notched Straightedge, The American Mathematical Monthly, 109:2, 151-164, {{doi|10.1080/00029890.2002.11919848}}</ref>
+यदि हम नियमित p-गॉन का निर्माण कर सकते हैं, तो हम <math>\zeta_p = e^\frac{2\pi i}{p}</math>का निर्माण कर सकते हैं, जो कि घात <math>p - 1</math> के एक [[अलघुकरणीय बहुपद]] का मूल हैं। प्रमेय 5.1 के अनुसार, <math>\zeta_p</math> <math>\Q</math> के ऊपर घात <math>N</math> के एक क्षेत्र <math>K</math> में निहित है, जहाँ <math>N</math> को विभाजित करने वाले एकमात्र अभाज्य 2, 3 और 5 हैं। किन्तु <math>\Q[\zeta_p]</math>, <math>K</math> का उपक्षेत्र है, इसलिए  <math>p - 1</math>, <math>N</math> को विभाजित करता है। विशेष रूप से, के लिए <math>p = 23</math>, <math>N</math> 11 से विभाज्य होना चाहिए, और के लिए <math>p = 29</math>, N को 7 से विभाज्य होना चाहिए।<ref>Arthur Baragar (2002) Constructions Using a Compass and Twice-Notched Straightedge, The American Mathematical Monthly, 109:2, 151-164, {{doi|10.1080/00029890.2002.11919848}}</ref>
-यह परिणाम 100-गॉन के नीचे अभाज्य-घात नियमित बहुभुजों पर विचार करते हुए स्थापित करता है, कि 23-, 29-, 43-, 47-, 49-, 53-, 59-, 67-, 71-, 79-, 83-, और 89-गोंन्स नेसिस के साथ का निर्माण करना असंभव है। किन्तु यह इतना शक्तिशाली नहीं है कि 11-, 25-, 31-, 41- और 61-गोंन्स के मामलों का फैसला कर सके। इलियट बेंजामिन और चिप स्नाइडर ने 2014 में पता लगाया कि नियमित [[ hedecagon | हेंडेकैगन]] (11-गॉन) न्यूसिस रचनात्मक है; शेष स्थितियाँ अभी भी खुली हैं।<ref>Benjamin, Elliot; Snyder, C. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 156.3 (May 2014): 409-424.; https://dx.doi.org/10.1017/S0305004113000753</ref>
+यह परिणाम 100-गॉन के नीचे अभाज्य-घात नियमित बहुभुजों पर विचार करते हुए स्थापित करता है, कि 23-, 29-, 43-, 47-, 49-, 53-, 59-, 67-, 71-, 79-, 83-, और 89-गोंन्स नेसिस के साथ का निर्माण करना असंभव है। किन्तु यह इतना शक्तिशाली नहीं है कि 11-, 25-, 31-, 41- और 61-गोंन्स के स्थितियों का फैसला कर सके। इलियट बेंजामिन और चिप स्नाइडर ने 2014 में पता लगाया कि नियमित [[ hedecagon |हेंडेकैगन]] (11-गॉन) न्यूसिस रचनात्मक है; शेष स्थितियाँ अभी भी खुली हैं।<ref>Benjamin, Elliot; Snyder, C. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 156.3 (May 2014): 409-424.; https://dx.doi.org/10.1017/S0305004113000753</ref>
-एक इकोसिट्रिगोन ओरिगैमी रचनात्मक भी नहीं है, क्योंकि 23 पियरपोंट प्राइम नहीं है, न ही दो या [[तीन की शक्ति|तीन की घात]] हैं।<ref>Young Lee, H. (2017) ''Origami-Constructible Numbers'' University of Georgia
+इकोसिट्रिगोन ओरिगैमी रचनात्मक भी नहीं है, क्योंकि 23 पियरपोंट प्राइम नहीं है, न ही दो या [[तीन की शक्ति|तीन की घात]] हैं।<ref>Young Lee, H. (2017) ''Origami-Constructible Numbers'' University of Georgia
 https://getd.libs.uga.edu/pdfs/lee_hwa-young_201712_ma.pdf</ref> इसका निर्माण हिप्पियास, [[आर्किमिडीयन सर्पिल]], और अन्य सहायक वक्रों के चतुर्भुज का उपयोग करके किया जा सकता है; फिर भी यह सभी नियमित बहुभुजों के लिए सत्य है।<ref>P. Milici, R. Dawson ''The equiangular compass'' December 1st, 2012, The Mathematical Intelligencer, Vol. 34, Issue 4 https://www.researchgate.net/profile/Pietro_Milici2/publication/257393577_The_Equiangular_Compass/links/5d4c687da6fdcc370a8725e0/The-Equiangular-Compass.pdf</ref>
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 == संबंधित आंकड़े ==
-नीचे दस नियमित आईकोसिट्रिग्राम, या [[स्टार बहुभुज]] 23-गोंन्स की एक तालिका है, जो उनके संबंधित श्लाफली प्रतीक {23/q}, 2 ≤ q ≤ 11 के साथ लेबल की गई है।
+नीचे दस नियमित आईकोसिट्रिग्राम, या [[स्टार बहुभुज]] 23-गोंन्स की तालिका है, जो उनके संबंधित श्लाफली प्रतीक {23/q}, 2 ≤ q ≤ 11 के साथ लेबल की गई है।
 {| class="wikitable"
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 * [https://link.springer.com/article/10.1007/s11786-020-00491-z Automated Detection of Interesting Properties in Regular Polygons]
-{{Polygons}}
+[[Category:Collapse templates]]
-[[Category: भुजाओं की संख्या से बहुभुज]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 10/04/2023]]
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