अनुरूप ज्यामितीय बीजगणित: Difference between revisions

Latest revision as of 16:42, 13 September 2023

अनुरूप ज्यामितीय बीजगणित (सीजीए) ज्यामितीय बीजगणित है जो मानचित्र के परिणामी स्थान पर एक $n$ -आयामी आधार स्थान $R p, q$ में बिंदुओं से $R p +1, q +1$ में शून्य वैक्टर के लिए बनाया गया है। यह ज्यामितीय बीजगणित का उपयोग करके प्रदर्शित किए जाने वाले प्रतिबिंब, घुमाव और अनुवाद सहित आधार स्थान पर संचालन की अनुमति देता है; और यह पाया गया है कि बिंदु, रेखाएँ, तल, वृत्त और गोले विशेष रूप से प्राकृतिक और कम्प्यूटेशनल रूप से अनुकूल प्रतिनिधित्व प्राप्त करते हैं।

मानचित्रण का प्रभाव यह है कि सामान्यीकृत (अर्थात शून्य वक्रता सहित) n-क्षेत्र $k$ -क्षेत्र बेस स्पेस मैप में $(k + 2)$ -ब्लेड (ज्यामिति) एस, और जिससे बेस स्पेस के अनुवाद (या किसी अनुरूप मानचित्रण) का प्रभाव उच्च-आयामी स्थान में घूर्णन से मेल खाता हो। इस स्थान के बीजगणित में, वैक्टर के ज्यामितीय उत्पाद के आधार पर, इस तरह के परिवर्तन बीजगणित के विशिष्ट सैंडविच संचालन के अनुरूप होते हैं, जो क्वाटरनियन और स्थानिक घूर्णन के उपयोग के समान होते हैं, जो बहुत कुशलता से संयोजित होते हैं। परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करने वाले रोटरों का परिणाम यह है कि गोले, विमानों, वृत्तों और अन्य ज्यामितीय वस्तुओं का प्रतिनिधित्व, और उन्हें जोड़ने वाले समीकरण, सभी सहपरिवर्ती रूप से रूपांतरित होते हैं। ज्यामितीय वस्तु (a $k$ -क्षेत्र) को वेज उत्पाद के रूप में संश्लेषित किया जा सकता है $k + 2$ वस्तु पर बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करने वाले रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर; इसके विपरीत, वस्तु को प्रतिनिधित्व करने वाले वैक्टर के बार-बार वैज उत्पाद के रूप में विघटित किया जा सकता है $k + 2$ इसकी सतह में अलग-अलग बिंदु। कुछ प्रतिच्छेदन के संचालन भी साफ बीजगणितीय रूप प्राप्त करते हैं: उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन बेस स्पेस के लिए $R 3$ , दो क्षेत्रों का प्रतिनिधित्व करने वाले टेट्रावेक्टरों के दोहरे उत्पाद को प्रयुक्त करने से उनके प्रतिच्छेदन के व्रत के ट्राइवेक्टर प्रतिनिधित्व के दोहरे का उत्पादन होता है।

चूंकि यह बीजगणितीय संरचना खुद को सीधे प्रभावी संगणना के लिए उधार देती है, यह ठोस, आसानी से हेरफेर करने वाली सेटिंग में प्रक्षेपी ज्यामिति और व्युत्क्रम ज्यामिति के मौलिक विधियों की खोज की सुविधा प्रदान करती है। पेंच सिद्धांत में गणनाओं का प्रतिनिधित्व करने और उन्हें सुविधाजनक बनाने के लिए इसका उपयोग कुशल संरचना के रूप में भी किया गया है। सीजीए को विशेष रूप से दैनिक यूक्लिडियन स्थान $R 3$ पांच आयामी वेक्टर स्थान में $R 4,1$ के प्रक्षेपी मानचित्रण के संबंध में प्रयुक्त किया गया है, जिसकी रोबोटिक्स और कंप्यूटर विज़न में अनुप्रयोगों के लिए जांच की गई है। यह सामान्यतः किसी भी छद्म-यूक्लिडियन स्थान पर प्रयुक्त किया जा सकता है - उदाहरण के लिए, मिन्कोव्स्की स्थान $R 3,1$ से स्थान $R 4,2$ के लिए है

सीजीए का निर्माण

संकेतन और शब्दावली

इस लेख में, ध्यान बीजगणित ${\mathcal {G}}(4,1)$ पर है जैसा कि यह विशेष बीजगणित है जो समय के साथ सबसे अधिक ध्यान देने वाला विषय रहा है; अन्य स्थितियों को संक्षेप में अलग खंड में सम्मिलित किया गया है। जिन वस्तुओं को प्रतिरूपित किया जा रहा है, उन्हें आधार स्थान कहा जाता है, और बीजगणितीय स्थान इन वस्तुओं को प्रतिनिधित्व या अनुरूप स्थान के रूप में मॉडल करने के लिए उपयोग किया जाता है। सजातीय उप-स्थान बीजगणितीय स्थान के रैखिक उप-स्थान को संदर्भित करता है।

वस्तुओं के लिए नियम: बिंदु, रेखा, वृत्त, गोला, अर्ध-गोला आदि का उपयोग या तो आधार स्थान में ज्यामितीय वस्तु, या प्रतिनिधित्व स्थान के सजातीय उप-स्थान के लिए किया जाता है जो उस वस्तु का प्रतिनिधित्व करता है, जिसका सामान्यतः अभिप्रेत होता है जब तक अन्यथा इंगित न किया गया हो।^{[lower-alpha 1]} बीजगणितीय रूप से, सजातीय उप-स्थान के किसी भी अशून्य अशक्त तत्व का उपयोग किया जाएगा, जिसमें तत्व को कुछ मानदंडों द्वारा सामान्यीकृत के रूप में संदर्भित किया जाएगा।

बोल्डफेस लोअरकेस लैटिन अक्षरों का उपयोग मूल स्थान से बेस स्पेस में बिंदु तक स्थिति वैक्टर का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। प्रतिनिधित्व स्थान के अन्य तत्वों के लिए इटैलिक प्रतीकों का उपयोग किया जाता है।

आधार और प्रतिनिधित्व स्थान\

आधार स्थान $R 3$ को एक चुने हुए मूल से विस्थापन के लिए एक आधार का विस्तार करके और दो आधार वैक्टर $e -$ और $e +$ ऑर्थोगोनल को आधार स्थान और एक दूसरे से जोड़कर, $e - 2 = -1$ और $e + 2 = +1$ के साथ दर्शाया गया है। , प्रतिनिधित्व स्थान ${\mathcal {G}}(4,1)$ बनाना है ।

$e +$ और $e -$ के स्थान पर आधार सदिश के रूप में दो अशक्त सदिश संख्या $n o$ और $n \infty$ का उपयोग करना सुविधाजनक है, जहाँ $n o = (e - - e +)/2$ और $n \infty = e - + e +$ है। यह सत्यापित किया जा सकता है, जहां $x$ आधार स्थान में है, कि:

{\begin{array}{lllll}{n_{\text{o}}}^{2}&=0\qquad n_{\text{o}}\cdot n_{\infty }&=-1\qquad &n_{\text{o}}\cdot \mathbf {x} &=0\\{n_{\infty }}^{2}&=0\qquad n_{\text{o}}\wedge n_{\infty }&=e_{-}e_{+}\qquad &n_{\infty }\cdot \mathbf {x} &=0\end{array}}

ये गुण एक सामान्य सदिश $r$ के आधार सदिश गुणांक के लिए निम्नलिखित सूत्रों की ओर ले जाते हैं, जो तत्वों के आधार के लिए प्रत्येक अन्य आधार तत्व $e i$ के लिए ऑर्थोगोनल के आधार के लिए प्रतिनिधित्व करते हैं:

r

के लिए

n o

का गुणांक

- n \infty \cdot r

है

r

का गुणांक

n \infty

के लिए

- n o \cdot r

है

r

का गुणांक

e i

के लिए

e i -1 \cdot r

है

आधार स्थान और प्रतिनिधित्व स्थान के बीच मानचित्रण

बेस स्पेस में वेक्टर से मैपिंग (मूल से प्रतिनिधित्व किए गए एफाइन स्पेस में बिंदु तक) सूत्र द्वारा दी गई है:^{[lower-alpha 2]}

F:\mathbf {x} \mapsto n_{\text{o}}+\mathbf {x} +{\tfrac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}n_{\infty }

बिंदु और अन्य वस्तुएं जो केवल गैर-शून्य स्केलर कारक से भिन्न होती हैं, आधार स्थान में ही वस्तु के लिए मैप करती हैं। जब सामान्यीकरण वांछित होता है, जैसा कि प्रतिनिधित्व स्थान से आधार स्थान तक या दूरी निर्धारित करने के लिए बिंदु का सरल उल्टा नक्शा बनाने के लिए, स्थिति $F (x) \cdot n \infty = -1$ उपयोग किया जा सकता है।

सामान्यीकरण का परिवर्तन: हाइपरप्लेन से अशक्त शंकु का मानचित्रण करना

r \cdot (n \infty - n o) = 1

हाइपरप्लेन के लिए

r \cdot n \infty = -1

.

अग्रिम मैपिंग इसके सामन है:

स्थान $e + \land e 123$ (5-D में यह उपस्थान $r ⋅ (−no − .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2n∞) = 0$ में $e 123$ से एक इकाई 3-गोले पर $x$ को पहले अनुरूप रूप से प्रक्षेपित करता है;

फिर इसे $e - = 1$ से जोड़कर, एक प्रक्षेप्य स्थान में उठाएं, और मूल से एक ही किरण पर सभी बिंदुओं की पहचान करें (5-D में यह उपस्थान $r \cdot (- n o - 1 / 2 n \infty) = 1$ में है;
फिर सामान्यीकरण को बदलें, इसलिए सजातीय प्रक्षेपण के लिए स्थान को कोई समन्वय $n o$ दिया गया है जिसका मान $1$ है, अर्थात $r \cdot n \infty = -1$ ।

व्युत्क्रम मानचित्रण

रिक्त शंकु पर $X$ के लिए एक व्युत्क्रम मानचित्रण द्वारा दिया गया है (पेरवास समीकरण 4.37) द्वारा

X\mapsto {\mathcal {P}}_{n_{\infty }\wedge n_{\text{o}}}^{\perp }\left({\frac {X}{-X\cdot n_{\infty }}}\right)

यह पहले प्रकाश-शंकु से समतल $r \cdot n \infty = -1$ पर एक त्रिविम प्रक्षेपण देता है, और फिर संख्या $n o$ और $n \infty$ भागों को दूर फेंक देता है, जिससे समग्र परिणाम सभी समकक्ष बिंदुओं $αX = α (n o + x + 1 / 2 x 2 n \infty)$ से $x$ तक है |

उत्पत्ति और अनंत पर बिंदु

बिंदु $x = 0$ में $ℝ p, q$ मानचित्र $ℝ p +1, q +1$ में नहीं, इसलिए ( $n o$ ) को मूल बिंदु पर बिंदु के (प्रतिनिधित्व) वेक्टर के रूप में पहचाना जाता है। $ℝ p +1, q +1$ में एक वेक्टर एक अशून्य $n \infty$ गुणांक के साथ, किंतु एक शून्य ( $n o$ ) गुणांक, (उल्टे मानचित्र पर विचार करते हुए) $ℝ p, q$ में एक अनंत वेक्टर की छवि होनी चाहिए। इसलिए दिशा $n \infty$ अनंत पर (अनुरूप) बिंदु का प्रतिनिधित्व करती है। यह शून्य आधार वैक्टर की पहचान करने के लिए उपलेख $o$ और $\infty$ को प्रेरित करता है।

उत्पत्ति का चुनाव इच्छानुसार है: किसी अन्य बिंदु को चुना जा सकता है, क्योंकि प्रतिनिधित्व सघन स्थान का है। मूल केवल संदर्भ बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है, और बीजगणितीय रूप से किसी अन्य बिंदु के समान है। किसी भी अनुवाद के साथ, उत्पत्ति को बदलने से प्रतिनिधित्व स्थान में घूर्णन होता है।

ज्यामितीय वस्तुएँ

आधार

Basis Blades of ${\mathcal {G}}(4,1)$
तत्वों	ज्यामितीय अवधारणा
बिंदु और दोहरी क्षेत्र
$e_{i},n_{0},n_{\infty }$	बिना $n_{0}$ द्वितल है
बिंदु जोड़ी
$e_{ij}$	बायवेक्टर
$e_{i}n_{0}$	स्पर्शरेखा सदिश
$e_{i}n_{\infty }$	दिशा सदिश (प्लस बाइवेक्टर दोहरी रेखा है)
$E=n_{o}\wedge n_{\infty }$	सपाट बिंदु उत्पत्ति *
घेरा
$e_{1}e_{2}e_{3}=I_{3}$	3डी स्यूडोस्केलर
$e_{ij}n_{0}$	स्पर्शरेखा बाइवेक्टर
$e_{ij}n_{\infty }$	दिशा बायवेक्टर (प्लस $e_{i}E$ रेखा है)
$e_{i}E$
Sphere
$e_{ij}E$
$e_{i}n_{0}$	$e_{i}n_{0}$ बिना स्थान है
$e_{i}n_{\infty }$

साथ में $I_{5}=e_{123}E$ और $1$ , ये बीजगणित के 32 आधार ब्लेड हैं। समतल बिंदु मूल को एक बाहरी उत्पाद के रूप में लिखा जाता है क्योंकि ज्यामितीय उत्पाद मिश्रित श्रेणी का होता है। $E=e_{+}e_{-}$ ।

समीकरणों की जोड़ी के समाधान के रूप में

प्रतिनिधित्व करने वाले स्थान के किसी भी गैर-शून्य ब्लेड A को देखते हुए, वैक्टर का समूह जो फॉर्म के सजातीय समीकरणों की एक जोड़ी के समाधान हैं^[3]

X^{2}=0

X\wedge A=0

अशक्त सदिशों के सजातीय 1-डी उपस्थानों का संघ है, और इस प्रकार आधार स्थान में बिंदुओं के एक समूह का प्रतिनिधित्व है। यह ज्यामितीय वस्तुओं के एक विशेष वर्ग का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक उपयोगी विधि के रूप में एक ब्लेड $A$ की पसंद की ओर जाता है। आधार स्थान यूक्लिडियन स्थान होने पर ब्लेड $A$ (स्थान के आयामों की संख्या से स्वतंत्र) के लिए विशिष्ट स्थिति हैं:

एक अदिश: खाली समूह
एक वेक्टर: बिंदु
एक बायवेक्टर: बिंदुओं की जोड़ी
एक ट्राइवेक्टर: सामान्यीकृत चक्र
एक 4-वेक्टर: सामान्यीकृत क्षेत्र
वगैरह।

इनमें से प्रत्येक को तीन स्थितियों में विभाजित किया जा सकता है कि क्या $A 2$ सकारात्मक, शून्य या ऋणात्मक है, सूचीबद्ध वस्तु के अनुरूप (कुछ स्थितियों में उल्टे क्रम में), एकल बिंदु का पतित स्थिति , या कोई बिंदु नहीं (जहां गैर-शून्य समाधान) $X \land A$ शून्य वैक्टर को बाहर करता है)।

आधार स्थान छद्म-यूक्लिडियन होने के अधिक सामान्य स्थिति में सूचीबद्ध ज्यामितीय वस्तुएं (सामान्यीकृत एन-क्षेत्र) अर्ध-क्षेत्र बन जाती हैं। ^[4]

समाधान में सम्मिलित अनंतता पर बिंदु द्वारा समतल वस्तुओं की पहचान की जा सकती है। इस प्रकार, यदि $n \infty \land A = 0$ ब्लेड $A$ के लिए वस्तु क्रमशः श्रेणी 3, 4, आदि के लिए एक रेखा, तल आदि होगी।

जैसा कि वस्तु के बिंदुओं से प्राप्त होता है

वस्तु के इस वर्ग में से किसी एक का प्रतिनिधित्व करने वाला ब्लेड $A$ वस्तु पर बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करने वाले रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर के बाहरी उत्पाद के रूप में पाया जा सकता है। आधार स्थान में, यह रैखिक स्वतंत्रता अन्य बिंदुओं द्वारा परिभाषित वस्तु के बाहर स्थित प्रत्येक बिंदु के रूप में प्रकट होती है। इसलिए, उदाहरण के लिए, तीन अलग-अलग बिंदुओं द्वारा परिभाषित सामान्यीकृत वृत्त पर पड़ा चौथा बिंदु गोले को परिभाषित करने के लिए चौथे बिंदु के रूप में उपयोग नहीं किया जा सकता है।

ऑड्स

यदि हम r सेट करते हैं तो e₁₂₃ मानचित्र में शून्य शंकु-शून्य पैराबोला पर अंक। n_∞ = -1

हम e₁₂₃ सेंट में बिंदुओं के स्थान पर विचार कर सकते हैं। अनुरूप स्थान g(x) में। A = 0, विभिन्न प्रकार की ज्यामितीय वस्तु A के लिए।

हम उस

g(\mathbf {a} ).g(\mathbf {b} )=-{\frac {1}{2}}\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \|^{2}

देखकर प्रारंभ करते हैं

तुलना करना:

x. a = 0 => x पर्प a; x.(a∧b) = 0 => x perp a और x perp b
x∧a = 0 => x a के समानांतर; x∧(a∧b) = 0 => x a या b के समानांतर (या कुछ रैखिक संयोजन के लिए)

आंतरिक उत्पाद और बाहरी उत्पाद प्रतिनिधित्व दोहरीकरण से संबंधित हैं

x∧A = 0 <=> x । A* = 0 (जाँच—कार्य करता है यदि x 1-मंद है, A n-1 मंद है)

g(x) . A = 0

एक बिंदु: 'R³ ' में x का स्थान बिंदु है यदि A में 'R^4,1 ' है रिक्त शंकु पर सदिश है।

(ध्यान दें कि क्योंकि यह एक सजातीय प्रक्षेप्य स्थान है, मूल के माध्यम से किरण पर किसी भी लम्बाई के वैक्टर समकक्ष हैं, इसलिए g(x).A =0 g(x).g(a) = 0 के समान है)।

एक गोला: 'x' का स्थान गोला है यदि A = S, शून्य शंकु से दूर सदिश।

यदि

\mathbf {S} =g(\mathbf {a} )-{\frac {1}{2}}\rho ^{2}\mathbf {e} _{\infty }

तब S.X = 0 =>

-{\frac {1}{2}}(\mathbf {a} -\mathbf {x} )^{2}+{\frac {1}{2}}\rho ^{2}=0

ये गोले के अनुरूप बिंदु हैं

नल-शंकु से सदिश S के लिए, कौन-सी दिशाएँ अतिशयोक्तिपूर्ण रूप से लंबकोणीय हैं? (cf लोरेंत्ज़ परिवर्तन मॉड्यूलेशन) 2+1 D में, यदि S, (1,a,b) है, (सह-ऑर्ड्स e-, {e+, e_i} का उपयोग करते हुए), S के हाइपरबोलिकली ओर्थोगोनल बिंदु (-1,a,b) के यूक्लिडियनली ऑर्थोगोनल हैं ) - अर्थात , एक स्थान ; या n आयामों में, मूल के माध्यम से एक हाइपरप्लेन। यह एक अन्य स्थान को एक रेखा (एक n-2 सतह में एक हाइपरसफेस) में उत्पत्ति के माध्यम से नहीं काटेगा, और फिर शंकु को दो बिंदुओं (प्रतिक्रिया में कुछ प्रकार की n-3 शंकु सतह) में काट देगा। तो यह संभवतः किसी प्रकार के शंकु जैसा दिखने वाला है। यह वह सतह है जो g के नीचे एक गोले की छवि है।

एक समतल: 'x' का स्थान तल है यदि A = P, शून्य n_o वाला सदिश अवयव। सजातीय प्रक्षेप्य स्थान में ऐसा वेक्टर P स्थान n_o=1 पर वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है जो मूल से असीम रूप से दूर होगा (अर्थात् अशक्त शंकु के बाहर असीम रूप से दूर), इसलिए g(x).P =0 अनंत त्रिज्या के गोले, तल पर x के संगत है।

विशेष रूप से:

$\mathbf {P} ={\hat {\mathbf {a} }}+\alpha \mathbf {e} _{\infty }$ सामान्य ${\hat {\mathbf {a} }}$ के साथ एक स्थान पर x से मेल खाती है मूल से एक ओर्थोगोनल दूरी α है ।
$\mathbf {P} =g(\mathbf {a} )-g(\mathbf {b} )$ सामान्य a - b के साथ, a और b के बीच आधे रास्ते के स्थान से मेल खाता है

मंडलियां
स्पर्शरेखा स्थान
पंक्तियां
अनंत पर रेखाएँ
'बिंदु जोड़े

रूपांतरण

प्रतिबिंब

यह सत्यापित किया जा सकता है कि P g(x) P बनाने से नल-शंकु, g(x' ) पर एक नई दिशा मिलती है, जहाँ x' R³ में बिंदु p के तल में एक प्रतिबिंब के अनुरूप होता है जो g(p) को संतुष्ट करता है। P = 0।

g(x) . A = 0 => P g(x) . A P = 0 => P g(x) P . P A P (और इसी तरह कील उत्पाद के लिए), इसलिए P सैंडविच-फैशन को उपरोक्त अनुभाग में किसी भी मात्रा A पर प्रयुक्त करने का प्रभाव इसी तरह अंक x के संबंधित लोकस को प्रतिबिंबित करने के लिए है, इसलिए संबंधित सर्कल, गोलाकार, रेखाएं और स्थान संबंधित हैं विशेष प्रकार के A के लिए ठीक उसी तरह परिलक्षित होते हैं जैसे P को g(x) पर प्रयुक्त करने से एक बिंदु x को दर्शाता है।

इस प्रतिबिंब ऑपरेशन का उपयोग सामान्य अनुवाद और घुमाव बनाने के लिए किया जा सकता है:

अनुवाद

दो समांतर स्थानो में प्रतिबिंब अनुवाद देता है,

g(\mathbf {x} ^{\prime })=\mathbf {P} _{\beta }\mathbf {P} _{\alpha }\;g(\mathbf {x} )\;\mathbf {P} _{\alpha }\mathbf {P} _{\beta }

यदि

\mathbf {P} _{\alpha }={\hat {\mathbf {a} }}+\alpha \mathbf {e} _{\infty }

और

\mathbf {P} _{\beta }={\hat {\mathbf {a} }}+\beta \mathbf {e} _{\infty }

तब

\mathbf {x} ^{\prime }=\mathbf {x} +2(\beta -\alpha ){\hat {\mathbf {a} }}

* घूर्णन

g(\mathbf {x} ^{\prime })={\hat {\mathbf {b} }}{\hat {\mathbf {a} }}\;g(\mathbf {x} )\;{\hat {\mathbf {a} }}{\hat {\mathbf {b} }}

x' से मेल खाता है जो मूल के बारे में 2 θ कोण से घूमता है जहां θ a और b के बीच का कोण है - वही प्रभाव जो इस रोटर पर सीधे x पर प्रयुक्त होता है।

सामान्य घूर्णन

एक सामान्य बिंदु के बारे में घुमाव पहले बिंदु को मूल स्थान पर ले जाकर, फिर मूल के चारों ओर घुमाकर, फिर बिंदु को वापस उसकी मूल स्थिति में अनुवाद करके प्राप्त किया जा सकता है, अर्थात संचालिका द्वारा सैंडविचिंग

\mathbf {TR{\tilde {T}}}

इसलिए

g({\mathcal {G}}x)=\mathbf {TR{\tilde {T}}} \;g(\mathbf {x} )\;\mathbf {T{\tilde {R}}{\tilde {T}}}

* पेंच

प्रभाव एक पेंच, या मोटर, (एक सामान्य बिंदु के बारे में एक घूर्णन , घूर्णन के अक्ष के समानांतर एक अनुवाद के बाद) संचालिका $\mathbf {M} =\mathbf {T_{2}T_{1}R{\tilde {T_{1}}}}$ M द्वारा सैंडविचिंग g(x) द्वारा प्राप्त किया जा सकता है $\mathbf {M} =\mathbf {T^{\prime }R^{\prime }}$ (चैसल्स प्रमेय)

व्युत्क्रम

एक व्युत्क्रम परिवर्तन क्षेत्र में प्रतिबिंब है - ऐसे व्युत्क्रमों का उपयोग करके प्राप्त किए जा सकने वाले विभिन्न कार्यों की चर्चा व्युत्क्रम ज्यामिति में की जाती है। विशेष रूप से, यूक्लिडियन परिवर्तन अनुवाद और घूर्णन के साथ व्युत्क्रम का संयोजन किसी भी अनुरूप मैपिंग को व्यक्त करने के लिए पर्याप्त है - अर्थात कोई भी मैपिंग जो सार्वभौमिक रूप से कोणों को संरक्षित करता है। (लिउविल की प्रमेय (अनुरूप मैपिंग) | लिउविल की प्रमेय)।

फैलाव

एक ही केंद्र के साथ दो व्युत्क्रम फैलाव (मीट्रिक स्थान) उत्पन्न करते हैं।

सामान्यीकरण

इतिहास

सम्मेलन और पत्रिकाएँ

अनुप्रयोगों की विस्तृत श्रृंखला के साथ क्लिफोर्ड और ज्यामितीय बीजगणित के आसपास जीवंत और अंतःविषय समुदाय है। इस विषय में मुख्य सम्मेलनों में सम्मिलित हैं क्लिफोर्ड बीजगणित पर अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलन और गणितीय भौतिकी में उनके अनुप्रयोग (आईसीसीए) और cz/main.php एप्लीकेशन ऑफ़ जियोमेट्रिक बीजगणित इन कंप्यूटर साइंस एंड इंजीनियरिंग (आगास) श्रृंखला मुख्य प्रकाशन आउटलेट एप्लाइड क्लिफोर्ड बीजगणित में स्प्रिंगर जर्नल एडवांस है।

↑ For clarity, this homogeneous subspace includes non-null vectors, which do not correspond to any point in the base space.
↑ The mapping can also be written $F : x \to -(x - e +) n \infty (x - e +)$ , as given in Hestenes and Sobczyk (1984), p.303.^[1] The equivalence of the two forms is noted in Lasenby and Lasenby (2000).^[2]

संदर्भ

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↑ Chris Doran (2003), Circle and sphere blending with conformal geometric algebra
↑ Jayme Vaz, Jr.; Roldão da Rocha, Jr. (2016). क्लिफोर्ड अलजेब्रा और स्पिनर्स का एक परिचय. Oxford University Press. p. 140. ISBN 9780191085789.

ग्रन्थसूची

किताबें

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- एडुआर्डो बायरो कोरोचानो (2001), धारणा क्रिया प्रणालियों के लिए ज्यामितीय कंप्यूटिंग: अवधारणाएं, एल्गोरिदम और वैज्ञानिक अनुप्रयोग। (Google पुस्तकें)

[1] For clarity, this homogeneous subspace includes non-null vectors, which do not correspond to any point in the base space.

[4] The mapping can also be written $F : x \to -(x - e +) n \infty (x - e +)$ , as given in Hestenes and Sobczyk (1984), p.303.^[1] The equivalence of the two forms is noted in Lasenby and Lasenby (2000).^[2]

[2] Hestenes, David and Garret Sobczyk (1984), Clifford Algebra to Geometric Calculus: A Unified Language for Mathematics and Physics. Dordrecht: Reidel; pp. 302–303.

[3] Lasenby, AN and Lasenby, J (2000), Surface evolution and representation using geometric algebra; in The Mathematics of Surfaces IX: the 9th IMA Conference, Cambridge, 4–7 September 2000, pp. 144–168

[5] Chris Doran (2003), Circle and sphere blending with conformal geometric algebra

[6] Jayme Vaz, Jr.; Roldão da Rocha, Jr. (2016). क्लिफोर्ड अलजेब्रा और स्पिनर्स का एक परिचय. Oxford University Press. p. 140. ISBN 9780191085789.

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अनुरूप ज्यामितीय बीजगणित: Difference between revisions

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सीजीए का निर्माण

संकेतन और शब्दावली

आधार और प्रतिनिधित्व स्थान\

आधार स्थान और प्रतिनिधित्व स्थान के बीच मानचित्रण

व्युत्क्रम मानचित्रण

उत्पत्ति और अनंत पर बिंदु

ज्यामितीय वस्तुएँ

आधार

समीकरणों की जोड़ी के समाधान के रूप में

जैसा कि वस्तु के बिंदुओं से प्राप्त होता है

ऑड्स

g(x) . A = 0

रूपांतरण

सामान्यीकरण

इतिहास

सम्मेलन और पत्रिकाएँ

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संदर्भ

ग्रन्थसूची

किताबें

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@@ Line 1: / Line 1: @@
-<!--This paragraph outlines what CGA is, with particular reference to points and transformations-->
+अनुरूप [[ज्यामितीय बीजगणित]] (सीजीए) ज्यामितीय बीजगणित है जो मानचित्र के परिणामी स्थान पर एक {{math|''n''}}-आयामी आधार स्थान {{math|'''R'''<sup>''p'',''q''</sup>}} में बिंदुओं से {{math|'''R'''<sup>''p''+1,''q''+1</sup>}} में शून्य वैक्टर के लिए बनाया गया है। यह ज्यामितीय बीजगणित का उपयोग करके प्रदर्शित किए जाने वाले प्रतिबिंब, घुमाव और अनुवाद सहित आधार स्थान पर संचालन की अनुमति देता है; और यह पाया गया है कि बिंदु, रेखाएँ, तल, वृत्त और गोले विशेष रूप से प्राकृतिक और कम्प्यूटेशनल रूप से अनुकूल प्रतिनिधित्व प्राप्त करते हैं।
-अनुरूप [[ज्यामितीय बीजगणित]] (सीजीए) ज्यामितीय बीजगणित है जो मानचित्र के परिणामी स्थान पर बिंदुओं से निर्मित होता है। {{math|''n''}}-आयामी आधार स्थान {{math|'''R'''<sup>''p'',''q''</sup>}} शून्य वैक्टर में {{math|'''R'''<sup>''p''+1,''q''+1</sup>}}. यह ज्यामितीय बीजगणित #Versor of the geometric algebra का उपयोग करके प्रदर्शित किए जाने वाले प्रतिबिंब, घुमाव और अनुवाद सहित आधार स्थान पर संचालन की अनुमति देता है; और यह पाया गया है कि बिंदु, रेखाएँ, तल, वृत्त और गोले विशेष रूप से प्राकृतिक और कम्प्यूटेशनल रूप से अनुकूल प्रतिनिधित्व प्राप्त करते हैं।
-<!--This paragraph extends the conformal idea to generalized "conformal geometric objects"-->
+मानचित्रण का प्रभाव यह है कि सामान्यीकृत (अर्थात शून्य वक्रता सहित) n-क्षेत्र {{math|''k''}}-क्षेत्र बेस स्पेस मैप में {{math|(''k'' + 2)}}-[[ब्लेड (ज्यामिति)]] एस, और जिससे बेस स्पेस के अनुवाद (या किसी [[अनुरूप मानचित्र]]ण) का प्रभाव उच्च-आयामी स्थान में घूर्णन से मेल खाता हो। इस स्थान के बीजगणित में, वैक्टर के [[ज्यामितीय उत्पाद]] के आधार पर, इस तरह के परिवर्तन बीजगणित के विशिष्ट सैंडविच संचालन के अनुरूप होते हैं, जो क्वाटरनियन और स्थानिक घूर्णन के उपयोग के समान होते हैं, जो बहुत कुशलता से संयोजित होते हैं। परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करने वाले रोटरों का परिणाम यह है कि गोले, विमानों, वृत्तों और अन्य ज्यामितीय वस्तुओं का प्रतिनिधित्व, और उन्हें जोड़ने वाले समीकरण, सभी सहपरिवर्ती रूप से रूपांतरित होते हैं। ज्यामितीय वस्तु (a {{math|''k''}}-क्षेत्र) को वेज उत्पाद के रूप में संश्लेषित किया जा सकता है {{math|''k'' + 2}} वस्तु पर बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करने वाले रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर; इसके विपरीत, वस्तु को प्रतिनिधित्व करने वाले वैक्टर के बार-बार [[कील उत्पाद|वैज उत्पाद]] के रूप में विघटित किया जा सकता है {{math|''k'' + 2}} इसकी सतह में अलग-अलग बिंदु। कुछ प्रतिच्छेदन के संचालन भी साफ बीजगणितीय रूप प्राप्त करते हैं: उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन बेस स्पेस के लिए {{math|'''R'''<sup>3</sup>}}, दो क्षेत्रों का प्रतिनिधित्व करने वाले टेट्रावेक्टरों के दोहरे उत्पाद को प्रयुक्त करने से उनके प्रतिच्छेदन के व्रत के ट्राइवेक्टर प्रतिनिधित्व के दोहरे का उत्पादन होता है।
-मानचित्रण का प्रभाव यह है कि सामान्यीकृत (अर्थात शून्य वक्रता सहित) n-sphere|{{math|''k''}}-स्फीयर बेस स्पेस मैप में {{math|(''k'' + 2)}}-[[ब्लेड (ज्यामिति)]] एस, और ताकि बेस स्पेस के अनुवाद (या किसी [[अनुरूप मानचित्र]]ण) का प्रभाव उच्च-आयामी अंतरिक्ष में घूर्णन से मेल खाता हो। इस स्थान के बीजगणित में, वैक्टर के [[ज्यामितीय उत्पाद]] के आधार पर, इस तरह के परिवर्तन बीजगणित के विशिष्ट सैंडविच संचालन के अनुरूप होते हैं, जो क्वाटरनियन और स्थानिक रोटेशन के उपयोग के समान होते हैं, जो बहुत कुशलता से संयोजित होते हैं। परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करने वाले रोटरों का एक परिणाम यह है कि गोले, विमानों, वृत्तों और अन्य ज्यामितीय वस्तुओं का प्रतिनिधित्व, और उन्हें जोड़ने वाले समीकरण, सभी सहपरिवर्ती रूप से रूपांतरित होते हैं। एक ज्यामितीय वस्तु (ए {{math|''k''}}-sphere) को वेज उत्पाद के रूप में संश्लेषित किया जा सकता है {{math|''k'' + 2}} वस्तु पर बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करने वाले रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर; इसके विपरीत, वस्तु को प्रतिनिधित्व करने वाले वैक्टर के बार-बार [[कील उत्पाद]] के रूप में विघटित किया जा सकता है {{math|''k'' + 2}} इसकी सतह में अलग-अलग बिंदु। कुछ चौराहे के संचालन भी एक साफ बीजगणितीय रूप प्राप्त करते हैं: उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन बेस स्पेस के लिए {{math|'''R'''<sup>3</sup>}}, दो क्षेत्रों का प्रतिनिधित्व करने वाले टेट्रावेक्टरों के दोहरे उत्पाद को लागू करने से उनके चौराहे के सर्कल के ट्राइवेक्टर प्रतिनिधित्व के दोहरे का उत्पादन होता है।
-<!--This paragraph introduces applications and motivates the use of CGA-->
+चूंकि यह बीजगणितीय संरचना खुद को सीधे प्रभावी संगणना के लिए उधार देती है, यह ठोस, आसानी से हेरफेर करने वाली सेटिंग में [[प्रक्षेपी ज्यामिति]] और व्युत्क्रम ज्यामिति के मौलिक विधियों की खोज की सुविधा प्रदान करती है। [[पेंच सिद्धांत]] में गणनाओं का प्रतिनिधित्व करने और उन्हें सुविधाजनक बनाने के लिए इसका उपयोग कुशल संरचना के रूप में भी किया गया है। सीजीए को विशेष रूप से दैनिक यूक्लिडियन स्थान {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} पांच आयामी वेक्टर स्थान में {{math|'''R'''<sup>4,1</sup>}} के प्रक्षेपी मानचित्रण के संबंध में प्रयुक्त किया गया है, जिसकी रोबोटिक्स और कंप्यूटर विज़न में अनुप्रयोगों के लिए जांच की गई है। यह सामान्यतः किसी भी छद्म-यूक्लिडियन स्थान पर प्रयुक्त किया जा सकता है - उदाहरण के लिए, मिन्कोव्स्की स्थान {{math|'''R'''<sup>3,1</sup>}} से स्थान {{math|'''R'''<sup>4,2</sup>}} के लिए है
-चूंकि यह बीजगणितीय संरचना खुद को सीधे प्रभावी संगणना के लिए उधार देती है, यह एक ठोस, आसानी से हेरफेर करने वाली सेटिंग में [[प्रक्षेपी ज्यामिति]] और व्युत्क्रम ज्यामिति के शास्त्रीय तरीकों की खोज की सुविधा प्रदान करती है। [[पेंच सिद्धांत]] में गणनाओं का प्रतिनिधित्व करने और उन्हें सुविधाजनक बनाने के लिए इसका उपयोग एक कुशल संरचना के रूप में भी किया गया है। सीजीए को विशेष रूप से दैनिक यूक्लिडियन अंतरिक्ष के प्रक्षेपी मानचित्रण के संबंध में लागू किया गया है {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} पांच आयामी वेक्टर अंतरिक्ष में {{math|'''R'''<sup>4,1</sup>}}, जिसकी रोबोटिक्स और कंप्यूटर विज़न में अनुप्रयोगों के लिए जांच की गई है। यह आम तौर पर किसी भी छद्म-यूक्लिडियन स्थान पर लागू किया जा सकता है - उदाहरण के लिए, मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष {{math|'''R'''<sup>3,1</sup>}} अंतरिक्ष के लिए {{math|'''R'''<sup>4,2</sup>}}.
-{{cleanup section|date=February 2012}}
+== सीजीए का निर्माण ==
-== सीजीए == का निर्माण
+=== संकेतन और शब्दावली ===
+इस लेख में, ध्यान बीजगणित <math>\mathcal G(4,1)</math> पर है जैसा कि यह विशेष बीजगणित है जो समय के साथ सबसे अधिक ध्यान देने वाला विषय रहा है; अन्य स्थितियों को संक्षेप में अलग खंड में सम्मिलित किया गया है।
+जिन वस्तुओं को प्रतिरूपित किया जा रहा है, उन्हें आधार स्थान कहा जाता है, और बीजगणितीय स्थान इन वस्तुओं को प्रतिनिधित्व या अनुरूप स्थान के रूप में मॉडल करने के लिए उपयोग किया जाता है। सजातीय उप-स्थान बीजगणितीय स्थान के रैखिक उप-स्थान को संदर्भित करता है।
-=== संकेतन और शब्दावली ===
+वस्तुओं के लिए नियम: बिंदु, रेखा, वृत्त, गोला, अर्ध-गोला आदि का उपयोग या तो आधार स्थान में ज्यामितीय वस्तु, या प्रतिनिधित्व स्थान के सजातीय उप-स्थान के लिए किया जाता है जो उस वस्तु का प्रतिनिधित्व करता है, जिसका सामान्यतः अभिप्रेत होता है जब तक अन्यथा इंगित न किया गया हो।{{refn|group="lower-alpha"|For clarity, this homogeneous subspace includes non-null vectors, which do not correspond to any point in the base space.}} बीजगणितीय रूप से, सजातीय उप-स्थान के किसी भी अशून्य अशक्त तत्व का उपयोग किया जाएगा, जिसमें तत्व को कुछ मानदंडों द्वारा सामान्यीकृत के रूप में संदर्भित किया जाएगा।
-इस लेख में, ध्यान बीजगणित पर है <math>\mathcal G(4,1)</math> जैसा कि यह विशेष बीजगणित है जो समय के साथ सबसे अधिक ध्यान देने वाला विषय रहा है; अन्य मामलों को संक्षेप में एक अलग खंड में शामिल किया गया है।
-जिन वस्तुओं को प्रतिरूपित किया जा रहा है, उन्हें आधार स्थान कहा जाता है, और बीजगणितीय स्थान इन वस्तुओं को प्रतिनिधित्व या अनुरूप स्थान के रूप में मॉडल करने के लिए उपयोग किया जाता है। एक सजातीय उप-स्थान बीजगणितीय अंतरिक्ष के एक रैखिक उप-स्थान को संदर्भित करता है।
-<!--Some thought is need for these terms.
- * Hestenes uses "inhomogeneous" and "homogeneous" as adjectives (but this clashes with "homogeneous subspace")
- * Perwass refers to "Euclidean space" and "conformal space" respectively.
- * Dorst uses "base space" and "representation space"
- Dorst's appears to me the best terminology – Quondum  -->
-<!--Quite a few sources use conformal space (which is in https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Conformal_space) so I think we could use either -selfstudier -->
-वस्तुओं के लिए शर्तें: बिंदु, रेखा, वृत्त, गोला, अर्ध-गोला आदि का उपयोग या तो आधार स्थान में ज्यामितीय वस्तु, या प्रतिनिधित्व स्थान के सजातीय उप-स्थान के लिए किया जाता है जो उस वस्तु का प्रतिनिधित्व करता है, जिसका आमतौर पर इरादा होता है जब तक अन्यथा इंगित न किया गया हो।{{refn|group="lower-alpha"|For clarity, this homogeneous subspace includes non-null vectors, which do not correspond to any point in the base space.}} बीजगणितीय रूप से, सजातीय उप-स्थान के किसी भी अशून्य अशक्त तत्व का उपयोग किया जाएगा, जिसमें एक तत्व को कुछ मानदंडों द्वारा सामान्यीकृत के रूप में संदर्भित किया जाएगा।
-बोल्डफेस लोअरकेस लैटिन अक्षरों का उपयोग मूल स्थान से बेस स्पेस में एक बिंदु तक स्थिति वैक्टर का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। प्रतिनिधित्व स्थान के अन्य तत्वों के लिए इटैलिक प्रतीकों का उपयोग किया जाता है।
+बोल्डफेस लोअरकेस लैटिन अक्षरों का उपयोग मूल स्थान से बेस स्पेस में बिंदु तक स्थिति वैक्टर का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। प्रतिनिधित्व स्थान के अन्य तत्वों के लिए इटैलिक प्रतीकों का उपयोग किया जाता है।
-=== आधार और प्रतिनिधित्व स्थान ===
+=== आधार और प्रतिनिधित्व स्थान\ ===
-आधार स्थान {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} को एक चुने हुए मूल से विस्थापन के लिए एक आधार का विस्तार करके और दो आधार सदिशों को जोड़कर दर्शाया जाता है {{math|''e''<sub>−</sub>}} और {{math|''e''<sub>+</sub>}} आधार स्थान और एक दूसरे के साथ ओर्थोगोनल {{math|1=''e''<sub>−</sub><sup>2</sup> = −1}} और {{math|1=''e''<sub>+</sub><sup>2</sup> = +1}}, प्रतिनिधित्व स्थान बनाना <math>\mathcal G(4,1)</math>.
+आधार स्थान {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} को एक चुने हुए मूल से विस्थापन के लिए एक आधार का विस्तार करके और दो आधार वैक्टर {{math|''e''<sub>−</sub>}} और {{math|''e''<sub>+</sub>}} ऑर्थोगोनल को आधार स्थान और एक दूसरे से जोड़कर, {{math|1=''e''<sub>−</sub><sup>2</sup> = −1}} और {{math|1=''e''<sub>+</sub><sup>2</sup> = +1}} के साथ दर्शाया गया है। , प्रतिनिधित्व स्थान <math>\mathcal G(4,1)</math> बनाना है ।
-दो अशक्त वैक्टर का उपयोग करना सुविधाजनक है {{math|''n''<sub>o</sub>}} और {{math|''n''<sub>∞</sub>}} के स्थान पर आधार वैक्टर के रूप में {{math|1=''e''<sub>+</sub>}} और {{math|1=''e''<sub>−</sub>}}, कहाँ {{math|1=''n''<sub>o</sub> = (''e''<sub>−</sub> − ''e''<sub>+</sub>)/2}}, और  {{math|1=''n''<sub>∞</sub> = ''e''<sub>−</sub> + ''e''<sub>+</sub>}}.
+{{math|1=''e''<sub>+</sub>}} और {{math|1=''e''<sub>−</sub>}} के स्थान पर आधार सदिश के रूप में दो अशक्त सदिश संख्या {{math|''n''<sub>o</sub>}} और {{math|''n''<sub>∞</sub>}} का उपयोग करना सुविधाजनक है, जहाँ {{math|1=''n''<sub>o</sub> = (''e''<sub>−</sub> − ''e''<sub>+</sub>)/2}} और {{math|1=''n''<sub>∞</sub> = ''e''<sub>−</sub> + ''e''<sub>+</sub>}} है। यह सत्यापित किया जा सकता है, जहां {{math|'''x'''}} आधार स्थान में है, कि:
-इसे सत्यापित किया जा सकता है, कहाँ {{math|'''x'''}} बेस स्पेस में है, कि:
 :<math>\begin{array}{lllll}
    {n_\text{o}}^2 & = 0      \qquad n_\text{o} \cdot n_\infty & = -1          \qquad & n_\text{o} \cdot \mathbf{x} & = 0 \\
    {n_\infty}^2 & = 0 \qquad n_\text{o} \wedge n_\infty & = e_{-}e_{+} \qquad & n_\infty \cdot \mathbf{x} & = 0
 \end{array}</math>
-ये गुण एक सामान्य सदिश के आधार सदिश गुणांकों के लिए निम्नलिखित सूत्रों की ओर ले जाते हैं {{math|''r''}} तत्वों के आधार के लिए प्रतिनिधित्व स्थान में {{math|''e''<sub>''i''</sub>}} हर दूसरे आधार तत्व के लिए ओर्थोगोनल:
+ये गुण एक सामान्य सदिश {{math|''r''}} के आधार सदिश गुणांक के लिए निम्नलिखित सूत्रों की ओर ले जाते हैं, जो तत्वों के आधार के लिए प्रत्येक अन्य आधार तत्व {{math|''e''<sub>''i''</sub>}} के लिए ऑर्थोगोनल के आधार के लिए प्रतिनिधित्व करते हैं:
-: का गुणांक {{math|''n''<sub>o</sub>}} के लिए {{math|''r''}} है {{math|−''n''<sub>∞</sub> ⋅ ''r''}}
+:{{math|''r''}} के लिए {{math|''n''<sub>o</sub>}} का गुणांक {{math|−''n''<sub>∞</sub> ⋅ ''r''}} है
-: का गुणांक {{math|''n''<sub>∞</sub>}} के लिए {{math|''r''}} है {{math|−''n''<sub>o</sub> ⋅ ''r''}}
+: {{math|''r''}} का गुणांक {{math|''n''<sub>∞</sub>}} के लिए {{math|−''n''<sub>o</sub> ⋅ ''r''}} है
-: का गुणांक {{math|''e''<sub>''i''</sub>}} के लिए {{math|''r''}} है {{math|''e''<sub>''i''</sub><sup>−1</sup> ⋅ ''r''}}.
+: {{math|''r''}} का गुणांक {{math|''e''<sub>''i''</sub>}} के लिए {{math|''e''<sub>''i''</sub><sup>−1</sup> ⋅ ''r''}} है
 === आधार स्थान और प्रतिनिधित्व स्थान के बीच मानचित्रण ===
-बेस स्पेस में एक वेक्टर से मैपिंग (मूल से प्रतिनिधित्व किए गए एफाइन स्पेस में एक बिंदु तक) सूत्र द्वारा दी गई है:{{refn|group="lower-alpha"|The mapping can also be written {{math|''F'' : '''x''' → −('''x''' − ''e''<sub>+</sub>) ''n''<sub>∞</sub> ('''x''' − ''e''<sub>+</sub>)}}, as given in [[David Hestenes|Hestenes]] and Sobczyk (1984), p.303.<ref>Hestenes, David and Garret Sobczyk (1984), ''Clifford Algebra to Geometric Calculus: A Unified Language for Mathematics and Physics''. Dordrecht: Reidel; pp. 302–303.</ref>  The equivalence of the two forms is noted in Lasenby and Lasenby (2000).<ref>Lasenby, AN and Lasenby, J (2000), [http://www.mrao.cam.ac.uk/~clifford/publications/ps/ll_surface.ps.gz Surface evolution and representation using geometric algebra]; in ''The Mathematics of Surfaces IX: the 9th IMA Conference, Cambridge, 4–7 September 2000'',  pp. 144–168</ref>}}
+बेस स्पेस में वेक्टर से मैपिंग (मूल से प्रतिनिधित्व किए गए एफाइन स्पेस में बिंदु तक) सूत्र द्वारा दी गई है:{{refn|group="lower-alpha"|The mapping can also be written {{math|''F'' : '''x''' → −('''x''' − ''e''<sub>+</sub>) ''n''<sub>∞</sub> ('''x''' − ''e''<sub>+</sub>)}}, as given in [[David Hestenes|Hestenes]] and Sobczyk (1984), p.303.<ref>Hestenes, David and Garret Sobczyk (1984), ''Clifford Algebra to Geometric Calculus: A Unified Language for Mathematics and Physics''. Dordrecht: Reidel; pp. 302–303.</ref>  The equivalence of the two forms is noted in Lasenby and Lasenby (2000).<ref>Lasenby, AN and Lasenby, J (2000), [http://www.mrao.cam.ac.uk/~clifford/publications/ps/ll_surface.ps.gz Surface evolution and representation using geometric algebra]; in ''The Mathematics of Surfaces IX: the 9th IMA Conference, Cambridge, 4–7 September 2000'',  pp. 144–168</ref>}}
 :<math> F : \mathbf{x} \mapsto n_\text{o} + \mathbf{x} + \tfrac{1}{2} \mathbf{x}^2 n_\infty </math>
-बिंदु और अन्य वस्तुएं जो केवल एक गैर-शून्य स्केलर कारक से भिन्न होती हैं, आधार स्थान में एक ही वस्तु के लिए मैप करती हैं। जब सामान्यीकरण वांछित होता है, जैसा कि प्रतिनिधित्व स्थान से आधार स्थान तक या दूरी निर्धारित करने के लिए एक बिंदु का एक सरल रिवर्स मैप बनाने के लिए, स्थिति {{math|1=''F''('''x''') ⋅ ''n''<sub>∞</sub> = −1}} उपयोग किया जा सकता है।
+बिंदु और अन्य वस्तुएं जो केवल गैर-शून्य स्केलर कारक से भिन्न होती हैं, आधार स्थान में ही वस्तु के लिए मैप करती हैं। जब सामान्यीकरण वांछित होता है, जैसा कि प्रतिनिधित्व स्थान से आधार स्थान तक या दूरी निर्धारित करने के लिए बिंदु का सरल उल्टा नक्शा बनाने के लिए, स्थिति {{math|1=''F''('''x''') ⋅ ''n''<sub>∞</sub> = −1}} उपयोग किया जा सकता है।
-[[Image:Conformal Embedding.svg|right|300px|thumb|सामान्यीकरण का परिवर्तन: हाइपरप्लेन से अशक्त शंकु का मानचित्रण करना {{math|1=''r'' ⋅ (''n''<sub>∞</sub> − ''n''<sub>o</sub>) = 1}} हाइपरप्लेन के लिए {{math|1=''r'' ⋅ ''n''<sub>∞</sub> = −1}}.]]फॉरवर्ड मैपिंग इसके बराबर है:
+[[Image:Conformal Embedding.svg|right|300px|thumb|सामान्यीकरण का परिवर्तन: हाइपरप्लेन से अशक्त शंकु का मानचित्रण करना {{math|1=''r'' ⋅ (''n''<sub>∞</sub> − ''n''<sub>o</sub>) = 1}} हाइपरप्लेन के लिए {{math|1=''r'' ⋅ ''n''<sub>∞</sub> = −1}}.]]अग्रिम मैपिंग इसके सामन है:
-* पहले अनुरूप रूप से प्रोजेक्ट करना {{math|'''x'''}} से {{math|''e''<sub>123</sub>}} अंतरिक्ष में एक इकाई 3-गोले पर {{math|''e''<sub>+</sub> ∧ ''e''<sub>123</sub>}} (5-डी में यह सबस्पेस में है {{math|1=''r'' ⋅ (−''n''<sub>o</sub> − {{sfrac|1|2}}''n''<sub>∞</sub>) = 0}});
+*स्थान {{math|''e''<sub>+</sub> ∧ ''e''<sub>123</sub>}} (5-D में यह उपस्थान {{math|1=''r'' ⋅ (−''n''<sub>o</sub> − {{sfrac|1|2}}''n''<sub>∞</sub>) = 0}} में {{math|''e''<sub>123</sub>}} से एक इकाई 3-गोले पर {{math|'''x'''}} को पहले अनुरूप रूप से प्रक्षेपित करता है;
-* फिर इसे सटे हुए एक प्रक्षेप्य स्थान में उठाएं {{math|1=''e''<sub>–</sub> = 1}}, और मूल से एक ही किरण पर सभी बिंदुओं की पहचान करना (5-डी में यह सबस्पेस में है {{math|1=''r'' ⋅ (−''n''<sub>o</sub> − {{sfrac|1|2}}''n''<sub>∞</sub>) = 1}});
+*;
-* फिर सामान्यीकरण बदलें, इसलिए सजातीय प्रक्षेपण के लिए विमान द्वारा दिया गया है {{math|''n''<sub>o</sub>}} मूल्य वाले समन्वय {{math|1}}, अर्थात। {{math|1=''r'' ⋅ ''n''<sub>∞</sub> = −1}}.
+*;'''फिर इसे {{math|1=''e''<sub>–</sub> = 1}} से जोड़कर, एक प्रक्षेप्य स्थान में उठाएं, और मूल से एक ही किरण पर सभी बिंदुओं की पहचान करें (5-D में यह उपस्थान {{math|1=''r'' ⋅ (−''n''<sub>o</sub> − {{sfrac|1|2}}''n''<sub>∞</sub>) = 1}} में है;'''
+*फिर सामान्यीकरण को बदलें, इसलिए सजातीय प्रक्षेपण के लिए स्थान को कोई समन्वय {{math|''n''<sub>o</sub>}} दिया गया है जिसका मान {{math|1}} है, अर्थात {{math|1=''r'' ⋅ ''n''<sub>∞</sub> = −1}}।
-=== उलटा मानचित्रण ===
+=== व्युत्क्रम मानचित्रण ===
-के लिए एक उलटा मानचित्रण {{math|''X''}} द्वारा शून्य शंकु पर दिया गया है (Perwass eqn 4.37)।
+रिक्त शंकु पर {{math|''X''}} के लिए एक व्युत्क्रम मानचित्रण द्वारा दिया गया है (पेरवास समीकरण 4.37) द्वारा
 :<math>X \mapsto \mathcal{P}^\perp_{n_\infty \wedge n_\text{o}}\left( \frac{X}{- X \cdot n_\infty}\right)</math>
-यह पहले विमान पर प्रकाश-शंकु से त्रिविम प्रक्षेपण देता है {{math|1=''r'' ⋅ ''n''<sub>∞</sub> = −1}}, और फिर फेंक देता है {{math|''n''<sub>o</sub>}} और {{math|''n''<sub>∞</sub>}} भागों, ताकि समग्र परिणाम सभी समकक्ष बिंदुओं को मैप करना हो {{math|1=''αX'' = ''α''(''n''<sub>o</sub> + '''x''' + {{sfrac|2}}'''x'''<sup>2</sup>''n''<sub>∞</sub>)}} को {{math|'''x'''}}.
+यह पहले प्रकाश-शंकु से समतल {{math|1=''r'' ⋅ ''n''<sub>∞</sub> = −1}}पर एक त्रिविम प्रक्षेपण देता है, और फिर संख्या {{math|''n''<sub>o</sub>}} और {{math|''n''<sub>∞</sub>}} भागों को दूर फेंक देता है, जिससे समग्र परिणाम सभी समकक्ष बिंदुओं {{math|1=''αX'' = ''α''(''n''<sub>o</sub> + '''x''' + {{sfrac|2}}'''x'''<sup>2</sup>''n''<sub>∞</sub>)}} से {{math|'''x'''}} तक है |
 === उत्पत्ति और अनंत पर बिंदु ===
-बिंदु {{math|1='''x''' = 0}} में {{math|ℝ<sup>''p'',''q''</sup>}} के लिए मानचित्र {{math|''n''<sub>o</sub>}} में {{math|ℝ<sup>''p''+1,''q''+1</sup>}}, इसलिए {{math|''n''<sub>o</sub>}} को मूल बिंदु पर (प्रतिनिधित्व) वेक्टर के रूप में पहचाना जाता है।
+बिंदु {{math|1='''x''' = 0}} में {{math|ℝ<sup>''p'',''q''</sup>}} मानचित्र {{math|ℝ<sup>''p''+1,''q''+1</sup>}} में नहीं, इसलिए ({{math|''n''<sub>o</sub>}}) को मूल बिंदु पर बिंदु के (प्रतिनिधित्व) वेक्टर के रूप में पहचाना जाता है। {{math|ℝ<sup>''p''+1,''q''+1</sup>}} में एक वेक्टर एक अशून्य {{math|''n''<sub>∞</sub>}} गुणांक के साथ, किंतु एक शून्य ({{math|''n''<sub>o</sub>}}) गुणांक, (उल्टे मानचित्र पर विचार करते हुए) {{math|ℝ<sup>''p'',''q''</sup>}} में एक अनंत वेक्टर की छवि होनी चाहिए। इसलिए दिशा {{math|''n''<sub>∞</sub>}} अनंत पर (अनुरूप) बिंदु का प्रतिनिधित्व करती है। यह शून्य आधार वैक्टर की पहचान करने के लिए उपलेख {{math|<sub>o</sub>}} और {{math|<sub>∞</sub>}} को प्रेरित करता है।
-में एक वेक्टर {{math|ℝ<sup>''p''+1,''q''+1</sup>}} एक अशून्य के साथ {{math|''n''<sub>∞</sub>}} गुणांक, लेकिन एक शून्य {{math|''n''<sub>o</sub>}} गुणांक, (उल्टे मानचित्र पर विचार करते हुए) एक अनंत सदिश की छवि होनी चाहिए {{math|ℝ<sup>''p'',''q''</sup>}}. दिशा {{math|''n''<sub>∞</sub>}} इसलिए अनंत पर (अनुरूप) बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है। यह सबस्क्रिप्ट को प्रेरित करता है {{math|<sub>o</sub>}} और {{math|<sub>∞</sub>}} अशक्त आधार वैक्टर की पहचान के लिए।
+उत्पत्ति का चुनाव इच्छानुसार है: किसी अन्य बिंदु को चुना जा सकता है, क्योंकि प्रतिनिधित्व सघन स्थान का है। मूल केवल संदर्भ बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है, और बीजगणितीय रूप से किसी अन्य बिंदु के समान है। किसी भी अनुवाद के साथ, उत्पत्ति को बदलने से प्रतिनिधित्व स्थान में घूर्णन होता है।
-उत्पत्ति का चुनाव मनमाना है: किसी अन्य बिंदु को चुना जा सकता है, क्योंकि प्रतिनिधित्व एक सघन स्थान का है। मूल केवल एक संदर्भ बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है, और बीजगणितीय रूप से किसी अन्य बिंदु के बराबर है। किसी भी अनुवाद के साथ, उत्पत्ति को बदलने से प्रतिनिधित्व स्थान में रोटेशन होता है।
 == ज्यामितीय वस्तुएँ ==
 === आधार ===
-के साथ साथ <math>I_5 = e_{123}E
-</math> और <math>1
-</math>, ये बीजगणित के 32 आधार फलक हैं।
-फ्लैट प्वाइंट मूल एक बाहरी उत्पाद के रूप में लिखा गया है क्योंकि ज्यामितीय उत्पाद मिश्रित ग्रेड का है।(<math>E=e_+e_-</math>).
 {| class="wikitable mw-collapsible" style="float:right; margin-right: 10px"
 |+Basis Blades of <math>\mathcal G(4,1)</math>
-!Elements
+!तत्वों
-!Geometric Concept
+!ज्यामितीय अवधारणा
 |-
-| colspan="2" |Point and Dual Sphere
+| colspan="2" |बिंदु और दोहरी क्षेत्र
 |-
 |<math>e_i ,n_0 ,n_\infty</math>
-|Without <math>n_0</math> is Dual Plane
+|बिना <math>n_0</math> द्वितल है
 |-
-| colspan="2" |Point Pair
+| colspan="2" |बिंदु जोड़ी
 |-
 |<math>e_{ij}
 </math>
-|Bivector
+|बायवेक्टर
 |-
 |<math>e_{i}n_0
 </math>
-|Tangent vector
+|स्पर्शरेखा सदिश
 |-
 |<math>e_in_\infty</math>
-|Direction vector (plus Bivector is Dual Line)
+|दिशा सदिश (प्लस बाइवेक्टर दोहरी रेखा है)
 |-
 |<math>E=n_o\wedge n_\infty</math>
-|Flat Point Origin *
+|सपाट बिंदु उत्पत्ति *
 |-
-| colspan="2" |Circle
+| colspan="2" |घेरा
 |-
 |<math>e_1e_2e_3 = I_3</math>
-|3D Pseudoscalar
+|3डी स्यूडोस्केलर
 |-
 |<math>e_{ij}n_0</math>
-|Tangent Bivector
+|स्पर्शरेखा बाइवेक्टर
 |-
 |<math>e_{ij}n_\infty</math>
-|Direction Bivector (plus <math>e_iE
+|दिशा बायवेक्टर (प्लस <math>e_iE
-</math> is the Line)
+</math> रेखा है)
 |-
 |<math>e_iE</math>
@@ Line 126: / Line 107: @@
 </math>
-|Without <math>e_in_0
+|<math>e_in_0
-</math>is the Plane
+</math> बिना स्थान है
 |-
 |<math>e_in_\infty
@@ Line 136: / Line 117: @@
 |}
+साथ में <math>I_5 = e_{123}E
-=== समीकरणों की एक जोड़ी के समाधान के रूप में ===
+</math> और <math>1
-किसी भी अशून्य ब्लेड (ज्यामिति) को देखते हुए {{math|''A''}प्रतिनिधित्व करने वाले स्थान का }, सदिशों का समुच्चय जो प्रपत्र के सजातीय समीकरणों की एक जोड़ी के समाधान हैं<ref>[https://arxiv.org/abs/cs.CG/0310017 Chris Doran (2003), ''Circle and sphere blending with conformal geometric algebra'']</ref>
+</math>, ये बीजगणित के 32 आधार ब्लेड हैं। समतल बिंदु मूल को एक बाहरी उत्पाद के रूप में लिखा जाता है क्योंकि ज्यामितीय उत्पाद मिश्रित श्रेणी का होता है।<math>E=e_+e_-</math>।
+=== समीकरणों की जोड़ी के समाधान के रूप में ===
+प्रतिनिधित्व करने वाले स्थान के किसी भी गैर-शून्य ब्लेड ''A'' को देखते हुए, वैक्टर का समूह जो फॉर्म के सजातीय समीकरणों की एक जोड़ी के समाधान हैं<ref>[https://arxiv.org/abs/cs.CG/0310017 Chris Doran (2003), ''Circle and sphere blending with conformal geometric algebra'']</ref>
 :<math>X^2 = 0</math>
 :<math>X \wedge A = 0</math>
-अशक्त सदिशों के सजातीय 1-डी उपस्थानों का संघ है, और इस प्रकार आधार स्थान में बिंदुओं के एक समूह का प्रतिनिधित्व है। इससे ब्लेड का चुनाव होता है {{math|''A''}} ज्यामितीय वस्तुओं के एक विशेष वर्ग का प्रतिनिधित्व करने का एक उपयोगी तरीका है। ब्लेड के लिए विशिष्ट मामले {{math|''A''}} (अंतरिक्ष के आयामों की संख्या से स्वतंत्र) जब आधार स्थान यूक्लिडियन स्थान होता है:
+अशक्त सदिशों के सजातीय 1-डी उपस्थानों का संघ है, और इस प्रकार आधार स्थान में बिंदुओं के एक समूह का प्रतिनिधित्व है। यह ज्यामितीय वस्तुओं के एक विशेष वर्ग का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक उपयोगी विधि के रूप में एक ब्लेड {{math|''A''}} की पसंद की ओर जाता है। आधार स्थान यूक्लिडियन स्थान होने पर ब्लेड {{math|''A''}} (स्थान के आयामों की संख्या से स्वतंत्र) के लिए विशिष्ट स्थिति हैं:
-* एक अदिश: खाली सेट
+* एक अदिश: खाली समूह
-* एक वेक्टर: एक बिंदु
+* एक वेक्टर: बिंदु
-* एक बायवेक्टर: बिंदुओं की एक जोड़ी
+* एक बायवेक्टर: बिंदुओं की जोड़ी
-* एक ट्राइवेक्टर: एक सामान्यीकृत चक्र
+* एक ट्राइवेक्टर: सामान्यीकृत चक्र
-* एक 4-वेक्टर: एक सामान्यीकृत क्षेत्र
+* एक 4-वेक्टर: सामान्यीकृत क्षेत्र
 * वगैरह।
-ये प्रत्येक चाहे के अनुसार तीन मामलों में विभाजित हो सकता है {{math|''A''<sup>2</sup>}} धनात्मक, शून्य या ऋणात्मक है, सूचीबद्ध वस्तु के अनुरूप (कुछ मामलों में उलटे क्रम में), एक बिंदु का एक पतित मामला, या कोई बिंदु नहीं है (जहां गैर-शून्य समाधान {{math|1=''X'' ∧ ''A''}} अशक्त वैक्टर को बाहर करें)।
+इनमें से प्रत्येक को तीन स्थितियों में विभाजित किया जा सकता है कि क्या {{math|''A''<sup>2</sup>}} सकारात्मक, शून्य या ऋणात्मक है, सूचीबद्ध वस्तु के अनुरूप (कुछ स्थितियों में उल्टे क्रम में), एकल बिंदु का पतित स्थिति , या कोई बिंदु नहीं (जहां गैर-शून्य समाधान) {{math|1=''X'' ∧ ''A''}} शून्य वैक्टर को बाहर करता है)।
-सूचीबद्ध ज्यामितीय वस्तुएं (सामान्यीकृत n-sphere|{{math|''n''}}-क्षेत्र) छद्म-यूक्लिडियन होने के आधार स्थान के अधिक सामान्य मामले में [[अर्ध-क्षेत्र]] बन जाते हैं।<ref>{{cite book |author1=Jayme Vaz, Jr. |author2=Roldão da Rocha, Jr. |year=2016 |title=क्लिफोर्ड अलजेब्रा और स्पिनर्स का एक परिचय|publisher=Oxford University Press|page=140 |isbn=9780191085789 }}</ref>
+आधार स्थान छद्म-यूक्लिडियन होने के अधिक सामान्य स्थिति में सूचीबद्ध ज्यामितीय वस्तुएं (सामान्यीकृत एन-क्षेत्र) अर्ध-क्षेत्र बन जाती हैं। <ref>{{cite book |author1=Jayme Vaz, Jr. |author2=Roldão da Rocha, Jr. |year=2016 |title=क्लिफोर्ड अलजेब्रा और स्पिनर्स का एक परिचय|publisher=Oxford University Press|page=140 |isbn=9780191085789 }}</ref>
-फ्लैट (ज्यामिति) वस्तुओं को समाधानों में शामिल अनंतता पर बिंदु द्वारा पहचाना जा सकता है। इस प्रकार, यदि {{math|1=''n''<sub>∞</sub> ∧ ''A'' = 0}}, ब्लेड के लिए वस्तु एक रेखा, समतल आदि होगी {{math|''A''}} क्रमशः ग्रेड 3, 4, आदि का होना।
+समाधान में सम्मिलित अनंतता पर बिंदु द्वारा समतल वस्तुओं की पहचान की जा सकती है। इस प्रकार, यदि {{math|1=''n''<sub>∞</sub> ∧ ''A'' = 0}} ब्लेड {{math|''A''}} के लिए वस्तु क्रमशः श्रेणी 3, 4, आदि के लिए एक रेखा, तल आदि होगी।
 === जैसा कि वस्तु के बिंदुओं से प्राप्त होता है ===
-एक ब्लेड {{math|''A''}} वस्तु के इस वर्ग में से किसी एक का प्रतिनिधित्व वस्तु पर बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करने वाले रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर के बाहरी उत्पाद के रूप में पाया जा सकता है। आधार स्थान में, यह रैखिक स्वतंत्रता अन्य बिंदुओं द्वारा परिभाषित वस्तु के बाहर स्थित प्रत्येक बिंदु के रूप में प्रकट होती है। इसलिए, उदाहरण के लिए, तीन अलग-अलग बिंदुओं द्वारा परिभाषित सामान्यीकृत वृत्त पर पड़ा एक चौथा बिंदु एक गोले को परिभाषित करने के लिए चौथे बिंदु के रूप में उपयोग नहीं किया जा सकता है।
+वस्तु के इस वर्ग में से किसी एक का प्रतिनिधित्व करने वाला ब्लेड {{math|''A''}} वस्तु पर बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करने वाले रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर के बाहरी उत्पाद के रूप में पाया जा सकता है। आधार स्थान में, यह रैखिक स्वतंत्रता अन्य बिंदुओं द्वारा परिभाषित वस्तु के बाहर स्थित प्रत्येक बिंदु के रूप में प्रकट होती है। इसलिए, उदाहरण के लिए, तीन अलग-अलग बिंदुओं द्वारा परिभाषित सामान्यीकृत वृत्त पर पड़ा चौथा बिंदु गोले को परिभाषित करने के लिए चौथे बिंदु के रूप में उपयोग नहीं किया जा सकता है।
 === ऑड्स ===
-: ई में अंक<sub>123</sub> शून्य शंकु पर नक्शा - शून्य पैराबोला अगर हम r सेट करते हैं। एन<sub>∞</sub> = -1।
+:यदि हम r सेट करते हैं तो '''e'''<sub>123</sub> मानचित्र में शून्य शंकु-शून्य पैराबोला पर अंक। ''n''<sub>∞</sub> = -1
-: हम ई में बिंदुओं के स्थान पर विचार कर सकते हैं<sub>123</sub> अनुसूचित जनजाति। कंफर्मल स्पेस g('x') में। A = 0, विभिन्न प्रकार की ज्यामितीय वस्तु A के लिए।
+:
+हम '''e'''<sub>123</sub> सेंट में बिंदुओं के स्थान पर विचार कर सकते हैं। अनुरूप स्थान ''g''('''x''') में। A = 0, विभिन्न प्रकार की ज्यामितीय वस्तु A के लिए।
-: हम इसे देखकर शुरू करते हैं <math>g(\mathbf{a}) . g(\mathbf{b}) = -\frac{1}{2} \| \mathbf{a} - \mathbf{b} \|^2 </math>
+:
+: हम उस <math>g(\mathbf{a}) . g(\mathbf{b}) = -\frac{1}{2} \| \mathbf{a} - \mathbf{b} \|^2 </math> देखकर प्रारंभ करते हैं
 तुलना करना:
-* एक्स। ए = 0 => एक्स पर्प ए; x.(a∧b) = 0 => x perp a और x perp b
+*x. a = 0 => x पर्प a; x.(a∧b) = 0 => x perp a और x perp b
 * x∧a = 0 => x a के समानांतर; x∧(a∧b) = 0 => x a या b के समानांतर (या कुछ रैखिक संयोजन के लिए)
@@ Line 172: / Line 163: @@
 :x∧A = 0 <=> x । A* = 0 (जाँच—कार्य करता है यदि x 1-मंद है, A n-1 मंद है)
-==== जी (एक्स)। ए = 0 ====
+==== g(x) . A = 0 ====
-* एक बिंदु: 'आर' में एक्स का स्थान<sup>3</sup> एक बिंदु है यदि A 'R' में है<sup>4,1</sup> रिक्त शंकु पर एक सदिश है।
+* एक बिंदु: ''''R'''<sup>3</sup> ' में x का स्थान बिंदु है यदि A में ''''R'''<sup>4,1</sup> ' है रिक्त शंकु पर सदिश है।
-::(N.B. क्योंकि यह एक सजातीय प्रक्षेप्य स्थान है, मूल के माध्यम से किरण पर किसी भी लम्बाई के वैक्टर समतुल्य हैं, इसलिए g(x).A =0 g(x).g(a) = 0 के बराबर है)। <!-- *** ''warning'': apparently wrong codimension—go to the sphere as the general case, then restrict to a sphere of size zero.  Is the dual of the equation affected by being on the null cone? -->
+:(ध्यान दें कि क्योंकि यह एक सजातीय प्रक्षेप्य स्थान है, मूल के माध्यम से किरण पर किसी भी लम्बाई के वैक्टर समकक्ष हैं, इसलिए g(x).A =0 g(x).g(a) = 0 के समान है)।
-* एक गोला: 'x' का स्थान एक गोला है यदि A = S, शून्य शंकु से दूर एक सदिश।
+* एक गोला: 'x' का स्थान गोला है यदि A = S, शून्य शंकु से दूर सदिश।
-::अगर <math display="block">\mathbf{S} = g(\mathbf{a}) - \frac{1}{2} \rho^2 \mathbf{e}_\infty</math> तब S.X = 0 => <math> -\frac{1}{2} (\mathbf{a}-\mathbf{x})^2 + \frac{1}{2} \rho^2 = 0 </math>
+::यदि <math display="block">\mathbf{S} = g(\mathbf{a}) - \frac{1}{2} \rho^2 \mathbf{e}_\infty</math> तब S.X = 0 => <math> -\frac{1}{2} (\mathbf{a}-\mathbf{x})^2 + \frac{1}{2} \rho^2 = 0 </math>
-:: ये एक गोले के अनुरूप बिंदु हैं
+:: ये गोले के अनुरूप बिंदु हैं
-::::<!--''make pic to show hyperbolic orthogonality'' --> नल-शंकु से सदिश S के लिए, कौन-सी दिशाएँ अतिशयोक्तिपूर्ण रूप से लंबकोणीय हैं? (cf लोरेंत्ज़ ट्रांसफ़ॉर्मेशन पिक्स)
+::::नल-शंकु से सदिश S के लिए, कौन-सी दिशाएँ अतिशयोक्तिपूर्ण रूप से लंबकोणीय हैं? (cf लोरेंत्ज़ परिवर्तन मॉड्यूलेशन) 2+1 D में, यदि S, (1,a,b) है, (सह-ऑर्ड्स e-, {e+, e<sub>i</sub>} का उपयोग करते हुए), S के हाइपरबोलिकली ओर्थोगोनल बिंदु (-1,a,b) के यूक्लिडियनली ऑर्थोगोनल हैं ) - अर्थात , एक स्थान ; या n आयामों में, मूल के माध्यम से एक हाइपरप्लेन। यह एक अन्य स्थान को एक रेखा (एक n-2 सतह में एक हाइपरसफेस) में उत्पत्ति के माध्यम से नहीं काटेगा, और फिर शंकु को दो बिंदुओं (प्रतिक्रिया में कुछ प्रकार की n-3 शंकु सतह) में काट देगा। तो यह संभवतः किसी प्रकार के शंकु जैसा दिखने वाला है। यह वह सतह है जो g के नीचे एक गोले की छवि है।
-:::::2+1 D में, यदि S (1,a,b) है, (को-ऑर्ड्स e-, {e+, e का उपयोग करके)<sub>i</sub>}), हाइपरबोलिक रूप से एस के लिए ऑर्थोगोनल बिंदु वे यूक्लिडियनली ऑर्थोगोनल हैं (-1, ए, बी) - यानी, एक विमान; या n आयामों में, मूल के माध्यम से एक हाइपरप्लेन। यह एक अन्य विमान को एक रेखा (एक n-2 सतह में एक हाइपरसफेस) में उत्पत्ति के माध्यम से नहीं काटेगा, और फिर शंकु को दो बिंदुओं (प्रतिक्रिया में कुछ प्रकार की n-3 शंकु सतह) में काट देगा। तो यह शायद किसी प्रकार के शंकु जैसा दिखने वाला है। यह वह सतह है जो g के नीचे एक गोले की छवि है।
+* एक समतल: 'x' का स्थान तल है यदि A = P, शून्य ''n''<sub>o</sub> वाला सदिश अवयव। सजातीय प्रक्षेप्य स्थान में ऐसा वेक्टर P स्थान ''n''<sub>o</sub>=1 पर वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है जो मूल से असीम रूप से दूर होगा (अर्थात् अशक्त शंकु के बाहर असीम रूप से दूर), इसलिए g(x).P =0 अनंत त्रिज्या के गोले, तल पर x के संगत है।
-* एक समतल: 'x' का स्थान एक तल है यदि A = P, शून्य n वाला सदिश<sub>o</sub> अवयव। सजातीय प्रक्षेप्य स्थान में ऐसा वेक्टर P विमान n पर एक वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है<sub>o</sub>=1 जो मूल से असीम रूप से दूर होगा (अर्थात् अशक्त शंकु के बाहर असीम रूप से दूर), इसलिए g(x).P =0 अनंत त्रिज्या के एक गोले, एक तल पर x के संगत है।
 :विशेष रूप से:
-:* <math>\mathbf{P} = \hat{\mathbf{a}} + \alpha \mathbf{e}_\infty </math> सामान्य के साथ समतल पर x से मेल खाता है <math>\hat{\mathbf{a}}</math> मूल से एक ओर्थोगोनल दूरी α।
+:*<math>\mathbf{P} = \hat{\mathbf{a}} + \alpha \mathbf{e}_\infty </math> सामान्य <math>\hat{\mathbf{a}}</math> के साथ एक स्थान पर x से मेल खाती है मूल से एक ओर्थोगोनल दूरी α है ।
-:* <math>\mathbf{P} = g(\mathbf{a}) - g(\mathbf{b})</math> सामान्य ए - बी के साथ, ए और बी के बीच आधे रास्ते के विमान से मेल खाता है
+:* <math>\mathbf{P} = g(\mathbf{a}) - g(\mathbf{b})</math> सामान्य '''a''' - '''b''' के साथ, '''a''' और '''b''' के बीच आधे रास्ते के स्थान से मेल खाता है
 *''मंडलियां''
-* '' स्पर्शरेखा विमान ''
+* '' स्पर्शरेखा स्थान ''
 *''पंक्तियां''
-*'' लाइन्स एट इनफिनिटी''
+*''अनंत पर रेखाएँ''
 *'बिंदु जोड़े''
 == रूपांतरण ==
 :* प्रतिबिंब
-:: यह सत्यापित किया जा सकता है कि 'P' g('x') 'P' बनाने से शून्य-शंकु पर एक नई दिशा मिलती है, g('x' '), जहां 'x' 'तल में प्रतिबिंब के अनुरूप है अंक 'पी' 'आर' में<sup>3</sup> जो g(p) को संतुष्ट करता है। पी = 0।
+::यह सत्यापित किया जा सकता है कि P g(x) P बनाने से नल-शंकु, g(x' ) पर एक नई दिशा मिलती है, जहाँ x' '''R'''<sup>3</sup> में बिंदु p के तल में एक प्रतिबिंब के अनुरूप होता है जो g(p) को संतुष्ट करता है। '''P''' = 0।
-:: जी (एक्स)। ए = 0 => पी जी (एक्स) . एपी = 0 => पी जी (एक्स) पी। पी ए पी (और इसी तरह कील उत्पाद के लिए), इसलिए पी सैंडविच-फैशन को उपरोक्त अनुभाग में किसी भी मात्रा ए पर लागू करने का प्रभाव इसी तरह अंक एक्स के संबंधित लोकस को प्रतिबिंबित करने के लिए है, इसलिए संबंधित सर्कल, गोलाकार, रेखाएं और विमान संबंधित हैं विशेष प्रकार के A के लिए ठीक उसी तरह परिलक्षित होते हैं जैसे P को g(x) पर लागू करने से एक बिंदु x को दर्शाता है।
+::g('''x''') . A = 0 => '''P''' g('''x''') . A '''P''' = 0 => '''P''' g('''x''') '''P''' . '''P''' A '''P''' (और इसी तरह कील उत्पाद के लिए), इसलिए '''P''' सैंडविच-फैशन को उपरोक्त अनुभाग में किसी भी मात्रा A पर प्रयुक्त करने का प्रभाव इसी तरह अंक '''x''' के संबंधित लोकस को प्रतिबिंबित करने के लिए है, इसलिए संबंधित सर्कल, गोलाकार, रेखाएं और स्थान संबंधित हैं विशेष प्रकार के A के लिए ठीक उसी तरह परिलक्षित होते हैं जैसे '''P''' को g('''x''') पर प्रयुक्त करने से एक बिंदु '''x''' को दर्शाता है।
 इस प्रतिबिंब ऑपरेशन का उपयोग सामान्य अनुवाद और घुमाव बनाने के लिए किया जा सकता है:
 :* ''अनुवाद''
-:: दो समांतर विमानों में प्रतिबिंब एक अनुवाद देता है,
+:: दो समांतर स्थानो में प्रतिबिंब अनुवाद देता है,
 :: <math>g(\mathbf{x}^\prime) = \mathbf{P}_\beta \mathbf{P}_\alpha \; g(\mathbf{x}) \; \mathbf{P}_\alpha \mathbf{P}_\beta</math>
-:: अगर <math>\mathbf{P}_\alpha = \hat{\mathbf{a}} +\alpha \mathbf{e}_\infty</math> और <math>\mathbf{P}_\beta = \hat{\mathbf{a}} +\beta \mathbf{e}_\infty</math> तब <math>\mathbf{x}^\prime = \mathbf{x} + 2 (\beta-\alpha) \hat{\mathbf{a}}</math>
+:: यदि <math>\mathbf{P}_\alpha = \hat{\mathbf{a}} +\alpha \mathbf{e}_\infty</math> और <math>\mathbf{P}_\beta = \hat{\mathbf{a}} +\beta \mathbf{e}_\infty</math> तब <math>\mathbf{x}^\prime = \mathbf{x} + 2 (\beta-\alpha) \hat{\mathbf{a}}</math>
-: * घुमाव
+: * घूर्णन
-:: <math>g(\mathbf{x}^\prime) = \hat{\mathbf{b}}\hat{\mathbf{a}} \; g(\mathbf{x}) \; \hat{\mathbf{a}}\hat{\mathbf{b}}</math> एक x' से मेल खाता है जो मूल के बारे में 2 θ कोण से घूमता है जहां θ a और b के बीच का कोण है - वही प्रभाव जो इस रोटर पर सीधे x पर लागू होता है।
+:: <math>g(\mathbf{x}^\prime) = \hat{\mathbf{b}}\hat{\mathbf{a}} \; g(\mathbf{x}) \; \hat{\mathbf{a}}\hat{\mathbf{b}}</math> x' से मेल खाता है जो मूल के बारे में 2 θ कोण से घूमता है जहां θ a और b के बीच का कोण है - वही प्रभाव जो इस रोटर पर सीधे x पर प्रयुक्त होता है।
-:* ''सामान्य घुमाव''
+:* ''सामान्य घूर्णन''
-:: एक सामान्य बिंदु के बारे में घुमाव पहले बिंदु को मूल स्थान पर ले जाकर, फिर मूल के चारों ओर घुमाकर, फिर बिंदु को वापस उसकी मूल स्थिति में अनुवाद करके प्राप्त किया जा सकता है, अर्थात ऑपरेटर द्वारा सैंडविचिंग <math>\mathbf{TR{\tilde{T}}}</math> इसलिए
+:: एक सामान्य बिंदु के बारे में घुमाव पहले बिंदु को मूल स्थान पर ले जाकर, फिर मूल के चारों ओर घुमाकर, फिर बिंदु को वापस उसकी मूल स्थिति में अनुवाद करके प्राप्त किया जा सकता है, अर्थात संचालिका द्वारा सैंडविचिंग <math>\mathbf{TR{\tilde{T}}}</math> इसलिए
 :: <math>g (\mathcal{G}x) = \mathbf{TR{\tilde{T}}} \; g(\mathbf{x}) \; \mathbf{T\tilde{R}\tilde{T}}</math>
 : * पेंच
-:: प्रभाव एक पेंच सिद्धांत, या मोटर, (एक सामान्य बिंदु के बारे में एक रोटेशन, रोटेशन की धुरी के समानांतर एक अनुवाद के बाद) ऑपरेटर द्वारा g('x') सैंडविचिंग द्वारा प्राप्त किया जा सकता है <math>\mathbf{M} = \mathbf{T_2T_1R{\tilde{T_1}}}</math>.
+प्रभाव एक पेंच, या मोटर, (एक सामान्य बिंदु के बारे में एक घूर्णन , घूर्णन के अक्ष के समानांतर एक अनुवाद के बाद) संचालिका <math>\mathbf{M} = \mathbf{T_2T_1R{\tilde{T_1}}}</math>'''M''' द्वारा सैंडविचिंग g('''x''') द्वारा प्राप्त किया जा सकता है <math>\mathbf{M} = \mathbf{T^\prime R^\prime}</math>(चैसल्स प्रमेय)
-:: M को पैरामीट्रिज्ड भी किया जा सकता है <math>\mathbf{M} = \mathbf{T^\prime R^\prime}</math> (चेसल्स प्रमेय (कीनेमेटीक्स) | चेसल्स प्रमेय)
+:* व्युत्क्रम
+:: एक [[उलटा परिवर्तन|व्युत्क्रम परिवर्तन]] क्षेत्र में प्रतिबिंब है - ऐसे व्युत्क्रमों का उपयोग करके प्राप्त किए जा सकने वाले विभिन्न कार्यों की चर्चा व्युत्क्रम ज्यामिति में की जाती है। विशेष रूप से, [[यूक्लिडियन परिवर्तन]] अनुवाद और घूर्णन के साथ व्युत्क्रम का संयोजन किसी भी अनुरूप मैपिंग को व्यक्त करने के लिए पर्याप्त है - अर्थात कोई भी मैपिंग जो सार्वभौमिक रूप से कोणों को संरक्षित करता है। (लिउविल की प्रमेय (अनुरूप मैपिंग) | लिउविल की प्रमेय)।
-:* उलटा
-:: एक [[उलटा परिवर्तन]] एक क्षेत्र में एक प्रतिबिंब है - ऐसे व्युत्क्रमों का उपयोग करके प्राप्त किए जा सकने वाले विभिन्न कार्यों की चर्चा व्युत्क्रम ज्यामिति में की जाती है। विशेष रूप से, [[यूक्लिडियन परिवर्तन]] ट्रांसलेशन और रोटेशन के साथ व्युत्क्रम का संयोजन किसी भी अनुरूप मैपिंग को व्यक्त करने के लिए पर्याप्त है - यानी कोई भी मैपिंग जो सार्वभौमिक रूप से कोणों को संरक्षित करता है। (लिउविल की प्रमेय (अनुरूप मैपिंग) | लिउविल की प्रमेय)।
 :* फैलाव
-:: एक ही केंद्र के साथ दो व्युत्क्रम एक [[फैलाव (मीट्रिक स्थान)]] उत्पन्न करते हैं।
+:: एक ही केंद्र के साथ दो व्युत्क्रम [[फैलाव (मीट्रिक स्थान)]] उत्पन्न करते हैं।
-== सामान्यीकरण ==
+== सामान्यीकरण                                                                       ==
-{{Empty section|date=February 2021}}
+== इतिहास                                        ==
-== इतिहास ==
-{{Empty section|date=February 2021}}
 == सम्मेलन और पत्रिकाएँ ==
-अनुप्रयोगों की एक विस्तृत श्रृंखला के साथ क्लिफोर्ड और ज्यामितीय बीजगणित के आसपास एक जीवंत और अंतःविषय समुदाय है। इस विषय में मुख्य सम्मेलनों में शामिल हैं [http://www.smartchair.org/hp/ICCA2020/ क्लिफोर्ड अलजेब्रा पर अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलन और गणितीय भौतिकी में उनके अनुप्रयोग (ICCA)] और [http://agacse2021.fme.vutbr. cz/main.php एप्लीकेशन ऑफ़ जियोमेट्रिक अलजेब्रा इन कंप्यूटर साइंस एंड इंजीनियरिंग (AGACSE)] सीरीज़। एक मुख्य प्रकाशन आउटलेट एप्लाइड क्लिफोर्ड अल्जेब्रा में स्प्रिंगर जर्नल एडवांस है।
+अनुप्रयोगों की विस्तृत श्रृंखला के साथ क्लिफोर्ड और ज्यामितीय बीजगणित के आसपास जीवंत और अंतःविषय समुदाय है। इस विषय में मुख्य सम्मेलनों में सम्मिलित हैं [http://www.smartchair.org/hp/ICCA2020/ क्लिफोर्ड बीजगणित पर अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलन और गणितीय भौतिकी में उनके अनुप्रयोग (आईसीसीए)] और [http://agacse2021.fme.vutbr. cz/main.php एप्लीकेशन ऑफ़ जियोमेट्रिक बीजगणित इन कंप्यूटर साइंस एंड इंजीनियरिंग (आगास)] श्रृंखला मुख्य प्रकाशन आउटलेट एप्लाइड क्लिफोर्ड बीजगणित में स्प्रिंगर जर्नल एडवांस है।
 == टिप्पणियाँ ==
@@ Line 272: / Line 256: @@
 {{refend}}
-श्रेणी:ज्यामितीय बीजगणित
-श्रेणी:अनुरूप ज्यामिति
-श्रेणी:प्रतिक्रमी ज्यामिति
-श्रेणी:कम्प्यूटेशनल ज्यामिति
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अनुरूप ज्यामितीय बीजगणित: Difference between revisions

Latest revision as of 16:42, 13 September 2023

सीजीए का निर्माण

संकेतन और शब्दावली

आधार और प्रतिनिधित्व स्थान\

आधार स्थान और प्रतिनिधित्व स्थान के बीच मानचित्रण

व्युत्क्रम मानचित्रण

उत्पत्ति और अनंत पर बिंदु

ज्यामितीय वस्तुएँ

आधार

समीकरणों की जोड़ी के समाधान के रूप में

जैसा कि वस्तु के बिंदुओं से प्राप्त होता है

ऑड्स

g(x) . A = 0

रूपांतरण

सामान्यीकरण

इतिहास

सम्मेलन और पत्रिकाएँ

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संदर्भ

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