अंकगणितीय विकास में अभाज्य: Difference between revisions

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[[संख्या सिद्धांत]] में, '''[[अंकगणितीय प्रगति|अंकगणितीय विकास]] में अभाज्य''' कम से कम तीन [[अभाज्य संख्या]]ओं का कोई क्रम है जो एक अंकगणितीय विकास में क्रमागत शब्द हैं। उदाहरण अभाज्य (3, 7, 11) का [[अनुक्रम]] है, जो <math>0 \le n \le 2</math> के लिए <math>a_n = 3 + 4n</math> द्वारा दिया गया है।
[[संख्या सिद्धांत]] में, '''[[अंकगणितीय प्रगति|अंकगणितीय विकास]] में अभाज्य''' कम से कम तीन [[अभाज्य संख्या|अभाज्य संख्याओं]] का कोई क्रम है जो एक अंकगणितीय विकास में क्रमागत शब्द हैं। उदाहरण अभाज्य (3, 7, 11) का [[अनुक्रम]] है, जो <math>0 \le n \le 2</math> के लिए <math>a_n = 3 + 4n</math> द्वारा दिया गया है।


ग्रीन-ताओ प्रमेय के अनुसार, अंकगणितीय विकास में स्वैच्छिक विधि से अभाज्य संख्याओं के बड़े क्रम उपस्थित होते हैं। कभी-कभी वाक्यांश का उपयोग अभाज्य संख्याओं के लिए भी किया जा सकता है जो अंकगणितीय विकास से संबंधित होते हैं जिसमें समग्र संख्याएं भी होती हैं। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग <math>an + b</math> के अंकगणितीय विकास में अभाज्य संख्याओं के बारे में किया जा सकता है, जहां a और b सहअभाज्य [[पूर्णांक]] हैं, जो अंकगणितीय विकास पर डिरिचलेट के प्रमेय के अनुसार अनंत रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं और साथ ही अनंत रूप से कई सम्मिश्र हैं।
ग्रीन-ताओ प्रमेय के अनुसार, अंकगणितीय विकास में स्वैच्छिक विधि से अभाज्य संख्याओं के बड़े क्रम उपस्थित होते हैं। कभी-कभी वाक्यांश का उपयोग अभाज्य संख्याओं के लिए भी किया जा सकता है जो अंकगणितीय विकास से संबंधित होते हैं जिसमें समग्र संख्याएं भी होती हैं। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग <math>an + b</math> के अंकगणितीय विकास में अभाज्य संख्याओं के बारे में किया जा सकता है, जहां a और b सहअभाज्य [[पूर्णांक]] हैं, जो अंकगणितीय विकास पर डिरिचलेट के प्रमेय के अनुसार अनंत रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं और साथ ही अनंत रूप से कई सम्मिश्र हैं।
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43142746595714191 + 23681770·23#·n, n = 0 से 25 के लिए। (23# = 223092870) {{OEIS|id=A204189}}
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जब तक पहला AP-26 पाया गया तब तक अभाज्यग्रिड द्वारा खोज को 131,436,182 खंडों में विभाजित किया गया था<ref name="PrimeGridForum">John, [http://www.primegrid.com/forum_thread.php?id=1158&nowrap=true#22787 ''AP26 Forum'']. Retrieved 2013-10-20.</ref> और संसार में 32/64 बिट सीपीयू, [[ NVIDIA | एनवीडिया]] सीयूडीए जीपीयू और [[सेल माइक्रोप्रोसेसर|सेल माइक्रोप्रोसेसरों]] द्वारा संसाधित किया जाता है।
जब तक पहला AP-26 पाया गया तब तक अभाज्यग्रिड द्वारा खोज को 131,436,182 खंडों में विभाजित किया गया था<ref name="PrimeGridForum">John, [http://www.primegrid.com/forum_thread.php?id=1158&nowrap=true#22787 ''AP26 Forum'']. Retrieved 2013-10-20.</ref> और संसार में 32/64 बिट सीपीयू, [[ NVIDIA |एनवीडिया]] सीयूडीए जीपीयू और [[सेल माइक्रोप्रोसेसर|सेल माइक्रोप्रोसेसरों]] द्वारा संसाधित किया जाता है।


इससे पहले, रिकॉर्ड 17 मई, 2008 को रैनन चेर्मोनी और जारोस्ला रोब्ल्व्स्की द्वारा पाया गया AP -25 था:<ref name="APrecords" />
इससे पहले, रिकॉर्ड 17 मई, 2008 को रैनन चेर्मोनी और जारोस्ला रोब्ल्व्स्की द्वारा पाया गया एक AP -25 था:<ref name="APrecords" />


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पहले का रिकॉर्ड 18 जनवरी, 2007 को अकेले जारोस्लाव व्रॉब्ल्व्स्की द्वारा पाया गया AP -24 था:
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इसके लिए रोब्लेव्स्की ने बताया कि उन्होंने कुल 75 कंप्यूटर 15 64-बिट एथलॉन 15s डुअल कोर 64-बिट [[पेंटियम डी]] 805, 30 32 बिट एथलॉन 2500 और 15 ड्यूरॉन 900 का उपयोग किया था।<ref>{{cite mailing list | url = http://tech.groups.yahoo.com/group/primeform/message/8248 | title = AP24 | mailing-list = primeform | date = 2007-01-18 | access-date=2007-06-17 | last = Wróblewski |first = Jarosław }}</ref>
इसके लिए रोब्लेव्स्की ने बताया कि उन्होंने कुल 75 कंप्यूटर 15 64-बिट एथलॉन 15s डुअल कोर 64-बिट [[पेंटियम डी]] 805, 30 32 बिट एथलॉन 2500 और 15 ड्यूरॉन 900 का उपयोग किया था।<ref>{{cite mailing list | url = http://tech.groups.yahoo.com/group/primeform/message/8248 | title = AP24 | mailing-list = primeform | date = 2007-01-18 | access-date=2007-06-17 | last = Wróblewski |first = Jarosław }}</ref>


निम्न तालिका खोज के वर्ष के साथ सबसे बड़ा ज्ञात AP-के दिखाती है और अंतिम अभाज्य में [[दशमलव]] अंकों की संख्या दिखाती है। ध्यान दें कि सबसे बड़ा ज्ञात AP-k, AP-(k+1) का अंत हो सकता है। कुछ रिकॉर्ड बनाने वाले पहले निश्चित p के साथ c·p#+1 रूप के अभाज्य संख्याओं के बड़े सेट की गणना करना चुनते हैं, और फिर c के मानों में AP को खोजते हैं जिससे अभाज्य प्राप्त होता है। यह कुछ अभिलेखों के लिए अभिव्यक्ति में परिलक्षित होता है। व्यंजक को आसानी से a·n + b के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
निम्न तालिका खोज के वर्ष के साथ सबसे बड़ा ज्ञात AP-के दिखाती है और अंतिम अभाज्य में [[दशमलव]] अंकों की संख्या दिखाती है। ध्यान दें कि सबसे बड़ा ज्ञात AP-k, AP-(k+1) का अंत हो सकता है। कुछ रिकॉर्ड बनाने वाले पहले निश्चित p के साथ c·p#+1 रूप के अभाज्य संख्याओं के बड़े सेट की गणना करना चुनते हैं, और फिर c के मानों में AP को खोजते हैं जिससे अभाज्य प्राप्त होता है। यह कुछ अभिलेखों के लिए अभिव्यक्ति में परिलक्षित होता है। व्यंजक को आसानी से a·n + b के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
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Latest revision as of 12:50, 18 September 2023

संख्या सिद्धांत में, अंकगणितीय विकास में अभाज्य कम से कम तीन अभाज्य संख्याओं का कोई क्रम है जो एक अंकगणितीय विकास में क्रमागत शब्द हैं। उदाहरण अभाज्य (3, 7, 11) का अनुक्रम है, जो के लिए द्वारा दिया गया है।

ग्रीन-ताओ प्रमेय के अनुसार, अंकगणितीय विकास में स्वैच्छिक विधि से अभाज्य संख्याओं के बड़े क्रम उपस्थित होते हैं। कभी-कभी वाक्यांश का उपयोग अभाज्य संख्याओं के लिए भी किया जा सकता है जो अंकगणितीय विकास से संबंधित होते हैं जिसमें समग्र संख्याएं भी होती हैं। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग के अंकगणितीय विकास में अभाज्य संख्याओं के बारे में किया जा सकता है, जहां a और b सहअभाज्य पूर्णांक हैं, जो अंकगणितीय विकास पर डिरिचलेट के प्रमेय के अनुसार अनंत रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं और साथ ही अनंत रूप से कई सम्मिश्र हैं।

पूर्णांक k ≥ 3 के लिए, 'AP-k' (जिसे 'PAP-k' भी कहा जाता है) अंकगणितीय विकास में के अभाज्य का कोई अनुक्रम है। एक AP-k को निश्चित पूर्णांक a (सामान्य अंतर कहा जाता है) और b और k क्रमागत पूर्णांक मानों के लिए अवस्था के k अभाज्य के रूप में लिखा जा सकता है। AP-k सामान्यतः n = 0 से k − 1 के साथ व्यक्त किया जाता है। यह अंकगणितीय विकास में पहले प्रमुख होने के लिए b को परिभाषित करके सदैव प्राप्त किया जा सकता है।

गुण

अभाज्य की किसी भी अंकगणितीय विकास की एक सीमित लंबाई होती है। 2004 में, बेन जे. ग्रीन और टेरेंस ताओ ने ग्रीन-ताओ प्रमेय को सिद्ध करके एक पुराने अनुमान को सुलझाया: अभाज्य संख्याओं में स्वैच्छिक विधि से बड़े अंकगणितीय क्रम होते हैं।[1] यह तुरंत अनुसरण करता है कि किसी भी k के लिए अपरिमित रूप से अनेक AP-k होते हैं।

यदि कोई AP-k अभाज्य k से प्रारंभ नहीं होता है, तो सामान्य अंतर प्राथमिक k# = 2·3·5·...·j का गुणज होता है, जहाँ j सबसे बड़ा अभाज्य ≤ k है।

प्रमाण: मान लें कि AP-k n के क्रमागत मानों के लिए a·n + b है। यदि एक अभाज्य p, a को विभाजित नहीं करता है, तो मॉड्यूलर अंकगणित कहता है कि p अंकगणितीय विकास के प्रत्येक p'वें पद को विभाजित करेगा। (एच.जे. वेबर से, Cor.10 में ``असाधारण अभाज्य संख्या ट्विन्स, ट्रिपल और मल्टीप्लेट्स, arXiv:1102.3075[math.NT]। ``रेगुलरिटीज़ ऑफ़ ट्विन, ट्रिपलेट और मल्टीप्लेट अभाज्य संख्याओं, arXiv:1103.0447 में Theor.2.3 भी देखें। [math.NT], ग्लोबल J.P.A.Math 8(2012), प्रेस में।) यदि AP k क्रमागत मानों के लिए अभाज्य है, तो a को सभी अभाज्य p ≤ k से विभाज्य होना चाहिए।

इससे यह भी पता चलता है कि सामान्य अंतर वाले AP में a को विभाजित न करने वाले सबसे छोटे अभाज्य के मान से अधिक क्रमागत अभाज्य पद नहीं हो सकते है।

यदि k अभाज्य है तो AP-k k से प्रारंभ हो सकता है और एक सामान्य अंतर है जो k# के अतिरिक्त केवल (k−1)# का गुणक है। (एच.जे. वेबर से, ``कम नियमित असाधारण और दोहराए जाने वाले अभाज्य संख्या मल्टीप्लेट्स, arXiv:1105.4092[math.NT], Sect.3।) उदाहरण के लिए, AP-3 अभाज्य {3, 5, 7} और सामान्य अंतर के साथ 2# = 2 या AP-5 अभाज्य संख्या {5, 11, 17, 23, 29} और सामान्य अंतर 4# = 6 के साथ। यह अनुमान लगाया जाता है कि ऐसे उदाहरण सभी अभाज्य k के लिए उपस्थित हैं। 2018 तक सबसे बड़ा अभाज्य जिसके लिए इसकी पुष्टि की गई है, इस AP-19 के लिए k = 19 है जो 2013 में वोज्शिएक इज़ीकोव्स्की द्वारा पाया गया था:

19 + 4244193265542951705·17#·n, n = 0 से 18 के लिए।[2]

यह व्यापक रूप से विश्वास किए गए अनुमानों से आता है, जैसे कि डिक्सन का अनुमान और प्रमुख k-ट्यूपल अनुमान के कुछ प्रकार, कि यदि p > 2 सबसे छोटा अभाज्य है जो a को विभाजित नहीं करता है, तो आम अंतर के साथ असीम रूप से कई AP-(p−1) हैं एक। उदाहरण के लिए, 5 सबसे छोटा अभाज्य है जो 6 को विभाजित नहीं करता है, इसलिए आम अंतर 6 के साथ अपरिमित रूप से कई एपी-4 होने की विश्वाश है, जिसे सेक्सी अभाज्य चतुर्भुज कहा जाता है। जब a = 2, p = 3, यह 2 अभाज्य संख्या (b, b + 2) के AP-2 के साथ ट्विन अभाज्य अनुमान है।

एपी में न्यूनतम अभाज्य

हम अंतिम अवधि को कम करते हैं।[3]

न्यूनतम AP-k
k n = 0 से k−1 के लिए अभाज्य संख्याएँ
3 3 + 2n
4 5 + 6n
5 5 + 6n
6 7 + 30n
7 7 + 150n
8 199 + 210n
9 199 + 210n
10 199 + 210n
11 110437 + 13860n
12 110437 + 13860n
13 4943 + 60060n
14 31385539 + 420420n
15 115453391 + 4144140n
16 53297929 + 9699690n
17 3430751869 + 87297210n
18 4808316343 + 717777060n
19 8297644387 + 4180566390n
20 214861583621 + 18846497670n
21 5749146449311 + 26004868890n


एपी में सबसे बड़ा ज्ञात अभाज्य

अभाज्य q के लिए, q# मौलिक 2·3·5·7·...·q को दर्शाता है।

सितंबर 2019 तक सबसे लंबे समय तक ज्ञात AP-k AP-27 है। AP-26 के लिए कई उदाहरण जाने जाते हैं। पहली खोज 12 अप्रैल, 2010 को बेनोइट पेरीचॉन द्वारा प्लेस्टेशन 3 पर जारोस्ला रोब्ल्वस्की और ज्योफ रेनॉल्ड्स के सॉफ़्टवेयर के साथ मिली थी, जिसे वितरित प्राइमग्रिड परियोजना में ब्रायन लिटिल द्वारा प्लेस्टेशन 3 में पोर्ट किया गया था::[2]:

43142746595714191 + 23681770·23#·n, n = 0 से 25 के लिए। (23# = 223092870) (sequence A204189 in the OEIS)

जब तक पहला AP-26 पाया गया तब तक अभाज्यग्रिड द्वारा खोज को 131,436,182 खंडों में विभाजित किया गया था[4] और संसार में 32/64 बिट सीपीयू, एनवीडिया सीयूडीए जीपीयू और सेल माइक्रोप्रोसेसरों द्वारा संसाधित किया जाता है।

इससे पहले, रिकॉर्ड 17 मई, 2008 को रैनन चेर्मोनी और जारोस्ला रोब्ल्व्स्की द्वारा पाया गया एक AP -25 था:[2]

6171054912832631 + 366384·23#·n, n = 0 से 24 के लिए। (23# = 223092870)

एथलॉन 64 64 पर AP-25 की खोज को लगभग 3 मिनट लगने वाले खंडों में विभाजित किया गया था और रोब्ल्वस्की ने रिपोर्ट किया था "मुझे लगता है कि रानन 10,000,000 से कम ऐसे खंडों से निकला है[5] (एथलॉन 64 पर इसमें लगभग 57 सीपीयू वर्ष लगे होंगे)।

पहले का रिकॉर्ड 18 जनवरी, 2007 को अकेले जारोस्लाव व्रॉब्ल्व्स्की द्वारा पाया गया AP -24 था:

468395662504823 + 205619·23#·n, n = 0 से 23 के लिए।

इसके लिए रोब्लेव्स्की ने बताया कि उन्होंने कुल 75 कंप्यूटर 15 64-बिट एथलॉन 15s डुअल कोर 64-बिट पेंटियम डी 805, 30 32 बिट एथलॉन 2500 और 15 ड्यूरॉन 900 का उपयोग किया था।[6]

निम्न तालिका खोज के वर्ष के साथ सबसे बड़ा ज्ञात AP-के दिखाती है और अंतिम अभाज्य में दशमलव अंकों की संख्या दिखाती है। ध्यान दें कि सबसे बड़ा ज्ञात AP-k, AP-(k+1) का अंत हो सकता है। कुछ रिकॉर्ड बनाने वाले पहले निश्चित p के साथ c·p#+1 रूप के अभाज्य संख्याओं के बड़े सेट की गणना करना चुनते हैं, और फिर c के मानों में AP को खोजते हैं जिससे अभाज्य प्राप्त होता है। यह कुछ अभिलेखों के लिए अभिव्यक्ति में परिलक्षित होता है। व्यंजक को आसानी से a·n + b के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

मई 2023 तक सबसे बड़ा ज्ञात AP-k[2]
k n = 0 से k−1 के लिए अभाज्य संख्याएँ अंक वर्ष आविष्कर्ता
3 (503·21092022−1) + (1103·23558176 − 503·21092022)·n 1071122 2022 रयान प्रॉपर, सर्ज बतालोव
4 (263093407 + 928724769·n)·299901−1 30083 2022 सर्ज बतालोव
5 (440012137 + 18195056·n)·30941#+1 13338 2022 सर्ज बतालोव
6 (1445494494 + 141836149·n)·16301# + 1 7036 2018 केन डेविस
7 (2554152639 + 577051223·n)·7927# + 1 3407 2022 सर्ज बतालोव
8 (48098104751 + 3026809034·n)·5303# + 1 2271 2019 नॉर्मन लुहान, पॉल अंडरवुड, केन डेविस
9 (65502205462 + 6317280828·n)·2371# + 1 1014 2012 केन डेविस, पॉल अंडरवुड
10 (20794561384 + 1638155407·n)·1050# + 1 450 2019 नॉर्मन लुहान
11 (16533786790 + 1114209832·n)·666# + 1 289 2019 नॉर्मन लुहान
12 (15079159689 + 502608831·n)·420# + 1 180 2019 नॉर्मन लुहान
13 (50448064213 + 4237116495·n)·229# + 1 103 2019 नॉर्मन लुहान
14 (55507616633 + 670355577·n)·229# + 1 103 2019 नॉर्मन लुहान
15 (14512034548 + 87496195·n)·149# + 1 68 2019 नॉर्मन लुहान
16 (9700128038 + 75782144·(n+1))·83# + 1 43 2019 नॉर्मन लुहान
17 (9700128038 + 75782144·n)·83# + 1 43 2019 नॉर्मन लुहान
18 (33277396902 + 139569962·(n+1))·53# + 1 31 2019 नॉर्मन लुहान
19 (33277396902 + 139569962·n)·53# + 1 31 2019 नॉर्मन लुहान
20 23 + 134181089232118748020·19#·n 29 2017 वोज्शिएक इज़ीकोव्स्की
21 5547796991585989797641 + 29#·n 22 2014 जारोस्लॉव रोब्लेव्स्की
22 22231637631603420833 + 8·41#·(n + 1) 20 2014 जारोस्लॉव रोब्लेव्स्की
23 22231637631603420833 + 8·41#·n 20 2014 जारोस्लॉव रोब्लेव्स्की
24 230885165611851841 + 297206938·23#·n 19 2023 रोब गहन, प्राइमग्रिड
25 171648314584619857 + 312220923·23#·n 19 2023 रोब गहन, प्राइमग्रिड
26 14430610470703957 + 283169697·23#·n 19 2023 रोब गहन, प्राइमग्रिड
27 224584605939537911 + 81292139·23#·n 18 2019 रोब गहन, प्राइमग्रिड


अंकगणितीय विकास में क्रमागत अभाज्य संख्याएँ

अंकगणितीय विकास में क्रमिक अभाज्य कम से कम तीन क्रमागत अभाज्यों को संदर्भित करते हैं जो अंकगणितीय विकास में क्रमागत शब्द हैं। ध्यान दें कि AP-k के विपरीत, विकास की शर्तों के बीच अन्य सभी संख्याएँ समग्र होनी चाहिए। उदाहरण के लिए, AP-3 {3, 7, 11} योग्य नहीं है, क्योंकि 5 भी अभाज्य संख्या है।

पूर्णांक k ≥ 3 के लिए, CPAP-k अंकगणितीय विकास में k क्रमागत अभाज्य है। यह अनुमान लगाया गया है कि स्वैच्छिक विधि से लंबे सीपीएपी हैं। यह अनंतित रूप से कई CPAP-k को सभी k के लिए लागू करेगा। CPAP-3 में मध्य अभाज्य को संतुलित अभाज्य कहा जाता है। सबसे बड़ा ज्ञात as of 2022 में 15004 अंक होते हैं।

पहला ज्ञात CPAP-10 1998 में मैनफ्रेड टोप्लिक द्वारा वितरित कंप्यूटिंग परियोजना CP10 में पाया गया था जिसे हार्वे डबनेर, टोनी फोर्ब्स, निक लिगेरोस, माइकल मिज़ोनी और पॉल ज़िम्मरमैन द्वारा आयोजित किया गया था।[7] इस CPAP-10 में सबसे छोटा संभव सामान्य अंतर 7# = 210 है। 2018 तक केवल अन्य ज्ञात CPAP-10 को 2008 में उन्हीं लोगों द्वारा पाया गया था।

यदि CPAP-11 उपस्थित है, तो इसमें सामान्य अंतर होना चाहिए जो कि 11# = 2310 का गुणक है। 11 अभाज्य संख्याओं के पहले और अंतिम के बीच का अंतर इसलिए 23100 का गुणक होता है। कम से कम 23090 समग्र संख्याओं की आवश्यकता 11 अभाज्य संख्याओं के बीच CPAP-11 खोजना अत्यंत कठिन प्रतीत होता है। डबनेर और ज़िम्मरमैन का अनुमान है कि यह CPAP-10 की तुलना में कम से कम 1012 गुना कठिन होगा।।[8]

एपी में न्यूनतम क्रमागत अभाज्य

CPAP-k की पहली घटना केवल k ≤ 6 के लिए जानी जाती है (sequence A006560 in the OEIS).

Minimal CPAP-k[9]
k Primes for n = 0 to k−1
3 3 + 2n
4 251 + 6n
5 9843019 + 30n
6 121174811 + 30n

एपी में सबसे बड़ा ज्ञात क्रमागत अभाज्य

तालिका k = 3 से 10 के लिए अंकगणितीय विकास में क्रमागत k के सबसे बड़े ज्ञात स्थिति को दर्शाती है।

मई 2022 तक सबसे बड़ा ज्ञात CPAP-k[10],[11]
k Primes for n = 0 to k−1 Digits Year आविष्कर्ता
3 2494779036241 · 249800 + 1 + 6n 15004 2022 सर्ज बतालोव
4 62399583639 · 9923# - 3399421607 + 30n 4285 2021 सर्ज बतालोव
5 2738129459017 · 4211# + 3399421517 + 30n 1805 2022 सर्ज बतालोव
6 533098369554 · 2357# + 3399421517 + 30n 1012 2021 सर्ज बतालोव
7 145706980166212 · 1069# + x253 + 420 + 210n 466 2021 सर्ज बतालोव
8 8081110034864 · 619# + x253 + 210 + 210n 272 2021 सर्ज बतालोव
9 7661619169627 · 379# + x153 + 210n 167 2021 सर्ज बतालोव
10 189382061960492204 · 257# + x106 + 210n 121 2021 सर्ज बतालोव

xd d-अंकीय संख्या है जिसका उपयोग उपरोक्त रिकॉर्ड में से में किया जाता है जिससे यह सुनिश्चित किया जा सके कि अभाज्य संख्याओं के बीच असामान्य रूप से कई आवश्यक सम्मिश्रों में छोटा कारक है।
x106 = 115376 22283279672627497420 78637565852209646810 56709682233916942487 50925234318597647097 08315833909447378791

x153 = 9656383640115 03965472274037609810 69585305769447451085 87635040605371157826 98320398681243637298 57205796522034199218 09817841129732061363 55565433981118807417 = x253 % 379#

x253 = 1617599298905 320471304802538356587398499979 836255156671030473751281181199 911312259550734373874520536148 519300924327947507674746679858 816780182478724431966587843672 408773388445788142740274329621 811879827349575247851843514012 399313201211101277175684636727



यह भी देखें

टिप्पणियाँ

  1. ↑ Green, Ben; Tao, Terence (2008), "The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions", Annals of Mathematics, 167 (2): 481–547, arXiv:math.NT/0404188, doi:10.4007/annals.2008.167.481, MR 2415379, S2CID 1883951
  2. ↑ 2.0 2.1 2.2 2.3 Jens Kruse Andersen and Norman Luhn, Primes in Arithmetic Progression Records. Retrieved 2020-08-31.
  3. ↑ OEIS sequence A133277
  4. ↑ John, AP26 Forum. Retrieved 2013-10-20.
  5. ↑ Wróblewski, Jarosław (2008-05-17). "AP25". primenumbers (Mailing list). Retrieved 2008-05-17.
  6. ↑ Wróblewski, Jarosław (2007-01-18). "AP24". primeform (Mailing list). Retrieved 2007-06-17.
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  9. ↑ Jens Kruse Andersen and Norman Luhn, The minimal & the smallest known CPAP-k. Retrieved 2022-12-20.
  10. ↑ Jens Kruse Andersen and Norman Luhn, The Largest Known CPAP's. Retrieved on 2022-12-20.
  11. ↑ Chris K. Caldwell, The Largest Known CPAP's. Retrieved on 2021-01-28.


संदर्भ

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