लाइन इंटीग्रल कोंवोलुशन

द लार्ज मैगेलैनिक क्लाउड (LMC), हमारी मिल्की वे की सबसे नज़दीकी आकाशगंगाओं में से एक है। यह छवि एलआईसी के साथ बनाई गई थी

वैज्ञानिक दृश्यकरण में, लाइन इंटीग्रल कनवल्शन (एलआईसी) एक सदिश क्षेत्र जैसे द्रव गति की कल्पना करने की एक विधि है।

विशेषताएं

• वैश्विक विधि
• एकीकरण-आधारित विधि
• बनावट आधारित विधि

कनवल्शन

संकेत प्रोसेसिंग में इस प्रक्रिया को डिस्क्रीट कनवल्शन के रूप में जाना जाता है।

एकीकरण-आधारित विधि

यह एकीकरण-आधारित विधि (तकनीक) है। अधिक त्रुटिहीन रूप से यह नियमित ग्रिड पर असतत रेखा अभिन्न पर आधारित है। असतत संख्यात्मक एकीकरण एक रेखा (अधिक त्रुटिहीन वक्र) के साथ किया जाता है। यहाँ रेखा का अर्थ सदिश क्षेत्र की क्षेत्र रेखा है।

वैश्विक विधि

अन्य एकीकरण-आधारित विधियों की तुलना में, जो इनपुट सदिश क्षेत्र की क्षेत्र रेखाओं की गणना करती हैं, एलआईसी का यह लाभ है कि सदिश क्षेत्र की सभी संरचनात्मक विशेषताओं को विशिष्ट सदिश क्षेत्र के लिए क्षेत्र रेखाओं के प्रारंभ और अंत बिंदुओं को अनुकूलित करने की आवश्यकता के बिना प्रदर्शित किया जाता है। दूसरे शब्दों में, आईटीआर वेक्टर क्षेत्र की टोपोलॉजी दिखाता है।

उपयोगकर्ता परीक्षण में, एलआईसी को महत्वपूर्ण बिंदुओं की पहचान करने में विशेष रूप से अच्छा पाया गया था।

अन्य

उच्च-प्रदर्शन वाले जीपीयू-आधारित कार्यान्वयन की उपलब्धता के साथ, सीमित अन्तरक्रियाशीलता का पूर्व हानि अब उपस्थित नहीं है।

बनावट-आधारित विधि

एलआईसी टेक्सचर को इनपुट के रूप में लेता है और टेक्सचर (आउटपुट) देता है। तो यह बनावट संश्लेषण है।

इतिहास

एलआईसी विधि का प्रस्ताव ब्रायन कैबरल और लीथ केसी लीडोम ने दिया था

एल्गोरिथम

अनौपचारिक विवरण

सिद्धांत : क्षेत्र रेखाओं के साथ पिक्सेल मान दृढ़ता से सहसंबद्ध होते हैं, किन्तु उनके लिए ऑर्थोगोनल रूप से लगभग असंबद्ध होते हैं। परिणामस्वरूप, क्षेत्र लाइनें पृष्ठभूमि से दृश्यमान रूप से बाहर निकलती हैं और दृश्यमान हो जाती हैं।

अंतर्ज्ञान:

• नदी में रंग फेंकना
• सामान्य श्रेणी:चुंबकीय लोहे के बुरादे का उपयोग करते हुए चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं का दृश्य
• अनुकरण करता है कि क्या होता है जब बड़े पैमाने पर महीन रेत का एक आयताकार क्षेत्र तेज हवा से उड़ाया जाता है

सहज रूप से, किसी डोमेन में सदिश क्षेत्र के प्रवाह को अंधेरे और हल्के पेंट स्रोतों के स्थिर यादृच्छिक पैटर्न को जोड़कर देखा जाता है। चूंकि प्रवाह स्रोतों से निकलता है, तरल पदार्थ का प्रत्येक पार्सल कुछ स्रोत रंग उठाता है, इसे उस रंग के साथ औसत करता है जो इसे पहले से ही एक नदी में पेंट फेंकने के समान विधि से प्राप्त कर चुका है। परिणाम एक यादृच्छिक धारीदार बनावट है जहां एक ही प्रवाह की दिशा के साथ बिंदु समान रंग होते हैं।

औपचारिक गणितीय विवरण

यद्यपि इनपुट सदिश क्षेत्र और परिणामी छवि अलग-अलग हैं, यह इसे निरंतर दृष्टिकोण से देखने के लिए भुगतान करता है। मान लीजिये $\mathbf {v}$ किसी डोमेन $\Omega$ में दिया गया सदिश क्षेत्र है। चूँकि इनपुट सदिश क्षेत्र सामान्यतः अलग-अलग होती है, हम क्षेत्र $\mathbf {v}$ को $\Omega$ के प्रत्येक बिंदु में परिभाषित मानते हैं, अर्थात् हम एक इंटरपोलेशन मानते हैं। स्ट्रीमलाइन, या अधिक सामान्यतः क्षेत्र लाइन, प्रत्येक बिंदु में सदिश क्षेत्र के लिए स्पर्शरेखा होती हैं। वे या तो की सीमा पर समाप्त होते हैं $\Omega$ या महत्वपूर्ण बिंदुओं पर जहां $\mathbf {v} =\mathbf {0}$ है। सादगी के लिए, निम्नलिखित महत्वपूर्ण बिंदुओं और सीमाओं की उपेक्षा की जाती है। चाप की लंबाई $s$ द्वारा पैरामीट्रिज्ड एक क्षेत्र रेखा ${\boldsymbol {\sigma }}$ को ${\frac {d{\boldsymbol {\sigma }}(s)}{ds}}={\frac {\mathbf {v} ({\boldsymbol {\sigma }}(s))}{|\mathbf {v} ({\boldsymbol {\sigma }}(s))|}}$ इस रूप में परिभाषित किया गया है। माना कि ${\boldsymbol {\sigma }}_{\mathbf {r} }(s)$ वह क्षेत्र रेखा है जो $s=0$ के लिए बिंदु $\mathbf {r}$ से निकलती है। फिर $\mathbf {r}$ पर छवि ग्रे मान पर सेट है

$D(\mathbf {r} )=\int _{-L/2}^{L/2}k(s)N({\boldsymbol {\sigma }}_{\mathbf {r} }(s))ds$

जहाँ $k(s)$ कनवल्शन कर्नेल है, $N(\mathbf {r} )$ ध्वनि छवि है, और $L$ क्षेत्र लाइन सेगमेंट की लंबाई है जिसका अनुसरण किया जाता है।

$D(\mathbf {r} )$ एलआईसी छवि में प्रत्येक पिक्सेल के लिए गणना की जानी है। यदि सरलता से किया जाता है, तो यह काफी महंगा है। सबसे पहले, सामान्य अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियों का उपयोग करके क्षेत्र लाइन की गणना की जाती है, जैसे रनगे-कुट्टा विधियाँ | रनगे-कुट्टा विधि, और फिर प्रत्येक पिक्सेल के लिए क्षेत्र रेखा सेगमेंट के साथ कनवल्शन की गणना की जानी है।

आउटपुट छवि सामान्य रूप से किसी तरह रंगीन होगी। सामान्यतः कुछ अदिश क्षेत्र $\Omega$ रंग निर्धारित करने के लिए वेक्टर लंबाई की तरह प्रयोग किया जाता है, जबकि ग्रे-स्केल एलआईसी छवि रंग की चमक निर्धारित करती है।

कनवल्शन कर्नेल और रैंडम ध्वनि के विभिन्न विकल्प अलग-अलग बनावट का उत्पादन करते हैं: उदाहरण के लिए गुलाबी ध्वनि एक बादल पैटर्न पैदा करता है जहां उच्च प्रवाह के क्षेत्र स्मियरिंग के रूप में खड़े होते हैं, जो मौसम की कल्पना के लिए उपयुक्त होते हैं। दृढ़ संकल्प में और परिशोधन छवि की गुणवत्ता में सुधार कर सकते हैं।

प्रोग्रामर्स के लिए विवरण

एल्गोरिदमिक रूप से, विधि सदिश क्षेत्र के डोमेन में वांछित आउटपुट रिज़ॉल्यूशन पर एक यादृच्छिक ग्रेस्केल उत्पन्न करके शुरू होती है। फिर, इस छवि में प्रत्येक पिक्सेल के लिए, एक निश्चित आर्क लंबाई की आगे और पीछे की स्ट्रीमलाइन, स्ट्रीकलाइन और पाथलाइन की गणना की जाती है। वर्तमान पिक्सेल को निर्दिष्ट मान की गणना इस स्ट्रीमलाइन के एक खंड पर पड़े सभी पिक्सेल के ग्रे स्तरों के साथ एक उपयुक्त इंटीग्रल कर्नेल के कनवल्शन द्वारा की जाती है। यह एक ग्रे स्तर की एलआईसी छवि बनाता है।

समस्या

एक 2आयामी स्थिर सदिश क्षेत्र (2आयामी स्थिर प्रवाह की धारा रेखाएँ) की क्षेत्र रेखाओं और विलक्षणताओं की कल्पना करें

इनपुट

• वेक्टर क्षेत्र: 2डी स्थिर वेक्टर क्षेत्र
• ध्वनि: स्थिर सफेद ध्वनि (अदिश क्षेत्र = बनावट)

आउटपुट

परिणाम (आउटपुट छवि) = इनपुट वेक्टर क्षेत्र की अंतिम एलआईसी छवि

बाधाएं

• झूठी विलक्षणताएँ

संस्करण

बेसिक

प्रवाह क्षेत्र का मूल एलआईसी दृश्यकरण।

मूल एलआईसी छवियां रंग और एनीमेशन के बिना ग्रेस्केल छवियां हैं। जबकि ऐसी एलआईसी छवि क्षेत्र सदिश के उन्मुखीकरण को बताती है, यह उनकी दिशा को निरुपित नहीं करती है; स्थिर क्षेत्रों के लिए, यह एनीमेशन द्वारा उपचारित किया जा सकता है। मूलभूत एलआईसी छवियां सदिश की लंबाई (या क्षेत्र की शक्ति) नहीं दिखाती हैं।

रंग

एलआईसी दृश्यकरण विथ कलर डिनोटिंग वेलोसिटी मैग्निट्यूड।

सदिश की लंबाई (या क्षेत्र की ताकत) सामान्यतः रंग में कोडित होती है; वैकल्पिक रूप से, एनीमेशन का उपयोग किया जा सकता है।

एनिमेटेड संस्करण

एनिमेट करने के विधि पर चित्रण। ऊपर: सामान्य बॉक्स फ़िल्टर (औसत)। मध्य: साइनसॉइडल फ़िल्टर पर $t$. नीचे: साइनसॉइडल फ़िल्टर पर $t+\delta t$

समय के साथ बदलने वाले कर्नेल का उपयोग करके एलआईसी छवियों को एनिमेटेड किया जा सकता है। स्ट्रीमलाइन से एक निरंतर समय पर नमूने अभी भी उपयोग किए जाएंगे, किन्तु एक स्थिर कर्नेल के साथ स्ट्रीमलाइन में सभी पिक्सेल के औसत के अतिरिक्त, एक आवधिक फ़ंक्शन से निर्मित एक तरंग जैसा कर्नेल एक हान फलन द्वारा एक विंडो के रूप में कार्य करके गुणा किया जाता है (कलाकृतियों को रोकने के लिए) का उपयोग किया जाता है। एनीमेशन बनाने के लिए आवधिक कार्य को अवधि के साथ स्थानांतरित कर दिया जाता है।

एफएलआईसी

फास्ट एलआईसी (एफएलआईसी)

पहले से ही गणना की गई क्षेत्र रेखाओं के भागों का पुन: उपयोग करके, कनवल्शन कर्नेल $k(s)$ के रूप में एक बॉक्स फ़ंक्शन के लिए विशेषज्ञता और कनवल्शन के दौरान अनावश्यक संगणनाओं से परहेज करके संगणना को महत्वपूर्ण रूप से त्वरित किया जा सकता है। परिणामी तेज एलआईसी विधि को कनवल्शन कर्नेल के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है जो स्वैच्छिक बहुपद हैं।

ओएलआईसी

ओरिएंटेड रेखा इंटीग्रल कनवॉल्यूशन (ओएलआईसी)

• ओरिएंटेड रेखा इंटीग्रल कनवॉल्यूशन का फास्ट रेंडरिंग (एफआरओएलआईसी)

यूएफएलआईसी

समय-निर्भर सदिश क्षेत्रों (अस्थिर प्रवाह) के लिए एक संस्करण (यूएफएलआईसी = अस्थिर प्रवाह एलआईसी) डिजाइन किया गया है जो प्रवाह एनीमेशन के सुसंगतता को बनाए रखता है।

समानांतर संस्करण

चूंकि एक एलआईसी छवि की गणना महंगी है किन्तु स्वाभाविक रूप से समानांतर है, इसे समानांतर भी किया गया है और, जीपीयू-आधारित कार्यान्वयन की उपलब्धता के साथ, यह पीसी पर इंटरैक्टिव हो गया है। इसके अतिरिक्त यूएफएलआईसी के लिए एक इंटरैक्टिव जीपीयू-आधारित कार्यान्वयन प्रस्तुत किया गया है।

बहुआयामी

ध्यान दें कि डोमेन $\Omega$ 2आयामी डोमेन होना जरूरी नहीं है: यह विधि बहुआयामी ध्वनि क्षेत्रों का उपयोग करके उच्च आयामी डोमेन पर प्रायुक्त होती है। चूँकि, उच्च-आयामी एलआईसी बनावट का दृश्य समस्याग्रस्त है; एक विधि 2आयामी स्लाइस के साथ इंटरैक्टिव एक्सप्लोरेशन का उपयोग करना है जो मैन्युअल रूप से स्थित और घुमाए जाते हैं। डोमेन $\Omega$ सपाट भी नहीं होना चाहिए; एलआईसी बनावट की गणना 3आयामी अंतरिक्ष में मनमाने आकार की 2आयामी सतहों के लिए भी की जा सकती है।

अनुप्रयोग

1993 में पहली बार प्रकाशित होने के बाद से इस विधि को कई तरह की समस्याओं पर प्रायुक्त किया गया है।

अनुप्रयोग:

• इनपुट सदिश क्षेत्र की क्षेत्र रेखाओं के सन्निकटन द्वारा सदिश क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करना
  • स्थिर (समय स्वतंत्र) प्रवाह के लिए प्रवाह-दृश्यकरण विधि। यहां क्षेत्र रेखा को स्ट्रीमलाइन, स्ट्रीकलाइन और पाथलाइन कहा जाता है
  • 2डी स्वायत्त गतिशील प्रणालियों का दृश्य अन्वेषण
  • हवादार नक्शे
  • जल दिशाएँ
• कलात्मक प्रभाव फैंसी चित्र उत्पन्न करने के लिए
  • पेंसिल ड्राइंग
    • एलआईसी पेंसिल फिल्टर का उपयोग करके स्वचालित पेंसिल ड्राइंग जनरेशन विधि
  • बाल बनावट की स्वचालित पीढ़ी
  • मार्बलिंग बनावट बनाना
• क्षेत्र का सामान्यीकरण: सामान्यीकृत छायांकित राहत बनाना

कार्यान्वयन

• GPU आधारित इमेज प्रोसेसिंग टूल by Raymond McGuire
• ParaView : लाइन इंटीग्रल कनवॉल्यूशन
• एलआईसी और आरके4 पर आधारित एक 2डी फ्लो विजुअलाइजेशन टूल। सी ++ और वीटीके का उपयोग करके विकसित किया गया। एंड्रेस बेजारानो द्वारा
• Wolfram Research (2008), LineIntegralConvolutionPlot, Wolfram Language function, https://reference.wolfram.com/language/ref/LineIntegralConvolutionPlot.html (अपडेटेड) 2014)।

यह भी देखें

• भारित अंकगणितीय माध्य