द्रव्यमान बिंदु ज्यामिति: Difference between revisions

Latest revision as of 15:41, 18 September 2023

द्रव्यमान बिंदु ज्यामिति, बोलचाल की भाषा में द्रव्यमान बिंदु के रूप में जाना जाता है। ज्यामिति में समस्या को सुलझाने की तकनीक है जो द्रव्यमान के केंद्र के भौतिक सिद्धांत को त्रिभुजों से जुड़ी ज्यामिति की समस्याओं पर लागू करती है और केवियन को काटती है।^[1] द्रव्यमान बिंदु ज्यामिति का उपयोग करके हल की जा सकने वाली सभी समस्याओं को समान त्रिकोण, यूक्लिडियन वेक्टर और क्षेत्र अनुपात का उपयोग करके भी हल किया जा सकता है।^[2] किन्तु कई छात्र द्रव्यमान बिंदुओं का उपयोग करना पसंद करते हैं। चूँकि आधुनिक द्रव्यमान बिंदु ज्यामिति का विकास 1960 के दशक में न्यूयॉर्क हाई स्कूल के छात्रों द्वारा किया गया था,^[3] इस अवधारणा को अगस्त फर्डिनेंड मोबियस द्वारा सजातीय निर्देशांक के अपने सिद्धांत में 1827 की प्रारंभिक में उपयोग किया गया पाया गया है।^[4]

परिभाषाएँ

द्रव्यमान बिंदु जोड़ का उदाहरण

द्रव्यमान बिंदुओं के सिद्धांत को निम्नलिखित परिभाषाओं के अनुसार परिभाषित किया गया है।^[5]

द्रव्यमान बिंदु - द्रव्यमान बिंदु जोड़ी है $(m,P)$ , के रूप में भी लिखा गया है $mP$ , द्रव्यमान सहित, $m$ , और सामान्य बिंदु, $P$ हवाई जहाज पे।
संयोग - हम कहते हैं कि दो बिंदु $mP$ और $nQ$ संयोग अगर और केवल अगर $m=n$ और $P=Q$ .
योग - दो द्रव्यमान बिंदुओं का योग $mP$ और $nQ$ द्रव्यमान है $m+n$ और बिंदु $R$ जहाँ $R$ बिंदु है $PQ$ ऐसा है कि $PR:RQ=n:m$ . दूसरे शब्दों में, $R$ आधार बिंदु है जो बिंदुओं को पूरी प्रकार से संतुलित करता है $P$ और $Q$ . द्रव्यमान बिंदु जोड़ का उदाहरण दाईं ओर दिखाया गया है। द्रव्यमान बिंदु संयुक्त बंद होना (गणित), विनिमेय और जोड़नेवाला है।
अदिश गुणन - द्रव्यमान बिंदु दिया गया $mP$ और धनात्मक वास्तविक अदिश (भौतिकी) $k$ , हम गुणन को परिभाषित करते हैं $k(m,P)=(km,P)$ . द्रव्यमान बिंदु अदिश गुणन द्रव्यमान बिंदु जोड़ पर वितरण गुण है।

विधियाँ

समवर्ती सीवियन

सबसे पहले, बिंदु को द्रव्यमान के साथ निर्दिष्ट किया जाता है। अधिकांशतः पूर्ण संख्या, किन्तु यह समस्या पर निर्भर करता है, जिस प्रकार से अन्य द्रव्यमान भी पूर्णांक होते हैं। गणना का सिद्धांत यह है कि केवियन का पाद दो शीर्षों का जोड़ ऊपर परिभाषित है, वे उस तरफ के अंतिम बिंदु हैं जहां पाद स्थित है। प्रत्येक केवियन के लिए, समवर्ती बिंदु शीर्ष और पाद का योग होता है। प्रत्येक लंबाई अनुपात की गणना बिंदुओं पर जनता से की जा सकती है। उदाहरण के लिए समस्या देखें।

लोगों का बंटवारा

जब किसी समस्या में केवियन के अतिरिक्त तिर्यक रेखा ज्यामिति सम्मलित हो, तो द्रव्यमान को विभाजित करना थोड़ा अधिक जटिल विधि है। कोई भी शीर्ष जो तिर्यक क्रॉस के दोनों तरफ है, विभाजित द्रव्यमान होगा। विभाजित द्रव्यमान वाले बिंदु को सामान्य द्रव्यमान बिंदु के रूप में माना जा सकता है, सिवाय इसके कि इसमें तीन द्रव्यमान होते हैं। दो पक्षों में से प्रत्येक के लिए उपयोग किया जाता है और जो अन्य दो 'विभाजित' द्रव्यमानों का योग होता है और इसका उपयोग किसी भी सीवियन के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए समस्या दो देखें।

अन्य विधियाँ

राउत की प्रमेय - सीवियन वाले त्रिकोण से जुड़ी कई समस्याएं क्षेत्रफल के बारे में पूछेंगी और द्रव्यमान बिंदु क्षेत्रफल की गणना के लिए विधि प्रदान नहीं करते हैं। चूँकि, राउत की प्रमेय, जो द्रव्यमान बिंदुओं के साथ-साथ चलती है, त्रिकोण और तीन सेवियों द्वारा गठित त्रिकोण के बीच के क्षेत्रों के अनुपात की गणना करने के लिए लंबाई के अनुपात का उपयोग करती है।
विशेष सीवियन - जब विशेष गुणों वाले सीवियन दिए जाते हैं, जैसे कोण द्विभाजक ऊंचाई, अन्य प्रमेयों का उपयोग द्रव्यमान बिंदु ज्यामिति के साथ किया जा सकता है जो लंबाई अनुपात निर्धारित करते हैं। इसी प्रकार उपयोग किया जाने वाला बहुत ही सामान्य प्रमेय कोण द्विभाजक प्रमेय है।
स्टीवर्ट की प्रमेय - जब लंबाई के अनुपात के लिए नहीं जबकि वास्तविक लंबाई के लिए कहा जाता है, तो स्टीवर्ट के प्रमेय का उपयोग पूरे खंड की लंबाई निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है और फिर बड़े पैमाने पर बिंदुओं का उपयोग अनुपात निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है और इसलिए आवश्यक लंबाई खंडों के भाग हैं।
उच्च आयाम - द्रव्यमान बिंदु ज्यामिति में सम्मलित विधियाँ दो आयामों तक सीमित नहीं हैं, चतुष्फलकीय, यहां तक कि उच्च-आयामी आकृतियों से संबंधित समस्याओं में समान विधियों का उपयोग किया जा सकता है, चूँकि यह दुर्लभ है कि चार अधिक आयामों वाली समस्या के लिए द्रव्यमान बिंदुओं के उपयोग की आवश्यकता होगी।

उदाहरण

समस्या के समाधान के लिए आरेख

समस्या दो के समाधान के लिए आरेख

समस्या तीन के लिए आरेख

समस्या तीन के लिए आरेख, प्रणाली एक

समस्या तीन, सिस्टम दो के लिए आरेख

समस्या

संकट त्रिकोण में $ABC$ , $E$ चालू है $AC$ जिससे कि $CE=3AE$ और $F$ चालू है $AB$ जिससे कि $BF=3AF$ । अगर $BE$ और $CF$ पर प्रतिच्छेद करें $O$ और रेखा $AO$ काटती है $BC$ पर $D$ , गणना करें ${\tfrac {OB}{OE}}$ और ${\tfrac {OD}{OA}}$ .

समाधान हम मनमाने ढंग से बिंदु का द्रव्यमान निर्दिष्ट कर सकते हैं $A$ होना $3$ . लंबाई के अनुपात से, द्रव्यमान पर $B$ और $C$ दोनों होना चाहिए $1$ . जनता का योग करके, जनता पर $E$ और $F$ दोनों $4$ . इसके अलावा, द्रव्यमान पर $O$ है $4+1=5$ , द्रव्यमान बना रहा है $D$ होना जरूरी $5-3=2$ इसलिए ${\tfrac {OB}{OE}}$ $=4$ और ${\tfrac {OD}{OA}}={\tfrac {3}{2}}$ . आरेख को दाईं ओर देखें।

समस्या दो

संकट। त्रिकोण में $ABC$ , $D$ , $E$ , और $F$ में हैं $BC$ , $CA$ , और $AB$ , क्रमशः, जिससे कि $AE=AF=CD=2$ , $BD=CE=3$ , और $BF=5$ . अगर $DE$ और $CF$ पर प्रतिच्छेद करें $O$ , गणना करें ${\tfrac {OD}{OE}}$ और ${\tfrac {OC}{OF}}$ .

समाधान। चूंकि इस समस्या में तिर्यक रेखा सम्मलित है, हमें बिंदु पर विभक्त द्रव्यमान का उपयोग करना चाहिए $C$ . हम मनमाने ढंग से बिंदु का द्रव्यमान निर्दिष्ट कर सकते हैं $A$ होना $15$ . लंबाई के अनुपात से, द्रव्यमान पर $B$ होना चाहिए $6$ और द्रव्यमान पर $C$ विभाजित है $10$ की ओर $A$ और $9$ की ओर $B$ . द्रव्यमान का योग करके, हम द्रव्यमान प्राप्त करते हैं $D$ , $E$ , और $F$ होना $15$ , $25$ , और $21$ , क्रमश। इसलिए ${\tfrac {OD}{OE}}={\tfrac {25}{15}}={\tfrac {5}{3}}$ और ${\tfrac {OC}{OF}}={\tfrac {21}{10+9}}={\tfrac {21}{19}}$ .

समस्या तीन

संकट। त्रिकोण में $ABC$ , अंक $D$ और $E$ पक्षों पर हैं $BC$ और $CA$ , क्रमशः, और अंक $F$ और $G$ पक्ष में हैं $AB$ साथ $G$ बीच में $F$ और $B$ . $BE$ काटती है $CF$ बिंदु पर $O_{1}$ और $BE$ काटती है $DG$ बिंदु पर $O_{2}$ . अगर $FG=1$ , $AE=AF=DB=DC=2$ , और $BG=CE=3$ , गणना करें ${\tfrac {O_{1}O_{2}}{BE}}$ .

समाधान। इस समस्या में दो केंद्रीय चौराहे बिंदु सम्मलित हैं, $O_{1}$ और $O_{2}$ , इसलिए हमें कई प्रणालियों का उपयोग करना चाहिए।

प्रणाली एक। पहली प्रणाली के लिए, हम चुनेंगे $O_{1}$ हमारे केंद्रीय बिंदु के रूप में और इसलिए हम खंड की उपेक्षा कर सकते हैं $DG$ और अंक $D$ , $G$ , और $O_{2}$ . हम मनमाने ढंग से द्रव्यमान नियत कर सकते हैं $A$ होना $6$ , और लंबाई के अनुपात में जनता पर $B$ और $C$ हैं $3$ और $4$ , क्रमश। द्रव्यमान का योग करके, हम द्रव्यमान प्राप्त करते हैं $E$ , $F$ , और $O_{1}$ क्रमशः 10, 9 और 13 होना। इसलिए, ${\tfrac {EO_{1}}{BO_{1}}}={\tfrac {3}{10}}$ और ${\tfrac {EO_{1}}{BE}}={\tfrac {3}{13}}$ .
प्रणाली दो। दूसरी प्रणाली के लिए, हम चुनेंगे $O_{2}$ हमारे केंद्रीय बिंदु के रूप में, और इसलिए हम खंड की उपेक्षा कर सकते हैं $CF$ और अंक $F$ और $O_{1}$ . चूंकि इस प्रणाली में तिर्यक रेखा सम्मलित है, हमें बिंदु पर विभक्त द्रव्यमान का उपयोग करना चाहिए $B$ . हम मनमाने ढंग से द्रव्यमान नियत कर सकते हैं $A$ होना $3$ , और लंबाई के अनुपात से, द्रव्यमान पर $C$ है $2$ और द्रव्यमान पर $B$ विभाजित है $3$ की ओर $A$ और 2 की ओर $C$ . द्रव्यमान का योग करके, हम द्रव्यमान प्राप्त करते हैं $D$ , $G$ , और $O_{2}$ क्रमशः 4, 6 और 10 होना। इसलिए, ${\tfrac {BO_{2}}{EO_{2}}}={\tfrac {5}{3+2}}=1$ और ${\tfrac {BO_{2}}{BE}}={\tfrac {1}{2}}$ .
मूल प्रणाली। अब हम उन सभी अनुपातों को जानते हैं जो हमारे द्वारा मांगे गए अनुपात को साथ रखने के लिए आवश्यक हैं। अंतिम उत्तर इस प्रकार मिल सकता है: ${\tfrac {O_{1}O_{2}}{BE}}={\tfrac {BE-BO_{2}-EO_{1}}{BE}}=1-{\tfrac {BO_{2}}{BE}}-{\tfrac {EO_{1}}{BE}}=1-{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {3}{13}}={\tfrac {7}{26}}.$

यह भी देखें

केवियन
सेवा प्रमेय
मेनेलॉस प्रमेय
स्टीवर्ट की प्रमेय
कोण द्विभाजक प्रमेय
राउत की प्रमेय
बैरीसेंट्रिक निर्देशांक (गणित)
उत्तोलक

↑ Rhoad, R., Milauskas, G., and Whipple, R. Geometry for Enjoyment and Challenge. McDougal, Littell & Company, 1991.
↑ "संग्रहीत प्रति". Archived from the original on 2010-07-20. Retrieved 2009-06-13.
↑ Rhoad, R., Milauskas, G., and Whipple, R. Geometry for Enjoyment and Challenge. McDougal, Littell & Company, 1991
↑ D. Pedoe Notes on the History of Geometrical Ideas I: Homogeneous Coordinates. Math Magazine (1975), 215-217.
↑ H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry, pp. 216-221, John Wiley & Sons, Inc. 1969

[1] Rhoad, R., Milauskas, G., and Whipple, R. Geometry for Enjoyment and Challenge. McDougal, Littell & Company, 1991.

[2] "संग्रहीत प्रति". Archived from the original on 2010-07-20. Retrieved 2009-06-13.

[3] Rhoad, R., Milauskas, G., and Whipple, R. Geometry for Enjoyment and Challenge. McDougal, Littell & Company, 1991

[4] D. Pedoe Notes on the History of Geometrical Ideas I: Homogeneous Coordinates. Math Magazine (1975), 215-217.

[5] H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry, pp. 216-221, John Wiley & Sons, Inc. 1969

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-'''द्रव्यमान बिंदु ज्यामिति''', बोलचाल की भाषा में द्रव्यमान बिंदु के रूप में जाना जाता है। [[ज्यामिति]] में एक समस्या को सुलझाने की तकनीक है जो द्रव्यमान के केंद्र के भौतिक सिद्धांत को त्रिभुजों से जुड़ी ज्यामिति की समस्याओं पर लागू करती है और [[cevian|केवियन]] को काटती है।<ref>Rhoad, R., Milauskas, G., and Whipple, R.  ''Geometry for Enjoyment and Challenge''.  McDougal, Littell & Company, 1991.</ref> द्रव्यमान बिंदु ज्यामिति का उपयोग करके हल की जा सकने वाली सभी समस्याओं को समान त्रिकोण, [[यूक्लिडियन वेक्टर]] और क्षेत्र अनुपात का उपयोग करके भी हल किया जा सकता है।<ref>{{Cite web |url=http://mathcircle.berkeley.edu/archivedocs/2007_2008/lectures/0708lecturesps/MassPointsBMC07.ps |title=संग्रहीत प्रति|access-date=2009-06-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20100720083314/http://mathcircle.berkeley.edu/archivedocs/2007_2008/lectures/0708lecturesps/MassPointsBMC07.ps |archive-date=2010-07-20 |url-status=dead }}</ref> किन्तु कई छात्र द्रव्यमान बिंदुओं का उपयोग करना पसंद करते हैं। चूँकि आधुनिक द्रव्यमान बिंदु ज्यामिति का विकास 1960 के दशक में न्यूयॉर्क हाई स्कूल के छात्रों द्वारा किया गया था,<ref>Rhoad, R., Milauskas, G., and Whipple, R.  ''Geometry for Enjoyment and Challenge''. McDougal, Littell & Company, 1991</ref> इस अवधारणा को अगस्त फर्डिनेंड मोबियस द्वारा [[सजातीय निर्देशांक]] के अपने सिद्धांत में 1827 की प्रारंभिक में उपयोग किया गया पाया गया है।<ref>D. Pedoe ''Notes on the History of Geometrical Ideas I: Homogeneous Coordinates''. Math Magazine (1975), 215-217.</ref>
+'''द्रव्यमान बिंदु ज्यामिति''', बोलचाल की भाषा में द्रव्यमान बिंदु के रूप में जाना जाता है। [[ज्यामिति]] में समस्या को सुलझाने की तकनीक है जो द्रव्यमान के केंद्र के भौतिक सिद्धांत को त्रिभुजों से जुड़ी ज्यामिति की समस्याओं पर लागू करती है और [[cevian|केवियन]] को काटती है।<ref>Rhoad, R., Milauskas, G., and Whipple, R.  ''Geometry for Enjoyment and Challenge''.  McDougal, Littell & Company, 1991.</ref> द्रव्यमान बिंदु ज्यामिति का उपयोग करके हल की जा सकने वाली सभी समस्याओं को समान त्रिकोण, [[यूक्लिडियन वेक्टर]] और क्षेत्र अनुपात का उपयोग करके भी हल किया जा सकता है।<ref>{{Cite web |url=http://mathcircle.berkeley.edu/archivedocs/2007_2008/lectures/0708lecturesps/MassPointsBMC07.ps |title=संग्रहीत प्रति|access-date=2009-06-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20100720083314/http://mathcircle.berkeley.edu/archivedocs/2007_2008/lectures/0708lecturesps/MassPointsBMC07.ps |archive-date=2010-07-20 |url-status=dead }}</ref> किन्तु कई छात्र द्रव्यमान बिंदुओं का उपयोग करना पसंद करते हैं। चूँकि आधुनिक द्रव्यमान बिंदु ज्यामिति का विकास 1960 के दशक में न्यूयॉर्क हाई स्कूल के छात्रों द्वारा किया गया था,<ref>Rhoad, R., Milauskas, G., and Whipple, R.  ''Geometry for Enjoyment and Challenge''. McDougal, Littell & Company, 1991</ref> इस अवधारणा को अगस्त फर्डिनेंड मोबियस द्वारा [[सजातीय निर्देशांक]] के अपने सिद्धांत में 1827 की प्रारंभिक में उपयोग किया गया पाया गया है।<ref>D. Pedoe ''Notes on the History of Geometrical Ideas I: Homogeneous Coordinates''. Math Magazine (1975), 215-217.</ref>
 == परिभाषाएँ ==
-[[Image:Mass points3.png|thumb|द्रव्यमान बिंदु जोड़ का उदाहरण]]द्रव्यमान बिंदुओं के सिद्धांत को निम्नलिखित परिभाषाओं के अनुसार परिभाषित किया गया है:<ref>H. S. M. Coxeter, ''Introduction to Geometry'', pp. 216-221, John Wiley & Sons, Inc. 1969</ref>
+[[Image:Mass points3.png|thumb|द्रव्यमान बिंदु जोड़ का उदाहरण]]द्रव्यमान बिंदुओं के सिद्धांत को निम्नलिखित परिभाषाओं के अनुसार परिभाषित किया गया है।<ref>H. S. M. Coxeter, ''Introduction to Geometry'', pp. 216-221, John Wiley & Sons, Inc. 1969</ref>
-* मास प्वाइंट - एक द्रव्यमान बिंदु एक जोड़ी है <math>(m, P)</math>, के रूप में भी लिखा गया है <math>mP</math>, द्रव्यमान सहित, <math>m</math>, और एक सामान्य बिंदु, <math>P</math> हवाई जहाज पे।
+* द्रव्यमान बिंदु - द्रव्यमान बिंदु जोड़ी है <math>(m, P)</math>, के रूप में भी लिखा गया है <math>mP</math>, द्रव्यमान सहित, <math>m</math>, और सामान्य बिंदु, <math>P</math> हवाई जहाज पे।
 * संयोग - हम कहते हैं कि दो बिंदु <math>mP</math> और <math>nQ</math> संयोग अगर और केवल अगर <math>m = n</math> और <math>P = Q</math>.
-* योग - दो द्रव्यमान बिंदुओं का योग <math>mP</math> और <math>nQ</math> द्रव्यमान है <math>m + n</math> और बिंदु <math>R</math> कहाँ <math>R</math> बिंदु है <math>PQ</math> ऐसा है कि <math>PR:RQ = n:m</math>. दूसरे शब्दों में, <math>R</math> आधार बिंदु है जो बिंदुओं को पूरी तरह से संतुलित करता है <math>P</math> और <math>Q</math>. द्रव्यमान बिंदु जोड़ का एक उदाहरण दाईं ओर दिखाया गया है। मास पॉइंट जोड़ क्लोजर (गणित), [[ विनिमेय |विनिमेय]] और [[ जोड़नेवाला |जोड़नेवाला]] है।
+* योग - दो द्रव्यमान बिंदुओं का योग <math>mP</math> और <math>nQ</math> द्रव्यमान है <math>m + n</math> और बिंदु <math>R</math> जहाँ <math>R</math> बिंदु है <math>PQ</math> ऐसा है कि <math>PR:RQ = n:m</math>. दूसरे शब्दों में, <math>R</math> आधार बिंदु है जो बिंदुओं को पूरी प्रकार से संतुलित करता है <math>P</math> और <math>Q</math>. द्रव्यमान बिंदु जोड़ का उदाहरण दाईं ओर दिखाया गया है। द्रव्यमान बिंदु संयुक्त बंद होना (गणित), [[ विनिमेय |विनिमेय]] और [[ जोड़नेवाला |जोड़नेवाला]] है।
-* अदिश गुणन - एक द्रव्यमान बिंदु दिया गया <math>mP</math> और एक धनात्मक वास्तविक [[अदिश (भौतिकी)]] <math>k</math>, हम गुणन को परिभाषित करते हैं <math>k(m, P) = (km, P)</math>. द्रव्यमान बिंदु अदिश गुणन द्रव्यमान बिंदु जोड़ पर वितरण गुण है।
+* अदिश गुणन - द्रव्यमान बिंदु दिया गया <math>mP</math> और धनात्मक वास्तविक [[अदिश (भौतिकी)]] <math>k</math>, हम गुणन को परिभाषित करते हैं <math>k(m, P) = (km, P)</math>. द्रव्यमान बिंदु अदिश गुणन द्रव्यमान बिंदु जोड़ पर वितरण गुण है।
-== तरीके ==
+== विधियाँ ==
 === समवर्ती सीवियन ===
-सबसे पहले, एक बिंदु को द्रव्यमान के साथ निर्दिष्ट किया जाता है (अक्सर एक पूर्ण संख्या, किन्तु यह समस्या पर निर्भर करता है) जिस तरह से अन्य द्रव्यमान भी पूर्णांक होते हैं।
+सबसे पहले, बिंदु को द्रव्यमान के साथ निर्दिष्ट किया जाता है। अधिकांशतः पूर्ण संख्या, किन्तु यह समस्या पर निर्भर करता है, जिस प्रकार से अन्य द्रव्यमान भी पूर्णांक होते हैं। गणना का सिद्धांत यह है कि केवियन का पाद दो शीर्षों का जोड़ ऊपर परिभाषित है, वे उस तरफ के अंतिम बिंदु हैं जहां पाद स्थित है। प्रत्येक केवियन के लिए, समवर्ती बिंदु शीर्ष और पाद का योग होता है। प्रत्येक लंबाई अनुपात की गणना बिंदुओं पर जनता से की जा सकती है। उदाहरण के लिए समस्या देखें।
-गणना का सिद्धांत यह है कि केवियन का पाद दो शीर्षों का जोड़ (ऊपर परिभाषित) है (वे उस तरफ के अंतिम बिंदु हैं जहां पाद स्थित है)।
-प्रत्येक केवियन के लिए, समवर्ती बिंदु शीर्ष और पाद का योग होता है।
-प्रत्येक लंबाई अनुपात की गणना बिंदुओं पर जनता से की जा सकती है। उदाहरण के लिए समस्या एक देखें।
 === लोगों का बंटवारा ===
-जब किसी समस्या में केवियन के अलावा ट्रांसवर्सल (ज्यामिति) शामिल हो तो द्रव्यमान को विभाजित करना थोड़ा अधिक जटिल तरीका है। कोई भी शीर्ष जो तिर्यक क्रॉस के दोनों तरफ है, एक विभाजित द्रव्यमान होगा। विभाजित द्रव्यमान वाले बिंदु को सामान्य द्रव्यमान बिंदु के रूप में माना जा सकता है, सिवाय इसके कि इसमें तीन द्रव्यमान होते हैं: एक दो पक्षों में से प्रत्येक के लिए उपयोग किया जाता है, और एक जो अन्य दो 'विभाजित' द्रव्यमानों का योग होता है और इसका उपयोग किसी भी सीवियन के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए समस्या दो देखें।
+जब किसी समस्या में केवियन के अतिरिक्त तिर्यक रेखा ज्यामिति सम्मलित हो, तो द्रव्यमान को विभाजित करना थोड़ा अधिक जटिल विधि है। कोई भी शीर्ष जो तिर्यक क्रॉस के दोनों तरफ है, विभाजित द्रव्यमान होगा। विभाजित द्रव्यमान वाले बिंदु को सामान्य द्रव्यमान बिंदु के रूप में माना जा सकता है, सिवाय इसके कि इसमें तीन द्रव्यमान होते हैं। दो पक्षों में से प्रत्येक के लिए उपयोग किया जाता है और जो अन्य दो 'विभाजित' द्रव्यमानों का योग होता है और इसका उपयोग किसी भी सीवियन के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए समस्या दो देखें।
-=== अन्य तरीके ===
+=== अन्य विधियाँ ===
-* राउत की प्रमेय - सीवियन वाले त्रिकोण से जुड़ी कई समस्याएं क्षेत्रफल के बारे में पूछेंगी, और द्रव्यमान बिंदु क्षेत्रफल की गणना के लिए एक विधि प्रदान नहीं करते हैं। चूँकि, राउत की प्रमेय, जो द्रव्यमान बिंदुओं के साथ-साथ चलती है, एक त्रिकोण और तीन सेवियों द्वारा गठित त्रिकोण के बीच के क्षेत्रों के अनुपात की गणना करने के लिए लंबाई के अनुपात का उपयोग करती है।
+* राउत की प्रमेय - सीवियन वाले त्रिकोण से जुड़ी कई समस्याएं क्षेत्रफल के बारे में पूछेंगी और द्रव्यमान बिंदु क्षेत्रफल की गणना के लिए विधि प्रदान नहीं करते हैं। चूँकि, राउत की प्रमेय, जो द्रव्यमान बिंदुओं के साथ-साथ चलती है, त्रिकोण और तीन सेवियों द्वारा गठित त्रिकोण के बीच के क्षेत्रों के अनुपात की गणना करने के लिए लंबाई के अनुपात का उपयोग करती है।
-* विशेष सीवियन - जब विशेष गुणों वाले सीवियन दिए जाते हैं, जैसे [[कोण द्विभाजक]] या [[ऊंचाई]], अन्य प्रमेयों का उपयोग द्रव्यमान बिंदु ज्यामिति के साथ किया जा सकता है जो लंबाई अनुपात निर्धारित करते हैं। इसी तरह उपयोग किया जाने वाला एक बहुत ही सामान्य प्रमेय [[कोण द्विभाजक प्रमेय]] है।
+* विशेष सीवियन - जब विशेष गुणों वाले सीवियन दिए जाते हैं, जैसे [[कोण द्विभाजक]] [[ऊंचाई]], अन्य प्रमेयों का उपयोग द्रव्यमान बिंदु ज्यामिति के साथ किया जा सकता है जो लंबाई अनुपात निर्धारित करते हैं। इसी प्रकार उपयोग किया जाने वाला बहुत ही सामान्य प्रमेय [[कोण द्विभाजक प्रमेय]] है।
-* स्टीवर्ट की प्रमेय - जब लंबाई के अनुपात के लिए नहीं बल्कि वास्तविक लंबाई के लिए कहा जाता है, तो स्टीवर्ट के प्रमेय का उपयोग पूरे खंड की लंबाई निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है, और फिर बड़े पैमाने पर बिंदुओं का उपयोग अनुपात निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है और इसलिए आवश्यक लंबाई खंडों के हिस्से।
+* स्टीवर्ट की प्रमेय - जब लंबाई के अनुपात के लिए नहीं जबकि वास्तविक लंबाई के लिए कहा जाता है, तो स्टीवर्ट के प्रमेय का उपयोग पूरे खंड की लंबाई निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है और फिर बड़े पैमाने पर बिंदुओं का उपयोग अनुपात निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है और इसलिए आवश्यक लंबाई खंडों के भाग हैं।
-* उच्च आयाम - द्रव्यमान बिंदु ज्यामिति में शामिल विधियाँ दो आयामों तक सीमित नहीं हैं; टेट्राहेड्रा, या यहां तक कि उच्च-आयामी आकृतियों से संबंधित समस्याओं में समान विधियों का उपयोग किया जा सकता है, चूँकि यह दुर्लभ है कि चार या अधिक आयामों वाली समस्या के लिए द्रव्यमान बिंदुओं के उपयोग की आवश्यकता होगी।
+* उच्च आयाम - द्रव्यमान बिंदु ज्यामिति में सम्मलित विधियाँ दो आयामों तक सीमित नहीं हैं, चतुष्फलकीय, यहां तक कि उच्च-आयामी आकृतियों से संबंधित समस्याओं में समान विधियों का उपयोग किया जा सकता है, चूँकि यह दुर्लभ है कि चार अधिक आयामों वाली समस्या के लिए द्रव्यमान बिंदुओं के उपयोग की आवश्यकता होगी।
 == उदाहरण ==
-[[Image:Mass points4.png|thumb|समस्या एक के समाधान के लिए आरेख]]
+[[Image:Mass points4.png|thumb|समस्या के समाधान के लिए आरेख]]
 [[Image:Mass points5.png|thumb|समस्या दो के समाधान के लिए आरेख]]
 [[Image:Mass points6.png|thumb|समस्या तीन के लिए आरेख]]
-[[Image:Mass points7.png|thumb|समस्या तीन के लिए आरेख, सिस्टम वन]]
+[[Image:Mass points7.png|thumb|समस्या तीन के लिए आरेख, प्रणाली एक]]
 [[Image:Mass points8.png|thumb|समस्या तीन, सिस्टम दो के लिए आरेख]]
-=== समस्या एक ===
+=== समस्या  ===
-संकट। त्रिकोण में <math>ABC</math>, <math>E</math> चालू है <math>AC</math> ताकि <math>CE = 3AE</math> और <math>F</math> चालू है <math>AB</math> ताकि <math>BF = 3AF</math>. अगर <math>BE</math> और <math>CF</math> पर प्रतिच्छेद करें <math>O</math> और रेखा <math>AO</math> काटती है <math>BC</math> पर <math>D</math>, गणना करें <math>\tfrac{OB}{OE}</math> और <math>\tfrac{OD}{OA}</math>.
+संकट त्रिकोण में <math>ABC</math>, <math>E</math> चालू है <math>AC</math> जिससे कि <math>CE = 3AE</math> और <math>F</math> चालू है <math>AB</math> जिससे कि <math>BF = 3AF</math>। अगर <math>BE</math> और <math>CF</math> पर प्रतिच्छेद करें <math>O</math> और रेखा <math>AO</math> काटती है <math>BC</math> पर <math>D</math>, गणना करें <math>\tfrac{OB}{OE}</math> और <math>\tfrac{OD}{OA}</math>.
-समाधान। हम मनमाने ढंग से बिंदु का द्रव्यमान निर्दिष्ट कर सकते हैं <math>A</math> होना <math>3</math>. लंबाई के अनुपात से, द्रव्यमान पर <math>B</math> और <math>C</math> दोनों होना चाहिए <math>1</math>. जनता का योग करके, जनता पर <math>E</math> और <math>F</math> दोनों <math>4</math>. इसके अलावा, द्रव्यमान पर <math>O</math> है <math>4 + 1 = 5</math>, द्रव्यमान बना रहा है <math>D</math> होना जरूरी <math>5 - 3 = 2</math> इसलिए <math>\tfrac{OB}{OE}</math> <math>= 4</math> और <math>\tfrac{OD}{OA} = \tfrac{3}{2}</math>. आरेख को दाईं ओर देखें।
+समाधान हम मनमाने ढंग से बिंदु का द्रव्यमान निर्दिष्ट कर सकते हैं <math>A</math> होना <math>3</math>. लंबाई के अनुपात से, द्रव्यमान पर <math>B</math> और <math>C</math> दोनों होना चाहिए <math>1</math>. जनता का योग करके, जनता पर <math>E</math> और <math>F</math> दोनों <math>4</math>. इसके अलावा, द्रव्यमान पर <math>O</math> है <math>4 + 1 = 5</math>, द्रव्यमान बना रहा है <math>D</math> होना जरूरी <math>5 - 3 = 2</math> इसलिए <math>\tfrac{OB}{OE}</math> <math>= 4</math> और <math>\tfrac{OD}{OA} = \tfrac{3}{2}</math>. आरेख को दाईं ओर देखें।
 === समस्या दो ===
-संकट। त्रिकोण में <math>ABC</math>, <math>D</math>, <math>E</math>, और <math>F</math> में हैं <math>BC</math>, <math>CA</math>, और <math>AB</math>, क्रमशः, ताकि <math>AE = AF = CD = 2</math>, <math>BD = CE = 3</math>, और <math>BF = 5</math>. अगर <math>DE</math> और <math>CF</math> पर प्रतिच्छेद करें <math>O</math>, गणना करें <math>\tfrac{OD}{OE}</math> और <math>\tfrac{OC}{OF}</math>.
+संकट। त्रिकोण में <math>ABC</math>, <math>D</math>, <math>E</math>, और <math>F</math> में हैं <math>BC</math>, <math>CA</math>, और <math>AB</math>, क्रमशः, जिससे कि <math>AE = AF = CD = 2</math>, <math>BD = CE = 3</math>, और <math>BF = 5</math>. अगर <math>DE</math> और <math>CF</math> पर प्रतिच्छेद करें <math>O</math>, गणना करें <math>\tfrac{OD}{OE}</math> और <math>\tfrac{OC}{OF}</math>.
-समाधान। चूंकि इस समस्या में एक तिर्यक रेखा शामिल है, हमें बिंदु पर विभक्त द्रव्यमान का उपयोग करना चाहिए <math>C</math>. हम मनमाने ढंग से बिंदु का द्रव्यमान निर्दिष्ट कर सकते हैं <math>A</math> होना <math>15</math>. लंबाई के अनुपात से, द्रव्यमान पर <math>B</math> होना चाहिए <math>6</math> और द्रव्यमान पर <math>C</math> विभाजित है <math>10</math> की ओर <math>A</math> और <math>9</math> की ओर <math>B</math>. द्रव्यमान का योग करके, हम द्रव्यमान प्राप्त करते हैं <math>D</math>, <math>E</math>, और <math>F</math> होना <math>15</math>, <math>25</math>, और <math>21</math>, क्रमश। इसलिए <math>\tfrac{OD}{OE} = \tfrac{25}{15} = \tfrac{5}{3}</math> और <math>\tfrac{OC}{OF} = \tfrac{21}{10 + 9} = \tfrac{21}{19}</math>.
+समाधान। चूंकि इस समस्या में तिर्यक रेखा सम्मलित है, हमें बिंदु पर विभक्त द्रव्यमान का उपयोग करना चाहिए <math>C</math>. हम मनमाने ढंग से बिंदु का द्रव्यमान निर्दिष्ट कर सकते हैं <math>A</math> होना <math>15</math>. लंबाई के अनुपात से, द्रव्यमान पर <math>B</math> होना चाहिए <math>6</math> और द्रव्यमान पर <math>C</math> विभाजित है <math>10</math> की ओर <math>A</math> और <math>9</math> की ओर <math>B</math>. द्रव्यमान का योग करके, हम द्रव्यमान प्राप्त करते हैं <math>D</math>, <math>E</math>, और <math>F</math> होना <math>15</math>, <math>25</math>, और <math>21</math>, क्रमश। इसलिए <math>\tfrac{OD}{OE} = \tfrac{25}{15} = \tfrac{5}{3}</math> और <math>\tfrac{OC}{OF} = \tfrac{21}{10 + 9} = \tfrac{21}{19}</math>.
 === समस्या तीन ===
 संकट। त्रिकोण में <math>ABC</math>, अंक <math>D</math> और <math>E</math> पक्षों पर हैं <math>BC</math> और <math>CA</math>, क्रमशः, और अंक <math>F</math> और <math>G</math> पक्ष में हैं <math>AB</math> साथ <math>G</math> बीच में <math>F</math> और <math>B</math>. <math>BE</math> काटती है <math>CF</math> बिंदु पर <math>O_1</math> और <math>BE</math> काटती है <math>DG</math> बिंदु पर <math>O_2</math>. अगर <math>FG = 1</math>, <math>AE = AF = DB = DC = 2</math>, और <math>BG = CE = 3</math>, गणना करें <math>\tfrac{O_1O_2}{BE}</math>.
-समाधान। इस समस्या में दो केंद्रीय चौराहे बिंदु शामिल हैं, <math>O_1</math> और <math>O_2</math>, इसलिए हमें कई प्रणालियों का उपयोग करना चाहिए।
+समाधान। इस समस्या में दो केंद्रीय चौराहे बिंदु सम्मलित हैं, <math>O_1</math> और <math>O_2</math>, इसलिए हमें कई प्रणालियों का उपयोग करना चाहिए।
-* सिस्टम वन। पहली प्रणाली के लिए, हम चुनेंगे <math>O_1</math> हमारे केंद्रीय बिंदु के रूप में, और इसलिए हम खंड की उपेक्षा कर सकते हैं <math>DG</math> और अंक <math>D</math>, <math>G</math>, और <math>O_2</math>. हम मनमाने ढंग से द्रव्यमान नियत कर सकते हैं <math>A</math> होना <math>6</math>, और लंबाई के अनुपात में जनता पर <math>B</math> और <math>C</math> हैं <math>3</math> और <math>4</math>, क्रमश। द्रव्यमान का योग करके, हम द्रव्यमान प्राप्त करते हैं <math>E</math>, <math>F</math>, और <math>O_1</math> क्रमशः 10, 9 और 13 होना। इसलिए, <math>\tfrac{EO_1}{BO_1} = \tfrac{3}{10}</math> और <math>\tfrac{EO_1}{BE} = \tfrac{3}{13}</math>.
+* प्रणाली एक। पहली प्रणाली के लिए, हम चुनेंगे <math>O_1</math> हमारे केंद्रीय बिंदु के रूप में और इसलिए हम खंड की उपेक्षा कर सकते हैं <math>DG</math> और अंक <math>D</math>, <math>G</math>, और <math>O_2</math>. हम मनमाने ढंग से द्रव्यमान नियत कर सकते हैं <math>A</math> होना <math>6</math>, और लंबाई के अनुपात में जनता पर <math>B</math> और <math>C</math> हैं <math>3</math> और <math>4</math>, क्रमश। द्रव्यमान का योग करके, हम द्रव्यमान प्राप्त करते हैं <math>E</math>, <math>F</math>, और <math>O_1</math> क्रमशः 10, 9 और 13 होना। इसलिए, <math>\tfrac{EO_1}{BO_1} = \tfrac{3}{10}</math> और <math>\tfrac{EO_1}{BE} = \tfrac{3}{13}</math>.
-* प्रणाली दो। दूसरी प्रणाली के लिए, हम चुनेंगे <math>O_2</math> हमारे केंद्रीय बिंदु के रूप में, और इसलिए हम खंड की उपेक्षा कर सकते हैं <math>CF</math> और अंक <math>F</math> और <math>O_1</math>. चूंकि इस प्रणाली में एक तिर्यक रेखा शामिल है, हमें बिंदु पर विभक्त द्रव्यमान का उपयोग करना चाहिए <math>B</math>. हम मनमाने ढंग से द्रव्यमान नियत कर सकते हैं <math>A</math> होना <math>3</math>, और लंबाई के अनुपात से, द्रव्यमान पर <math>C</math> है <math>2</math> और द्रव्यमान पर <math>B</math> विभाजित है <math>3</math> की ओर <math>A</math> और 2 की ओर <math>C</math>. द्रव्यमान का योग करके, हम द्रव्यमान प्राप्त करते हैं <math>D</math>, <math>G</math>, और <math>O_2</math> क्रमशः 4, 6 और 10 होना। इसलिए, <math>\tfrac{BO_2}{EO_2} = \tfrac{5}{3 + 2} = 1</math> और <math>\tfrac{BO_2}{BE} = \tfrac{1}{2}</math>.
+* प्रणाली दो। दूसरी प्रणाली के लिए, हम चुनेंगे <math>O_2</math> हमारे केंद्रीय बिंदु के रूप में, और इसलिए हम खंड की उपेक्षा कर सकते हैं <math>CF</math> और अंक <math>F</math> और <math>O_1</math>. चूंकि इस प्रणाली में तिर्यक रेखा सम्मलित है, हमें बिंदु पर विभक्त द्रव्यमान का उपयोग करना चाहिए <math>B</math>. हम मनमाने ढंग से द्रव्यमान नियत कर सकते हैं <math>A</math> होना <math>3</math>, और लंबाई के अनुपात से, द्रव्यमान पर <math>C</math> है <math>2</math> और द्रव्यमान पर <math>B</math> विभाजित है <math>3</math> की ओर <math>A</math> और 2 की ओर <math>C</math>. द्रव्यमान का योग करके, हम द्रव्यमान प्राप्त करते हैं <math>D</math>, <math>G</math>, और <math>O_2</math> क्रमशः 4, 6 और 10 होना। इसलिए, <math>\tfrac{BO_2}{EO_2} = \tfrac{5}{3 + 2} = 1</math> और <math>\tfrac{BO_2}{BE} = \tfrac{1}{2}</math>.
-* मूल प्रणाली। अब हम उन सभी अनुपातों को जानते हैं जो हमारे द्वारा मांगे गए अनुपात को एक साथ रखने के लिए आवश्यक हैं। अंतिम उत्तर इस प्रकार मिल सकता है: <math display="block">\tfrac{O_1O_2}{BE} = \tfrac{BE - BO_2 - EO_1}{BE} = 1 - \tfrac{BO_2}{BE} - \tfrac{EO_1}{BE} = 1 - \tfrac{1}{2} - \tfrac{3}{13} = \tfrac{7}{26}.</math>
+* मूल प्रणाली। अब हम उन सभी अनुपातों को जानते हैं जो हमारे द्वारा मांगे गए अनुपात को साथ रखने के लिए आवश्यक हैं। अंतिम उत्तर इस प्रकार मिल सकता है: <math display="block">\tfrac{O_1O_2}{BE} = \tfrac{BE - BO_2 - EO_1}{BE} = 1 - \tfrac{BO_2}{BE} - \tfrac{EO_1}{BE} = 1 - \tfrac{1}{2} - \tfrac{3}{13} = \tfrac{7}{26}.</math>
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