एन-बॉडी समस्या: Difference between revisions

Latest revision as of 17:23, 19 September 2023

भौतिकी में, $n$ -बॉडी समस्या एक दूसरे के साथ गुरुत्वाकर्षण से संपर्क करने वाले खगोलीय पिंडों के समूह की व्यक्तिगत गति की भविष्यवाणी करने की समस्या है।^[1] इस समस्या का समाधान सूर्य, चंद्रमा, ग्रहो और दृश्यमान तारों की गति को समझने की इच्छा से प्रेरित किया गया है। इस प्रकार से 20वीं सदी में वृत्ताकार क्लस्टर तारा प्रणालियों की गतिशीलता को समझना महत्वपूर्ण $n$ -बॉडी समस्या बन गई है।^[2] अतः समय और स्थान विकृतियों जैसे अतिरिक्त कारकों के कारण सामान्य सापेक्षता में $n}$ -बॉडी की समस्या को हल करना अधिक कठिन है।

इस प्रकार से मौलिक शारीरिक समस्या को अनौपचारिक रूप से निम्नलिखित रूप में बताया जा सकता है:

अर्ध-स्थिर कक्षीय गुणों (तात्कालिक स्थिति, वेग और समय) को देखते हुए^[3] आकाशीय पिंडों के एक समूह की, उनकी अंतःक्रियात्मक शक्तियों की भविष्यवाणी करना; और परिणामस्वरूप, भविष्य के सभी समयों के लिए उनकी वास्तविक कक्षीय गतियों की भविष्यवाणी करें.^[4]

दो-बॉडी की समस्या पूर्ण रूप से हल हो गई है। और इस पर विचार किया गया है, साथ ही प्रसिद्ध प्रतिबंधित त्रि-बॉडी की समस्या भी है।^[5]

इतिहास

किसी ग्रह की कक्षा की तीन कक्षीय स्थितियों को जानना -सर आइजैक न्यूटन द्वारा खगोलशास्त्री जॉन फ्लेमस्टीड से प्राप्त स्थिति - न्यूटन किसी ग्रह की गति की भविष्यवाणी करने के लिए सीधी विश्लेषणात्मक ज्यामिति द्वारा एक समीकरण तैयार करने में सक्षम था;^[6] अर्थात, इसके कक्षीय गुण बताने के लिए: स्थिति, कक्षीय व्यास, अवधि और कक्षीय वेग^[7] ऐसा करने के पश्चात, उन्होंने और अन्य लोगों ने शीघ्र ही कुछ वर्षों के समय पाया कि गति के उन समीकरणों ने कुछ कक्षाओं की सही या अधिक उचित रूप से भविष्यवाणी नहीं की थी।^[8] और न्यूटन को एहसास हुआ कि ऐसा इसलिए था क्योंकि सभी ग्रहों के मध्य गुरुत्वाकर्षण परस्पर क्रिया बल उनकी सभी कक्षाओं को प्रभावित कर रहे थे।

उपरोक्त रहस्योद्घाटन सीधे रूप से n-बॉडी प्रकाशन के भौतिक रूप से मूल पर आक्रमण करता है: जैसा कि न्यूटन ने समझा, कि किसी ग्रह की वास्तविक कक्षा स्थापित करने के लिए केवल प्रारंभिक स्थान और वेग, या यहां तक कि तीन कक्षीय स्थिति प्रदान करना पर्याप्त नहीं है; और किसी को गुरुत्वाकर्षण संपर्क बलों के बारे में भी जागरूक होना चाहिए। इस प्रकार 17वीं शताब्दी की प्रारंभ में $n$ -बॉडी "समस्या" के बारे में जागरूकता और वृद्धि हुई है। ये गुरुत्वाकर्षण आकर्षक बल न्यूटन के गति के नियमों और उनके सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुरूप हैं, किन्तु अनेक एकाधिक (n-बॉडी) इंटरैक्शन ने ऐतिहासिक रूप से किसी भी स्पष्ट समाधान को कठिन बना सकता है। अतः विडंबना यह है कि इस अनुरूपता ने असत्य दृष्टिकोण को उत्पन्न किया है।

न्यूटन के समय के पश्चात $n$ -बॉडी की समस्या को ऐतिहासिक और उचित रूप से नहीं दर्शाया गया है। क्योंकि इसमें उन गुरुत्वाकर्षण अंतःक्रियात्मक बलों का संदर्भ सम्मिलित नहीं था। किन्तु न्यूटन इसे सीधे रूप से नहीं कहते हैं। किन्तु अपने प्रिंसिपिया में इसका तात्पर्य है कि उन गुरुत्वाकर्षण अंतःक्रियात्मक बलों के कारण $n$ -बॉडी समस्या हल नहीं हो सकती है।^[9] न्यूटन ने अपने प्रिंसिपिया में, पैराग्राफ 21: में कहा है।^[10]

और इसलिए यह है कि आकर्षण बल दोनों बॉडी में पाया जाता है। सूर्य बृहस्पति और अन्य ग्रहों को आकर्षित करता है, बृहस्पति अपने उपग्रहों को आकर्षित करता है और इसी प्रकार उपग्रह एक दूसरे पर कार्य करते हैं। और यद्यपि एक दूसरे पर ग्रहों की जोड़ी में से प्रत्येक की गतिविधियों को एक दूसरे से अलग किया जा सकता है और उन्हें दो गतिविधियों के रूप में माना जा सकता है जिसके द्वारा प्रत्येक दूसरे को आकर्षित करता है, फिर भी चूंकि वे एक ही, दो निकायों के मध्य हैं, किन्तु दो टर्मिनी के मध्य एक सरल ऑपरेशन वे दो नहीं हैं। दो पिंडों को उनके मध्य रस्सी के संकुचन द्वारा एक दूसरे की ओर खींचा जा सकता है। कार्य का कारण दो प्रकार का होता है, अर्थात दोनों बॉडी में से प्रत्येक का स्वभाव; क्रिया वैसे ही दुगनी होती है, जहाँ तक यह दो बॉडी पर होती है; किन्तु जहां तक यह दो बॉडी के मध्य है, यह एकल और एक है...

न्यूटन ने अपने न्यूटन के तृतीय नियम के माध्यम से यह निष्कर्ष निकाला कि इस नियम के अनुसार सभी पिंडों को एक-दूसरे को आकर्षित करना चाहिए। यह अंतिम कथन, जो गुरुत्वाकर्षण अंतःक्रियात्मक बलों के अस्तित्व को महत्वपूर्ण रूप से दर्शाता है।

जैसा कि नीचे दिखाया गया है, समस्या जीन ले रोंड डी'एलेम्बर्ट के गैर-न्यूटोनियन प्रथम और द्वतीय सिद्धांतों और गैर-रेखीय $n$ -बॉडी समस्या एल्गोरिदम के अनुरूप है , जो इसके पश्चात में उन अंतःक्रियात्मक बलों की गणना के लिए संवर्त रूप समाधान की अनुमति देता है।

$n$ -बॉडी की समस्या का सामान्य समाधान खोजने की समस्या को अधिक महत्वपूर्ण और चुनौतीपूर्ण माना जाता था। वास्तव में, 19वीं सदी के अंत में स्वीडन के राजा ऑस्कर द्वितीय ने, गोस्टा मिट्टाग-लेफ़लर की सलाह पर, समस्या का समाधान खोजने वाले किसी भी व्यक्ति के लिए पुरस्कार की घोषणा की स्थापना अधिक विशिष्ट थी।

इच्छानुसार अनेक द्रव्यमान बिंदुओं की एक प्रणाली को देखते हुए, जो न्यूटन के नियम के अनुसार प्रत्येक को आकर्षित करते हैं, इस धारणा के अधीन कि कोई भी दो बिंदु कभी नहीं टकराते हैं, एक वेरिएबल में एक श्रृंखला के रूप में प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक का प्रतिनिधित्व खोजने का प्रयास करें जो समय का कुछ ज्ञात कार्य है और जिनके सभी मान के लिए श्रृंखला समान रूप से अभिसरित होती है।

यदि समस्या का समाधान नहीं हो सका, तो मौलिक यांत्रिकी में कोई अन्य महत्वपूर्ण योगदान पुरस्कार के योग्य माना जाएगा। यह पुरस्कार हेनरी पोंकारे को दिया गया था, तथापि उन्होंने मूल समस्या का समाधान नहीं किया (उनके योगदान के पहले संस्करण में भी गंभीर त्रुटि थी।^[11]) अंततः मुद्रित संस्करण में अनेक महत्वपूर्ण विचार सम्मिलित थे। जिससे अराजकता सिद्धांत का विकास हुआ। जैसा कि मूल रूप से बताया गया था, जैसा कि मूल रूप से कहा गया है, समस्या को अंततः कार्ल फ्रिटियोफ सुंडमैन द्वारा $n = 3$ के लिए हल किया गया था और एल के बाबादजानजान्ज़ और किउडोंग वांग द्वारा $n > 3$ तक सामान्यीकृत किया गया था।^[12]^[13]^[14]

सामान्य सूत्रीकरण

$n}$ -बॉडी समस्या परस्पर गुरुत्वाकर्षण आकर्षण के प्रभाव में चलते हुए तीन आयामी स्थान $ℝ 3$ में एक जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में $n$ बिंदु द्रव्यमान $m i, i = 1, 2, \dots, n$ पर विचार करती है। प्रत्येक द्रव्यमान $m i$ में एक स्थिति सदिश $q i$ न्यूटन का दूसरा होता है। इस प्रकार से नियम दर्शाता है कि द्रव्यमान गुणा त्वरण $mi .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}d2qi/dt2$ द्रव्यमान पर लगने वाले बलों के योग के समान है। न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण का नियम कहता है, कि एक द्रव्यमान $m j$ द्वारा द्रव्यमान $m i$ पर एहसास किया जाने वाला गुरुत्वाकर्षण बल इस प्रकार दिया जाता है।^[15]

\mathbf {F} _{ij}={\frac {Gm_{i}m_{j}}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{2}}}\cdot {\frac {\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|}}={\frac {Gm_{i}m_{j}\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{3}}},

जहाँ

G

गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है और

|| q j - q i ||

q i

और

q j

मध्य की दूरी का परिमाण (मीट्रिक

l 2

मानदंड से प्रेरित है)।

अतः सभी द्रव्यमानों का योग करने पर $n$ -गति के निकाय समीकरण प्राप्त होता है:

$m_{i}{\frac {d^{2}\mathbf {q} _{i}}{dt^{2}}}=\sum _{j=1 \atop j\neq i}^{n}{\frac {Gm_{i}m_{j}\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{3}}}=-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {q} _{i}}}$

जहाँ $U$ स्व-संभावित ऊर्जा है

U=-\sum _{1\leq i<j\leq n}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|}}.

होने की गति को परिभाषित करना

p i = m i d q i / dt

, हैमिल्टनियन यांत्रिकी हैमिल्टन की गति के समीकरण

n

-बॉडी की समस्या बन जाती है^[16]

{\frac {d\mathbf {q} _{i}}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} _{i}}}\qquad {\frac {d\mathbf {p} _{i}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} _{i}}},

जहां हैमिल्टनियन फलन है

H=T+U

और

T

गतिज ऊर्जा है

T=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\left\|\mathbf {p} _{i}\right\|^{2}}{2m_{i}}}.

हैमिल्टन के समीकरण दर्शाते हैं कि

n

-बॉडी समस्या

6 n

प्रथम-क्रम विभेदक समीकरणों की एक प्रणाली है, जिसमें

6 n

प्रारंभिक स्थितियां

3 n

प्रारंभिक स्थिति निर्देशांक और

3 n

प्रारंभिक गति मान हैं।

$n$ -बॉडी समस्या में समरूपता गति के वैश्विक अभिन्न अंग उत्पन्न करती है जो समस्या को सरल बनाती है।^[17] समस्या की अनुवादात्मक समरूपता द्रव्यमान के केंद्र में परिणामित होती है

\mathbf {C} ={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {q} _{i}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}}}

स्थिर वेग से गतिमान है, जिससे

C = L 0 t + C 0

, जहाँ

L 0

रैखिक वेग है और

C 0

प्रारंभिक स्थिति है. गति के स्थिरांक

L 0

और

C 0

गति के छह अभिन्न अंग का प्रतिनिधित्व करते हैं। घूर्णी समरूपता के परिणामस्वरूप कुल कोणीय गति स्थिर रहती है

\mathbf {A} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {q} _{i}\times \mathbf {p} _{i},

जहां × क्रॉस उत्पाद है। कुल कोणीय संवेग

A

के तीन घटक गति के तीन और स्थिरांक उत्पन्न करते हैं। गति का अंतिम सामान्य स्थिरांक ऊर्जा

H

के संरक्षण द्वारा दिया जाता है। इसलिए, प्रत्येक

n

-बॉडी की समस्या में गति के दस अभिन्न अंग होते हैं।

क्योंकि $T$ और $U$ क्रमशः डिग्री 2 और -1 के सजातीय फलन हैं, गति के समीकरणों में अदिश अपरिवर्तनीयता होती है: यदि $q i (t)$ समाधान है, तो किसी भी $λ > 0$ के लिए $λ -2/3 q i (λt)$ भी है।^[18]

$n$ -बॉडी प्रणाली की जड़ता का क्षण किसके द्वारा दिया जाता है

I=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {q} _{i}\cdot \mathbf {q} _{i}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left\|\mathbf {q} _{i}\right\|^{2}

और वायरल

Q = 1 / 2 dI / dt

द्वारा दिया गया है . फिर लैग्रेंज-जैकोबी फॉर्मूला बताता है किː^[19]

{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=2T-U.

गतिशील संतुलन में प्रणालियों के लिए, दीर्घकालिक समय औसत

⟨ d 2 I / dt 2 ⟩

शून्य है. तब औसतन कुल गतिज ऊर्जा कुल स्थितिज ऊर्जा की आधी होती है,

⟨ T ⟩ = 1 / 2 ⟨ U ⟩

, जो गुरुत्वाकर्षण प्रणालियों के लिए वायरल प्रमेय का उदाहरण है।^[20] यदि

M

कुल द्रव्यमान है और

R

प्रणाली का विशिष्ट आकार (उदाहरण के लिए, प्रणाली का आधा द्रव्यमान युक्त त्रिज्या), तो प्रणाली के लिए गतिशील संतुलन स्थापित करने का महत्वपूर्ण समय है^[21]

t_{\mathrm {cr} }={\sqrt {\frac {GM}{R^{3}}}}.

विशेष स्तिथि

दो-बॉडी की समस्या

ग्रहों की परस्पर क्रियात्मक शक्तियों की कोई भी विचार ऐतिहासिक रूप से सदैव दो-बॉडी की समस्या से प्रारंभ हुई है। इस खंड का उद्देश्य किसी भी ग्रहीय बल की गणना में वास्तविक सम्मिश्र से संबंधित है। इस खंड में भी अनेक विषयों पर ध्यान दें, जैसे गुरुत्वाकर्षण, केन्द्रक, केप्लर के नियम, आदि; और निम्नलिखित अनुभाग में भी अन्य विकिपीडिया पृष्ठों पर (तृतीय-बॉडी समस्या) पर विचार की गई है। चूंकि, यहाँ इन विषयों पर $n$ -बॉडी की समस्या परिप्रेक्ष्य से विचार की गई है।

दो-बॉडी की समस्या ( $n = 2$ ) को पूर्ण रूप से जोहान बर्नौली (1667-1748) ने मौलिक सिद्धांत द्वारा (और न्यूटन द्वारा नहीं) मुख्य बिंदु-द्रव्यमान को निश्चित मानकर हल किया था; इसे यहां रेखांकित किया गया है।^[22] इस प्रकार से पुनः सूर्य को स्थिर रखते हुए दो पिंडों, जैसे सूर्य और पृथ्वी, की गति पर विचार करें:

{\begin{aligned}m_{1}\mathbf {a} _{1}&={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r_{12}^{3}}}(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})&&\quad {\text{Sun–Earth}}\\m_{2}\mathbf {a} _{2}&={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r_{21}^{3}}}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})&&\quad {\text{Earth–Sun}}\end{aligned}}

द्रव्यमान की गति का वर्णन करने वाला समीकरण

m 2

द्रव्यमान के सापेक्ष

m 1

इन दो समीकरणों के मध्य के अंतर से सरलता से प्राप्त होता है और सामान्य पदों को रद्द करने के पश्चात देता है:

\mathbf {\alpha } +{\frac {\eta }{r^{3}}}\mathbf {r} =\mathbf {0}

जहाँ

$r = r 2 - r 1$ , $m 1$ के सापेक्ष $m 2$ की सदिश स्थिति है;
$α$ यूलेरियन त्वरण है $d 2 r / dt 2$ ;
$η = G (m 1 + m 2)$ .

समीकरण $α + η / r 3 r = 0$ 1734 में हल की गई दो-बॉडी समस्या बर्नौली के लिए मौलिक अंतर समीकरण है। इस दृष्टिकोण के लिए नोटिस बलों को पहले निर्धारित करना होगा, फिर गति के समीकरण को हल करना होगा। इस विभेदक समीकरण में वृत्ताकार, या परवलयिक या अतिशयोक्तिपूर्ण समाधान हैं।^[23]^[24]^[25]

इस प्रकार विचार करना असत्य है, कि न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम को प्रयुक्त करते समय $m 1$ (सूर्य) स्थान से स्थिर हो जाता है, और ऐसा करने से असत्य परिणाम मिलते हैं। दो भिन्न-भिन्न गुरुत्वाकर्षण से परस्पर क्रिया करने वाले पिंडों के लिए निश्चित बिंदु उनके पारस्परिक बैरीसेंट्रिक निर्देशांक (खगोल विज्ञान) है, और इस दो-बॉडी की समस्या को स्पष्ट रूप से हल किया जा सकता है, जैसे कि बैरीसेंटर के सापेक्ष जैकोबी निर्देशांक का उपयोग करना है।

अतः डॉ. क्लेरेंस क्लेमिनशॉ ने सौर मंडल के बैरीसेंटर की अनुमानित स्थिति की गणना की, यह परिणाम मुख्य रूप से केवल बृहस्पति और सूर्य के द्रव्यमान को मिलाकर प्राप्त किया गया है। विज्ञान कार्यक्रम ने उनके कार्य के संदर्भ में कहा गया है:

सौर मंडल में 98 प्रतिशत द्रव्यमान सूर्य में है, शेष द्रव्यमान में मंगल से परे श्रेष्ठ ग्रह हैं। औसतन, सूर्य-बृहस्पति प्रणाली के द्रव्यमान का केंद्र, जब दो अधिक विशाल वस्तुओं को अकेला माना जाता है, सूर्य के केंद्र से 462,000 मील या सौर सतह से लगभग 30,000 मील ऊपर होता है! चूंकि, अन्य उच्च ग्रह भी सौर मंडल के द्रव्यमान के केंद्र को प्रभावित करते हैं। उदाहरण के लिए, 1951 में, प्रणाली का द्रव्यमान केंद्र सूर्य के केंद्र से अधिक दूर नहीं था क्योंकि बृहस्पति शनि, यूरेनस और नेपच्यून से विपरीत दिशा में था। इस प्रकार से1950 के दशक के उत्तरार्ध में, जब ये सभी चार ग्रह सूर्य के एक ही ओर थे, तो प्रणाली का द्रव्यमान केंद्र सौर सतह से 330,000 मील से अधिक दूर था, डॉ. सी. एच लॉस एंजिल्स में ग्रिफ़िथ वेधशाला के क्लेमिनशॉ ने गणना की है।^[26]

वास्तविक गति बनाम केप्लर की स्पष्ट गति

सूर्य गेलेक्टिक सेंटर के चारों ओर घूमते समय डगमगाता है, और सौर मंडल और पृथ्वी को अपने साथ खींचता है। और गणितज्ञ केपलर ने अपने तीन प्रसिद्ध समीकरणों पर पहुंचने के लिए टाइको ब्राहे के डेटा का उपयोग करके ग्रहों की स्पष्ट गति को वक्र-फिट करना था, न कि सूर्य के बारे में उनकी वास्तविक वृत्ताकार गति को वक्र-फिट करना (चित्र देखें)। रॉबर्ट हुक और न्यूटन दोनों उचित प्रकार से जानते थे कि न्यूटन का सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण का नियम वृत्ताकार कक्षाओं से जुड़े बलों पर प्रयुक्त नहीं होता है।^[10] वास्तव में, न्यूटन का सार्वभौमिक नियम बुध की कक्षा, क्षुद्रग्रह बेल्ट के गुरुत्वाकर्षण व्यवहार, या शनि के छल्लों शनि के छल्लों के लिए उत्तरदायी नहीं है।^[27] न्यूटन ने (प्रिंसिपिया के खंड 11 में) कहा कि, चूंकि, वृत्ताकार कक्षाओं के लिए बलों की भविष्यवाणी करने में विफल रहने का मुख्य कारण यह था कि उनका गणित मॉडल ऐसी स्थिति तक सीमित था। जो वास्तविक संसार में कदाचित् ही अस्तित्व में थी, अर्थात्, पिंडों की गतियाँ स्थिर केंद्र की ओर आकर्षित होती हैं। कुछ वर्तमान भौतिकी और खगोल विज्ञान की पाठ्यपुस्तकें न्यूटन की धारणा के नकारात्मक महत्व पर जोर नहीं देती हैं। और अंत में यह सिखाती हैं, कि उनका गणितीय मॉडल वास्तव में वास्तविकता है। यह समझा जाना चाहिए, कि उपरोक्त मौलिक दो-बॉडी समस्या समाधान गणितीय आदर्शीकरण है। ग्रहों की गति के बारे में केप्लर के नियम भी देखें या केप्लर का पग्रहीय गति का पहला नियम भी देखें।

त्रि-बॉडी समस्या

यह खंड धारणाओं को सरल बनाने के पश्चात ऐतिहासिक रूप से महत्वपूर्ण $n$ -बॉडी समस्या समाधान से संबंधित है।

अतीत में $n \geq 3$ के लिए $n$ -बॉडी समस्या के बारे में अधिक जानकारी नहीं थी।^[28] स्तिथि $n = 3$ का सबसे अधिक अध्ययन किया गया है। त्रि-बॉडी की समस्या को समझने के पहले के अनेक प्रयास मात्रात्मक थे, जिनका उद्देश्य विशेष स्थितियों के लिए स्पष्ट समाधान खोजना था।

इस प्रकार से 1687 में, आइज़ैक न्यूटन ने प्रिंसिपिया में तीन पिंडों की उनके पारस्परिक गुरुत्वाकर्षण आकर्षण के अधीन गति की समस्या के अध्ययन में प्रथम पद प्रकाशित किया, किन्तु उनके प्रयासों के परिणामस्वरूप मौखिक विवरण और ज्यामितीय रेखाचित्र सामने आए; विशेष रूप से पुस्तक 1, प्रस्ताव 66 और उसके परिणाम देखें (न्यूटन, 1687 और 1999 (अनुवाद), टिसेरैंड, 1894 भी देखें)।
किन्तु 1767 में, लियोनहार्ड यूलर ने संरेख गतियाँ पाईं, जिसमें किसी भी द्रव्यमान के तीन पिंड निश्चित सीधी रेखा के साथ आनुपातिक रूप से चलते हैं। यूलर की तृतीय-पिंड समस्या विशेष स्तिथि है जिसमें दो पिंड स्थान में स्थिर होते हैं (इसे वृत्ताकार प्रतिबंधित तीन-पिंड समस्या के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, जिसमें दो विशाल पिंड वृत्ताकार कक्षा का वर्णन करते हैं और केवल स्थान में ही स्थिर होते हैं) सिनोडिक संदर्भ फ्रेम)।
चूंकि 1772 में, जोसेफ लुई लैग्रेंज ने आवधिक समाधान के दो वर्गों की खोज की, जिनमें से प्रत्येक किसी भी द्रव्यमान के तीन निकायों के लिए था। वर्ग में, पिंड घूर्णनशील सीधी रेखा पर स्थित होते हैं। दूसरे वर्ग में, पिंड घूमते हुए समबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर स्थित होते हैं। किसी भी स्थिति में, पिंडों के पथ शंकुधारी खंड होते है । उन समाधानों से केंद्रीय विन्यास का अध्ययन किया, जिसके लिए $q̈ = kq$ कुछ स्थिरांक के लिए $k > 0$ दर्शाया गया है.
पृथ्वी-चंद्रमा-सूर्य प्रणाली का प्रमुख अध्ययन चार्ल्स-यूजीन डेलाउने द्वारा किया गया था, जिन्होंने 1860 और 1867 में इस विषय पर दो खंड प्रकाशित किए, जिनमें से प्रत्येक 900 पृष्ठों का था। अनेक अन्य उपलब्धियों के अतिरिक्त, कार्य पहले से ही संकेत देता है अराजकता, और क्षोभ सिद्धांत में तथाकथित छोटे भाजक की समस्या को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करता है।
अतः 1917 में, वन रे मौलटन ने अपने अब के क्लासिक, एन इंट्रोडक्शन टू सेलेस्टियल मैकेनिक्स (संदर्भ देखें) को प्रतिबंधित त्रि-बॉडी समस्या समाधान के कथानक के साथ प्रकाशित किया (नीचे चित्र देखें)।^[29] तरफ, उनके प्रतिबंधित त्रि-बॉडी समस्या समाधान के लिए मीरोविच की पुस्तक, पृष्ठ 413-414 देखें।^[30]

गुरुत्वाकर्षण के अधीन तीन कणों की गति, अराजकता सिद्धांत व्यवहार का प्रदर्शन

यदि कोई अधिक विशाल पिंड (जैसे सूर्य) को स्थान में स्थिर मानता है, और कम विशाल पिंड (जैसे बृहस्पति) को इसके चारों ओर परिक्रमा करता है, तो मौलटन के समाधान की कल्पना करना (और निश्चित रूप से हल करना सरल) हो सकता है। संतुलन बिंदु (लैग्रेंजियन बिंदु) कम विशाल पिंड के आगे और पीछे 60° का अंतर बनाए रखते हैं, लगभग अपनी कक्षा में (चूंकि वास्तव में कोई भी पिंड वास्तव में स्थिर नहीं है, क्योंकि वे दोनों पूरे प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र की परिक्रमा करते हैं- बैरीसेंटर के बारे में) प्राइमरी के पर्याप्त रूप से छोटे द्रव्यमान अनुपात के लिए, ये त्रिकोणीय संतुलन बिंदु स्थिर हैं, जैसे कि (लगभग) द्रव्यमान रहित कण इन बिंदुओं के बारे में परिक्रमा करेंगे जैसे वे बड़े प्राथमिक (सूर्य) के चारों ओर परिक्रमा करते हैं। और वृत्ताकार समस्या के पाँच संतुलन बिंदुओं को लैग्रेंजियन बिंदु के रूप में जाना जाता है। नीचे चित्र देखें:

प्रतिबंधित त्रि-बॉडी समस्या

उपरोक्त प्रतिबंधित त्रि-बॉडी समस्या गणित मॉडल चित्र में (मौल्टन के पश्चात), लैग्रैन्जियन बिंदु L₄ और L₅ वे स्थान हैं जहां ट्रोजन प्लैनेटोइड रहते थे (लैग्रैन्जियन बिंदु देखें); $m 1$ सूर्य है और $m 2$ बृहस्पति है। L₂ क्षुद्रग्रह बेल्ट के अन्दर एक बिंदु है। इस मॉडल के लिए इसे साकार करना होगा, यह पूरा सूर्य-बृहस्पति आरेख अपने बैरीसेंटर के चारों ओर घूम रहा है। प्रतिबंधित त्रि-बॉडी समस्या समाधान ने पहली बार देखे जाने से पहले ट्रोजन (खगोल विज्ञान) की भविष्यवाणी की थी। $h}$ वृत्त और संवर्त लूप सूर्य और बृहस्पति से निकलने वाले विद्युत चुम्बकीय प्रवाह को प्रतिध्वनित करते हैं। यह अनुमान लगाया गया है, रिचर्ड एच. बातिन के अनुमान (संदर्भ देखें) के विपरीत, दो $h 1$ गुरुत्वाकर्षण सिंक हैं, जहां और जहां गुरुत्वाकर्षण बल शून्य हैं, और ट्रोजन प्लैनेटॉइड वहां फंसने का कारण हैं। ग्रहों के द्रव्यमान की कुल मात्रा अज्ञात है।

प्रतिबंधित तीन-पिंड की समस्या जो मानती है कि किसी पिंड का द्रव्यमान नगण्य है। उस स्तिथि की विचार के लिए जहां नगण्य पिंड कम द्रव्यमान वाले पिंड का उपग्रह है, पहाड़ी क्षेत्र देखें; बाइनरी प्रणाली के लिए, रोश लोब देखें। अतः त्रि-बॉडी की समस्या के विशिष्ट समाधानों के परिणामस्वरूप अराजकता सिद्धांत गति होती है जिसमें दोहराव वाले पथ का कोई स्पष्ट संकेत नहीं होता है।

प्रतिबंधित समस्या (वृत्ताकार और वृत्ताकार दोनों) पर अनेक प्रसिद्ध गणितज्ञों और भौतिकविदों द्वारा उच्च माप विशेष रूप से 19वीं शताब्दी के अंत में हेनरी पोंकारे द्वारा पर कार्य किया गया था। प्रतिबंधित त्रि-बॉडी समस्या पर पोंकारे का कार्य नियतिवादी अराजकता सिद्धांत की नींव था। प्रतिबंधित समस्या में, पाँच संतुलन बिंदु उपस्तिथ हैं। किन्तु तीन द्रव्यमान के साथ संरेख हैं (घूर्णन फ्रेम में) और अस्थिर हैं। और शेष दो दोनों समबाहु त्रिभुजों के तृतीय शीर्ष पर स्थित हैं जिनमें से दो पिंड प्रथम और द्वतीय शीर्ष हैं।

चतुर्थ-बॉडी की समस्या

वृत्ताकार प्रतिबंधित त्रि-बॉडी की समस्या से प्रेरित होकर, चतुर्थ-बॉडी की समस्या को अन्य तीन विशाल पिंडों की तुलना में छोटे पिंड पर विचार करके अधिक सरल बनाया जा सकता है, जो परिवर्तन में वृत्ताकार कक्षाओं का वर्णन करने के लिए अनुमानित हैं। इसे बाइसिकुलर प्रतिबंधित चतुर्थ-बॉडी समस्या (जिसे बाइसर्कुलर मॉडल के रूप में भी जाना जाता है) के रूप में जाना जाता है और सु-शू हुआंग द्वारा लिखी गई नासा रिपोर्ट में इसका पता 1960 में लगाया जा सकता है।^[31] यह सूत्रीकरण मुख्य रूप से सूर्य के गुरुत्वाकर्षण आकर्षण के साथ पृथ्वी-चंद्रमा प्रणाली में अंतरिक्ष यान प्रक्षेप पथों को मॉडल करने के लिए खगोलगतिकी में अत्यधिक प्रासंगिक रहा है। और पृथ्वी-चंद्रमा-सूर्य के अतिरिक्त अन्य प्रणालियों की मॉडलिंग करते समय द्विवृत्ताकार प्रतिबंधित चतुर्थ-बॉडी समस्या का पूर्व सूत्रीकरण समस्याग्रस्त हो सकता है, इसलिए अनुप्रयोग सीमा का विस्तार करने और बिना हानि के स्पष्टतः में सुधार करने के लिए नेग्री और प्राडो द्वारा सूत्रीकरण को सामान्यीकृत किया गया था।^[32]

ग्रह समस्या

ग्रहों की समस्या उस स्थिति में $n$ -बॉडी समस्या है जब द्रव्यमान अन्य सभी की तुलना में अधिक उच्च होता है। ग्रह संबंधी समस्या का आदर्श उदाहरण सूर्य-बृहस्पति-शनि प्रणाली है, जहां सूर्य का द्रव्यमान बृहस्पति या शनि के द्रव्यमान से लगभग 1000 गुना बड़ा है।^[18]समस्या का अनुमानित समाधान यह है कि इसे तारा-ग्रह केपलर समस्याओं के $n - 1$ जोड़े में विघटित किया जाए, ग्रहों के मध्य परस्पर क्रिया को क्षोभ के रूप में मानते हैं। जब तक प्रणाली में कोई कक्षीय प्रतिध्वनि नहीं होती, तब तक पर्टर्बेटिव सन्निकटन उचित प्रकार से कार्य करता है, अर्थात अप्रभावित केपलर आवृत्तियों का कोई भी अनुपात एक तर्कसंगत संख्या नहीं है। विस्तार में अनुनाद छोटे-छोटे हर के रूप में प्रकट होते हैं।

अनुनादों और छोटे हरों के अस्तित्व ने ग्रहों की समस्या में स्थिरता के महत्वपूर्ण प्रश्न को उत्पन्न किया है: क्या ग्रह, किसी तारे के चारों ओर लगभग वृत्ताकार कक्षाओं में, समय के साथ स्थिर या बंधी हुई कक्षाओं में रहते हैं?^[18]^[33] 1963 में, व्लादिमीर अर्नोल्ड ने केएएम सिद्धांत का उपयोग करके ग्रहों की समस्या की प्रकार की स्थिरता को प्रमाणित किया: विमान तक सीमित ग्रहीय समस्या के स्तिथि में अर्धआवधिक गति कक्षाओं के सकारात्मक माप का समुच्चय उपस्तिथ है।^[33] और केएएम सिद्धांत में, अराजक ग्रहीय कक्षाएँ क्वासिपेरियोडिक केएएम टोरी से घिरी होती है। अर्नोल्ड के परिणाम को 2004 में फ़ेज़ोज़ और हरमन द्वारा अधिक सामान्य प्रमेय तक विस्तारित किया गया था।^[34]

केंद्रीय विन्यास

एक केंद्रीय विन्यास $q 1 (0), \dots, q N (0)$ प्रारंभिक विन्यास है जैसे कि यदि सभी कणों को शून्य वेग से छोड़ा जाए, तो वे सभी द्रव्यमान $C$ के केंद्र की ओर पतन हो जाता है।^[33] ऐसी गति को समरूप गति कहा जाता है। केंद्रीय विन्यास भी समरूप गतियों को उत्पन्न कर सकता है जिसमें सभी द्रव्यमान केप्लरियन प्रक्षेप पथ (वृत्ताकार, वृत्ताकार, परवलयिक, या अतिशयोक्तिपूर्ण) के साथ चलते हैं, सभी प्रक्षेप पथों में समान विलक्षणता $e$ होती है . वृत्ताकार प्रक्षेप पथ के लिए, $e = 1$ समरूप गति से मेल खाता है और $e = 0$ सापेक्ष संतुलन गति देता है जिसमें विन्यास प्रारंभिक विन्यास का आइसोमेट्री बना रहता है, जैसे कि विन्यास कठोर बॉडी था।^[35] किसी प्रणाली के पहले इंटीग्रल्स को ठीक करके बनाए गए अपरिवर्तनीय मैनिफोल्ड्स की टोपोलॉजी को समझने में केंद्रीय कॉन्फ़िगरेशन ने महत्वपूर्ण भूमिका निभाई है।

$n$ -बॉडी कोरियोग्राफी

ऐसे समाधान जिनमें सभी द्रव्यमान बिना टकराव के ही वक्र पर चलते हैं, कोरियोग्राफी कहलाते हैं।^[36] के लिए कोरियोग्राफी $n = 3$ की खोज 1772 में लैग्रेंज द्वारा की गई थी जिसमें तीन पिंड घूमते हुए फ्रेम में समबाहु त्रिभुज के शीर्ष पर स्थित हैं। के लिए लेम्निस्केट कोरियोग्राफी $n = 3$ को 1993 में सी. मूर द्वारा संख्यात्मक रूप से पाया गया था^[37] और 2000 में ए. चेन्सिनर और आर. मोंटगोमरी द्वारा सामान्यीकृत और सिद्ध किया गया।^[38] तब से, अनेक अन्य कोरियोग्राफ़ी खोजी गई हैं $n \geq 3$ .

विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण

समस्या के प्रत्येक समाधान के लिए, न केवल आइसोमेट्री या टाइम शिफ्ट प्रयुक्त करने से, किन्तु T-समरूपता (घर्षण के स्तिथि के विपरीत) भी समाधान मिलता है।

$n$ -बॉडी समस्या ( $n \geq 3$ ) के बारे में भौतिक साहित्य में, कभी-कभी " $n$ -बॉडी समस्या को हल करने की असंभवता" (उपरोक्त दृष्टिकोण को नियोजित करके) का संदर्भ दिया जाता है। चूंकि, किसी समाधान की 'असंभवता' पर विचार करते समय सावधानी रखनी चाहिए, क्योंकि यह केवल पहले इंटीग्रल्स की विधि को संदर्भित करता है (क्विंटिक समीकरण या उच्चतर के माध्यम से हल करने की असंभवता के बारे में नील्स हेनरिक एबेल और एवरिस्ट गैलोइस के प्रमेय की तुलना करें) सूत्र जिसमें केवल जड़ें सम्मिलित हैं)।

पावर श्रृंखला समाधान

मौलिक $n$ -बॉडी समस्या को हल करने का एक विधि "टेलर श्रृंखला द्वारा $n$ -बॉडी समस्या" है।

हम विभेदक समीकरणों की प्रणाली को परिभाषित करके प्रारंभ करते हैं:

{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{i}(t)}{dt^{2}}}=G\sum _{k=1 \atop k\neq i}^{n}{\frac {m_{k}\left(\mathbf {x} _{k}(t)-\mathbf {x} _{i}(t)\right)}{\left|\mathbf {x} _{k}(t)-\mathbf {x} _{i}(t)\right|^{3}}},

जैसा

x i (t 0)

और

d x i (t 0) / dt

प्रारंभिक नियम के रूप में दिए गए हैं, प्रत्येक

d 2 x i (t) / dt 2

ज्ञात है। फर्क

d 2 x i (t) / dt 2

का परिणाम

d 3 x i (t) / dt 3

जो पर

t 0

जो कि ज्ञात भी है, और टेलर श्रृंखला का निर्माण पुनरावृत्त रूप से किया गया है।

एक सामान्यीकृत सुंडमैन वैश्विक समाधान

स्तिथि के लिए सुंडमैन के परिणाम को सामान्य बनाने के लिए $n > 3$ (या $n = 3$ और $c = 0$ ) व्यक्ति को दो बाधाओं का सामना करना पड़ता है:

जैसा कि सीगल द्वारा दिखाया गया है, जिन टकरावों में दो से अधिक निकाय सम्मिलित होते हैं उन्हें विश्लेषणात्मक रूप से नियमित नहीं किया जा सकता है, इसलिए सुंडमैन के नियमितीकरण को सामान्यीकृत नहीं किया जा सकता है।
इस स्तिथि में विलक्षणताओं की संरचना अधिक सम्मिश्र है: अन्य प्रकार की विलक्षणताएं हो सकती हैं ( n-बॉडी समस्या की विलक्षणताएं देखें )।

अंत में, 1990 के दशक में क्यूडॉन्ग वांग द्वारा सुंडमैन के परिणाम को $n > 3$ निकायों के स्तिथि में सामान्यीकृत किया गया है।^[39] चूँकि वांग को विलक्षणताओं के प्रश्नों को पूरी तरह से छोड़ना पड़ा इसलिए विलक्षणताओं की संरचना अधिक सम्मिश्र है। इस प्रकार से उनके दृष्टिकोण का केंद्रीय बिंदु उचित विधि से समीकरणों को एक नवीन प्रणाली में परिवर्तन करना है, जिससे इस नवीन प्रणाली के समाधान के लिए अस्तित्व का अंतराल $[0,\infty)$ माना जाता है।

की विलक्षणताएँ $n$ -बॉडी समस्या

इस प्रकार से $n$ -बॉडी की समस्या विलक्षणताएँ दो प्रकार की हो सकती हैं:

दो या दो से अधिक निकायों का टकराव, किन्तु किसके लिए $q (t)$ (निकायों की स्थिति) सीमित रहती है। (इस गणितीय अर्थ में, टकराव का अर्थ है कि स्थान में दो बिंदु समान पिंडों की स्थिति समान है।)
ऐसी विलक्षणताएँ जिनमें टकराव नहीं होता, किन्तु $q (t)$ परिमित नहीं रहता है। इस परिदृश्य में, पिंड सीमित समय में अनंत की ओर विमुख हो जाते हैं, जबकि साथ ही वे शून्य पृथक्करण की ओर प्रवृत्त होते हैं (अनंत पर काल्पनिक टकराव होता है)।

इसके पश्चात पेनलेवे का अनुमान (कोई टकराव नहीं विलक्षणता) कहा जाता है। उनके अस्तित्व का अनुमान पेनलेवे द्वारा $n > 3$ के लिए (पेनलेवे अनुमान देखें) लगाया गया है।^[40] किन्तु $n = 5$ के लिए इस व्यवहार के उदाहरण ज़िया द्वारा और $n = 4$ के लिए गेवर द्वारा एक अनुमानी मॉडल का निर्माण किया गया है।^[41] इस प्रकार से डोनाल्ड जी. सारी ने दिखाया है कि 4 या उससे कम निकायों के लिए, विलक्षणताओं को उत्पन्न करने वाले प्रारंभिक डेटा के सेट का माप शून्य है।^[42]

सिमुलेशन

जबकि मौलिक (अर्थात गैर-सापेक्षवादी) दो-बॉडी समस्या और $n > 2$ चयनित कॉन्फ़िगरेशन के लिए विश्लेषणात्मक समाधान उपलब्ध हैं , सामान्य रूप से $n$ -बॉडी की समस्याओं को संख्यात्मक विधियों का उपयोग करके हल या अनुकरण किया जाना चाहिए।^[21]

कुछ पिंड

कम संख्या में पिंडों के लिए, $n$ -बॉडी समस्या को प्रत्यक्ष विधियों का उपयोग करके हल किया जा सकता है, जिन्हें कण-कण विधियां भी कहा जाता है। ये विधियाँ गति के विभेदक समीकरणों को संख्यात्मक रूप से एकीकृत करती हैं। इस समस्या के लिए संख्यात्मक एकीकरण अनेक कारणों से एक चुनौती हो सकता है। सर्वप्रथम, गुरुत्वाकर्षण क्षमता विलक्षण है; यह अनंत तक चला जाता है क्योंकि दो कणों के मध्य की दूरी शून्य हो जाती है। और इस प्रकार से छोटी दूरी पर विलक्षणता को दूर करने के लिए गुरुत्वाकर्षण क्षमता को "स्मूथ" किया जा सकता है:^[21]

U_{\varepsilon }=\sum _{1\leq i<j\leq n}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{\sqrt {\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{2}+\varepsilon ^{2}}}}

द्वतीय, सामान्य रूप पर

n > 2

के लिए,

n

-बॉडी समस्या अराजक है।^[43] जिसका अर्थ है। कि एकीकरण में छोटी त्रुटियां भी समय के साथ तीव्रता से बढ़ सकती हैं। तृतीय, सिमुलेशन मॉडल समय के उच्च भाग (उदाहरण के लिए लाखों वर्ष) में हो सकता है और एकीकरण समय बढ़ने पर संख्यात्मक त्रुटियां जमा हो जाती हैं।

इस प्रकार से संख्यात्मक एकीकरण में त्रुटियों को कम करने के लिए अनेक तकनीकें हैं।^[21] कुछ समस्याओं में व्यापक रूप से भिन्न भाग से निपटने के लिए स्थानीय समन्वय प्रणालियों का उपयोग किया जाता है, अतः उदाहरण के लिए सौर मंडल सिमुलेशन के संदर्भ में पृथ्वी-चंद्रमा समन्वय प्रणाली का उपयोग किया जाता है। विविधतापूर्ण विधि और क्षोभ सिद्धांत अनुमानित विश्लेषणात्मक प्रक्षेप पथ उत्पन्न कर सकते हैं जिस पर संख्यात्मक एकीकरण सुधार हो सकता है। अतः सिंपलेक्टिक इंटीग्रेटर का उपयोग यह सुनिश्चित करता है। कि सिमुलेशन उच्च स्तर की स्पष्टता के साथ हैमिल्टन के समीकरणों का पालन करता है। और विशेष रूप से ऊर्जा संरक्षित रहती है।

अनेक बॉडी

संख्यात्मक एकीकरण का उपयोग करने वाले प्रत्यक्ष विधियों के लिए कणों के सभी जोड़े पर संभावित ऊर्जा का मूल्यांकन करने के लिए $1 / 2 n 2$ गणना के क्रम की आवश्यकता होती है, और इस प्रकार $O (n 2)$ की समय सम्मिश्र होती है अनेक कणों के साथ सिमुलेशन के लिए, $O (n 2)$ कारक उच्च माप पर विशेष रूप से समय लेने वाली गणना करता है।^[21]

इस प्रकारसे अनेक अनुमानित विधियाँ विकसित की गई हैं जो प्रत्यक्ष विधियों के सापेक्ष समय की सम्मिश्र को कम करती हैं:^[21]

ट्री कोड विधियां, जैसे कि बार्न्स-हट सिमुलेशन, स्थानिक-पदानुक्रमित विधियां हैं जिनका उपयोग तब किया जाता है जब दूर के कण योगदान को उच्च स्पष्टता के लिए गणना करने की आवश्यकता नहीं होती है। और कणों के दूर के समूह की क्षमता की गणना मल्टीपोल विस्तार या क्षमता के अन्य सन्निकटन का उपयोग करके की जाती है। यह सम्मिश्र को $O (n log n)$ तक कम करने की अनुमति देता है।
तेज़ मल्टीपोल विधियाँ इस तथ्य का लाभ उठाती हैं कि दूर के कणों से मल्टीपोल-विस्तारित बल एक-दूसरे के समीप के कणों के लिए समान होते हैं, और कम्प्यूटेशनल प्रयास को कम करने के लिए दूर-क्षेत्र बलों के स्थानीय विस्तार का उपयोग करते हैं। यह दावा किया जाता है कि यह आगे सन्निकटन सम्मिश्र को $O (n)$ कम कर देता है।^[21]
कण मेश विधियाँ सिमुलेशन स्थान को तीन आयामी ग्रिड में विभाजित करती हैं, जिस पर कणों का द्रव्यमान घनत्व प्रक्षेपित होता है। फिर क्षमता की गणना करना ग्रिड पर पॉइसन समीकरण को हल करने का स्तिथि बन जाता है, जिसकी गणना फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म का उपयोग करके $O (n log n)$ समय में या मल्टीग्रिड तकनीकों का उपयोग करके $O (n)$ समय में की जा सकती है। यह कम दूरी की ताकतों के लिए उच्च त्रुटि की कीमत पर तेज़ समाधान प्रदान कर सकता है। बड़ी संख्या में कणों वाले क्षेत्रों में स्पष्टता बढ़ाने के लिए अनुकूली मेश शोधन का उपयोग किया जा सकता है।
P³M और PM-ट्री विधियां हाइब्रिड विधियां हैं जो दूर के कणों के लिए कण मेश सन्निकटन का उपयोग करती हैं, किन्तु समीपी कणों के लिए अधिक स्पष्ट विधियों का उपयोग (कुछ ग्रिड अंतराल के अन्दर) करती हैं। P³M का अर्थ कण-कण, कण-मेश है। और निकट सीमा पर स्मूथ क्षमता वाले प्रत्यक्ष विधियों का उपयोग करता है। इसके अतिरिक्त PM-ट्री विधियां समीप सीमा पर ट्री कोड का उपयोग करती हैं। कण मेश विधियों की तरह, अनुकूली मेश कम्प्यूटेशनल दक्षता बढ़ा सकते हैं।
' माध्य क्षेत्र विधियाँ' द्रव्यमान घनत्व का प्रतिनिधित्व करने वाले समय-निर्भर बोल्ट्जमैन समीकरण के साथ कणों की प्रणाली का अनुमान लगाते हैं जो क्षमता का प्रतिनिधित्व करने वाले आत्मनिर्भर पॉइसन समीकरण से जुड़ा होता है। यह उच्च प्रणालियों के लिए उपयुक्त प्रकार का स्मूथेड-कण हाइड्रोडायनामिक्स सन्निकटन है।

प्रबल गुरुत्वाकर्षण

प्रबल गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र वाले खगोल भौतिकीय प्रणालियों में, जैसे कि ब्लैक होल के घटना क्षितिज के निकट, $n$ -बॉडी सिमुलेशन को सामान्य सापेक्षता को ध्यान में रखना चाहिए; ऐसे सिमुलेशन संख्यात्मक सापेक्षता के क्षेत्र हैं। और आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों का संख्यात्मक रूप से अनुकरण करना अधिक चुनौतीपूर्ण है।^[21] और यदि संभव हो तो आइंस्टीन-इन्फेल्ड-हॉफमैन समीकरण जैसे पैरामीटरयुक्त पोस्ट-न्यूटोनियन औपचारिकता (पीपीएन) का उपयोग किया जाता है। इस प्रकार से सामान्य सापेक्षता में दो-बॉडी की समस्या केवल केपलर समस्या के लिए विश्लेषणात्मक रूप से हल करने योग्य है, जिसमें द्रव्यमान को दूसरे की तुलना में अधिक उच्च माना जाता है।^[44]

अन्य $n$ -बॉडी की समस्याएँ

इस प्रकार से $n$ -बॉडी समस्या पर किया गया अधिकांश कार्य गुरुत्वाकर्षण समस्या पर रहा है। किन्तु ऐसी अन्य प्रणालियाँ उपस्तिथ हैं जिनके लिए $n$ -बॉडी गणित और सिमुलेशन तकनीक उपयोगी प्रमाणित हुई हैं।

उच्च माप पर इलेक्ट्रोस्टाटिक्स समस्याओं में, जैसे कि संरचनात्मक जीव विज्ञान में प्रोटीन और सेलुलर असेंबली का अनुकरण, कूलम्ब क्षमता का गुरुत्वाकर्षण क्षमता के समान रूप होता है, इसके अतिरिक्त कि प्रभार सकारात्मक या नकारात्मक हो सकते हैं, जिससे प्रतिकारक और साथ ही आकर्षक बल उत्पन्न हो सकते हैं।^[45] अतः फास्ट कूलम्ब सॉल्वर फास्ट मल्टीपोल विधि सिमुलेटर के इलेक्ट्रोस्टैटिक समकक्ष हैं। इन्हें प्रायः सिम्युलेटेड क्षेत्र पर आवधिक सीमा स्थितियों के साथ उपयोग किया जाता है। और गणनाओं को गति देने के लिए इवाल्ड योग तकनीकों का उपयोग किया जाता है।^[46]

सांख्यिकी और यंत्र अधिगम में, कुछ मॉडलों में गुरुत्वाकर्षण क्षमता के समान हानि फलन होते हैं: वस्तुओं के सभी जोड़े पर कर्नेल फलन का योग, जहां कर्नेल फलन पैरामीटर स्थान में वस्तुओं के मध्य की दूरी पर निर्भर करता है।^[47] और इस रूप में फिट होने वाली उदाहरण समस्याओं में मैनिफोल्ड लर्निंग, कर्नेल घनत्व अनुमान और कर्नेल मशीनों में सभी निकटतम-नेबर सम्मिलित हैं। $O (n 2)$ समय सम्मिश्र को $O (n)$ तक कम करने के लिए वैकल्पिक अनुकूलन विकसित किए गए हैं, जैसे कि दोहरे ट्री एल्गोरिदम, जो गुरुत्वाकर्षण $n$ -बॉडी समस्या पर भी प्रयुक्त होते हैं।

अतः कम्प्यूटेशनल तरल गतिकी में तकनीक जिसे वोर्टेक्स विधि कहा जाता है, इस प्रकार से कणों पर विच्छेदित द्रव डोमेन में भंवर को देखती है।^[48] जिसे फिर उनके केंद्रों पर वेग के साथ निर्देशित किया जाता है। क्योंकि द्रव वेग और वर्तसिटी पॉइसन समीकरण के माध्यम से संबंधित हैं, वेग को गुरुत्वाकर्षण और इलेक्ट्रोस्टैटिक्स के समान विधि से हल किया जा सकता है: सभी भंवर-युक्त कणों पर $n$ -बॉडी योग के रूप में सारांश में बायोट-सावर्ट नियम का उपयोग किया गया है। जिसमें विद्युत धारा का स्थान वर्टिसिटी ले लेती है। किन्तु कण-भरे अशांत मल्टीफ़ेज़ प्रवाह के संदर्भ में, सभी कणों द्वारा उत्पन्न समग्र अशांति क्षेत्र का निर्धारण एक $n$ -बॉडी समस्या है। यदि प्रवाह के अन्दर अनुवाद करने वाले कण प्रवाह के कोलमोगोरोव माप से अधिक छोटे हैं, तो उनके रैखिक स्टोक्स अशांति क्षेत्रों को अध्यारोपित किया जा सकता है, जिससे $n$ कणों के स्थान पर अशांति वेग के 3 घटकों के लिए 3 $n$ समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है।^[49]^[50]

यह भी देखें

आकाशीय यांत्रिकी
गुरुत्वाकर्षण दो-बॉडी की समस्या
जैकोबी इंटीग्रल
चंद्र सिद्धांत
प्राकृतिक इकाइयाँ
सौर मंडल का संख्यात्मक मॉडल
सौरमंडल की स्थिरता
फ्यू-बॉडी प्रणालियाँ
n-बॉडी सिमुलेशन, n-बॉडी प्रणाली में निकायों के प्रक्षेप पथ को संख्यात्मक रूप से प्राप्त करने की विधि है।

↑ Leimanis and Minorsky: Our interest is with Leimanis, who first discusses some history about the $n$ -body problem, especially Ms. Kovalevskaya's 1868–1888 twenty-year complex-variables approach, failure; Section 1: "The Dynamics of Rigid Bodies and Mathematical Exterior Ballistics" (Chapter 1, "The motion of a rigid body about a fixed point (Euler and Poisson equations)"; Chapter 2, "Mathematical Exterior Ballistics"), good precursor background to the $n$ -body problem; Section 2: "Celestial Mechanics" (Chapter 1, "The Uniformization of the Three-body Problem (Restricted Three-body Problem)"; Chapter 2, "Capture in the Three-Body Problem"; Chapter 3, "Generalized $n$ -body Problem").
↑ See references cited for Heggie and Hut.
↑ Quasi-steady loads are the instantaneous inertial loads generated by instantaneous angular velocities and accelerations, as well as translational accelerations (9 variables). It is as though one took a photograph, which also recorded the instantaneous position and properties of motion. In contrast, under a steady-state condition, a system's state is invariant to time; otherwise, the first derivatives and all higher derivatives are zero.
↑ R. M. Rosenberg states the $n$ -body problem similarly (see References): "Each particle in a system of a finite number of particles is subjected to a Newtonian gravitational attraction from all the other particles, and to no other forces. If the initial state of the system is given, how will the particles move?" Rosenberg failed to realize, like everyone else, that it is necessary to determine the forces first before the motions can be determined.
↑ A general, classical solution in terms of first integrals is known to be impossible. An exact theoretical solution for arbitrary $n$ can be approximated via Taylor series, but in practice such an infinite series must be truncated, giving at best only an approximate solution; and an approach now obsolete. In addition, the $n$ -body problem may be solved using numerical integration, but these, too, are approximate solutions; and again obsolete. See Sverre J. Aarseth's book Gravitational $n$ -Body Simulations listed in the References.
↑ Clark, David H.; Clark, Stephen P. H. (2001). स्टीफ़न ग्रे और जॉन फ़्लैमस्टीड की दबी हुई वैज्ञानिक खोजें, न्यूटन का टायरनी. W. H. Freeman and Co.. A popularization of the historical events and bickering between those parties, but more importantly about the results they produced.
↑ See Brewster, David (1905). "Discovery of gravitation, A.D. 1666". In Johnson, Rossiter (ed.). The Great Events by Famous Historians. Vol. XII. The National Alumni. pp. 51–65.
↑ Rudolf Kurth has an extensive discussion in his book (see References) on planetary perturbations. An aside: these mathematically undefined planetary perturbations (wobbles) still exist undefined even today and planetary orbits have to be constantly updated, usually yearly. See Astronomical Ephemeris and the American Ephemeris and Nautical Almanac, prepared jointly by the Nautical Almanac Offices of the United Kingdom and the United States of America.
↑ See Principia, Book Three, System of the World, "General Scholium", page 372, last paragraph. Newton was well aware that his mathematical model did not reflect physical reality. This edition referenced is from the Great Books of the Western World, Volume 34, which was translated by Andrew Motte and revised by Florian Cajori.^{[full citation needed]} This same paragraph is on page 1160 in Stephen Hawkins, On the Shoulders of Giants, 2002 edition;^{[full citation needed]} is a copy from Daniel Adee's 1848 addition. Cohen also has translated new editions: Introduction to Newton's Principia, 1970; and Isaac Newton's Principia, with Variant Readings, 1972. Cajori also wrote History of Science, which is online.^{[full citation needed]}
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↑ For details of the serious error in Poincare's first submission see the article by Diacu.
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↑ See Bate, Mueller, and White, Chapter 1: "Two-Body Orbital Mechanics", pp. 1–49. These authors were from the Department of Astronautics and Computer Science, United States Air Force Academy. Their textbook is not filled with advanced mathematics.
↑
For the classical approach, if the common center of mass (i.e., the barycenter) of the two bodies is considered to be at rest, then each body travels along a conic section which has a focus at the barycenter of the system. In the case of a hyperbola it has the branch at the side of that focus. The two conics will be in the same plane. The type of conic (circle, ellipse, parabola or hyperbola) is determined by finding the sum of the combined kinetic energy of two bodies and the potential energy when the bodies are far apart. (This potential energy is always a negative value; energy of rotation of the bodies about their axes is not counted here)
- If the sum of the energies is negative, then they both trace out ellipses.
- If the sum of both energies is zero, then they both trace out parabolas. As the distance between the bodies tends to infinity, their relative speed tends to zero.
- If the sum of both energies is positive, then they both trace out hyperbolas. As the distance between the bodies tends to infinity, their relative speed tends to some positive number.
↑ For this approach see Lindsay's Physical Mechanics, Chapter 3: "Curvilinear Motion in a Plane", and specifically paragraphs 3–9, "Planetary Motion"; pp. 83–96. Lindsay presentation goes a long way in explaining these latter comments for the fixed two-body problem; i.e., when the Sun is assumed fixed.
↑ Note: The fact a parabolic orbit has zero energy arises from the assumption the gravitational potential energy goes to zero as the bodies get infinitely far apart. One could assign any value to the potential energy in the state of infinite separation. That state is assumed to have zero potential energy by convention.
↑
Science Program's The Nature of the Universe states Clarence Cleminshaw (1902–1985) served as assistant director of Griffith Observatory from 1938 to 1958 and as director from 1958 to 1969. Some publications by Cleminshaw:
- Cleminshaw, C. H.: "Celestial Speeds", 4 1953, equation, Kepler, orbit, comet, Saturn, Mars, velocity.^{[full citation needed]}
- Cleminshaw, C. H.: "The Coming Conjunction of Jupiter and Saturn", 7 1960, Saturn, Jupiter, observe, conjunction.^{[full citation needed]}
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↑ See Leimanis and Minorsky's historical comments.
↑ See Moulton's Restricted Three-body Problem for its analytical and graphical solution.
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संदर्भ

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बाहरी संबंध

Three-Body Problem at Scholarpedia
More detailed information on the three-body problem
Regular Keplerian motions in classical many-body systems
Applet demonstrating chaos in restricted three-body problem Archived 2009-10-17 at the Wayback Machine
Applets demonstrating many different three-body motions
On the integration of the $n$ -body equations Archived 2016-10-30 at the Wayback Machine
Java applet simulating Solar System
Java applet simulating a stable solution to the equi-mass 3-body problem
A java applet to simulate the 3D movement of set of particles under gravitational interaction
Javascript Simulation of our Solar System
The Lagrange Points Archived 2005-11-09 at Bibliotheca Alexandrina – with links to the original papers of Euler and Lagrange, and to translations, with discussion
[1]
Parallel GPU N-body simulation program with fast stackless particles tree traversal

[Leimanis_and_Minorsky-1] Leimanis and Minorsky: Our interest is with Leimanis, who first discusses some history about the $n$ -body problem, especially Ms. Kovalevskaya's 1868–1888 twenty-year complex-variables approach, failure; Section 1: "The Dynamics of Rigid Bodies and Mathematical Exterior Ballistics" (Chapter 1, "The motion of a rigid body about a fixed point (Euler and Poisson equations)"; Chapter 2, "Mathematical Exterior Ballistics"), good precursor background to the $n$ -body problem; Section 2: "Celestial Mechanics" (Chapter 1, "The Uniformization of the Three-body Problem (Restricted Three-body Problem)"; Chapter 2, "Capture in the Three-Body Problem"; Chapter 3, "Generalized $n$ -body Problem").

[Heggie_and_Hut-2] See references cited for Heggie and Hut.

[3] Quasi-steady loads are the instantaneous inertial loads generated by instantaneous angular velocities and accelerations, as well as translational accelerations (9 variables). It is as though one took a photograph, which also recorded the instantaneous position and properties of motion. In contrast, under a steady-state condition, a system's state is invariant to time; otherwise, the first derivatives and all higher derivatives are zero.

[4] R. M. Rosenberg states the $n$ -body problem similarly (see References): "Each particle in a system of a finite number of particles is subjected to a Newtonian gravitational attraction from all the other particles, and to no other forces. If the initial state of the system is given, how will the particles move?" Rosenberg failed to realize, like everyone else, that it is necessary to determine the forces first before the motions can be determined.

[5] A general, classical solution in terms of first integrals is known to be impossible. An exact theoretical solution for arbitrary $n$ can be approximated via Taylor series, but in practice such an infinite series must be truncated, giving at best only an approximate solution; and an approach now obsolete. In addition, the $n$ -body problem may be solved using numerical integration, but these, too, are approximate solutions; and again obsolete. See Sverre J. Aarseth's book Gravitational $n$ -Body Simulations listed in the References.

[6] Clark, David H.; Clark, Stephen P. H. (2001). स्टीफ़न ग्रे और जॉन फ़्लैमस्टीड की दबी हुई वैज्ञानिक खोजें, न्यूटन का टायरनी. W. H. Freeman and Co.. A popularization of the historical events and bickering between those parties, but more importantly about the results they produced.

[7] See Brewster, David (1905). "Discovery of gravitation, A.D. 1666". In Johnson, Rossiter (ed.). The Great Events by Famous Historians. Vol. XII. The National Alumni. pp. 51–65.

[8] Rudolf Kurth has an extensive discussion in his book (see References) on planetary perturbations. An aside: these mathematically undefined planetary perturbations (wobbles) still exist undefined even today and planetary orbits have to be constantly updated, usually yearly. See Astronomical Ephemeris and the American Ephemeris and Nautical Almanac, prepared jointly by the Nautical Almanac Offices of the United Kingdom and the United States of America.

[9] See Principia, Book Three, System of the World, "General Scholium", page 372, last paragraph. Newton was well aware that his mathematical model did not reflect physical reality. This edition referenced is from the Great Books of the Western World, Volume 34, which was translated by Andrew Motte and revised by Florian Cajori.^{[full citation needed]} This same paragraph is on page 1160 in Stephen Hawkins, On the Shoulders of Giants, 2002 edition;^{[full citation needed]} is a copy from Daniel Adee's 1848 addition. Cohen also has translated new editions: Introduction to Newton's Principia, 1970; and Isaac Newton's Principia, with Variant Readings, 1972. Cajori also wrote History of Science, which is online.^{[full citation needed]}

[Cohen-10] 10.0 ^10.1 See I. Bernard Cohen's Scientific American article.

[11] For details of the serious error in Poincare's first submission see the article by Diacu.

[12] Wang, Qiu Dong (1991), "The global solution of the n-body problem", Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 50 (1): 73–88, Bibcode:1991CeMDA..50...73W, doi:10.1007/BF00048987, MR 1117788, S2CID 118132097.

[13] Babadzanjanz, L. K. (1993), "On the global solution of the N-body problem", Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 56 (3): 427–449, Bibcode:1993CeMDA..56..427B, doi:10.1007/BF00691812, MR 1225892, S2CID 120617936.

[14] Babadzanjanz, L. K. (1979), "Existence of the continuations in the N-body problem", Celestial Mechanics, 20 (1): 43–57, Bibcode:1979CeMec..20...43B, doi:10.1007/BF01236607, MR 0538663, S2CID 120358878.

[15] Meyer 2009, pp. 27–28

[16] Meyer 2009, p. 28

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[19] Meyer 2009, p. 34

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[Bate,_Mueller,_and_White-22] See Bate, Mueller, and White, Chapter 1: "Two-Body Orbital Mechanics", pp. 1–49. These authors were from the Department of Astronautics and Computer Science, United States Air Force Academy. Their textbook is not filled with advanced mathematics.

[23] For the classical approach, if the common center of mass (i.e., the barycenter) of the two bodies is considered to be at rest, then each body travels along a conic section which has a focus at the barycenter of the system. In the case of a hyperbola it has the branch at the side of that focus. The two conics will be in the same plane. The type of conic (circle, ellipse, parabola or hyperbola) is determined by finding the sum of the combined kinetic energy of two bodies and the potential energy when the bodies are far apart. (This potential energy is always a negative value; energy of rotation of the bodies about their axes is not counted here)
If the sum of the energies is negative, then they both trace out ellipses.

If the sum of both energies is zero, then they both trace out parabolas. As the distance between the bodies tends to infinity, their relative speed tends to zero.

If the sum of both energies is positive, then they both trace out hyperbolas. As the distance between the bodies tends to infinity, their relative speed tends to some positive number.

[24] If the sum of the energies is negative, then they both trace out ellipses.

[25] If the sum of both energies is zero, then they both trace out parabolas. As the distance between the bodies tends to infinity, their relative speed tends to zero.

[26] If the sum of both energies is positive, then they both trace out hyperbolas. As the distance between the bodies tends to infinity, their relative speed tends to some positive number.

[24] For this approach see Lindsay's Physical Mechanics, Chapter 3: "Curvilinear Motion in a Plane", and specifically paragraphs 3–9, "Planetary Motion"; pp. 83–96. Lindsay presentation goes a long way in explaining these latter comments for the fixed two-body problem; i.e., when the Sun is assumed fixed.

[25] Note: The fact a parabolic orbit has zero energy arises from the assumption the gravitational potential energy goes to zero as the bodies get infinitely far apart. One could assign any value to the potential energy in the state of infinite separation. That state is assumed to have zero potential energy by convention.

[26] Science Program's The Nature of the Universe states Clarence Cleminshaw (1902–1985) served as assistant director of Griffith Observatory from 1938 to 1958 and as director from 1958 to 1969. Some publications by Cleminshaw:
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[30] Cleminshaw, C. H.: "Celestial Speeds", 4 1953, equation, Kepler, orbit, comet, Saturn, Mars, velocity.^{[full citation needed]}

[31] Cleminshaw, C. H.: "The Coming Conjunction of Jupiter and Saturn", 7 1960, Saturn, Jupiter, observe, conjunction.^{[full citation needed]}

[32] Cleminshaw, C. H.: "The Scale of The Solar System", 7 1959, Solar system, scale, Jupiter, sun, size, light.^{[full citation needed]}

[27] Brush, Stephen G., ed. (1983). शनि के छल्लों पर मैक्सवेल. MIT Press.

[28] See Leimanis and Minorsky's historical comments.

[29] See Moulton's Restricted Three-body Problem for its analytical and graphical solution.

[30] See Meirovitch's book: Chapters 11: "Problems in Celestial Mechanics"; 12; "Problem in Spacecraft Dynamics"; and Appendix A: "Dyadics".

[31] Huang, Su-Shu. "अत्यधिक प्रतिबंधित चार-शरीर समस्या". NASA TND-501.

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[34] Féjoz 2004

[35] See Chierchia 2010 for animations illustrating homographic motions.

[36] Celletti 2008

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[49] Torres, C. E.; Parishani, H.; Ayala, O.; Rossi, L. F.; Wang, L.-P. (2013-07-15). "मजबूर एन-बॉडी समस्या का विश्लेषण और समानांतर कार्यान्वयन". Journal of Computational Physics (in English). 245: 235–258. Bibcode:2013JCoPh.245..235T. doi:10.1016/j.jcp.2013.03.008. ISSN 0021-9991.

[50] Ayala, Orlando; Grabowski, Wojciech W.; Wang, Lian-Ping (2007-07-01). "हाइड्रोडायनामिक रूप से परस्पर क्रिया करने वाले कणों की अशांत टक्करों के अनुकरण के लिए एक संकर दृष्टिकोण". Journal of Computational Physics (in English). 225 (1): 51–73. Bibcode:2007JCoPh.225...51A. doi:10.1016/j.jcp.2006.11.016. ISSN 0021-9991.

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 {{DISPLAYTITLE:{{mvar|n}}-body problem}}
-भौतिकी में, {{mvar|n}}-बॉडी समस्या एक दूसरे के साथ गुरुत्वाकर्षण से संपर्क करने वाले खगोलीय पिंडों के समूह की व्यक्तिगत गति की भविष्यवाणी करने की समस्या है।<ref name="Leimanis and Minorsky">Leimanis and Minorsky: Our interest is with Leimanis, who first discusses some history about the {{mvar|n}}-body problem, especially Ms. Kovalevskaya's 1868–1888 twenty-year complex-variables approach, failure; Section 1: "The Dynamics of Rigid Bodies and Mathematical Exterior Ballistics" (Chapter 1, "The motion of a rigid body about a fixed point (Euler and Poisson equations)"; Chapter 2, "Mathematical Exterior Ballistics"), good precursor background to the {{mvar|n}}-body problem; Section 2: "Celestial Mechanics" (Chapter 1, "The Uniformization of the Three-body Problem (Restricted Three-body Problem)"; Chapter 2, "Capture in the Three-Body Problem"; Chapter 3, "Generalized {{mvar|n}}-body Problem").</ref> इस समस्या का समाधान सूर्य, [[चंद्रमा]], [[ग्रह|ग्रहो]] और दृश्यमान तारों की गति को समझने की इच्छा से प्रेरित किया गया है। इस प्रकार से 20वीं सदी में [[गोलाकार क्लस्टर|वृत्ताकार क्लस्टर]] [[तारा]] प्रणालियों की गतिशीलता को समझना महत्वपूर्ण {{mvar|n}}-बॉडी समस्या बन गई है।<ref name="Heggie and Hut">See references cited for Heggie and Hut.</ref> अतः समय और स्थान विकृतियों जैसे अतिरिक्त कारकों के कारण [[सामान्य सापेक्षता]] में {{mvar|n}|n}}-बॉडी की समस्या को हल करना अधिक कठिन है।
+भौतिकी में, '''{{mvar|n}}-बॉडी समस्या''' एक दूसरे के साथ गुरुत्वाकर्षण से संपर्क करने वाले खगोलीय पिंडों के समूह की व्यक्तिगत गति की भविष्यवाणी करने की समस्या है।<ref name="Leimanis and Minorsky">Leimanis and Minorsky: Our interest is with Leimanis, who first discusses some history about the {{mvar|n}}-body problem, especially Ms. Kovalevskaya's 1868–1888 twenty-year complex-variables approach, failure; Section 1: "The Dynamics of Rigid Bodies and Mathematical Exterior Ballistics" (Chapter 1, "The motion of a rigid body about a fixed point (Euler and Poisson equations)"; Chapter 2, "Mathematical Exterior Ballistics"), good precursor background to the {{mvar|n}}-body problem; Section 2: "Celestial Mechanics" (Chapter 1, "The Uniformization of the Three-body Problem (Restricted Three-body Problem)"; Chapter 2, "Capture in the Three-Body Problem"; Chapter 3, "Generalized {{mvar|n}}-body Problem").</ref> इस समस्या का समाधान सूर्य, [[चंद्रमा]], [[ग्रह|ग्रहो]] और दृश्यमान तारों की गति को समझने की इच्छा से प्रेरित किया गया है। इस प्रकार से 20वीं सदी में [[गोलाकार क्लस्टर|वृत्ताकार क्लस्टर]] [[तारा]] प्रणालियों की गतिशीलता को समझना महत्वपूर्ण {{mvar|n}}-बॉडी समस्या बन गई है।<ref name="Heggie and Hut">See references cited for Heggie and Hut.</ref> अतः समय और स्थान विकृतियों जैसे अतिरिक्त कारकों के कारण [[सामान्य सापेक्षता]] में {{mvar|n}|n}}-बॉडी की समस्या को हल करना अधिक कठिन है।
 इस प्रकार से मौलिक शारीरिक समस्या को अनौपचारिक रूप से निम्नलिखित रूप में बताया जा सकता है:
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 न्यूटन ने अपने न्यूटन के तृतीय नियम के माध्यम से यह निष्कर्ष निकाला कि इस नियम के अनुसार सभी पिंडों को एक-दूसरे को आकर्षित करना चाहिए। यह अंतिम कथन, जो गुरुत्वाकर्षण अंतःक्रियात्मक बलों के अस्तित्व को महत्वपूर्ण रूप से दर्शाता है।
-जैसा कि नीचे दिखाया गया है, समस्या जीन ले रोंड डी'एलेम्बर्ट के गैर-न्यूटोनियन प्रथम और द्वतीय सिद्धांतों और गैर-रेखीय {{mvar|n}}-बॉडी समस्या एल्गोरिदम के अनुरूप है  , जो बाद में उन अंतःक्रियात्मक बलों की गणना के लिए बंद फॉर्म समाधान की अनुमति देता है।
+जैसा कि नीचे दिखाया गया है, समस्या जीन ले रोंड डी'एलेम्बर्ट के गैर-न्यूटोनियन प्रथम और द्वतीय सिद्धांतों और गैर-रेखीय {{mvar|n}}-बॉडी समस्या एल्गोरिदम के अनुरूप है , जो इसके पश्चात में उन अंतःक्रियात्मक बलों की गणना के लिए संवर्त रूप समाधान की अनुमति देता है।
 {{mvar|n}}-बॉडी की समस्या का सामान्य समाधान खोजने की समस्या को अधिक महत्वपूर्ण और चुनौतीपूर्ण माना जाता था। वास्तव में, 19वीं सदी के अंत में स्वीडन के राजा ऑस्कर द्वितीय ने, गोस्टा मिट्टाग-लेफ़लर की सलाह पर, समस्या का समाधान खोजने वाले किसी भी व्यक्ति के लिए पुरस्कार की घोषणा की स्थापना अधिक विशिष्ट थी।
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 ===  सामान्य सूत्रीकरण ===
-{{mvar|n}|n}}-बॉडी समस्या परस्पर गुरुत्वाकर्षण आकर्षण के प्रभाव में चलते हुए तीन आयामी स्थान {{math|ℝ<sup>3</sup>}} में एक जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में {{mvar|n}} बिंदु द्रव्यमान {{math|''m<sub>i</sub>'', ''i'' {{=}} 1, 2, …, ''n''}}  पर विचार करती है। प्रत्येक द्रव्यमान {{math|''m<sub>i</sub>''}} में एक स्थिति सदिश {{math|'''q'''<sub>''i''</sub>}} न्यूटन का दूसरा होता है। इस प्रकार से नियम दर्शाता है कि द्रव्यमान गुणा त्वरण {{math|''m<sub>i</sub>'' {{sfrac|''d''<sup>2</sup>'''q'''<sub>''i''</sub>|''dt''<sup>2</sup>}}}} द्रव्यमान पर लगने वाले बलों के योग के समान है। न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण का नियम कहता है, कि एक द्रव्यमान {{math|''m<sub>j</sub>''}} द्वारा द्रव्यमान {{math|''m<sub>i</sub>''}} पर एहसास किया जाने वाला गुरुत्वाकर्षण बल इस प्रकार दिया जाता है।<ref>Meyer 2009, pp. 27–28</ref>
+{{mvar|n}|n}}-बॉडी समस्या परस्पर गुरुत्वाकर्षण आकर्षण के प्रभाव में चलते हुए तीन आयामी स्थान {{math|ℝ<sup>3</sup>}} में एक जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में {{mvar|n}} बिंदु द्रव्यमान {{math|''m<sub>i</sub>'', ''i'' {{=}} 1, 2, …, ''n''}} पर विचार करती है। प्रत्येक द्रव्यमान {{math|''m<sub>i</sub>''}} में एक स्थिति सदिश {{math|'''q'''<sub>''i''</sub>}} न्यूटन का दूसरा होता है। इस प्रकार से नियम दर्शाता है कि द्रव्यमान गुणा त्वरण {{math|''m<sub>i</sub>'' {{sfrac|''d''<sup>2</sup>'''q'''<sub>''i''</sub>|''dt''<sup>2</sup>}}}} द्रव्यमान पर लगने वाले बलों के योग के समान है। न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण का नियम कहता है, कि एक द्रव्यमान {{math|''m<sub>j</sub>''}} द्वारा द्रव्यमान {{math|''m<sub>i</sub>''}} पर एहसास किया जाने वाला गुरुत्वाकर्षण बल इस प्रकार दिया जाता है।<ref>Meyer 2009, pp. 27–28</ref>
 <math display="block">\mathbf{F}_{ij} = \frac{G m_i m_j}{\left\| \mathbf{q}_j - \mathbf{q}_i\right\|^2} \cdot \frac{\left(\mathbf{q}_j - \mathbf{q}_i\right)}{\left\| \mathbf{q}_j - \mathbf{q}_i\right\|} = \frac{G m_i m_j \left(\mathbf{q}_j - \mathbf{q}_i\right)}{\left\| \mathbf{q}_j - \mathbf{q}_i\right\|^3}, </math>
-जहाँ {{mvar|G}} [[गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक]] है और {{math|{{norm|'''q'''<sub>''j''</sub> − '''q'''<sub>''i''</sub>}}}}  {{math|'''q'''<sub>''i''</sub>}} और {{math|'''q'''<sub>''j''</sub>}} मध्य की दूरी का परिमाण (मीट्रिक {{math|''l''<sub>2</sub>}} मानदंड से प्रेरित है)।
+जहाँ {{mvar|G}} [[गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक]] है और {{math|{{norm|'''q'''<sub>''j''</sub> − '''q'''<sub>''i''</sub>}}}} {{math|'''q'''<sub>''i''</sub>}} और {{math|'''q'''<sub>''j''</sub>}} मध्य की दूरी का परिमाण (मीट्रिक {{math|''l''<sub>2</sub>}} मानदंड से प्रेरित है)।
-अतः सभी द्रव्यमानों का योग करने पर  {{mvar|n}}-गति के निकाय समीकरण प्राप्त होता है:{{Equation box 1|cellpadding|border|indent=:|equation=<math> m_i \frac{d^2\mathbf{q}_i}{dt^2}
+अतः सभी द्रव्यमानों का योग करने पर {{mvar|n}}-गति के निकाय समीकरण प्राप्त होता है:{{Equation box 1|cellpadding|border|indent=:|equation=<math> m_i \frac{d^2\mathbf{q}_i}{dt^2}
   = \sum_{j=1 \atop j \ne i}^n \frac{G m_i m_j \left(\mathbf{q}_j - \mathbf{q}_i\right)}{\left\| \mathbf{q}_j - \mathbf{q}_i\right\|^3}
   = -\frac{\partial U}{\partial \mathbf{q}_i} </math>|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}}जहाँ {{mvar|U}} स्व-संभावित ऊर्जा है
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 स्थिर वेग से गतिमान है, जिससे {{math|'''C''' {{=}} '''L'''<sub>0</sub>''t'' + '''C'''<sub>0</sub>}}, जहाँ {{math|'''L'''<sub>0</sub>}} रैखिक वेग है और {{math|'''C'''<sub>0</sub>}} प्रारंभिक स्थिति है. गति के स्थिरांक {{math|'''L'''<sub>0</sub>}} और {{math|'''C'''<sub>0</sub>}} गति के छह अभिन्न अंग का प्रतिनिधित्व करते हैं। [[घूर्णी समरूपता]] के परिणामस्वरूप कुल कोणीय गति स्थिर रहती है
 <math display="block">\mathbf{A} = \sum_{i=1}^n \mathbf{q}_i \times \mathbf{p}_i,</math>
-जहां × क्रॉस उत्पाद है। कुल कोणीय संवेग {{math|'''A'''}} के तीन घटक  गति के तीन और स्थिरांक उत्पन्न करते हैं। गति का अंतिम सामान्य स्थिरांक ऊर्जा {{mvar|H}}  के संरक्षण द्वारा दिया जाता है। इसलिए, प्रत्येक {{mvar|n}}-बॉडी की समस्या में गति के दस अभिन्न अंग होते हैं।
+जहां × क्रॉस उत्पाद है। कुल कोणीय संवेग {{math|'''A'''}} के तीन घटक गति के तीन और स्थिरांक उत्पन्न करते हैं। गति का अंतिम सामान्य स्थिरांक ऊर्जा {{mvar|H}} के संरक्षण द्वारा दिया जाता है। इसलिए, प्रत्येक {{mvar|n}}-बॉडी की समस्या में गति के दस अभिन्न अंग होते हैं।
 क्योंकि {{mvar|T}} और {{mvar|U}} क्रमशः डिग्री 2 और -1 के सजातीय फलन हैं, गति के समीकरणों में अदिश अपरिवर्तनीयता होती है: यदि {{math|'''q'''<sub>''i''</sub>(''t'')}} समाधान है, तो किसी भी {{math|''λ'' > 0}}के लिए {{math|''λ''<sup>−2/3</sup>'''q'''<sub>''i''</sub>(''λt'')}} भी है।<ref name="Chenciner 2007">Chenciner 2007</ref>
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 {{Main|दो-बॉडी की समस्या}}
-ग्रहों की परस्पर क्रियात्मक शक्तियों की कोई भी विचार ऐतिहासिक रूप से सदैव दो-बॉडी की समस्या से प्रारंभ हुई है। इस खंड का उद्देश्य किसी भी ग्रहीय बल की गणना में वास्तविक सम्मिश्र से संबंधित है। इस खंड में भी अनेक विषयों पर ध्यान दें, जैसे [[गुरुत्वाकर्षण]], [[केन्द्रक]], केप्लर के नियम, आदि; और निम्नलिखित अनुभाग में भी अन्य विकिपीडिया पृष्ठों पर (तृतीय-बॉडी समस्या) पर विचार की गई है। चूंकि, यहाँ इन विषयों पर  {{mvar|n}}-बॉडी की समस्या परिप्रेक्ष्य से विचार की गई है।
+ग्रहों की परस्पर क्रियात्मक शक्तियों की कोई भी विचार ऐतिहासिक रूप से सदैव दो-बॉडी की समस्या से प्रारंभ हुई है। इस खंड का उद्देश्य किसी भी ग्रहीय बल की गणना में वास्तविक सम्मिश्र से संबंधित है। इस खंड में भी अनेक विषयों पर ध्यान दें, जैसे [[गुरुत्वाकर्षण]], [[केन्द्रक]], केप्लर के नियम, आदि; और निम्नलिखित अनुभाग में भी अन्य विकिपीडिया पृष्ठों पर (तृतीय-बॉडी समस्या) पर विचार की गई है। चूंकि, यहाँ इन विषयों पर {{mvar|n}}-बॉडी की समस्या परिप्रेक्ष्य से विचार की गई है।
 दो-बॉडी की समस्या ({{math|''n'' {{=}} 2}}) को पूर्ण रूप से [[जोहान बर्नौली]] (1667-1748) ने मौलिक सिद्धांत द्वारा (और न्यूटन द्वारा नहीं) मुख्य बिंदु-द्रव्यमान को निश्चित मानकर हल किया था; इसे यहां रेखांकित किया गया है।<ref name="Bate, Mueller, and White">See Bate, Mueller, and White, Chapter 1: "Two-Body Orbital Mechanics", pp. 1–49. These authors were from the Department of Astronautics and Computer Science, United States Air Force Academy. Their textbook is not filled with advanced mathematics.</ref> इस प्रकार से पुनः सूर्य को स्थिर रखते हुए दो पिंडों, जैसे सूर्य और पृथ्वी, की गति पर विचार करें:
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 *If the sum of both energies is positive, then they both trace out hyperbolas. As the distance between the bodies tends to infinity, their relative speed tends to some positive number.</ref><ref>For this approach see Lindsay's ''Physical Mechanics'', Chapter 3: "Curvilinear Motion in a Plane", and specifically paragraphs 3–9, "Planetary Motion"; pp. 83–96. Lindsay presentation goes a long way in explaining these latter comments for the fixed two-body problem; i.e., when the Sun is assumed fixed.</ref><ref>Note: The fact a parabolic orbit has zero energy arises from the assumption the gravitational potential energy goes to zero as the bodies get infinitely far apart. One could assign any value to the potential energy in the state of infinite separation. That state is assumed to have zero potential energy by convention.</ref>
-इस प्रकार विचार करना असत्य है, कि न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम को प्रयुक्त करते समय {{math|''m''<sub>1</sub>}} (सूर्य) स्थान से स्थिर हो जाता है, और ऐसा करने से असत्य परिणाम मिलते हैं। दो अलग-अलग गुरुत्वाकर्षण से परस्पर क्रिया करने वाले पिंडों के लिए निश्चित बिंदु उनके पारस्परिक [[बैरीसेंट्रिक निर्देशांक (खगोल विज्ञान)]] है, और इस दो-बॉडी की समस्या को स्पष्ट रूप से हल किया जा सकता है, जैसे कि बैरीसेंटर के सापेक्ष जैकोबी निर्देशांक का उपयोग करना है।
+इस प्रकार विचार करना असत्य है, कि न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम को प्रयुक्त करते समय {{math|''m''<sub>1</sub>}} (सूर्य) स्थान से स्थिर हो जाता है, और ऐसा करने से असत्य परिणाम मिलते हैं। दो भिन्न-भिन्न गुरुत्वाकर्षण से परस्पर क्रिया करने वाले पिंडों के लिए निश्चित बिंदु उनके पारस्परिक [[बैरीसेंट्रिक निर्देशांक (खगोल विज्ञान)]] है, और इस दो-बॉडी की समस्या को स्पष्ट रूप से हल किया जा सकता है, जैसे कि बैरीसेंटर के सापेक्ष जैकोबी निर्देशांक का उपयोग करना है।
 अतः डॉ. क्लेरेंस क्लेमिनशॉ ने सौर मंडल के बैरीसेंटर की अनुमानित स्थिति की गणना की, यह परिणाम मुख्य रूप से केवल बृहस्पति और सूर्य के द्रव्यमान को मिलाकर प्राप्त किया गया है। विज्ञान कार्यक्रम ने उनके कार्य के संदर्भ में कहा गया है:
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 यह खंड धारणाओं को सरल बनाने के पश्चात ऐतिहासिक रूप से महत्वपूर्ण {{mvar|n}}-बॉडी समस्या समाधान से संबंधित है।
-अतीत में {{math|''n'' ≥ 3}} के लिए {{mvar|n}}-बॉडी समस्या के बारे में अधिक जानकारी नहीं थी।<ref>See Leimanis and Minorsky's historical comments.</ref>  स्तिथि {{math|''n'' {{=}} 3}}  का सबसे अधिक अध्ययन किया गया है। त्रि-बॉडी  की समस्या को समझने के पहले के कई प्रयास मात्रात्मक थे, जिनका उद्देश्य विशेष स्थितियों के लिए स्पष्ट समाधान खोजना था।
+अतीत में {{math|''n'' ≥ 3}} के लिए {{mvar|n}}-बॉडी समस्या के बारे में अधिक जानकारी नहीं थी।<ref>See Leimanis and Minorsky's historical comments.</ref> स्तिथि {{math|''n'' {{=}} 3}} का सबसे अधिक अध्ययन किया गया है। त्रि-बॉडी की समस्या को समझने के पहले के अनेक प्रयास मात्रात्मक थे, जिनका उद्देश्य विशेष स्थितियों के लिए स्पष्ट समाधान खोजना था।
 *इस प्रकार से 1687 में, आइज़ैक न्यूटन ने प्रिंसिपिया में तीन पिंडों की उनके पारस्परिक गुरुत्वाकर्षण आकर्षण के अधीन गति की समस्या के अध्ययन में प्रथम पद प्रकाशित किया, किन्तु उनके प्रयासों के परिणामस्वरूप मौखिक विवरण और ज्यामितीय रेखाचित्र सामने आए; विशेष रूप से पुस्तक 1, प्रस्ताव 66 और उसके परिणाम देखें (न्यूटन, 1687 और 1999 (अनुवाद), टिसेरैंड, 1894 भी देखें)।
 *किन्तु 1767 में, [[लियोनहार्ड यूलर]] ने संरेख गतियाँ पाईं, जिसमें किसी भी द्रव्यमान के तीन पिंड निश्चित सीधी रेखा के साथ आनुपातिक रूप से चलते हैं। यूलर की तृतीय-पिंड समस्या विशेष स्तिथि है जिसमें दो पिंड स्थान में स्थिर होते हैं (इसे वृत्ताकार प्रतिबंधित तीन-पिंड समस्या के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, जिसमें दो विशाल पिंड वृत्ताकार कक्षा का वर्णन करते हैं और केवल स्थान में ही स्थिर होते हैं) सिनोडिक संदर्भ फ्रेम)।
 *चूंकि 1772 में, [[जोसेफ लुई लैग्रेंज]] ने आवधिक समाधान के दो वर्गों की खोज की, जिनमें से प्रत्येक किसी भी द्रव्यमान के तीन निकायों के लिए था। वर्ग में, पिंड घूर्णनशील सीधी रेखा पर स्थित होते हैं। दूसरे वर्ग में, पिंड घूमते हुए समबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर स्थित होते हैं। किसी भी स्थिति में, पिंडों के पथ शंकुधारी खंड होते है । उन समाधानों से केंद्रीय विन्यास का अध्ययन किया, जिसके लिए {{math|''q̈'' {{=}} ''kq''}} कुछ स्थिरांक के लिए {{math|''k'' > 0}} दर्शाया गया है.
-*पृथ्वी-चंद्रमा-सूर्य प्रणाली का प्रमुख अध्ययन चार्ल्स-यूजीन डेलाउने द्वारा किया गया था, जिन्होंने 1860 और 1867 में इस विषय पर दो खंड प्रकाशित किए, जिनमें से प्रत्येक 900 पृष्ठों का था। अनेक अन्य उपलब्धियों के अतिरिक्त, कार्य पहले से ही संकेत देता है अराजकता, और  [[गड़बड़ी सिद्धांत|क्षोभ सिद्धांत]] में तथाकथित छोटे भाजक की समस्या को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करता है।
+*पृथ्वी-चंद्रमा-सूर्य प्रणाली का प्रमुख अध्ययन चार्ल्स-यूजीन डेलाउने द्वारा किया गया था, जिन्होंने 1860 और 1867 में इस विषय पर दो खंड प्रकाशित किए, जिनमें से प्रत्येक 900 पृष्ठों का था। अनेक अन्य उपलब्धियों के अतिरिक्त, कार्य पहले से ही संकेत देता है अराजकता, और [[गड़बड़ी सिद्धांत|क्षोभ सिद्धांत]] में तथाकथित छोटे भाजक की समस्या को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करता है।
 *अतः 1917 में, [[वन रे मौलटन]] ने अपने अब के क्लासिक, एन इंट्रोडक्शन टू सेलेस्टियल मैकेनिक्स (संदर्भ देखें) को प्रतिबंधित त्रि-बॉडी समस्या समाधान के कथानक के साथ प्रकाशित किया (नीचे चित्र देखें)।<ref>See Moulton's ''Restricted Three-body Problem'' for its analytical and graphical solution.</ref> तरफ, उनके प्रतिबंधित त्रि-बॉडी समस्या समाधान के लिए मीरोविच की पुस्तक, पृष्ठ 413-414 देखें।<ref>See Meirovitch's book: Chapters 11: "Problems in Celestial Mechanics"; 12; "Problem in Spacecraft Dynamics"; and Appendix A: "Dyadics".</ref>
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-उपरोक्त प्रतिबंधित त्रि-बॉडी समस्या गणित मॉडल चित्र में (मौल्टन के पश्चात), लैग्रैन्जियन बिंदु L<sub>4</sub> और L<sub>5</sub>  वे स्थान हैं जहां ट्रोजन प्लैनेटोइड रहते थे (लैग्रैन्जियन बिंदु देखें); {{math|''m''<sub>1</sub>}} सूर्य है और {{math|''m''<sub>2</sub>}} बृहस्पति है। L<sub>2</sub>  क्षुद्रग्रह बेल्ट के अन्दर एक बिंदु है। इस मॉडल के लिए इसे साकार करना होगा, यह पूरा सूर्य-बृहस्पति आरेख अपने बैरीसेंटर के चारों ओर घूम रहा है। प्रतिबंधित त्रि-बॉडी समस्या समाधान ने पहली बार देखे जाने से पहले  [[ट्रोजन (खगोल विज्ञान)]] की भविष्यवाणी की थी। {{mvar|h}|h}}वृत्त और बंद लूप सूर्य और बृहस्पति से निकलने वाले विद्युत चुम्बकीय प्रवाह को प्रतिध्वनित करते हैं। यह अनुमान लगाया गया है, रिचर्ड एच. बातिन के अनुमान (संदर्भ देखें) के विपरीत, दो {{math|''h''<sub>1</sub>}} गुरुत्वाकर्षण सिंक हैं, जहां और जहां गुरुत्वाकर्षण बल शून्य हैं, और ट्रोजन प्लैनेटॉइड वहां फंसने का कारण हैं। ग्रहों के [[द्रव्यमान]] की कुल मात्रा अज्ञात है।
+उपरोक्त प्रतिबंधित त्रि-बॉडी समस्या गणित मॉडल चित्र में (मौल्टन के पश्चात), लैग्रैन्जियन बिंदु L<sub>4</sub> और L<sub>5</sub> वे स्थान हैं जहां ट्रोजन प्लैनेटोइड रहते थे (लैग्रैन्जियन बिंदु देखें); {{math|''m''<sub>1</sub>}} सूर्य है और {{math|''m''<sub>2</sub>}} बृहस्पति है। L<sub>2</sub> क्षुद्रग्रह बेल्ट के अन्दर एक बिंदु है। इस मॉडल के लिए इसे साकार करना होगा, यह पूरा सूर्य-बृहस्पति आरेख अपने बैरीसेंटर के चारों ओर घूम रहा है। प्रतिबंधित त्रि-बॉडी समस्या समाधान ने पहली बार देखे जाने से पहले [[ट्रोजन (खगोल विज्ञान)]] की भविष्यवाणी की थी। {{mvar|h}|h}}वृत्त और संवर्त लूप सूर्य और बृहस्पति से निकलने वाले विद्युत चुम्बकीय प्रवाह को प्रतिध्वनित करते हैं। यह अनुमान लगाया गया है, रिचर्ड एच. बातिन के अनुमान (संदर्भ देखें) के विपरीत, दो {{math|''h''<sub>1</sub>}} गुरुत्वाकर्षण सिंक हैं, जहां और जहां गुरुत्वाकर्षण बल शून्य हैं, और ट्रोजन प्लैनेटॉइड वहां फंसने का कारण हैं। ग्रहों के [[द्रव्यमान]] की कुल मात्रा अज्ञात है।
 प्रतिबंधित तीन-पिंड की समस्या जो मानती है कि किसी पिंड का द्रव्यमान नगण्य है। उस स्तिथि की विचार के लिए जहां नगण्य पिंड कम द्रव्यमान वाले पिंड का उपग्रह है, [[पहाड़ी क्षेत्र]] देखें; बाइनरी प्रणाली के लिए, [[रोश लोब]] देखें। अतः त्रि-बॉडी की समस्या के विशिष्ट समाधानों के परिणामस्वरूप अराजकता सिद्धांत गति होती है जिसमें दोहराव वाले पथ का कोई स्पष्ट संकेत नहीं होता है।
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 === चतुर्थ-बॉडी की समस्या ===
-वृत्ताकार प्रतिबंधित त्रि-बॉडी की समस्या से प्रेरित होकर, चतुर्थ-बॉडी की समस्या को अन्य तीन विशाल पिंडों की तुलना में छोटे पिंड पर विचार करके अधिक सरल बनाया जा सकता है, जो परिवर्तन  में वृत्ताकार कक्षाओं का वर्णन करने के लिए अनुमानित हैं। इसे बाइसिकुलर प्रतिबंधित चतुर्थ-बॉडी समस्या (जिसे बाइसर्कुलर मॉडल के रूप में भी जाना जाता है) के रूप में जाना जाता है और सु-शू हुआंग द्वारा लिखी गई नासा रिपोर्ट में इसका पता 1960 में लगाया जा सकता है।<ref>{{cite journal |last1=Huang |first1=Su-Shu |title=अत्यधिक प्रतिबंधित चार-शरीर समस्या|journal=NASA TND-501 |url=https://books.google.com/books?id=smhIAQAAIAAJ&q=huang+very+restricted&pg=PA354}}</ref> यह सूत्रीकरण मुख्य रूप से सूर्य के गुरुत्वाकर्षण आकर्षण के साथ पृथ्वी-चंद्रमा प्रणाली में अंतरिक्ष यान प्रक्षेप पथों को मॉडल करने के लिए खगोलगतिकी में अत्यधिक प्रासंगिक रहा है। और पृथ्वी-चंद्रमा-सूर्य के अतिरिक्त अन्य प्रणालियों की मॉडलिंग करते समय द्विवृत्ताकार प्रतिबंधित चतुर्थ-बॉडी समस्या का पूर्व सूत्रीकरण समस्याग्रस्त हो सकता है, इसलिए अनुप्रयोग सीमा का विस्तार करने और बिना हानि के स्पष्टतः में सुधार करने के लिए नेग्री और प्राडो द्वारा सूत्रीकरण को सामान्यीकृत किया गया था।<ref>{{cite journal |last1=Negri |first1=Rodolfo B. |last2=Prado |first2=Antonio F.&nbsp;B.&nbsp;A. |title=द्विवृत्ताकार प्रतिबंधित चार-शरीर समस्या का सामान्यीकरण|journal=Journal of Guidance, Control, and Dynamics |year=2020 |volume=43 |issue=6 |pages=1173–1179 |doi=10.2514/1.G004848 |bibcode=2020JGCD...43.1173N |s2cid=213600592 }}</ref>
+वृत्ताकार प्रतिबंधित त्रि-बॉडी की समस्या से प्रेरित होकर, चतुर्थ-बॉडी की समस्या को अन्य तीन विशाल पिंडों की तुलना में छोटे पिंड पर विचार करके अधिक सरल बनाया जा सकता है, जो परिवर्तन में वृत्ताकार कक्षाओं का वर्णन करने के लिए अनुमानित हैं। इसे बाइसिकुलर प्रतिबंधित चतुर्थ-बॉडी समस्या (जिसे बाइसर्कुलर मॉडल के रूप में भी जाना जाता है) के रूप में जाना जाता है और सु-शू हुआंग द्वारा लिखी गई नासा रिपोर्ट में इसका पता 1960 में लगाया जा सकता है।<ref>{{cite journal |last1=Huang |first1=Su-Shu |title=अत्यधिक प्रतिबंधित चार-शरीर समस्या|journal=NASA TND-501 |url=https://books.google.com/books?id=smhIAQAAIAAJ&q=huang+very+restricted&pg=PA354}}</ref> यह सूत्रीकरण मुख्य रूप से सूर्य के गुरुत्वाकर्षण आकर्षण के साथ पृथ्वी-चंद्रमा प्रणाली में अंतरिक्ष यान प्रक्षेप पथों को मॉडल करने के लिए खगोलगतिकी में अत्यधिक प्रासंगिक रहा है। और पृथ्वी-चंद्रमा-सूर्य के अतिरिक्त अन्य प्रणालियों की मॉडलिंग करते समय द्विवृत्ताकार प्रतिबंधित चतुर्थ-बॉडी समस्या का पूर्व सूत्रीकरण समस्याग्रस्त हो सकता है, इसलिए अनुप्रयोग सीमा का विस्तार करने और बिना हानि के स्पष्टतः में सुधार करने के लिए नेग्री और प्राडो द्वारा सूत्रीकरण को सामान्यीकृत किया गया था।<ref>{{cite journal |last1=Negri |first1=Rodolfo B. |last2=Prado |first2=Antonio F.&nbsp;B.&nbsp;A. |title=द्विवृत्ताकार प्रतिबंधित चार-शरीर समस्या का सामान्यीकरण|journal=Journal of Guidance, Control, and Dynamics |year=2020 |volume=43 |issue=6 |pages=1173–1179 |doi=10.2514/1.G004848 |bibcode=2020JGCD...43.1173N |s2cid=213600592 }}</ref>
 === ग्रह समस्या ===
-ग्रहों की समस्या उस स्थिति में {{mvar|n}}-बॉडी समस्या है जब द्रव्यमान अन्य सभी की तुलना में अधिक उच्च होता है। ग्रह संबंधी समस्या का आदर्श उदाहरण सूर्य-बृहस्पति-शनि प्रणाली है, जहां सूर्य का द्रव्यमान बृहस्पति या शनि के द्रव्यमान से लगभग 1000 गुना बड़ा है।<ref name="Chenciner 2007"/>समस्या का अनुमानित समाधान यह है कि इसे तारा-ग्रह [[केप्लर समस्या|केपलर समस्याओं]] के {{math|''n'' − 1}} जोड़े में विघटित किया जाए, ग्रहों के बीच परस्पर क्रिया को  क्षोभ के रूप में मानते हैं। जब तक प्रणाली में कोई कक्षीय प्रतिध्वनि नहीं होती, तब तक पर्टर्बेटिव सन्निकटन उचित प्रकार से कार्य करता है, अर्थात अप्रभावित केपलर आवृत्तियों का कोई भी अनुपात एक तर्कसंगत संख्या नहीं है। विस्तार में अनुनाद छोटे-छोटे हर के रूप में प्रकट होते हैं।
+ग्रहों की समस्या उस स्थिति में {{mvar|n}}-बॉडी समस्या है जब द्रव्यमान अन्य सभी की तुलना में अधिक उच्च होता है। ग्रह संबंधी समस्या का आदर्श उदाहरण सूर्य-बृहस्पति-शनि प्रणाली है, जहां सूर्य का द्रव्यमान बृहस्पति या शनि के द्रव्यमान से लगभग 1000 गुना बड़ा है।<ref name="Chenciner 2007"/>समस्या का अनुमानित समाधान यह है कि इसे तारा-ग्रह [[केप्लर समस्या|केपलर समस्याओं]] के {{math|''n'' − 1}} जोड़े में विघटित किया जाए, ग्रहों के मध्य परस्पर क्रिया को क्षोभ के रूप में मानते हैं। जब तक प्रणाली में कोई कक्षीय प्रतिध्वनि नहीं होती, तब तक पर्टर्बेटिव सन्निकटन उचित प्रकार से कार्य करता है, अर्थात अप्रभावित केपलर आवृत्तियों का कोई भी अनुपात एक तर्कसंगत संख्या नहीं है। विस्तार में अनुनाद छोटे-छोटे हर के रूप में प्रकट होते हैं।
-अनुनादों और छोटे हरों के अस्तित्व ने ग्रहों की समस्या में स्थिरता के महत्वपूर्ण प्रश्न को उत्पन्न किया है: क्या ग्रह, किसी तारे के चारों ओर लगभग वृत्ताकार कक्षाओं में, समय के साथ स्थिर या बंधी हुई कक्षाओं में रहते हैं?<ref name="Chenciner 2007"/><ref name="Chierchia 2010">Chierchia 2010</ref> 1963 में, [[व्लादिमीर अर्नोल्ड]] ने केएएम सिद्धांत का उपयोग करके ग्रहों की समस्या की प्रकार की स्थिरता को प्रमाणित किया: विमान तक सीमित ग्रहीय समस्या के स्तिथि में [[अर्धआवधिक गति]] कक्षाओं के सकारात्मक माप का समुच्चय उपस्तिथ है।<ref name="Chierchia 2010"/>  और केएएम सिद्धांत में, अराजक ग्रहीय कक्षाएँ क्वासिपेरियोडिक केएएम टोरी से घिरी होती है। अर्नोल्ड के परिणाम को 2004 में फ़ेज़ोज़ और हरमन द्वारा अधिक सामान्य प्रमेय तक विस्तारित किया गया था।<ref>Féjoz 2004</ref>
+अनुनादों और छोटे हरों के अस्तित्व ने ग्रहों की समस्या में स्थिरता के महत्वपूर्ण प्रश्न को उत्पन्न किया है: क्या ग्रह, किसी तारे के चारों ओर लगभग वृत्ताकार कक्षाओं में, समय के साथ स्थिर या बंधी हुई कक्षाओं में रहते हैं?<ref name="Chenciner 2007"/><ref name="Chierchia 2010">Chierchia 2010</ref> 1963 में, [[व्लादिमीर अर्नोल्ड]] ने केएएम सिद्धांत का उपयोग करके ग्रहों की समस्या की प्रकार की स्थिरता को प्रमाणित किया: विमान तक सीमित ग्रहीय समस्या के स्तिथि में [[अर्धआवधिक गति]] कक्षाओं के सकारात्मक माप का समुच्चय उपस्तिथ है।<ref name="Chierchia 2010"/> और केएएम सिद्धांत में, अराजक ग्रहीय कक्षाएँ क्वासिपेरियोडिक केएएम टोरी से घिरी होती है। अर्नोल्ड के परिणाम को 2004 में फ़ेज़ोज़ और हरमन द्वारा अधिक सामान्य प्रमेय तक विस्तारित किया गया था।<ref>Féjoz 2004</ref>
 === केंद्रीय विन्यास ===
 {{main|केंद्रीय विन्यास}}
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 == विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण ==
-समस्या के प्रत्येक समाधान के लिए, न केवल [[आइसोमेट्री]] या टाइम शिफ्ट प्रयुक्त करने से, किन्तु टी-समरूपता (घर्षण के स्तिथि के विपरीत) भी समाधान मिलता है।
+समस्या के प्रत्येक समाधान के लिए, न केवल [[आइसोमेट्री]] या टाइम शिफ्ट प्रयुक्त करने से, किन्तु T-समरूपता (घर्षण के स्तिथि के विपरीत) भी समाधान मिलता है।
 {{mvar|n}}-बॉडी समस्या ({{math|''n'' ≥ 3}}) के बारे में भौतिक साहित्य में, कभी-कभी "{{mvar|n}}-बॉडी समस्या को हल करने की असंभवता" (उपरोक्त दृष्टिकोण को नियोजित करके) का संदर्भ दिया जाता है। चूंकि, किसी समाधान की 'असंभवता' पर विचार करते समय सावधानी रखनी चाहिए, क्योंकि यह केवल पहले इंटीग्रल्स की विधि को संदर्भित करता है ([[क्विंटिक समीकरण]] या उच्चतर के माध्यम से हल करने की असंभवता के बारे में [[नील्स हेनरिक एबेल]] और एवरिस्ट गैलोइस के प्रमेय की तुलना करें) सूत्र जिसमें केवल जड़ें सम्मिलित हैं)।
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 === पावर श्रृंखला समाधान ===
-मौलिक  {{mvar|n}}-बॉडी समस्या को हल करने का एक विधि "[[टेलर श्रृंखला]] द्वारा {{mvar|n}}-बॉडी समस्या" है।
+मौलिक {{mvar|n}}-बॉडी समस्या को हल करने का एक विधि "[[टेलर श्रृंखला]] द्वारा {{mvar|n}}-बॉडी समस्या" है।
 हम [[विभेदक समीकरण|विभेदक समीकरणों]] की प्रणाली को परिभाषित करके प्रारंभ करते हैं:
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 === की विलक्षणताएँ {{mvar|n}}-बॉडी समस्या ===
-इस प्रकार से  {{mvar|n}}-बॉडी की समस्या विलक्षणताएँ दो प्रकार की हो सकती हैं:
+इस प्रकार से {{mvar|n}}-बॉडी की समस्या विलक्षणताएँ दो प्रकार की हो सकती हैं:
 *दो या दो से अधिक निकायों का टकराव, किन्तु किसके लिए {{math|'''q'''(''t'')}} (निकायों की स्थिति) सीमित रहती है। (इस गणितीय अर्थ में, टकराव का अर्थ है कि स्थान में दो बिंदु समान पिंडों की स्थिति समान है।)
 *ऐसी विलक्षणताएँ जिनमें टकराव नहीं होता, किन्तु {{math|'''q'''(''t'')}} परिमित नहीं रहता है। इस परिदृश्य में, पिंड सीमित समय में अनंत की ओर विमुख हो जाते हैं, जबकि साथ ही वे शून्य पृथक्करण की ओर प्रवृत्त होते हैं (अनंत पर काल्पनिक टकराव होता है)।
-इसके पश्चात पेनलेवे का अनुमान (कोई टकराव नहीं विलक्षणता) कहा जाता है। उनके अस्तित्व का अनुमान पेनलेवे द्वारा {{math|''n'' > 3}} के लिए (पेनलेवे अनुमान देखें) लगाया गया है।<ref>{{cite journal|first=Zhihong|last=Xia|title=न्यूटोनियन प्रणालियों में गैर-टकराव विलक्षणताओं का अस्तित्व|journal=Ann. Math. |series=Second Series|volume=135|issue=3|date=May 1992|pages=411–468|doi=10.2307/2946572|jstor=2946572}}</ref> किन्तु  {{math|''n'' {{=}} 5}} के लिए इस व्यवहार के उदाहरण ज़िया द्वारा और {{math|''n'' {{=}} 4}} के लिए गेवर द्वारा एक अनुमानी मॉडल का निर्माण किया गया है।<ref>{{cite journal|first=Joseph L.|last=Gerver|title=Noncollision Singularities: Do Four Bodies Suffice?|journal=Exp. Math.|volume=12|issue=2|date=2003|pages=187–198|doi=10.1080/10586458.2003.10504491|s2cid=23816314|url=http://projecteuclid.org/euclid.em/1067634730 }}</ref> इस प्रकार से डोनाल्ड जी. सारी ने दिखाया है कि 4 या उससे कम निकायों के लिए, विलक्षणताओं को उत्पन्न करने वाले प्रारंभिक डेटा के सेट का माप शून्य है।<ref>{{cite journal | last1 = Saari | first1 = Donald G. | year = 1977 | title = न्यूटोनियन यांत्रिकी की चार-शरीर समस्या के लिए एक वैश्विक अस्तित्व प्रमेय| journal = J. Differential Equations | volume = 26 | issue = 1| pages = 80–111 | doi=10.1016/0022-0396(77)90100-0|bibcode = 1977JDE....26...80S | doi-access = free }}</ref>
+इसके पश्चात पेनलेवे का अनुमान (कोई टकराव नहीं विलक्षणता) कहा जाता है। उनके अस्तित्व का अनुमान पेनलेवे द्वारा {{math|''n'' > 3}} के लिए (पेनलेवे अनुमान देखें) लगाया गया है।<ref>{{cite journal|first=Zhihong|last=Xia|title=न्यूटोनियन प्रणालियों में गैर-टकराव विलक्षणताओं का अस्तित्व|journal=Ann. Math. |series=Second Series|volume=135|issue=3|date=May 1992|pages=411–468|doi=10.2307/2946572|jstor=2946572}}</ref> किन्तु {{math|''n'' {{=}} 5}} के लिए इस व्यवहार के उदाहरण ज़िया द्वारा और {{math|''n'' {{=}} 4}} के लिए गेवर द्वारा एक अनुमानी मॉडल का निर्माण किया गया है।<ref>{{cite journal|first=Joseph L.|last=Gerver|title=Noncollision Singularities: Do Four Bodies Suffice?|journal=Exp. Math.|volume=12|issue=2|date=2003|pages=187–198|doi=10.1080/10586458.2003.10504491|s2cid=23816314|url=http://projecteuclid.org/euclid.em/1067634730 }}</ref> इस प्रकार से डोनाल्ड जी. सारी ने दिखाया है कि 4 या उससे कम निकायों के लिए, विलक्षणताओं को उत्पन्न करने वाले प्रारंभिक डेटा के सेट का माप शून्य है।<ref>{{cite journal | last1 = Saari | first1 = Donald G. | year = 1977 | title = न्यूटोनियन यांत्रिकी की चार-शरीर समस्या के लिए एक वैश्विक अस्तित्व प्रमेय| journal = J. Differential Equations | volume = 26 | issue = 1| pages = 80–111 | doi=10.1016/0022-0396(77)90100-0|bibcode = 1977JDE....26...80S | doi-access = free }}</ref>
 == सिमुलेशन ==
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 === अनेक बॉडी ===
-संख्यात्मक एकीकरण का उपयोग करने वाले प्रत्यक्ष तरीकों के लिए कणों के सभी जोड़े पर संभावित ऊर्जा का मूल्यांकन करने के लिए {{math|{{sfrac|1|2}}''n''<sup>2</sup>}} गणना के क्रम की आवश्यकता होती है, और इस प्रकार {{math|''O''(''n''<sup>2</sup>)}} की [[समय की जटिलता|समय सम्मिश्र]] होती है कई कणों के साथ सिमुलेशन के लिए, {{math|''O''(''n''<sup>2</sup>)}} कारक उच्च माप पर विशेष रूप से समय लेने वाली गणना करता है।<ref name="Trenti 2008"/>
+संख्यात्मक एकीकरण का उपयोग करने वाले प्रत्यक्ष विधियों के लिए कणों के सभी जोड़े पर संभावित ऊर्जा का मूल्यांकन करने के लिए {{math|{{sfrac|1|2}}''n''<sup>2</sup>}} गणना के क्रम की आवश्यकता होती है, और इस प्रकार {{math|''O''(''n''<sup>2</sup>)}} की [[समय की जटिलता|समय सम्मिश्र]] होती है अनेक कणों के साथ सिमुलेशन के लिए, {{math|''O''(''n''<sup>2</sup>)}} कारक उच्च माप पर विशेष रूप से समय लेने वाली गणना करता है।<ref name="Trenti 2008"/>
 इस प्रकारसे अनेक अनुमानित विधियाँ विकसित की गई हैं जो प्रत्यक्ष विधियों के सापेक्ष समय की सम्मिश्र को कम करती हैं:<ref name="Trenti 2008"/>
 * ट्री कोड विधियां, जैसे कि बार्न्स-हट सिमुलेशन, स्थानिक-पदानुक्रमित विधियां हैं जिनका उपयोग तब किया जाता है जब दूर के कण योगदान को उच्च स्पष्टता के लिए गणना करने की आवश्यकता नहीं होती है। और कणों के दूर के समूह की क्षमता की गणना [[मल्टीपोल विस्तार]] या क्षमता के अन्य सन्निकटन का उपयोग करके की जाती है। यह सम्मिश्र को {{math|''O''(''n'' log ''n'')}} तक कम करने की अनुमति देता है।
 *[[तेज़ मल्टीपोल विधि]]याँ इस तथ्य का लाभ उठाती हैं कि दूर के कणों से मल्टीपोल-विस्तारित बल एक-दूसरे के समीप के कणों के लिए समान होते हैं, और कम्प्यूटेशनल प्रयास को कम करने के लिए दूर-क्षेत्र बलों के स्थानीय विस्तार का उपयोग करते हैं। यह दावा किया जाता है कि यह आगे सन्निकटन सम्मिश्र को {{math|''O''(''n'')}} कम कर देता है।<ref name="Trenti 2008" />
-*कण मेश विधियाँ सिमुलेशन स्थान को तीन आयामी ग्रिड में विभाजित करती हैं, जिस पर कणों का द्रव्यमान घनत्व प्रक्षेपित होता है। फिर क्षमता की गणना करना ग्रिड पर [[पॉइसन समीकरण]] को हल करने का स्तिथि बन जाता है, जिसकी गणना फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म का उपयोग करके {{math|''O''(''n'' log ''n'')}} समय में या [[मल्टीग्रिड]] तकनीकों का उपयोग करके {{math|''O''(''n'')}} समय में की जा सकती है। यह कम दूरी की ताकतों के लिए उच्च त्रुटि की कीमत पर तेज़ समाधान प्रदान कर सकता है। बड़ी संख्या में कणों वाले क्षेत्रों में सटीकता बढ़ाने के लिए [[अनुकूली जाल शोधन|अनुकूली मेश शोधन]] का उपयोग किया जा सकता है।
+*कण मेश विधियाँ सिमुलेशन स्थान को तीन आयामी ग्रिड में विभाजित करती हैं, जिस पर कणों का द्रव्यमान घनत्व प्रक्षेपित होता है। फिर क्षमता की गणना करना ग्रिड पर [[पॉइसन समीकरण]] को हल करने का स्तिथि बन जाता है, जिसकी गणना फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म का उपयोग करके {{math|''O''(''n'' log ''n'')}} समय में या [[मल्टीग्रिड]] तकनीकों का उपयोग करके {{math|''O''(''n'')}} समय में की जा सकती है। यह कम दूरी की ताकतों के लिए उच्च त्रुटि की कीमत पर तेज़ समाधान प्रदान कर सकता है। बड़ी संख्या में कणों वाले क्षेत्रों में स्पष्टता बढ़ाने के लिए [[अनुकूली जाल शोधन|अनुकूली मेश शोधन]] का उपयोग किया जा सकता है।
-*P<sup>3</sup>M और PM-ट्री विधियां हाइब्रिड विधियां हैं जो दूर के कणों के लिए कण मेश सन्निकटन का उपयोग करती हैं, किन्तु समीपी कणों के लिए अधिक स्पष्ट विधियों का उपयोग (कुछ ग्रिड अंतराल के अन्दर) करती हैं। P<sup>3</sup>M का अर्थ कण-कण, कण-मेश है। और निकट सीमा पर स्मूथ क्षमता वाले प्रत्यक्ष विधियों का उपयोग करता है। इसके अतिरिक्त PM-ट्री विधियां समीप सीमा पर ट्री कोड का उपयोग करती हैं। कण मेश विधियों की तरह, अनुकूली मेश कम्प्यूटेशनल दक्षता बढ़ा सकते हैं।
+*''P<sup>3</sup>M'' और PM-ट्री विधियां हाइब्रिड विधियां हैं जो दूर के कणों के लिए कण मेश सन्निकटन का उपयोग करती हैं, किन्तु समीपी कणों के लिए अधिक स्पष्ट विधियों का उपयोग (कुछ ग्रिड अंतराल के अन्दर) करती हैं। ''P<sup>3</sup>M'' का अर्थ कण-कण, कण-मेश है। और निकट सीमा पर स्मूथ क्षमता वाले प्रत्यक्ष विधियों का उपयोग करता है। इसके अतिरिक्त PM-ट्री विधियां समीप सीमा पर ट्री कोड का उपयोग करती हैं। कण मेश विधियों की तरह, अनुकूली मेश कम्प्यूटेशनल दक्षता बढ़ा सकते हैं।
 *'[[ माध्य क्षेत्र | माध्य क्षेत्र]] विधियाँ' द्रव्यमान घनत्व का प्रतिनिधित्व करने वाले समय-निर्भर बोल्ट्जमैन समीकरण के साथ कणों की प्रणाली का अनुमान लगाते हैं जो क्षमता का प्रतिनिधित्व करने वाले आत्मनिर्भर पॉइसन समीकरण से जुड़ा होता है। यह उच्च प्रणालियों के लिए उपयुक्त प्रकार का [[स्मूथेड-कण हाइड्रोडायनामिक्स]] सन्निकटन है।
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 उच्च माप पर [[ इलेक्ट्रोस्टाटिक्स |इलेक्ट्रोस्टाटिक्स]] समस्याओं में, जैसे कि [[संरचनात्मक जीव विज्ञान]] में [[प्रोटीन]] और सेलुलर असेंबली का अनुकरण, [[कूलम्ब क्षमता]] का गुरुत्वाकर्षण क्षमता के समान रूप होता है, इसके अतिरिक्त कि प्रभार सकारात्मक या नकारात्मक हो सकते हैं, जिससे प्रतिकारक और साथ ही आकर्षक बल उत्पन्न हो सकते हैं।<ref>Krumscheid 2010</ref> अतः फास्ट कूलम्ब सॉल्वर फास्ट मल्टीपोल विधि सिमुलेटर के इलेक्ट्रोस्टैटिक समकक्ष हैं। इन्हें प्रायः सिम्युलेटेड क्षेत्र पर आवधिक सीमा स्थितियों के साथ उपयोग किया जाता है। और गणनाओं को गति देने के लिए इवाल्ड योग तकनीकों का उपयोग किया जाता है।<ref>Board 1999</ref>
-सांख्यिकी और [[ यंत्र अधिगम |यंत्र अधिगम]] में, कुछ मॉडलों में गुरुत्वाकर्षण क्षमता के समान हानि फलन होते हैं: वस्तुओं के सभी जोड़े पर कर्नेल फलन का योग, जहां कर्नेल फलन पैरामीटर स्थान में वस्तुओं के मध्य की दूरी पर निर्भर करता है।<ref>Ram 2010</ref> और इस फॉर्म में फिट होने वाली उदाहरण समस्याओं में मैनिफोल्ड लर्निंग,  [[कर्नेल घनत्व अनुमान]] और [[कर्नेल मशीन|कर्नेल मशीनों]] में सभी निकटतम-पड़ोसी शामिल हैं। {{math|''O''(''n''<sup>2</sup>)}} समय सम्मिश्र को {{math|''O''(''n'')}} तक कम करने के लिए वैकल्पिक अनुकूलन विकसित किए गए हैं, जैसे कि दोहरे ट्री एल्गोरिदम, जो गुरुत्वाकर्षण {{mvar|n}}-बॉडी समस्या पर भी प्रयुक्त होते हैं।
+सांख्यिकी और [[ यंत्र अधिगम |यंत्र अधिगम]] में, कुछ मॉडलों में गुरुत्वाकर्षण क्षमता के समान हानि फलन होते हैं: वस्तुओं के सभी जोड़े पर कर्नेल फलन का योग, जहां कर्नेल फलन पैरामीटर स्थान में वस्तुओं के मध्य की दूरी पर निर्भर करता है।<ref>Ram 2010</ref> और इस रूप में फिट होने वाली उदाहरण समस्याओं में मैनिफोल्ड लर्निंग, [[कर्नेल घनत्व अनुमान]] और [[कर्नेल मशीन|कर्नेल मशीनों]] में सभी निकटतम-नेबर सम्मिलित हैं। {{math|''O''(''n''<sup>2</sup>)}} समय सम्मिश्र को {{math|''O''(''n'')}} तक कम करने के लिए वैकल्पिक अनुकूलन विकसित किए गए हैं, जैसे कि दोहरे ट्री एल्गोरिदम, जो गुरुत्वाकर्षण {{mvar|n}}-बॉडी समस्या पर भी प्रयुक्त होते हैं।
 अतः कम्प्यूटेशनल तरल गतिकी में तकनीक जिसे वोर्टेक्स विधि कहा जाता है, इस प्रकार से कणों पर विच्छेदित द्रव डोमेन में [[भंवर]] को देखती है।<ref>
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   |publisher=Cambridge Univ. Press
   |isbn=0-521-62186-0
-}}</ref> जिसे फिर उनके केंद्रों पर वेग के साथ निर्देशित किया जाता है। क्योंकि द्रव वेग और वर्तसिटी पॉइसन समीकरण के माध्यम से संबंधित हैं, वेग को गुरुत्वाकर्षण और इलेक्ट्रोस्टैटिक्स के समान विधि से हल किया जा सकता है: सभी भंवर-युक्त कणों पर {{mvar|n}}-बॉडी योग के रूप में सारांश में [[बायोट-सावर्ट नियम]] का उपयोग किया गया है। जिसमें विद्युत धारा का स्थान वर्टिसिटी ले लेती है। किन्तु कण-भरे अशांत मल्टीफ़ेज़ प्रवाह के संदर्भ में, सभी कणों द्वारा उत्पन्न समग्र अशांति क्षेत्र का निर्धारण एक {{mvar|n}}-बॉडी समस्या है। यदि प्रवाह के अन्दर अनुवाद करने वाले कण प्रवाह के कोलमोगोरोव माप से अधिक छोटे हैं, तो उनके रैखिक स्टोक्स अशांति क्षेत्रों को अध्यारोपित  किया जा सकता है, जिससे {{mvar|n}} कणों के स्थान पर अशांति वेग के 3 घटकों के लिए 3 {{mvar|n}} समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है।<ref>{{Cite journal |last1=Torres |first1=C.&nbsp;E. |last2=Parishani |first2=H. |last3=Ayala |first3=O. |last4=Rossi |first4=L.&nbsp;F. |last5=Wang |first5=L.-P. |date=2013-07-15 |title=मजबूर एन-बॉडी समस्या का विश्लेषण और समानांतर कार्यान्वयन|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0021999113001848 |journal=Journal of Computational Physics |language=en |volume=245 |pages=235–258 |doi=10.1016/j.jcp.2013.03.008 |bibcode=2013JCoPh.245..235T |issn=0021-9991}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Ayala |first1=Orlando |last2=Grabowski |first2=Wojciech W. |last3=Wang |first3=Lian-Ping |date=2007-07-01 |title=हाइड्रोडायनामिक रूप से परस्पर क्रिया करने वाले कणों की अशांत टक्करों के अनुकरण के लिए एक संकर दृष्टिकोण|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0021999106005778 |journal=Journal of Computational Physics |language=en |volume=225 |issue=1 |pages=51–73 |doi=10.1016/j.jcp.2006.11.016 |bibcode=2007JCoPh.225...51A |issn=0021-9991}}</ref>
+}}</ref> जिसे फिर उनके केंद्रों पर वेग के साथ निर्देशित किया जाता है। क्योंकि द्रव वेग और वर्तसिटी पॉइसन समीकरण के माध्यम से संबंधित हैं, वेग को गुरुत्वाकर्षण और इलेक्ट्रोस्टैटिक्स के समान विधि से हल किया जा सकता है: सभी भंवर-युक्त कणों पर {{mvar|n}}-बॉडी योग के रूप में सारांश में [[बायोट-सावर्ट नियम]] का उपयोग किया गया है। जिसमें विद्युत धारा का स्थान वर्टिसिटी ले लेती है। किन्तु कण-भरे अशांत मल्टीफ़ेज़ प्रवाह के संदर्भ में, सभी कणों द्वारा उत्पन्न समग्र अशांति क्षेत्र का निर्धारण एक {{mvar|n}}-बॉडी समस्या है। यदि प्रवाह के अन्दर अनुवाद करने वाले कण प्रवाह के कोलमोगोरोव माप से अधिक छोटे हैं, तो उनके रैखिक स्टोक्स अशांति क्षेत्रों को अध्यारोपित किया जा सकता है, जिससे {{mvar|n}} कणों के स्थान पर अशांति वेग के 3 घटकों के लिए 3 {{mvar|n}} समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है।<ref>{{Cite journal |last1=Torres |first1=C.&nbsp;E. |last2=Parishani |first2=H. |last3=Ayala |first3=O. |last4=Rossi |first4=L.&nbsp;F. |last5=Wang |first5=L.-P. |date=2013-07-15 |title=मजबूर एन-बॉडी समस्या का विश्लेषण और समानांतर कार्यान्वयन|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0021999113001848 |journal=Journal of Computational Physics |language=en |volume=245 |pages=235–258 |doi=10.1016/j.jcp.2013.03.008 |bibcode=2013JCoPh.245..235T |issn=0021-9991}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Ayala |first1=Orlando |last2=Grabowski |first2=Wojciech W. |last3=Wang |first3=Lian-Ping |date=2007-07-01 |title=हाइड्रोडायनामिक रूप से परस्पर क्रिया करने वाले कणों की अशांत टक्करों के अनुकरण के लिए एक संकर दृष्टिकोण|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0021999106005778 |journal=Journal of Computational Physics |language=en |volume=225 |issue=1 |pages=51–73 |doi=10.1016/j.jcp.2006.11.016 |bibcode=2007JCoPh.225...51A |issn=0021-9991}}</ref>
 == यह भी देखें ==
 *[[आकाशीय यांत्रिकी]]
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 {{Numerical integrators}}
-{{DEFAULTSORT:N-Body Problem}}[[Category: गुरुत्वाकर्षण]] [[Category: कक्षाओं]] [[Category: शास्त्रीय यांत्रिकी]] [[Category: कम्प्यूटेशनल समस्याएं]] [[Category: कम्प्यूटेशनल भौतिकी]]
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v t e Numerical methods for integration
First-order methods	Euler method Backward Euler Semi-implicit Euler Exponential Euler
Second-order methods	Verlet integration Velocity Verlet Trapezoidal rule Beeman's algorithm Midpoint method Heun's method Newmark-beta method Leapfrog integration
Higher-order methods	Exponential integrator Runge–Kutta methods List of Runge–Kutta methods Linear multistep method General linear methods Backward differentiation formula Yoshida Gauss–Legendre method
Theory	Symplectic integrator

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Latest revision as of 17:23, 19 September 2023

Contents

इतिहास

सामान्य सूत्रीकरण

विशेष स्तिथि

दो-बॉडी की समस्या

त्रि-बॉडी समस्या

चतुर्थ-बॉडी की समस्या

ग्रह समस्या

केंद्रीय विन्यास

$n$ -बॉडी कोरियोग्राफी

विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण

पावर श्रृंखला समाधान

एक सामान्यीकृत सुंडमैन वैश्विक समाधान

की विलक्षणताएँ $n$ -बॉडी समस्या

सिमुलेशन

कुछ पिंड

अनेक बॉडी

प्रबल गुरुत्वाकर्षण

अन्य $n$ -बॉडी की समस्याएँ

यह भी देखें

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बाहरी संबंध

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दो-बॉडी की समस्या

त्रि-बॉडी समस्या

चतुर्थ-बॉडी की समस्या

ग्रह समस्या

केंद्रीय विन्यास

n-बॉडी कोरियोग्राफी

विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण

पावर श्रृंखला समाधान

एक सामान्यीकृत सुंडमैन वैश्विक समाधान

की विलक्षणताएँ n-बॉडी समस्या

सिमुलेशन

कुछ पिंड

अनेक बॉडी

प्रबल गुरुत्वाकर्षण

अन्य n-बॉडी की समस्याएँ

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