बार्टलेट का द्विभाजन प्रमेय: Difference between revisions

Revision as of 11:14, 17 August 2023

बार्टलेट की द्विभाजन प्रमेय एक विद्युत अध्ययन में एक विद्युत प्रमेय है जो अल्बर्ट चार्ल्स बार्टलेट को सौंपा जाता है। यह सिद्धांत दिखाता है कि कोई भी सममित दो-पोर्ट नेटवर्क को एक जाल नेटवर्क में परिवर्तित किया जा सकता है।^[1] यह सिद्धांत अक्सर फ़िल्टर सिद्धांत में प्रकट होता है जहाँ जाल नेटवर्क को कभी-कभी एक फ़िल्टर X-धारा के रूप में जाना जाता है, आम फ़िल्टर सिद्धांत प्रैक्टिस के अनुसार, जिसमें खंडों के नामकरण को उनके आकार की तुलना में अक्षरिक पत्रों के नाम से किया जाता है जिनका वे संदर्भ होते हैं।

जैसा कि मूल रूप से बार्टलेट द्वारा कहा गया था, प्रमेय के लिए नेटवर्क के दो भागों को स्थलीय रूप से सममित होना आवश्यक था। प्रमेय को बाद में विल्हेम कॉयर द्वारा उन सभी नेटवर्कों पर लागू करने के लिए विस्तारित किया गया जो विद्युत रूप से सममित थे। यानी नेटवर्क का भौतिक कार्यान्वयन कोई प्रासंगिकता का नहीं है। यह केवल आवश्यक है कि दोनों हिस्सों में इसकी प्रतिक्रिया सममित हो।^[2]

अनुप्रयोग

लैटिस टोपोलॉजी फ़िल्टर बहुत सामान्य नहीं हैं। इसका कारण यह है कि उन्हें अन्य डिज़ाइनों की तुलना में अधिक घटकों (विशेष रूप से प्रेरक) की आवश्यकता होती है। सीढ़ी टोपोलॉजी अधिक लोकप्रिय है। हालाँकि, उनमें आंतरिक रूप से संतुलित होने की संपत्ति होती है और किसी अन्य टोपोलॉजी का संतुलित संस्करण, जैसे कि टी-सेक्शन, वास्तव में अधिक इंडक्टर्स का उपयोग कर सकता है। एक अनुप्रयोग संतुलित दूरसंचार लाइनों पर ऑल-पास चरण सुधार फ़िल्टर के लिए है। यह प्रमेय आरएफ आवृत्तियों पर क्रिस्टल फिल्टर के डिजाइन में भी दिखाई देता है। यहां सीढ़ी टोपोलॉजी में कुछ अवांछनीय गुण हैं, लेकिन इसकी सादगी के कारण एक सामान्य डिजाइन रणनीति सीढ़ी कार्यान्वयन से शुरू करना है। बार्टलेट के प्रमेय का उपयोग अंतिम कार्यान्वयन की दिशा में एक कदम के रूप में डिज़ाइन को मध्यवर्ती चरण में बदलने के लिए किया जाता है ( जो एक जाल टोपोलॉजी का असंतुलित संस्करण उत्पन्न करने के लिए एक बड़े चरण की ओर करता है।)।^[3]

परिभाषा एवं प्रमाण

परिभाषा

दो-पोर्ट नेटवर्क, N, से शुरू करें, जिसमें दो पोर्ट के बीच एक सममिति सत्र हो। फिर N को उसकी सममिति सत्र के माध्यम से काटकर दो नई उपयुक्त दो-पोर्ट्स, ½N, बनाएं। N के दो पोर्ट्स में दो आदर्श वोल्टेज जेनरेटर को जोड़ें। सममिति से स्पष्ट है कि किसी भी शाखा के माध्यम से जो सममिति सत्र से होती है, उसमें कोई विद्युत वायु नहीं बहेगा। इन परिस्थितियों में N के एक पोर्ट में मापी गई विपरीत आवश्यकता वही विपरीत आवश्यकता होगी जो अगर सममिति सत्र से गुजरने वाली सभी शाखाएँ विवृत परिपथ थीं। इसलिए यह ½N की विवृत परिपथ आवश्यकता की समान आवश्यकता है। हम उस आवश्यकता को $Z_{oc}$ कह सकते हैं।

अब नेटवर्क N को विचार करें, जिसमें दो आदर्श वोल्टेज जेनरेटर पोर्ट्स से जुड़े होते हैं, लेकिन उल्टी पोलरिटी के साथ। जिस तरह पिछले मामले में सममिति सत्र में शाखाओं के माध्यम से प्रवाहित विद्युतों का समयचक्र करण शून्य होना चाहिए, उसी प्रकार के अनुगमन के द्वारा और दुविता के सिद्धांत का अनुपालन करके, सममिति सत्र के बीच नोडों के बीच वोल्टेजों का समयचक्र भी इस मामले में शून्य होना चाहिए। इस प्रकार, इनपुट ½N विवृत परिपथ आवश्यकता के समान होती है। हम उस आवश्यकता को $Z_{sc}$ कह सकते हैं।

अब नेटवर्क एन पर विचार करें जिसमें बंदरगाहों से जुड़े दो समान वोल्टेज जनरेटर हैं लेकिन विपरीत ध्रुवता के साथ। जिस तरह समरूपता के तल पर शाखाओं के माध्यम से धाराओं का सुपरपोजिशन प्रमेय पिछले मामले में शून्य होना चाहिए, सादृश्य द्वारा और द्वैत (विद्युत सर्किट) के सिद्धांत को लागू करना, समरूपता के विमान पर नोड (सर्किट) के बीच वोल्टेज का सुपरपोजिशन भी इसी तरह होना चाहिए इस मामले में शून्य हो. इस प्रकार इनपुट प्रतिबाधा ½N के शॉर्ट सर्किट प्रतिबाधा के समान है। आइए हम उस प्रतिबाधा को कहते हैं .

बार्टलेट के द्विभाजन प्रमेय में कहा गया है कि नेटवर्क एन श्रृंखला शाखाओं वाले एक जाली नेटवर्क के बराबर है $Z_{sc}$ और की शाखाओं को पार करें $Z_{oc}$ .^[4]

प्रमाण

प्रत्येक पोर्ट से जुड़े समान जनरेटर, ई के साथ दिखाए गए जाली नेटवर्क पर विचार करें। समरूपता और सुपरपोजिशन से यह स्पष्ट है कि श्रृंखला शाखाओं में कोई धारा प्रवाहित नहीं हो रही है $Z_{sc}$ . इस प्रकार उन शाखाओं को हटाया जा सकता है और शेष सर्किट पर कोई प्रभाव डाले बिना विवृत सर्किट छोड़ा जा सकता है। यह 2E के वोल्टेज और प्रतिबाधा के साथ एक सर्किट लूप छोड़ता है $2Z_{oc}$ के लूप में करंट देना;

I={\frac {2E}{2Z_{oc}}}

और एक इनपुट प्रतिबाधा;

{\frac {E}{I}}=Z_{oc}

क्योंकि यह मूल दो-पोर्ट के समतुल्य होने के लिए आवश्यक है।

इसी प्रकार, जेनरेटर में से किसी एक को उलटने पर, एक समान तर्क से, प्रतिबाधा वाले एक लूप में परिणाम मिलता है $2Z_{sc}$ और एक इनपुट प्रतिबाधा;

{\frac {E}{I}}=Z_{sc}

याद रखें कि ये जनरेटर कॉन्फ़िगरेशन सटीक तरीके हैं $Z_{oc}$ और $Z_{sc}$ मूल दो-पोर्ट में परिभाषित किया गया था, यह साबित हो गया है कि जाली उन दो मामलों के बराबर है। यह साबित होता है कि यह सभी मामलों के लिए ऐसा है, इस पर विचार करके कि अन्य सभी इनपुट और आउटपुट स्थितियों को पहले से ही सिद्ध दो मामलों के रैखिक सुपरपोजिशन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

उदाहरण

T-सेक्शन हाई-पास फ़िल्टर

ज़ोबेल ब्रिज-टी लो-पास फिल्टर

बार्टलेट परिवर्तन का विपरीत में उपयोग करना संभव है; अर्थात्, एक सममित जाली नेटवर्क को किसी अन्य सममित टोपोलॉजी में बदलना। ऊपर दिखाए गए उदाहरणों को समान रूप से उल्टा भी दिखाया जा सकता है। हालाँकि, उपरोक्त उदाहरणों के विपरीत, परिणाम हमेशा रैखिक निष्क्रिय घटकों के साथ भौतिक रूप से प्राप्त करने योग्य नहीं होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि ऐसी संभावना है कि रिवर्स ट्रांसफॉर्मेशन नकारात्मक मूल्यों वाले घटकों को उत्पन्न करेगा। नकारात्मक मात्राओं को केवल नेटवर्क में मौजूद सक्रिय घटकों के साथ ही भौतिक रूप से महसूस किया जा सकता है।

प्रमेय का विस्तार

Π-सेक्शन लो-पास फ़िल्टर प्रोटोटाइप का उपयोग करके प्रतिबाधा और आवृत्ति स्केलिंग का उदाहरण। पहले परिवर्तन में, प्रोटोटाइप को दो भागों में विभाजित किया जाता है और कट-ऑफ़ आवृत्ति को 1 रेड/सेकेंड से घटाकर 10 कर दिया जाता है।⁵रेड/सेकेंड (15.9 kHz)। दूसरे परिवर्तन में, द्विभाजित नेटवर्क को बाईं ओर 600 Ω पर संचालित करने के लिए और दाईं ओर 50 Ω पर संचालित करने के लिए पुनर्स्केल किया जाता है।

बार्टलेट के प्रमेय का एक विस्तार है जो समान इनपुट और आउटपुट प्रतिबाधा समाप्ति के बीच संचालित एक सममित इलेक्ट्रॉनिक फ़िल्टर नेटवर्क को असमान स्रोत और लोड प्रतिबाधा के लिए संशोधित करने की अनुमति देता है। यह एक प्रोटोटाइप फ़िल्टर की प्रतिबाधा स्केलिंग का एक उदाहरण है। सममित नेटवर्क अपने समरूपता के तल के अनुदिश द्विभाजित होता है। एक आधे को इनपुट प्रतिबाधा पर स्केल किया जाता है और दूसरे को आउटपुट प्रतिबाधा पर स्केल किया जाता है। फ़िल्टर का प्रतिक्रिया आकार वही रहता है। यह एक प्रतिबाधा मिलान नेटवर्क की राशि नहीं है, नेटवर्क बंदरगाहों को देखने वाली प्रतिबाधाओं का समाप्ति प्रतिबाधाओं से कोई संबंध नहीं है। इसका मतलब यह है कि बार्टलेट के प्रमेय द्वारा डिज़ाइन किया गया नेटवर्क, सटीक फ़िल्टर प्रतिक्रिया की भविष्यवाणी करते हुए, फ़िल्टर प्रतिक्रिया के अतिरिक्त एक निरंतर क्षीणन भी जोड़ता है। प्रतिबाधा मिलान नेटवर्क में, एक सामान्य डिज़ाइन मानदंड बिजली हस्तांतरण को अधिकतम करना है। इनपुट को चलाने वाले सैद्धांतिक आदर्श जनरेटर के वोल्टेज के सापेक्ष आउटपुट प्रतिक्रिया समान आकार की होती है। यह वास्तविक इनपुट वोल्टेज के सापेक्ष समान नहीं है जो सैद्धांतिक आदर्श जनरेटर द्वारा इसके लोड प्रतिबाधा के माध्यम से वितरित किया जाता है।^[5]^[6]

इनपुट और आउटपुट प्रतिबाधा में अंतर के कारण निरंतर लाभ दिया जाता है;

A={\frac {V_{2}}{E}}={\frac {2R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}

ध्यान दें कि यह एकता से अधिक होना संभव है, यानी, वोल्टेज लाभ संभव है, लेकिन बिजली हमेशा खो जाती है।

संदर्भ

↑ Bartlett, AC, "An extension of a property of artificial lines", Phil. Mag., vol 4, p902, November 1927.
↑ Belevitch, V, "Summary of the History of Circuit Theory", Proceedings of the IRE, vol 50, pp850, May, 1962.
↑ Vizmuller, P, RF Design Guide: Systems, Circuits, and Equations, pp 82–84, Artech House, 1995 ISBN 0-89006-754-6.
↑ Farago, PS, An Introduction to Linear Network Analysis, pp117-121, The English Universities Press Ltd, 1961.
↑ Guillemin, EA, Synthesis of Passive Networks: Theory and Methods Appropriate to the Realization and Approximation Problems, p207, Krieger Publishing, 1977, ISBN 0-88275-481-5
↑ Williams, AB, Taylor, FJ, Electronic Filter Design Handbook, 2nd ed. McGraw-Hill, New York, 1988.

[1] Bartlett, AC, "An extension of a property of artificial lines", Phil. Mag., vol 4, p902, November 1927.

[2] Belevitch, V, "Summary of the History of Circuit Theory", Proceedings of the IRE, vol 50, pp850, May, 1962.

[3] Vizmuller, P, RF Design Guide: Systems, Circuits, and Equations, pp 82–84, Artech House, 1995 ISBN 0-89006-754-6.

[4] Farago, PS, An Introduction to Linear Network Analysis, pp117-121, The English Universities Press Ltd, 1961.

[5] Guillemin, EA, Synthesis of Passive Networks: Theory and Methods Appropriate to the Realization and Approximation Problems, p207, Krieger Publishing, 1977, ISBN 0-88275-481-5

[6] Williams, AB, Taylor, FJ, Electronic Filter Design Handbook, 2nd ed. McGraw-Hill, New York, 1988.

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-{{About|the theorem in electricity|the theorem in probability|Bartlett's theorem}}
+{{About|विद्युत् में प्रमेय|प्रायिकता में प्रमेय|बार्टलेट का प्रमेय}}
 '''बार्टलेट की द्विभाजन प्रमेय''' एक विद्युत अध्ययन में एक विद्युत प्रमेय है जो अल्बर्ट चार्ल्स बार्टलेट को सौंपा जाता है। यह सिद्धांत दिखाता है कि कोई भी सममित दो-पोर्ट नेटवर्क को एक जाल नेटवर्क में परिवर्तित किया जा सकता है।<ref>Bartlett, AC, "An extension of a property of artificial lines", ''Phil. Mag.'', '''vol 4''', p902, November 1927.</ref> यह सिद्धांत अक्सर फ़िल्टर सिद्धांत में प्रकट होता है जहाँ जाल नेटवर्क को कभी-कभी एक फ़िल्टर X-धारा के रूप में जाना जाता है, आम फ़िल्टर सिद्धांत प्रैक्टिस के अनुसार, जिसमें खंडों के नामकरण को उनके आकार की तुलना में अक्षरिक पत्रों के नाम से किया जाता है जिनका वे संदर्भ होते हैं।
-जैसा कि बार्टलेट द्वारा प्रारंभ में उल्लिखित किया गया था, उसके द्वारा यह आपत्ति की जाती थी कि नेटवर्क के दो भागों को शीर्षोलोजिक रूप से सममित होना चाहिए। बाद में विल्हेल्म कौअर ने इसे विद्युत सममित नेटवर्कों पर लागू करने के लिए विस्तारित किया, अर्थात नेटवर्क के भौतिक अमलन का कोई महत्व नहीं है। केवल यह आवश्यक है कि उसके दोनों भागों में प्रतिक्रिया सममित हो।<ref>[[Vitold Belevitch|Belevitch, V]], "Summary of the History of Circuit Theory", ''Proceedings of the IRE'', '''vol 50''', pp850, May, 1962.</ref>
+जैसा कि मूल रूप से बार्टलेट द्वारा कहा गया था, प्रमेय के लिए नेटवर्क के दो भागों को स्थलीय रूप से सममित होना आवश्यक था। प्रमेय को बाद में विल्हेम कॉयर द्वारा उन सभी नेटवर्कों पर लागू करने के लिए विस्तारित किया गया जो विद्युत रूप से सममित थे। यानी नेटवर्क का भौतिक कार्यान्वयन कोई प्रासंगिकता का नहीं है। यह केवल आवश्यक है कि दोनों हिस्सों में इसकी प्रतिक्रिया सममित हो।<ref>[[Vitold Belevitch|Belevitch, V]], "Summary of the History of Circuit Theory", ''Proceedings of the IRE'', '''vol 50''', pp850, May, 1962.</ref>
 ==अनुप्रयोग==
-जाल टोपोलॉजी वाले फ़िल्टर बहुत ही सामान्य नहीं होते। इसका कारण यह है कि उन्हें अन्य डिज़ाइन्स की तुलना में अधिक संघटक (विशेष रूप से इंडक्टर्स) की आवश्यकता होती है। लैडर टोपोलॉजी काफी लोकप्रिय है। हालांकि, उनमें स्वाभाविक रूप से संतुलित होने की विशेषता होती है और किसी अन्य टोपोलॉजी के संतुलित संस्करण का उपयोग करने से वास्तव में अधिक संघटक का उपयोग हो सकता है, जैसे कि टी-धाराएँ। एक अनुप्रयोग संतुलित दूरसंचार लाइनों पर सभी पारित चरण सुधारण फ़िल्टर के लिए है। सिद्धांत आवश्यकता है रफ़ आवृत्तियों में क्रिस्टल फ़िल्टर के डिज़ाइन में भी। यहाँ लैडर टोपोलॉजी में कुछ अवांछनीय गुण होते हैं, लेकिन एक सामान्य डिज़ाइन स्ट्रेटेजी यह है कि एक लैडर व्यवस्थान से शुरू करें क्योंकि इसकी सरलता के कारण। फिर बार्टलेट का सिद्धांत डिज़ाइन को एक बंधक के रूप में परिवर्तित करने के लिए प्रयुक्त होता है, जो एक जाल टोपोलॉजी का असंतुलित संस्करण उत्पन्न करने के लिए एक बड़े चरण की ओर करता है।<ref>Vizmuller, P, ''RF Design Guide: Systems, Circuits, and Equations'', pp 82–84, Artech House, 1995 {{ISBN|0-89006-754-6}}.</ref>
+लैटिस टोपोलॉजी फ़िल्टर बहुत सामान्य नहीं हैं। इसका कारण यह है कि उन्हें अन्य डिज़ाइनों की तुलना में अधिक घटकों (विशेष रूप से प्रेरक) की आवश्यकता होती है। सीढ़ी टोपोलॉजी अधिक लोकप्रिय है। हालाँकि, उनमें आंतरिक रूप से संतुलित होने की संपत्ति होती है और किसी अन्य टोपोलॉजी का संतुलित संस्करण, जैसे कि टी-सेक्शन, वास्तव में अधिक इंडक्टर्स का उपयोग कर सकता है। एक अनुप्रयोग संतुलित दूरसंचार लाइनों पर ऑल-पास चरण सुधार फ़िल्टर के लिए है। यह प्रमेय आरएफ आवृत्तियों पर क्रिस्टल फिल्टर के डिजाइन में भी दिखाई देता है। यहां सीढ़ी टोपोलॉजी में कुछ अवांछनीय गुण हैं, लेकिन इसकी सादगी के कारण एक सामान्य डिजाइन रणनीति सीढ़ी कार्यान्वयन से शुरू करना है। बार्टलेट के प्रमेय का उपयोग अंतिम कार्यान्वयन की दिशा में एक कदम के रूप में डिज़ाइन को मध्यवर्ती चरण में बदलने के लिए किया जाता है ( जो एक जाल टोपोलॉजी का असंतुलित संस्करण उत्पन्न करने के लिए एक बड़े चरण की ओर करता है।)।<ref>Vizmuller, P, ''RF Design Guide: Systems, Circuits, and Equations'', pp 82–84, Artech House, 1995 {{ISBN|0-89006-754-6}}.</ref>
 ==परिभाषा एवं प्रमाण==
 [[File:Bartlett1.svg|left|250px]]
 ===परिभाषा===
-दो [[पोर्ट (सर्किट सिद्धांत)]] के बीच समरूपता के एक विमान के साथ दो-पोर्ट नेटवर्क, एन से प्रारंभ करें। इसके बाद दो नए समान दो-पोर्ट, ½N बनाने के लिए N को इसके समरूपता के तल से काटें। दो समान वोल्टेज जनरेटर को एन के दो बंदरगाहों से कनेक्ट करें। समरूपता से यह स्पष्ट है कि समरूपता के विमान से गुजरने वाली किसी भी शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होने वाली है। इन परिस्थितियों में एन के एक बंदरगाह में मापी गई प्रतिबाधा मापी गई प्रतिबाधा के समान होगी यदि समरूपता के विमान से गुजरने वाली सभी शाखाएं खुली सर्किट थीं। इसलिए यह ½N के खुले सर्किट प्रतिबाधा के समान प्रतिबाधा है। आइए हम उस प्रतिबाधा को कहते हैं <math>Z_{oc}</math>.
+दो-पोर्ट नेटवर्क, N, से शुरू करें, जिसमें दो पोर्ट के बीच एक सममिति सत्र हो। फिर N को उसकी सममिति सत्र के माध्यम से काटकर दो नई उपयुक्त दो-पोर्ट्स, ½N, बनाएं। N के दो पोर्ट्स में दो आदर्श वोल्टेज जेनरेटर को जोड़ें। सममिति से स्पष्ट है कि किसी भी शाखा के माध्यम से जो सममिति सत्र से होती है, उसमें कोई विद्युत वायु नहीं बहेगा। इन परिस्थितियों में N के एक पोर्ट में मापी गई विपरीत आवश्यकता वही विपरीत आवश्यकता होगी जो अगर सममिति सत्र से गुजरने वाली सभी शाखाएँ विवृत परिपथ थीं। इसलिए यह ½N की विवृत परिपथ आवश्यकता की समान आवश्यकता है। हम उस आवश्यकता को <math>Z_{oc}</math> कह सकते हैं।
-अब नेटवर्क एन पर विचार करें जिसमें बंदरगाहों से जुड़े दो समान वोल्टेज जनरेटर हैं लेकिन विपरीत ध्रुवता के साथ। जिस तरह समरूपता के तल पर शाखाओं के माध्यम से धाराओं का [[सुपरपोजिशन प्रमेय]] पिछले मामले में शून्य होना चाहिए, सादृश्य द्वारा और द्वैत (विद्युत सर्किट) के सिद्धांत को लागू करना, समरूपता के विमान पर [[नोड (सर्किट)]] के बीच वोल्टेज का सुपरपोजिशन भी इसी तरह होना चाहिए इस मामले में शून्य हो. इस प्रकार इनपुट प्रतिबाधा ½N के शॉर्ट सर्किट प्रतिबाधा के समान है। आइए हम उस प्रतिबाधा को कहते हैं <math>Z_{sc}</math>.
+अब नेटवर्क N को विचार करें, जिसमें दो आदर्श वोल्टेज जेनरेटर पोर्ट्स से जुड़े होते हैं, लेकिन उल्टी पोलरिटी के साथ। जिस तरह पिछले मामले में सममिति सत्र में शाखाओं के माध्यम से प्रवाहित विद्युतों का समयचक्र करण शून्य होना चाहिए, उसी प्रकार के अनुगमन के द्वारा और दुविता के सिद्धांत का अनुपालन करके, सममिति सत्र के बीच नोडों के बीच वोल्टेजों का समयचक्र भी इस मामले में शून्य होना चाहिए। इस प्रकार, इनपुट ½N विवृत परिपथ आवश्यकता के समान होती है। हम उस आवश्यकता को <math>Z_{sc}</math> कह सकते हैं।
+अब नेटवर्क एन पर विचार करें जिसमें बंदरगाहों से जुड़े दो समान वोल्टेज जनरेटर हैं लेकिन विपरीत ध्रुवता के साथ। जिस तरह समरूपता के तल पर शाखाओं के माध्यम से धाराओं का [[सुपरपोजिशन प्रमेय]] पिछले मामले में शून्य होना चाहिए, सादृश्य द्वारा और द्वैत (विद्युत सर्किट) के सिद्धांत को लागू करना, समरूपता के विमान पर [[नोड (सर्किट)]] के बीच वोल्टेज का सुपरपोजिशन भी इसी तरह होना चाहिए इस मामले में शून्य हो. इस प्रकार इनपुट प्रतिबाधा ½N के शॉर्ट सर्किट प्रतिबाधा के समान है। आइए हम उस प्रतिबाधा को कहते हैं .
 बार्टलेट के द्विभाजन प्रमेय में कहा गया है कि नेटवर्क एन श्रृंखला शाखाओं वाले एक जाली नेटवर्क के बराबर है <math>Z_{sc}</math> और की शाखाओं को पार करें <math>Z_{oc}</math>.<ref>Farago, PS, ''An Introduction to Linear Network Analysis'', pp117-121, The English Universities Press Ltd, 1961.</ref>
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 ===प्रमाण===
-प्रत्येक पोर्ट से जुड़े समान जनरेटर, ई के साथ दिखाए गए जाली नेटवर्क पर विचार करें। समरूपता और सुपरपोजिशन से यह स्पष्ट है कि श्रृंखला शाखाओं में कोई धारा प्रवाहित नहीं हो रही है <math>Z_{sc}</math>. इस प्रकार उन शाखाओं को हटाया जा सकता है और शेष सर्किट पर कोई प्रभाव डाले बिना खुला सर्किट छोड़ा जा सकता है। यह 2E के वोल्टेज और प्रतिबाधा के साथ एक सर्किट लूप छोड़ता है <math>2Z_{oc}</math> के लूप में करंट देना;
+प्रत्येक पोर्ट से जुड़े समान जनरेटर, ई के साथ दिखाए गए जाली नेटवर्क पर विचार करें। समरूपता और सुपरपोजिशन से यह स्पष्ट है कि श्रृंखला शाखाओं में कोई धारा प्रवाहित नहीं हो रही है <math>Z_{sc}</math>. इस प्रकार उन शाखाओं को हटाया जा सकता है और शेष सर्किट पर कोई प्रभाव डाले बिना विवृत सर्किट छोड़ा जा सकता है। यह 2E के वोल्टेज और प्रतिबाधा के साथ एक सर्किट लूप छोड़ता है <math>2Z_{oc}</math> के लूप में करंट देना;
 :<math>I=\frac{2E}{2Z_{oc}}</math>

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