मिलान Z-रूपांतरण विधि: Difference between revisions
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[[File:Chebyshev mapped z plane.svg|right|thumb|असतत-समय चेबीशेव फ़िल्टर के z-प्लेन ध्रुव और शून्य, जैसा कि T = 1/10 सेकंड के साथ मिलान किए गए Z-ट्रांसफ़ॉर्म विधि का उपयोग करके z-प्लेन में मैप किया गया है। लेबल किए गए आवृत्ति बिंदु और बैंड-एज बिंदीदार रेखाएं भी फ़ंक्शन z=e के माध्यम से मैप की गई हैं<sup>iωT</sup>, यह दिखाने के लिए कि s-प्लेन मैप में iω अक्ष के साथ आवृत्तियाँ z-प्लेन में यूनिट सर्कल पर कैसे आती हैं।]]मिलान वाली Z-ट्रांसफ़ॉर्म विधि, जिसे पोल-ज़ीरो मैपिंग भी कहा जाता है<ref name=":3">{{cite book | [[File:Chebyshev mapped z plane.svg|right|thumb|असतत-समय चेबीशेव फ़िल्टर के z-प्लेन ध्रुव और शून्य, जैसा कि T = 1/10 सेकंड के साथ मिलान किए गए Z-ट्रांसफ़ॉर्म विधि का उपयोग करके z-प्लेन में मैप किया गया है। लेबल किए गए आवृत्ति बिंदु और बैंड-एज बिंदीदार रेखाएं भी फ़ंक्शन z=e के माध्यम से मैप की गई हैं<sup>iωT</sup>, यह दिखाने के लिए कि s-प्लेन मैप में iω अक्ष के साथ आवृत्तियाँ z-प्लेन में यूनिट सर्कल पर कैसे आती हैं।]]मिलान वाली Z-ट्रांसफ़ॉर्म विधि, जिसे पोल-ज़ीरो मैपिंग भी कहा जाता है<ref name=":3">{{cite book | ||
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यह विधि लाप्लास ट्रांसफॉर्म|एस-प्लेन डिज़ाइन के सभी ध्रुवों और शून्यों को जेड-ट्रांसफॉर्म|जेड-प्लेन स्थानों पर मैप करके काम करती है। <math>z=e^{sT}</math>, | यह विधि लाप्लास ट्रांसफॉर्म|एस-प्लेन डिज़ाइन के सभी ध्रुवों और शून्यों को जेड-ट्रांसफॉर्म|जेड-प्लेन स्थानों पर मैप करके काम करती है। <math>z=e^{sT}</math>, नमूना अंतराल के लिए <math>T=1 / f_\mathrm{s}</math>.<ref> | ||
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लाभ <math>k_{\mathrm d}</math> वांछित लाभ को सामान्य करने के लिए समायोजित किया जाना चाहिए, आमतौर पर अंतिम मूल्य प्रमेय | सेटिंग द्वारा डीसी पर एनालॉग फ़िल्टर के लाभ से मेल खाने के लिए सेट किया जाता है <math>s=0</math> और <math>z=1</math>और के लिए समाधान <math>k_{\mathrm d}</math>.<ref name=":1" /><ref name=":2">{{Cite book|title=गतिशील प्रणालियों का फीडबैक नियंत्रण|last=Franklin|first=Gene F.|date=2015|publisher=Pearson|others=Powell, J. David, Emami-Naeini, Abbas|isbn=978-0133496598|edition=Seventh|location=Boston|pages=607–611|oclc=869825370|quote=Because physical systems often have more poles than zeros, it is useful to arbitrarily add zeros at z = -1.}}</ref> | लाभ <math>k_{\mathrm d}</math> वांछित लाभ को सामान्य करने के लिए समायोजित किया जाना चाहिए, आमतौर पर अंतिम मूल्य प्रमेय | सेटिंग द्वारा डीसी पर एनालॉग फ़िल्टर के लाभ से मेल खाने के लिए सेट किया जाता है <math>s=0</math> और <math>z=1</math>और के लिए समाधान <math>k_{\mathrm d}</math>.<ref name=":1" /><ref name=":2">{{Cite book|title=गतिशील प्रणालियों का फीडबैक नियंत्रण|last=Franklin|first=Gene F.|date=2015|publisher=Pearson|others=Powell, J. David, Emami-Naeini, Abbas|isbn=978-0133496598|edition=Seventh|location=Boston|pages=607–611|oclc=869825370|quote=Because physical systems often have more poles than zeros, it is useful to arbitrarily add zeros at z = -1.}}</ref> | ||
चूंकि मैपिंग एस-प्लेन को लपेटती है <math>j\omega</math> जेड-प्लेन के यूनिट सर्कल के चारों ओर बार-बार अक्ष, नाइक्विस्ट आवृत्ति से अधिक किसी भी शून्य (या ध्रुव) को | चूंकि मैपिंग एस-प्लेन को लपेटती है <math>j\omega</math> जेड-प्लेन के यूनिट सर्कल के चारों ओर बार-बार अक्ष, नाइक्विस्ट आवृत्ति से अधिक किसी भी शून्य (या ध्रुव) को अलियास्ड स्थान पर मैप किया जाएगा।<ref name=":0">{{Cite book|url=https://archive.org/details/theoryapplicatio00rabi/page/224|title=डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग का सिद्धांत और अनुप्रयोग|last1=Rabiner|first1=Lawrence R|last2=Gold|first2=Bernard|date=1975|publisher=Prentice-Hall|isbn=0139141014|location=Englewood Cliffs, New Jersey|pages=[https://archive.org/details/theoryapplicatio00rabi/page/224 224–226]|language=en|quote=The expediency of artificially adding zeros at z = —1 to the digital system has been suggested ... but this ad hoc technique is at best only a stopgap measure. ... In general, use of impulse invariant or bilinear transformation is to be preferred over the matched z transformation.|url-access=registration}}</ref> | ||
(सामान्य) मामले में कि एनालॉग ट्रांसफर फ़ंक्शन में शून्य से अधिक ध्रुव होते हैं, शून्य पर <math>s=\infty</math> इन्हें वैकल्पिक रूप से नाइक्विस्ट आवृत्ति पर रखकर नीचे स्थानांतरित किया जा सकता है <math>z=-1</math>, जिससे स्थानांतरण फ़ंक्शन बंद हो जाता है <math>z \rightarrow -1</math> [[ द्विरेखीय परिवर्तन ]] (बीएलटी) के समान ही।<ref name=":3" /><ref name=":1" /><ref name=":2" /><ref name=":0" /> | (सामान्य) मामले में कि एनालॉग ट्रांसफर फ़ंक्शन में शून्य से अधिक ध्रुव होते हैं, शून्य पर <math>s=\infty</math> इन्हें वैकल्पिक रूप से नाइक्विस्ट आवृत्ति पर रखकर नीचे स्थानांतरित किया जा सकता है <math>z=-1</math>, जिससे स्थानांतरण फ़ंक्शन बंद हो जाता है <math>z \rightarrow -1</math> [[ द्विरेखीय परिवर्तन |द्विरेखीय परिवर्तन]] (बीएलटी) के समान ही।<ref name=":3" /><ref name=":1" /><ref name=":2" /><ref name=":0" /> | ||
हालाँकि यह परिवर्तन BIBO स्थिरता और [[न्यूनतम चरण]] को संरक्षित करता है, यह न तो समय को संरक्षित करता है और न ही आवृत्ति-डोमेन प्रतिक्रिया को और इसलिए इसका व्यापक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है।<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=VZ8uabI1pNMC&pg=PA262|title=डिजिटल फिल्टर और सिग्नल प्रोसेसिंग|last=Jackson|first=Leland B.|date=1996|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9780792395591|pages=262|language=en|quote=although perfectly usable filters can be designed in this way, no special time- or frequency-domain properties are preserved by this transformation, and it is not widely used.}}</ref><ref name=":0" /> | हालाँकि यह परिवर्तन BIBO स्थिरता और [[न्यूनतम चरण]] को संरक्षित करता है, यह न तो समय को संरक्षित करता है और न ही आवृत्ति-डोमेन प्रतिक्रिया को और इसलिए इसका व्यापक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है।<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=VZ8uabI1pNMC&pg=PA262|title=डिजिटल फिल्टर और सिग्नल प्रोसेसिंग|last=Jackson|first=Leland B.|date=1996|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9780792395591|pages=262|language=en|quote=although perfectly usable filters can be designed in this way, no special time- or frequency-domain properties are preserved by this transformation, and it is not widely used.}}</ref><ref name=":0" /> अधिक सामान्य तरीकों में बीएलटी और आवेग इनवेरिएंस विधियां शामिल हैं।<ref name=":4" />एमजेडटी बीएलटी की तुलना में कम उच्च आवृत्ति प्रतिक्रिया त्रुटि प्रदान करता है, हालांकि, अतिरिक्त शून्य जोड़कर इसे ठीक करना आसान बनाता है, जिसे एमजेडटीआई (बेहतर के लिए) कहा जाता है।<ref>{{Cite journal|last1=Ojas|first1=Chauhan|last2=David|first2=Gunness|date=2007-09-01|title=लाउडस्पीकर समकरण के लिए मिलान किए गए जेड-ट्रांसफॉर्म फिल्टर ("एमजेडटीआई") की परिमाण प्रतिक्रिया का अनुकूलन|url=http://www.aes.org/e-lib/browse.cfm?elib=14198|journal=Audio Engineering Society|language=en|archive-url=https://web.archive.org/web/20190727193622/http://www.aes.org/e-lib/browse.cfm?elib=14198|archive-date=July 27, 2019}} [http://www.khabdha.org/wp-content/uploads/2008/03/optimizing-the-magnitude-response-of-mzt-filters-mzti-2007.pdf Alt URL]</ref> | ||
डिजिटल नियंत्रण क्षेत्र में मिलान किए गए जेड-ट्रांसफॉर्म विधि का | डिजिटल नियंत्रण क्षेत्र में मिलान किए गए जेड-ट्रांसफॉर्म विधि का विशिष्ट अनुप्रयोग एकरमैन के सूत्र के साथ है, जो नियंत्रणीयता प्रणाली के ध्रुवों को बदलता है; सामान्यतः अस्थिर (या निकटवर्ती) स्थान से स्थिर स्थान की ओर। | ||
[[File:Chebyshev responses.svg|thumb|350px|फ़िल्टर की प्रतिक्रियाएँ (धराशायी), और इसका असतत-समय सन्निकटन (ठोस), 1 हर्ट्ज की नाममात्र कटऑफ आवृत्ति के लिए, नमूना दर 1/टी = 10 हर्ट्ज। प्रतिक्रिया की चक्रीय प्रतियों के हस्तक्षेप के कारण असतत-समय फ़िल्टर स्टॉपबैंड में चेबीशेव इक्विरिपल संपत्ति को पुन: उत्पन्न नहीं करता है।]] | [[File:Chebyshev responses.svg|thumb|350px|फ़िल्टर की प्रतिक्रियाएँ (धराशायी), और इसका असतत-समय सन्निकटन (ठोस), 1 हर्ट्ज की नाममात्र कटऑफ आवृत्ति के लिए, नमूना दर 1/टी = 10 हर्ट्ज। प्रतिक्रिया की चक्रीय प्रतियों के हस्तक्षेप के कारण असतत-समय फ़िल्टर स्टॉपबैंड में चेबीशेव इक्विरिपल संपत्ति को पुन: उत्पन्न नहीं करता है।]] | ||
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Revision as of 17:33, 16 August 2023
असतत-समय चेबीशेव फ़िल्टर के z-प्लेन ध्रुव और शून्य, जैसा कि T = 1/10 सेकंड के साथ मिलान किए गए Z-ट्रांसफ़ॉर्म विधि का उपयोग करके z-प्लेन में मैप किया गया है। लेबल किए गए आवृत्ति बिंदु और बैंड-एज बिंदीदार रेखाएं भी फ़ंक्शन z=e के माध्यम से मैप की गई हैंiωT, यह दिखाने के लिए कि s-प्लेन मैप में iω अक्ष के साथ आवृत्तियाँ z-प्लेन में यूनिट सर्कल पर कैसे आती हैं।
मिलान वाली Z-ट्रांसफ़ॉर्म विधि, जिसे पोल-ज़ीरो मैपिंग भी कहा जाता है[1][2] या ध्रुव-शून्य मिलान विधि,[3] और संक्षिप्त रूप में MPZ या MZT,[4] निरंतर-समय फ़िल्टर डिज़ाइन को असतत-समय फ़िल्टर (डिजिटल फ़िल्टर) डिज़ाइन में परिवर्तित करने की तकनीक है।
यह विधि लाप्लास ट्रांसफॉर्म|एस-प्लेन डिज़ाइन के सभी ध्रुवों और शून्यों को जेड-ट्रांसफॉर्म|जेड-प्लेन स्थानों पर मैप करके काम करती है। , नमूना अंतराल के लिए .[5] तो स्थानांतरण फ़ंक्शन के साथ एनालॉग फ़िल्टर:
डिजिटल ट्रांसफर फ़ंक्शन में बदल दिया गया है
लाभ वांछित लाभ को सामान्य करने के लिए समायोजित किया जाना चाहिए, आमतौर पर अंतिम मूल्य प्रमेय | सेटिंग द्वारा डीसी पर एनालॉग फ़िल्टर के लाभ से मेल खाने के लिए सेट किया जाता है और और के लिए समाधान .[3][6] चूंकि मैपिंग एस-प्लेन को लपेटती है जेड-प्लेन के यूनिट सर्कल के चारों ओर बार-बार अक्ष, नाइक्विस्ट आवृत्ति से अधिक किसी भी शून्य (या ध्रुव) को अलियास्ड स्थान पर मैप किया जाएगा।[7] (सामान्य) मामले में कि एनालॉग ट्रांसफर फ़ंक्शन में शून्य से अधिक ध्रुव होते हैं, शून्य पर इन्हें वैकल्पिक रूप से नाइक्विस्ट आवृत्ति पर रखकर नीचे स्थानांतरित किया जा सकता है , जिससे स्थानांतरण फ़ंक्शन बंद हो जाता है द्विरेखीय परिवर्तन (बीएलटी) के समान ही।[1][3][6][7]
हालाँकि यह परिवर्तन BIBO स्थिरता और न्यूनतम चरण को संरक्षित करता है, यह न तो समय को संरक्षित करता है और न ही आवृत्ति-डोमेन प्रतिक्रिया को और इसलिए इसका व्यापक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है।[8][7] अधिक सामान्य तरीकों में बीएलटी और आवेग इनवेरिएंस विधियां शामिल हैं।[4]एमजेडटी बीएलटी की तुलना में कम उच्च आवृत्ति प्रतिक्रिया त्रुटि प्रदान करता है, हालांकि, अतिरिक्त शून्य जोड़कर इसे ठीक करना आसान बनाता है, जिसे एमजेडटीआई (बेहतर के लिए) कहा जाता है।[9] डिजिटल नियंत्रण क्षेत्र में मिलान किए गए जेड-ट्रांसफॉर्म विधि का विशिष्ट अनुप्रयोग एकरमैन के सूत्र के साथ है, जो नियंत्रणीयता प्रणाली के ध्रुवों को बदलता है; सामान्यतः अस्थिर (या निकटवर्ती) स्थान से स्थिर स्थान की ओर।
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 Won Young Yang (2009). Signals and Systems with MATLAB. Springer. p. 292. ISBN 978-3-540-92953-6.
- ↑ Bong Wie (1998). Space vehicle dynamics and control. AIAA. p. 151. ISBN 978-1-56347-261-9.
- ↑ 3.0 3.1 3.2 Arthur G. O. Mutambara (1999). Design and analysis of control systems. CRC Press. p. 652. ISBN 978-0-8493-1898-6.
- ↑ 4.0 4.1 Al-Alaoui, M. A. (February 2007). "एनालॉग-टू-डिजिटल ट्रांसफ़ॉर्म के लिए नवीन दृष्टिकोण". IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers. 54 (2): 338–350. doi:10.1109/tcsi.2006.885982. ISSN 1549-8328. S2CID 9049852.
- ↑ S. V. Narasimhan and S. Veena (2005). Signal processing: principles and implementation. Alpha Science Int'l Ltd. p. 260. ISBN 978-1-84265-199-5.
- ↑ 6.0 6.1 Franklin, Gene F. (2015). गतिशील प्रणालियों का फीडबैक नियंत्रण. Powell, J. David, Emami-Naeini, Abbas (Seventh ed.). Boston: Pearson. pp. 607–611. ISBN 978-0133496598. OCLC 869825370.
Because physical systems often have more poles than zeros, it is useful to arbitrarily add zeros at z = -1.
- ↑ 7.0 7.1 7.2 Rabiner, Lawrence R; Gold, Bernard (1975). डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग का सिद्धांत और अनुप्रयोग (in English). Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall. pp. 224–226. ISBN 0139141014.
The expediency of artificially adding zeros at z = —1 to the digital system has been suggested ... but this ad hoc technique is at best only a stopgap measure. ... In general, use of impulse invariant or bilinear transformation is to be preferred over the matched z transformation.
- ↑ Jackson, Leland B. (1996). डिजिटल फिल्टर और सिग्नल प्रोसेसिंग (in English). Springer Science & Business Media. p. 262. ISBN 9780792395591.
although perfectly usable filters can be designed in this way, no special time- or frequency-domain properties are preserved by this transformation, and it is not widely used.
- ↑ Ojas, Chauhan; David, Gunness (2007-09-01). "लाउडस्पीकर समकरण के लिए मिलान किए गए जेड-ट्रांसफॉर्म फिल्टर ("एमजेडटीआई") की परिमाण प्रतिक्रिया का अनुकूलन". Audio Engineering Society (in English). Archived from the original on July 27, 2019. Alt URL
