मिलान Z-रूपांतरण विधि

5वें क्रम के चेबीशेव फ़िल्टर के S-समतल पोल और शून्य #टाइप II चेबीशेव फ़िल्टर को भिन्न-समय फ़िल्टर के रूप में अनुमानित किया जाएगा

असतत-समय चेबीशेव फ़िल्टर के z-समतल ध्रुव और शून्य, जैसा कि T = 1/10 सेकंड के साथ मिलान किए गए Z-रूपांतरण विधि का उपयोग करके z-समतल में माप किया गया है। लेबल किए गए आवृत्ति बिंदु और बैंड-एज बिंदीदार रेखाएं भी फलन z=e^iωT के माध्यम से माप की गई हैं, यह दिखाने के लिए कि s-समतल माप में iω अक्ष के साथ आवृत्तियाँ z-समतल में इकाई वृत्त पर कैसे आती हैं।

मिलान Z-रूपांतरण विधि, जिसे पोल-ज़ीरो मैपिंग भी कहा जाता है या ध्रुव-शून्य मिलान विधि, और संक्षिप्त रूप में एमपीजेड या एमजेडटी, निरंतर-समय फ़िल्टर डिज़ाइन को असतत-समय फ़िल्टर (डिजिटल फ़िल्टर) डिज़ाइन में परिवर्तित करने की तकनीक है।

यह विधि लाप्लास अंतराल $z=e^{sT}$ के लिए S-समतल डिज़ाइन के सभी ध्रुवों और शून्यों को Z-समतल समष्टि $T=1/f_{\mathrm {s} }$ पर माप करके कार्य करती है। तो स्थानांतरण फलन के साथ एक एनालॉग फ़िल्टर:

$H(s)=k_{\mathrm {a} }{\frac {\prod _{i=1}^{M}(s-\xi _{i})}{\prod _{i=1}^{N}(s-p_{i})}}$

डिजिटल रूपांतरण फलन में परिवर्तित कर दिया गया है

$H(z)=k_{\mathrm {d} }{\frac {\prod _{i=1}^{M}(1-e^{\xi _{i}T}z^{-1})}{\prod _{i=1}^{N}(1-e^{p_{i}T}z^{-1})}}$

वांछित लाभ $k_{\mathrm {d} }$ को सामान्य करने के लिए लाभ $k_{\mathrm {d} }$ को समायोजित किया जाना चाहिए, सामान्यतः इसे $s=0$ और $z=1$ सेट करके और हल करके डीसी पर एनालॉग फ़िल्टर के लाभ से मेल खाने के लिए सेट किया जाता है।

चूंकि मैपिंग S-समतल के $j\omega$ अक्ष को जेड-समतल के इकाई वृत्त के चारों ओर अधिकांशतः लपेटती है, नाइक्विस्ट आवृत्ति से अधिक किसी भी शून्य (या ध्रुव) को एक अलियास्ड समष्टि पर माप किया जाता है।

सामान्य स्थिति में कि एनालॉग रूपांतरण फलन में शून्य से अधिक ध्रुव होते हैं, $s=\infty$ पर शून्य को वैकल्पिक रूप से $z=-1$ पर रखकर नाइक्विस्ट आवृत्ति में स्थानांतरित किया जा सकता है, जिससे रूपांतरण फलन $z\rightarrow -1$ के रूप में संवृत हो जाता है। द्विरेखीय परिवर्तन (बीएलटी) के समान ही उपयोग किया जाता है।

चूँकि यह परिवर्तन बीआईबीओ स्थिरता और न्यूनतम चरण को संरक्षित करता है, यह न तो समय को संरक्षित करता है और न ही आवृत्ति-डोमेन प्रतिक्रिया को और इसलिए इसका व्यापक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है। अधिक सामान्य विधियों में बीएलटी और आवेग इनवेरिएंस विधियां सम्मिलित हैं। एमजेडटी बीएलटी की तुलना में कम उच्च आवृत्ति प्रतिक्रिया त्रुटि प्रदान करता है, चूँकि, अतिरिक्त शून्य जोड़कर इसे सही करना सरल बनाता है, जिसे एमजेडटीआई उत्तम के लिए कहा जाता है। डिजिटल नियंत्रण क्षेत्र में मिलान किए गए जेड-ट्रांसफॉर्म विधि का विशिष्ट अनुप्रयोग एकरमैन के सूत्र के साथ है, जो सामान्य रूप से नियंत्रणीय प्रणाली के ध्रुवों को एक अस्थिर या निकट समष्टि से एक स्थिर समष्टि में परिवर्तित होता है।

फ़िल्टर की प्रतिक्रियाएँ (धराशायी), और इसका असतत-समय सन्निकटन (ठोस), 1 हर्ट्ज की नाममात्र कटऑफ आवृत्ति के लिए, लाप्लास दर 1/T = 10 हर्ट्ज। प्रतिक्रिया की चक्रीय प्रतियों के हस्तक्षेप के कारण असतत-समय फ़िल्टर स्टॉपबैंड में चेबीशेव इक्विरिपल प्रोपर्टी को पुन: उत्पन्न नहीं करता है।