संरचनात्मक गति विज्ञान: Difference between revisions

Latest revision as of 07:47, 28 September 2023

संरचनात्मक गति विज्ञान एक प्रकार की संरचनात्मक विश्लेषण प्रक्रिया है, जो भौतिकी में गति विज्ञान के उच्च त्वरण वाली क्रियाओं की लोडिंग होने के अधीन संरचना के व्यवहार को कवर करता है। इसके आधार पर गतिशील भार में लोग, हवा, लहरें, यातायात, भूकंप और विस्फोट सम्मिलित करते हैं। इस प्रकार किसी भी संरचना को गतिशील लोडिंग के अधीन किया जा सकता है। इसके आधार पर गति विज्ञान के इस विश्लेषण का उपयोग गतिशील विस्थापन (सदिश), समय इतिहास और प्रारूप विश्लेषण खोजने के लिए किया जा सकता है।

संरचनात्मक विश्लेषण मुख्य रूप से बल के अधीन होने पर भौतिक संरचना के व्यवहार का पता लगाने से संबंधित है। इसके कारण यह क्रिया लोगों के लिए फर्नीचर, हवा, बर्फ आदि जैसी चीजों के वजन या किसी अन्य प्रकार की उत्तेजना जैसे भूकंप, पास के विस्फोट के कारण जमीन का हिलना आदि के कारण संरचनात्मक भार के रूप में हो सकती है। इसे संक्षेप में यदि समझे ते हम यह कह सकते हैं कि ये मूल रूप से भार को गतिशील करने की प्रक्रिया हैं, जिसमें संरचना का स्वयं-भार भी सम्मिलित है क्योंकि किसी समय ये भार नहीं थे। इसके आधार पर गतिशील और स्थैतिक विश्लेषण के बीच अंतर इस आधार पर किया जाता है, कि लागू प्रतिक्रिया में संरचना की प्राकृतिक आवृत्ति की तुलना में पर्याप्त त्वरण है या नहीं हैं। इसके कारण यदि कोई भार पर्याप्त रूप से धीरे-धीरे लगाया जाता है, तो जड़त्व बल जैसे न्यूटन की गति का पहला नियम के आधार पर इसकी अवहेलना की जा सकती है, और विश्लेषण को स्थैतिक विश्लेषण के रूप में सरल बनाया जा सकता है।

स्थिति-विज्ञान ऐसा लोड है जो बहुत धीरे-धीरे परिवर्तित होता है। इस प्रकार गतिशील भार वह भार है जो किसी संरचना की प्राकृतिक आवृत्ति की तुलना में समय के साथ बहुत तेजी से परिवर्तित होता है। यदि यह धीरे-धीरे परिवर्तित होता है, तो संरचना की प्रतिक्रिया स्थैतिक विश्लेषण के साथ निर्धारित की जा सकती है, अपितु यदि यह तेजी से परिवर्तित होता है, जिसके लिए संरचना की प्रतिक्रिया करने की क्षमता के सापेक्ष करता हैं तो प्रतिक्रिया को गति विज्ञान के इस विश्लेषण के साथ निर्धारित किया जाना आवश्यक होता हैं।

सरल संरचनाओं के लिए गति विज्ञान के इस विश्लेषण मैन्युअल रूप से किया जा सकता है, इस प्रकार किसी जटिल संरचनाओं के लिए परिमित तत्व विश्लेषण का उपयोग मोड आकार और आवृत्तियों की गणना के लिए किया जा सकता है।

विस्थापन

संरचना की लोडिंग के आधार पर विस्थापन द्वारा पर तुरंत प्रतिक्रिया करने में असमर्थता के कारण गतिशील भार समान परिमाण के स्थैतिक भार की तुलना में अधिक बड़ा प्रभाव डाल सकता है। इसके लिए गतिशील भार के प्रभाव में वृद्धि गतिशील प्रवर्धन कारक (DAF) या गतिशील भार कारक (DLF) द्वारा दी जाती है:

{\text{DAF}}={\text{DLF}}={\frac {u_{\max }}{u_{\text{static}}}}

जहां u लागू भार के कारण संरचना का विक्षेपण है।

गतिशील प्रवर्धन कारकों बनाम गैर-आयामी वृद्धि समय के ग्राफ़ (t_r/t) मानक लोडिंग फलन के लिए सम्मिलित है, इस प्रकार समय की व्याख्या के लिए, नीचे 'समय इतिहास विश्लेषण' देख सकते हैं। इसलिए किसी दिए गए लोडिंग के लिए डीएएफ को ग्राफ से पढ़ा जा सकता है, इस प्रकार की सरल संरचनाओं और पाए गए गतिशील विक्षेपण के लिए स्थैतिक विक्षेपण की गणना आसानी से की जा सकती है।

समय इतिहास विश्लेषण

इसके समय इतिहास के विश्लेषण के आधार पर लोड होने वाले आवेदन के समय और बाद में समय के साथ संरचना की प्रतिक्रिया देता हैं। इसे खोजने के लिए पूर्ण समय में किसी संरचना की प्रतिक्रिया का इतिहास, आपको संरचना की गति के समीकरण को हल करना होगा।

उदाहरण

स्वतंत्रता की सरल एकल डिग्री (यांत्रिकी) प्रणाली (द्रव्यमान, M, कठोरता के स्प्रिंग (डिवाइस)उपकरण पर, उदाहरण के लिए) में गति के निम्नलिखित समीकरण हैं:

M{\ddot {x}}+kx=F(t)

जहाँ ${\ddot {x}}$ त्वरण है (विस्थापन का दोहरा व्युत्पन्न) और x विस्थापन है।

यदि लोडिंग F(t) हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन जो एक स्थिर लोड का अनुप्रयोग है, तो गति के समीकरण का हल है:

x={\frac {F_{0}}{k}}[1-\cos(\omega t)]

जहाँ $\omega ={\sqrt {\frac {k}{M}}}$ और मौलिक प्राकृतिक आवृत्ति, $f={\frac {\omega }{2\pi }}$ .

स्वतंत्रता प्रणाली की एकल डिग्री का स्थैतिक विक्षेपण है:

x_{\text{static}}={\frac {F_{0}}{k}}

इसलिए हम उपरोक्त सूत्रों को मिलाकर लिख सकते हैं:

x=x_{\text{static}}[1-\cos(\omega t)]

यह भार F(t) के कारण संरचना का (सैद्धांतिक) समय इतिहास देता है, जहां गलत धारणा बनाई जाती है कि कोई डंपिंग अनुपात नहीं है।

यद्यपि यह किसी वास्तविक संरचना पर लागू करने के लिए बहुत सरल है, इस प्रकार हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन कई वास्तविक भारों के अनुप्रयोग के लिए उचित मॉडल है, जैसे कि फर्नीचर के टुकड़े को अचानक जोड़ना, या नए बने कंक्रीट फर्श पर प्रोप को हटाता हैं। चूंकि, वास्तव में भार कभी भी तुरंत लागू नहीं किया जाता है - वे समय की अवधि में बढ़ते हैं, इसके आधार पर यह वास्तव में बहुत कम हो सकता है। इस समय को इसका प्रारंभिक समय कहा जाता है।

जैसे-जैसे किसी संरचना की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या बढ़ती है, समय इतिहास की मैन्युअल रूप से गणना करना बहुत त्रुटिया आ जाती है- इस प्रकार वास्तविक संरचनाओं का विश्लेषण गैर-रेखीय परिमित तत्व विश्लेषण सॉफ़्टवेयर का उपयोग करके किया जाता है।

डंपिंग

कोई भी वास्तविक संरचना ऊर्जा का क्षय करेगी जिसे मुख्यतः घर्षण के माध्यम से हल किया जाता हैं। इसे DAF को संशोधित करके मॉडल किया जा सकता है

{\text{DAF}}=1+e^{-c\pi }

जहाँ $c={\frac {\text{damping coefficient}}{\text{critical damping coefficient}}}$ और निर्माण के प्रकार के आधार पर सामान्यतः 2-10% होता है:

बोल्टेड स्टील ~6%
प्रबलित कंक्रीट ~5%
वेल्डेड स्टील ~2%
ईंट की चिनाई ~10%

जो नमी बढ़ाने के उपाय में सहायक होता हैं।

अवमंदन को बढ़ाने के लिए व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली विधियों में से उच्च अवमंदन गुणांक वाली सामग्री की परत, उदाहरण के लिए रबर के कंपन की संरचना से जोड़ना है।

प्रारूप विश्लेषण

किसी प्रारूप विश्लेषण किसी दिए गए सिस्टम की आवृत्ति सामान्य मोड या प्राकृतिक आवृत्तियों की गणना करता है, अपितु आवश्यक नहीं कि किसी दिए गए इनपुट के लिए इसका पूर्णकालिक इतिहास प्रतिक्रिया हो। किसी प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति केवल संरचना की कठोरता और संरचना में भाग लेने वाले द्रव्यमान (स्वयं-वजन सहित) पर निर्भर होती है। यह लोड फ़ंक्शन पर निर्भर नहीं है.

किसी संरचना के प्रारूप की आवृत्तियों को जानना उपयोगी है, क्योंकि यह आपको यह सुनिश्चित करने की अनुमति देता है कि किसी भी लागू आवधिक लोडिंग की आवृत्ति प्रारूप आवृत्ति के साथ मेल नहीं खाएगी और इसलिए प्रतिध्वनि का कारण बनेगी, जिससे बड़े दोलन होंगे।

इसकी विधि यह है कि:

प्राकृतिक मोड (संरचना द्वारा अपनाई गई आकृति) और प्राकृतिक आवृत्तियों का पता लगाएं
प्रत्येक मोड की प्रतिक्रिया की गणना करें
किसी दिए गए लोडिंग के लिए पूर्ण प्रारूप प्रतिक्रिया खोजने के लिए वैकल्पिक रूप से प्रत्येक मोड की प्रतिक्रिया को सुपरपोज़ करें

ऊर्जा विधि

संरचनात्मक यांत्रिकी में ऊर्जा सिद्धांत द्वारा सिस्टम के विभिन्न मोड आकार की आवृत्ति की गणना को मौलिक रूप से करना संभव है। एकाधिक डिग्री स्वतंत्रता प्रणाली के दिए गए मोड आकार के लिए आप एकल डिग्री स्वतंत्रता प्रणाली के लिए समतुल्य द्रव्यमान, कठोरता और लागू बल पा सकते हैं। सरल संरचनाओं के लिए मूल मोड आकार निरीक्षण द्वारा पाया जा सकता है, अपितु यह रूढ़िवादी विधि नहीं है। इसके आधार पर रेले का सिद्धांत कहता है:

ऊर्जा विधि द्वारा गणना की गई कंपन के मोड की आवृत्ति ω_n सदैव मौलिक आवृत्ति से अधिक - या उसके बराबर होती है।

इस प्रकार के कल्पित मोड से जुड़े आकार के लिए ${\bar {u}}(x)$ , द्रव्यमान M के साथ संरचनात्मक प्रणाली का; झुकने की कठोरता, Ei (यंग का मापांक, E, क्षेत्र के दूसरे क्षण से गुणा, I); और लागू बल, F(x):

{\text{Equivalent mass, }}M_{\text{eq}}=\int M{\bar {u}}^{2}\,du

{\text{Equivalent stiffness, }}k_{\text{eq}}=\int EI\left({\frac {d^{2}{\bar {u}}}{dx^{2}}}\right)^{2}\,dx

{\text{Equivalent force, }}F_{\text{eq}}=\int F{\bar {u}}\,dx

फिर, ऊपर दर्शाये गए समीकरण के अनुसार:

\omega ={\sqrt {\frac {k_{\text{eq}}}{M_{\text{eq}}}}}

प्रारूप प्रतिक्रिया

किसी दिए गए लोड F(x,t) के लिए पूर्ण प्रारूप प्रतिक्रिया $v(x,t)=\sum u_{n}(x,t)$ है, इसके सारांश में तीन सामान्य विधियों का उपयोग किया जा सकता है:

प्रत्येक मोड का पूर्ण समय इतिहास सुपरपोज़ करें (समय, अपितु बिल्कुल सही मान देता हैं)।
प्रत्येक मोड के अधिकतम आयामों को सुपरपोज़ करें (जो त्वरित रहती हैं)।
वर्गों के योग का वर्गमूल आरोपित करें (अच्छी तरह से अलग की गई आवृत्तियों के लिए अच्छा अनुमान, अपितु निकट दूरी वाली आवृत्तियों के लिए असुरक्षित है)।

व्यक्तिगत प्रारूप प्रतिक्रियाओं को ऊर्जा विधि द्वारा गणना करके मैन्युअल रूप से सुपरपोज़ करना सरल होता हैं:

यह मानते हुए कि उत्थान का समय t_r ज्ञात है (t = 2 $π$ /ω), मानक ग्राफ़ से डीएएफ को पढ़ना संभव है। इसके आधार पर स्थैतिक विस्थापन $u_{\text{static}}={\frac {F_{1,{\text{eq}}}}{k_{1,{\text{eq}}}}}$ की गणना की जा सकती है, इस प्रकार चुने गए मोड और लागू बल के लिए गतिशील विस्थापन तब पाया जा सकता है:

u_{\max }=u_{\text{static}}{\text{DAF}}

प्रारूप से जुड़ा कारक

वास्तविक प्रणालियों के लिए अधिकांशतः फोर्सिंग फ़ंक्शन (अंतर समीकरण) में भाग लेने वाला द्रव्यमान होता है, जैसे कि भूकंप में जमीन का द्रव्यमान और जड़त्व प्रभाव जो संरचना का द्रव्यमान M_eq के मुख्य भाग के रूप में उपयोग किया जाने वाला द्रव्यमान होता है), प्रारूप से जुड़े कारक Γ में दो द्रव्यमानों की तुलना होती है। इस प्रकार से स्वतंत्रता प्रणाली की एकल डिग्री के लिए Γ = 1 के समान होता हैं।

\Gamma ={\frac {\sum M_{n}{\bar {u}}_{n}}{\sum M_{n}{\bar {u}}_{n}^{2}}}

बाहरी संबंध

Structural Dynamics and Vibration Laboratory of McGill University
Frequency response function from modal parameters
Structural Dynamics Tutorials & Matlab scripts
AIAA Exploring Structural Dynamics (http://www.exploringstructuraldynamics.org/ ) – Structural Dynamics in Aerospace Engineering: Interactive Demos, Videos & Interviews with Practicing Engineers

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Behavior of a structure subjected to dynamic (actions having high acceleration) loading}}
-[[संरचना]]त्मक गतिशीलता प्रकार का [[संरचनात्मक विश्लेषण]] है जो [[गतिशीलता (भौतिकी)]] (उच्च त्वरण वाली क्रियाएं) लोडिंग के अधीन संरचना के व्यवहार को कवर करता है। गतिशील भार में लोग, हवा, लहरें, यातायात, [[भूकंप]] और विस्फोट शामिल हैं। किसी भी संरचना को गतिशील लोडिंग के अधीन किया जा सकता है। गतिशील विश्लेषण का उपयोग गतिशील [[विस्थापन (वेक्टर)]], समय इतिहास और [[मोडल विश्लेषण]] खोजने के लिए किया जा सकता है।
+'''संरचनात्मक गति विज्ञान''' एक प्रकार की [[संरचनात्मक विश्लेषण]] प्रक्रिया है, जो भौतिकी में [[गतिशीलता|गति विज्ञान]] के उच्च त्वरण वाली क्रियाओं की लोडिंग होने के अधीन संरचना के व्यवहार को कवर करता है। इसके आधार पर गतिशील भार में लोग, हवा, लहरें, यातायात, [[भूकंप]] और विस्फोट सम्मिलित करते हैं। इस प्रकार किसी भी संरचना को गतिशील लोडिंग के अधीन किया जा सकता है। इसके आधार पर गति विज्ञान के इस विश्लेषण का उपयोग गतिशील [[विस्थापन (वेक्टर)|विस्थापन (सदिश)]], समय इतिहास और [[मोडल विश्लेषण|प्रारूप विश्लेषण]] खोजने के लिए किया जा सकता है।
-संरचनात्मक विश्लेषण मुख्य रूप से बल के अधीन होने पर भौतिक संरचना के व्यवहार का पता लगाने से संबंधित है। यह क्रिया लोगों, फर्नीचर, हवा, बर्फ आदि जैसी चीजों के वजन या किसी अन्य प्रकार की उत्तेजना जैसे भूकंप, पास के विस्फोट के कारण जमीन का हिलना आदि के कारण [[संरचनात्मक भार]] के रूप में हो सकती है। संक्षेप में ये सभी भार गतिशील हैं, जिसमें संरचना का स्वयं-भार भी शामिल है क्योंकि किसी समय ये भार नहीं थे। गतिशील और स्थैतिक विश्लेषण के बीच अंतर इस आधार पर किया जाता है कि लागू कार्रवाई में संरचना की प्राकृतिक आवृत्ति की तुलना में पर्याप्त त्वरण है या नहीं। यदि कोई भार पर्याप्त रूप से धीरे-धीरे लगाया जाता है, तो जड़त्व बलों (न्यूटन की गति का पहला नियम) को नजरअंदाज किया जा सकता है और विश्लेषण को स्थैतिक विश्लेषण के रूप में सरल बनाया जा सकता है।
+संरचनात्मक विश्लेषण मुख्य रूप से बल के अधीन होने पर भौतिक संरचना के व्यवहार का पता लगाने से संबंधित है। इसके कारण यह क्रिया लोगों के लिए फर्नीचर, हवा, बर्फ आदि जैसी चीजों के वजन या किसी अन्य प्रकार की उत्तेजना जैसे भूकंप, पास के विस्फोट के कारण जमीन का हिलना आदि के कारण [[संरचनात्मक भार]] के रूप में हो सकती है। इसे संक्षेप में यदि समझे ते हम यह कह सकते हैं कि ये मूल रूप से भार को गतिशील करने की प्रक्रिया हैं, जिसमें संरचना का स्वयं-भार भी सम्मिलित है क्योंकि किसी समय ये भार नहीं थे। इसके आधार पर गतिशील और स्थैतिक विश्लेषण के बीच अंतर इस आधार पर किया जाता है, कि लागू प्रतिक्रिया में संरचना की प्राकृतिक आवृत्ति की तुलना में पर्याप्त त्वरण है या नहीं हैं। इसके कारण यदि कोई भार पर्याप्त रूप से धीरे-धीरे लगाया जाता है, तो जड़त्व बल जैसे न्यूटन की गति का पहला नियम के आधार पर इसकी अवहेलना की जा सकती है, और विश्लेषण को स्थैतिक विश्लेषण के रूप में सरल बनाया जा सकता है।
-[[ स्थिति-विज्ञान | स्थिति-विज्ञान]] लोड वह है जो बहुत धीरे-धीरे बदलता है। गतिशील भार वह है जो संरचना की प्राकृतिक आवृत्ति की तुलना में समय के साथ काफी तेजी से बदलता है। यदि यह धीरे-धीरे बदलता है, तो संरचना की प्रतिक्रिया स्थैतिक विश्लेषण के साथ निर्धारित की जा सकती है, लेकिन यदि यह तेजी से बदलती है (संरचना की प्रतिक्रिया करने की क्षमता के सापेक्ष), तो प्रतिक्रिया को गतिशील विश्लेषण के साथ निर्धारित किया जाना चाहिए।
+[[ स्थिति-विज्ञान |स्थिति-विज्ञान]] ऐसा लोड है जो बहुत धीरे-धीरे परिवर्तित होता है। इस प्रकार गतिशील भार वह भार है जो किसी संरचना की प्राकृतिक आवृत्ति की तुलना में समय के साथ बहुत तेजी से परिवर्तित होता है। यदि यह धीरे-धीरे परिवर्तित होता है, तो संरचना की प्रतिक्रिया स्थैतिक विश्लेषण के साथ निर्धारित की जा सकती है, अपितु यदि यह तेजी से परिवर्तित होता है, जिसके लिए संरचना की प्रतिक्रिया करने की क्षमता के सापेक्ष करता हैं तो प्रतिक्रिया को गति विज्ञान के इस विश्लेषण के साथ निर्धारित किया जाना आवश्यक होता हैं।
-सरल संरचनाओं के लिए गतिशील विश्लेषण मैन्युअल रूप से किया जा सकता है, लेकिन जटिल संरचनाओं के लिए परिमित तत्व विश्लेषण का उपयोग मोड आकार और आवृत्तियों की गणना के लिए किया जा सकता है।
+सरल संरचनाओं के लिए गति विज्ञान के इस विश्लेषण मैन्युअल रूप से किया जा सकता है, इस प्रकार किसी जटिल संरचनाओं के लिए परिमित तत्व विश्लेषण का उपयोग मोड आकार और आवृत्तियों की गणना के लिए किया जा सकता है।
 ==विस्थापन==
-संरचना की लोडिंग (विक्षेपण द्वारा) पर तुरंत प्रतिक्रिया करने में असमर्थता के कारण गतिशील भार समान परिमाण के स्थैतिक भार की तुलना में काफी बड़ा प्रभाव डाल सकता है। गतिशील भार के प्रभाव में वृद्धि [[गतिशील प्रवर्धन कारक]] (डीएएफ) या गतिशील भार कारक (डीएलएफ) द्वारा दी जाती है:
+संरचना की लोडिंग के आधार पर '''विस्थापन''' द्वारा पर तुरंत प्रतिक्रिया करने में असमर्थता के कारण गतिशील भार समान परिमाण के स्थैतिक भार की तुलना में अधिक बड़ा प्रभाव डाल सकता है। इसके लिए गतिशील भार के प्रभाव में वृद्धि [[गतिशील प्रवर्धन कारक]] (DAF) या गतिशील भार कारक (DLF) द्वारा दी जाती है:
 :<math> \text{DAF} = \text{DLF} = \frac{u_{\max}}{u_\text{static}}</math>
-जहां यू लागू भार के कारण संरचना का विक्षेपण है।
+जहां u लागू भार के कारण संरचना का विक्षेपण है।
-गतिशील प्रवर्धन कारकों बनाम गैर-आयामी [[वृद्धि समय]] के ग्राफ़ (टी<sub>''r''</sub>/टी) मानक लोडिंग फ़ंक्शंस के लिए मौजूद है (उदय समय की व्याख्या के लिए, नीचे 'समय इतिहास विश्लेषण' देखें)। इसलिए किसी दिए गए लोडिंग के लिए डीएएफ को ग्राफ से पढ़ा जा सकता है, सरल संरचनाओं और पाए गए गतिशील विक्षेपण के लिए स्थैतिक विक्षेपण की गणना आसानी से की जा सकती है।
+गतिशील प्रवर्धन कारकों बनाम गैर-आयामी [[वृद्धि समय]] के ग्राफ़ (t<sub>''r''</sub>/t) मानक लोडिंग फलन के लिए सम्मिलित है, इस प्रकार समय की व्याख्या के लिए, नीचे 'समय इतिहास विश्लेषण' देख सकते हैं। इसलिए किसी दिए गए लोडिंग के लिए डीएएफ को ग्राफ से पढ़ा जा सकता है, इस प्रकार की सरल संरचनाओं और पाए गए गतिशील विक्षेपण के लिए स्थैतिक विक्षेपण की गणना आसानी से की जा सकती है।
 ==समय इतिहास विश्लेषण==
-ए {{Not a typo|full time}}इतिहास लोड के आवेदन के दौरान और बाद में समय के साथ संरचना की प्रतिक्रिया देगा। खोजने के लिए {{Not a typo|full time}} किसी संरचना की प्रतिक्रिया का इतिहास, आपको संरचना की गति के समीकरण को हल करना होगा।
+इसके समय इतिहास के विश्लेषण के आधार पर लोड होने वाले आवेदन के समय और बाद में समय के साथ संरचना की प्रतिक्रिया देता हैं। इसे खोजने के लिए {{Not a typo|पूर्ण समय}} में किसी संरचना की प्रतिक्रिया का इतिहास, आपको संरचना की गति के समीकरण को हल करना होगा।
 ===उदाहरण===
-[[Image:Mass spring.svg|200px|right|स्वतंत्रता प्रणाली की एकल डिग्री: सरल द्रव्यमान स्प्रिंग मॉडल]]स्वतंत्रता की सरल एकल डिग्री (यांत्रिकी) [[प्रणाली]] (एक [[द्रव्यमान]], एम, [[कठोरता]] के [[स्प्रिंग (डिवाइस)]]उपकरण) पर, उदाहरण के लिए) में गति के निम्नलिखित समीकरण हैं:
+[[Image:Mass spring.svg|200px|right|स्वतंत्रता प्रणाली की एकल डिग्री: सरल द्रव्यमान स्प्रिंग मॉडल]]स्वतंत्रता की सरल एकल डिग्री (यांत्रिकी) [[प्रणाली]] ([[द्रव्यमान]], M, [[कठोरता]] के [[स्प्रिंग (डिवाइस)]]उपकरण पर, उदाहरण के लिए) में गति के निम्नलिखित समीकरण हैं:
 :<math>M \ddot{x} + kx = F(t)</math>
 :
-कहाँ <math>\ddot{x}</math> त्वरण है (विस्थापन का दोहरा व्युत्पन्न) और x विस्थापन है।
+जहाँ <math>\ddot{x}</math> त्वरण है (विस्थापन का दोहरा व्युत्पन्न) और x विस्थापन है।
-यदि लोडिंग एफ(टी) [[हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन]] (एक स्थिर लोड का अचानक अनुप्रयोग) है, तो गति के समीकरण का समाधान है:
+यदि लोडिंग F(t) [[हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन]] जो एक स्थिर लोड का अनुप्रयोग है, तो गति के समीकरण का हल है:
 :<math>x = \frac{F_0} k [1 - \cos(\omega t)]</math>
-कहाँ <math>\omega = \sqrt{\frac{k}{M}}</math> और मौलिक प्राकृतिक आवृत्ति, <math>f = \frac {\omega}{2\pi}</math>.
+जहाँ <math>\omega = \sqrt{\frac{k}{M}}</math> और मौलिक प्राकृतिक आवृत्ति, <math>f = \frac {\omega}{2\pi}</math>.
 स्वतंत्रता प्रणाली की एकल डिग्री का स्थैतिक विक्षेपण है:
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 यह भार F(t) के कारण संरचना का (सैद्धांतिक) समय इतिहास देता है, जहां गलत धारणा बनाई जाती है कि कोई डंपिंग अनुपात नहीं है।
-यद्यपि यह किसी वास्तविक संरचना पर लागू करने के लिए बहुत सरल है, हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन कई वास्तविक भारों के अनुप्रयोग के लिए उचित मॉडल है, जैसे कि फर्नीचर के टुकड़े को अचानक जोड़ना, या नए बने कंक्रीट फर्श पर प्रोप को हटाना। हालाँकि, वास्तव में भार कभी भी तुरंत लागू नहीं किया जाता है - वे समय की अवधि में बढ़ते हैं (यह वास्तव में बहुत कम हो सकता है)। इस समय को उदय काल कहा जाता है।
+यद्यपि यह किसी वास्तविक संरचना पर लागू करने के लिए बहुत सरल है, इस प्रकार हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन कई वास्तविक भारों के अनुप्रयोग के लिए उचित मॉडल है, जैसे कि फर्नीचर के टुकड़े को अचानक जोड़ना, या नए बने कंक्रीट फर्श पर प्रोप को हटाता हैं। चूंकि, वास्तव में भार कभी भी तुरंत लागू नहीं किया जाता है - वे समय की अवधि में बढ़ते हैं, इसके आधार पर यह वास्तव में बहुत कम हो सकता है। इस समय को इसका प्रारंभिक समय कहा जाता है।
-जैसे-जैसे किसी संरचना की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या बढ़ती है, समय इतिहास की मैन्युअल रूप से गणना करना बहुत मुश्किल हो जाता है - वास्तविक संरचनाओं का विश्लेषण गैर-रेखीय परिमित तत्व विश्लेषण सॉफ़्टवेयर का उपयोग करके किया जाता है।
+जैसे-जैसे किसी संरचना की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या बढ़ती है, समय इतिहास की मैन्युअल रूप से गणना करना बहुत त्रुटिया आ जाती है- इस प्रकार वास्तविक संरचनाओं का विश्लेषण गैर-रेखीय परिमित तत्व विश्लेषण सॉफ़्टवेयर का उपयोग करके किया जाता है।
 ==डंपिंग==
-कोई भी वास्तविक संरचना ऊर्जा का क्षय करेगी (मुख्यतः घर्षण के माध्यम से)। इसे DAF को संशोधित करके मॉडल किया जा सकता है
+कोई भी वास्तविक संरचना ऊर्जा का क्षय करेगी जिसे मुख्यतः घर्षण के माध्यम से हल किया जाता हैं। इसे DAF को संशोधित करके मॉडल किया जा सकता है
 :<math> \text{DAF} = 1 + e^{-c\pi}</math>
-कहाँ <math>c=\frac{\text {damping coefficient}}{\text{critical damping coefficient}}</math> और निर्माण के प्रकार के आधार पर आम तौर पर 2-10% होता है:
+जहाँ <math>c=\frac{\text {damping coefficient}}{\text{critical damping coefficient}}</math> और निर्माण के प्रकार के आधार पर सामान्यतः 2-10% होता है:
 * बोल्टेड स्टील ~6%
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 * ईंट की चिनाई ~10%
-नमी बढ़ाने के उपाय
+जो नमी बढ़ाने के उपाय में सहायक होता हैं।
-अवमंदन को बढ़ाने के लिए व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली विधियों में से उच्च अवमंदन गुणांक वाली सामग्री की परत, उदाहरण के लिए रबर, को कंपन संरचना से जोड़ना है।
+अवमंदन को बढ़ाने के लिए व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली विधियों में से उच्च अवमंदन गुणांक वाली सामग्री की परत, उदाहरण के लिए रबर के कंपन की संरचना से जोड़ना है।
-==मॉडल विश्लेषण==
+==प्रारूप विश्लेषण==
-एक मोडल विश्लेषण किसी दिए गए सिस्टम की आवृत्ति [[सामान्य मोड]] या प्राकृतिक आवृत्तियों की गणना करता है, लेकिन जरूरी नहीं कि किसी दिए गए इनपुट के लिए इसका पूर्णकालिक इतिहास प्रतिक्रिया हो। किसी प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति केवल संरचना की कठोरता और संरचना में भाग लेने वाले द्रव्यमान (स्वयं-वजन सहित) पर निर्भर होती है। यह लोड फ़ंक्शन पर निर्भर नहीं है.
+किसी प्रारूप विश्लेषण किसी दिए गए सिस्टम की आवृत्ति [[सामान्य मोड]] या प्राकृतिक आवृत्तियों की गणना करता है, अपितु आवश्यक नहीं कि किसी दिए गए इनपुट के लिए इसका पूर्णकालिक इतिहास प्रतिक्रिया हो। किसी प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति केवल संरचना की कठोरता और संरचना में भाग लेने वाले द्रव्यमान (स्वयं-वजन सहित) पर निर्भर होती है। यह लोड फ़ंक्शन पर निर्भर नहीं है.
-किसी संरचना की मोडल आवृत्तियों को जानना उपयोगी है क्योंकि यह आपको यह सुनिश्चित करने की अनुमति देता है कि किसी भी लागू आवधिक लोडिंग की आवृत्ति मोडल आवृत्ति के साथ मेल नहीं खाएगी और इसलिए प्रतिध्वनि का कारण बनेगी, जिससे बड़े दोलन होंगे।
+किसी संरचना के प्रारूप की आवृत्तियों को जानना उपयोगी है, क्योंकि यह आपको यह सुनिश्चित करने की अनुमति देता है कि किसी भी लागू आवधिक लोडिंग की आवृत्ति प्रारूप आवृत्ति के साथ मेल नहीं खाएगी और इसलिए प्रतिध्वनि का कारण बनेगी, जिससे बड़े दोलन होंगे।
-विधि यह है:
+इसकी विधि यह है कि:
 # प्राकृतिक मोड (संरचना द्वारा अपनाई गई आकृति) और प्राकृतिक आवृत्तियों का पता लगाएं
 # प्रत्येक मोड की प्रतिक्रिया की गणना करें
-# किसी दिए गए लोडिंग के लिए पूर्ण मोडल प्रतिक्रिया खोजने के लिए वैकल्पिक रूप से प्रत्येक मोड की प्रतिक्रिया को सुपरपोज़ करें
+# किसी दिए गए लोडिंग के लिए पूर्ण प्रारूप प्रतिक्रिया खोजने के लिए वैकल्पिक रूप से प्रत्येक मोड की प्रतिक्रिया को सुपरपोज़ करें
 ===ऊर्जा विधि===
-[[संरचनात्मक यांत्रिकी में ऊर्जा सिद्धांत]]ों द्वारा सिस्टम के विभिन्न मोड आकार की आवृत्ति की गणना मैन्युअल रूप से करना संभव है। एकाधिक डिग्री स्वतंत्रता प्रणाली के दिए गए मोड आकार के लिए आप एकल डिग्री स्वतंत्रता प्रणाली के लिए समतुल्य द्रव्यमान, कठोरता और लागू बल पा सकते हैं। सरल संरचनाओं के लिए मूल मोड आकार निरीक्षण द्वारा पाया जा सकता है, लेकिन यह रूढ़िवादी विधि नहीं है। रेले का सिद्धांत कहता है:
+[[संरचनात्मक यांत्रिकी में ऊर्जा सिद्धांत]] द्वारा सिस्टम के विभिन्न मोड आकार की आवृत्ति की गणना को मौलिक रूप से करना संभव है। एकाधिक डिग्री स्वतंत्रता प्रणाली के दिए गए मोड आकार के लिए आप एकल डिग्री स्वतंत्रता प्रणाली के लिए समतुल्य द्रव्यमान, कठोरता और लागू बल पा सकते हैं। सरल संरचनाओं के लिए मूल मोड आकार निरीक्षण द्वारा पाया जा सकता है, अपितु यह रूढ़िवादी विधि नहीं है। इसके आधार पर रेले का सिद्धांत कहता है:
-  ऊर्जा विधि द्वारा गणना की गई कंपन की मनमानी मोड की आवृत्ति ω हमेशा मौलिक आवृत्ति से अधिक - या उसके बराबर होती है।<sub>''n''</sub>.
+  ऊर्जा विधि द्वारा गणना की गई कंपन के मोड की आवृत्ति ω<sub>''n''</sub> सदैव मौलिक आवृत्ति से अधिक - या उसके बराबर होती है।
-एक कल्पित मोड आकार के लिए <math>\bar{u}(x)</math>, द्रव्यमान एम के साथ संरचनात्मक प्रणाली का; झुकने की कठोरता, ईआई (यंग का मापांक, ई, क्षेत्र के दूसरे क्षण से गुणा, आई); और लागू बल, F(x):
+इस प्रकार के कल्पित मोड से जुड़े आकार के लिए <math>\bar{u}(x)</math>, द्रव्यमान M के साथ संरचनात्मक प्रणाली का; झुकने की कठोरता, Ei (यंग का मापांक, E, क्षेत्र के दूसरे क्षण से गुणा, I); और लागू बल, F(x):
 :<math>\text{Equivalent mass, } M_\text{eq} = \int M \bar{u}^2 \, du </math>
 :<math>\text{Equivalent stiffness, } k_\text{eq} = \int EI \left(\frac{d^2\bar{u}}{dx^2} \right)^2 \, dx</math>
 :<math>\text{Equivalent force, } F_\text{eq} = \int F\bar{u} \, dx</math>
-फिर, ऊपर बताए अनुसार:
+फिर, ऊपर दर्शाये गए समीकरण के अनुसार:
 :<math>\omega = \sqrt{\frac{k_\text{eq}}{M_\text{eq}}}</math>
-===मोडल प्रतिक्रिया===
+===प्रारूप प्रतिक्रिया===
-किसी दिए गए लोड F(x,t) के लिए पूर्ण मोडल प्रतिक्रिया है <math>v(x,t)=\sum u_n(x,t) </math>. सारांश तीन सामान्य तरीकों में से द्वारा किया जा सकता है:
+किसी दिए गए लोड F(x,t) के लिए पूर्ण प्रारूप प्रतिक्रिया <math>v(x,t)=\sum u_n(x,t) </math> है, इसके सारांश में तीन सामान्य विधियों का उपयोग किया जा सकता है:
-* प्रत्येक मोड का पूर्ण समय इतिहास सुपरपोज़ करें (समय लेने वाला, लेकिन सटीक)
+* प्रत्येक मोड का पूर्ण समय इतिहास सुपरपोज़ करें (समय, अपितु बिल्कुल सही मान देता हैं)।
-* प्रत्येक मोड के अधिकतम आयामों को सुपरपोज़ करें (त्वरित लेकिन रूढ़िवादी)
+* प्रत्येक मोड के अधिकतम आयामों को सुपरपोज़ करें (जो त्वरित रहती हैं)।
-* वर्गों के योग का वर्गमूल आरोपित करें (अच्छी तरह से अलग की गई आवृत्तियों के लिए अच्छा अनुमान, लेकिन निकट दूरी वाली आवृत्तियों के लिए असुरक्षित)
+* वर्गों के योग का वर्गमूल आरोपित करें (अच्छी तरह से अलग की गई आवृत्तियों के लिए अच्छा अनुमान, अपितु निकट दूरी वाली आवृत्तियों के लिए असुरक्षित है)।
-व्यक्तिगत मोडल प्रतिक्रियाओं को ऊर्जा विधि द्वारा गणना करके मैन्युअल रूप से सुपरपोज़ करना:
+व्यक्तिगत प्रारूप प्रतिक्रियाओं को ऊर्जा विधि द्वारा गणना करके मैन्युअल रूप से सुपरपोज़ करना सरल होता हैं:
-यह मानते हुए कि उत्थान का समय टी<sub>r</sub> ज्ञात है (टी = 2{{pi}}/ω), मानक ग्राफ़ से डीएएफ को पढ़ना संभव है। स्थैतिक विस्थापन की गणना की जा सकती है <math>u_\text{static}=\frac{F_{1,\text{eq}}}{k_{1,\text{eq}}}</math>. चुने गए मोड और लागू बल के लिए गतिशील विस्थापन तब पाया जा सकता है:
+यह मानते हुए कि उत्थान का समय t<sub>r</sub> ज्ञात है (t = 2{{pi}}/ω), मानक ग्राफ़ से डीएएफ को पढ़ना संभव है। इसके आधार पर स्थैतिक विस्थापन <math>u_\text{static}=\frac{F_{1,\text{eq}}}{k_{1,\text{eq}}}</math> की गणना की जा सकती है, इस प्रकार चुने गए मोड और लागू बल के लिए गतिशील विस्थापन तब पाया जा सकता है:
 :<math>u_{\max} = u_\text{static} \text{DAF}</math>
-==मोडल भागीदारी कारक==
+==प्रारूप से जुड़ा कारक==
-वास्तविक प्रणालियों के लिए अक्सर फोर्सिंग फ़ंक्शन (अंतर समीकरण) में भाग लेने वाला द्रव्यमान होता है (जैसे कि भूकंप में जमीन का द्रव्यमान) और जड़त्व प्रभाव (संरचना का द्रव्यमान, एम) में भाग लेने वाला द्रव्यमान होता है<sub>eq</sub>). [[मोडल भागीदारी कारक]] Γ इन दो द्रव्यमानों की तुलना है। स्वतंत्रता प्रणाली की एकल डिग्री के लिए Γ = 1.
+वास्तविक प्रणालियों के लिए अधिकांशतः फोर्सिंग फ़ंक्शन (अंतर समीकरण) में भाग लेने वाला द्रव्यमान होता है, जैसे कि भूकंप में जमीन का द्रव्यमान और जड़त्व प्रभाव जो संरचना का द्रव्यमान M<sub>eq</sub> के मुख्य भाग के रूप में उपयोग किया जाने वाला द्रव्यमान होता है), [[मोडल भागीदारी कारक|प्रारूप से जुड़े कारक]] Γ में दो द्रव्यमानों की तुलना होती है। इस प्रकार से स्वतंत्रता प्रणाली की एकल डिग्री के लिए Γ = 1 के समान होता हैं।
 : <math> \Gamma = \frac{\sum M_n\bar{u}_n }{\sum M_n\bar{u}_n^2 }</math>
@@ Line 120: / Line 120: @@
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 [[Category:Created On 27/07/2023]]
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