समद्विबाहु समलम्बाकार: Difference between revisions
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[[यूक्लिडियन ज्यामिति]] में, | [[यूक्लिडियन ज्यामिति]] में, समद्विबाहु समलम्बाकार ([[ब्रिटिश अंग्रेजी]] में समद्विबाहु समलम्बाकार) [[उत्तल बहुभुज]] [[चतुर्भुज]] है जिसमें [[समरूपता]] की रेखा विपरीत भुजाओं के जोड़े को विभाजित करती है। यह समलम्ब चतुर्भुज का विशेष मामला है। वैकल्पिक रूप से, इसे ट्रेपेज़ॉइड के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसमें दोनों पैर और दोनों आधार कोण समान माप के होते हैं,<ref>{{Cite web|url=http://www.mathopenref.com/trapezoid.html|title = Trapezoid - math word definition - Math Open Reference}}</ref> या समलम्ब चतुर्भुज के रूप में जिसके विकर्णों की लंबाई समान हो।<ref>{{cite journal |title=What is an Isosceles Trapezoid? |last=Ryoti |first=Don E. |year=1967 |journal=The Mathematics Teacher |volume=60 |number=7 |pages=729–730 |jstor=27957671 |doi=10.5951/MT.60.7.0729 }}</ref> ध्यान दें कि गैर-आयताकार समांतर [[चतुर्भुज]] दूसरी स्थिति के कारण समद्विबाहु समलंब नहीं है, या क्योंकि इसमें समरूपता की कोई रेखा नहीं है। किसी भी समद्विबाहु समलंब में, दो विपरीत भुजाएं (आधार) [[समानांतर (ज्यामिति)]] हैं, और दो अन्य भुजाएं (पैर) समान लंबाई (समांतर चतुर्भुज के साथ साझा गुण) की हैं, और विकर्णों की लंबाई समान है। समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के आधार कोण माप में समान होते हैं (वास्तव में समान आधार कोणों के दो जोड़े होते हैं, जहां आधार कोण दूसरे आधार पर आधार कोण का [[पूरक कोण]] होता है)। | ||
==विशेष मामले== | ==विशेष मामले== | ||
[[File:Isosceles_trapezoid_special_cases.png|thumb|280px|समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के विशेष मामले]][[आयत]]ों और [[वर्ग]]ों को आमतौर पर समद्विबाहु समलंब के विशेष मामले माना जाता है, हालांकि कुछ स्रोत उन्हें बाहर कर देंगे।<ref>{{cite book |last1=Larson |first1=Ron |last2=Boswell |first2=Laurie |title=बड़े विचार गणित, ज्यामिति, टेक्सास संस्करण|date=2016 |publisher=Big Ideas Learning, LLC (2016) |isbn=978-1608408153 |page=398}}</ref> | [[File:Isosceles_trapezoid_special_cases.png|thumb|280px|समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के विशेष मामले]][[आयत]]ों और [[वर्ग]]ों को आमतौर पर समद्विबाहु समलंब के विशेष मामले माना जाता है, हालांकि कुछ स्रोत उन्हें बाहर कर देंगे।<ref>{{cite book |last1=Larson |first1=Ron |last2=Boswell |first2=Laurie |title=बड़े विचार गणित, ज्यामिति, टेक्सास संस्करण|date=2016 |publisher=Big Ideas Learning, LLC (2016) |isbn=978-1608408153 |page=398}}</ref> | ||
अन्य विशेष मामला 3-बराबर भुजाओं वाला ट्रैपेज़ॉइड है, जिसे कभी-कभी त्रिपक्षीय ट्रैपेज़ॉइड के रूप में जाना जाता है<ref>[http://dynamicmathematicslearning.com/quad-tree-web.html Michael de Villiers, Hierarchical Quadrilateral Tree]</ref> या ट्राइसोसेलस ट्रेपेज़ॉइड। उन्हें 5 या अधिक भुजाओं वाले [[नियमित बहुभुज]]ों से 4 अनुक्रमिक शीर्षों की काट-छाँट के रूप में विच्छेदित भी देखा जा सकता है। | |||
=== स्व-प्रतिच्छेद === | === स्व-प्रतिच्छेद === | ||
समरूपता के बिल्कुल | समरूपता के बिल्कुल अक्ष के साथ कोई भी गैर-स्व-क्रॉसिंग चतुर्भुज या तो समद्विबाहु समलम्बाकार या [[पतंग (ज्यामिति)]] होना चाहिए।<ref name="esg">{{citation |title=Elementary Synthetic Geometry |first=George Bruce |last=Halsted |publisher=J. Wiley & sons |year=1896 |contribution=Chapter XIV. Symmetrical Quadrilaterals |url=https://books.google.com/books?id=H3ALAAAAYAAJ&pg=PA49 |pages=49–53 |author-link=G. B. Halsted}}.</ref> हालाँकि, यदि क्रॉसिंग की अनुमति दी जाती है, तो सममित चतुर्भुजों के सेट का विस्तार किया जाना चाहिए जिसमें क्रॉस किए गए समद्विबाहु समलंब, क्रॉस किए गए चतुर्भुज जिनमें क्रॉस की गई भुजाएँ समान लंबाई की हों और अन्य भुजाएँ समानांतर हों, और एंटीपैरेललोग्राम, क्रॉस किए गए चतुर्भुज जिनमें विपरीत हों भुजाओं की लंबाई समान होती है। | ||
प्रत्येक [[प्रतिसमानांतर चतुर्भुज]] में उत्तल पतवार के रूप में | प्रत्येक [[प्रतिसमानांतर चतुर्भुज]] में उत्तल पतवार के रूप में समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज होता है, और समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज के विकर्णों और गैर-समानांतर पक्षों (या आयत के मामले में विपरीत पक्षों की जोड़ी) से बनाया जा सकता है।<ref>{{citation |title=The Century Dictionary and Cyclopedia |first1=William Dwight |last1=Whitney |first2= Benjamin Eli |last2=Smith |publisher=The Century co. |year=1911 |url=https://books.google.com/books?id=ownpAAAAMAAJ&pg=PA1547 |page=1547}}.</ref> | ||
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== विशेषताएँ == | |||
यदि चतुर्भुज को समलंब चतुर्भुज के रूप में जाना जाता है, तो यह जानने के लिए कि यह समद्विबाहु समलंब है, केवल यह जांचना पर्याप्त नहीं है कि पैरों की लंबाई समान है, क्योंकि समचतुर्भुज समलंब चतुर्भुज का विशेष मामला है जिसमें समान लंबाई के पैर होते हैं , लेकिन यह समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज नहीं है क्योंकि इसमें विपरीत भुजाओं के मध्यबिंदुओं के माध्यम से समरूपता की रेखा का अभाव है। | |||
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*विकर्णों की लंबाई समान होती है। | *विकर्णों की लंबाई समान होती है। | ||
*आधार कोणों का माप समान होता है। | *आधार कोणों का माप समान होता है। | ||
*समानांतर भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड उन पर लंबवत होता है। | *समानांतर भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड उन पर लंबवत होता है। | ||
*विपरीत कोण संपूरक होते हैं, जिसका तात्पर्य यह है कि समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज [[चक्रीय चतुर्भुज]] हैं। | *विपरीत कोण संपूरक होते हैं, जिसका तात्पर्य यह है कि समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज [[चक्रीय चतुर्भुज]] हैं। | ||
*विकर्ण | *विकर्ण दूसरे को ऐसे खंडों में विभाजित करते हैं जिनकी लंबाई जोड़ीवार बराबर होती है; नीचे दी गई तस्वीर के संदर्भ में, {{nowrap|''AE'' {{=}} ''DE''}}, {{nowrap|''BE'' {{=}} ''CE''}} (और {{nowrap|''AE'' ≠ ''CE''}} यदि कोई आयतों को बाहर करना चाहता है)। | ||
== कोण == | |||
==कोण== | समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज में, आधार कोणों का माप जोड़ीवार समान होता है। नीचे दिए गए चित्र में, कोण ∠ABC और ∠DCB कोण#प्रकार के कोण हैं और समान माप के कोण हैं, जबकि कोण ∠BAD और ∠CDA कोणहीन कोण के प्रकार हैं, वे भी समान माप के हैं। | ||
चूँकि रेखाएँ AD और BC समानांतर हैं, विपरीत आधारों से सटे कोण पूरक कोण हैं, अर्थात कोण {{nowrap|∠''ABC'' + ∠''BAD'' {{=}} 180°.}} | चूँकि रेखाएँ AD और BC समानांतर हैं, विपरीत आधारों से सटे कोण पूरक कोण हैं, अर्थात कोण {{nowrap|∠''ABC'' + ∠''BAD'' {{=}} 180°.}} | ||
==विकर्ण और ऊंचाई== | ==विकर्ण और ऊंचाई== | ||
[[Image:Isoscelestriangle2.svg|thumb|350px|right| | [[Image:Isoscelestriangle2.svg|thumb|350px|right|और समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज।]]समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के [[विकर्ण]]ों की लंबाई समान होती है; अर्थात्, प्रत्येक समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज [[समद्विभुज चतुर्भुज]] है। इसके अलावा, विकर्ण दूसरे को समान अनुपात में विभाजित करते हैं। चित्र के अनुसार, विकर्ण AC और BD की लंबाई समान है ({{nowrap|''AC'' {{=}} ''BD''}}) और दूसरे को समान लंबाई के खंडों में विभाजित करें ({{nowrap|''AE'' {{=}} ''DE''}} और {{nowrap|''BE'' {{=}} ''CE''}}). | ||
प्रत्येक विकर्ण को जिस [[अनुपात]] में विभाजित किया जाता है वह उन समानांतर भुजाओं की लंबाई के अनुपात के बराबर होता है जिन्हें वे प्रतिच्छेद करते हैं, अर्थात, | प्रत्येक विकर्ण को जिस [[अनुपात]] में विभाजित किया जाता है वह उन समानांतर भुजाओं की लंबाई के अनुपात के बराबर होता है जिन्हें वे प्रतिच्छेद करते हैं, अर्थात, | ||
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==क्षेत्र== | ==क्षेत्र== | ||
समद्विबाहु (या किसी भी) समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधार और शीर्ष (समानांतर भुजाओं) की लंबाई के औसत गुना ऊंचाई के बराबर होता है। आसन्न चित्र में यदि हम लिखें {{nowrap|''AD'' {{=}} ''a''}}, और {{nowrap|''BC'' {{=}} ''b''}}, और ऊँचाई h, AD और BC के बीच रेखा खंड की लंबाई है जो उनके लंबवत है, तो क्षेत्र K है | |||
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== वृत्ताकार == | |||
==वृत्ताकार== | |||
परिचालित वृत्त में त्रिज्या किसके द्वारा दी गई है?<ref>Trapezoid at Math24.net: Formulas and Tables [http://www.math24.net/trapezoid.html] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180628153032/https://www.math24.net/trapezoid/ |date=June 28, 2018 }} Accessed 1 July 2014.</ref> | परिचालित वृत्त में त्रिज्या किसके द्वारा दी गई है?<ref>Trapezoid at Math24.net: Formulas and Tables [http://www.math24.net/trapezoid.html] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180628153032/https://www.math24.net/trapezoid/ |date=June 28, 2018 }} Accessed 1 July 2014.</ref> | ||
:<math>R=c\sqrt{\frac{ab+c^2}{4c^2-(a-b)^2}}.</math> | :<math>R=c\sqrt{\frac{ab+c^2}{4c^2-(a-b)^2}}.</math> | ||
आयत में जहां a = b है, इसे सरल बनाया गया है <math>R=\tfrac{1}{2}\sqrt{a^2+c^2}</math>. | |||
==यह भी देखें== | ==यह भी देखें== | ||
*स्पर्शरेखा समलंब | *स्पर्शरेखा समलंब समद्विबाहु स्पर्शरेखा समलंब | ||
== संदर्भ == | == संदर्भ == | ||
Revision as of 19:01, 9 August 2023
| समद्विबाहु समलम्बाकार | |
|---|---|
 Isosceles trapezoid with axis of symmetry | |
| प्रकार | quadrilateral, trapezoid |
| किनारेs और कोने | 4 |
| समरूपता समूह | Dih2, [ ], (*), order 2 |
| गुण | convex, cyclic |
यूक्लिडियन ज्यामिति में, समद्विबाहु समलम्बाकार (ब्रिटिश अंग्रेजी में समद्विबाहु समलम्बाकार) उत्तल बहुभुज चतुर्भुज है जिसमें समरूपता की रेखा विपरीत भुजाओं के जोड़े को विभाजित करती है। यह समलम्ब चतुर्भुज का विशेष मामला है। वैकल्पिक रूप से, इसे ट्रेपेज़ॉइड के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसमें दोनों पैर और दोनों आधार कोण समान माप के होते हैं,[1] या समलम्ब चतुर्भुज के रूप में जिसके विकर्णों की लंबाई समान हो।[2] ध्यान दें कि गैर-आयताकार समांतर चतुर्भुज दूसरी स्थिति के कारण समद्विबाहु समलंब नहीं है, या क्योंकि इसमें समरूपता की कोई रेखा नहीं है। किसी भी समद्विबाहु समलंब में, दो विपरीत भुजाएं (आधार) समानांतर (ज्यामिति) हैं, और दो अन्य भुजाएं (पैर) समान लंबाई (समांतर चतुर्भुज के साथ साझा गुण) की हैं, और विकर्णों की लंबाई समान है। समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के आधार कोण माप में समान होते हैं (वास्तव में समान आधार कोणों के दो जोड़े होते हैं, जहां आधार कोण दूसरे आधार पर आधार कोण का पूरक कोण होता है)।
विशेष मामले
आयतों और वर्गों को आमतौर पर समद्विबाहु समलंब के विशेष मामले माना जाता है, हालांकि कुछ स्रोत उन्हें बाहर कर देंगे।[3]
अन्य विशेष मामला 3-बराबर भुजाओं वाला ट्रैपेज़ॉइड है, जिसे कभी-कभी त्रिपक्षीय ट्रैपेज़ॉइड के रूप में जाना जाता है[4] या ट्राइसोसेलस ट्रेपेज़ॉइड। उन्हें 5 या अधिक भुजाओं वाले नियमित बहुभुजों से 4 अनुक्रमिक शीर्षों की काट-छाँट के रूप में विच्छेदित भी देखा जा सकता है।
स्व-प्रतिच्छेद
समरूपता के बिल्कुल अक्ष के साथ कोई भी गैर-स्व-क्रॉसिंग चतुर्भुज या तो समद्विबाहु समलम्बाकार या पतंग (ज्यामिति) होना चाहिए।[5] हालाँकि, यदि क्रॉसिंग की अनुमति दी जाती है, तो सममित चतुर्भुजों के सेट का विस्तार किया जाना चाहिए जिसमें क्रॉस किए गए समद्विबाहु समलंब, क्रॉस किए गए चतुर्भुज जिनमें क्रॉस की गई भुजाएँ समान लंबाई की हों और अन्य भुजाएँ समानांतर हों, और एंटीपैरेललोग्राम, क्रॉस किए गए चतुर्भुज जिनमें विपरीत हों भुजाओं की लंबाई समान होती है।
प्रत्येक प्रतिसमानांतर चतुर्भुज में उत्तल पतवार के रूप में समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज होता है, और समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज के विकर्णों और गैर-समानांतर पक्षों (या आयत के मामले में विपरीत पक्षों की जोड़ी) से बनाया जा सकता है।[6]
|
|
|
| Convex isosceles trapezoid |
Crossed isosceles trapezoid |
antiparallelogram |
|---|
विशेषताएँ
यदि चतुर्भुज को समलंब चतुर्भुज के रूप में जाना जाता है, तो यह जानने के लिए कि यह समद्विबाहु समलंब है, केवल यह जांचना पर्याप्त नहीं है कि पैरों की लंबाई समान है, क्योंकि समचतुर्भुज समलंब चतुर्भुज का विशेष मामला है जिसमें समान लंबाई के पैर होते हैं , लेकिन यह समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज नहीं है क्योंकि इसमें विपरीत भुजाओं के मध्यबिंदुओं के माध्यम से समरूपता की रेखा का अभाव है।
निम्नलिखित में से कोई भी गुण समद्विबाहु समलंब को अन्य समलम्बाकार से अलग करता है:
- विकर्णों की लंबाई समान होती है।
- आधार कोणों का माप समान होता है।
- समानांतर भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड उन पर लंबवत होता है।
- विपरीत कोण संपूरक होते हैं, जिसका तात्पर्य यह है कि समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज चक्रीय चतुर्भुज हैं।
- विकर्ण दूसरे को ऐसे खंडों में विभाजित करते हैं जिनकी लंबाई जोड़ीवार बराबर होती है; नीचे दी गई तस्वीर के संदर्भ में, AE = DE, BE = CE (और AE ≠ CE यदि कोई आयतों को बाहर करना चाहता है)।
कोण
समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज में, आधार कोणों का माप जोड़ीवार समान होता है। नीचे दिए गए चित्र में, कोण ∠ABC और ∠DCB कोण#प्रकार के कोण हैं और समान माप के कोण हैं, जबकि कोण ∠BAD और ∠CDA कोणहीन कोण के प्रकार हैं, वे भी समान माप के हैं।
चूँकि रेखाएँ AD और BC समानांतर हैं, विपरीत आधारों से सटे कोण पूरक कोण हैं, अर्थात कोण ∠ABC + ∠BAD = 180°.
विकर्ण और ऊंचाई
समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों की लंबाई समान होती है; अर्थात्, प्रत्येक समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज समद्विभुज चतुर्भुज है। इसके अलावा, विकर्ण दूसरे को समान अनुपात में विभाजित करते हैं। चित्र के अनुसार, विकर्ण AC और BD की लंबाई समान है (AC = BD) और दूसरे को समान लंबाई के खंडों में विभाजित करें (AE = DE और BE = CE).
प्रत्येक विकर्ण को जिस अनुपात में विभाजित किया जाता है वह उन समानांतर भुजाओं की लंबाई के अनुपात के बराबर होता है जिन्हें वे प्रतिच्छेद करते हैं, अर्थात,
टॉलेमी के प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक विकर्ण की लंबाई किसके द्वारा दी गई है?
जहां a और b समानांतर भुजाओं AD और BC की लंबाई हैं, और c प्रत्येक पैर AB और CD की लंबाई है।
ऊंचाई पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, द्वारा दी गई है
बिंदु E से आधार AD तक की दूरी निम्न द्वारा दी गई है
जहां a और b समानांतर भुजाओं AD और BC की लंबाई हैं, और h समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई है।
क्षेत्र
समद्विबाहु (या किसी भी) समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधार और शीर्ष (समानांतर भुजाओं) की लंबाई के औसत गुना ऊंचाई के बराबर होता है। आसन्न चित्र में यदि हम लिखें AD = a, और BC = b, और ऊँचाई h, AD और BC के बीच रेखा खंड की लंबाई है जो उनके लंबवत है, तो क्षेत्र K है
यदि समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई के बजाय, पैरों की सामान्य लंबाई AB =CD = c ज्ञात हो, तो चक्रीय चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए ब्रह्मगुप्त के सूत्र का उपयोग करके क्षेत्रफल की गणना की जा सकती है, जो दो भुजाओं के बराबर होने से सरल हो जाता है
कहाँ समलम्ब चतुर्भुज का अर्ध-परिधि है। यह सूत्र त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए हेरॉन के सूत्र के समान है। क्षेत्रफल के लिए पिछले सूत्र को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है
वृत्ताकार
परिचालित वृत्त में त्रिज्या किसके द्वारा दी गई है?[7]
आयत में जहां a = b है, इसे सरल बनाया गया है .
यह भी देखें
- स्पर्शरेखा समलंब समद्विबाहु स्पर्शरेखा समलंब
संदर्भ
- ↑ "Trapezoid - math word definition - Math Open Reference".
- ↑ Ryoti, Don E. (1967). "What is an Isosceles Trapezoid?". The Mathematics Teacher. 60 (7): 729–730. doi:10.5951/MT.60.7.0729. JSTOR 27957671.
- ↑ Larson, Ron; Boswell, Laurie (2016). बड़े विचार गणित, ज्यामिति, टेक्सास संस्करण. Big Ideas Learning, LLC (2016). p. 398. ISBN 978-1608408153.
- ↑ Michael de Villiers, Hierarchical Quadrilateral Tree
- ↑ Halsted, George Bruce (1896), "Chapter XIV. Symmetrical Quadrilaterals", Elementary Synthetic Geometry, J. Wiley & sons, pp. 49–53.
- ↑ Whitney, William Dwight; Smith, Benjamin Eli (1911), The Century Dictionary and Cyclopedia, The Century co., p. 1547.
- ↑ Trapezoid at Math24.net: Formulas and Tables [1] Archived June 28, 2018, at the Wayback Machine Accessed 1 July 2014.
