समद्विबाहु समलम्बाकार: Difference between revisions
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[[यूक्लिडियन ज्यामिति]] में, | [[यूक्लिडियन ज्यामिति]] में, '''समद्विबाहु समलम्बाकार''' ([[ब्रिटिश अंग्रेजी]] में समद्विबाहु समलम्बाकार) [[उत्तल बहुभुज]] [[चतुर्भुज]] है जिसमें [[समरूपता]] की रेखा विपरीत भुजाओं के जोड़े को विभाजित करती है। यह समलम्ब चतुर्भुज की विशेष स्तिथि है। वैकल्पिक रूप से, इसे ट्रेपेज़ॉइड के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसमें दोनों लेग और दोनों आधार कोण समान माप के होते हैं,<ref>{{Cite web|url=http://www.mathopenref.com/trapezoid.html|title = Trapezoid - math word definition - Math Open Reference}}</ref> या समलम्ब चतुर्भुज के रूप में जिसके विकर्णों की लंबाई समान हो।<ref>{{cite journal |title=What is an Isosceles Trapezoid? |last=Ryoti |first=Don E. |year=1967 |journal=The Mathematics Teacher |volume=60 |number=7 |pages=729–730 |jstor=27957671 |doi=10.5951/MT.60.7.0729 }}</ref> ध्यान दें कि गैर-आयताकार समांतर [[चतुर्भुज]] दूसरी स्थिति के कारण समद्विबाहु समलंब नहीं है, या क्योंकि इसमें समरूपता की कोई रेखा नहीं है। किसी भी समद्विबाहु समलंब में, दो विपरीत भुजाएं (आधार) [[समानांतर (ज्यामिति)]] होती हैं, और दो अन्य भुजाएं (लेग) समान लंबाई की होती हैं (समांतर चतुर्भुज के साथ भागित गुण), और विकर्णों की लंबाई समान होती है। समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के आधार कोण माप में समान होते हैं (वास्तव में समान आधार कोणों के दो जोड़े होते हैं, जहां आधार कोण दूसरे आधार पर आधार कोण का [[पूरक कोण]] होता है)। | ||
==विशेष | ==विशेष स्तिथि== | ||
[[File:Isosceles_trapezoid_special_cases.png|thumb|280px|समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज | [[File:Isosceles_trapezoid_special_cases.png|thumb|280px|समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज की विशेष स्तिथि]][[आयत|आयतों]] और [[वर्ग|वर्गों]] को सामान्यतः समद्विबाहु समलंब की विशेष स्तिथि माना जाता है, चूँकि कुछ स्रोत उन्हें बाहर कर देंगे।<ref>{{cite book |last1=Larson |first1=Ron |last2=Boswell |first2=Laurie |title=बड़े विचार गणित, ज्यामिति, टेक्सास संस्करण|date=2016 |publisher=Big Ideas Learning, LLC (2016) |isbn=978-1608408153 |page=398}}</ref> | ||
अन्य विशेष | अन्य विशेष स्तिथि 3-समान भुजाओं वाला ट्रैपेज़ॉइड है, जिसे कभी-कभी त्रिपक्षीय ट्रैपेज़ॉइड के रूप में जाना जाता है।<ref>[http://dynamicmathematicslearning.com/quad-tree-web.html Michael de Villiers, Hierarchical Quadrilateral Tree]</ref>उन्हें 5 या अधिक भुजाओं वाले [[नियमित बहुभुज|नियमित बहुभुजों]] से 4 अनुक्रमिक शीर्षों की ट्रंकेशन के रूप में विच्छेदित भी देखा जा सकता है। | ||
=== स्व-प्रतिच्छेद === | === स्व-प्रतिच्छेद === | ||
समरूपता के | समरूपता के अक्ष के साथ कोई भी गैर-स्व-क्रॉसिंग चतुर्भुज या तो समद्विबाहु समलम्बाकार या [[पतंग (ज्यामिति)|काइट (ज्यामिति)]] होना चाहिए।<ref name="esg">{{citation |title=Elementary Synthetic Geometry |first=George Bruce |last=Halsted |publisher=J. Wiley & sons |year=1896 |contribution=Chapter XIV. Symmetrical Quadrilaterals |url=https://books.google.com/books?id=H3ALAAAAYAAJ&pg=PA49 |pages=49–53 |author-link=G. B. Halsted}}.</ref> चूँकि, यदि क्रॉसिंग की अनुमति दी जाती है, तो सममित चतुर्भुजों के समुच्चय का विस्तार किया जाना चाहिए जिसमें क्रॉस किए गए समद्विबाहु समलंब, क्रॉस किए गए चतुर्भुज जिनमें क्रॉस की गई भुजाएँ समान लंबाई की हों और अन्य भुजाएँ समानांतर हों, और एंटीपैरेललोग्राम, क्रॉस किए गए चतुर्भुज जिनमें विपरीत भुजाओं की लंबाई समान होती है। | ||
प्रत्येक [[प्रतिसमानांतर चतुर्भुज]] में उत्तल | प्रत्येक [[प्रतिसमानांतर चतुर्भुज]] में उत्तल हल के रूप में समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज होता है, और समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज के विकर्णों और गैर-समानांतर पक्षों (या आयत के स्तिथि में विपरीत पक्षों की जोड़ी) से बनाया जा सकता है।<ref>{{citation |title=The Century Dictionary and Cyclopedia |first1=William Dwight |last1=Whitney |first2= Benjamin Eli |last2=Smith |publisher=The Century co. |year=1911 |url=https://books.google.com/books?id=ownpAAAAMAAJ&pg=PA1547 |page=1547}}.</ref> | ||
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== विशेषताएँ == | == विशेषताएँ == | ||
यदि | यदि चतुर्भुज को समलंब चतुर्भुज के रूप में जाना जाता है, तो यह जानने के लिए कि समद्विबाहु समलंब है, केवल यह परिक्षण करना पर्याप्त नहीं है कि लेग्स की लंबाई समान है, क्योंकि समचतुर्भुज समलंब चतुर्भुज की विशेष स्तिथि है जिसमें समान लंबाई के लेग होते हैं, किंतु यह समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज नहीं है क्योंकि इसमें विपरीत भुजाओं के मध्य बिंदुओं के माध्यम से समरूपता की रेखा की कमी है। | ||
निम्नलिखित में से कोई भी गुण | निम्नलिखित में से कोई भी गुण समद्विबाहु समलंब को अन्य समलम्बाकार से भिन्न करता है: | ||
*विकर्णों की लंबाई समान होती है। | *विकर्णों की लंबाई समान होती है। | ||
*आधार कोणों का माप समान होता है। | *आधार कोणों का माप समान होता है। | ||
*समानांतर भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड उन पर लंबवत होता है। | *समानांतर भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड उन पर लंबवत होता है। | ||
*विपरीत कोण संपूरक होते हैं, जिसका तात्पर्य यह है कि समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज [[चक्रीय चतुर्भुज]] हैं। | *विपरीत कोण संपूरक होते हैं, जिसका तात्पर्य यह है कि समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज [[चक्रीय चतुर्भुज]] हैं। | ||
*विकर्ण | *विकर्ण एक दूसरे को ऐसे खंडों में विभाजित करते हैं जिनकी लंबाई जोड़ीवार समान होती है; नीचे दिए गए चित्र के संदर्भ में, {{nowrap|''AE'' {{=}} ''DE''}}, {{nowrap|''BE'' {{=}} ''CE''}} (और {{nowrap|''AE'' ≠ ''CE''}} यदि कोई आयतों को बाहर करना चाहता है)। | ||
== कोण == | == कोण == | ||
समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज में, आधार कोणों का माप जोड़ीवार समान होता है। नीचे दिए गए चित्र में, कोण ∠ABC और ∠DCB कोण | समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज में, आधार कोणों का माप जोड़ीवार समान होता है। नीचे दिए गए चित्र में, कोण ∠ABC और ∠DCB कोण प्रकार के कोण हैं और समान माप के कोण हैं, जबकि कोण ∠BAD और ∠CDA न्यून कोण हैं, वे भी एक ही माप के हैं। | ||
चूँकि रेखाएँ AD और BC समानांतर हैं, विपरीत आधारों से | चूँकि रेखाएँ AD और BC समानांतर हैं, विपरीत आधारों से समीप कोण पूरक कोण हैं, अर्थात कोण {{nowrap|∠''ABC'' + ∠''BAD'' {{=}} 180°.}} हैं। | ||
==विकर्ण और ऊंचाई== | ==विकर्ण और ऊंचाई== | ||
[[Image:Isoscelestriangle2.svg|thumb|350px|right| | [[Image:Isoscelestriangle2.svg|thumb|350px|right|समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज।]]समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के [[विकर्ण|विकर्णों]] की लंबाई समान होती है; अर्थात्, प्रत्येक समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज [[समद्विभुज चतुर्भुज]] है। इसके अतिरिक्त, विकर्ण एक दूसरे को समान अनुपात में विभाजित करते हैं। चित्र के अनुसार, विकर्ण AC और BD की लंबाई ({{nowrap|''AC'' {{=}} ''BD''}}) समान है और एक दूसरे को समान लंबाई ({{nowrap|''AE'' {{=}} ''DE''}}) और ({{nowrap|''BE'' {{=}} ''CE''}}) के खंडों में विभाजित करते है। | ||
प्रत्येक विकर्ण को जिस [[अनुपात]] में विभाजित किया जाता है वह उन समानांतर भुजाओं की लंबाई के अनुपात के | प्रत्येक विकर्ण को जिस [[अनुपात]] में विभाजित किया जाता है वह उन समानांतर भुजाओं की लंबाई के अनुपात के समान होता है जिन्हें वे प्रतिच्छेद करते हैं, अर्थात, | ||
:<math>\frac{AE}{EC} = \frac{DE}{EB} = \frac{AD}{BC}.</math> | :<math>\frac{AE}{EC} = \frac{DE}{EB} = \frac{AD}{BC}.</math> | ||
टॉलेमी के प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक विकर्ण की लंबाई किसके द्वारा दी गई है? | टॉलेमी के प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक विकर्ण की लंबाई किसके द्वारा दी गई है? | ||
:<math>p=\sqrt{ab+c^2}</math> | :<math>p=\sqrt{ab+c^2}</math> | ||
जहां a और b समानांतर भुजाओं AD और BC की लंबाई हैं, और c प्रत्येक | जहां a और b समानांतर भुजाओं AD और BC की लंबाई हैं, और c प्रत्येक लेग AB और CD की लंबाई है। | ||
ऊंचाई [[पाइथागोरस प्रमेय]] के अनुसार, द्वारा दी गई है | ऊंचाई [[पाइथागोरस प्रमेय]] के अनुसार, द्वारा दी गई है | ||
:<math>h=\sqrt{p^2-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}=\tfrac{1}{2}\sqrt{4c^2-(a-b)^2}.</math> | :<math>h=\sqrt{p^2-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}=\tfrac{1}{2}\sqrt{4c^2-(a-b)^2}.</math> | ||
बिंदु E से आधार AD तक की दूरी निम्न द्वारा दी गई है | बिंदु E से आधार AD तक की दूरी निम्न द्वारा दी गई है: | ||
:<math>d=\frac{ah}{a+b}</math> | :<math>d=\frac{ah}{a+b}</math> | ||
जहां a और b समानांतर भुजाओं AD और BC की लंबाई हैं, और h समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई है। | जहां a और b समानांतर भुजाओं AD और BC की लंबाई हैं, और h समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई है। | ||
==क्षेत्र== | ==क्षेत्र== | ||
समद्विबाहु (या किसी भी) समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधार और शीर्ष (समानांतर भुजाओं) की लंबाई के औसत गुना ऊंचाई के | समद्विबाहु (या किसी भी) समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधार और शीर्ष (समानांतर भुजाओं) की लंबाई के औसत गुना ऊंचाई के समान होता है। आसन्न चित्र में यदि हम लिखें {{nowrap|''AD'' {{=}} ''a''}}, और {{nowrap|''BC'' {{=}} ''b''}}, और ऊँचाई h, AD और BC के मध्य रेखा खंड की लंबाई है जो उनके लंबवत है, तो क्षेत्र K है: | ||
:<math>K = \tfrac12\left(a+b\right) h.</math> | :<math>K = \tfrac12\left(a+b\right) h.</math> | ||
यदि समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई के | यदि समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई के अतिरिक्त, लेग्स की सामान्य लंबाई AB =CD = c ज्ञात हो, तो चक्रीय चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए ब्रह्मगुप्त के सूत्र का उपयोग करके क्षेत्रफल की गणना की जा सकती है, जो दो भुजाओं के समान होने से सरल हो जाती है: | ||
:<math>K = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)^2},</math> | :<math>K = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)^2},</math> | ||
जहाँ <math>s = \tfrac{1}{2}(a + b + 2c)</math> समलम्ब चतुर्भुज का अर्ध-परिधि है। यह सूत्र त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए हेरॉन के सूत्र के समान है। क्षेत्रफल के लिए पूर्व सूत्र को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है: | |||
:<math>K = \tfrac14 \sqrt{(a+b)^2(a-b+2c)(b-a+2c)}.</math> | :<math>K = \tfrac14 \sqrt{(a+b)^2(a-b+2c)(b-a+2c)}.</math> | ||
== वृत्ताकार == | == वृत्ताकार == | ||
परिचालित वृत्त में त्रिज्या | परिचालित वृत्त में त्रिज्या दी गई है,<ref>Trapezoid at Math24.net: Formulas and Tables [http://www.math24.net/trapezoid.html] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180628153032/https://www.math24.net/trapezoid/ |date=June 28, 2018 }} Accessed 1 July 2014.</ref> | ||
:<math>R=c\sqrt{\frac{ab+c^2}{4c^2-(a-b)^2}}.</math> | :<math>R=c\sqrt{\frac{ab+c^2}{4c^2-(a-b)^2}}.</math> | ||
आयत में जहां a = b है, इसे | आयत में जहां a = b है, इसे सरलता से <math>R=\tfrac{1}{2}\sqrt{a^2+c^2}</math> बनाया गया है। | ||
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Latest revision as of 07:49, 28 September 2023
| समद्विबाहु समलम्बाकार | |
|---|---|
 Isosceles trapezoid with axis of symmetry | |
| प्रकार | quadrilateral, trapezoid |
| किनारेs और कोने | 4 |
| समरूपता समूह | Dih2, [ ], (*), order 2 |
| गुण | convex, cyclic |
यूक्लिडियन ज्यामिति में, समद्विबाहु समलम्बाकार (ब्रिटिश अंग्रेजी में समद्विबाहु समलम्बाकार) उत्तल बहुभुज चतुर्भुज है जिसमें समरूपता की रेखा विपरीत भुजाओं के जोड़े को विभाजित करती है। यह समलम्ब चतुर्भुज की विशेष स्तिथि है। वैकल्पिक रूप से, इसे ट्रेपेज़ॉइड के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसमें दोनों लेग और दोनों आधार कोण समान माप के होते हैं,[1] या समलम्ब चतुर्भुज के रूप में जिसके विकर्णों की लंबाई समान हो।[2] ध्यान दें कि गैर-आयताकार समांतर चतुर्भुज दूसरी स्थिति के कारण समद्विबाहु समलंब नहीं है, या क्योंकि इसमें समरूपता की कोई रेखा नहीं है। किसी भी समद्विबाहु समलंब में, दो विपरीत भुजाएं (आधार) समानांतर (ज्यामिति) होती हैं, और दो अन्य भुजाएं (लेग) समान लंबाई की होती हैं (समांतर चतुर्भुज के साथ भागित गुण), और विकर्णों की लंबाई समान होती है। समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के आधार कोण माप में समान होते हैं (वास्तव में समान आधार कोणों के दो जोड़े होते हैं, जहां आधार कोण दूसरे आधार पर आधार कोण का पूरक कोण होता है)।
विशेष स्तिथि
आयतों और वर्गों को सामान्यतः समद्विबाहु समलंब की विशेष स्तिथि माना जाता है, चूँकि कुछ स्रोत उन्हें बाहर कर देंगे।[3]
अन्य विशेष स्तिथि 3-समान भुजाओं वाला ट्रैपेज़ॉइड है, जिसे कभी-कभी त्रिपक्षीय ट्रैपेज़ॉइड के रूप में जाना जाता है।[4]उन्हें 5 या अधिक भुजाओं वाले नियमित बहुभुजों से 4 अनुक्रमिक शीर्षों की ट्रंकेशन के रूप में विच्छेदित भी देखा जा सकता है।
स्व-प्रतिच्छेद
समरूपता के अक्ष के साथ कोई भी गैर-स्व-क्रॉसिंग चतुर्भुज या तो समद्विबाहु समलम्बाकार या काइट (ज्यामिति) होना चाहिए।[5] चूँकि, यदि क्रॉसिंग की अनुमति दी जाती है, तो सममित चतुर्भुजों के समुच्चय का विस्तार किया जाना चाहिए जिसमें क्रॉस किए गए समद्विबाहु समलंब, क्रॉस किए गए चतुर्भुज जिनमें क्रॉस की गई भुजाएँ समान लंबाई की हों और अन्य भुजाएँ समानांतर हों, और एंटीपैरेललोग्राम, क्रॉस किए गए चतुर्भुज जिनमें विपरीत भुजाओं की लंबाई समान होती है।
प्रत्येक प्रतिसमानांतर चतुर्भुज में उत्तल हल के रूप में समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज होता है, और समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज के विकर्णों और गैर-समानांतर पक्षों (या आयत के स्तिथि में विपरीत पक्षों की जोड़ी) से बनाया जा सकता है।[6]
|
|
|
| उत्तल समद्विबाहु त्रपेज़ॉइड |
क्रॉस्ड समद्विबाहु ट्रेपेज़ॉइड |
प्रतिसमानांतर चतुर्भुज |
|---|
विशेषताएँ
यदि चतुर्भुज को समलंब चतुर्भुज के रूप में जाना जाता है, तो यह जानने के लिए कि समद्विबाहु समलंब है, केवल यह परिक्षण करना पर्याप्त नहीं है कि लेग्स की लंबाई समान है, क्योंकि समचतुर्भुज समलंब चतुर्भुज की विशेष स्तिथि है जिसमें समान लंबाई के लेग होते हैं, किंतु यह समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज नहीं है क्योंकि इसमें विपरीत भुजाओं के मध्य बिंदुओं के माध्यम से समरूपता की रेखा की कमी है।
निम्नलिखित में से कोई भी गुण समद्विबाहु समलंब को अन्य समलम्बाकार से भिन्न करता है:
- विकर्णों की लंबाई समान होती है।
- आधार कोणों का माप समान होता है।
- समानांतर भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड उन पर लंबवत होता है।
- विपरीत कोण संपूरक होते हैं, जिसका तात्पर्य यह है कि समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज चक्रीय चतुर्भुज हैं।
- विकर्ण एक दूसरे को ऐसे खंडों में विभाजित करते हैं जिनकी लंबाई जोड़ीवार समान होती है; नीचे दिए गए चित्र के संदर्भ में, AE = DE, BE = CE (और AE ≠ CE यदि कोई आयतों को बाहर करना चाहता है)।
कोण
समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज में, आधार कोणों का माप जोड़ीवार समान होता है। नीचे दिए गए चित्र में, कोण ∠ABC और ∠DCB कोण प्रकार के कोण हैं और समान माप के कोण हैं, जबकि कोण ∠BAD और ∠CDA न्यून कोण हैं, वे भी एक ही माप के हैं।
चूँकि रेखाएँ AD और BC समानांतर हैं, विपरीत आधारों से समीप कोण पूरक कोण हैं, अर्थात कोण ∠ABC + ∠BAD = 180°. हैं।
विकर्ण और ऊंचाई
समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों की लंबाई समान होती है; अर्थात्, प्रत्येक समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज समद्विभुज चतुर्भुज है। इसके अतिरिक्त, विकर्ण एक दूसरे को समान अनुपात में विभाजित करते हैं। चित्र के अनुसार, विकर्ण AC और BD की लंबाई (AC = BD) समान है और एक दूसरे को समान लंबाई (AE = DE) और (BE = CE) के खंडों में विभाजित करते है।
प्रत्येक विकर्ण को जिस अनुपात में विभाजित किया जाता है वह उन समानांतर भुजाओं की लंबाई के अनुपात के समान होता है जिन्हें वे प्रतिच्छेद करते हैं, अर्थात,
टॉलेमी के प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक विकर्ण की लंबाई किसके द्वारा दी गई है?
जहां a और b समानांतर भुजाओं AD और BC की लंबाई हैं, और c प्रत्येक लेग AB और CD की लंबाई है।
ऊंचाई पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, द्वारा दी गई है
बिंदु E से आधार AD तक की दूरी निम्न द्वारा दी गई है:
जहां a और b समानांतर भुजाओं AD और BC की लंबाई हैं, और h समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई है।
क्षेत्र
समद्विबाहु (या किसी भी) समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधार और शीर्ष (समानांतर भुजाओं) की लंबाई के औसत गुना ऊंचाई के समान होता है। आसन्न चित्र में यदि हम लिखें AD = a, और BC = b, और ऊँचाई h, AD और BC के मध्य रेखा खंड की लंबाई है जो उनके लंबवत है, तो क्षेत्र K है:
यदि समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई के अतिरिक्त, लेग्स की सामान्य लंबाई AB =CD = c ज्ञात हो, तो चक्रीय चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए ब्रह्मगुप्त के सूत्र का उपयोग करके क्षेत्रफल की गणना की जा सकती है, जो दो भुजाओं के समान होने से सरल हो जाती है:
जहाँ समलम्ब चतुर्भुज का अर्ध-परिधि है। यह सूत्र त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए हेरॉन के सूत्र के समान है। क्षेत्रफल के लिए पूर्व सूत्र को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:
वृत्ताकार
परिचालित वृत्त में त्रिज्या दी गई है,[7]
आयत में जहां a = b है, इसे सरलता से बनाया गया है।
यह भी देखें
- समद्विबाहु स्पर्शरेखीय समलम्बाकार
संदर्भ
- ↑ "Trapezoid - math word definition - Math Open Reference".
- ↑ Ryoti, Don E. (1967). "What is an Isosceles Trapezoid?". The Mathematics Teacher. 60 (7): 729–730. doi:10.5951/MT.60.7.0729. JSTOR 27957671.
- ↑ Larson, Ron; Boswell, Laurie (2016). बड़े विचार गणित, ज्यामिति, टेक्सास संस्करण. Big Ideas Learning, LLC (2016). p. 398. ISBN 978-1608408153.
- ↑ Michael de Villiers, Hierarchical Quadrilateral Tree
- ↑ Halsted, George Bruce (1896), "Chapter XIV. Symmetrical Quadrilaterals", Elementary Synthetic Geometry, J. Wiley & sons, pp. 49–53.
- ↑ Whitney, William Dwight; Smith, Benjamin Eli (1911), The Century Dictionary and Cyclopedia, The Century co., p. 1547.
- ↑ Trapezoid at Math24.net: Formulas and Tables [1] Archived June 28, 2018, at the Wayback Machine Accessed 1 July 2014.
