नियम 184

नियम 184, तीन अलग-अलग प्रारंभिक घनत्वों में से प्रत्येक के साथ यादृच्छिक कॉन्फ़िगरेशन से 128 चरणों तक चलें: शीर्ष 25%, मध्य 50%, निचला 75%। दिखाया गया दृश्य व्यापक सिमुलेशन से 300-पिक्सेल क्रॉप है।

नियम 184, आयामी बाइनरी सेलुलर ऑटोमेटन नियम है, जो बहुसंख्यक समस्या (सेलुलर ऑटोमेटन) को हल करने के साथ-साथ अनेक अलग-अलग प्रतीत होने वाले कण प्रणालियों का एक साथ वर्णन करने की क्षमता के लिए उल्लेखनीय है:

• नियम 184 का उपयोग राजमार्ग की लेन में यातायात प्रवाह के लिए सरल मॉडल के रूप में किया जा सकता है, और यह अधिक परिष्कार के साथ अनेक सूक्ष्म यातायात प्रवाह मॉडल के लिए आधार बनाता है। इस मॉडल में, कण (वाहनों का प्रतिनिधित्व करते हुए) एक ही दिशा में चलते हैं, अपने सामने वाली कारों के आधार पर रुकते और चालू होते हैं। पूरे अनुकरण के समय कणों की संख्या अपरिवर्तित रहती है। इस अनुप्रयोग के कारण, नियम 184 को कभी-कभी यातायात नियम भी कहा जाता है।
• नियम 184 अनियमित सतह पर कणों के जमाव (एयरोसोल भौतिकी) का रूप भी दर्शाता है, जिसमें सतह का प्रत्येक स्थानीय न्यूनतम प्रत्येक चरण में कण से भरा होता है। अनुकरण के प्रत्येक चरण में, कणों की संख्या बढ़ जाती है। एक बार रख देने के बाद कोई कण कभी नहीं हिलता।
• नियम 184 को बैलिस्टिक विनाश के संदर्भ में समझा जा सकता है, कणों की प्रणाली जो आयामी माध्यम के माध्यम से बाईं और दाईं ओर चलती है। जब ऐसे दो कण टकराते हैं, तो वे एक-दूसरे को नष्ट कर देते हैं, जिससे प्रत्येक चरण पर कणों की संख्या अपरिवर्तित रहती है या घटती है।

इन विवरणों के बीच स्पष्ट विरोधाभास को ऑटोमेटन की स्थिति की विशेषताओं को कणों के साथ जोड़ने की विभिन्न विधियों से हल किया जाता है।

नियम 184 का नाम वोल्फ्राम कोड है, जो इसके राज्यों के विकास को परिभाषित करता है। नियम 184 पर सबसे पहला शोध किसके द्वारा किया गया है? ली (1987) और क्रुग & स्पॉन (1988), विशेष रूप से, क्रुग और स्पॉन पहले से ही नियम 184 द्वारा प्रतिरूपित सभी तीन प्रकार की कण प्रणालियों का वर्णन करते हैं।

परिभाषा

नियम 184 ऑटोमेटन की स्थिति में सेलों की एक-आयामी ऐरे डेटा संरचना होती है, प्रत्येक में अंश (0 या 1) होता है। इसके विकास के प्रत्येक चरण में, नियम 184 ऑटोमेटन सेल की नई स्थिति निर्धारित करने के लिए, सभी सेलों के लिए एक साथ, ऐरे में प्रत्येक सेल पर निम्नलिखित नियम प्रयुक्त करता है:

वर्तमान पैटर्न	111	110	101	100	011	010	001	000
केंद्र कक्ष के लिए नई स्थिति	1	0	1	1	1	0	0	0

इस तालिका में प्रविष्टि प्रत्येक सेल की नई स्थिति को पिछली स्थिति के फलन और दोनों तरफ निकटम सेलों के पिछले मानों के रूप में परिभाषित करती है।

इस नियम का नाम, नियम 184, उपरोक्त स्थिति तालिका का वर्णन करने वाला वोल्फ्राम कोड है: तालिका की निचली पंक्ति, 10111000, जब बाइनरी संख्या के रूप में देखी जाती है, तब दशमलव संख्या 184 (संख्या) के बराबर होती है। नियम 184 के लिए निर्धारित नियम को अनेक अलग-अलग विधियों से सहज रूप से वर्णित किया जा सकता है:

• प्रत्येक चरण में, जब भी वर्तमान स्थिति में 1 के तुरंत बाद 0 उपस्थित होता है, तो ये दो प्रतीक स्थान परिवर्तित कर लेते हैं। इस विवरण के आधार पर, क्रुग & स्पॉन (1988) के नियम 184 को असममित स्पिन-विनिमय गतिशीलता के साथ गतिज आइसिंग मॉडल का नियतात्मक संस्करण कहते हैं।
• प्रत्येक चरण में, यदि मान 1 वाले सेल के ठीक दाहिनी ओर मान 0 वाला सेल है, तो 1 0 को पीछे छोड़ते हुए दाईं ओर बढ़ता है। 1 जिसके दाहिनी ओर 1 हो वह अपने स्थान पर बना रहता है, जबकि 0 जिसके बायीं ओर 1 नहीं होता वह 0 ही रहता है। यह विवरण यातायात प्रवाह मॉडलिंग के अनुप्रयोग के लिए सबसे उपयुक्त है।
• यदि किसी सेल की स्थिति 0 है, तो उसकी नई स्थिति सेल से बाईं ओर ली जाती है। अन्यथा, इसकी नई अवस्था सेल से इसके दाहिनी ओर ले ली जाती है। अर्थात्, प्रत्येक सेल को दो-ओर से डिमल्टीप्लेक्सर द्वारा कार्यान्वित किया जा सकता है, जिसमें दो आसन्न सेल इनपुट होते हैं, और सेल स्वयं चयनकर्ता लाइन के रूप में कार्य करता है। प्रत्येक सेल की अगली स्थिति डीमल्टीप्लेक्सर के आउटपुट द्वारा निर्धारित होती है। यह ऑपरेशन फ्रेडकिन गेट से निकटता से संबंधित है।

गतिशीलता और बहुमत वर्गीकरण

उपरोक्त नियमों के विवरण से, इसकी गतिशीलता के दो महत्वपूर्ण गुण तुरंत देखे जा सकते हैं। सबसे पहले, नियम 184 में, आवधिक सीमा नियमों के साथ सेलों के किसी भी सीमित सेट के लिए, पैटर्न में 1s की संख्या और 0s की संख्या पैटर्न के विकास के समय अपरिवर्तित रहती है। नियम 184 और उसका प्रतिबिंब एकमात्र गैर-तुच्छ हैं। प्राथमिक सेलुलर ऑटोमेटन में संख्या संरक्षण का यह गुण होता है। इसी तरह, यदि 1s का घनत्व सेलों की अनंत श्रृंखला के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है, तो यह अपरिवर्तित रहता है क्योंकि ऑटोमेटन अपने चरणों को पूरा करता है। और दूसरा, चूँकि नियम 184 बाएं-दाएं उत्क्रमण के अनुसार सममित नहीं है, इसमें अलग समरूपता है: बाएं और दाएं को बदलना और साथ ही 0 और 1 प्रतीकों की भूमिकाओं को स्वैप करना एक ही अद्यतन नियम के साथ सेलुलर ऑटोमेटन उत्पन्न करता है।

नियम 184 में पैटर्न सामान्यतः शीघ्र ही स्थिर हो जाते हैं, या तो ऐसे पैटर्न में जिसमें सेल स्टेट्स प्रत्येक चरण में स्थिति बाईं ओर लॉकस्टेप में चलती है, या पैटर्न में जो प्रत्येक चरण में स्थिति दाईं ओर चलती है। विशेष रूप से, यदि अवस्था 1 वाली सेलों का प्रारंभिक घनत्व 50% से कम है, तो पैटर्न अवस्था 1 में सेलों के समूहों में स्थिर हो जाता है, दो इकाइयों की दूरी पर, अवस्था 0 में सेलों के ब्लॉक द्वारा समूहों को अलग कर दिया जाता है। इस प्रकार के पैटर्न दाईं ओर चलते हैं। दूसरी ओर, यदि प्रारंभिक घनत्व 50% से अधिक है, तो पैटर्न स्थिति 0 में सेलों के समूहों में स्थिर हो जाता है, दो इकाइयों के बीच अंतर होता है, समूहों को अवस्था 1 में सेलों के ब्लॉक द्वारा अलग किया जाता है, और इस प्रकार के पैटर्न बाईं ओर चलते हैं। यदि घनत्व ठीक 50% है, तो प्रारंभिक पैटर्न ऐसे पैटर्न में स्थिर हो जाता है (अधिक धीरे-धीरे), जिससे प्रत्येक चरण में बाईं या दाईं ओर बढ़ते हुए 0 और 1 का वैकल्पिक क्रम देखा जा सकता है।

बहुसंख्यक समस्या (सेलुलर ऑटोमेटन) सेल्युलर ऑटोमेटन के निर्माण की समस्या है, जो सेलों के किसी भी सीमित सेट पर चलने पर, इसकी अधिकांश सेलों द्वारा रखे गए मान की गणना कर सकती है। एक प्रकार से, नियम 184 इस समस्या का समाधान इस प्रकार करता है। यदि नियम 184 को 0 और 1 की असमान संख्या के साथ, आवधिक सीमा नियमों के साथ सेलों के एक सीमित सेट पर चलाया जाता है, तो प्रत्येक सेल अंततः बहुसंख्यक मान के दो निरंतर अवस्थाओं को अनंत बार देखेगी, लेकिन अल्पसंख्यक के दो निरंतर अवस्थाओं को देखेगी मान केवल परिमित रूप से अनेक बार चलाया जाता है। बहुसंख्यक समस्या को पूरी तरह से हल नहीं किया जा सकता है यदि यह आवश्यक हो कि सभी सेल्स अंततः बहुसंख्यक अवस्था में स्थिर हो जाएँ, लेकिन नियम 184 समाधान उस मानदंड को शिथिल करके इस असंभव परिणाम से बचता है, जिसके द्वारा ऑटोमेटन बहुमत को पहचानता है।

यातायात प्रवाह

नियम 184 की व्याख्या यातायात प्रवाह के अनुकरण के रूप में की गई। प्रत्येक 1 सेल वाहन से मेल खाता है, और प्रत्येक वाहन तभी आगे बढ़ता है जब उसके सामने संवृत स्थान हो।

यदि कोई नियम 184 में प्रत्येक 1-सेल की व्याख्या कण के रूप में करता है, तो ये कण अनेक तरह से यातायात की लेन में ऑटोमोबाइल के समान व्यवहार करते हैं: यदि उनके सामने संवृत स्थान है तो वे स्थिर गति से आगे बढ़ते हैं, और अन्यथा वे रुकते हैं। ट्रैफ़िक मॉडल जैसे नियम 184 और इसके सामान्यीकरण जो स्थान और समय दोनों को अलग करते हैं, सामान्यतः कण-होपिंग मॉडल कहलाते हैं। चूँकि बहुत ही प्राइम, यातायात प्रवाह का नियम 184 मॉडल पहले से ही वास्तविक यातायात की कुछ परिचित: यातायात हल्का होने पर संवृत सड़क के हिस्सों से अलग होकर स्वतंत्र रूप से चलने वाली कारों के समूह, और यातायात तरंग के रुकने और जाने की लहरें यातायात भारी होने पर उभरती विशेषताओं की भविष्यवाणी करता है

ट्रैफ़िक प्रवाह सिमुलेशन के लिए नियम 184 के पहले उपयोग को इंगित करना कठिन है, आंशिक रूप से क्योंकि इस क्षेत्र में अनुसंधान का ध्यान गणितीय अमूर्तता के उच्चतम स्तर को प्राप्त करने पर कम और सत्यता पर अधिक रहा है: यहां तक ​​कि सेलुलर ऑटोमेटन पर पहले के पेपर भी आधारित थे। ट्रैफ़िक प्रवाह सिमुलेशन सामान्यतः वास्तविक ट्रैफ़िक का अधिक स्पष्ट अनुकरण करने के लिए मॉडल को अधिक जटिल बनाता है। फिर भी, नियम 184 सेलुलर ऑटोमेटा द्वारा ट्रैफ़िक सिमुलेशन के लिए मौलिक है। वैंग, क्वांग & हुई (1998), उदाहरण के लिए, बताएं हैं कि एक-आयामी ट्रैफ़िक प्रवाह समस्या का वर्णन करने वाला मूल सेलुलर ऑटोमेटन मॉडल नियम 184 है। नागेल (1996) लिखते है कि ट्रैफ़िक के लिए सीए मॉडल का उपयोग करने वाला अधिकांश कार्य इस मॉडल पर आधारित है। अनेक लेखक अनेक गति से चलने वाले वाहनों के साथ एक-आयामी मॉडल का वर्णन करते हैं; ऐसे मॉडल सिंगल-स्पीड मामले में नियम 184 तक ख़राब हो जाते हैं। गेलॉर्ड & निशिडेट (1996) नियम 184 की गतिशीलता को लेन परिवर्तन के साथ दो-लेन राजमार्ग यातायात तक विस्तारित करें; उनका मॉडल नियम 184 के साथ यह गुण साझा करता है कि यह एक साथ बाएँ-दाएँ और 0-1 उत्क्रमण के अनुसार सममित है। बिहाम, मिडलटन & लेविन (1992) यातायात मॉडल का वर्णन करते हैं कि द्वि-आयामी शहर ग्रिड मॉडल जिसमें यातायात की व्यक्तिगत लेन की गतिशीलता अनिवार्य रूप से नियम 184 की है। सेल्युलर ऑटोमेटन ट्रैफ़िक मॉडलिंग और संबंधित सांख्यिकीय यांत्रिकी के गहन सर्वेक्षण के लिए, देखें मेरिवोएट & डी मूर (2005) और चौधरी, सैंटेन & शैडश्नाइडर (2000)।

नियम 184 को यातायात मॉडल के रूप में देखते समय वाहनों की औसत गति पर विचार करना स्वाभाविक है। जब यातायात का घनत्व 50% से कम होता है, तो यह औसत गति समय की प्रति इकाई दूरी की केवल एक इकाई होती है: प्रणाली स्थिर होने के बाद, कोई भी कार कभी धीमी नहीं होती है। चूँकि, जब घनत्व 1/2 से अधिक संख्या ρ होता है, तो यातायात की औसत गति ${\tfrac {1-\rho }{\rho }}$ होती है। इस प्रकार, प्रणाली दूसरे क्रम के गतिज चरण संक्रमण को ρ = 1/2 प्रदर्शित करता है। जब नियम 184 की व्याख्या यातायात मॉडल के रूप में की जाती है, और यादृच्छिक विन्यास से प्रारंभ किया जाता है, जिसका घनत्व इस महत्वपूर्ण मान पर ρ = 1/2 है, तब औसत गति चरणों की संख्या के वर्गमूल के रूप में अपनी स्थिर सीमा तक पहुंचती है। इसके अतिरिक्त, यादृच्छिक कॉन्फ़िगरेशन के लिए जिसका घनत्व महत्वपूर्ण मान पर नहीं है,तो वह सीमित गति का दृष्टिकोण घातीय है।

सतह निक्षेपण

सतह निक्षेपण के मॉडल के रूप में नियम 184। विकर्ण-उन्मुख वर्गाकार जाली बनाने वाले कणों की परत में, नए कण हर बार सतह के स्थानीय न्यूनतम पर चिपक जाते हैं। सेलुलर ऑटोमेटन सतह के स्थानीय ढलान का मॉडल बताता है।

जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, और जैसा कि मूल रूप से क्रुग & स्पॉन (1988) द्वारा वर्णित है, कि किसी सतह पर कणों के जमाव को मॉडल करने के लिए नियम 184 का उपयोग किया जा सकता है। इस मॉडल में, कणों का समूह होता है, जो विकर्ण रूप से उन्मुख वर्गाकार जाली में स्थिति के सबसेट पर स्वामित्व कर लेता है (आकृति में गहरे कण)। यदि कोई कण जाली के किसी स्थान पर उपस्थित है, तो जाली के नीचे और दाईं ओर, और कण के नीचे और बाईं ओर की स्थिति को भी भरा जाना चाहिए, इसलिए जाली का भरा हुआ हिस्सा अनंत रूप से नीचे की ओर बाईं और दाईं ओर फैलता है। भरे हुए और खाली स्थानों के बीच की सीमा (आकृति में पतली काली रेखा) की व्याख्या सतह के मॉडलिंग के रूप में की जाती है, जिस पर अधिक कण जमा हो सकते हैं। प्रत्येक समय चरण में, सतह के प्रत्येक स्थानीय न्यूनतम में नए कणों के जमाव से सतह बढ़ती है; अर्थात्, प्रत्येक स्थिति में जहां नया कण जोड़ना संभव है, जिसके नीचे दोनों ओर वर्तमान कण हैं (आकृति में हल्के कण)।

नियम 184 द्वारा इस प्रक्रिया को मॉडल करने के लिए, देखें कि भरी हुई और न भरी हुई जाली स्थितियों के बीच की सीमा को बहुभुज रेखा द्वारा चिह्नित किया जा सकता है, जिसके खंड आसन्न जाली स्थितियों को अलग करते हैं और ढलान +1 और −1 होते हैं। ढलान +1 वाले खंड को अवस्था 0 वाले ऑटोमेटन सेल द्वारा मॉडल करें, और ढलान −1 वाले खंड को अवस्था 1 वाले ऑटोमेटन सेल द्वारा मॉडल करें। सतह का स्थानीय न्यूनतम वे बिंदु हैं, जहां ढलान −1 का खंड बाईं ओर स्थित है, ढलान के खंड का +1; अर्थात्, ऑटोमेटन में, स्थिति जहां स्थिति 1 वाली सेल स्थिति 0 वाली सेल के बाईं ओर स्थित होती है। उस स्थिति में कण जोड़ना इन दो आसन्न सेलों की स्थिति को 1,0 से 0,1 तक परिवर्तित करने के अनुरूप है। इसलिए बहुभुज रेखा को आगे बढ़ाना चाहिए। यह बिल्कुल नियम 184 का व्यवहार है।

इस मॉडल पर संबंधित कार्य ऐसे निक्षेपण से संबंधित है, जिसमें अतिरिक्त कणों के आगमन का समय यादृच्छिक होता है, अतिरिक्त इसके कि कण एक साथ सभी स्थानीय मिनिमा पर पहुंचते हैं। इन स्टोकेस्टिक विकास प्रक्रियाओं को अतुल्यकालिक सेलुलर ऑटोमेटन के रूप में तैयार किया जा सकता है।

बैलिस्टिक विनाश

नियम 184 बैलिस्टिक विनाश के मॉडल के रूप में। कण और प्रतिकण (समान अवस्था वाली निरंतर सेलों द्वारा प्रतिरूपित) विपरीत दिशाओं में चलते हैं और टकराने पर एक दूसरे को नष्ट कर देते हैं।

बैलिस्टिक विनाश ऐसी प्रक्रिया का वर्णन करता है जिसके द्वारा गतिमान कण और प्रतिकण टकराने पर एक दूसरे को नष्ट कर देते हैं। इस प्रक्रिया के सबसे सरल संस्करण में, प्रणाली में एक ही प्रकार के कण और एंटीपार्टिकल होते हैं, जो एक-आयामी माध्यम में विपरीत दिशाओं में समान गति से चलते हैं।

इस प्रक्रिया को नियम 184 द्वारा निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है। कणों को उन बिंदुओं के रूप में तैयार किया जाता है जो ऑटोमेटन की सेलों के साथ नहीं, परन्तु सेलों के बीच अंतराल के साथ संरेखित होते हैं। दो निरंतर सेल्स जिनकी स्थिति 0 है, इन दो सेलों के बीच के स्थान पर कण को ​​मॉडल करती हैं, जो प्रत्येक समय चरण में सेल को दाईं ओर ले जाता है। सममित रूप से, दो निरंतर सेल्स, जिनमें से दोनों में प्रतिकण का 1 मॉडल होता है, जो प्रत्येक समय चरण में सेल को बाईं ओर ले जाता है। दो निरंतर सेलों के लिए शेष संभावनाएँ यह हैं कि उन दोनों की अवस्थाएँ भिन्न-भिन्न हैं; इसकी व्याख्या बिना किसी कण वाली पृष्ठभूमि सामग्री के मॉडलिंग के रूप में की जाती है, जिसके माध्यम से कण चलते हैं। इस व्याख्या के साथ, कण और प्रतिकण बैलिस्टिक विनाश द्वारा परस्पर क्रिया करते हैं: जब दाहिनी ओर गति करने वाला कण और बाईं ओर गति करने वाला प्रतिकण मिलते हैं, तो परिणाम पृष्ठभूमि का एक क्षेत्र होता है जहां से दोनों कण, बिना किसी अन्य निकटवर्ती कणों पर कोई प्रभाव डाले लुप्त हो जाते हैं।

कुछ अन्य प्रणालियों के व्यवहार, जैसे कि एक-आयामी चक्रीय सेलुलर ऑटोमेटन, को बैलिस्टिक विनाश के संदर्भ में भी वर्णित किया जा सकता है। नियम 184 के बैलिस्टिक विनाश दृश्य के लिए कण स्थिति पर तकनीकी प्रतिबंध है, जो इन अन्य प्रणालियों में उत्पन्न नहीं होता है, जो पृष्ठभूमि के वैकल्पिक पैटर्न से उत्पन्न होता है: नियम 184 अवस्था के अनुरूप कण प्रणाली में, यदि निरंतर दो दोनों कण एक ही प्रकार के हैं तो उनमें विषम संख्या में सेल्स अलग होनी चाहिए, जबकि यदि वे विपरीत प्रकार के हैं तो उनमें सेलों की संख्या सम होनी चाहिए। चूँकि यह समता प्रतिबंध इस प्रणाली के सांख्यिकीय व्यवहार में कोई भूमिका नहीं निभाता है।

पिवाटो (2007) नियम 184 के एक समान लेकिन अधिक जटिल कण-प्रणाली दृश्य का उपयोग करता है: वह न केवल वैकल्पिक 0-1 क्षेत्रों को पृष्ठभूमि के रूप में देखता है, परन्तु केवल एक ही स्थिति से युक्त क्षेत्रों को भी पृष्ठभूमि मानता है। इस दृष्टिकोण के आधार पर वह क्षेत्रों के बीच सीमाओं द्वारा निर्मित सात अलग-अलग कणों का वर्णन करता है, और उनकी संभावित अंतःक्रियाओं को वर्गीकृत करता है। विनाश प्रक्रियाओं के सेलुलर ऑटोमेटन मॉडल के अधिक सामान्य सर्वेक्षण के लिए चोपर्ड & ड्रोज़ (1998, pp. 188–190) देखें।

संदर्भ मुक्त पार्सिंग

अपनी पुस्तक एक नए तरह का विज्ञान में, स्टीफन वोल्फ्राम बताते हैं कि नियम 184, जब 50% घनत्व वाले पैटर्न पर चलाया जाता है, तो इसे नेस्टेड ब्रैकेट से बने तारों का वर्णन करने वाली संदर्भ मुक्त भाषा में पार्सिंग के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। यह व्याख्या नियम 184 के बैलिस्टिक विनाश दृष्टिकोण से निकटता से संबंधित है: वोल्फ्राम की व्याख्या में, संवृत कोष्ठक बाईं ओर चलने वाले कण से मेल खाता है जबकि निकटतम कोष्ठक दाहिनी ओर चलने वाले कण से मेल खाता है।

यह भी देखें

• नियम 30, नियम 90, और नियम 110, विभिन्न व्यवहार वाले अन्य एक-आयामी सेलुलर ऑटोमेटा

संदर्भ

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बाहरी संबंध

• Rule 184 in Wolfram's atlas of cellular automata