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[[Image:Hasse diagram of powerset of 3.svg|thumb|right|300px|तीन तत्वों के [[ सत्ता स्थापित ]] का [[हस्से आरेख]], समावेशन द्वारा आंशिक क्रम (सेट सिद्धांत)।]]गणित में, विशेष रूप से ऑर्डर सिद्धांत में, आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट का कवरिंग संबंध [[द्विआधारी संबंध]] है जो तुलनात्मक तत्वों के बीच होता है जो तत्काल पड़ोसी होते हैं। कवरिंग रिलेशन का उपयोग आमतौर पर हासे आरेख के माध्यम से आंशिक क्रम को ग्राफिक रूप से व्यक्त करने के लिए किया जाता है।
[[Image:Hasse diagram of powerset of 3.svg|thumb|right|300px|तीन अवयवों के [[ सत्ता स्थापित |सत्ता स्थापित]] का [[हस्से आरेख]], समावेशन द्वारा आंशिक क्रम (सेट सिद्धांत)।]]गणित में, विशेष रूप से ऑर्डर सिद्धांत में, आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट का '''आवरण संबंध''' [[द्विआधारी संबंध]] है जो तुलनात्मक अवयवों के बीच होता है जो तत्काल निकट होते हैं। आवरण सम्बन्ध का उपयोग सामान्यतः हासे आरेख के माध्यम से आंशिक क्रम को ग्राफिक रूप से व्यक्त करने के लिए किया जाता है।


== परिभाषा ==
== परिभाषा                                                                                                                               ==
होने देना <math>X</math> आंशिक क्रम वाला सेट बनें <math>\le</math>.
मान लीजिए कि <math>X</math> आंशिक क्रम <math>\le</math> वाला एक समुच्चय है। हमेशा की तरह मान लीजिए कि X पर संबंध <math><</math> इस प्रकार है कि <math>x<y</math> यदि और केवल यदि <math>x\le y</math> और <math>x\neq y</math> है
हमेशा की तरह, चलो <math><</math> संबंध पर हो <math>X</math> ऐसा है कि <math>x<y</math> अगर और केवल अगर <math>x\le y</math> और <math>x\neq y</math>.


होने देना <math>x</math> और <math>y</math> के तत्व हों <math>X</math>.
माना <math>x</math> और <math>y</math> <math>X</math> के अवयव है .फिर <math>y</math>, <math>x</math> को आवरण करता है, जिसे लिखा <math>x<y</math> जाता है, यदि <math>x\lessdot y</math> और ऐसा कोई अवयव <math>z</math> नहीं है, जो कि <math>x<z<y</math> हो समान रूप से, <math>y</math>, <math>x</math> को आवरण करता है यदि अंतराल <math>[x,y]</math> दो-अवयव सेट <math>\{x,y\}</math> है


तब <math>y</math> कवर <math>x</math>, लिखा हुआ <math>x\lessdot y</math>,
जब <math>x\lessdot y</math>, तो यह कहा जाता है कि <math>y</math>, <math>x</math> का आवरण है। कुछ लेखक आवरण सम्बन्ध में ऐसी किसी जोड़ी <math>(x,y)</math> को दर्शाने के लिए आवरण शब्द का भी उपयोग करते हैं।
अगर <math>x<y</math> और कोई तत्व नहीं है <math>z</math> ऐसा है कि <math>x<z<y</math>. समान रूप से, <math>y</math> कवर <math>x</math> यदि आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट#अंतराल <math>[x,y]</math> दो-तत्व सेट है <math>\{x,y\}</math>.


कब <math>x\lessdot y</math>, कहते है कि <math>y</math> का आवरण है <math>x</math>. कुछ लेखक ऐसी किसी जोड़ी को दर्शाने के लिए कवर शब्द का भी उपयोग करते हैं <math>(x,y)</math> कवरिंग रिलेशन में.
== उदाहरण                                                          ==


== उदाहरण ==
* एक परिमित रैखिक रूप से क्रमित सेट {1, 2, ..., n} में, i + 1, 1 और n - 1 के बीच सभी i के लिए i को आवरण करता है (और कोई अन्य आवरण संबंध नहीं हैं)।
 
* सेट s के पावर सेट के [[बूलियन बीजगणित (संरचना)]] में, s का उपसमुच्चय b, s के उपसमुच्चय a को आवरण करता है यदि और केवल यदि a से अवयव जोड़कर b प्राप्त किया जाता है जो a में नहीं है।
* एक परिमित रैखिक रूप से क्रमित सेट {1, 2, ..., n} में, i + 1, 1 और n - 1 के बीच सभी i के लिए i को कवर करता है (और कोई अन्य कवरिंग संबंध नहीं हैं)।
* यंग की जाली में, सभी गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के [[विभाजन (संख्या सिद्धांत)]] द्वारा गठित, विभाजन λ विभाजन μ को आवरण करता है यदि और केवल यदि λ का यंग आरेख अतिरिक्त सेल जोड़कर μ के यंग आरेख से प्राप्त किया जाता है।
* सेट एस के पावर सेट के [[बूलियन बीजगणित (संरचना)]] में, एस का उपसमुच्चय बी, एस के उपसमुच्चय ए को कवर करता है यदि और केवल यदि ए से तत्व जोड़कर बी प्राप्त किया जाता है जो ए में नहीं है।
* तामरी जाली के आवरण संबंध को दर्शाने वाला भाग आरेख [[सहफलक]] का एन-कंकाल है।
* यंग की जाली में, सभी गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के [[विभाजन (संख्या सिद्धांत)]] द्वारा गठित, विभाजन λ विभाजन μ को कवर करता है यदि और केवल यदि λ का यंग आरेख अतिरिक्त सेल जोड़कर μ के यंग आरेख से प्राप्त किया जाता है।
* तामरी जाली के आवरण संबंध को दर्शाने वाला हस्से आरेख [[सहफलक]] का एन-कंकाल है।
* किसी भी परिमित वितरण जालक का आवरण संबंध [[माध्यिका ग्राफ]] बनाता है।
* किसी भी परिमित वितरण जालक का आवरण संबंध [[माध्यिका ग्राफ]] बनाता है।
* सामान्य कुल क्रम ≤ के साथ [[वास्तविक संख्या]]ओं पर, कवर सेट खाली है: कोई भी संख्या दूसरे को कवर नहीं करती है।
* सामान्य कुल क्रम ≤ के साथ [[वास्तविक संख्या]]ओं पर, आवरण सेट खाली है: कोई भी संख्या दूसरे को आवरण नहीं करती है।


== गुण ==
== गुण                                                                                                                                                                                                           ==
* यदि आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट परिमित है, तो इसका कवरिंग संबंध आंशिक ऑर्डर संबंध की [[सकर्मक कमी]] है। इसलिए ऐसे आंशिक रूप से क्रमित सेटों को उनके हस्से आरेखों द्वारा पूरी तरह से वर्णित किया गया है। दूसरी ओर, [[सघन क्रम]] में, जैसे कि मानक क्रम वाली परिमेय संख्याएँ, कोई भी तत्व दूसरे को कवर नहीं करता है।
* यदि आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट परिमित है, तो इसका आवरण संबंध आंशिक ऑर्डर संबंध की [[सकर्मक कमी]] है। इसलिए ऐसे आंशिक रूप से क्रमित सेटों को उनके हस्से आरेखों द्वारा पूरी तरह से वर्णित किया गया है। दूसरी ओर, [[सघन क्रम]] में, जैसे कि मानक क्रम वाली परिमेय संख्याएँ, कोई भी अवयव दूसरे को आवरण नहीं करता है।


==संदर्भ==
==संदर्भ                                                                                                                                                                                                         ==


* {{Citation | last = Knuth | first = Donald E. | author-link = Donald Knuth | year = 2006 | title = [[The Art of Computer Programming]], Volume 4, Fascicle 4 | publisher = Addison-Wesley | isbn = 0-321-33570-8}}.
* {{Citation | last = Knuth | first = Donald E. | author-link = Donald Knuth | year = 2006 | title = [[The Art of Computer Programming]], Volume 4, Fascicle 4 | publisher = Addison-Wesley | isbn = 0-321-33570-8}}.
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For गणित में कवर के अन्य उपयोग, see कवर (गणित).
तीन अवयवों के सत्ता स्थापित का हस्से आरेख, समावेशन द्वारा आंशिक क्रम (सेट सिद्धांत)।

गणित में, विशेष रूप से ऑर्डर सिद्धांत में, आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट का आवरण संबंध द्विआधारी संबंध है जो तुलनात्मक अवयवों के बीच होता है जो तत्काल निकट होते हैं। आवरण सम्बन्ध का उपयोग सामान्यतः हासे आरेख के माध्यम से आंशिक क्रम को ग्राफिक रूप से व्यक्त करने के लिए किया जाता है।

परिभाषा

मान लीजिए कि आंशिक क्रम वाला एक समुच्चय है। हमेशा की तरह मान लीजिए कि X पर संबंध इस प्रकार है कि यदि और केवल यदि और है

माना और के अवयव है .फिर , को आवरण करता है, जिसे लिखा जाता है, यदि और ऐसा कोई अवयव नहीं है, जो कि हो समान रूप से, , को आवरण करता है यदि अंतराल दो-अवयव सेट है

जब , तो यह कहा जाता है कि , का आवरण है। कुछ लेखक आवरण सम्बन्ध में ऐसी किसी जोड़ी को दर्शाने के लिए आवरण शब्द का भी उपयोग करते हैं।

उदाहरण

  • एक परिमित रैखिक रूप से क्रमित सेट {1, 2, ..., n} में, i + 1, 1 और n - 1 के बीच सभी i के लिए i को आवरण करता है (और कोई अन्य आवरण संबंध नहीं हैं)।
  • सेट s के पावर सेट के बूलियन बीजगणित (संरचना) में, s का उपसमुच्चय b, s के उपसमुच्चय a को आवरण करता है यदि और केवल यदि a से अवयव जोड़कर b प्राप्त किया जाता है जो a में नहीं है।
  • यंग की जाली में, सभी गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के विभाजन (संख्या सिद्धांत) द्वारा गठित, विभाजन λ विभाजन μ को आवरण करता है यदि और केवल यदि λ का यंग आरेख अतिरिक्त सेल जोड़कर μ के यंग आरेख से प्राप्त किया जाता है।
  • तामरी जाली के आवरण संबंध को दर्शाने वाला भाग आरेख सहफलक का एन-कंकाल है।
  • किसी भी परिमित वितरण जालक का आवरण संबंध माध्यिका ग्राफ बनाता है।
  • सामान्य कुल क्रम ≤ के साथ वास्तविक संख्याओं पर, आवरण सेट खाली है: कोई भी संख्या दूसरे को आवरण नहीं करती है।

गुण

  • यदि आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट परिमित है, तो इसका आवरण संबंध आंशिक ऑर्डर संबंध की सकर्मक कमी है। इसलिए ऐसे आंशिक रूप से क्रमित सेटों को उनके हस्से आरेखों द्वारा पूरी तरह से वर्णित किया गया है। दूसरी ओर, सघन क्रम में, जैसे कि मानक क्रम वाली परिमेय संख्याएँ, कोई भी अवयव दूसरे को आवरण नहीं करता है।

संदर्भ

  • Knuth, Donald E. (2006), The Art of Computer Programming, Volume 4, Fascicle 4, Addison-Wesley, ISBN 0-321-33570-8.
  • Stanley, Richard P. (1997), Enumerative Combinatorics, vol. 1 (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-55309-1.
  • Brian A. Davey; Hilary Ann Priestley (2002), Introduction to Lattices and Order (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-78451-4, LCCN 2001043910.
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