विर्टिंगर डेरिवेटिव

जटिल विश्लेषण और कई जटिल चर में, विर्टिंगर डेरिवेटिव (कभी-कभी विर्टिंगर ऑपरेटर भी कहा जाता है), विलियम विर्टिंगर के नाम पर रखा गया, जिन्होंने 1927 में उन्हें कई जटिल चर पर अपने अध्ययन के दौरान पेश किया, पहले क्रम के आंशिक अंतर संचालक हैं जो एक वास्तविक के एक कार्य के संबंध में साधारण यौगिक के समान व्यवहार करते हैं। चर, जब होलोमोर्फिक कार्यों, [[एंटीहोलोमॉर्फिक फ़ंक्शन]] या डोमेन (गणितीय विश्लेषण) पर केवल अलग-अलग कार्यों पर लागू होता है। ये ऑपरेटर ऐसे कार्यों के लिए एक अंतर कलन के निर्माण की अनुमति देते हैं जो वास्तविक चर के कार्य के लिए साधारण अंतर कलन के समान है।

ऐतिहासिक नोट्स

शुरुआती दिन (1899-1911): हेनरी पोंकारे का कार्य

विर्टिंगर डेरिवेटिव का उपयोग जटिल विश्लेषण में कम से कम पेपर के रूप में किया गया था (Poincaré 1899), जैसा कि संक्षेप में नोट किया गया है Cherry & Ye (2001, p. 31) और तक Remmert (1991, pp. 66–67). वास्तव में, उनके 1899 के पेपर के तीसरे पैराग्राफ में, हेनरी पॉइनकेयर पहले जटिल चर को परिभाषित करता है $\mathbb {C} ^{n}$ और इसका जटिल संयुग्म निम्नानुसार है

${\begin{cases}x_{k}+iy_{k}=z_{k}\\x_{k}-iy_{k}=u_{k}\end{cases}}\qquad 1\leqslant k\leqslant n.$

फिर वह फलनों को परिभाषित करने वाला समीकरण लिखता है $V$ वह बिहारमोनिक कहते हैं, वास्तविक संख्या चर (गणित) के संबंध में आंशिक डेरिवेटिव का उपयोग करके पहले लिखा गया $x_{k},y_{q}$ साथ $k,q$ 1 से लेकर $n$, बिल्कुल निम्न तरीके से

${\frac {d^{2}V}{dz_{k}\,du_{q}}}=0$

इसका तात्पर्य यह है कि उन्होंने अप्रत्यक्ष रूप से उपयोग किया definition 2 नीचे: इसे देखने के लिए समीकरण 2 और 2' की तुलना करना पर्याप्त है (Poincaré 1899, p. 112). जाहिर है, इस पेपर को कई जटिल चरों में शुरुआती शोधकर्ताओं द्वारा नहीं देखा गया था: के कागजात में Levi-Civita (1905), Levi (1910) (और Levi 1911) और का Amoroso (1912) सिद्धांत के सभी मौलिक आंशिक अंतर संचालकों को शामिल जटिल चरों के वास्तविक भाग और काल्पनिक भागों के संबंध में आंशिक डेरिवेटिव का उपयोग करके सीधे व्यक्त किया जाता है। द्वारा लंबे सर्वेक्षण पत्र में Osgood (1966) (पहली बार 1913 में प्रकाशित), कई जटिल चर के प्रत्येक जटिल चर के संबंध में आंशिक डेरिवेटिव औपचारिक डेरिवेटिव के रूप में प्रतीत होते हैं: तथ्य की बात के रूप में जब विलियम फॉग ऑसगूड प्लुरिहार्मोनिक ऑपरेटर को व्यक्त करता है और लेवी संचालक, वह लुइगी अमोरोसो, यूजेनियो एलिया लेवी और टुल्लियो लेवी-सिविता|लेवी-सिविता की स्थापित प्रथा का पालन करता है।

1912 और 1913 में दिमित्रि पोम्पेउ का कार्य: एक नया सूत्रीकरण

के अनुसार Henrici (1993, p. 294), अवधारणा की परिभाषा में एक नया कदम डेमेट्रियस पॉम्पी द्वारा लिया गया था: पेपर में (Pompeiu 1912), एक जटिल चर के एक जटिल संख्या विभेदक कार्य (वास्तविक विश्लेषण के अर्थ में) दिया गया $g(z)$ किसी दिए गए बिंदु (गणित) के पड़ोस (गणित) में परिभाषित $z_{0}\in \mathbb {C} ,$ वह एरोलर व्युत्पन्न को निम्नलिखित सीमा (गणित) के रूप में परिभाषित करता है

${{\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})}\mathrel {\overset {\mathrm {def} }{=}} \lim _{r\to 0}{\frac {1}{2\pi ir^{2}}}\oint _{\Gamma (z_{0},r)}g(z)\mathrm {d} z,$

कहाँ $\Gamma (z_{0},r)=\partial D(z_{0},r)$ त्रिज्या की एक डिस्क (गणित) की सीमा (टोपोलॉजी) है $r$ के एक कार्य के डोमेन में पूरी तरह से निहित है $g(z),$ यानी उसका बाउंडिंग घेरा यह स्पष्ट रूप से जटिल संयुग्म चर (गणित) के लिए विर्टिंगर व्युत्पन्न सम्मान की एक वैकल्पिक परिभाषा है: यह एक अधिक सामान्य है, क्योंकि, जैसा कि ए द्वारा नोट किया गया है Henrici (1993, p. 294), सीमा उन कार्यों के लिए मौजूद हो सकती है जो यहां तक ​​कि अलग-अलग कार्य नहीं हैं $z=z_{0}.$ के अनुसार Fichera (1969, p. 28), सामान्यीकृत व्युत्पन्न में एक कमजोर व्युत्पन्न के रूप में क्षेत्रीय व्युत्पन्न की पहचान करने वाले पहले उनका वेकुआ थे। उसके बाद के पेपर में, Pompeiu (1913) इस नई परिभाषित अवधारणा का उपयोग कॉची के अभिन्न सूत्र के अपने सामान्यीकरण को प्रस्तुत करने के लिए करता है, जिसे अब कॉची-पोम्पेउ सूत्र कहा जाता है।

विल्हेम विर्टिंगर का कार्य

विर्टिंगर डेरिवेटिव्स का पहला व्यवस्थित परिचय पेपर में विल्हेम विर्टिंगर के कारण लगता है Wirtinger 1927 कई जटिल चरों में होने वाली मात्राओं की गणना को सरल बनाने के लिए: इन अंतर ऑपरेटरों की शुरूआत के परिणामस्वरूप, सिद्धांत में आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले सभी अंतर ऑपरेटरों का रूप, जैसे लेवी ऑपरेटर और कॉची-रीमैन समीकरण | कॉची-रीमैन ऑपरेटर, काफी सरल है और इसके परिणामस्वरूप इसे संभालना आसान है। पेपर को जानबूझकर एक औपचारिक दृष्टिकोण से लिखा गया है, यानी बिना निकाले गए गुणों की कठोर व्युत्पत्ति दिए बिना।

औपचारिक परिभाषा

उनके सर्वव्यापी उपयोग के बावजूद, ऐसा लगता है कि विर्टिंगर डेरिवेटिव्स के सभी गुणों को सूचीबद्ध करने वाला कोई पाठ नहीं है: हालांकि, कई जटिल चरों पर संक्षिप्त पाठ्यक्रम काफी पूर्ण संदर्भ हैं Andreotti (1976, pp. 3–5), का प्रबंध Gunning & Rossi (1965, pp. 3–6), और का मोनोग्राफ Kaup & Kaup (1983, p. 2,4) जिनका उपयोग इस और अगले अनुभागों में सामान्य संदर्भ के रूप में किया गया है।

एक जटिल चर के कार्य

Definition 1. जटिल तल पर विचार करें $\mathbb {C} \equiv \mathbb {R} ^{2}=\{(x,y)\mid x,y\in \mathbb {R} \}.$ विर्टिंगर डेरिवेटिव्स को पहले क्रम के निम्नलिखित रैखिक ऑपरेटर आंशिक अंतर ऑपरेटरों के रूप में परिभाषित किया गया है:

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\end{aligned}}$

स्पष्ट रूप से, इन आंशिक अंतर संचालकों की परिभाषा के एक कार्य का प्राकृतिक डोमेन, स्मूथ फ़ंक्शन # डिफरेंशिबिलिटी क्लासेस का स्थान है।$C^{1}$ एक डोमेन पर कार्य (गणितीय विश्लेषण) $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{2},$ लेकिन, चूंकि ये ऑपरेटर रैखिक हैं और निरंतर गुणांक रखते हैं, इसलिए उन्हें सामान्यीकृत कार्यों के हर कार्य स्थान पर आसानी से बढ़ाया जा सकता है।

=== n > 1 जटिल चर === के कार्य Definition 2. जटिल क्षेत्र पर यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर विचार करें

$$\mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{2n}=\left\{\left(\mathbf {x} ,\mathbf {y} \right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}\right)\mid \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}\right\}.$$

विर्टिंगर डेरिवेटिव्स को पहले क्रम के निम्नलिखित रैखिक ऑपरेटर आंशिक अंतर ऑपरेटरों के रूप में परिभाषित किया गया है:

$${\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{1}}}\right)\\\qquad \vdots \\{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{n}}}\right)\\\end{cases}},\qquad {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{1}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{1}}}\right)\\\qquad \vdots \\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{n}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{n}}}\right)\\\end{cases}}.$$

एक जटिल चर के कार्यों के लिए विर्टिंगर डेरिवेटिव्स के लिए, इन आंशिक अंतर ऑपरेटरों की परिभाषा के एक फ़ंक्शन का प्राकृतिक डोमेन फिर से स्मूथ फ़ंक्शन का स्थान है#भिन्नता वर्ग|$C^{1}$ एक डोमेन पर कार्य (गणितीय विश्लेषण) $\Omega \subset \mathbb {R} ^{2n},$ और फिर, चूंकि ये ऑपरेटर रैखिक हैं और निरंतर गुणांक रखते हैं, इसलिए उन्हें सामान्यीकृत कार्यों के प्रत्येक कार्य स्थान पर आसानी से बढ़ाया जा सकता है।

मूल गुण

वर्तमान खंड में और निम्नलिखित में यह माना जाता है कि $z\in \mathbb {C} ^{n}$ एक जटिल वेक्टर है और वह $z\equiv (x,y)=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})$ कहाँ $x,y$ वास्तविक सदिश हैं, n ≥ 1 के साथ: यह भी माना जाता है कि उपसमुच्चय $\Omega$ वास्तविक संख्या यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक डोमेन (गणितीय विश्लेषण) के रूप में सोचा जा सकता है $\mathbb {R} ^{2n}$ या इसके समरूपता जटिल क्षेत्र समकक्ष में $\mathbb {C} ^{n}.$ सभी प्रमाणों के आसान परिणाम हैं definition 1 और definition 2 और व्युत्पन्न (गणित) (साधारण या आंशिक व्युत्पन्न) के संबंधित गुणों की।

रैखिकता

Lemma 1. अगर $f,g\in C^{1}(\Omega )$ और $\alpha ,\beta$ सम्मिश्र संख्याएँ हैं, तो for $i=1,\dots ,n$ निम्नलिखित समानताएं रखती हैं

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\left(\alpha f+\beta g\right)&=\alpha {\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}+\beta {\frac {\partial g}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}\left(\alpha f+\beta g\right)&=\alpha {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}+\beta {\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\end{aligned}}$

उत्पाद नियम

Lemma 2. अगर $f,g\in C^{1}(\Omega ),$ फिर के लिए $i=1,\dots ,n$ उत्पाद नियम धारण करता है

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}(f\cdot g)&={\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}\cdot g+f\cdot {\frac {\partial g}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}(f\cdot g)&={\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\cdot g+f\cdot {\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\end{aligned}}$

इस संपत्ति का तात्पर्य है कि विर्टिंगर डेरिवेटिव अमूर्त बीजगणित के दृष्टिकोण से [[व्युत्पत्ति (सार बीजगणित)]] हैं, बिल्कुल सामान्य डेरिवेटिव की तरह।

श्रृंखला नियम

यह संपत्ति एक और कई जटिल चर के कार्यों के लिए क्रमशः दो अलग-अलग रूप लेती है: n > 1 मामले के लिए, श्रृंखला नियम को उसकी पूर्ण व्यापकता में व्यक्त करने के लिए दो डोमेन (गणितीय विश्लेषण) पर विचार करना आवश्यक है। $\Omega '\subseteq \mathbb {C} ^{m}$ और $\Omega ''\subseteq \mathbb {C} ^{p}$ और दो मानचित्र (गणित) $g:\Omega '\to \Omega$ और $f:\Omega \to \Omega ''$ प्राकृतिक चिकनी कार्य आवश्यकताओं वाले।

एक जटिल चर के कार्य

Lemma 3.1 अगर $f,g\in C^{1}(\Omega ),$ और $g(\Omega )\subseteq \Omega ,$ तो श्रृंखला नियम धारण करता है

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z}}(f\circ g)&=\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\circ g\right){\frac {\partial g}{\partial z}}+\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}}{\partial z}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}(f\circ g)&=\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\circ g\right){\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}}}+\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}}{\partial {\bar {z}}}}\end{aligned}}$

n > 1 जटिल चर के कार्य

Lemma 3.2 अगर $g\in C^{1}(\Omega ',\Omega )$ और $f\in C^{1}(\Omega ,\Omega ''),$ फिर के लिए $i=1,\dots ,m$ श्रृंखला नियम का निम्नलिखित रूप धारण करता है

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\left(f\circ g\right)&=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial g_{j}}{\partial z_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}_{j}}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}\left(f\circ g\right)&=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial g_{j}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}_{j}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\end{aligned}}$

संयुग्मन

Lemma 4. अगर $f\in C^{1}(\Omega ),$ फिर के लिए $i=1,\dots ,n$ निम्नलिखित समानताएं रखती हैं

${\begin{aligned}{\overline {\left({\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}\right)}}&={\frac {\partial {\bar {f}}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\\{\overline {\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\right)}}&={\frac {\partial {\bar {f}}}{\partial z_{i}}}\end{aligned}}$

यह भी देखें

• सीआर-फ़ंक्शन
• डोलबियॉल्ट कॉम्प्लेक्स
• डोलबियॉल्ट ऑपरेटर
• प्लुरिहार्मोनिक फ़ंक्शन

संदर्भ

ऐतिहासिक संदर्भ

• Amoroso, Luigi (1912), "Sopra un problema al contorno", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (in italiano), 33 (1): 75–85, doi:10.1007/BF03015289, JFM 43.0453.03, S2CID 122956910. एक सीमा मूल्य समस्या पर (शीर्षक का मुफ्त अनुवाद) पहला पेपर है जहां कई जटिल चरों के लिए डिरिचलेट समस्या की हल करने की क्षमता के लिए (काफी जटिल) आवश्यक और पर्याप्त शर्तों का एक सेट दिया गया है।
• Cherry, W.; Ye, Z. (2001), Nevanlinna's theory of value distribution: the second main theorem and its error terms, Springer Monographs in Mathematics, Berlin: Springer Verlag, pp. XII+202, ISBN 978-3-540-66416-1, MR 1831783, Zbl 0981.30001.
• Fichera, Gaetano (1969), "Derivata areolare e funzioni a variazione limitata", Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées (in italiano), XIV (1): 27–37, MR 0265616, Zbl 0201.10002. एरोलर डेरिवेटिव और बाउंड वेरिएशन के कार्य (शीर्षक का मुफ्त अंग्रेजी अनुवाद) एरिओलर डेरिवेटिव के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण संदर्भ पत्र है।
• Levi, Eugenio Elia (1910), "Studii sui punti singolari essenziali delle funzioni analitiche di due o più variabili complesse", Annali di Matematica Pura ed Applicata, s. III (in italiano), XVII (1): 61–87, doi:10.1007/BF02419336, JFM 41.0487.01, S2CID 122678686. दो या दो से अधिक जटिल चरों (शीर्षक का अंग्रेजी अनुवाद) के विश्लेषणात्मक कार्यों के आवश्यक एकवचन बिंदुओं पर अध्ययन कई जटिल चरों में एक महत्वपूर्ण पेपर है, जहां यह निर्धारित करने की समस्या है कि किस प्रकार की ऊनविम पृष्ठ एक डोमेन की सीमा (टोपोलॉजी) हो सकती है। होलोमॉर्फी का।
• Levi, Eugenio Elia (1911), "Sulle ipersuperficie dello spazio a 4 dimensioni che possono essere frontiera del campo di esistenza di una funzione analitica di due variabili complesse", Annali di Matematica Pura ed Applicata, s. III (in italiano), XVIII (1): 69–79, doi:10.1007/BF02420535, JFM 42.0449.02, S2CID 120133326. 4-आयामी अंतरिक्ष के हाइपरसर्फ्स पर जो दो जटिल चर (शीर्षक का अंग्रेजी अनुवाद) के एक विश्लेषणात्मक कार्य के अस्तित्व के डोमेन की सीमा हो सकती है, कई जटिल चर में एक और महत्वपूर्ण पेपर है, आगे की जांच में सिद्धांत शुरू हुआ (Levi 1910).
• Levi-Civita, Tullio (1905), "Sulle funzioni di due o più variabili complesse", Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, 5 (in italiano), XIV (2): 492–499, JFM 36.0482.01. दो या दो से अधिक जटिल चरों के कार्यों पर (शीर्षक का मुफ्त अंग्रेजी अनुवाद) पहला पेपर है जहां कई जटिल चरों के लिए कॉची समस्या की हल करने की क्षमता के लिए पर्याप्त शर्त दी गई है।
• Osgood, William Fogg (1966) [1913], Topics in the theory of functions of several complex variables (unabridged and corrected ed.), New York: Dover, pp. IV+120, JFM 45.0661.02, MR 0201668, Zbl 0138.30901.
• Peschl, Ernst (1932), "Über die Krümmung von Niveaukurven bei der konformen Abbildung einfachzusammenhängender Gebiete auf das Innere eines Kreises. Eine Verallgemeinerung eines Satzes von E. Study.", Mathematische Annalen (in Deutsch), 106: 574–594, doi:10.1007/BF01455902, JFM 58.1096.05, MR 1512774, S2CID 127138808, Zbl 0004.30001, DigiZeitschriften पर उपलब्ध है।
• Poincaré, H. (1899), "Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes", Acta Mathematica (in français), 22 (1): 89–178, doi:10.1007/BF02417872, JFM 29.0370.02.
• Pompeiu, D. (1912), "Sur une classe de fonctions d'une variable complexe", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (in français), 33 (1): 108–113, doi:10.1007/BF03015292, JFM 43.0481.01, S2CID 120717465.
• Pompeiu, D. (1913), "Sur une classe de fonctions d'une variable complexe et sur certaines équations intégrales", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (in français), 35 (1): 277–281, doi:10.1007/BF03015607, S2CID 121616964.
• Vekua, I. N. (1962), Generalized Analytic Functions, International Series of Monographs in Pure and Applied Mathematics, vol. 25, London–Paris–Frankfurt: Pergamon Press, pp. xxx+668, MR 0150320, Zbl 0100.07603
• Wirtinger, Wilhelm (1927), "Zur formalen Theorie der Funktionen von mehr komplexen Veränderlichen", Mathematische Annalen (in Deutsch), 97: 357–375, doi:10.1007/BF01447872, JFM 52.0342.03, S2CID 121149132, DigiZeitschriften पर उपलब्ध है। इस महत्वपूर्ण पत्र में, विर्टिंगर कई जटिल चरों में कई महत्वपूर्ण अवधारणाओं का परिचय देता है, जैसे कि विर्टिंगर के डेरिवेटिव और स्पर्शरेखा कॉची-रीमैन की स्थिति।

वैज्ञानिक संदर्भ

• Andreotti, Aldo (1976), Introduzione all'analisi complessa (Lezioni tenute nel febbraio 1972), Contributi del Centro Linceo Interdisciplinare di Scienze Matematiche e Loro Applicazioni (in italiano), vol. 24, Rome: Accademia Nazionale dei Lincei, p. 34, archived from the original on 2012-03-07, retrieved 2010-08-28. जटिल विश्लेषण का परिचय फरवरी 1972 में बेनियामिनो सेग्रे इंटरडिसिप्लिनरी सेंटर फॉर मैथमेटिकल साइंसेज एंड देयर एप्लीकेशन बेनियामिनो सेग्रे में आयोजित कई जटिल चर के कार्यों के सिद्धांत में एक छोटा कोर्स है।
• Fichera, Gaetano (1986), "Unification of global and local existence theorems for holomorphic functions of several complex variables", Memorie della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, 8, 18 (3): 61–83, MR 0917525, Zbl 0705.32006.
• Gunning, Robert C.; Rossi, Hugo (1965), Analytic Functions of Several Complex Variables, Prentice-Hall series in Modern Analysis, Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, pp. xiv+317, ISBN 9780821869536, MR 0180696, Zbl 0141.08601.
• Gunning, Robert C. (1990), Introduction to Holomorphic Functions of Several Variables. Volume I: Function Theory, Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series, Belmont, California: Wadsworth & Brooks/Cole, pp. xx+203, ISBN 0-534-13308-8, MR 1052649, Zbl 0699.32001.
• Henrici, Peter (1993) [1986], Applied and Computational Complex Analysis Volume 3, Wiley Classics Library (Reprint ed.), New York–Chichester–Brisbane–Toronto–Singapore: John Wiley & Sons, pp. X+637, ISBN 0-471-58986-1, MR 0822470, Zbl 1107.30300.
• Hörmander, Lars (1990) [1966], An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North–Holland Mathematical Library, vol. 7 (3rd (Revised) ed.), Amsterdam–London–New York–Tokyo: North-Holland, ISBN 0-444-88446-7, MR 1045639, Zbl 0685.32001.
• Kaup, Ludger; Kaup, Burchard (1983), Holomorphic functions of several variables, de Gruyter Studies in Mathematics, vol. 3, Berlin–New York: Walter de Gruyter, pp. XV+349, ISBN 978-3-11-004150-7, MR 0716497, Zbl 0528.32001.
• Kracht, Manfred; Kreyszig, Erwin (1988), Methods of Complex Analysis in Partial Differential Equations and Applications, Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts, New York–Chichester–Brisbane–Toronto–Singapore: John Wiley & Sons, pp. xiv+394, ISBN 0-471-83091-7, MR 0941372, Zbl 0644.35005.
• Martinelli, Enzo (1984), Introduzione elementare alla teoria delle funzioni di variabili complesse con particolare riguardo alle rappresentazioni integrali, Contributi del Centro Linceo Interdisciplinare di Scienze Matematiche e Loro Applicazioni (in italiano), vol. 67, Rome: Accademia Nazionale dei Lincei, pp. 236+II, archived from the original on 2011-09-27, retrieved 2010-08-24. अभिन्न अभ्यावेदन (शीर्षक का अंग्रेजी अनुवाद) के संबंध में विशेष रूप से जटिल चर के कार्यों के सिद्धांत के लिए प्राथमिक परिचय, लिंसी की राष्ट्रीय अकादमी द्वारा प्रकाशित एक पाठ्यक्रम के रूप में नोट्स हैं, जो मार्टिनेली द्वारा आयोजित किया गया था जब वह प्रोफ़ेसर लिन्सेओ थे।
• Remmert, Reinhold (1991), Theory of Complex Functions, Graduate Texts in Mathematics, vol. 122 (Fourth corrected 1998 printing ed.), New York–Berlin–Heidelberg–Barcelona–Hong Kong–London–Milan–Paris–Singapore–Tokyo: Springer Verlag, pp. xx+453, ISBN 0-387-97195-5, MR 1084167, Zbl 0780.30001 ISBN 978-0-387-97195-7. विषय पर कई ऐतिहासिक नोट्स सहित जटिल विश्लेषण पर एक पाठ्यपुस्तक।
• Severi, Francesco (1958), Lezioni sulle funzioni analitiche di più variabili complesse – Tenute nel 1956–57 all'Istituto Nazionale di Alta Matematica in Roma (in italiano), Padova: CEDAM – Casa Editrice Dott. Antonio Milani, pp. XIV+255, Zbl 0094.28002. Istituto Nazionale di Alta Matematica (जो वर्तमान में उसका नाम रखता है) में फ्रांसेस्को सेवेरी द्वारा आयोजित एक पाठ्यक्रम से नोट्स, जिसमें Enzo Martinelli, Giovanni Battista Rizza और Mario Benedicty के परिशिष्ट शामिल हैं। शीर्षक का एक अंग्रेजी अनुवाद इस प्रकार पढ़ता है: - कई जटिल चर के विश्लेषणात्मक कार्यों पर व्याख्यान - 1956-57 में रोम में इस्टिटूटो नाज़ियोनेल डी अल्टा मेटमैटिका में व्याख्यान।

श्रेणी:जटिल विश्लेषण श्रेणी:डिफरेंशियल ऑपरेटर्स श्रेणी:गणितीय विश्लेषण