व्यवरोध (कम्प्यूटेशनल रसायन विज्ञान): Difference between revisions

Revision as of 23:06, 21 September 2023

कम्प्यूटेशनल रसायन विज्ञान में, बाधा एल्गोरिथ्म एक दृढ़ पिंड की न्यूटोनियन गति को संतुष्ट करने की एक विधि है जिसमें द्रव्यमान बिंदु होते हैं। यह सुनिश्चित करने के लिए कि द्रव्यमान बिंदुओं के बीच की दूरी बनी रहे, एक संयम एल्गोरिथ्म का उपयोग किया जाता है। इसमें सम्मिलित सामान्य चरण हैं: (i) उपन्यास अप्रतिबंधित निर्देशांक (आंतरिक निर्देशांक) चुनें, (ii) स्पष्ट बाधा बलों का परिचय दें, (iii) लैग्रेंज गुणक या प्रक्षेपण विधियों की तकनीक द्वारा बाधा बलों को कम से कम करें।

बाधा एल्गोरिदम प्रायः आणविक गतिशीलता सिमुलेशन पर लागू होते हैं। हालाँकि ऐसे सिमुलेशन कभी-कभी आंतरिक निर्देशांक का उपयोग करके किए जाते हैं जो स्वचालित रूप से बॉन्ड-लंबाई, बॉन्ड-कोण और मरोड़-कोण बाधाओं को संतुष्ट करते हैं, इन तीन बाधाओं के लिए स्पष्ट या अंतर्निहित बाधा बलों का उपयोग करके भी सिमुलेशन किया जा सकता है। हालाँकि, स्पष्ट बाधा शक्तियाँ अक्षमता को जन्म देती हैं; किसी दी गई लंबाई का प्रक्षेपवक्र प्राप्त करने के लिए अधिक कम्प्यूटेशनल शक्ति की आवश्यकता होती है। इसलिए, आंतरिक निर्देशांक और अंतर्निहित-बल बाधा सॉल्वर को आम तौर पर प्राथमिकता दी जाती है।

बाधा एल्गोरिदम स्वतंत्रता की कुछ डिग्री के साथ गति की उपेक्षा करके कम्प्यूटेशनल दक्षता प्राप्त करते हैं। उदाहरण के लिए, परमाणु आणविक गतिशीलता में, आमतौर पर हाइड्रोजन के सहसंयोजक बंधों की लंबाई सीमित होती है; हालाँकि, बाधा एल्गोरिदम का उपयोग नहीं किया जाना चाहिए यदि अध्ययन की जा रही घटना के लिए स्वतंत्रता की इन डिग्री के साथ कंपन महत्वपूर्ण हैं।

गणितीय पृष्ठभूमि

N कणों के एक सेट की गति को दूसरे क्रम के साधारण अंतर समीकरणों, न्यूटन के दूसरे नियम के एक सेट द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जिसे मैट्रिक्स रूप में लिखा जा सकता है

\mathbf {M} \cdot {\frac {d^{2}\mathbf {q} }{dt^{2}}}=\mathbf {f} =-{\frac {\partial V}{\partial \mathbf {q} }}

जहां M एक मास मैट्रिक्स है और q सामान्यीकृत निर्देशांक का सदिश (ज्यामितीय) है जो कणों की स्थिति का वर्णन करता है। उदाहरण के लिए, सदिश q कण स्थितियों r_k का 3N कार्टेशियन निर्देशांक हो सकता है, जहां k 1 से N तक चलता है; बाधाओं की अनुपस्थिति में, 'M' कण द्रव्यमान का 3Nx3N विकर्ण वर्ग मैट्रिक्स होगा। सदिश 'f' सामान्यीकृत बलों का प्रतिनिधित्व करता है और अदिश V('q') संभावित ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है, ये दोनों सामान्यीकृत निर्देशांक 'q' के कार्य हैं।

यदि M बाधाएं उपलब्ध हैं, तो निर्देशांक को M समय-स्वतंत्र बीजगणितीय समीकरणों को भी संतुष्ट करना होगा

g_{j}(\mathbf {q} )=0

जहां सूचकांक j 1 से M तक चलता है। संक्षिप्तता के लिए, ये फ़ंक्शन g_i हैं नीचे एम-आयामी सदिश 'g' में समूहीकृत किया गया है। कार्य न्यूटन के दूसरे नियम के सामान्य अंतर समीकरणों (ओडीई) के बजाय अंतर-बीजगणितीय (डीएई) समीकरणों के संयुक्त सेट को हल करना है।

इस समस्या का विस्तार से अध्ययन जोसेफ लुई लैग्रेंज ने किया, जिन्होंने इसे हल करने के लिए अधिकांश तरीके बताए।^[1] सबसे सरल तरीका नए सामान्यीकृत निर्देशांक को परिभाषित करना है जो अप्रतिबंधित हैं; यह दृष्टिकोण बीजगणितीय समीकरणों को समाप्त कर देता है और समस्या को एक बार फिर सामान्य अंतर समीकरण को हल करने तक सीमित कर देता है। इस तरह के दृष्टिकोण का उपयोग, उदाहरण के लिए, किसी कठोर पिंड की गति का वर्णन करने में किया जाता है; एक कठोर पिंड की स्थिति और अभिविन्यास को इसे बनाने वाले कणों की स्थिति और उनके बीच की बाधाओं का वर्णन करने के बजाय छह स्वतंत्र, अप्रतिबंधित निर्देशांक द्वारा वर्णित किया जा सकता है जो उनकी सापेक्ष दूरी बनाए रखते हैं। इस दृष्टिकोण का दोष यह है कि समीकरण बोझिल और जटिल हो सकते हैं; उदाहरण के लिए, द्रव्यमान मैट्रिक्स एम गैर-विकर्ण हो सकता है और सामान्यीकृत निर्देशांक पर निर्भर हो सकता है।

दूसरा दृष्टिकोण स्पष्ट ताकतों का परिचय देना है जो बाधा को बनाए रखने के लिए काम करते हैं; उदाहरण के लिए, कोई मजबूत स्प्रिंग बल का परिचय दे सकता है जो एक कठोर पिंड के भीतर द्रव्यमान बिंदुओं के बीच की दूरी को लागू करता है। इस दृष्टिकोण की दो कठिनाइयाँ यह हैं कि बाधाएँ बिल्कुल संतुष्ट नहीं हैं, और मजबूत बलों को बहुत कम समय-चरणों की आवश्यकता हो सकती है, जिससे सिमुलेशन कम्प्यूटेशनल रूप से अक्षम हो जाता है।

तीसरा दृष्टिकोण बाधाओं को पूरा करने के लिए आवश्यक समन्वय समायोजन निर्धारित करने के लिए लैग्रेंज मल्टीप्लायरों या बाधा मैनिफोल्ड के प्रक्षेपण जैसी विधि का उपयोग करना है।

अंत में, विभिन्न संकर दृष्टिकोण हैं जिनमें बाधाओं के विभिन्न सेटों को विभिन्न तरीकों से संतुष्ट किया जाता है, उदाहरण के लिए, आंतरिक निर्देशांक, स्पष्ट बल और अंतर्निहित-बल समाधान।

आंतरिक समन्वय विधियाँ

ऊर्जा न्यूनीकरण और आणविक गतिशीलता में बाधाओं को संतुष्ट करने का सबसे सरल तरीका सिस्टम की स्वतंत्रता की अप्रतिबंधित स्वतंत्र डिग्री के अनुरूप तथाकथित आंतरिक निर्देशांक में यांत्रिक प्रणाली का प्रतिनिधित्व करना है। उदाहरण के लिए, एक प्रोटीन के डायहेड्रल कोण निर्देशांक का एक स्वतंत्र सेट है जो बिना किसी बाधा के सभी परमाणुओं की स्थिति निर्दिष्ट करता है। ऐसे आंतरिक-समन्वय दृष्टिकोण की कठिनाई दोगुनी है: गति के न्यूटोनियन समीकरण बहुत अधिक जटिल हो जाते हैं और आंतरिक निर्देशांक बाधाओं की चक्रीय प्रणालियों के लिए परिभाषित करना मुश्किल हो सकता है, उदाहरण के लिए, रिंग पकरिंग में या जब प्रोटीन में डाइसल्फ़ाइड बंधन होता है।

आंतरिक निर्देशांक में कुशल पुनरावर्ती ऊर्जा न्यूनीकरण के लिए मूल तरीके Gō और सहकर्मियों द्वारा विकसित किए गए थे।^[2]^[3]

कुशल पुनरावर्ती, आंतरिक-समन्वय बाधा सॉल्वर को आणविक गतिशीलता तक बढ़ाया गया था।^[4]^[5] एनालॉग पद्धतियां बाद में अन्य प्रणालियों में लागू की गईं।^[6]^[7]^[8]

लैग्रेंज गुणक-आधारित विधियाँ

लैग्रेंज मल्टीप्लायरों का उपयोग करके एक कठोर पानी के अणु की बाधाओं को हल करना: ए) अप्रतिबंधित स्थिति एक सिमुलेशन समय-चरण के बाद प्राप्त की जाती है, बी) प्रत्येक कण पर प्रत्येक बाधा के ढ़ाल की गणना की जाती है और सी) लैग्रेंज मल्टीप्लायरों की गणना प्रत्येक ग्रेडिएंट के लिए की जाती है जैसे कि बाधाएँ संतुष्ट हैं।

बाधा एल्गोरिदम का उपयोग करने वाले अधिकांश आणविक गतिशीलता सिमुलेशन में, लैग्रेंज मल्टीप्लायरों की विधि का उपयोग करके बाधाओं को लागू किया जाता है। समय t पर n रैखिक (होलोनोमिक बाधाएं) बाधाओं का एक सेट दिया गया है,

\sigma _{k}(t):=\|\mathbf {x} _{k\alpha }(t)-\mathbf {x} _{k\beta }(t)\|^{2}-d_{k}^{2}=0,\quad k=1\ldots n

जहाँ $\scriptstyle \mathbf {x} _{k\alpha }(t)$ और $\scriptstyle \mathbf {x} _{k\beta }(t)$ समय t और पर kth बाधा में सम्मिलित दो कणों की स्थिति हैं $d_{k}$ निर्धारित अंतर-कण दूरी है।

इन बाधाओं के कारण बलों को गति के समीकरणों में जोड़ा जाता है, जिसके परिणामस्वरूप, सिस्टम में प्रत्येक एन कण के लिए

{\frac {\partial ^{2}\mathbf {x} _{i}(t)}{\partial t^{2}}}m_{i}=-{\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} _{i}}}\left[V(\mathbf {x} _{i}(t))-\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}\sigma _{k}(t)\right],\quad i=1\ldots N.

बाधा बलों को जोड़ने से कुल ऊर्जा में परिवर्तन नहीं होता है, क्योंकि बाधा बलों (कणों के समूह पर लिया गया जिन पर बाधाएं कार्य करती हैं) द्वारा किया गया शुद्ध कार्य शून्य है। ध्यान दें कि साइन ऑन है $\lambda _{k}$ मनमाना है और कुछ संदर्भ^[9] एक विपरीत चिन्ह है.

समय के संबंध में समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करने से, उस समय कणों के बाधित निर्देशांक, $t+\Delta t$ , दिया जाता है,

\mathbf {x} _{i}(t+\Delta t)={\hat {\mathbf {x} }}_{i}(t+\Delta t)+\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}{\frac {\partial \sigma _{k}(t)}{\partial \mathbf {x} _{i}}}\left(\Delta t\right)^{2}m_{i}^{-1},\quad i=1\ldots N

जहाँ ${\hat {\mathbf {x} }}_{i}(t+\Delta t)$ गति के अप्रतिबंधित समीकरणों को एकीकृत करने के बाद iवें कण की अप्रतिबंधित (या असंशोधित) स्थिति है।

बाधाओं को पूरा करने के लिए $\sigma _{k}(t+\Delta t)$ अगले समय चरण में, लैग्रेंज गुणक को निम्नलिखित समीकरण के रूप में निर्धारित किया जाना चाहिए,

\sigma _{k}(t+\Delta t):=\left\|\mathbf {x} _{k\alpha }(t+\Delta t)-\mathbf {x} _{k\beta }(t+\Delta t)\right\|^{2}-d_{k}^{2}=0.

इसका तात्पर्य एक प्रणाली को हल करना है $n$ गैर-रैखिक समीकरण

\sigma _{j}(t+\Delta t):=\left\|{\hat {\mathbf {x} }}_{j\alpha }(t+\Delta t)-{\hat {\mathbf {x} }}_{j\beta }(t+\Delta t)+\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}\left(\Delta t\right)^{2}\left[{\frac {\partial \sigma _{k}(t)}{\partial \mathbf {x} _{j\alpha }}}m_{j\alpha }^{-1}-{\frac {\partial \sigma _{k}(t)}{\partial \mathbf {x} _{j\beta }}}m_{j\beta }^{-1}\right]\right\|^{2}-d_{j}^{2}=0,\quad j=1\ldots n

के लिए एक साथ $n$ अज्ञात लैग्रेंज गुणक $\lambda _{k}$ .

की यह व्यवस्था $n$ गैर-रैखिक समीकरण $n$ अज्ञात को आमतौर पर न्यूटन की विधि|न्यूटन-रेफसन विधि का उपयोग करके हल किया जाता है जहां समाधान सदिश होता है ${\underline {\lambda }}$ का उपयोग कर अद्यतन किया जाता है

{\underline {\lambda }}^{(l+1)}\leftarrow {\underline {\lambda }}^{(l)}-\mathbf {J} _{\sigma }^{-1}{\underline {\sigma }}(t+\Delta t)

जहाँ $\mathbf {J} _{\sigma }$ जैकोबियन मैट्रिक्स और समीकरणों का निर्धारक है σ_k:

\mathbf {J} =\left({\begin{array}{cccc}{\frac {\partial \sigma _{1}}{\partial \lambda _{1}}}&{\frac {\partial \sigma _{1}}{\partial \lambda _{2}}}&\cdots &{\frac {\partial \sigma _{1}}{\partial \lambda _{n}}}\\[5pt]{\frac {\partial \sigma _{2}}{\partial \lambda _{1}}}&{\frac {\partial \sigma _{2}}{\partial \lambda _{2}}}&\cdots &{\frac {\partial \sigma _{2}}{\partial \lambda _{n}}}\\[5pt]\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[5pt]{\frac {\partial \sigma _{n}}{\partial \lambda _{1}}}&{\frac {\partial \sigma _{n}}{\partial \lambda _{2}}}&\cdots &{\frac {\partial \sigma _{n}}{\partial \lambda _{n}}}\end{array}}\right).

चूँकि सभी कण सभी बाधाओं में योगदान नहीं करते हैं, $\mathbf {J} _{\sigma }$ एक ब्लॉक मैट्रिक्स है और इसे मैट्रिक्स की ब्लॉक-यूनिट में व्यक्तिगत रूप से हल किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, $\mathbf {J} _{\sigma }$ प्रत्येक अणु के लिए व्यक्तिगत रूप से हल किया जा सकता है।

सदिश को लगातार अपडेट करने के बजाय ${\underline {\lambda }}$ , से पुनरावृत्ति प्रारंभ की जा सकती है ${\underline {\lambda }}^{(0)}=\mathbf {0}$ , जिसके परिणामस्वरूप सरल अभिव्यक्तियाँ प्राप्त होती हैं $\sigma _{k}(t)$ और ${\frac {\partial \sigma _{k}(t)}{\partial \lambda _{j}}}$ . इस मामले में

J_{ij}=\left.{\frac {\partial \sigma _{j}}{\partial \lambda _{i}}}\right|_{\mathbf {\lambda } =0}=2\left[{\hat {x}}_{j\alpha }-{\hat {x}}_{j\beta }\right]\left[{\frac {\partial \sigma _{i}}{\partial x_{j\alpha }}}m_{j\alpha }^{-1}-{\frac {\partial \sigma _{i}}{\partial x_{j\beta }}}m_{j\beta }^{-1}\right].

तब $\lambda$ को अद्यतन किया गया है

\mathbf {\lambda } _{j}=-\mathbf {J} ^{-1}\left[\left\|{\hat {\mathbf {x} }}_{j\alpha }(t+\Delta t)-{\hat {\mathbf {x} }}_{j\beta }(t+\Delta t)\right\|^{2}-d_{j}^{2}\right].

प्रत्येक पुनरावृत्ति के बाद, अप्रतिबंधित कण स्थितियों का उपयोग करके अद्यतन किया जाता है

{\hat {\mathbf {x} }}_{i}(t+\Delta t)\leftarrow {\hat {\mathbf {x} }}_{i}(t+\Delta t)+\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}{\frac {\partial \sigma _{k}}{\partial \mathbf {x} _{i}}}\left(\Delta t\right)^{2}m_{i}^{-1}.

फिर सदिश को रीसेट कर दिया जाता है

{\underline {\lambda }}=\mathbf {0} .

उपरोक्त प्रक्रिया बाधा समीकरणों के समाधान होने तक दोहराई जाती है, $\sigma _{k}(t+\Delta t)$ , एक संख्यात्मक त्रुटि की निर्धारित सहनशीलता में परिवर्तित हो जाता है।

हालाँकि लैग्रेंज मल्टीप्लायरों की गणना करने के लिए कई एल्गोरिदम हैं, लेकिन ये अंतर केवल समीकरणों की प्रणाली को हल करने के तरीकों पर निर्भर करते हैं। इस विधि के लिए आमतौर पर अर्ध-न्यूटन विधियों का उपयोग किया जाता है।

सेटल एल्गोरिदम

सेटल एल्गोरिथम^[10] गैर-रैखिक समीकरणों की प्रणाली को विश्लेषणात्मक रूप से हल करता है $n=3$ निरंतर समय में बाधाएँ. यद्यपि यह बड़ी संख्या में बाधाओं को मापता नहीं है, इसका उपयोग प्रायः कठोर पानी के अणुओं को बाधित करने के लिए किया जाता है, जो लगभग सभी जैविक सिमुलेशन में उपलब्ध होते हैं और आमतौर पर तीन बाधाओं (जैसे एसपीसी/ई और टीआईपी3पी जल मॉडल) का उपयोग करके तैयार किए जाते हैं।

शेक एल्गोरिदम

SHAKE एल्गोरिथ्म को पहली बार आणविक गतिशीलता सिमुलेशन के दौरान एक बंधन ज्यामिति बाधा को संतुष्ट करने के लिए विकसित किया गया था।^[11] किसी भी होलोनोमिक बाधा को संभालने के लिए विधि को सामान्यीकृत किया गया था, जैसे कि निरंतर बंधन कोण, या आणविक कठोरता को बनाए रखने के लिए आवश्यक।^[12]

SHAKE एल्गोरिथ्म में, गैर-रैखिक बाधा समीकरणों की प्रणाली को गॉस-सीडेल विधि का उपयोग करके हल किया जाता है जो न्यूटन पुनरावृत्ति | न्यूटन-रेफसन विधि का उपयोग करके समीकरणों की रैखिक प्रणाली के समाधान का अनुमान लगाता है;

{\underline {\lambda }}=-\mathbf {J} _{\sigma }^{-1}{\underline {\sigma }}.

यह ऐसा मानने के बराबर है $\mathbf {J} _{\sigma }$ विकर्ण रूप से प्रभावशाली है और हल कर रहा है $k$ केवल के लिए समीकरण $k$ अज्ञात। व्यवहार में, हम गणना करते हैं

{\begin{aligned}\lambda _{k}&\leftarrow {\frac {\sigma _{k}(t)}{\partial \sigma _{k}(t)/\partial \lambda _{k}}},\\[5pt]\mathbf {x} _{k\alpha }&\leftarrow \mathbf {x} _{k\alpha }+\lambda _{k}{\frac {\partial \sigma _{k}(t)}{\partial \mathbf {x} _{k\alpha }}},\\[5pt]\mathbf {x} _{k\beta }&\leftarrow \mathbf {x} _{k\beta }+\lambda _{k}{\frac {\partial \sigma _{k}(t)}{\partial \mathbf {x} _{k\beta }}},\end{aligned}}

सभी के लिए $k=1\ldots n$ बाधा समीकरणों तक पुनरावर्ती रूप से $\sigma _{k}(t+\Delta t)$ एक निश्चित सहिष्णुता के अनुसार हल किया जाता है।

प्रत्येक पुनरावृत्ति की गणना लागत है ${\mathcal {O}}(n)$ , और पुनरावृत्तियाँ स्वयं रैखिक रूप से अभिसरण होती हैं।

बाद में SHAKE का एक अपुनरावृत्तीय रूप विकसित किया गया।^[13] SHAKE एल्गोरिथम के कई प्रकार उपलब्ध हैं। यद्यपि वे स्वयं बाधाओं की गणना या लागू करने के तरीके में भिन्न हैं, फिर भी बाधाओं को लैग्रेंज मल्टीप्लायरों का उपयोग करके तैयार किया जाता है जिनकी गणना गॉस-सीडेल विधि का उपयोग करके की जाती है।

मूल शेक एल्गोरिदम कठोर और लचीले दोनों अणुओं (जैसे पानी, बेंजीन और बाइफिनाइल) को नियंत्रित करने में सक्षम है और आणविक गतिशीलता सिमुलेशन में नगण्य त्रुटि या ऊर्जा बहाव पेश करता है।^[14] SHAKE के साथ एक मुद्दा यह है कि अभिसरण के एक निश्चित स्तर तक पहुंचने के लिए आवश्यक पुनरावृत्तियों की संख्या बढ़ जाती है क्योंकि आणविक ज्यामिति अधिक जटिल हो जाती है। 64 बिट कंप्यूटर सटीकता (सापेक्ष सहनशीलता) तक पहुंचने के लिए $\approx 10^{-16}$ ) 310K के तापमान पर एक विशिष्ट आणविक गतिशीलता सिमुलेशन में, आणविक ज्यामिति को बनाए रखने के लिए 3 बाधाओं वाले 3-साइट जल मॉडल को औसतन 9 पुनरावृत्तियों की आवश्यकता होती है (जो प्रति साइट प्रति समय-चरण 3 है)। 5 बाधाओं वाले 4-साइट ब्यूटेन मॉडल को 17 पुनरावृत्तियों (22 प्रति साइट) की आवश्यकता होती है, 12 बाधाओं वाले 6-साइट बेंजीन मॉडल को 36 पुनरावृत्तियों (72 प्रति साइट) की आवश्यकता होती है, जबकि 29 बाधाओं वाले 12-साइट बाइफिनाइल मॉडल को 92 पुनरावृत्तियों की आवश्यकता होती है ( 229 प्रति साइट प्रति समय-चरण)।^[14] इसलिए SHAKE एल्गोरिदम की सीपीयू आवश्यकताएं महत्वपूर्ण हो सकती हैं, खासकर अगर आणविक मॉडल में उच्च स्तर की कठोरता हो।

विधि का एक बाद का विस्तार, QSHAKE (चार का समुदाय शेक) को कठोर इकाइयों से बने अणुओं के लिए एक तेज़ विकल्प के रूप में विकसित किया गया था, लेकिन यह सामान्य उद्देश्य के रूप में नहीं है।^[15] यह सुगंधित अंगूठी सिस्टम जैसे कठोर लूप के लिए संतोषजनक ढंग से काम करता है लेकिन QSHAKE लचीले लूप के लिए विफल रहता है, जैसे कि जब प्रोटीन में डाइसल्फ़ाइड बॉन्ड होता है। रेफरी>McBride, C; Wilson MR; Howard JAK (1998). "परमाणु क्षमता का उपयोग करके लिक्विड क्रिस्टल चरणों का आणविक गतिशीलता सिमुलेशन". Molecular Physics. 93 (6): 955–964. Bibcode:1998MolPh..93..955C. doi:10.1080/002689798168655.</ref>

आगे के विस्तारों में रैटल, सम्मिलित हैं रेफरी नाम=खड़खड़ाहट>Andersen, Hans C. (1983). "रैटल: आणविक गतिशीलता गणना के लिए शेक एल्गोरिथम का एक "वेग" संस्करण". Journal of Computational Physics. 52 (1): 24–34. Bibcode:1983JCoPh..52...24A. CiteSeerX 10.1.1.459.5668. doi:10.1016/0021-9991(83)90014-1.</ref> विगल, रेफरी नाम=विगल>Lee, Sang-Ho; Kim Palmo; Samuel Krimm (2005). "विगल: कार्टेशियन निर्देशांक में एक नया विवश आणविक गतिशीलता एल्गोरिथ्म". Journal of Computational Physics. 210 (1): 171–182. Bibcode:2005JCoPh.210..171L. doi:10.1016/j.jcp.2005.04.006.</ref> और MSHAKE। रेफरी नाम = mshake>Lambrakos, S. G.; J. P. Boris; E. S. Oran; I. Chandrasekhar; M. Nagumo (1989). "बड़े अणुओं के आणविक गतिशीलता सिमुलेशन में कठोर बंधन बनाए रखने के लिए एक संशोधित शेक एल्गोरिदम". Journal of Computational Physics. 85 (2): 473–486. Bibcode:1989JCoPh..85..473L. doi:10.1016/0021-9991(89)90160-5.</ref>

जबकि रैटल शेक की तरह ही काम करता है, रेफरी नाम = शेक-सिम्प>Leimkuhler, Benedict; Robert Skeel (1994). "विवश हैमिल्टनियन प्रणालियों में सिम्प्लेक्टिक संख्यात्मक इंटीग्रेटर्स". Journal of Computational Physics. 112 (1): 117–125. Bibcode:1994JCoPh.112..117L. doi:10.1006/jcph.1994.1085.</ref> फिर भी वेलोसिटी वेरलेट समय एकीकरण योजना का उपयोग करते हुए, WIGGLE लैग्रेंज मल्टीप्लायरों के लिए प्रारंभिक अनुमान का उपयोग करके SHAKE और RATTLE का विस्तार करता है $\lambda _{k}$ कण वेग के आधार पर. उल्लेखनीय है कि MSHAKE बेहतर अभिसरण प्राप्त करने के लिए बाधा बलों पर सुधार की गणना करता है।

SHAKE एल्गोरिथम का अंतिम संशोधन P-SHAKE एल्गोरिथम है^[16] जिसे बहुत कठोर या अर्ध-कठोर अणुओं पर लागू किया जाता है। P-SHAKE एक प्री-कंडीशनर की गणना और अद्यतन करता है जो SHAKE पुनरावृत्ति से पहले बाधा ग्रेडिएंट्स पर लागू होता है, जिससे जैकोबियन होता है $\mathbf {J} _{\sigma }$ विकर्ण या दृढ़ता से विकर्ण रूप से प्रभावशाली बनना। इस प्रकार वियुग्मित बाधाएं बहुत तेजी से (रैखिक रूप से विपरीत द्विघात रूप से) एकाग्र होती हैं ${\mathcal {O}}(n^{2})$ .

एम-शेक एल्गोरिदम

एम-शेक एल्गोरिदम^[17] सीधे न्यूटन की विधि का उपयोग करके समीकरणों की गैर-रेखीय प्रणाली को हल करता है। प्रत्येक पुनरावृत्ति में, समीकरणों की रैखिक प्रणाली

{\underline {\lambda }}=-\mathbf {J} _{\sigma }^{-1}{\underline {\sigma }}

एलयू अपघटन का उपयोग करके बिल्कुल हल किया जाता है। प्रत्येक पुनरावृत्ति की लागत होती है ${\mathcal {O}}(n^{3})$ संचालन, फिर भी समाधान द्विघात अभिसरण को अभिसरण करता है, जिसके लिए SHAKE की तुलना में कम पुनरावृत्तियों की आवश्यकता होती है।

यह समाधान पहली बार 1986 में जियोवन्नी सिस्कोटी और रेकैर्ट द्वारा प्रस्तावित किया गया था^[12] शीर्षक के तहत मैट्रिक्स विधि, फिर भी समीकरणों की रैखिक प्रणाली के समाधान में भिन्नता है। सिस्कोटी और रेकैर्ट मैट्रिक्स को उलटने का सुझाव देते हैं $\mathbf {J} _{\sigma }$ प्रत्यक्ष रूप से, फिर भी ऐसा केवल एक बार, पहली पुनरावृत्ति में। पहले पुनरावृत्ति की लागत होती है ${\mathcal {O}}(n^{3})$ संचालन, जबकि निम्नलिखित पुनरावृत्तियों की लागत केवल है ${\mathcal {O}}(n^{2})$ संचालन (मैट्रिक्स-सदिश गुणन के लिए)। हालाँकि यह सुधार एक लागत पर आता है, क्योंकि जैकोबियन अब अद्यतन नहीं है, अभिसरण केवल रैखिक अभिसरण है, भले ही SHAKE एल्गोरिथ्म की तुलना में बहुत तेज़ दर पर हो।

विरल मैट्रिक्स तकनीकों पर आधारित इस दृष्टिकोण के कई प्रकारों का अध्ययन बार्थ एट अल द्वारा किया गया था।^[18]

आकार एल्गोरिथ्म

आकार एल्गोरिथ्म^[19] तीन या अधिक केंद्रों के कठोर पिंडों को बाधित करने के लिए SHAKE का एक बहुकेंद्रीय एनालॉग है। SHAKE की तरह, एक अनियंत्रित कदम उठाया जाता है और फिर सीधे कठोर बॉडी रोटेशन मैट्रिक्स की गणना और लागू करके सही किया जाता है जो संतुष्ट करता है:

L^{\text{rigid}}\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right)=L^{\text{nonrigid}}\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right)

इस दृष्टिकोण में रोटेशन मैट्रिक्स को निर्धारित करने के लिए तीन या चार तीव्र न्यूटन पुनरावृत्तियों के बाद एक एकल 3×3 मैट्रिक्स विकर्णीकरण सम्मिलित है। SHAPE समान प्रक्षेपवक्र प्रदान करता है जो पूरी तरह से अभिसरण पुनरावृत्त SHAKE के साथ प्रदान किया जाता है, फिर भी तीन या अधिक केंद्रों वाले सिस्टम पर लागू होने पर इसे SHAKE की तुलना में अधिक कुशल और अधिक सटीक पाया जाता है। यह SHAKE जैसी बाधाओं की क्षमता को तीन या अधिक परमाणुओं वाली रैखिक प्रणालियों, चार या अधिक परमाणुओं वाली तलीय प्रणालियों और महत्वपूर्ण रूप से बड़ी कठोर संरचनाओं तक विस्तारित करता है जहां SHAKE असाध्य है। यह कठोर पिंडों को उसी मूल तरीके से पुनरावर्ती रूप से हल करके कठोर पिंडों को एक या दो सामान्य केंद्रों (जैसे पेप्टाइड विमानों) से जोड़ने की अनुमति देता है, जैसे SHAKE का उपयोग एक से अधिक SHAKE अवरोध वाले परमाणुओं के लिए किया जाता है।

लिंक्स एल्गोरिदम

एक वैकल्पिक बाधा विधि, LINCS (रैखिक बाधा सॉल्वर) 1997 में हेस, बेकर, बेरेन्डसेन और फ्रैजे द्वारा विकसित की गई थी।^[20] और यह एडबर्ग, इवांस और मॉरिस (ईईएम) की 1986 पद्धति पर आधारित था। रेफरी>Edberg, R; Evans DJ; Morriss GP (1986). "एक नए एल्गोरिथम के साथ तरल अल्केन्स का नियंत्रित आणविक-गतिकी सिमुलेशन". Journal of Chemical Physics. 84 (12): 6933–6939. Bibcode:1986JChPh..84.6933E. doi:10.1063/1.450613.</ref> और बरन्याई और इवांस (बीई) द्वारा इसका एक संशोधन। रेफरी>Baranyai, A; Evans DJ (1990). "तरल बेंजीन और नेफ़थलीन के प्रतिबंधित आणविक-गतिकी सिमुलेशन के लिए नया एल्गोरिदम". Molecular Physics. 70 (1): 53–63. Bibcode:1990MolPh..70...53B. doi:10.1080/00268979000100841.</ref>

LINCS लैग्रेंज मल्टीप्लायरों को बाधा बलों पर लागू करता है और जैकोबियन के व्युत्क्रम का अनुमान लगाने के लिए श्रृंखला विस्तार का उपयोग करके मल्टीप्लायरों का समाधान करता है। $\mathbf {J} _{\sigma }$ :

(\mathbf {I} -\mathbf {J} _{\sigma })^{-1}=\mathbf {I} +\mathbf {J} _{\sigma }+\mathbf {J} _{\sigma }^{2}+\mathbf {J} _{\sigma }^{3}+\cdots

न्यूटन पुनरावृत्ति के प्रत्येक चरण में। यह सन्निकटन केवल 1 से छोटे eigenvalues वाले मैट्रिक्स के लिए काम करता है, जिससे LINCS एल्गोरिदम केवल कम कनेक्टिविटी वाले अणुओं के लिए उपयुक्त हो जाता है।

बताया गया है कि LINCS, SHAKE से 3-4 गुना तेज़ है।^[20]

हाइब्रिड विधियाँ

हाइब्रिड तरीकों को भी पेश किया गया है जिसमें बाधाओं को दो समूहों में विभाजित किया गया है; पहले समूह की बाधाओं को आंतरिक निर्देशांक का उपयोग करके हल किया जाता है जबकि दूसरे समूह की बाधाओं को बाधा बलों का उपयोग करके हल किया जाता है, उदाहरण के लिए, लैग्रेंज गुणक या प्रक्षेपण विधि द्वारा।^[21]^[22]^[23] इस दृष्टिकोण की शुरुआत लैग्रेंज ने की थी,^[1]और इसका परिणाम मिश्रित प्रकार के लैग्रेंज समीकरणों में होता है।^[24]

यह भी देखें

आणविक गतिशीलता
आणविक यांत्रिकी मॉडलिंग के लिए सॉफ्टवेयर की सूची

संदर्भ और फ़ुटनोट

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श्रेणी:आण्विक गतिशीलता श्रेणी:कम्प्यूटेशनल रसायन विज्ञान श्रेणी:आणविक भौतिकी श्रेणी:कम्प्यूटेशनल भौतिकी श्रेणी:संख्यात्मक अंतर समीकरण

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@@ Line 13: / Line 13: @@
 \mathbf{M} \cdot \frac{d^{2}\mathbf{q}}{dt^{2}} = \mathbf{f} = -\frac{\partial V}{\partial \mathbf{q}}
 </math>
-जहां '''M''' एक ''मास मैट्रिक्स'' है और '''q''' सामान्यीकृत निर्देशांक का [[वेक्टर (ज्यामितीय)]] है जो कणों की स्थिति का वर्णन करता है। उदाहरण के लिए, वेक्टर q कण स्थितियों '''r'''<sub>''k''</sub> का ''3N'' कार्टेशियन निर्देशांक हो सकता है, जहां k 1 से N तक चलता है; बाधाओं की अनुपस्थिति में, '<nowiki/>'''M'''<nowiki/>' कण द्रव्यमान का 3''N''x3''N'' विकर्ण वर्ग मैट्रिक्स होगा। वेक्टर 'f' सामान्यीकृत बलों का प्रतिनिधित्व करता है और अदिश ''V''('<nowiki/>'''q'''<nowiki/>') संभावित ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है, ये दोनों सामान्यीकृत निर्देशांक ''''q'''<nowiki/>' के कार्य हैं।
+जहां '''M''' एक ''मास मैट्रिक्स'' है और '''q''' सामान्यीकृत निर्देशांक का [[वेक्टर (ज्यामितीय)|सदिश (ज्यामितीय)]] है जो कणों की स्थिति का वर्णन करता है। उदाहरण के लिए, सदिश q कण स्थितियों '''r'''<sub>''k''</sub> का ''3N'' कार्टेशियन निर्देशांक हो सकता है, जहां k 1 से N तक चलता है; बाधाओं की अनुपस्थिति में, ''''M'''<nowiki/>' कण द्रव्यमान का 3''N''x3''N'' विकर्ण वर्ग मैट्रिक्स होगा। सदिश 'f' सामान्यीकृत बलों का प्रतिनिधित्व करता है और अदिश ''V''(''''q'''<nowiki/>') संभावित ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है, ये दोनों सामान्यीकृत निर्देशांक ''''q'''<nowiki/>' के कार्य हैं।
 यदि ''M'' बाधाएं उपलब्ध हैं, तो निर्देशांक को ''M'' समय-स्वतंत्र बीजगणितीय समीकरणों को भी संतुष्ट करना होगा
@@ Line 20: / Line 20: @@
 g_{j}(\mathbf{q}) = 0
 </math>
-जहां सूचकांक j 1 से ''M'' तक चलता है। संक्षिप्तता के लिए, ये फ़ंक्शन ''g<sub>i</sub>'' हैं नीचे एम-आयामी वेक्टर ''''g'''<nowiki/>' में समूहीकृत किया गया है। कार्य न्यूटन के दूसरे नियम के सामान्य अंतर समीकरणों (ओडीई) के बजाय अंतर-बीजगणितीय (डीएई) समीकरणों के संयुक्त सेट को हल करना है।
+जहां सूचकांक j 1 से ''M'' तक चलता है। संक्षिप्तता के लिए, ये फ़ंक्शन ''g<sub>i</sub>'' हैं नीचे एम-आयामी सदिश ''''g'''<nowiki/>' में समूहीकृत किया गया है। कार्य न्यूटन के दूसरे नियम के सामान्य अंतर समीकरणों (ओडीई) के बजाय अंतर-बीजगणितीय (डीएई) समीकरणों के संयुक्त सेट को हल करना है।
 इस समस्या का विस्तार से अध्ययन [[जोसेफ लुई लैग्रेंज]] ने किया, जिन्होंने इसे हल करने के लिए अधिकांश तरीके बताए।<ref name="lagrange_1788" >{{cite book | last = Lagrange | first = GL| authorlink = Lagrange| year = 1788 | title = विश्लेषणात्मक यांत्रिकी}}</ref> सबसे सरल तरीका नए सामान्यीकृत निर्देशांक को परिभाषित करना है जो अप्रतिबंधित हैं; यह दृष्टिकोण बीजगणितीय समीकरणों को समाप्त कर देता है और समस्या को एक बार फिर सामान्य अंतर समीकरण को हल करने तक सीमित कर देता है। इस तरह के दृष्टिकोण का उपयोग, उदाहरण के लिए, किसी कठोर पिंड की गति का वर्णन करने में किया जाता है; एक कठोर पिंड की स्थिति और अभिविन्यास को इसे बनाने वाले कणों की स्थिति और उनके बीच की बाधाओं का वर्णन करने के बजाय छह स्वतंत्र, अप्रतिबंधित निर्देशांक द्वारा वर्णित किया जा सकता है जो उनकी सापेक्ष दूरी बनाए रखते हैं। इस दृष्टिकोण का दोष यह है कि समीकरण बोझिल और जटिल हो सकते हैं; उदाहरण के लिए, द्रव्यमान मैट्रिक्स एम गैर-विकर्ण हो सकता है और सामान्यीकृत निर्देशांक पर निर्भर हो सकता है।
@@ Line 42: / Line 42: @@
 :<math>\sigma_k(t) := \| \mathbf x_{k\alpha}(t) - \mathbf x_{k\beta}(t) \|^2 - d_k^2 = 0, \quad k=1 \ldots n</math>
-कहाँ <math>\scriptstyle \mathbf x_{k\alpha}(t)</math> और <math>\scriptstyle\mathbf x_{k\beta}(t)</math> समय t और पर kth बाधा में सम्मिलित दो कणों की स्थिति हैं <math>d_k</math> निर्धारित अंतर-कण दूरी है।
+जहाँ <math>\scriptstyle \mathbf x_{k\alpha}(t)</math> और <math>\scriptstyle\mathbf x_{k\beta}(t)</math> समय t और पर kth बाधा में सम्मिलित दो कणों की स्थिति हैं <math>d_k</math> निर्धारित अंतर-कण दूरी है।
 इन बाधाओं के कारण बलों को गति के समीकरणों में जोड़ा जाता है, जिसके परिणामस्वरूप, सिस्टम में प्रत्येक एन कण के लिए
@@ Line 52: / Line 52: @@
 :<math>\mathbf x_i(t + \Delta t) = \hat{\mathbf x}_i(t + \Delta t) + \sum_{k=1}^n \lambda_k \frac{\partial\sigma_k(t)}{\partial \mathbf x_i}\left(\Delta t\right)^2m_i^{-1}, \quad i=1 \ldots N</math>
-कहाँ <math>\hat{\mathbf x}_i(t + \Delta t)</math> गति के अप्रतिबंधित समीकरणों को एकीकृत करने के बाद iवें कण की अप्रतिबंधित (या असंशोधित) स्थिति है।
+जहाँ <math>\hat{\mathbf x}_i(t + \Delta t)</math> गति के अप्रतिबंधित समीकरणों को एकीकृत करने के बाद iवें कण की अप्रतिबंधित (या असंशोधित) स्थिति है।
 बाधाओं को पूरा करने के लिए <math>\sigma_k(t + \Delta t)</math> अगले समय चरण में, लैग्रेंज गुणक को निम्नलिखित समीकरण के रूप में निर्धारित किया जाना चाहिए,
@@ Line 62: / Line 62: @@
 के लिए एक साथ <math>n</math> अज्ञात लैग्रेंज गुणक <math>\lambda_k</math>.
-की यह व्यवस्था <math>n</math> गैर-रैखिक समीकरण <math>n</math> अज्ञात को आमतौर पर न्यूटन की विधि|न्यूटन-रेफसन विधि का उपयोग करके हल किया जाता है जहां समाधान वेक्टर होता है <math>\underline{\lambda}</math> का उपयोग कर अद्यतन किया जाता है
+की यह व्यवस्था <math>n</math> गैर-रैखिक समीकरण <math>n</math> अज्ञात को आमतौर पर न्यूटन की विधि|न्यूटन-रेफसन विधि का उपयोग करके हल किया जाता है जहां समाधान सदिश होता है <math>\underline{\lambda}</math> का उपयोग कर अद्यतन किया जाता है
 :<math>\underline{\lambda}^{(l+1)} \leftarrow \underline{\lambda}^{(l)} - \mathbf J_\sigma^{-1} \underline{\sigma}(t+\Delta t)</math>
-कहाँ <math>\mathbf J_\sigma</math> जैकोबियन मैट्रिक्स और समीकरणों का निर्धारक है σ<sub>''k''</sub>:
+जहाँ <math>\mathbf J_\sigma</math> जैकोबियन मैट्रिक्स और समीकरणों का निर्धारक है σ<sub>''k''</sub>:
 :<math>\mathbf J = \left( \begin{array}{cccc}
@@ Line 74: / Line 74: @@
 चूँकि सभी कण सभी बाधाओं में योगदान नहीं करते हैं, <math>\mathbf J_\sigma</math> एक [[ब्लॉक मैट्रिक्स]] है और इसे मैट्रिक्स की ब्लॉक-यूनिट में व्यक्तिगत रूप से हल किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, <math>\mathbf J_\sigma</math> प्रत्येक अणु के लिए व्यक्तिगत रूप से हल किया जा सकता है।
-वेक्टर को लगातार अपडेट करने के बजाय <math>\underline{\lambda}</math>, से पुनरावृत्ति प्रारंभ की जा सकती है <math>\underline{\lambda}^{(0)} = \mathbf 0</math>, जिसके परिणामस्वरूप सरल अभिव्यक्तियाँ प्राप्त होती हैं <math>\sigma_k(t)</math> और <math>\frac{\partial \sigma_k(t)}{\partial \lambda_j}</math>. इस मामले में
+सदिश को लगातार अपडेट करने के बजाय <math>\underline{\lambda}</math>, से पुनरावृत्ति प्रारंभ की जा सकती है <math>\underline{\lambda}^{(0)} = \mathbf 0</math>, जिसके परिणामस्वरूप सरल अभिव्यक्तियाँ प्राप्त होती हैं <math>\sigma_k(t)</math> और <math>\frac{\partial \sigma_k(t)}{\partial \lambda_j}</math>. इस मामले में
 : <math> J_{ij} = \left.\frac{\partial\sigma_j}{\partial\lambda_i}\right|_{\mathbf \lambda=0} =  2\left[\hat{x}_{j\alpha} - \hat{x}_{j\beta}\right]\left[\frac{\partial \sigma_i}{\partial x_{j\alpha}} m_{j\alpha}^{-1} - \frac{\partial \sigma_i}{\partial x_{j\beta}} m_{j\beta}^{-1} \right]. </math>
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 :<math>\hat{\mathbf x}_i(t+\Delta t) \leftarrow \hat{\mathbf x}_i(t+\Delta t) + \sum_{k=1}^n \lambda_k\frac{\partial \sigma_k}{\partial \mathbf x_i} \left(\Delta t\right)^2m_i^{-1}.</math>
-फिर वेक्टर को रीसेट कर दिया जाता है
+फिर सदिश को रीसेट कर दिया जाता है
 :<math>\underline{\lambda} = \mathbf 0.</math>
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 [[एलयू अपघटन]] का उपयोग करके बिल्कुल हल किया जाता है। प्रत्येक पुनरावृत्ति की लागत होती है <math>\mathcal O(n^3)</math> संचालन, फिर भी समाधान [[द्विघात अभिसरण]] को अभिसरण करता है, जिसके लिए SHAKE की तुलना में कम पुनरावृत्तियों की आवश्यकता होती है।
-यह समाधान पहली बार 1986 में [[जियोवन्नी सिस्कोटी]] और रेकैर्ट द्वारा प्रस्तावित किया गया था<ref name=ciccotti_1986>{{cite journal|last=Ciccotti|first=G.|author2=J. P. Ryckaert|title=कठोर अणुओं का आणविक गतिशीलता सिमुलेशन|journal=Computer Physics Reports|volume=4|year=1986|issue=6|pages=345–392|doi=10.1016/0167-7977(86)90022-5|bibcode = 1986CoPhR...4..346C }}</ref> शीर्षक के तहत मैट्रिक्स विधि, फिर भी समीकरणों की रैखिक प्रणाली के समाधान में भिन्नता है। सिस्कोटी और रेकैर्ट मैट्रिक्स को उलटने का सुझाव देते हैं <math>\mathbf J_\sigma</math> प्रत्यक्ष रूप से, फिर भी ऐसा केवल एक बार, पहली पुनरावृत्ति में। पहले पुनरावृत्ति की लागत होती है <math>\mathcal O(n^3)</math> संचालन, जबकि निम्नलिखित पुनरावृत्तियों की लागत केवल है <math>\mathcal O(n^2)</math> संचालन (मैट्रिक्स-वेक्टर गुणन के लिए)। हालाँकि यह सुधार एक लागत पर आता है, क्योंकि जैकोबियन अब अद्यतन नहीं है, अभिसरण केवल [[रैखिक अभिसरण]] है, भले ही SHAKE एल्गोरिथ्म की तुलना में बहुत तेज़ दर पर हो।
+यह समाधान पहली बार 1986 में [[जियोवन्नी सिस्कोटी]] और रेकैर्ट द्वारा प्रस्तावित किया गया था<ref name=ciccotti_1986>{{cite journal|last=Ciccotti|first=G.|author2=J. P. Ryckaert|title=कठोर अणुओं का आणविक गतिशीलता सिमुलेशन|journal=Computer Physics Reports|volume=4|year=1986|issue=6|pages=345–392|doi=10.1016/0167-7977(86)90022-5|bibcode = 1986CoPhR...4..346C }}</ref> शीर्षक के तहत मैट्रिक्स विधि, फिर भी समीकरणों की रैखिक प्रणाली के समाधान में भिन्नता है। सिस्कोटी और रेकैर्ट मैट्रिक्स को उलटने का सुझाव देते हैं <math>\mathbf J_\sigma</math> प्रत्यक्ष रूप से, फिर भी ऐसा केवल एक बार, पहली पुनरावृत्ति में। पहले पुनरावृत्ति की लागत होती है <math>\mathcal O(n^3)</math> संचालन, जबकि निम्नलिखित पुनरावृत्तियों की लागत केवल है <math>\mathcal O(n^2)</math> संचालन (मैट्रिक्स-सदिश गुणन के लिए)। हालाँकि यह सुधार एक लागत पर आता है, क्योंकि जैकोबियन अब अद्यतन नहीं है, अभिसरण केवल [[रैखिक अभिसरण]] है, भले ही SHAKE एल्गोरिथ्म की तुलना में बहुत तेज़ दर पर हो।
 विरल मैट्रिक्स तकनीकों पर आधारित इस दृष्टिकोण के कई प्रकारों का अध्ययन बार्थ एट अल द्वारा किया गया था।<ref name=barthkuczeraetal>{{cite journal|last=Barth|first=Eric|author2=K. Kuczera |author3=B. Leimkuhler |author4=R. Skeel |title=बाधित आणविक गतिशीलता के लिए एल्गोरिदम|journal=Journal of Computational Chemistry|volume=16|issue=10|pages=1192–1209|year=1995|doi=10.1002/jcc.540161003|s2cid=38109923 }}</ref>

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