रूलेट (वक्र)

वक्र की विभेदक ज्यामिति में, रूलेट एक प्रकार का वक्र होता है, जो साइक्लॉइड, अधिचक्रवात, हाइपोसाइक्लोइड, ट्रोचोइड्स, एपिट्रोकोइड, हाइपोट्रोकोइड और इनवॉल्यूट्स को सामान्यीकृत करता है।

परिभाषा

अनौपचारिक परिभाषा

एक हरा परवलय समान नीले परवलय के अनुदिश लुढ़कता है जो स्थिर रहता है। जनरेटर रोलिंग परवलय का शीर्ष है और रूलेट का वर्णन करता है, जिसे लाल रंग में दिखाया गया है। इस स्थितियों में रूलेट डायोकल्स का सिसॉइड है।

सामान्यतः कहें तो, रूलेट किसी दिए गए वक्र से जुड़े बिंदु (जिसे जनरेटर या पोल कहा जाता है) द्वारा वर्णित वक्र है क्योंकि वह वक्र बिना फिसले, दूसरे दिए गए वक्र के साथ घूमता है जो स्थिर है। अधिक स्पष्ट रूप से, विमान से जुड़ा वक्र दिया गया है जो घूम रहा है जिससे वक्र बिना फिसले, उसी स्थान पर रहने वाले निश्चित विमान से जुड़कर दिए गए वक्र के साथ घूम सके, फिर गतिमान तल से जुड़ा एक बिंदु स्थिर तल में एक वक्र का वर्णन करता है, जिसे रूलेट कहा जाता है।

विशेष स्थितियों और संबंधित अवधारणाएँ

ऐसी स्थितियों में जहां रोलिंग वक्र रेखा (ज्यामिति) है और जनरेटर रेखा पर बिंदु है, इस प्रकार रूलेट को निश्चित वक्र का इनवॉल्व कहा जाता है। यदि रोलिंग वक्र वृत्त है और स्थिर वक्र रेखा है तो रूलेट ट्रोचॉइड है। यदि, इस स्थिति में, बिंदु वृत्त पर स्थित है तो रूलेट साइक्लॉइड है।

एक संबंधित अवधारणा ग्लिसेट है, किसी दिए गए वक्र से जुड़े बिंदु द्वारा वर्णित वक्र जब यह दो (या अधिक) दिए गए वक्रों के साथ स्लाइड करता है।

औपचारिक परिभाषा

औपचारिक रूप से कहें तो, वक्र यूक्लिडियन विमान में अवकलनीय फलन वक्र होने चाहिए। स्थिर वक्र को अपरिवर्तनीय रखा जाता है; रोलिंग वक्र सतत कार्य सर्वांगसमता (ज्यामिति) परिवर्तन के अधीन है, जैसे कि प्रत्येक समय वक्र संपर्क के बिंदु पर स्पर्शरेखा होते हैं जो किसी भी वक्र के साथ ले जाने पर समान गति से चलते हैं (इस बाधा को व्यक्त करने की दूसरी विधि यह है कि बिंदु दो वक्रों के संपर्क का सर्वांगसम परिवर्तन के घूर्णन का तात्कालिक केंद्र है)। परिणामी रूलेट जनरेटर के लोकस (गणित) द्वारा सर्वांगसम परिवर्तनों के समान समुच्चय के अधीन बनता है।

मूल वक्रों को जटिल तल में वक्रों के रूप में मॉडलिंग करते हुए, $r,f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ को रोलिंग ($r$) और निश्चित ($f$) वक्रों के दो प्राकृतिक पैरामीटर होने दें, जैसे कि सभी $r(0)=f(0)$, $r'(0)=f'(0)$ के लिए $|r'(t)|=|f'(t)|\neq 0$, और $t$। जनरेटर $p\in \mathbb {C}$ का रूलेट $r$ के रूप में $f$ पर घुमाया जाता है, फिर मैपिंग द्वारा दिया जाता है:

$t\mapsto f(t)+(p-r(t)){f'(t) \over r'(t)}.$

सामान्यीकरण

यदि, बिंदु को रोलिंग वक्र से जुड़े होने के अतिरिक्त, एक और दिए गए वक्र को गतिशील विमान के साथ ले जाया जाता है, तो सर्वांगसम वक्रों का समूह उत्पन्न होता है। इस समूह के आवरण को रूलेट भी कहा जा सकता है।

उच्च स्थानों में रूलेट्स की निश्चित रूप से कल्पना की जा सकती है, किंतु स्पर्शरेखाओं से कहीं अधिक संरेखित करने की आवश्यकता है।

उदाहरण

यदि स्थिर वक्र कैटेनरी है और रोलिंग वक्र रेखा (गणित) है, तो हमारे पास है:

$f(t)=t+i(\cosh(t)-1)\qquad r(t)=\sinh(t)$

$f'(t)=1+i\sinh(t)\qquad r'(t)=\cosh(t).$

रेखा का मानकीकरण इसलिए चुना गया है

$|f'(t)|={\sqrt {1^{2}+\sinh ^{2}(t)}}={\sqrt {\cosh ^{2}(t)}}=|r'(t)|.$

उपरोक्त सूत्र को क्रियान्वित करने पर हमें प्राप्त होता है:

$f(t)+(p-r(t)){f'(t) \over r'(t)}=t-i+{p-\sinh(t)+i(1+p\sinh(t)) \over \cosh(t)}=t-i+(p+i){1+i\sinh(t) \over \cosh(t)}.$

यदि p = −i अभिव्यक्ति में स्थिर काल्पनिक भाग है (अर्थात् −i) और रूलेट क्षैतिज रेखा है। इसका रोचक अनुप्रयोग यह है कि चौकोर पहिया सड़क पर बिना उछले घूम सकता है जो कि कैटेनरी आर्क की सुमेलित श्रृंखला है।

रूलेट्स की सूची

निश्चित वक्र	रोलिंग वक्र	उत्पादक बिंदु	रूलेट
समस्त वक्र	रेखा	रेखा पर बिंदु	वक्र का समावेश
रेखा	समस्त	समस्त	साइक्लोगॉन
रेखा	वृत्त	समस्त	ट्रोचॉइड
रेखा	वृत्त	वृत्त पर बिंदु	चक्रज
रेखा	शंक्वाकार खंड	शंकु का केंद्र	स्टर्म रूलेट
रेखा	शंक्वाकार खंड	शंकु का केंद्र	डेलाउने रूलेट
रेखा	परवलय	परवलय का केंद्र	कैटेनरी
रेखा	दीर्घवृत्त	दीर्घवृत्त का केंद्र	अण्डाकार कैटेनरी
रेखा	अतिपरवलय	अतिपरवलय का केंद्र	अतिपरवलयिक कैटेनरी
रेखा	अतिपरवलय	अतिपरवलय का केंद्र	आयताकार इलास्टिका
रेखा	साइक्लोसायक्लोइड	केंद्र	दीर्घवृत्त
वृत्त	वृत्त	समस्त	केन्द्रित ट्रोचॉइड
एक वृत्त के बाहर	वृत्त	समस्त	एपिट्रोकॉइड
एक वृत्त के बाहर	वृत्त	वृत्त पर बिंदु	अधिचक्रवात
एक वृत्त के बाहर	समान त्रिज्या का वृत्त	समस्त	लिमाकॉन
एक वृत्त के बाहर	समान त्रिज्या का वृत्त	वृत्त पर बिंदु	कार्डियोइड
एक वृत्त के बाहर	आधी त्रिज्या का वृत्त	वृत्त पर बिंदु	नेफ़्रॉइड
एक वृत्त के अंदर	वृत्त	समस्त	हाइपोट्रोकॉइड
एक वृत्त के अंदर	वृत्त	वृत्त पर बिंदु	हाइपोसाइक्लोइड
एक वृत्त के अंदर	त्रिज्या के एक तिहाई का वृत्त	वृत्त पर बिंदु	त्रिभुजाकार
एक वृत्त के अंदर	त्रिज्या के एक चौथाई का वृत्त	वृत्त पर बिंदु	एस्ट्रॉयड
परवलय	समान परवलय विपरीत दिशा में मानकीकृत	परवलय का शीर्ष	डायोकल्स का सिसॉइड
कैटेनरी	रेखा	उपरोक्त उदाहरण देखें	रेखा

यह भी देखें

• रोलिंग
• गियर
• लोकस (गणित)
• सुपरपोजिशन सिद्धांत
• स्पाइरोग्राफ
• तुसी दंपत्ति
• रोसेटा (कक्षा)

संदर्भ

• W. H. Besant (1890) Notes on Roulettes and Glissettes from Cornell University Historical Math Monographs, originally published by Deighton, Bell & Co.
• Weisstein, Eric W. "Roulette". MathWorld.

अग्रिम पठन

• Roulette at 2dcurves.com
• Base, roulante et roulettes d'un mouvement plan sur plan (in French)
• Eine einheitliche Darstellung von ebenen, verallgemeinerten Rollbewegungen und deren Anwendungen (in German)