रूलेट (वक्र): Difference between revisions

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{{Short description|Mathematical curves generated by rolling other curves together}}
[[वक्र]]ों की विभेदक ज्यामिति में, रूलेट एक प्रकार का वक्र होता है, जो [[ चक्रज ]]्स, [[अधिचक्रवात]], [[हाइपोसाइक्लोइड]]्स, ट्रोचोइड्स, [[एपिट्रोकोइड]]्स, [[हाइपोट्रोकोइड]]्स और [[उलझा हुआ]] को सामान्यीकृत करता है।
[[वक्र]] की विभेदक ज्यामिति में, '''रूलेट''' एक प्रकार का वक्र होता है, जो [[ चक्रज |साइक्लॉइड]], [[अधिचक्रवात|एपिसाइक्लोइड्स]], [[हाइपोसाइक्लोइड]], ट्रोचोइड्स, [[एपिट्रोकोइड]], [[हाइपोट्रोकोइड]] और [[उलझा हुआ|इनवॉल्यूट्स]] को सामान्यीकृत करता है।
 
== परिभाषा ==
== परिभाषा ==


=== अनौपचारिक परिभाषा ===
=== अनौपचारिक परिभाषा ===
[[Image:RouletteAnim.gif|right|frame|एक हरा [[परवलय]] एक समान नीले परवलय के अनुदिश लुढ़कता है जो स्थिर रहता है। जनरेटर रोलिंग परवलय का शीर्ष है और रूलेट का वर्णन करता है, जिसे लाल रंग में दिखाया गया है। इस मामले में रूलेट [[डायोकल्स का सिसॉइड]] है।<ref name="2dcurves_cubicc" />]]मोटे तौर पर कहें तो, रूलेट किसी दिए गए वक्र से जुड़े एक बिंदु (जिसे जनरेटर या पोल कहा जाता है) द्वारा वर्णित वक्र है क्योंकि वह वक्र बिना फिसले, दूसरे दिए गए वक्र के साथ घूमता है जो स्थिर है। अधिक सटीक रूप से, एक विमान से जुड़ा एक वक्र दिया गया है जो घूम रहा है ताकि वक्र बिना फिसले, उसी स्थान पर रहने वाले एक निश्चित विमान से जुड़े दिए गए वक्र के साथ घूम सके, फिर चलती विमान से जुड़ा एक बिंदु एक वक्र का वर्णन करता है, स्थिर तल को रूलेट कहा जाता है।
[[Image:RouletteAnim.gif|right|frame|एक हरा [[परवलय]] समान नीले परवलय के अनुदिश लुढ़कता है जो स्थिर रहता है। जनरेटर रोलिंग परवलय का शीर्ष है और रूलेट का वर्णन करता है, जिसे लाल रंग में दिखाया गया है। इस स्थितियों में रूलेट [[डायोकल्स का सिसॉइड]] है।<ref name="2dcurves_cubicc" />]]सामान्यतः कहें तो, रूलेट किसी दिए गए वक्र से जुड़े बिंदु (जिसे जनरेटर या पोल कहा जाता है) द्वारा वर्णित वक्र है क्योंकि वह वक्र बिना फिसले, दूसरे दिए गए वक्र के साथ घूमता है जो स्थिर है। अधिक स्पष्ट रूप से, विमान से जुड़ा वक्र दिया गया है जो घूम रहा है जिससे वक्र बिना फिसले, उसी स्थान पर रहने वाले निश्चित विमान से जुड़कर दिए गए वक्र के साथ घूम सके, फिर गतिमान तल से जुड़ा एक बिंदु स्थिर तल में एक वक्र का वर्णन करता है, जिसे रूलेट कहा जाता है।


=== विशेष मामले और संबंधित अवधारणाएँ ===
=== विशेष स्थितियों और संबंधित अवधारणाएँ ===
ऐसे मामले में जहां रोलिंग वक्र एक [[रेखा (ज्यामिति)]] है और जनरेटर रेखा पर एक बिंदु है, रूलेट को निश्चित वक्र का एक इनवॉल्व कहा जाता है। यदि रोलिंग वक्र एक वृत्त है और स्थिर वक्र एक रेखा है तो रूलेट एक ट्रोचॉइड है। यदि, इस स्थिति में, बिंदु वृत्त पर स्थित है तो रूलेट एक चक्रज है।
ऐसी स्थितियों में जहां रोलिंग वक्र [[रेखा (ज्यामिति)]] है और जनरेटर रेखा पर बिंदु है, इस प्रकार रूलेट को निश्चित वक्र का इनवॉल्व कहा जाता है। यदि रोलिंग वक्र वृत्त है और स्थिर वक्र रेखा है तो रूलेट ट्रोचॉइड है। यदि, इस स्थिति में, बिंदु वृत्त पर स्थित है तो रूलेट साइक्लॉइड है।


एक संबंधित अवधारणा एक [[ स्लाइडर ]] है, किसी दिए गए वक्र से जुड़े एक बिंदु द्वारा वर्णित वक्र जब यह दो (या अधिक) दिए गए वक्रों के साथ स्लाइड करता है।
एक संबंधित अवधारणा [[ स्लाइडर |ग्लिसेट]] है, इस प्रकार किसी दिए गए वक्र से जुड़े बिंदु द्वारा वर्णित वक्र जब यह दो (या अधिक) दिए गए वक्रों के साथ स्लाइड करता है।


=== औपचारिक परिभाषा ===
=== औपचारिक परिभाषा ===
औपचारिक रूप से कहें तो, वक्र [[यूक्लिडियन विमान]] में अवकलनीय फलन वक्र होने चाहिए। स्थिर वक्र को अपरिवर्तनीय रखा जाता है; रोलिंग वक्र एक [[सतत कार्य]] [[सर्वांगसमता (ज्यामिति)]] परिवर्तन के अधीन है, जैसे कि हर समय वक्र संपर्क के एक बिंदु पर [[स्पर्शरेखा]] होते हैं जो किसी भी वक्र के साथ ले जाने पर समान गति से चलते हैं (इस बाधा को व्यक्त करने का दूसरा तरीका यह है कि बिंदु दो वक्रों के संपर्क का सर्वांगसम परिवर्तन के घूर्णन का तात्कालिक केंद्र है)। परिणामी रूलेट जनरेटर के [[लोकस (गणित)]] द्वारा सर्वांगसम परिवर्तनों के समान सेट के अधीन बनता है।
औपचारिक रूप से कहें तो, वक्र [[यूक्लिडियन विमान]] में अवकलनीय फलन वक्र होने चाहिए। इस प्रकार स्थिर वक्र को अपरिवर्तनीय रखा जाता है; रोलिंग वक्र [[सतत कार्य]] [[सर्वांगसमता (ज्यामिति)]] परिवर्तन के अधीन है, जैसे कि प्रत्येक समय वक्र संपर्क के बिंदु पर [[स्पर्शरेखा]] होते हैं जो किसी भी वक्र के साथ ले जाने पर समान गति से चलते हैं (इस बाधा को व्यक्त करने की दूसरी विधि यह है कि बिंदु दो वक्रों के संपर्क का सर्वांगसम परिवर्तन के घूर्णन का तात्कालिक केंद्र है)। परिणामी रूलेट जनरेटर के [[लोकस (गणित)]] द्वारा सर्वांगसम परिवर्तनों के समान समुच्चय के अधीन बनता है।


आइए मूल वक्रों को जटिल तल में वक्रों के रूप में मॉडलिंग करें <math>r,f:\mathbb R\to\Complex</math> वक्रों की दो विभेदक ज्यामिति हो#रोलिंग की लंबाई और प्राकृतिक पैरामीट्रिजेशन ({{nowrap|<math>r</math>)}} और तय किया गया {{nowrap|(<math>f</math>)}} वक्र, ऐसे कि <math>r(0)=f(0)</math>, <math>r'(0) = f'(0)</math>, और <math>|r'(t)| = |f'(t)| \neq 0</math> सभी के लिए <math>t</math>. जनरेटर का रूलेट <math>p\in\Complex</math> जैसा <math>r</math> चालू किया गया है <math>f</math> फिर मैपिंग द्वारा दिया गया है:
मूल वक्रों को सम्मिश्र तल में वक्रों के रूप में मॉडलिंग करते हुए, <math>r,f:\mathbb R\to\Complex</math> को रोलिंग ({{nowrap|<math>r</math>)}} और निश्चित {{nowrap|(<math>f</math>)}} वक्रों के दो प्राकृतिक मापदंड होने दें, जैसे कि सभी <math>r(0)=f(0)</math>, <math>r'(0) = f'(0)</math> के लिए <math>|r'(t)| = |f'(t)| \neq 0</math>, और <math>t</math>। जनरेटर <math>p\in\Complex</math> का रूलेट <math>r</math> के रूप में <math>f</math> पर घुमाया जाता है, फिर मैपिंग द्वारा दिया जाता है:  


:<math>t\mapsto f(t)+(p-r(t)) {f'(t)\over r'(t)}.</math>
:<math>t\mapsto f(t)+(p-r(t)) {f'(t)\over r'(t)}.</math>
== सामान्यीकरण ==
== सामान्यीकरण ==
यदि, एक बिंदु को रोलिंग वक्र से जुड़े होने के बजाय, एक और दिए गए वक्र को गतिशील विमान के साथ ले जाया जाता है, तो सर्वांगसम वक्रों का एक परिवार उत्पन्न होता है। इस परिवार के लिफाफे को रूलेट भी कहा जा सकता है।
यदि, बिंदु को रोलिंग वक्र से जुड़े होने के अतिरिक्त, एक और दिए गए वक्र को गतिशील विमान के साथ ले जाया जाता है, तो सर्वांगसम वक्रों का समूह उत्पन्न होता है। इस समूह के आवरण को रूलेट भी कहा जा सकता है।


उच्च स्थानों में रूलेट्स की निश्चित रूप से कल्पना की जा सकती है, लेकिन स्पर्शरेखाओं से कहीं अधिक संरेखित करने की आवश्यकता है।
उच्च स्थानों में रूलेट्स की निश्चित रूप से कल्पना की जा सकती है, किंतु स्पर्शरेखाओं से कहीं अधिक संरेखित करने की आवश्यकता है।


==उदाहरण==
==उदाहरण==
यदि स्थिर वक्र एक [[ ज़ंजीर का ]] है और रोलिंग वक्र एक [[रेखा (गणित)]] है, तो हमारे पास है:
यदि स्थिर वक्र [[ ज़ंजीर का |कैटेनरी]] है और रोलिंग वक्र [[रेखा (गणित)]] है, तो हमारे पास है:


:<math>f(t)=t+i(\cosh(t)-1) \qquad r(t)=\sinh(t)</math>
:<math>f(t)=t+i(\cosh(t)-1) \qquad r(t)=\sinh(t)</math>
:<math>f'(t)=1+i\sinh(t) \qquad r'(t)=\cosh(t).</math>
:<math>f'(t)=1+i\sinh(t) \qquad r'(t)=\cosh(t).</math>
लाइन का मानकीकरण इसलिए चुना गया है
रेखा का मानकीकरण इसलिए चुना गया है
:<math>|f'(t)| = \sqrt{1^2+\sinh^2(t)} = \sqrt{\cosh^2(t)} = |r'(t)|. </math>
:<math>|f'(t)| = \sqrt{1^2+\sinh^2(t)} = \sqrt{\cosh^2(t)} = |r'(t)|. </math>
उपरोक्त सूत्र को लागू करने पर हमें प्राप्त होता है:
उपरोक्त सूत्र को क्रियान्वित करने पर हमें प्राप्त होता है:


:<math>f(t)+(p-r(t)){f'(t)\over r'(t)}
:<math>f(t)+(p-r(t)){f'(t)\over r'(t)}
=t-i+{p-\sinh(t)+i(1+p\sinh(t))\over\cosh(t)}
=t-i+{p-\sinh(t)+i(1+p\sinh(t))\over\cosh(t)}
=t-i+(p+i){1+i\sinh(t)\over\cosh(t)}.</math>
=t-i+(p+i){1+i\sinh(t)\over\cosh(t)}.</math>
यदि p = −i अभिव्यक्ति में एक स्थिर काल्पनिक भाग है (अर्थात् −i) और रूलेट एक क्षैतिज रेखा है। इसका एक दिलचस्प अनुप्रयोग यह है कि एक [[चौकोर पहिया]] सड़क पर बिना उछले घूम सकता है जो कि कैटेनरी आर्क की एक सुमेलित श्रृंखला है।
यदि p = −i अभिव्यक्ति में स्थिर काल्पनिक भाग है (अर्थात् −i) और रूलेट क्षैतिज रेखा है। इसका रोचक अनुप्रयोग यह है कि [[चौकोर पहिया]] सड़क पर बिना उछले घूम सकता है जो कि कैटेनरी आर्क की सुमेलित श्रृंखला है।


==रूलेट्स की सूची==
==रूलेट्स की सूची==
{| class="wikitable sortable"
{| class="wikitable sortable"
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! Fixed curve
!निश्चित वक्र
! Rolling curve
! रोलिंग वक्र
! Generating point
! उत्पादक बिंदु
! Roulette
!रूलेट
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| ''Any curve''
| ''एनि वक्र''
| [[Line (mathematics)|Line]]
| [[Line (mathematics)|रेखा]]
| Point on the line
|रेखा पर बिंदु
| [[Involute]] of the curve
| वक्र का [[Involute|समावेश]]
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|-
|[[Line (mathematics)|Line]]
|[[Line (mathematics)|रेखा]]
|''Any''
|''एनि''
|''Any''
|''एनि''
|[[Cyclogon]]
|[[Cyclogon|साइक्लोगॉन]]
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| [[Line (mathematics)|Line]]
| [[Line (mathematics)|रेखा]]
| [[Circle]]
| [[Circle|वृत्त]]
| ''Any''
| ''एनि''
| [[Trochoid]]
| [[Trochoid|ट्रोचॉइड]]
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| [[Line (mathematics)|Line]]
| [[Line (mathematics)|रेखा]]
| [[Circle]]
| [[Circle|वृत्त]]
| Point on the circle
| वृत्त पर बिंदु
| [[Cycloid]]
| [[Cycloid|चक्रज]]
|-
|-
| [[Line (mathematics)|Line]]
| [[Line (mathematics)|रेखा]]
| [[Conic section]]
| [[Conic section|शंक्वाकार खंड]]
| Center of the conic
| शंकु का केंद्र
| '''Sturm roulette'''<ref name="sturm">[http://www.mathcurve.com/courbes2d/sturm/sturm.shtml "Sturm's roulette" on www.mathcurve.com]</ref>
| '''स्टर्म रूलेट'''<ref name="sturm">[http://www.mathcurve.com/courbes2d/sturm/sturm.shtml "Sturm's roulette" on www.mathcurve.com]</ref>
|-
|-
| [[Line (mathematics)|Line]]
| [[Line (mathematics)|रेखा]]
| [[Conic section]]
| [[Conic section|शंक्वाकार खंड]]
| [[Focus (geometry)|Focus]] of the conic
| शंकु का [[Focus (geometry)|केंद्र]]
| '''Delaunay roulette'''<ref>[http://www.mathcurve.com/courbes2d/delaunay/delaunay.shtml "Delaunay's roulette" on www.mathcurve.com]</ref>
| '''डेलाउने रूलेट'''<ref>[http://www.mathcurve.com/courbes2d/delaunay/delaunay.shtml "Delaunay's roulette" on www.mathcurve.com]</ref>
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| [[Line (mathematics)|Line]]
| [[Line (mathematics)|रेखा]]
| [[Parabola]]
| [[Parabola|परवलय]]
| [[Focus (geometry)|Focus]] of the parabola
| परवलय का [[Focus (geometry)|केंद्र]]
| [[Catenary]]<ref name="2dcurves_roulettede">[http://www.2dcurves.com/roulette/roulettede.html "Delaunay's roulette" on www.2dcurves.com]</ref>  
| [[Catenary|कैटेनरी]]<ref name="2dcurves_roulettede">[http://www.2dcurves.com/roulette/roulettede.html "Delaunay's roulette" on www.2dcurves.com]</ref>  
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| [[Line (mathematics)|Line]]
| [[Line (mathematics)|रेखा]]
| [[Ellipse]]
| [[Ellipse|दीर्घवृत्त]]
| [[Focus (geometry)|Focus]] of the ellipse
| दीर्घवृत्त का [[Focus (geometry)|केंद्र]]
| '''Elliptic catenary'''<ref name="2dcurves_roulettede"/>
| '''अण्डाकार कैटेनरी'''<ref name="2dcurves_roulettede"/>
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| [[Line (mathematics)|Line]]
| [[Line (mathematics)|रेखा]]
| [[Hyperbola]]
| [[Hyperbola|अतिपरवलय]]
| [[Focus (geometry)|Focus]] of the hyperbola
| अतिपरवलय का [[Focus (geometry)|केंद्र]]
| '''Hyperbolic catenary'''<ref name="2dcurves_roulettede"/>
| '''अतिपरवलयिक कैटेनरी'''<ref name="2dcurves_roulettede"/>
|-
|-
| [[Line (mathematics)|Line]]
| [[Line (mathematics)|रेखा]]
| [[Hyperbola]]
| [[Hyperbola|अतिपरवलय]]
| [[Centre (geometry)|Center]] of the hyperbola
| अतिपरवलय का [[Centre (geometry)|केंद्र]]
| '''Rectangular elastica'''<ref name="sturm"/>{{Failed verification|date=August 2008}}
| '''आयताकार इलास्टिका'''<ref name="sturm"/>
|-
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| [[Line (mathematics)|Line]]
| [[Line (mathematics)|रेखा]]
| [[Cyclocycloid]]
| [[Cyclocycloid|साइक्लोसायक्लोइड]]
| Center
| केंद्र
| [[Ellipse]]<ref>[http://www.mathcurve.com/courbes2d/roulette/roulette.shtml "Roulette with straight fixed curve" on www.mathcurve.com]</ref>  
| [[Ellipse|दीर्घवृत्त]]<ref>[http://www.mathcurve.com/courbes2d/roulette/roulette.shtml "Roulette with straight fixed curve" on www.mathcurve.com]</ref>  
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| [[Circle]]
| [[Circle|वृत्त]]
| [[Circle]]
| [[Circle|वृत्त]]
| ''Any''
| ''एनि''
| [[Centered trochoid]]<ref>[http://www.mathcurve.com/courbes2d/trochoid/trochoidacentre.shtml "Centered trochoid" on mathcurve.com]</ref>
| [[Centered trochoid|केन्द्रित ट्रोचॉइड]]<ref>[http://www.mathcurve.com/courbes2d/trochoid/trochoidacentre.shtml "Centered trochoid" on mathcurve.com]</ref>
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|Outside of a [[circle]]
|एक [[circle|वृत्त]] के बाहर
|[[Circle]]
|[[Circle|वृत्त]]
|''Any''
|''एनि''
|[[Epitrochoid]]
|[[Epitrochoid|एपिट्रोकॉइड]]
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|Outside of a [[circle]]
|एक [[circle|वृत्त]] के बाहर
|[[Circle]]
|[[Circle|वृत्त]]
|Point on the circle
|वृत्त पर बिंदु
|[[Epicycloid]]
|[[Epicycloid|अधिचक्रवात]]
|-
|-
|Outside of a [[circle]]
|एक [[circle|वृत्त]] के बाहर
|[[Circle]] of identical [[radius]]
|समान [[Circle|त्रिज्या]] का [[radius|वृत्त]]
|''Any''
|''एनि''
|[[Limaçon]]  
|[[Limaçon|लिमाकॉन]]
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|Outside of a [[circle]]
|एक [[circle|वृत्त]] के बाहर
|[[Circle]] of identical [[radius]]
|समान [[Circle|त्रिज्या]] का [[radius|वृत्त]]
|Point on the circle
|वृत्त पर बिंदु
|[[Cardioid]]
|[[Cardioid|कार्डियोइड]]
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|-
|Outside of a [[circle]]
|एक [[circle|वृत्त]] के बाहर
|[[Circle]] of half the [[radius]]
|आधी [[Circle|त्रिज्या]] का [[radius|वृत्त]]
|Point on the circle
|वृत्त पर बिंदु
|[[Nephroid]]
|[[Nephroid|नेफ़्रॉइड]]
|-
|-
|Inside of a [[circle]]
|एक [[circle|वृत्त]] के अंदर
|[[Circle]]
|[[Circle|वृत्त]]
|''Any''
|''एनि''
|[[Hypotrochoid]]
|[[Hypotrochoid|हाइपोट्रोकॉइड]]
|-
|-
|Inside of a [[circle]]
|एक [[circle|वृत्त]] के अंदर
|[[Circle]]
|[[Circle|वृत्त]]
|Point on the circle
|वृत्त पर बिंदु
|[[Hypocycloid]]
|[[Hypocycloid|हाइपोसाइक्लोइड]]
|-
|-
|Inside of a [[circle]]
|एक [[circle|वृत्त]] के अंदर
|[[Circle]] of a third of the [[radius]]
|[[Circle|त्रिज्या]] के एक तिहाई का [[radius|वृत्त]]
|Point on the circle
|वृत्त पर बिंदु
|[[Deltoid curve|Deltoid]]
|[[Deltoid curve|त्रिभुजाकार]]
|-
|-
|Inside of a [[circle]]
|एक [[circle|वृत्त]] के अंदर
|[[Circle]] of a quarter of the [[radius]]
|[[Circle|त्रिज्या]] के एक चौथाई का [[radius|वृत्त]]
|Point on the circle
|वृत्त पर बिंदु
|[[Astroid]]
|[[Astroid|एस्ट्रॉयड]]
|-
|-
| [[Parabola]]
| [[Parabola|परवलय]]
| Equal parabola parameterized in opposite direction
|समान परवलय विपरीत दिशा में मानकीकृत
| [[Vertex (curve)|Vertex]] of the parabola
| परवलय का [[Vertex (curve)|शीर्ष]]
| [[Cissoid of Diocles]]<ref name="2dcurves_cubicc">[http://www.2dcurves.com/cubic/cubicc.html "Cissoid" on www.2dcurves.com]</ref>  
| [[Cissoid of Diocles|डायोकल्स का सिसॉइड]]<ref name="2dcurves_cubicc">[http://www.2dcurves.com/cubic/cubicc.html "Cissoid" on www.2dcurves.com]</ref>  
|-
|-
| [[Catenary]]
| [[Catenary|कैटेनरी]]
| [[Line (mathematics)|Line]]
| [[Line (mathematics)|रेखा]]
| ''See [[#Example|example]] above''
| उपरोक्त ''[[#Example|उदाहरण]] देखें''
| Line
| रेखा
|}
|}
==यह भी देखें==
==यह भी देखें==
* लुढ़कना
* रोलिंग
* [[गियर]]
* [[गियर]]
* लोकस (गणित)
* लोकस (गणित)
* [[सुपरपोजिशन सिद्धांत]]
* [[सुपरपोजिशन सिद्धांत]]
* [[स्पाइरोग्राफ]]
* [[स्पाइरोग्राफ]]
*तुसी दंपत्ति
*तुसी युग्म
* [[रोसेटा (कक्षा)]]
* [[रोसेटा (कक्षा)]]


==टिप्पणियाँ==
==टिप्पणियाँ==
{{Reflist}}
{{Reflist}}
==संदर्भ==
==संदर्भ==
* [[W. H. Besant]] (1890) ''[http://hdl.handle.net/2027/coo.31924059413827 Notes on Roulettes and Glissettes]'' from [[Cornell University]] Historical Math Monographs, originally published by Deighton, Bell & Co.
* [[W. H. Besant]] (1890) ''[http://hdl.handle.net/2027/coo.31924059413827 Notes on Roulettes and Glissettes]'' from [[Cornell University]] Historical Math Monographs, originally published by Deighton, Bell & Co.
*{{MathWorld|urlname=Roulette|title=Roulette}}
*{{MathWorld|urlname=Roulette|title=Roulette}}
==अग्रिम पठन==
==अग्रिम पठन==
*[http://www.2dcurves.com/roulette/roulette.html Roulette at 2dcurves.com]
*[http://www.2dcurves.com/roulette/roulette.html Roulette at 2dcurves.com]
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*[http://www.tfh-berlin.de/~schwenk/Lehrgebiete/AUST/Welcome.html Eine einheitliche Darstellung von ebenen, verallgemeinerten Rollbewegungen und deren Anwendungen] {{in lang|de}}
*[http://www.tfh-berlin.de/~schwenk/Lehrgebiete/AUST/Welcome.html Eine einheitliche Darstellung von ebenen, verallgemeinerten Rollbewegungen und deren Anwendungen] {{in lang|de}}


{{Differential transforms of plane curves}}
{{Authority control}}
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[[Category: कैस्टर (वक्र)| कैस्टर]]  


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[[Category:Created On 13/08/2023]]
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Latest revision as of 22:49, 10 October 2023

वक्र की विभेदक ज्यामिति में, रूलेट एक प्रकार का वक्र होता है, जो साइक्लॉइड, एपिसाइक्लोइड्स, हाइपोसाइक्लोइड, ट्रोचोइड्स, एपिट्रोकोइड, हाइपोट्रोकोइड और इनवॉल्यूट्स को सामान्यीकृत करता है।

परिभाषा

अनौपचारिक परिभाषा

एक हरा परवलय समान नीले परवलय के अनुदिश लुढ़कता है जो स्थिर रहता है। जनरेटर रोलिंग परवलय का शीर्ष है और रूलेट का वर्णन करता है, जिसे लाल रंग में दिखाया गया है। इस स्थितियों में रूलेट डायोकल्स का सिसॉइड है।[1]

सामान्यतः कहें तो, रूलेट किसी दिए गए वक्र से जुड़े बिंदु (जिसे जनरेटर या पोल कहा जाता है) द्वारा वर्णित वक्र है क्योंकि वह वक्र बिना फिसले, दूसरे दिए गए वक्र के साथ घूमता है जो स्थिर है। अधिक स्पष्ट रूप से, विमान से जुड़ा वक्र दिया गया है जो घूम रहा है जिससे वक्र बिना फिसले, उसी स्थान पर रहने वाले निश्चित विमान से जुड़कर दिए गए वक्र के साथ घूम सके, फिर गतिमान तल से जुड़ा एक बिंदु स्थिर तल में एक वक्र का वर्णन करता है, जिसे रूलेट कहा जाता है।

विशेष स्थितियों और संबंधित अवधारणाएँ

ऐसी स्थितियों में जहां रोलिंग वक्र रेखा (ज्यामिति) है और जनरेटर रेखा पर बिंदु है, इस प्रकार रूलेट को निश्चित वक्र का इनवॉल्व कहा जाता है। यदि रोलिंग वक्र वृत्त है और स्थिर वक्र रेखा है तो रूलेट ट्रोचॉइड है। यदि, इस स्थिति में, बिंदु वृत्त पर स्थित है तो रूलेट साइक्लॉइड है।

एक संबंधित अवधारणा ग्लिसेट है, इस प्रकार किसी दिए गए वक्र से जुड़े बिंदु द्वारा वर्णित वक्र जब यह दो (या अधिक) दिए गए वक्रों के साथ स्लाइड करता है।

औपचारिक परिभाषा

औपचारिक रूप से कहें तो, वक्र यूक्लिडियन विमान में अवकलनीय फलन वक्र होने चाहिए। इस प्रकार स्थिर वक्र को अपरिवर्तनीय रखा जाता है; रोलिंग वक्र सतत कार्य सर्वांगसमता (ज्यामिति) परिवर्तन के अधीन है, जैसे कि प्रत्येक समय वक्र संपर्क के बिंदु पर स्पर्शरेखा होते हैं जो किसी भी वक्र के साथ ले जाने पर समान गति से चलते हैं (इस बाधा को व्यक्त करने की दूसरी विधि यह है कि बिंदु दो वक्रों के संपर्क का सर्वांगसम परिवर्तन के घूर्णन का तात्कालिक केंद्र है)। परिणामी रूलेट जनरेटर के लोकस (गणित) द्वारा सर्वांगसम परिवर्तनों के समान समुच्चय के अधीन बनता है।

मूल वक्रों को सम्मिश्र तल में वक्रों के रूप में मॉडलिंग करते हुए, को रोलिंग () और निश्चित () वक्रों के दो प्राकृतिक मापदंड होने दें, जैसे कि सभी , के लिए , और । जनरेटर का रूलेट के रूप में पर घुमाया जाता है, फिर मैपिंग द्वारा दिया जाता है:

सामान्यीकरण

यदि, बिंदु को रोलिंग वक्र से जुड़े होने के अतिरिक्त, एक और दिए गए वक्र को गतिशील विमान के साथ ले जाया जाता है, तो सर्वांगसम वक्रों का समूह उत्पन्न होता है। इस समूह के आवरण को रूलेट भी कहा जा सकता है।

उच्च स्थानों में रूलेट्स की निश्चित रूप से कल्पना की जा सकती है, किंतु स्पर्शरेखाओं से कहीं अधिक संरेखित करने की आवश्यकता है।

उदाहरण

यदि स्थिर वक्र कैटेनरी है और रोलिंग वक्र रेखा (गणित) है, तो हमारे पास है:

रेखा का मानकीकरण इसलिए चुना गया है

उपरोक्त सूत्र को क्रियान्वित करने पर हमें प्राप्त होता है:

यदि p = −i अभिव्यक्ति में स्थिर काल्पनिक भाग है (अर्थात् −i) और रूलेट क्षैतिज रेखा है। इसका रोचक अनुप्रयोग यह है कि चौकोर पहिया सड़क पर बिना उछले घूम सकता है जो कि कैटेनरी आर्क की सुमेलित श्रृंखला है।

रूलेट्स की सूची

निश्चित वक्र रोलिंग वक्र उत्पादक बिंदु रूलेट
एनि वक्र रेखा रेखा पर बिंदु वक्र का समावेश
रेखा एनि एनि साइक्लोगॉन
रेखा वृत्त एनि ट्रोचॉइड
रेखा वृत्त वृत्त पर बिंदु चक्रज
रेखा शंक्वाकार खंड शंकु का केंद्र स्टर्म रूलेट[2]
रेखा शंक्वाकार खंड शंकु का केंद्र डेलाउने रूलेट[3]
रेखा परवलय परवलय का केंद्र कैटेनरी[4]
रेखा दीर्घवृत्त दीर्घवृत्त का केंद्र अण्डाकार कैटेनरी[4]
रेखा अतिपरवलय अतिपरवलय का केंद्र अतिपरवलयिक कैटेनरी[4]
रेखा अतिपरवलय अतिपरवलय का केंद्र आयताकार इलास्टिका[2]
रेखा साइक्लोसायक्लोइड केंद्र दीर्घवृत्त[5]
वृत्त वृत्त एनि केन्द्रित ट्रोचॉइड[6]
एक वृत्त के बाहर वृत्त एनि एपिट्रोकॉइड
एक वृत्त के बाहर वृत्त वृत्त पर बिंदु अधिचक्रवात
एक वृत्त के बाहर समान त्रिज्या का वृत्त एनि लिमाकॉन
एक वृत्त के बाहर समान त्रिज्या का वृत्त वृत्त पर बिंदु कार्डियोइड
एक वृत्त के बाहर आधी त्रिज्या का वृत्त वृत्त पर बिंदु नेफ़्रॉइड
एक वृत्त के अंदर वृत्त एनि हाइपोट्रोकॉइड
एक वृत्त के अंदर वृत्त वृत्त पर बिंदु हाइपोसाइक्लोइड
एक वृत्त के अंदर त्रिज्या के एक तिहाई का वृत्त वृत्त पर बिंदु त्रिभुजाकार
एक वृत्त के अंदर त्रिज्या के एक चौथाई का वृत्त वृत्त पर बिंदु एस्ट्रॉयड
परवलय समान परवलय विपरीत दिशा में मानकीकृत परवलय का शीर्ष डायोकल्स का सिसॉइड[1]
कैटेनरी रेखा उपरोक्त उदाहरण देखें रेखा

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

  1. ↑ 1.0 1.1 "Cissoid" on www.2dcurves.com
  2. ↑ 2.0 2.1 "Sturm's roulette" on www.mathcurve.com
  3. ↑ "Delaunay's roulette" on www.mathcurve.com
  4. ↑ 4.0 4.1 4.2 "Delaunay's roulette" on www.2dcurves.com
  5. ↑ "Roulette with straight fixed curve" on www.mathcurve.com
  6. ↑ "Centered trochoid" on mathcurve.com

संदर्भ

  • W. H. Besant (1890) Notes on Roulettes and Glissettes from Cornell University Historical Math Monographs, originally published by Deighton, Bell & Co.
  • Weisstein, Eric W. "Roulette". MathWorld.

अग्रिम पठन

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