ऊष्मा स्थानांतरण का सामान्य समीकरण

द्रव गतिशीलता में, ऊष्मा स्थानांतरण का सामान्य समीकरण एक गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरण है जो तापीय चालन और श्यानता के अधीन न्यूटोनियन द्रव पदार्थ में विशिष्ट मात्रा एन्ट्रॉपी उत्पादन का वर्णन करता है:

$\underbrace {\rho T{Ds \over {Dt}}} _{\text{Heat Gain}}=\underbrace {\nabla \cdot (\kappa \nabla T)} _{\text{Thermal Conduction}}+\underbrace {{\mu \over {2}}\left({\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}+{\partial v_{j} \over {\partial x_{i}}}-{2 \over {3}}\delta _{ij}\nabla \cdot {\bf {v}}\right)^{2}+\zeta (\nabla \cdot {\bf {v}})^{2}} _{\text{Viscous Dissipation}}$

जहाँ $s$ विशिष्ट एन्ट्रापी है,जिसमे $\rho$ द्रव का घनत्व है, जिसमे $T$ द्रव का तापमान है, जिमसे $D/Dt$ पदार्थ व्युत्पन्न है और जो $\kappa$ तापीय चालकता है, जहाँ $\mu$ गतिशील श्यानता है, $\zeta$ दूसरा लैमे पैरामीटर है|, ${\bf {v}}$ प्रवाह वेग है, $\nabla$ क्या की का उपयोग ग्रेडियेंट और विचलन को चिह्नित करने के लिए किया जाता है, और यह $\delta _{ij}$ क्रोनकर डेल्टा है।

यदि प्रवाह वेग नगण्य है, तो ऊष्मा स्थानांतरण का सामान्य समीकरण मानक ऊष्मा समीकरण में कम हो जाता है। इसे घूमने वाले संदर्भ फ्रेम, स्तरीकृत प्रवाह तक भी बढ़ाया जा सकता है, जैसे कि भूभौतिकीय द्रव गतिशीलता में सामना करना पड़ता है।

व्युत्पत्ति

आदर्श द्रव ऊर्जा समीकरण का विस्तार

एक श्यान, न्यूटोनियन तरल पदार्थ के लिए, द्रव्यमान संरक्षण और संवेग संरक्षण के लिए शासी समीकरण निरंतरता समीकरण या द्रव गतिकी और नेवियर-स्टोक्स समीकरण हैं | नेवियर-स्टोक्स समीकरण:

$${\begin{aligned}{\partial \rho \over {\partial t}}&=-\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})\\\rho {D{\bf {v}} \over {Dt}}&=-\nabla p+\nabla \cdot \sigma \end{aligned}}$$

जहां $p$ दबाव है और $\sigma$ श्यान तनाव टेंसर है, जिसमे श्यान तनाव टेंसर के घटक इस प्रकार दिए गए हैं:

$$\sigma _{ij}=\mu \left({\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}+{\partial v_{j} \over {\partial x_{i}}}-{2 \over {3}}\delta _{ij}\nabla \cdot {\bf {v}}\right)+\zeta \delta _{ij}\nabla \cdot {\bf {v}}$$

द्रव के एक इकाई आयतन की ऊर्जा गतिज ऊर्जा $\rho v^{2}/2\equiv \rho k$ और आंतरिक ऊर्जा $\rho \varepsilon$ का योग है, जहाँ $\varepsilon$विशिष्ट आंतरिक ऊर्जा है। एक आदर्श तरल पदार्थ में, जैसा कि यूलर समीकरणों द्वारा वर्णित है, जो कि ऊर्जा का संरक्षण समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है:

$${\partial \over {\partial t}}\left[\rho (k+\varepsilon )\right]+\nabla \cdot \left[\rho {\bf {v}}(k+h)\right]=0$$

जहाँ $h$ विशिष्ट एन्थैल्पी है। चूँकि, तापीय चालन के अधीन एक श्यान तरल पदार्थ में ऊर्जा के संरक्षण के लिए, संवहन $\rho {\bf {v}}(k+h)$ के कारण ऊर्जा प्रवाह को फूरियर के नियम ${\bf {q}}=-\kappa \nabla T$ गए ताप प्रवाह और आंतरिक घर्षण के कारण प्रवाह $-\sigma \cdot {\bf {v}}$ द्वारा पूरक होना चाहिए। तब ऊर्जा संरक्षण के लिए सामान्य समीकरण है:

$${\partial \over {\partial t}}\left[\rho (k+\varepsilon )\right]+\nabla \cdot \left[\rho {\bf {v}}(k+h)-\kappa \nabla T-\sigma \cdot {\bf {v}}\right]=0$$

एन्ट्रापी उत्पादन के लिए समीकरण

ध्यान दें कि आंतरिक ऊर्जा और एन्थैल्पी के लिए ऊष्मागतिकीय संबंध इस प्रकार दिए गए हैं:

$${\begin{aligned}\rho d\varepsilon &=\rho Tds+{p \over {\rho }}d\rho \\\rho dh&=\rho Tds+dp\end{aligned}}$$

हम नेवियर-स्टोक्स समीकरण के डॉट उत्पाद को प्रवाह वेग ${\bf {v}}$ के साथ प्राप्त करके गतिज ऊर्जा के लिए एक समीकरण भी प्राप्त कर सकते हैं:

$$\rho {Dk \over {Dt}}=-{\bf {v}}\cdot \nabla p+v_{i}{\partial \sigma _{ij} \over {\partial x_{j}}}$$

दाहिनी ओर के दूसरे शब्द को पढ़ने के लिए विस्तारित किया जा सकता है:

$${\begin{aligned}v_{i}{\partial \sigma _{ij} \over {\partial x_{j}}}&={\partial \over {\partial x_{j}}}\left(\sigma _{ij}v_{i}\right)-\sigma _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}\\&\equiv \nabla \cdot (\sigma \cdot {\bf {v}})-\sigma _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}\end{aligned}}$$

एन्थैल्पी और अंतिम परिणाम के लिए ऊष्मागतिकीय संबंध की सहायता से, हम गतिज ऊर्जा समीकरण को इस रूप में रख सकते हैं:

$$\rho {Dk \over {Dt}}=-\rho {\bf {v}}\cdot \nabla h+\rho T{\bf {v}}\cdot \nabla s+\nabla \cdot (\sigma \cdot {\bf {v}})-\sigma _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}$$

अब कुल ऊर्जा के समय व्युत्पन्न का विस्तार करते हुए, हमारे पास है:

$${\partial \over {\partial t}}\left[\rho (k+\varepsilon )\right]=\rho {\partial k \over {\partial t}}+\rho {\partial \varepsilon \over {\partial t}}+(k+\varepsilon ){\partial \rho \over {\partial t}}$$

फिर इनमें से प्रत्येक शब्द का विस्तार करने पर हम पाते हैं कि:

$${\begin{aligned}\rho {\partial k \over {\partial t}}&=-\rho {\bf {v}}\cdot \nabla k-\rho {\bf {v}}\cdot \nabla h+\rho T{\bf {v}}\cdot \nabla s+\nabla \cdot (\sigma \cdot {\bf {v}})-\sigma _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}\\\rho {\partial \varepsilon \over {\partial t}}&=\rho T{\partial s \over {\partial t}}-{p \over {\rho }}\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})\\(k+\varepsilon ){\partial \rho \over {\partial t}}&=-(k+\varepsilon )\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})\end{aligned}}$$

और नियम एकत्रित करने के पश्चात, हमारे पास यही रह जाता है:

$${\partial \over {\partial t}}\left[\rho (k+\varepsilon )\right]+\nabla \cdot \left[\rho {\bf {v}}(k+h)-\sigma \cdot {\bf {v}}\right]=\rho T{Ds \over {Dt}}-\sigma _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}$$

अब प्रत्येक पक्ष में तापीय संचालन के कारण ऊष्मा प्रवाह के विचलन को जोड़ने पर, हमें यह मिलता है:

$${\partial \over {\partial t}}\left[\rho (k+\varepsilon )\right]+\nabla \cdot \left[\rho {\bf {v}}(k+h)-\kappa \nabla T-\sigma \cdot {\bf {v}}\right]=\rho T{Ds \over {Dt}}-\nabla \cdot (\kappa \nabla T)-\sigma _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}$$

चूँकि , हम जानते हैं कि बाईं ओर ऊर्जा का संरक्षण शून्य के समान है, हमारे पास यह है:

$$\rho T{Ds \over {Dt}}=\nabla \cdot (\kappa \nabla T)+\sigma _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}$$

श्यान तनाव टेंसर और वेग प्रवणता के उत्पाद को इस प्रकार विस्तारित किया जा सकता है:

$${\begin{aligned}\sigma _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}&=\mu \left({\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}+{\partial v_{j} \over {\partial x_{i}}}-{2 \over {3}}\delta _{ij}\nabla \cdot {\bf {v}}\right){\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}+\zeta \delta _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}\nabla \cdot {\bf {v}}\\&={\mu \over {2}}\left({\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}+{\partial v_{j} \over {\partial x_{i}}}-{2 \over {3}}\delta _{ij}\nabla \cdot {\bf {v}}\right)^{2}+\zeta (\nabla \cdot {\bf {v}})^{2}\end{aligned}}$$

इस प्रकार विशिष्ट एन्ट्रापी उत्पादन के लिए समीकरण के अंतिम रूप की ओर अग्रसर है:

$$\rho T{Ds \over {Dt}}=\nabla \cdot (\kappa \nabla T)+{\mu \over {2}}\left({\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}+{\partial v_{j} \over {\partial x_{i}}}-{2 \over {3}}\delta _{ij}\nabla \cdot {\bf {v}}\right)^{2}+\zeta (\nabla \cdot {\bf {v}})^{2}$$

ऐसे स्थिति में जहां थर्मल चालन और चिपचिपा बल अनुपस्थित हैं, एन्ट्रापी उत्पादन के लिए समीकरण $Ds/Dt=0$ तक संक्षिप्त करता है - यह दर्शाता है कि आदर्श द्रव प्रवाह आइसोट्रोपिक है।

आवेदन

यह समीकरण एल.डी. के छठे खंड में "तरल पदार्थों में तापीय चालन" पर अध्याय के उद्घाटन पर धारा 49 में लिया गया है। लैंडौ और ई.एम. लाइफशिट्ज़ का सैद्धांतिक भौतिकी का पाठ्यक्रम है। इसका उपयोग घरेलू रेफ्रिजरेटर में ऊष्मा स्थानांतरण और वायु प्रवाह को मापने के लिए किया जा सकता है, जो कि पुनर्योजी का हार्मोनिक विश्लेषण करने के लिए, या ग्लेशियरों की भौतिकी को समझने के लिए इसका उपयोग किया जाता है।

यह भी देखें

• अपव्यय
• ऊष्मा का हस्तांतरण
• अशांति गतिज ऊर्जा

अग्रिम पठन

• Vallis, G.K. (2006). Atmospheric and Oceanic Fluid Dynamics: Fundamentals and Large-Scale Circulation. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84969-2.
• Yilmaz, T.; Cihan, E. (September 1993). "General equation for heat transfer for laminar flow in ducts of arbitrary cross-sections". International Journal of Heat and Mass Transfer. 36 (13): 3265–3270. doi:10.1016/0017-9310(93)90009-U. ISSN 0017-9310.