एनालॉग सिग्नल प्रोसेसिंग: Difference between revisions
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एनालॉग [[ संकेत आगे बढ़ाना ]] | '''एनालॉग [[ संकेत आगे बढ़ाना |सिग्नल प्रोसेसिंग]]''' विशेष प्रकार की सिग्नल प्रोसेसिंग है जो कुछ एनालॉग माध्यमों द्वारा कंटीन्यूअस फ़ंक्शन [[ एनालॉग संकेत |एनालॉग सिग्नल]] पर किया जाता है (डिस्क्रीट [[ अंकीय संकेत प्रक्रिया |डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग]] के विपरीत जहां सिग्नल प्रोसेसिंग डिजिटल प्रोसेस द्वारा की जाती है)। एनालॉग किसी ऐसी चीज को प्रदर्शित करता है जिसे मैथमेटिकल रूप से कंटीन्यूअस वैल्यूज के सेट के रूप में दर्शाया जाता है। यह डिजिटल से डिफर करता है जो सिग्नल को रिप्रेजेंट करने के लिए डिस्क्रीट क्वॉन्टिटीज़ की सीरीज का उपयोग करता है। एनालॉग वैल्यू सामान्यतः इलेक्ट्रॉनिक टूलों में कॉम्पोनेन्ट के निकट [[वोल्टेज]], [[विद्युत प्रवाह|इलेक्ट्रिक करंट]] या इलेक्ट्रिक चार्ज के रूप में दर्शाए जाते हैं। ऐसी फिजिकल क्वॉन्टिटीज़ को प्रभावित करने वाले एरर या नॉइज़ के परिणामस्वरूप ऐसी फिजिकल क्वॉन्टिटीज़ द्वारा दर्शाए गए सिग्नलों में कोर्रेस्पोंडिंग एरर होती है। | ||
'एनालॉग सिग्नल प्रोसेसिंग' के उदाहरणों में लाउडस्पीकर में क्रॉसओवर फिल्टर, स्टीरियो पर बास, ट्रेबल | 'एनालॉग सिग्नल प्रोसेसिंग' के उदाहरणों में लाउडस्पीकर में क्रॉसओवर फिल्टर, स्टीरियो पर बास, ट्रेबल, वॉल्यूम कण्ट्रोल और टीवी पर टिंट कण्ट्रोल सम्मिलित हैं। सामान्यतः एनालॉग प्रोसेसिंग एलिमेंट्स में कैपेसिटर, रेसिस्टर्स, इंडक्टर्स (निष्क्रिय एलिमेंट्स के रूप में) और [[ट्रांजिस्टर]] या [[ऑपरेशनल एंप्लीफायर]] (पैसिव एलिमेंट्स के रूप में) सम्मिलित हैं। | ||
== एनालॉग सिग्नल प्रोसेसिंग में प्रयुक्त | == एनालॉग सिग्नल प्रोसेसिंग में प्रयुक्त टूल == | ||
सिस्टम के व्यवहार को मैथमेटिकल रूप से मॉडल किया जा सकता है और इस टाइम डोमेन को h(t) के रूप में और [[आवृत्ति डोमेन|फ्रीक्वेंसी डोमेन]] को H(s) के रूप में दर्शाया जाता है, जहां s = a + ib, या s = a के रूप में [[जटिल संख्या|काम्प्लेक्स नंबर]] है। इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग के संदर्भ में +jb (इलेक्ट्रिकल इंजीनियर i के अतिरिक्त j का उपयोग करते हैं क्योंकि करंट को वेरिएबल i द्वारा दर्शाया जाता है)। इनपुट सिग्नल को सामान्यतः x(t) ) या X(s) कहा जाता है और आउटपुट सिग्नल को सामान्यतः y(t) या Y(s) कहा जाता है। | |||
=== [[कनवल्शन]] === | === [[कनवल्शन]] === | ||
कनवल्शन सिग्नल प्रोसेसिंग में मूल अवधारणा है जो | कनवल्शन सिग्नल प्रोसेसिंग में मूल अवधारणा है जो बताती है कि आउटपुट सिग्नल का शोध करने के लिए इनपुट सिग्नल को सिस्टम के फ़ंक्शन के साथ जोड़ा जा सकता है। रिवर्स और शिफ्टेड होने के पश्चात यह दो वेवफोर्म्स के प्रोडक्ट का डिफर पार्ट है; कनवल्शन का प्रतीक * है। | ||
: <math>y(t) = (x * h )(t) = \int_{a}^{b} x(\tau) h(t - \tau)\, d\tau</math> | : <math>y(t) = (x * h )(t) = \int_{a}^{b} x(\tau) h(t - \tau)\, d\tau</math> | ||
यह कनवल्शन इंटीग्रल है और इसका उपयोग सिग्नल और सिस्टम के कनवल्शन का शोध करने के लिए किया जाता है; सामान्यतः a = -∞ और b = +∞ है। | |||
दो | दो वेवफॉर्म्स f और g पर विचार किया जाता है। कनवल्शन की गणना करके, हम यह निर्धारित करते हैं कि फ़ंक्शन f के समान बनने के लिए रिवर्स फ़ंक्शन g को x-एक्सिस के साथ कितना शिफ्टेड किया जाना चाहिए। कनवल्शन फंक्शन अनिवार्य रूप से एक्सिस के साथ फ़ंक्शन g को रिवर्स और स्लाइड करता है, और स्लाइडिंग के प्रत्येक संभावित क्वान्टिटी के लिए उनके (f रिवर्स और शिफ्टेड g) प्रोडक्ट के डिफर अंग की गणना करता है। जब फ़ंक्शन मैच होते हैं, तो (f*g) की वैल्यू अधिकतम हो जाती है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि जब पॉजिटिव एरिया (पीकस) या नेगेटिव एरिया कई गुना बढ़ जाते हैं, तो वे डिफर अंग में योगदान देते हैं। | ||
=== [[फूरियर रूपांतरण]] === | === [[फूरियर रूपांतरण|फूरियर ट्रांसफॉर्म]] === | ||
फूरियर | फूरियर ट्रांसफॉर्म ऐसा फ़ंक्शन है जो टाइम डोमेन में सिग्नल या सिस्टम को फ़्रीक्वेंसी डोमेन में ट्रांसफॉर्म करता है, किन्तु यह केवल कुछ फ़ंक्शनों के लिए कार्य करता है। फूरियर ट्रांसफॉर्म द्वारा जिस कन्सट्रैन्ट पर सिस्टम या सिग्नल को ट्रांसफॉर्म किया जा सकता है, वह है: | ||
:<math>\int^\infty_{-\infty} |x(t)|\, dt < \infty</math> | :<math>\int^\infty_{-\infty} |x(t)|\, dt < \infty</math> | ||
यह फूरियर ट्रांसफॉर्म इंटीग्रल है: | यह फूरियर ट्रांसफॉर्म इंटीग्रल है: | ||
:<math>X(j\omega) = \int^\infty_{-\infty} x(t)e^{-j\omega t}\, dt</math> | :<math>X(j\omega) = \int^\infty_{-\infty} x(t)e^{-j\omega t}\, dt</math> | ||
सामान्यतः फूरियर ट्रांसफॉर्म इंटीग्रल का उपयोग ट्रांसफॉर्म को निर्धारित करने के लिए नहीं किया जाता है; इसके अतिरिक्त, किसी सिग्नल या सिस्टम के फूरियर ट्रांसफॉर्म का शोध करने के लिए ट्रांसफ़ॉर्म पेअर टेबल का उपयोग किया जाता है। इनवर्स फूरियर ट्रांसफॉर्म का उपयोग फ्रीक्वेंसी डोमेन से टाइम डोमेन पर जाने के लिए किया जाता है: | |||
:<math>x(t)=\frac{1}{2\pi}\int^\infty_{-\infty} X(j\omega )e^{j\omega t}\, d\omega </math> | :<math>x(t)=\frac{1}{2\pi}\int^\infty_{-\infty} X(j\omega )e^{j\omega t}\, d\omega </math> | ||
प्रत्येक सिग्नल या सिस्टम जिसे | प्रत्येक सिग्नल या सिस्टम जिसे ट्रांसफॉर्म किया जा सकता है, उसमें यूनिक फूरियर ट्रांसफॉर्म होता है। किसी भी फ्रीक्वेंसी सिग्नल के लिए केवल एक ही टाइम सिग्नल होता है। | ||
=== लाप्लास | === लाप्लास ट्रांसफॉर्म === | ||
{{details| | {{details|लाप्लास ट्रांसफॉर्म}} | ||
लाप्लास | लाप्लास ट्रांसफॉर्म जेनेरलीज़ेड फूरियर ट्रांसफॉर्म है। यह किसी भी सिस्टम या सिग्नल के ट्रांसफॉर्मेशन की अनुमति देता है क्योंकि यह फूरियर ट्रांसफॉर्म के जैसे केवल jω लाइन के अतिरिक्त कॉम्प्लेक्स प्लेन में ट्रांसफॉर्म होता है। मुख्य अंतर यह है कि लाप्लास ट्रांसफॉर्म में कन्वर्जेन्स का एरिया होता है जिसके लिए ट्रांसफॉर्म वैल्यू् होती है। इसका तात्पर्य यह है कि फ्रीक्वेंसी में सिग्नल के टाइम में एक से अधिक सिग्नल हो सकते हैं; ट्रांसफॉर्म के लिए करेक्ट टाइम सिग्नल कन्वर्जेन्स के एरिया द्वारा निर्धारित किया जाता है। यदि कन्वर्जेन्स के एरिया में jω एक्सिस सम्मिलित है, तो jω को s के लिए लाप्लास ट्रांसफॉर्म में रिप्लेस किया जा सकता है और यह फूरियर ट्रांसफॉर्म के समान है। लाप्लास ट्रांसफॉर्म है: | ||
:<math>X(s) = \int^\infty_{0^-} x(t)e^{-s t}\, dt</math> | :<math>X(s) = \int^\infty_{0^-} x(t)e^{-s t}\, dt</math> | ||
और | और इनवर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म, यदि X(s) की सभी सिंगुलरिटीज़ काम्प्लेक्स प्लेन के लेफ्ट हाफ पार्ट में हैं: | ||
:<math>x(t)=\frac{1}{2\pi}\int^\infty_{-\infty} X(s )e^{s t}\, d s </math> | :<math>x(t)=\frac{1}{2\pi}\int^\infty_{-\infty} X(s )e^{s t}\, d s </math> | ||
'''बोडे प्लॉट्स''' | |||
[[बोडे प्लॉट]] सिस्टम के लिए मैगनीटूड के प्रति फ्रीक्वेंसी और फेज के प्रति फ्रीक्वेंसी के प्लाट हैं। मेगनीटूड एक्सिस [डेसिबल] (डीबी) में है। फेज एक्सिस या तो डिग्री या रेडियन में है। फ्रीक्वेंसी एक्सिस [लोगरिथ्मिक स्केल] में हैं। ये उपयोगी हैं क्योंकि साइनसोइडल इनपुट के लिए, आउटपुट फ्रीक्वेंसी पर मैगनीटूड प्लॉट के वैल्यू से गुणा किया जाता है और फ्रीक्वेंसी पर फेज प्लॉट के वैल्यू से स्थानांतरित होता है। | |||
[[बोडे प्लॉट]] | |||
== डोमेन == | == डोमेन == | ||
=== | === टाइम डोमेन === | ||
यह वह डोमेन है जिससे अधिकांश लोग परिचित हैं। टाइम डोमेन में | यह वह डोमेन है जिससे अधिकांश लोग परिचित हैं। टाइम डोमेन में प्लॉट टाइम के संबंध में सिग्नल के एम्पलीटूड को दर्शाता है। | ||
=== फ्रीक्वेंसी डोमेन === | === फ्रीक्वेंसी डोमेन === | ||
फ़्रीक्वेंसी डोमेन में | फ़्रीक्वेंसी डोमेन में प्लॉट प्रत्येक फ़्रीक्वेंसी पर या तो फेज़ शिफ्ट या सिग्नल के मैगनीटूड को दर्शाता है, जिस पर यह उपस्तिथ है। ये टाइम सिग्नल के फूरियर ट्रांसफॉर्म को लेकर पाया जा सकता है और बोड प्लॉट के समान ही प्लॉट किया जाता है। | ||
== सिग्नल == | == सिग्नल == | ||
जबकि एनालॉग सिग्नल प्रोसेसिंग में किसी भी सिग्नल का उपयोग किया जा सकता है, ऐसे कई प्रकार के सिग्नल हैं जो | जबकि एनालॉग सिग्नल प्रोसेसिंग में किसी भी सिग्नल का उपयोग किया जा सकता है, ऐसे कई प्रकार के सिग्नल हैं जो अधिक उपयोग किए जाते हैं। | ||
=== साइनसोइड्स === | === साइनसोइड्स === | ||
[[साइन लहर]] एनालॉग सिग्नल प्रोसेसिंग का बिल्डिंग ब्लॉक है। सभी | [[साइन लहर|साइनसॉइड्स]] एनालॉग सिग्नल प्रोसेसिंग का बिल्डिंग ब्लॉक है। सभी रियल वर्ल्ड सिग्नलों को फूरियर सीरीज के माध्यम से साइनसोइडल फ़ंक्शनों के अनंत योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। यूलर फॉर्मूला के द्वारा यूलर फॉर्मूला को एक्सपोनेंशियल के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है। | ||
=== | === इम्पल्स === | ||
इम्पल्स ([[डिराक डेल्टा समारोह|डिराक डेल्टा फ़ंक्शन]]) को सिग्नल के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें अनंत मैगनीटूड है और नीचे क्षेत्र के साथ असीम रूप से नैरो विड्थ होती है, जो जीरो पर केंद्रित है। इम्पल्स को साइनसोइड्स के अनंत योग के रूप में दर्शाया जा सकता है जिसमें सभी संभावित फ्रीक्वेंसी सम्मिलित हैं। वास्तव में, इस प्रकार के सिग्नल उत्पन्न करना संभव नहीं है, किन्तु यह बड़े एम्पलीटूड, नैरो पल्स के साथ पर्याप्त रूप से अनुमानित किया जा सकता है, जिससे हाई लेवल एक्यूरेसी के लिए नेटवर्क में थ्योरेटिकल इम्पल्स प्रतिक्रिया का उत्पादन किया जा सके। इम्पल्स का प्रतीक δ(t) है। यदि इम्पल्स को सिस्टम में इनपुट के रूप में उपयोग किया जाता है, तो आउटपुट को इम्पल्स प्रतिक्रिया के रूप में जाना जाता है। इम्पल्स प्रतिक्रिया सिस्टम को परिभाषित करती है क्योंकि इनपुट में सभी संभावित फ्रीक्वेंसी का प्रतिनिधित्व किया जाता है। | |||
=== | === स्टेप === | ||
यूनिट स्टेप फ़ंक्शन, जिसे [[हैवीसाइड स्टेप फंक्शन]] भी कहा जाता है, वह सिग्नल जिसमें जीरो से पहले जीरो का मैगनीटूड और जीरो के पश्चात का मैगनीटूड होता है। यूनिट फेज के लिए प्रतीक u(t) है। यदि किसी सिस्टम में इनपुट के रूप में स्टेप का उपयोग किया जाता है, तो आउटपुट को स्टेप रिस्पांस कहा जाता है। स्टेप रिस्पांस दिखाता है कि सिस्टम इनपुट पर कैसे प्रतिक्रिया करता है, स्विच को प्रारंभ करने के समान आउटपुट के स्थिर होने से पहले की अवधि को सिग्नल का ट्रांसिएंट पार्ट कहा जाता है। फेज प्रतिक्रिया को अन्य सिग्नलों के साथ गुणा किया जा सकता है यह दिखाने के लिए कि जब कोई इनपुट प्रारंभ होता है तो सिस्टम कैसे प्रतिक्रिया करता है। | |||
यूनिट स्टेप फंक्शन डायराक डेल्टा फंक्शन से संबंधित है; | यूनिट स्टेप फंक्शन डायराक डेल्टा फंक्शन से संबंधित है; | ||
:<math>\mathrm{u}(t) = \int_{-\infty}^{t} \delta (s)ds</math> | :<math>\mathrm{u}(t) = \int_{-\infty}^{t} \delta (s)ds</math> | ||
== सिस्टम == | == सिस्टम == | ||
=== लीनियर टाइम-इनवेरिएंट (एलटीआई) === | === लीनियर टाइम-इनवेरिएंट (एलटीआई) === | ||
लिनेररिटी का अर्थ है कि यदि आपके पास दो इनपुट और दो संबंधित आउटपुट हैं, यदि आप उन दो इनपुटों का लीनियर कॉम्बिनेशन करते हैं तो आपको आउटपुट का लीनियर कॉम्बिनेशन मिलेगा। लीनियर सिस्टम का उदाहरण फर्स्ट आर्डर लो-पास या हाई-पास फ़िल्टर है। लीनियर सिस्टम्स एनालॉग टूलों से बनी होती हैं जो लीनियर गुणों को प्रदर्शित करती हैं। इन टूलों को पूर्ण रूप से लीनियर नहीं होना चाहिए, किन्तु ऑपरेशन का क्षेत्र होना चाहिए जो लीनियर हो। ऑपरेशनल एम्पलीफायर नॉन-लीनियर टूल है, किन्तु इसमें ऑपरेशन का क्षेत्र है जो लीनियर है, इसलिए इसे ऑपरेशन के उस क्षेत्र के भीतर लीनियर के रूप में तैयार किया जा सकता है। टाइम-इनवेरियन का तात्पर्य है कि जब आप सिस्टम प्रारंभ करते हैं तो इसमें कोई डिफरेंस नहीं होता, वही आउटपुट रिजल्ट देगा। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास सिस्टम है और आज उसमें इनपुट देते हैं, तो आपको वही आउटपुट मिलेगा यदि आप इसके अतिरिक्त कल सिस्टम प्रारंभ करते हैं। कोई रियल सिस्टम नहीं है जो एलटीआई है, किन्तु कई सिस्टम को एलटीआई के रूप में मॉडल किया जा सकता है जिससे यह निर्धारित किया जा सके कि उनका आउटपुट क्या होगा। सभी सिस्टम में टेम्परेचर, सिग्नल लेवल या अन्य फैक्टर्स जैसी चीजों पर कुछ निर्भरता होती है जो उन्हें नॉन-लीनियर या नॉन-टाइम-इंवरिएंट बनाती हैं, किन्तु अधिकांश एलटीआई के रूप में मॉडल के लिए पर्याप्त स्थिर हैं। लिनेररिटी और टाइम-इनवेरिएंस महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे एकमात्र प्रकार के सिस्टम हैं जिनका एनालॉग सिग्नल प्रोसेसिंग विधियों का उपयोग करके सरलता से समाधान किया जा सकता है। जब कोई सिस्टम नॉन-लीनियर या नॉन-टाइम-इंवरिएंट हो जाता है, तो नॉन-लीनियर डिफरेंशियल एक्वेशन समस्या बन जाती है, और उनमें से अधिक कम हैं जिसका एक्चुअल में समाधान हो सकता हैं। (हायकिन और वैन वीन 2003) | |||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
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* एनालॉग [[ इलेक्ट्रानिक्स ]] | * एनालॉग [[ इलेक्ट्रानिक्स ]] | ||
*[[ | *[[कैपासिटर]] | ||
*[[एनालॉग और डिजिटल रिकॉर्डिंग की | *[[एनालॉग और डिजिटल रिकॉर्डिंग की अपेक्षा]] | ||
* | *डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग | ||
*[[ | *[[इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग]] | ||
*इलेक्ट्रॉनिक्स | *इलेक्ट्रॉनिक्स | ||
* [[ | * [[इंडक्टर]] | ||
* | * रेसिस्टर | ||
* [[सिग्नल (इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग)]] | * [[सिग्नल (इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग)]] | ||
* | *सिग्नल प्रोसेसिंग | ||
*ट्रांजिस्टर | *ट्रांजिस्टर | ||
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* [[एलसी सर्किट]] | * [[एलसी सर्किट]] | ||
* [[आरएलसी सर्किट]] | * [[आरएलसी सर्किट]] | ||
*[[ | *[[सीरीज और पैरेलल सर्किट]] | ||
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*[[ | *[[बैंडपास फ़िल्टर]] | ||
* [[बैंड-स्टॉप फ़िल्टर]] | * [[बैंड-स्टॉप फ़िल्टर]] | ||
*[[ | *[[हाई पास फिल्टर]] | ||
*[[लो पास फिल्टर]] | *[[लो पास फिल्टर]] | ||
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Latest revision as of 07:08, 17 October 2023
एनालॉग सिग्नल प्रोसेसिंग विशेष प्रकार की सिग्नल प्रोसेसिंग है जो कुछ एनालॉग माध्यमों द्वारा कंटीन्यूअस फ़ंक्शन एनालॉग सिग्नल पर किया जाता है (डिस्क्रीट डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग के विपरीत जहां सिग्नल प्रोसेसिंग डिजिटल प्रोसेस द्वारा की जाती है)। एनालॉग किसी ऐसी चीज को प्रदर्शित करता है जिसे मैथमेटिकल रूप से कंटीन्यूअस वैल्यूज के सेट के रूप में दर्शाया जाता है। यह डिजिटल से डिफर करता है जो सिग्नल को रिप्रेजेंट करने के लिए डिस्क्रीट क्वॉन्टिटीज़ की सीरीज का उपयोग करता है। एनालॉग वैल्यू सामान्यतः इलेक्ट्रॉनिक टूलों में कॉम्पोनेन्ट के निकट वोल्टेज, इलेक्ट्रिक करंट या इलेक्ट्रिक चार्ज के रूप में दर्शाए जाते हैं। ऐसी फिजिकल क्वॉन्टिटीज़ को प्रभावित करने वाले एरर या नॉइज़ के परिणामस्वरूप ऐसी फिजिकल क्वॉन्टिटीज़ द्वारा दर्शाए गए सिग्नलों में कोर्रेस्पोंडिंग एरर होती है।
'एनालॉग सिग्नल प्रोसेसिंग' के उदाहरणों में लाउडस्पीकर में क्रॉसओवर फिल्टर, स्टीरियो पर बास, ट्रेबल, वॉल्यूम कण्ट्रोल और टीवी पर टिंट कण्ट्रोल सम्मिलित हैं। सामान्यतः एनालॉग प्रोसेसिंग एलिमेंट्स में कैपेसिटर, रेसिस्टर्स, इंडक्टर्स (निष्क्रिय एलिमेंट्स के रूप में) और ट्रांजिस्टर या ऑपरेशनल एंप्लीफायर (पैसिव एलिमेंट्स के रूप में) सम्मिलित हैं।
एनालॉग सिग्नल प्रोसेसिंग में प्रयुक्त टूल
सिस्टम के व्यवहार को मैथमेटिकल रूप से मॉडल किया जा सकता है और इस टाइम डोमेन को h(t) के रूप में और फ्रीक्वेंसी डोमेन को H(s) के रूप में दर्शाया जाता है, जहां s = a + ib, या s = a के रूप में काम्प्लेक्स नंबर है। इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग के संदर्भ में +jb (इलेक्ट्रिकल इंजीनियर i के अतिरिक्त j का उपयोग करते हैं क्योंकि करंट को वेरिएबल i द्वारा दर्शाया जाता है)। इनपुट सिग्नल को सामान्यतः x(t) ) या X(s) कहा जाता है और आउटपुट सिग्नल को सामान्यतः y(t) या Y(s) कहा जाता है।
कनवल्शन
कनवल्शन सिग्नल प्रोसेसिंग में मूल अवधारणा है जो बताती है कि आउटपुट सिग्नल का शोध करने के लिए इनपुट सिग्नल को सिस्टम के फ़ंक्शन के साथ जोड़ा जा सकता है। रिवर्स और शिफ्टेड होने के पश्चात यह दो वेवफोर्म्स के प्रोडक्ट का डिफर पार्ट है; कनवल्शन का प्रतीक * है।
यह कनवल्शन इंटीग्रल है और इसका उपयोग सिग्नल और सिस्टम के कनवल्शन का शोध करने के लिए किया जाता है; सामान्यतः a = -∞ और b = +∞ है।
दो वेवफॉर्म्स f और g पर विचार किया जाता है। कनवल्शन की गणना करके, हम यह निर्धारित करते हैं कि फ़ंक्शन f के समान बनने के लिए रिवर्स फ़ंक्शन g को x-एक्सिस के साथ कितना शिफ्टेड किया जाना चाहिए। कनवल्शन फंक्शन अनिवार्य रूप से एक्सिस के साथ फ़ंक्शन g को रिवर्स और स्लाइड करता है, और स्लाइडिंग के प्रत्येक संभावित क्वान्टिटी के लिए उनके (f रिवर्स और शिफ्टेड g) प्रोडक्ट के डिफर अंग की गणना करता है। जब फ़ंक्शन मैच होते हैं, तो (f*g) की वैल्यू अधिकतम हो जाती है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि जब पॉजिटिव एरिया (पीकस) या नेगेटिव एरिया कई गुना बढ़ जाते हैं, तो वे डिफर अंग में योगदान देते हैं।
फूरियर ट्रांसफॉर्म
फूरियर ट्रांसफॉर्म ऐसा फ़ंक्शन है जो टाइम डोमेन में सिग्नल या सिस्टम को फ़्रीक्वेंसी डोमेन में ट्रांसफॉर्म करता है, किन्तु यह केवल कुछ फ़ंक्शनों के लिए कार्य करता है। फूरियर ट्रांसफॉर्म द्वारा जिस कन्सट्रैन्ट पर सिस्टम या सिग्नल को ट्रांसफॉर्म किया जा सकता है, वह है:
यह फूरियर ट्रांसफॉर्म इंटीग्रल है:
सामान्यतः फूरियर ट्रांसफॉर्म इंटीग्रल का उपयोग ट्रांसफॉर्म को निर्धारित करने के लिए नहीं किया जाता है; इसके अतिरिक्त, किसी सिग्नल या सिस्टम के फूरियर ट्रांसफॉर्म का शोध करने के लिए ट्रांसफ़ॉर्म पेअर टेबल का उपयोग किया जाता है। इनवर्स फूरियर ट्रांसफॉर्म का उपयोग फ्रीक्वेंसी डोमेन से टाइम डोमेन पर जाने के लिए किया जाता है:
प्रत्येक सिग्नल या सिस्टम जिसे ट्रांसफॉर्म किया जा सकता है, उसमें यूनिक फूरियर ट्रांसफॉर्म होता है। किसी भी फ्रीक्वेंसी सिग्नल के लिए केवल एक ही टाइम सिग्नल होता है।
लाप्लास ट्रांसफॉर्म
लाप्लास ट्रांसफॉर्म जेनेरलीज़ेड फूरियर ट्रांसफॉर्म है। यह किसी भी सिस्टम या सिग्नल के ट्रांसफॉर्मेशन की अनुमति देता है क्योंकि यह फूरियर ट्रांसफॉर्म के जैसे केवल jω लाइन के अतिरिक्त कॉम्प्लेक्स प्लेन में ट्रांसफॉर्म होता है। मुख्य अंतर यह है कि लाप्लास ट्रांसफॉर्म में कन्वर्जेन्स का एरिया होता है जिसके लिए ट्रांसफॉर्म वैल्यू् होती है। इसका तात्पर्य यह है कि फ्रीक्वेंसी में सिग्नल के टाइम में एक से अधिक सिग्नल हो सकते हैं; ट्रांसफॉर्म के लिए करेक्ट टाइम सिग्नल कन्वर्जेन्स के एरिया द्वारा निर्धारित किया जाता है। यदि कन्वर्जेन्स के एरिया में jω एक्सिस सम्मिलित है, तो jω को s के लिए लाप्लास ट्रांसफॉर्म में रिप्लेस किया जा सकता है और यह फूरियर ट्रांसफॉर्म के समान है। लाप्लास ट्रांसफॉर्म है:
और इनवर्स लाप्लास ट्रांसफॉर्म, यदि X(s) की सभी सिंगुलरिटीज़ काम्प्लेक्स प्लेन के लेफ्ट हाफ पार्ट में हैं:
बोडे प्लॉट्स
बोडे प्लॉट सिस्टम के लिए मैगनीटूड के प्रति फ्रीक्वेंसी और फेज के प्रति फ्रीक्वेंसी के प्लाट हैं। मेगनीटूड एक्सिस [डेसिबल] (डीबी) में है। फेज एक्सिस या तो डिग्री या रेडियन में है। फ्रीक्वेंसी एक्सिस [लोगरिथ्मिक स्केल] में हैं। ये उपयोगी हैं क्योंकि साइनसोइडल इनपुट के लिए, आउटपुट फ्रीक्वेंसी पर मैगनीटूड प्लॉट के वैल्यू से गुणा किया जाता है और फ्रीक्वेंसी पर फेज प्लॉट के वैल्यू से स्थानांतरित होता है।
डोमेन
टाइम डोमेन
यह वह डोमेन है जिससे अधिकांश लोग परिचित हैं। टाइम डोमेन में प्लॉट टाइम के संबंध में सिग्नल के एम्पलीटूड को दर्शाता है।
फ्रीक्वेंसी डोमेन
फ़्रीक्वेंसी डोमेन में प्लॉट प्रत्येक फ़्रीक्वेंसी पर या तो फेज़ शिफ्ट या सिग्नल के मैगनीटूड को दर्शाता है, जिस पर यह उपस्तिथ है। ये टाइम सिग्नल के फूरियर ट्रांसफॉर्म को लेकर पाया जा सकता है और बोड प्लॉट के समान ही प्लॉट किया जाता है।
सिग्नल
जबकि एनालॉग सिग्नल प्रोसेसिंग में किसी भी सिग्नल का उपयोग किया जा सकता है, ऐसे कई प्रकार के सिग्नल हैं जो अधिक उपयोग किए जाते हैं।
साइनसोइड्स
साइनसॉइड्स एनालॉग सिग्नल प्रोसेसिंग का बिल्डिंग ब्लॉक है। सभी रियल वर्ल्ड सिग्नलों को फूरियर सीरीज के माध्यम से साइनसोइडल फ़ंक्शनों के अनंत योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। यूलर फॉर्मूला के द्वारा यूलर फॉर्मूला को एक्सपोनेंशियल के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है।
इम्पल्स
इम्पल्स (डिराक डेल्टा फ़ंक्शन) को सिग्नल के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें अनंत मैगनीटूड है और नीचे क्षेत्र के साथ असीम रूप से नैरो विड्थ होती है, जो जीरो पर केंद्रित है। इम्पल्स को साइनसोइड्स के अनंत योग के रूप में दर्शाया जा सकता है जिसमें सभी संभावित फ्रीक्वेंसी सम्मिलित हैं। वास्तव में, इस प्रकार के सिग्नल उत्पन्न करना संभव नहीं है, किन्तु यह बड़े एम्पलीटूड, नैरो पल्स के साथ पर्याप्त रूप से अनुमानित किया जा सकता है, जिससे हाई लेवल एक्यूरेसी के लिए नेटवर्क में थ्योरेटिकल इम्पल्स प्रतिक्रिया का उत्पादन किया जा सके। इम्पल्स का प्रतीक δ(t) है। यदि इम्पल्स को सिस्टम में इनपुट के रूप में उपयोग किया जाता है, तो आउटपुट को इम्पल्स प्रतिक्रिया के रूप में जाना जाता है। इम्पल्स प्रतिक्रिया सिस्टम को परिभाषित करती है क्योंकि इनपुट में सभी संभावित फ्रीक्वेंसी का प्रतिनिधित्व किया जाता है।
स्टेप
यूनिट स्टेप फ़ंक्शन, जिसे हैवीसाइड स्टेप फंक्शन भी कहा जाता है, वह सिग्नल जिसमें जीरो से पहले जीरो का मैगनीटूड और जीरो के पश्चात का मैगनीटूड होता है। यूनिट फेज के लिए प्रतीक u(t) है। यदि किसी सिस्टम में इनपुट के रूप में स्टेप का उपयोग किया जाता है, तो आउटपुट को स्टेप रिस्पांस कहा जाता है। स्टेप रिस्पांस दिखाता है कि सिस्टम इनपुट पर कैसे प्रतिक्रिया करता है, स्विच को प्रारंभ करने के समान आउटपुट के स्थिर होने से पहले की अवधि को सिग्नल का ट्रांसिएंट पार्ट कहा जाता है। फेज प्रतिक्रिया को अन्य सिग्नलों के साथ गुणा किया जा सकता है यह दिखाने के लिए कि जब कोई इनपुट प्रारंभ होता है तो सिस्टम कैसे प्रतिक्रिया करता है।
यूनिट स्टेप फंक्शन डायराक डेल्टा फंक्शन से संबंधित है;
सिस्टम
लीनियर टाइम-इनवेरिएंट (एलटीआई)
लिनेररिटी का अर्थ है कि यदि आपके पास दो इनपुट और दो संबंधित आउटपुट हैं, यदि आप उन दो इनपुटों का लीनियर कॉम्बिनेशन करते हैं तो आपको आउटपुट का लीनियर कॉम्बिनेशन मिलेगा। लीनियर सिस्टम का उदाहरण फर्स्ट आर्डर लो-पास या हाई-पास फ़िल्टर है। लीनियर सिस्टम्स एनालॉग टूलों से बनी होती हैं जो लीनियर गुणों को प्रदर्शित करती हैं। इन टूलों को पूर्ण रूप से लीनियर नहीं होना चाहिए, किन्तु ऑपरेशन का क्षेत्र होना चाहिए जो लीनियर हो। ऑपरेशनल एम्पलीफायर नॉन-लीनियर टूल है, किन्तु इसमें ऑपरेशन का क्षेत्र है जो लीनियर है, इसलिए इसे ऑपरेशन के उस क्षेत्र के भीतर लीनियर के रूप में तैयार किया जा सकता है। टाइम-इनवेरियन का तात्पर्य है कि जब आप सिस्टम प्रारंभ करते हैं तो इसमें कोई डिफरेंस नहीं होता, वही आउटपुट रिजल्ट देगा। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास सिस्टम है और आज उसमें इनपुट देते हैं, तो आपको वही आउटपुट मिलेगा यदि आप इसके अतिरिक्त कल सिस्टम प्रारंभ करते हैं। कोई रियल सिस्टम नहीं है जो एलटीआई है, किन्तु कई सिस्टम को एलटीआई के रूप में मॉडल किया जा सकता है जिससे यह निर्धारित किया जा सके कि उनका आउटपुट क्या होगा। सभी सिस्टम में टेम्परेचर, सिग्नल लेवल या अन्य फैक्टर्स जैसी चीजों पर कुछ निर्भरता होती है जो उन्हें नॉन-लीनियर या नॉन-टाइम-इंवरिएंट बनाती हैं, किन्तु अधिकांश एलटीआई के रूप में मॉडल के लिए पर्याप्त स्थिर हैं। लिनेररिटी और टाइम-इनवेरिएंस महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे एकमात्र प्रकार के सिस्टम हैं जिनका एनालॉग सिग्नल प्रोसेसिंग विधियों का उपयोग करके सरलता से समाधान किया जा सकता है। जब कोई सिस्टम नॉन-लीनियर या नॉन-टाइम-इंवरिएंट हो जाता है, तो नॉन-लीनियर डिफरेंशियल एक्वेशन समस्या बन जाती है, और उनमें से अधिक कम हैं जिसका एक्चुअल में समाधान हो सकता हैं। (हायकिन और वैन वीन 2003)
यह भी देखें
- एनालॉग इलेक्ट्रानिक्स
- कैपासिटर
- एनालॉग और डिजिटल रिकॉर्डिंग की अपेक्षा
- डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग
- इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग
- इलेक्ट्रॉनिक्स
- इंडक्टर
- रेसिस्टर
- सिग्नल (इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग)
- सिग्नल प्रोसेसिंग
- ट्रांजिस्टर
सर्किट
फिल्टर
संदर्भ
- Haykin, Simon, and Barry Van Veen. Signals and Systems. 2nd ed. Hoboken, NJ: John Wiley and Sons, Inc., 2003.
- McClellan, James H., Ronald W. Schafer, and Mark A. Yoder. Signal Processing First. Upper Saddle River, NJ: Pearson Education, Inc., 2003.
