अन्तः आकृति: Difference between revisions

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[[Image:Inscribed circles.svg|frame|right|एक वृत्त का अंकित त्रिभुज]]
[[Image:Inscribed circles.svg|frame|right|विभिन्न बहुभुजों के उत्कीर्ण वृत्त]]
[[ज्यामिति]] में, एक अंकित तलीय [[आकार]] या ठोस वह होता है जो किसी अन्य ज्यामितीय आकार या ठोस से परिबद्ध होता है और <nowiki>''अच्छी तरह से उपयुक्त''</nowiki> होता है। यह कहना कि <nowiki>''आकृति F, आकृति G में अंकित है" का अर्थ निश्चित रूप से वही है जो ''</nowiki>आकृति G आकृति F के विषय में परिवृत्त है"। एक [[उत्तल बहुभुज]] (या उत्तल बहुफलक में अंकित एक गोला या [[वृत्त|दीर्घवृत्त]]) में अंकित हुआ वृत्त या दीर्घवृत्त बाहरी आकृति के हर भुजा या तल पर [[स्पर्शरेखा|स्पर्श]] है (लेकिन शब्दार्थ परिवर्ती के लिए अंकित किया गोला देखें)। एक वृत्त, दीर्घवृत्त, या बहुभुज (या एक गोले, [[दीर्घवृत्ताभ|दीर्घवृत्तज]], या बहुफलक में अंकित बहुफलक) में अंकित बहुभुज का प्रत्येक शीर्ष बाहरी आकृति पर होता है; यदि बाहरी आकृति एक बहुभुज या बहुफलक है, तो बाहरी आकृति के प्रत्येक भुजा अंकित बहुभुज या बहुफलक का एक शीर्ष होना चाहिए। एक अंकित आकृति आवश्यक रूप से अभिविन्यास में अद्वितीय नहीं है; इसे आसानी से देखा जा सकता है, उदाहरण के लिए, जब दी गई बाहरी आकृति एक वृत्त होती है, उस स्थिति में एक अंकित आकृति का घूर्णन एक और अंकित आकृति देता है जो मूल आकृति के अनुरूप होती है।
[[image:Circumcentre.svg|right|thumb|एक वृत्त का एक उत्कीर्ण त्रिभुज
[[File:Rhombic tricontahedron cube tetrahedron.png|thumb|एक चतुर्भुज (लाल) एक घन (पीला) में खुदा हुआ है, जो बदले में, एक समचतुर्भुज त्रिभुज (धूसर) में खुदा हुआ है।<br />[[:File:Rhombic tricontahedron cube tetrahedron.gif|(रोटेटिंग मॉडल के लिए यहां क्लिक करें)]][[ज्यामिति]] में, एक खुदा हुआ समतल (ज्यामिति) [[आकार]] या ठोस (ज्यामिति) वह होता है जो किसी अन्य ज्यामितीय आकार या ठोस से घिरा होता है और ठीक से फिट बैठता है। यह कहना कि आकृति F, आकृति G में खुदी हुई है, का ठीक वही अर्थ है जो आकृति G आकृति F के चारों ओर परिचालित है। एक [[उत्तल बहुभुज]] (या उत्तल पॉलीहेड्रॉन में खुदा हुआ एक गोला या दीर्घ[[वृत्त]]) में खुदा हुआ एक वृत्त या दीर्घवृत्त बाहरी आकृति के प्रत्येक किनारे (ज्यामिति) या चेहरे (ज्यामिति) के लिए [[स्पर्शरेखा]] है (लेकिन सिमेंटिक वेरिएंट के लिए खुदा हुआ क्षेत्र देखें)। एक वृत्त, दीर्घवृत्त, या बहुभुज (या एक गोले, [[दीर्घवृत्ताभ]], या बहुफलक में अंकित बहुफलक) में खुदा हुआ बहुभुज, बाहरी आकृति पर प्रत्येक शीर्ष (ज्यामिति) होता है; यदि बाहरी आकृति एक बहुभुज या पॉलीहेड्रॉन है, तो बाहरी आकृति के प्रत्येक तरफ खुदा हुआ बहुभुज या पॉलीहेड्रॉन का एक शीर्ष होना चाहिए। एक उत्कीर्ण आकृति आवश्यक रूप से अभिविन्यास में अद्वितीय नहीं है; इसे आसानी से देखा जा सकता है, उदाहरण के लिए, जब दी गई बाहरी आकृति एक वृत्त है, जिस स्थिति में एक खुदी हुई आकृति का घुमाव एक और खुदी हुई आकृति देता है जो मूल के लिए [[सर्वांगसमता (ज्यामिति)]] है।


उत्कीर्ण आकृतियों के परिचित उदाहरणों में त्रिभुजों या [[नियमित बहुभुज]]ों में अंकित वृत्त, और वृत्तों में अंकित त्रिभुज या नियमित बहुभुज शामिल हैं। किसी भी बहुभुज में अंकित एक वृत्त को उसका अंतःवृत्त कहा जाता है, जिस स्थिति में बहुभुज को एक [[स्पर्शरेखा बहुभुज]] कहा जाता है। एक वृत्त में अंकित बहुभुज को [[चक्रीय बहुभुज]] कहा जाता है, और वृत्त को इसका परिबद्ध वृत्त या [[परिवृत्त]] कहा जाता है।
अंकित चित्र के प्रचलित उदाहरणों में त्रिभुजों या [[नियमित बहुभुज|सम बहुभुजों]] में अंकित वृत्त, और त्रिभुज या सम बहुभुज वृत्तों में अंकित सम्मिलित हैं। किसी भी बहुभुज में अंकित वृत्त को उसका अंतःवृत्त कहा जाता है, जिस स्थिति में बहुभुज को एक [[स्पर्शरेखा बहुभुज|स्पर्शरेखीय बहुभुज]] कहा जाता है। एक वृत्त में अंकित बहुभुज को [[चक्रीय बहुभुज]] कहा जाता है, और वृत्त को इसका परिबद्ध वृत्त या [[परिवृत्त]] कहा जाता है।


किसी दिए गए बाहरी आकृति का अंतःत्रिज्या या भरने वाला त्रिज्या खुदा हुआ चक्र या गोले का त्रिज्या है, यदि यह मौजूद है।
किसी दिए गए बाहरी आकृति का अंतःत्रिज्या या भरण त्रिज्या अंकित चक्र या गोले का त्रिज्या है, यदि यह उपस्तिथ है।


ऊपर दी गई परिभाषा यह मानती है कि संबंधित वस्तुएँ दो- या तीन-[[आयाम]]ी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में सन्निहित हैं, लेकिन उच्च आयामों और अन्य [[मीट्रिक स्थान]]ों के लिए आसानी से सामान्यीकृत की जा सकती हैं।
ऊपर दी गई परिभाषा यह मानती है कि संबंधित वस्तुएँ दो-या तीन-[[आयाम|विमीय]] [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन समष्टि]] में अंत:स्थापित हैं, लेकिन उच्च विमीय और अन्य [[मीट्रिक स्थान|मीट्रिक समष्टि]] के लिए आसानी से सामान्यीकृत की जा सकती हैं।


अंकित शब्द के वैकल्पिक उपयोग के लिए, [[उत्कीर्ण वर्ग समस्या]] देखें, जिसमें एक वर्ग को किसी अन्य आकृति में अंकित माना जाता है (यहां तक ​​​​कि एक गैर-उत्तल भी) यदि इसके चारों कोने उस आकृति पर हैं।
<nowiki>''अंकित''</nowiki> शब्द के वैकल्पिक उपयोग के लिए, [[उत्कीर्ण वर्ग समस्या|अंकित वर्ग समस्या]] देखें, जिसमें एक वर्ग को किसी अन्य आकृति (यहां तक ​​​​कि एक गैर उत्तल भी) में अंकित माना जाता है, यदि इसके चारों शीर्ष उस आकृति पर हैं।


== गुण ==
== गुण ==


* प्रत्येक वृत्त में एक खुदा हुआ त्रिभुज होता है जिसमें तीन दिए गए [[कोण]] माप होते हैं (निश्चित रूप से 180° का योग), और प्रत्येक त्रिभुज को किसी वृत्त में अंकित किया जा सकता है (जिसे इसका परिबद्ध वृत्त या परिवृत्त कहा जाता है)।
* प्रत्येक वृत्त में एक अंकित त्रिभुज होता है जिसमें दिए गए तीन [[कोण]] माप होते हैं (निश्चित रूप से 180° का योग), और प्रत्येक त्रिभुज को किसी वृत्त में अंकित किया जा सकता है (जिसे इसका परिबद्ध वृत्त या परिवृत्त कहा जाता है)।
*हर त्रिभुज में एक खुदा हुआ वृत्त होता है, जिसे त्रिभुज का अंतःवृत्त और बहिर्वृत्त कहा जाता है।
*प्रत्येक त्रिभुज में एक अंकित वृत्त होता है, जिसे अंतःवृत्त कहा जाता है।
*प्रत्येक वृत्त में किसी भी n≥3 के लिए, n भुजाओं का एक खुदा हुआ नियमित बहुभुज होता है, और प्रत्येक नियमित बहुभुज को किसी वृत्त में अंकित किया जा सकता है (इसे परिवृत्त कहा जाता है)।
*प्रत्येक वृत्त में किसी भी n≥3 के लिए, n भुजाओं का एक अंकित सम बहुभुज होता है, और प्रत्येक सम बहुभुज को किसी वृत्त में अंकित किया जा सकता है (इसे परिवृत्त कहा जाता है)।
* प्रत्येक नियमित बहुभुज में एक खुदा हुआ वृत्त होता है (जिसे इसका अंतःवृत्त कहा जाता है), और प्रत्येक वृत्त को किसी भी n≥3 के लिए, n भुजाओं के कुछ नियमित बहुभुज में अंकित किया जा सकता है।
* प्रत्येक सम बहुभुज में एक अंकित वृत्त होता है (इसे अंतःवृत्त कहा जाता है), और प्रत्येक वृत्त को किसी भी n≥3 के लिए, n भुजाओं के कुछ सम बहुभुज में अंकित किया जा सकता है।
*तीन से अधिक भुजाओं वाले प्रत्येक बहुभुज में एक खुदा हुआ वृत्त नहीं होता है; वे बहुभुज जो करते हैं स्पर्शरेखा बहुभुज कहलाते हैं। तीन से अधिक भुजाओं वाला प्रत्येक बहुभुज किसी वृत्त का एक खुदा हुआ बहुभुज नहीं होता है; वे बहुभुज जो इस प्रकार खुदे हुए हैं, चक्रीय बहुभुज कहलाते हैं।
*तीन से अधिक भुजाओं वाले प्रत्येक बहुभुज में अंकित वृत्त नहीं होता है; वे बहुभुज जो करते हैं स्पर्शरेखा बहुभुज कहलाते हैं। तीन से अधिक भुजाओं वाले प्रत्येक बहुभुज किसी वृत्त के अंकित बहुभुज नहीं होते है; वे बहुभुज जो इस प्रकार अंकित हैं, चक्रीय बहुभुज कहलाते हैं।
*प्रत्येक त्रिभुज को एक दीर्घवृत्त में अंकित किया जा सकता है, जिसे उसका [[स्टाइनर सर्कमलिप्स]] या बस उसका स्टेनर दीर्घवृत्त कहा जाता है, जिसका केंद्र त्रिभुज का [[केन्द्रक]] है।
*प्रत्येक त्रिभुज को एक दीर्घवृत्त में अंकित किया जा सकता है, जिसे उसका [[स्टाइनर सर्कमलिप्स]] या केवल स्टेनर दीर्घवृत्त कहा जाता है, जिसका केंद्र त्रिभुज का [[केन्द्रक]] है।
*प्रत्येक त्रिभुज में खुदे हुए दीर्घवृत्तों की अनंतता होती है। उनमें से एक वृत्त है, और उनमें से एक [[स्टाइनर इनलिप्स]] है जो त्रिभुज की भुजाओं के मध्यबिंदुओं पर स्पर्शरेखा है।
*प्रत्येक त्रिभुज में अंकित दीर्घवृत्तों की अनंतता होती है। उनमें से एक वृत्त है, और उनमें से एक [[स्टाइनर इनलिप्स]] है जो त्रिभुज की भुजाओं के मध्यबिंदुओं पर स्पर्शरेखा है।
*प्रत्येक न्यूनकोण त्रिभुज में त्रिभुज होता है#आकृतियाँ त्रिभुज में अंकित होती हैं। एक समकोण त्रिभुज में उनमें से दो विलीन हो जाते हैं और एक दूसरे के साथ मेल खाते हैं, इसलिए केवल दो अलग-अलग खुदे हुए वर्ग होते हैं। एक अधिक कोण वाले त्रिभुज में एक खुदा हुआ वर्ग होता है, जिसकी एक भुजा त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा के भाग के साथ मेल खाती है।
*प्रत्येक न्यूनकोण त्रिभुज में तीन अंकित वर्ग होते हैं। एक समकोण त्रिभुज में उनमें से दो विलीन हो जाते हैं और एक दूसरे के साथ विलीन हो जाते हैं, इसलिए केवल दो अलग अंकित वर्ग होते हैं। एक अधिककोण त्रिभुज में एक अंकित वर्ग होता है, जिसकी एक भुजा त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा के भाग के सामान होती है।
*एक [[रेलेक्स त्रिकोण]], या अधिक आम तौर पर स्थिर चौड़ाई का कोई वक्र, उचित आकार के वर्ग के अंदर किसी भी ओरिएंटेशन (ज्यामिति) के साथ अंकित किया जा सकता है।
*एक [[रेलेक्स त्रिकोण|रेलेक्स त्रिभुज]], या अधिक सामान्यतः स्थिर चौड़ाई का कोई वक्र, उपयुक्त आकार के वर्ग के अंदर किसी भी अभिविन्यास के साथ अंकित किया जा सकता है।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* [[खतना और प्रतिष्ठित]]
* [[खतना और प्रतिष्ठित|सर्कमोनिक और प्रतिष्ठित]]
* [[चक्रीय चतुर्भुज]]
* [[चक्रीय चतुर्भुज]]


== बाहरी संबंध ==
== बाहरी संबंध ==
*[http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Inscribed_and_circumscribed_figures&oldid=12164 Inscribed and circumscribed figures. A.B. Ivanov (originator), ''Encyclopedia of Mathematics''.]
*[http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Inscribed_and_circumscribed_figures&oldid=12164 Inscribed and circumscribed figures. A.B. Ivanov (originator), ''Encyclopedia of Mathematics''.]
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Latest revision as of 15:28, 17 October 2023

एक वृत्त का अंकित त्रिभुज

ज्यामिति में, एक अंकित तलीय आकार या ठोस वह होता है जो किसी अन्य ज्यामितीय आकार या ठोस से परिबद्ध होता है और ''अच्छी तरह से उपयुक्त'' होता है। यह कहना कि ''आकृति F, आकृति G में अंकित है" का अर्थ निश्चित रूप से वही है जो ''आकृति G आकृति F के विषय में परिवृत्त है"। एक उत्तल बहुभुज (या उत्तल बहुफलक में अंकित एक गोला या दीर्घवृत्त) में अंकित हुआ वृत्त या दीर्घवृत्त बाहरी आकृति के हर भुजा या तल पर स्पर्श है (लेकिन शब्दार्थ परिवर्ती के लिए अंकित किया गोला देखें)। एक वृत्त, दीर्घवृत्त, या बहुभुज (या एक गोले, दीर्घवृत्तज, या बहुफलक में अंकित बहुफलक) में अंकित बहुभुज का प्रत्येक शीर्ष बाहरी आकृति पर होता है; यदि बाहरी आकृति एक बहुभुज या बहुफलक है, तो बाहरी आकृति के प्रत्येक भुजा अंकित बहुभुज या बहुफलक का एक शीर्ष होना चाहिए। एक अंकित आकृति आवश्यक रूप से अभिविन्यास में अद्वितीय नहीं है; इसे आसानी से देखा जा सकता है, उदाहरण के लिए, जब दी गई बाहरी आकृति एक वृत्त होती है, उस स्थिति में एक अंकित आकृति का घूर्णन एक और अंकित आकृति देता है जो मूल आकृति के अनुरूप होती है।

अंकित चित्र के प्रचलित उदाहरणों में त्रिभुजों या सम बहुभुजों में अंकित वृत्त, और त्रिभुज या सम बहुभुज वृत्तों में अंकित सम्मिलित हैं। किसी भी बहुभुज में अंकित वृत्त को उसका अंतःवृत्त कहा जाता है, जिस स्थिति में बहुभुज को एक स्पर्शरेखीय बहुभुज कहा जाता है। एक वृत्त में अंकित बहुभुज को चक्रीय बहुभुज कहा जाता है, और वृत्त को इसका परिबद्ध वृत्त या परिवृत्त कहा जाता है।

किसी दिए गए बाहरी आकृति का अंतःत्रिज्या या भरण त्रिज्या अंकित चक्र या गोले का त्रिज्या है, यदि यह उपस्तिथ है।

ऊपर दी गई परिभाषा यह मानती है कि संबंधित वस्तुएँ दो-या तीन-विमीय यूक्लिडियन समष्टि में अंत:स्थापित हैं, लेकिन उच्च विमीय और अन्य मीट्रिक समष्टि के लिए आसानी से सामान्यीकृत की जा सकती हैं।

''अंकित'' शब्द के वैकल्पिक उपयोग के लिए, अंकित वर्ग समस्या देखें, जिसमें एक वर्ग को किसी अन्य आकृति (यहां तक ​​​​कि एक गैर उत्तल भी) में अंकित माना जाता है, यदि इसके चारों शीर्ष उस आकृति पर हैं।

गुण

  • प्रत्येक वृत्त में एक अंकित त्रिभुज होता है जिसमें दिए गए तीन कोण माप होते हैं (निश्चित रूप से 180° का योग), और प्रत्येक त्रिभुज को किसी वृत्त में अंकित किया जा सकता है (जिसे इसका परिबद्ध वृत्त या परिवृत्त कहा जाता है)।
  • प्रत्येक त्रिभुज में एक अंकित वृत्त होता है, जिसे अंतःवृत्त कहा जाता है।
  • प्रत्येक वृत्त में किसी भी n≥3 के लिए, n भुजाओं का एक अंकित सम बहुभुज होता है, और प्रत्येक सम बहुभुज को किसी वृत्त में अंकित किया जा सकता है (इसे परिवृत्त कहा जाता है)।
  • प्रत्येक सम बहुभुज में एक अंकित वृत्त होता है (इसे अंतःवृत्त कहा जाता है), और प्रत्येक वृत्त को किसी भी n≥3 के लिए, n भुजाओं के कुछ सम बहुभुज में अंकित किया जा सकता है।
  • तीन से अधिक भुजाओं वाले प्रत्येक बहुभुज में अंकित वृत्त नहीं होता है; वे बहुभुज जो करते हैं स्पर्शरेखा बहुभुज कहलाते हैं। तीन से अधिक भुजाओं वाले प्रत्येक बहुभुज किसी वृत्त के अंकित बहुभुज नहीं होते है; वे बहुभुज जो इस प्रकार अंकित हैं, चक्रीय बहुभुज कहलाते हैं।
  • प्रत्येक त्रिभुज को एक दीर्घवृत्त में अंकित किया जा सकता है, जिसे उसका स्टाइनर सर्कमलिप्स या केवल स्टेनर दीर्घवृत्त कहा जाता है, जिसका केंद्र त्रिभुज का केन्द्रक है।
  • प्रत्येक त्रिभुज में अंकित दीर्घवृत्तों की अनंतता होती है। उनमें से एक वृत्त है, और उनमें से एक स्टाइनर इनलिप्स है जो त्रिभुज की भुजाओं के मध्यबिंदुओं पर स्पर्शरेखा है।
  • प्रत्येक न्यूनकोण त्रिभुज में तीन अंकित वर्ग होते हैं। एक समकोण त्रिभुज में उनमें से दो विलीन हो जाते हैं और एक दूसरे के साथ विलीन हो जाते हैं, इसलिए केवल दो अलग अंकित वर्ग होते हैं। एक अधिककोण त्रिभुज में एक अंकित वर्ग होता है, जिसकी एक भुजा त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा के भाग के सामान होती है।
  • एक रेलेक्स त्रिभुज, या अधिक सामान्यतः स्थिर चौड़ाई का कोई वक्र, उपयुक्त आकार के वर्ग के अंदर किसी भी अभिविन्यास के साथ अंकित किया जा सकता है।

यह भी देखें

बाहरी संबंध

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