सामान्य रैखिक विधियाँ: Difference between revisions

From Vigyanwiki
No edit summary
 
(9 intermediate revisions by 4 users not shown)
Line 1: Line 1:
{{distinguish|text=[[general linear model]]s or [[generalized linear model]]s}}
{{distinguish|text=[[सामान्य रैखिक प्रारूप]]एस या [[सामान्यीकृत रैखिक प्रारूप]]एस}}
'''सामान्य रैखिक विधियाँ''' ('''जीएलएम'''एस) [[संख्यात्मक विधियों]] का एक बड़ा वर्ग है जिसका उपयोग [[साधारण अवकल समीकरणों]] के [[संख्यात्मक]] समाधान प्राप्त करने के लिए किया जाता है। उनमें मल्टीस्टेज [[रनगे-कुट्टा]] विधियां सम्मिलित हैं जो मध्यवर्ती [[साहचर्य बिंदुओं]] का उपयोग करती हैं, साथ ही [[रैखिक मल्टीस्टेप विधि|रैखिक मल्टीस्टेप विधियां]] जो समाधान के सीमित समय के इतिहास को बचाती हैं। [[जॉन सी. बुचर]] ने मूल रूप से इन विधियों के लिए यह शब्द निर्मित किया था, और उन्होंने इस विषय पर समीक्षा पत्रों की एक श्रेणी, एक पुस्तक अध्याय और एक पाठ्यपुस्तक लिखी है।<ref>{{cite journal|last=Butcher|first=John C.|title=सामान्य रैखिक विधियाँ|journal=Computers & Mathematics with Applications|date=February–March 1996|volume=31|issue=4–5|pages=105–112|doi=10.1016/0898-1221(95)00222-7|doi-access=free}}</ref>
'''सामान्य रैखिक विधियाँ''' ('''जीएलएम''') [[संख्यात्मक विधियों]] का एक बड़ा वर्ग है जिसका उपयोग [[साधारण अवकल समीकरणों]] के [[संख्यात्मक]] समाधान प्राप्त करने के लिए किया जाता है। उनमें बहुपद [[रनगे-कुट्टा]] विधियां सम्मिलित हैं जो मध्यवर्ती [[साहचर्य बिंदुओं]] का उपयोग करती हैं, साथ ही [[रैखिक मल्टीस्टेप विधि|रैखिक बहुपद विधियां]] जो समाधान के सीमित समय के विवरण को बचाती हैं। [[जॉन सी. बुचर]] ने मूल रूप से इन विधियों के लिए यह शब्द निर्मित <ref>{{cite journal|last=Butcher|first=John C.|title=सामान्य रैखिक विधियाँ|journal=Computers & Mathematics with Applications|date=February–March 1996|volume=31|issue=4–5|pages=105–112|doi=10.1016/0898-1221(95)00222-7|doi-access=free}}</ref>किया था, और उन्होंने इस विषय पर समीक्षा पत्रों की एक श्रृंखला, एक पुस्तक अध्याय और एक पाठ्यपुस्तक लिखी है।<ref>{{cite journal|last=Butcher|first=John|title=सामान्य रैखिक विधियाँ|journal=Acta Numerica|date=May 2006|volume=15|pages=157–256|doi=10.1017/S0962492906220014|bibcode=2006AcNum..15..157B|s2cid=125962375}}</ref><ref>{{cite journal|last=Butcher|first=John|title=साधारण अंतर समीकरणों के लिए सामान्य रैखिक विधियाँ|journal=Mathematics and Computers in Simulation|date=February 2009|volume=79|issue=6|pages=1834–1845|doi=10.1016/j.matcom.2007.02.006}}</ref><ref>{{cite book|last=Butcher|first=John|s2cid=2334002|title=साधारण विभेदक समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियाँ|year=2005|publisher=John Wiley & Sons, Ltd|isbn=9780470868270|pages=357–413|doi=10.1002/0470868279.ch5|chapter=General Linear Methods}}</ref><ref>{{cite book|last=Butcher|first=John|title=The numerical analysis of ordinary differential equations: Runge–Kutta and general linear methods|year=1987|publisher=Wiley-Interscience|isbn=978-0-471-91046-6|url=http://dl.acm.org/citation.cfm?id=22730}}</ref> उनके सहयोगी, ज़ेडज़िस्लाव जैकीविक्ज़ के पास भी इस विषय पर एक व्यापक पाठ्यपुस्तक है।<ref>{{cite book|last=Jackiewicz|first=Zdzislaw|title=साधारण विभेदक समीकरणों के लिए सामान्य रैखिक विधियाँ|year=2009|publisher=Wiley|isbn=978-0-470-40855-1|url=http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0470408553.html}}</ref> विधियों का मूल वर्ग मूल रूप से बुचर (1965), गियर (1965) और ग्रैग और स्टेटर (1964) द्वारा प्रस्तावित किया गया था।
<ref>{{cite journal|last=Butcher|first=John|title=सामान्य रैखिक विधियाँ|journal=Acta Numerica|date=May 2006|volume=15|pages=157–256|doi=10.1017/S0962492906220014|bibcode=2006AcNum..15..157B|s2cid=125962375}}</ref>
<ref>{{cite journal|last=Butcher|first=John|title=साधारण अंतर समीकरणों के लिए सामान्य रैखिक विधियाँ|journal=Mathematics and Computers in Simulation|date=February 2009|volume=79|issue=6|pages=1834–1845|doi=10.1016/j.matcom.2007.02.006}}</ref><ref>{{cite book|last=Butcher|first=John|s2cid=2334002|title=साधारण विभेदक समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियाँ|year=2005|publisher=John Wiley & Sons, Ltd|isbn=9780470868270|pages=357–413|doi=10.1002/0470868279.ch5|chapter=General Linear Methods}}</ref><ref>{{cite book|last=Butcher|first=John|title=The numerical analysis of ordinary differential equations: Runge–Kutta and general linear methods|year=1987|publisher=Wiley-Interscience|isbn=978-0-471-91046-6|url=http://dl.acm.org/citation.cfm?id=22730}}</ref> उनके सहयोगी, ज़ेडज़िस्लाव जैकीविक्ज़ के पास भी इस विषय पर एक व्यापक पाठ्यपुस्तक है।<ref>{{cite book|last=Jackiewicz|first=Zdzislaw|title=साधारण विभेदक समीकरणों के लिए सामान्य रैखिक विधियाँ|year=2009|publisher=Wiley|isbn=978-0-470-40855-1|url=http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0470408553.html}}</ref> विधियों का मूल वर्ग मूल रूप से बुचर (1965), गियर (1965) और ग्रैग और स्टेटर (1964) द्वारा प्रस्तावित किया गया था।


== कुछ परिभाषाएँ ==
== कुछ परिभाषाएँ ==
प्रथम-क्रम सामान्य अवकल समीकरणों के '''लिए संख्यात्मक विधियों फॉर्म की प्रारंभिक मूल्य समस्याओं के अनुमानित समाधान'''
प्रथम-क्रम सामान्य अवकल समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधिया रूप


: <math> y' = f(t,y), \quad y(t_0) = y_0. </math>
: <math> y' = f(t,y), \quad y(t_0) = y_0. </math>
परिणाम अलग-अलग समय <math> t_i </math>पर  <math> y(t) </math> के मान का सन्निकटन है,
:की प्रारंभिक मूल्य समस्याओं के अनुमानित समाधान को देती है। परिणाम अलग-अलग समय <math> t_i </math>पर  <math> y(t) </math> के मान का सन्निकटन है,


: <math> y_i  \approx y(t_i) \quad\text{where}\quad t_i = t_0 + i h, </math>
: <math> y_i  \approx y(t_i) \quad\text{where}\quad t_i = t_0 + i h, </math>
जहां h समय चरण है (कभी-कभी इसे <math> \Delta t </math> कहा जाता है)|
जहां h काल चरण है (कभी-कभी इसे <math> \Delta t </math> भी कहा जाता है)|


==विधि का विवरण==
==विधि का विवरण==
Line 17: Line 15:
हम अपने विवरण के लिए बुचर (2006), पृष्ठ 189-190 का अनुसरण करते हैं, हालाँकि हम ध्यान दें कि यह विधि अन्यत्र पाई जा सकती है।
हम अपने विवरण के लिए बुचर (2006), पृष्ठ 189-190 का अनुसरण करते हैं, हालाँकि हम ध्यान दें कि यह विधि अन्यत्र पाई जा सकती है।


सामान्य रैखिक विधियाँ दो पूर्णांकों का उपयोग करती हैं, <math> r </math>, इतिहास में समय बिंदुओं की संख्या और <math> s </math>, साहचर्य बिंदुओं की संख्या। <math>r=1</math> की स्थिति में, ये विधियाँ चिरप्रतिष्ठित [[रनगे-कुट्टा विधियों]] में बदल जाती हैं, और  <math>s=1</math> की स्थिति में, ये विधियाँ रैखिक बहुपदीय विधियों में कम हो जाती हैं।
सामान्य रैखिक विधियाँ दो पूर्णांकों का उपयोग करती हैं, <math> r </math>, विवरण में समय बिंदुओं की संख्या और <math> s </math>, साहचर्य बिंदुओं की संख्या है। <math>r=1</math> की स्थिति में, ये विधियाँ चिरप्रतिष्ठित [[रनगे-कुट्टा विधियों]] में बदल जाती हैं, और  <math>s=1</math> की स्थिति में, ये विधियाँ [[रैखिक बहुपद विधियों]] में बदल जाती हैं।


चरण मानों <math> Y_i </math> और चरण अवकलजों, <math> F_i, i=1,2,\dots s </math> की गणना समय चरण <math>n</math> पर सन्निकटनों, <math> y_i^{[n-1]}, i=1, \dots, r </math>  से की जाती है,
चरण मान <math> Y_i </math> और चरण अवकलज, <math> F_i, i=1,2,\dots s </math> की गणना समय चरण <math>n</math> पर सन्निकटनों, <math> y_i^{[n-1]}, i=1, \dots, r </math>  से की जाती है,


:<math>
:<math>
Line 68: Line 66:
\right].
\right].
</math>
</math>
स्टेज मान दो मैट्रिक्स द्वारा परिभाषित किए गए हैं, <math> A = [a_{ij} ] </math> और <math> U = [ u_{ij} ]</math>:
चरण मान दो आव्यूहों , <math> A = [a_{ij} ] </math> और <math> U = [ u_{ij} ]</math>


:<math>
:<math>
Line 74: Line 72:
\sum_{j=1}^s a_{ij} h F_j + \sum_{j=1}^r u_{ij} y_j^{[n-1]}, \qquad i=1,2, \dots, s,
\sum_{j=1}^s a_{ij} h F_j + \sum_{j=1}^r u_{ij} y_j^{[n-1]}, \qquad i=1,2, \dots, s,
</math>
</math>
और समय पर अद्यतन <math>t^n</math> दो मैट्रिक्स द्वारा परिभाषित किया गया है, <math> B = [b_{ij}] </math> और <math> V = [v_{ij}] </math>:
द्वारा परिभाषित किया गया है, और समय <math>t^n</math> का अद्यतन दो आव्यूहों, <math> B = [b_{ij}] </math> और <math> V = [v_{ij}] </math> द्वारा परिभाषित किया गया है,


:<math>
:<math>
y_i^{[n]} = \sum_{j=1}^s b_{ij} h F_j + \sum_{j=1}^r v_{ij} y_j^{[n-1]}, \qquad i=1, 2, \dots, r.
y_i^{[n]} = \sum_{j=1}^s b_{ij} h F_j + \sum_{j=1}^r v_{ij} y_j^{[n-1]}, \qquad i=1, 2, \dots, r.
</math>
</math>
चार आव्यूहों को देखते हुए, <math>A, U, B</math> और <math>V</math>, कोई कसाई झांकी के एनालॉग को संक्षिप्त रूप से लिख सकता है,
चार आव्यूहों <math>A, U, B</math> और <math>V</math> को देखते हुए, कोई [[बुचर टैब्लो]] के अनुरूप को संक्षिप्त रूप से लिख सकता है


:<math>
:<math>
Line 96: Line 94:
\end{matrix} \right],
\end{matrix} \right],
</math>
</math>
कहाँ <math>\otimes</math> के लिए खड़ा है
जहां <math>\otimes</math> [[प्रदिश गुणनफल]] है।
[[टेंसर उत्पाद]]


==उदाहरण==
==उदाहरण==


हम (बुचर, 1996) में वर्णित एक उदाहरण प्रस्तुत करते हैं।<ref>{{harvnb|Butcher|1996|p=107}}</ref> इस पद्धति में एक एकल 'पूर्वानुमानित' चरण और 'सही' चरण शामिल है, जो समय इतिहास के बारे में अतिरिक्त जानकारी के साथ-साथ एक मध्यवर्ती चरण मान का उपयोग करता है।
हम (बुचर, 1996) में वर्णित एक उदाहरण प्रस्तुत करते हैं।<ref>{{harvnb|Butcher|1996|p=107}}</ref> इस पद्धति में एक एकल 'पूर्वानुमानित' चरण और 'संशोधित' चरण सम्मिलित है, जो समय विवरण के बारे में अतिरिक्त जानकारी के साथ-साथ एक मध्यवर्ती चरण मान का उपयोग करता है।


एक मध्यवर्ती चरण मान को किसी ऐसी चीज़ के रूप में परिभाषित किया जाता है जो ऐसा दिखता है जैसे यह एक रैखिक मल्टीस्टेप विधि से आया है:
एक मध्यवर्ती चरण मान को किसी ऐसी चीज़ के रूप में परिभाषित किया जाता है जो ऐसा दिखता है जैसे यह एक रैखिक बहुपद विधि से आया हो,


:<math>
:<math>
y^*_{n-1/2} = y_{n-2} + h \left( \frac9 8 f( y_{n-1} ) + \frac3 8 f( y_{n-2} ) \right).
y^*_{n-1/2} = y_{n-2} + h \left( \frac9 8 f( y_{n-1} ) + \frac3 8 f( y_{n-2} ) \right).
</math>
</math>
एक प्रारंभिक 'भविष्यवक्ता' <math> y^*_n </math> स्टेज मान का उपयोग करता है <math>y^*_{n-1/2}</math> समय इतिहास के दो टुकड़ों के साथ:
एक प्रारंभिक 'पूर्वानुमानित' <math> y^*_n </math> समय विवरण के दो भागों के साथ  <math>y^*_{n-1/2}</math> का उपयोग करता है,


:<math>
:<math>
y^*_n = \frac{28}{5} y_{n-1} - \frac{23}{5} y_{n-2} + h \left( \frac{32}{15} f( y^*_{n-1/2} ) - 4 f( y_{n-1} ) - \frac{26}{15} f( y_{n-2} ) \right),
y^*_n = \frac{28}{5} y_{n-1} - \frac{23}{5} y_{n-2} + h \left( \frac{32}{15} f( y^*_{n-1/2} ) - 4 f( y_{n-1} ) - \frac{26}{15} f( y_{n-2} ) \right),
</math>
</math>
और अंतिम अद्यतन इसके द्वारा दिया गया है:
और अंतिम अद्यतन इसके द्वारा दिया गया है,


:<math>
:<math>
Line 120: Line 117:
\right).
\right).
</math>
</math>
इस विधि के लिए संक्षिप्त तालिका प्रतिनिधित्व इस प्रकार दिया गया है:
इस विधि के लिए संक्षिप्त तालिका निरूपण इस प्रकार दिया गया है,


:<math>
:<math>
Line 135: Line 132:
\right].
\right].
</math>
</math>


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
*रंज-कुट्टा विधियाँ
*[[रंज-कुट्टा विधियाँरैखिक बहुपदीय विधियाँसाधारण अवकल समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियाँ|रंज-कुट्टा विधियाँ]]
*रैखिक मल्टीस्टेप विधियाँ
*[[रंज-कुट्टा विधियाँरैखिक बहुपदीय विधियाँसाधारण अवकल समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियाँ|रैखिक बहुपद विधियाँ]]
*साधारण अवकल समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियाँ
*[[रंज-कुट्टा विधियाँरैखिक बहुपदीय विधियाँसाधारण अवकल समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियाँ|साधारण अवकल समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियाँ]]


== टिप्पणियाँ ==
== टिप्पणियाँ ==
Line 157: Line 153:
*[http://www.scholarpedia.org/article/General_linear_methods General Linear Methods]
*[http://www.scholarpedia.org/article/General_linear_methods General Linear Methods]


{{Numerical integrators}}
[[Category:Collapse templates]]
[[Category: संख्यात्मक अंतर समीकरण]]
 
 
 
[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 23/07/2023]]
[[Category:Created On 23/07/2023]]
[[Category:Machine Translated Page]]
[[Category:Navigational boxes| ]]
[[Category:Navigational boxes without horizontal lists]]
[[Category:Pages with script errors]]
[[Category:Sidebars with styles needing conversion]]
[[Category:Template documentation pages|Documentation/doc]]
[[Category:Templates Vigyan Ready]]
[[Category:Templates generating microformats]]
[[Category:Templates that are not mobile friendly]]
[[Category:Templates using TemplateData]]
[[Category:Wikipedia metatemplates]]
[[Category:संख्यात्मक अंतर समीकरण]]

Latest revision as of 15:41, 17 October 2023

सामान्य रैखिक विधियाँ (जीएलएम) संख्यात्मक विधियों का एक बड़ा वर्ग है जिसका उपयोग साधारण अवकल समीकरणों के संख्यात्मक समाधान प्राप्त करने के लिए किया जाता है। उनमें बहुपद रनगे-कुट्टा विधियां सम्मिलित हैं जो मध्यवर्ती साहचर्य बिंदुओं का उपयोग करती हैं, साथ ही रैखिक बहुपद विधियां जो समाधान के सीमित समय के विवरण को बचाती हैं। जॉन सी. बुचर ने मूल रूप से इन विधियों के लिए यह शब्द निर्मित [1]किया था, और उन्होंने इस विषय पर समीक्षा पत्रों की एक श्रृंखला, एक पुस्तक अध्याय और एक पाठ्यपुस्तक लिखी है।[2][3][4][5] उनके सहयोगी, ज़ेडज़िस्लाव जैकीविक्ज़ के पास भी इस विषय पर एक व्यापक पाठ्यपुस्तक है।[6] विधियों का मूल वर्ग मूल रूप से बुचर (1965), गियर (1965) और ग्रैग और स्टेटर (1964) द्वारा प्रस्तावित किया गया था।

कुछ परिभाषाएँ

प्रथम-क्रम सामान्य अवकल समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधिया रूप

की प्रारंभिक मूल्य समस्याओं के अनुमानित समाधान को देती है। परिणाम अलग-अलग समय पर के मान का सन्निकटन है,

जहां h काल चरण है (कभी-कभी इसे भी कहा जाता है)|

विधि का विवरण

हम अपने विवरण के लिए बुचर (2006), पृष्ठ 189-190 का अनुसरण करते हैं, हालाँकि हम ध्यान दें कि यह विधि अन्यत्र पाई जा सकती है।

सामान्य रैखिक विधियाँ दो पूर्णांकों का उपयोग करती हैं, , विवरण में समय बिंदुओं की संख्या और , साहचर्य बिंदुओं की संख्या है। की स्थिति में, ये विधियाँ चिरप्रतिष्ठित रनगे-कुट्टा विधियों में बदल जाती हैं, और की स्थिति में, ये विधियाँ रैखिक बहुपद विधियों में बदल जाती हैं।

चरण मान और चरण अवकलज, की गणना समय चरण पर सन्निकटनों, से की जाती है,

चरण मान दो आव्यूहों , और

द्वारा परिभाषित किया गया है, और समय का अद्यतन दो आव्यूहों, और द्वारा परिभाषित किया गया है,

चार आव्यूहों और को देखते हुए, कोई बुचर टैब्लो के अनुरूप को संक्षिप्त रूप से लिख सकता है

जहां प्रदिश गुणनफल है।

उदाहरण

हम (बुचर, 1996) में वर्णित एक उदाहरण प्रस्तुत करते हैं।[7] इस पद्धति में एक एकल 'पूर्वानुमानित' चरण और 'संशोधित' चरण सम्मिलित है, जो समय विवरण के बारे में अतिरिक्त जानकारी के साथ-साथ एक मध्यवर्ती चरण मान का उपयोग करता है।

एक मध्यवर्ती चरण मान को किसी ऐसी चीज़ के रूप में परिभाषित किया जाता है जो ऐसा दिखता है जैसे यह एक रैखिक बहुपद विधि से आया हो,

एक प्रारंभिक 'पूर्वानुमानित' समय विवरण के दो भागों के साथ का उपयोग करता है,

और अंतिम अद्यतन इसके द्वारा दिया गया है,

इस विधि के लिए संक्षिप्त तालिका निरूपण इस प्रकार दिया गया है,

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

  1. Butcher, John C. (February–March 1996). "सामान्य रैखिक विधियाँ". Computers & Mathematics with Applications. 31 (4–5): 105–112. doi:10.1016/0898-1221(95)00222-7.
  2. Butcher, John (May 2006). "सामान्य रैखिक विधियाँ". Acta Numerica. 15: 157–256. Bibcode:2006AcNum..15..157B. doi:10.1017/S0962492906220014. S2CID 125962375.
  3. Butcher, John (February 2009). "साधारण अंतर समीकरणों के लिए सामान्य रैखिक विधियाँ". Mathematics and Computers in Simulation. 79 (6): 1834–1845. doi:10.1016/j.matcom.2007.02.006.
  4. Butcher, John (2005). "General Linear Methods". साधारण विभेदक समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियाँ. John Wiley & Sons, Ltd. pp. 357–413. doi:10.1002/0470868279.ch5. ISBN 9780470868270. S2CID 2334002.
  5. Butcher, John (1987). The numerical analysis of ordinary differential equations: Runge–Kutta and general linear methods. Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-91046-6.
  6. Jackiewicz, Zdzislaw (2009). साधारण विभेदक समीकरणों के लिए सामान्य रैखिक विधियाँ. Wiley. ISBN 978-0-470-40855-1.
  7. Butcher 1996, p. 107


संदर्भ


बाहरी संबंध