ज्यामितीय नैराश्य: Difference between revisions

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संघनित पदार्थ भौतिकी में, ज्यामितीय नैराश्य (या संक्षेप में: नैराश्य ^[1]) शब्द ऐसी घटना को संदर्भित करता है जहां परमाणु गैर-तुच्छ स्थितियों से चिपके रहते हैं या जहां नियमित क्रिस्टल जाली पर, परस्पर विरोधी अंतर-परमाणु बल (हर किंतु सरल, किन्तु अलग-अलग संरचनाओं का पक्ष लेता है) अधिक जटिल संरचनाओं की ओर ले जाता है। ज्यामिति या बलों में नैराश्य के परिणामस्वरूप अलग-अलग जमीनी राज्यों की बहुतायत शून्य तापमान पर हो सकती है, और उच्च तापमान पर सामान्य थर्मल क्रम को दबाया जा सकता है। बहुत से अध्ययन किए गए उदाहरण अनाकार सामग्रीचश्मा, या तनु चुम्बक हैं।

नैराश्य शब्द चुंबकीय प्रणालियों के संदर्भ में 1977 में जेरार्ड टूलूज़ द्वारा प्रस्तुत किया गया है। ^[2]^[3] निराश चुंबकीय प्रणालियों का पहले भी अध्ययन किया गया था। प्रारंभिक कार्य में 1950 में प्रकाशित जी. एच. वन्नियर द्वारा निकटतम-निकटतम स्पिन (भौतिकी) के साथ त्रिकोणीय जाली पर ईज़िंग मॉडल का अध्ययन सम्मिलित है। ^[4] प्रतिस्पर्धी अंतःक्रियाओं वाले चुम्बकों में संबंधित विशेषताएँ पाई जाती हैं, जहाँ फेरोमैग्नेटिक के साथ-साथ एंटीफेरोमैग्नेटिक कपलिंग दोनों स्पिन या चुंबकीय क्षणों के जोड़े के बीच उपस्थित होते हैं, स्पिन की पृथक्करण दूरी के आधार पर इंटरैक्शन के प्रकार के साथ उस स्थितियों में अनुरूपता जैसे ह्लिमाग्नेतिस्म पेचदार स्पिन व्यवस्था का परिणाम हो सकता है जैसा कि मूल रूप से चर्चा की गई थी विशेष रूप से, ए योशिमोरी, ^[5] टीए कपलान, ^[6] आरजे इलियट, ^[7] और अन्य, 1959 से प्रारंभ होकर वर्णन करने के लिए दुर्लभ-पृथ्वी धातुओं पर प्रायोगिक निष्कर्ष लगभग दो दशक बाद, 1970 के दशक की प्रारंभ में, स्पिन ग्लास और स्थानिक रूप से संशोधित चुंबकीय सुपरस्ट्रक्चर के संदर्भ में, नैराश्य या प्रतिस्पर्धी पारस्परिक क्रिया के साथ ऐसी स्पिन प्रणालियों में नए सिरे से दिलचस्पी उत्पन्न हुई। स्पिन ग्लासेस में, अंतःक्रियाओं में स्टोकेस्टिक डिसऑर्डर द्वारा नैराश्य को बढ़ाया जाता है, जैसा कि समीकरणमितीय चुंबकीय मिश्र धातुओं में प्रयोगात्मक रूप से हो सकता है। नैराश्य के साथ सावधानी से विश्लेषण किए गए स्पिन मॉडल में शेरिंगटन-किर्कपैट्रिक मॉडल ^[8] स्पिन ग्लास का वर्णन और अन्नी मॉडल, ^[9] आनुपातिकता चुंबकीय सुपरस्ट्रक्चर का वर्णन करना सम्मिलित है। वर्तमान में तंत्रिका कनेक्शन के गैर-तुच्छ संयोजन की पहचान करने और मस्तिष्क के समायोज्य तत्वों को उजागर करने के लिए मस्तिष्क नेटवर्क विश्लेषण में नैराश्य की अवधारणा का उपयोग किया गया है। ^[10]

चुंबकीय क्रम

चित्र 1:एक त्रिकोणीय व्यवस्था में एंटीफेरोमैग्नेटिकली इंटरैक्टिव स्पिन

चित्र 2: टेट्राहेड्रल व्यवस्था में एंटीफेरोमैग्नेटिकली इंटरैक्टिंग स्पिन

चित्रा 3:चतुष्फलक की आसान अक्षों के साथ घूमता है

चित्रा 4:'चतुष्फलक में कुंठित आसान चक्कर

चुंबकत्व में ज्यामितीय नैराश्य महत्वपूर्ण विशेषता है, जहां यह स्पिन (भौतिकी) की सापेक्ष व्यवस्था से उत्पन्न होती है। साधारण 2डी उदाहरण चित्र 1 में दिखाया गया है। तीन चुंबकीय आयन त्रिकोण के कोनों पर रहते हैं उनके बीच एंटीफेरोमैग्नेटिक इंटरैक्शन होते हैं; ऊर्जा कम हो जाती है जब प्रत्येक स्पिन निकटतम के विपरीत संरेखित होती है। जब पहले दो घुमाव एंटीपैरल समानांतर हो जाते हैं, तो तीसरा निराश हो जाता है क्योंकि इसके दो संभावित झुकाव ऊपर और नीचे, समान ऊर्जा देते हैं। तीसरा स्पिन साथ अन्य दो दोनों के साथ अपनी पारस्परिक क्रिया को कम नहीं कर सकता है। चूंकि यह प्रभाव प्रत्येक स्पिन के लिए होता है, जमीनी अवस्था छह गुना पतित होती है। केवल दो अवस्थाएँ जहाँ सभी चक्रण ऊपर या नीचे होते हैं उनमें अधिक ऊर्जा होती है।

इसी तरह तीन आयामों में, चतुर्पाश्वीय (चित्रा 2) में व्यवस्थित चार स्पिन ज्यामितीय नैराश्य का अनुभव कर सकते हैं। यदि स्पिनों के बीच लौह-चुंबकीय इंटरेक्शन है, तो स्पिन्स को व्यवस्थित करना संभव नहीं है जिससे स्पिन्स के बीच सभी इंटरैक्शन एंटीपैरल हों छह निकटतम-निकटतम अंतःक्रियाएं हैं, जिनमें से चार समानांतर हैं और इस प्रकार अनुकूल हैं, किन्तु इनमें से दो (1 और 2 के बीच, और 3 और 4 के बीच) प्रतिकूल हैं। सभी अंतःक्रियाओं का अनुकूल होना असंभव है और व्यवस्था नैराश्य है।

ज्यामितीय नैराश्य भी संभव है यदि घुमावों को गैर-रेखा (ज्यामिति) विधि से व्यवस्थित किया जाए। यदि हम आसान अक्ष के साथ इंगित करने वाले प्रत्येक शीर्ष पर स्पिन के साथ टेट्राहेड्रॉन पर विचार करते हैं (अर्थात सीधे टेट्राहेड्रॉन के केंद्र की ओर या दूर), तो चार स्पिनों को व्यवस्थित करना संभव है जिससे कोई शुद्ध स्पिन न हो (चित्र) 3). यह स्पिन के प्रत्येक जोड़े के बीच एंटीफेरोमैग्नेटिक इंटरैक्शन होने के समान है इसलिए इस स्थितियों में कोई ज्यामितीय नैराश्य नहीं है। इन अक्षो के साथ ज्यामितीय नैराश्य उत्पन्न होती है यदि निकटतम के बीच फेरोमैग्नेटिक इंटरैक्शन होता है जहां समानांतर स्पिन द्वारा ऊर्जा को कम किया जाता है। चित्र 4 में सर्वोत्तम संभव व्यवस्था दिखाई गई है, जिसमें दो घुमाव केंद्र की ओर और दो दूर की ओर संकेत करते हैं। शुद्ध चुंबकीय क्षण ऊपर की ओर संकेत करता है, इस दिशा में फेरोमैग्नेटिक इंटरैक्शन को अधिकतम करता है किन्तु बाएं और दाएं सदिश समाप्त हो जाते हैं (अर्थात एंटीफेरोमैग्नेटिक रूप से संरेखित होते हैं), जैसा कि आगे और पीछे होता है। तीन अलग-अलग समतुल्य व्यवस्थाएँ हैं जिनमें दो स्पिन बाहर और दो अंदर हैं इसलिए जमीनी स्थिति तीन गुना पतित है।

गणितीय परिभाषा

गणितीय परिभाषा सरल है (और क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स में तथाकथित विल्सन लूप के अनुरूप): उदाहरण के लिए अभिव्यक्ति ("कुल ऊर्जा" या "हैमिल्टनियन") के रूप पर विचार करता है

{\mathcal {H}}=\sum _{G}-I_{k_{\nu },k_{\mu }}\,\,S_{k_{\nu }}\cdot S_{k_{\mu }}\,,

जहाँ G माना गया ग्राफ है, जबकि मात्रा I_{k_ν,k_μ} निकटतम-निकटतम के बीच तथाकथित "विनिमय ऊर्जा" हैं, जो (ऊर्जा इकाइयों में माना जाता है) मान ±1 मानते हैं (गणितीय रूप से, यह हस्ताक्षरित ग्राफ है), जबकि S_{k_ν}·S_{k_μ} स्केलर या वेक्टरियल स्पिन या स्यूडो-स्पिन के आंतरिक उत्पाद हैं। यदि ग्राफ G में द्विघात या त्रिकोणीय चेहरे P हैं, तो तथाकथित "पट्टिका चर" P_W, निम्न प्रकार के "लूप-उत्पाद", प्रकट होते हैं:

P_{W}=I_{1,2}\,I_{2,3}\,I_{3,4}\,I_{4,1}

और

P_{W}=I_{1,2}\,I_{2,3}\,I_{3,1}\,,

क्रमश,

जिन्हें "नैराश्य उत्पाद" भी कहा जाता है। किसी को इन उत्पादों पर योग करना पड़ता है, सभी पट्टिकाओं पर अभिव्यक्त किया जाता है। एकल पट्टिका का परिणाम या तो +1 या -1 है। पिछले उल्लिखित स्थितियों में पट्टिका "ज्यामितीय रूप से निराश" है।

यह दिखाया जा सकता है कि परिणाम में साधारण गेज का व्युत्क्रम है: यह नहीं बदलता है – nor ही अन्य मापने योग्य मात्राएं, उदा। "कुल ऊर्जा" ${\mathcal {H}}$ - तथापि स्थानीय रूप से रूपांतरण इंटीग्रल और स्पिन साथ निम्नानुसार संशोधित किए गए हों:

I_{i,k}\to \varepsilon _{i}I_{i,k}\varepsilon _{k},\quad S_{i}\to \varepsilon _{i}S_{i},\quad S_{k}\to \varepsilon _{k}S_{k}\,.

यहां संख्याएं ε_i और ε_k मनमाना संकेत हैं, अर्थात +1 या -1, जिससे संरचना पूरी तरह यादृच्छिक दिख सकता है ।

जल बर्फ

चित्र 5: जल बर्फ अणुओं की योजना

चूंकि नैराश्य पर अधिकांश पिछले और वर्तमान शोध स्पिन प्रणाली पर केंद्रित हैं इस घटना का अध्ययन पहले साधारण बर्फ़ में किया गया था। 1936 में जियाउक और स्टाउट ने द एंट्रॉपी ऑफ वॉटर एंड द थर्ड लॉ ऑफ थर्मोडायनामिक्स प्रकाशित किया। 15 K से 273 K तक बर्फ की ताप क्षमता उच्च तापमान गैस चरण तक ठंड और वाष्पीकरण संक्रमण के माध्यम से पानी पर कैलोरीमीटर माप की सूची करना एन्ट्रापी की गणना ऊष्मा क्षमता को एकीकृत करके और अव्यक्त ताप योगदान को जोड़कर की गई थी; डेबी के वर्तमान में व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग करते हुए निम्न तापमान मापों को शून्य पर एक्सट्रपलेशन किया गया था। ^[11] परिणामी एन्ट्रापी, S₁ = 44.28 cal/(K·mol) = 185.3 J/(mol·K) की तुलना आदर्श गैस के सांख्यिकीय यांत्रिकी से सैद्धांतिक परिणाम से की गई, S₂ = 45.10 cal/(K·mol) = 188.7 J /(mol·K). दोनों मानों में S₀ = 0.82 ± 0.05 cal/(K·mol) = 3.4 J/(mol·K) का अंतर है। इसके बाद इस परिणाम को लिनस पॉलिंग^[12] ने उत्कृष्ट सन्निकटन के द्वारा समझाया जिसने दिखाया कि बर्फ में परिमित एन्ट्रापी (0.81 cal/(K·mol) या 3.4 J/(mol·K) के रूप में अनुमानित) शून्य तापमान पर होता है। बर्फ में प्रोटॉन के लिए आंतरिक विन्यास संबंधी विकार है।

हेक्सागोनल या घन क्रिस्टल प्रणाली आइस चरण में ऑक्सीजन आयन O-O बॉन्ड लंबाई 2.76 Å (276 पीकोमीटर) के साथ टेट्राहेड्रल संरचना बनाते हैं, जबकि O-H बॉन्ड की लंबाई केवल 0.96 Å (96 pm) होती है। प्रत्येक ऑक्सीजन (श्वेत) आयन चार हाइड्रोजन आयनों (काले) से घिरा होता है और प्रत्येक हाइड्रोजन आयन 2 ऑक्सीजन आयनों से घिरा होता है जैसा कि चित्र 5 में दिखाया गया है। आंतरिक H₂O अणु संरचना को बनाए रखते हुए, प्रोटॉन की न्यूनतम ऊर्जा स्थिति आधी नहीं होती है- दो आसन्न ऑक्सीजन आयनों के बीच का रास्ता O-O बंध की रेखा पर हाइड्रोजन, दूर और निकट की स्थिति में दो समतुल्य स्थितियाँ हो सकती हैं। इस प्रकार नियम जमीनी स्थिति विन्यास के लिए प्रोटॉन की स्थिति की नैराश्य की ओर जाता है: प्रत्येक ऑक्सीजन के लिए निकटतम प्रोटॉन में से दो को दूर की स्थिति में और दो को निकट की स्थिति में रहना चाहिए तथाकथित 'बर्फ नियम' पॉलिंग ने प्रस्तावित किया कि बर्फ की खुली चतुष्फलकीय संरचना बर्फ के नियमों को संतुष्ट करने वाले कई समतुल्य स्थिति प्रदान करती है।

पॉलिंग ने निम्नलिखित विधि से विन्यास एन्ट्रापी की गणना की: बर्फ के मोल पर विचार करें, जिसमें N O²− और 2N प्रोटॉन सम्मिलित हैं। प्रत्येक O–O बंधन में प्रोटॉन के लिए दो स्थान होते हैं, जिससे 2^2N संभावित विन्यास हो सकते हैं। चूंकि , प्रत्येक ऑक्सीजन से जुड़े 16 संभावित विन्यासों में से केवल 6 ऊर्जावान रूप से अनुकूल हैं, जो H₂O अणु बाधा को बनाए रखते हैं। फिर जमीन की स्थिति ले सकने वाली संख्याओं की ऊपरी सीमा का अनुमान Ω < 2^2N(6/16)^{N के रूप में लगाया जाता है। इसके अनुरूप विन्यास एन्ट्रापी S₀ = k_Bln(Ω) = Nk_Bln(3/2)= 0.81 cal/(K·mol) = 3.4 J/(mol·K) जियाउक और स्टाउट द्वारा मापी गई लापता एंट्रॉपी के साथ अद्भुत समझौते में है।}

चूंकि पॉलिंग की गणना ने प्रोटॉन की संख्या पर वैश्विक बाधा और वर्ट्ज़ाइट जाली पर बंद लूप से उत्पन्न होने वाली स्थानीय बाधा दोनों की उपेक्षा की बाद में अनुमान को उत्कृष्ट त्रुटिहीन के रूप में दिखाया गया।

स्पिन आइस

चित्रा 6: स्पिन आइस अणुओं की योजना

स्पिन आइस में पानी की बर्फ में गिरावट के लिए गणितीय रूप से समान स्थिति पाई जाती है। चार कोनों में से प्रत्येक पर चुंबकीय परमाणु या आयन के साथ क्यूबिक पाइरोक्लोर संरचना में चित्र 6 में सामान्य स्पिन बर्फ संरचना दिखाई गई है। पदार्थ में शक्तिशाली क्रिस्टल क्षेत्र सिद्धांत के कारण प्रत्येक चुंबकीय आयनों को बड़े पल के साथ आइसिंग ग्राउंड स्टेट डबल द्वारा दर्शाया जा सकता है। यह कोने-शेयरिंग टेट्राहेड्रल जाली पर रहने वाले ईज़िंग स्पिन की तस्वीर का सुझाव देता है, जो स्थानीय परिमाणीकरण अक्ष, <111> घन अक्षों के साथ तय किए गए स्पिन के साथ होता है, जो प्रत्येक टेट्राहेड्रल वर्टेक्स को केंद्र से जोड़ने वाली रेखाओं के साथ मेल खाता है। ऊर्जा को न्यूनतम करने के लिए प्रत्येक चतुष्फलकीय कोशिका में दो घुमाव अंदर की ओर और दो बाहर की ओर होने चाहिए। वर्तमान में स्पिन आइस मॉडल को लगभग वास्तविक सामग्रियों द्वारा अनुभूत किया गया है, विशेष रूप से दुर्लभ पृथ्वी पाइरोक्लोरेस Ho₂Ti₂O₇, Dy₂Ti₂O₇, और Ho₂Sn₂O₇ ये सभी सामग्रियां कम तापमान पर गैर-शून्य अवशिष्ट एन्ट्रॉपी दिखाती हैं।

पॉलिंग के मॉडल का विस्तार: सामान्य हताशा

स्पिन आइस मॉडल नैराश्य प्रणालियों का केवल उपखंड है। नैराश्य शब्द को प्रारंभ में प्रणाली की अक्षमता का वर्णन करने के लिए प्रस्तुत किया गया था जिससे इसके घटकों के बीच प्रतिस्पर्धी अंतःक्रियात्मक ऊर्जा को साथ कम किया जा सकता है। सामान्य रूप से नैराश्य या तो साइट विकार के कारण प्रतिस्पर्धात्मक अंतःक्रियाओं के कारण होती है (खलनायक मॉडल भी देखें^[13]) या त्रिकोणीय टाइलिंग, क्यूबिक क्रिस्टल प्रणाली या फेस-सेंटर्ड क्यूबिक (एफसीसी), हेक्सागोनल (क्रिस्टल प्रणाली) या हेक्सागोनल-क्लोज-पैक्ड, टेट्राहेड्रॉन, पायरोक्लोर और कगोम जाली जैसे एंटीफेरोमैग्नेटिक इंटरैक्शन के रूप में जाली संरचना द्वारा तो नैराश्य को दो श्रेणियों में बांटा गया है: पहला स्पिन ग्लास से मेल खाता है जिसमें संरचना में विकार और स्पिन में नैराश्य दोनों हैं; दूसरा आदेशित जाली संरचना और स्पिन की नैराश्य के साथ ज्यामितीय नैराश्य है। स्पिन ग्लास की नैराश्य को आरकेकेवाई मॉडल के रूपरेखा के अंदर समझा जाता है, जिसमें इंटरेक्शन प्रॉपर्टी, या तो फेरोमैग्नेटिक या एंटी-फेरोमैग्नेटिक, दो चुंबकीय आयनों की दूरी पर निर्भर होती है। स्पिन ग्लास में जाली विकार के कारण स्पिन ऑफ इंटरेस्ट और उसके निकटतम निकटतम अलग-अलग दूरी पर हो सकते हैं और अलग इंटरैक्शन गुण हो सकती है, जो इस प्रकार स्पिन के अलग-अलग पसंदीदा संरेखण की ओर ले जाती है।

कृत्रिम ज्यामितीय रूप से निराश फेरोमैग्नेट्स

लिथोग्राफी तकनीकों की सहायता से, उप-माइक्रोमीटर आकार के चुंबकीय द्वीपों का निर्माण करना संभव है, जिनकी ज्यामितीय व्यवस्था प्राकृतिक रूप से होने वाली स्पिन बर्फ पदार्थ में पाई जाने वाली नैराश्य को पुन: उत्पन्न करती है। वर्तमान में आरएफ वांग एट अल की सूचना दी थी ^[14] लिथोग्राफिक रूप से गढ़े गए एकल-डोमेन फेरोमैग्नेटिक द्वीपों की सरणियों से बना कृत्रिम ज्यामितीय रूप से नैराश्य चुंबक की खोज कि जाती है । इन द्वीपों को मैन्युअल रूप से स्पिन आइस के लिए द्वि-आयामी एनालॉग बनाने के लिए व्यवस्थित किया गया है। आदेशित 'स्पिन' द्वीपों के चुंबकीय क्षणों को चुंबकीय बल माइक्रोस्कोप या चुंबकीय बल माइक्रोस्कोपी (एमएफएम) के साथ चित्रित किया गया था और फिर नैराश्य के स्थानीय आवास का गहन अध्ययन किया गया था। नैराश्य चुम्बकों के चौकोर जाली पर अपने पिछले काम में उन्होंने बर्फ की तरह छोटी दूरी के सहसंबंधों और लंबी दूरी के सहसंबंधों की अनुपस्थिति का अवलोकन किया ठीक उसी तरह जैसे कम तापमान पर स्पिन बर्फ में होता है। ये परिणाम अज्ञात आधार को शक्तिशाली करते हैं जिस पर इन कृत्रिम ज्यामितीय रूप से नैराश्य चुम्बकों द्वारा नैराश्य के वास्तविक भौतिकी की कल्पना और प्रतिरूपण किया जा सकता है, और आगे की शोध गतिविधि को प्रेरित करता है।

मैग्नेटो-ऑप्टिकल केर इफेक्ट का उपयोग करके बाहरी क्षेत्र में अपनी वैश्विक प्रतिक्रिया का अध्ययन करते समय ये कृत्रिम रूप से निराश फेरोमैग्नेट्स अद्वितीय चुंबकीय गुणों का प्रदर्शन कर सकते हैं।^[15] विशेष रूप से कृत्रिम स्पिन बर्फ प्रणाली में विकार से संबंधित वर्ग जाली प्रभाव की गैर-मोनोटोनिक कोणीय निर्भरता पाई जाती है।

जाली के बिना ज्यामितीय नैराश्य

अन्य प्रकार की ज्यामितीय नैराश्य स्थानीय क्रम के प्रसार से उत्पन्न होती है। संघनित पदार्थ भौतिक विज्ञानी जिस मुख्य प्रश्न का सामना करता है, वह ठोस की स्थिरता की व्याख्या करना है।

रासायनिक प्रकृति के कुछ स्थानीय नियमों को स्थापित करना कभी-कभी संभव होता है, जो कम ऊर्जा विन्यास की ओर ले जाते हैं और इसलिए संरचनात्मक और रासायनिक क्रम को नियंत्रित करते हैं। यह सामान्यतः स्थिति नहीं है और अधिकांशतः स्थानीय पारस्परिक क्रिया द्वारा परिभाषित स्थानीय क्रम स्वतंत्र रूप से प्रचार नहीं कर सकता है, जिससे ज्यामितीय नैराश्य होती है। इन सभी प्रणालियों की सामान्य विशेषता यह है कि सरल स्थानीय नियमों के साथ भी वे अधिकांशतः जटिल, संरचनात्मक अनिभावो का बड़ा समूह प्रस्तुत करते हैं। ज्यामितीय नैराश्य संघनित पदार्थ के क्षेत्रों में भूमिका निभाती है, जिसमें गुच्छों और अनाकार ठोस से लेकर जटिल तरल पदार्थ होते हैं।

इन जटिलताओं को हल करने के लिए दृष्टिकोण की सामान्य विधि दो चरणों का अनुसरण करती है। सबसे पहले अंतरिक्ष वक्रता की अनुमति देकर सही स्थान भरने की बाधा को विश्राम दिया जाता है। इस घुमावदार स्थान में आदर्श, निराश्रित, संरचना परिभाषित की गई है। फिर इस आदर्श टेम्पलेट को तीन आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एम्बेड करने के लिए विशिष्ट विकृतियों को प्रयुक्त किया जाता है। अंतिम संरचना आदेशित क्षेत्रों का मिश्रण है, जहां स्थानीय क्रम टेम्पलेट के समान है, और एम्बेडिंग से उत्पन्न होने वाले दोष हैं। संभावित दोषों में, झुकाव महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

पेंटागनों द्वारा तल की टाइलिंग असंभव है, किन्तु गोले पर पेंटागोनल डोडेकाहेड्रॉन के रूप में अनुभूत किया जा सकता है जैसा कि क्वासिक क्रिस्टल में दिखाया गया है

सरल द्वि-आयामी उदाहरण

बड़े मापदंड पर स्थानीय नियमों और ज्यामिति के बीच प्रतिस्पर्धा की उत्पत्ति के बारे में कुछ समझने के लिए द्वि-आयामी उदाहरण सहायक होते हैं। पहले समतल पर समान डिस्क ( काल्पनिक द्वि-आयामी धातु के लिए मॉडल) की व्यवस्था पर विचार करें; हम मानते हैं कि डिस्क के बीच की पारस्परिक क्रिया आइसोट्रोपिक है और स्थानीय रूप से डिस्क को यथासंभव सघन विधि से व्यवस्थित करने की प्रवृत्ति है। तीन डिस्क के लिए सबसे अच्छी व्यवस्था त्रिभुज के कोने पर स्थित डिस्क केंद्रों के साथ समबाहु त्रिभुज है। लंबी दूरी की संरचना का अध्ययन इसलिए समबाहु त्रिभुजों के साथ समतल टाइलिंग के अध्ययन के लिए कम किया जा सकता है। स्थानीय और वैश्विक नियमों के बीच कुल अनुकूलता के साथ त्रिकोणीय टाइलिंग द्वारा प्रसिद्ध समाधान प्रदान किया जाता है: प्रणाली को अप्रतिबंधित कहा जाता है।

किन्तु अब अंतःक्रियात्मक ऊर्जा को न्यूनतम माना जाता है जब परमाणु नियमित पंचकोण के शीर्ष पर बैठते हैं। किनारों (परमाणु बांड) और कोने (परमाणु) को साझा करने वाले इन पेंटागनों की पैकिंग को लंबी दूरी तक फैलाने की प्रयाश करना असंभव है। यह नियमित पेंटागन के साथ विमान को टाइलिंग करने की असंभवता के कारण है सिर्फ इसलिए कि पेंटागन वर्टेक्स कोण 2 $π$ को विभाजित नहीं करता है। ऐसे तीन पंचभुज सामान्य शीर्ष पर आसानी से समा सकते हैं किन्तु दो किनारों के बीच अंतर बना रहता है। यह इस तरह की विसंगति है जिसे "ज्यामितीय नैराश्य" कहा जाता है। इस कठिनाई को दूर करने का विधि है। टाइल की जाने वाली सतह को किसी भी अनुमानित टोपोलॉजी से मुक्त होने दें और आइए हम स्थानीय अंतःक्रिया नियम के सख्त अनुप्रयोग के साथ टाइलिंग का निर्माण करें। इस सरल उदाहरण में हम देखते हैं कि सतह गोले की टोपोलॉजी को विरासत में लेती है और इसलिए वक्रता प्राप्त करती है। अंतिम संरचना यहाँ पंचकोणीय द्वादशफलक, पंचकोणीय क्रम के पूर्ण प्रसार के लिए अनुमति देता है। इसे माना संरचना के लिए "आदर्श" (दोष-मुक्त) मॉडल कहा जाता है।

घनी संरचनाएं और टेट्राहेड्रल पैकिंग

टेट्राहेड्रल पैकिंग: टेट्राहेड्रल का डायहेड्रल कोण 2

π

के साथ अनुरूपता (गणित) नहीं है; परिणाम स्वरुप समान किनारे के साथ पांच टेट्राहेड्रा के पैकिंग के दो चेहरों के बीच छेद रहता है। सामान्य शीर्ष के साथ बीस टेट्राहेड्रा की पैकिंग इस तरह से है कि बारह बाहरी कोने अनियमित आईकोसाहेड्रॉन बनाते हैं

धातुओं की स्थिरता ठोस अवस्था भौतिकी का पुराना प्रश्न है जिसे केवल सकारात्मक रूप से आवेशित आयनों और वैलेंस और चालन इलेक्ट्रॉनों के बीच की पारस्परिक क्रिया को ध्यान में रखते हुए क्वांटम यांत्रिक रूपरेखा में समझा जा सकता है। फिर भी धात्विक बंधन की बहुत ही सरलीकृत तस्वीर का उपयोग करना संभव है और केवल आइसोट्रोपिक प्रकार की पारस्परिक क्रिया रखता है जिससे संरचनाओं को घनी पैक वाले क्षेत्रों के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है। और वास्तव में क्रिस्टलीय सरल धातु संरचनाएं अधिकांशतः या तो क्लोज पैक्ड चेहरा केंद्रित घन (एफसीसी) या हेक्सागोनल क्लोज पैकिंग (एचसीपी) लैटिस होती हैं। कुछ सीमा तक अक्रिस्टलीय धातुओं और अर्ध-क्रिस्टल को भी गोलों की क्लोज पैकिंग द्वारा प्रतिरूपित किया जा सकता है। स्थानीय परमाणु क्रम को टेट्राहेड्रा के समीप पैकिंग द्वारा अच्छी तरह से तैयार किया गया है, जिससे अपूर्ण आईकोसाहेड्रल क्रमित हो जाता है।

एक नियमित टेट्राहेड्रॉन चार समान क्षेत्रों की पैकिंग के लिए सबसे सघन विन्यास है। कठिन क्षेत्रों की सघन यादृच्छिक संकुलन समस्या को इस प्रकार चतुष्फलकीय संकुलन समस्या पर प्रतिचित्रित किया जा सकता है। केवल चतुष्फलकीय विन्यास बनाने के लिए टेबल टेनिस गेंदों को पैक करने का प्रयास करना व्यावहारिक अभ्यास है। पूर्ण चतुष्फलक के रूप में व्यवस्थित चार गेंदों से प्रारंभ होता है, और नए चतुष्फलक बनाते समय नए गोले जोड़ने का प्रयास करता है। अगला समाधान पांच गेंदों के साथ सामान्य चेहरे को साझा करने वाले दो टेट्राहेड्रा हैं; ध्यान दें कि पहले से ही इस समाधान के साथ, एफसीसी संरचना, जिसमें व्यक्तिगत टेट्राहेड्रल छेद होते हैं, ऐसा कॉन्फ़िगरेशन नहीं दिखाते हैं (टेट्राहेड्रा किनारों को साझा करते हैं, चेहरे नहीं)। छह गेंदों के साथ, तीन नियमित टेट्राहेड्रा बनाए जाते हैं क्लस्टर सभी कॉम्पैक्ट क्रिस्टलीय संरचनाओं (एफसीसी और एचसीपी) के साथ असंगत है। सातवें गोले को जोड़ने से दो "अक्षीय" गेंदों में दूसरे को छूने वाला नया क्लस्टर मिलता है और पांच अन्य बाद की दो गेंदों को छूते हैं, बाहरी आकार लगभग नियमित पंचकोणीय द्वि-पिरामिड होता है। चूँकि अब हम वास्तविक पैकिंग समस्या का सामना कर रहे हैं, जो कि दो आयामों में पंचकोणीय टाइलिंग के साथ ऊपर की समस्या के अनुरूप है। टेट्राहेड्रॉन का डायहेड्रल कोण 2 $π$ के अनुरूप नहीं है; परिणाम स्वरुप निकटतम टेट्राहेड्रा के दो चेहरों के बीच छेद बना रहता है। परिणाम स्वरुप नियमित टेट्राहेड्रा के साथ यूक्लिडियन अंतरिक्ष R³ की सही टाइलिंग असंभव है। नैराश्य का सामयिक चरित्र है: यूक्लिडियन स्थान को टेट्राहेड्रा से भरना असंभव है यहां तक कि गंभीर रूप से विकृत यदि हम यह कहते हैं कि टेट्राहेड्रा की निरंतर संख्या (यहां पांच) समान रूप से साझा करते हैं।

अगला कदम महत्वपूर्ण है: अंतरिक्ष में वक्रता की अनुमति देकर अप्रतिष्ठित संरचना की खोज, जिससे स्थानीय विन्यास पूरे अंतरिक्ष में समान रूप से और दोषों के बिना प्रचारित हो सकता है ।

टेट्राहेड्रा की नियमित पैकिंग: पॉलीटॉप {3,3,5}

600-सेल: पॉलीटॉप {3,3,5}

बीस अनियमित टेट्राहेड्रा सामान्य शीर्ष के साथ इस तरह से पैक होते हैं कि बारह बाहरी कोने नियमित आईकोसाहेड्रॉन बनाते हैं। वास्तव में आइकोसैहेड्रॉन किनारे की लंबाई l परिधि त्रिज्या r (l ≈ 1.05r) से थोड़ी अधिक लंबी है। यदि अंतरिक्ष यूक्लिडियन नहीं है किन्तु गोलाकार है, तो नियमित टेट्राहेड्रा के साथ समाधान है। यह श्लाफली संकेतन का उपयोग करते हुए पॉलीटॉप {3,3,5} है, जिसे 600-सेल के रूप में भी जाना जाता है।

एक सौ बीस कोने हैं जो सभी हाइपरस्फीयर S³ से संबंधित हैं, जिनकी त्रिज्या सुनहरे अनुपात (φ =1 + √5/2) के समान है यदि किनारे इकाई लंबाई के हैं। छह सौ कोशिकाएं नियमित टेट्राहेड्रा हैं जिन्हें सामान्य किनारे के चारों ओर पाँच और सामान्य शीर्ष के चारों ओर बीस द्वारा समूहीकृत किया जाता है। इस संरचना को पॉलीटॉप कहा जाता है (कॉक्सेटर देखें) जो कि बहुभुज और पॉलीहेड्रा वाली श्रृंखला में उच्च आयाम में सामान्य नाम है। यह संरचना चार आयामों में सन्निहित होने पर भी त्रिविम (घुमावदार) बहुरूपी मानी गई है। यह बिंदु निम्नलिखित कारणों से वैचारिक रूप से महत्वपूर्ण है। घुमावदार स्थान में प्रस्तुत किए गए आदर्श मॉडल त्रि-आयामी घुमावदार टेम्पलेट हैं। वे स्थानीय रूप से तीन आयामी यूक्लिडियन मॉडल के रूप में दिखते हैं। तो, {3,3,5} पॉलीटॉप जो टेट्राहेड्रा द्वारा टाइलिंग है, बहुत ही सघन परमाणु संरचना प्रदान करता है यदि परमाणु इसके शीर्ष पर स्थित है इसलिए यह स्वाभाविक रूप से अनाकार धातुओं के लिए टेम्पलेट के रूप में उपयोग किया जाता है किन्तु किसी को यह नहीं भूलना चाहिए कि यह क्रमिक आदर्शों की मूल्य पर है।

साहित्य

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Coxeter, H. S. M. (1973). नियमित पॉलीटोप्स. Dover Publishing. ISBN 9780486614809.

संदर्भ

↑ The psychological side of this problem is treated in a different article, frustration
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[1] The psychological side of this problem is treated in a different article, frustration

[2] Vannimenus, J.; Toulouse, G. (1977). "हताशा प्रभाव का सिद्धांत। द्वितीय। ईज़िंग एक चौकोर जाली पर घूमता है". J. Phys. C. 10 (18): L537. Bibcode:1977JPhC...10L.537V. doi:10.1088/0022-3719/10/18/008.

[3] Toulouse, Gérard (1980). "The frustration model". In Pekalski, Andrzej; Przystawa, Jerzy (eds.). संघनित पदार्थ के सिद्धांत में आधुनिक रुझान. Lecture Notes in Physics. Vol. 115. Springer Berlin / Heidelberg. pp. 195–203. Bibcode:1980LNP...115..195T. doi:10.1007/BFb0120136. ISBN 978-3-540-09752-5.

[4] Wannier, G. H. (1950). "एंटीफेरोमैग्नेटिज्म। त्रिकोणीय आइसिंग नेट". Phys. Rev. 79 (2): 357–364. Bibcode:1950PhRv...79..357W. doi:10.1103/PhysRev.79.357.

[5] Yoshimori, A. (1959). "रूटाइल टाइप क्रिस्टल में एक नए प्रकार का एंटीफेरोमैग्नेटिक स्ट्रक्चर". J. Phys. Soc. Jpn. 14 (6): 807–821. Bibcode:1959JPSJ...14..807Y. doi:10.1143/JPSJ.14.807.

[6] Kaplan, T. A. (1961). "दुर्लभ-पृथ्वी धातुओं के अनुप्रयोग के साथ सर्पिल स्पिन-कॉन्फ़िगरेशन पर अनिसोट्रॉपी के कुछ प्रभाव". Phys. Rev. 124 (2): 329–339. Bibcode:1961PhRv..124..329K. doi:10.1103/PhysRev.124.329.

[7] Elliott, R. J. (1961). "हेवी रेयर-अर्थ मेटल्स में मैग्नेटिक ऑर्डरिंग की फेनोमेनोलॉजिकल चर्चा". Phys. Rev. 124 (2): 346–353. Bibcode:1961PhRv..124..346E. doi:10.1103/PhysRev.124.346.

[8] Sherrington, D.; Kirkpatrick, S. (1975). "स्पिन-ग्लास का हल करने योग्य मॉडल". Phys. Rev. Lett. 35 (26): 1792–1796. Bibcode:1975PhRvL..35.1792S. doi:10.1103/PhysRevLett.35.1792.

[9] Fisher, M. E.; Selke, W. (1980). "एक साधारण आइसिंग मॉडल में असीम रूप से कई अनुरूप चरण". Phys. Rev. Lett. 44 (23): 1502–1505. Bibcode:1980PhRvL..44.1502F. doi:10.1103/PhysRevLett.44.1502.

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[11] Debye, P. (1912). "Zur Theorie der spezifischen Wärmen" [On the theory of specific heats]. Ann. Phys. 344 (14): 789–839. Bibcode:1912AnP...344..789D. doi:10.1002/andp.19123441404.

[12] Pauling, Linus (1935). "परमाणु व्यवस्था की कुछ यादृच्छिकता के साथ बर्फ और अन्य क्रिस्टल की संरचना और एंट्रॉपी". J. Am. Chem. Soc. 57 (12): 2680–2684. doi:10.1021/ja01315a102.

[13] Villain, J. (1977). "गैर-यादृच्छिक इंटरैक्शन के साथ स्पिन ग्लास". J. Phys. C: Solid State Phys. 10 (10): 1717–1734. Bibcode:1977JPhC...10.1717V. doi:10.1088/0022-3719/10/10/014.

[14] Wang, R. F.; Nisoli, C.; Freitas, R. S.; Li, J.; McConville, W.; Cooley, B. J.; Lund, M. S.; Samarth, N.; Leighton, C.; Crespi, V. H.; Schiffer, P. (2006). "Artificial 'spin ice' in a geometrically frustrated lattice of nanoscale ferromagnetic islands" (PDF). Nature. 439 (7074): 303–6. arXiv:cond-mat/0601429. Bibcode:2006Natur.439..303W. doi:10.1038/nature04447. PMID 16421565. S2CID 1462022. Archived from the original (PDF) on August 23, 2017.

[15] Kohli, K. K.; Balk, Andrew L.; Li, Jie; Zhang, Sheng; Gilbert, Ian; Lammert, Paul E.; Crespi, Vincent H.; Schiffer, Peter; Samarth, Nitin (1804). "चौकोर कृत्रिम स्पिन बर्फ का मैग्नेटो-ऑप्टिकल केर प्रभाव अध्ययन". Physical Review B. 84 (18): 180412. arXiv:1106.1394. Bibcode:2011PhRvB..84r0412K. doi:10.1103/PhysRevB.84.180412. S2CID 119177920.

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-[[संघनित पदार्थ भौतिकी]] में, शब्द ज्यामितीय हताशा (या संक्षेप में: हताशा<ref>The psychological side of this problem is treated in a different article, [[frustration]]</ref>) एक ऐसी घटना को संदर्भित करता है जहां परमाणु गैर-तुच्छ स्थिति से चिपके रहते हैं या जहां, एक नियमित [[क्रिस्टल लैटिस]] पर, परस्पर विरोधी अंतर-परमाणु बल (प्रत्येक सरल, लेकिन विभिन्न संरचनाओं के पक्ष में) काफी जटिल संरचनाओं को जन्म देते हैं। ज्यामिति या बलों में हताशा के परिणामस्वरूप, अलग-अलग [[जमीनी राज्य|जमीनी राज्यों]] की बहुतायत शून्य तापमान पर हो सकती है, और उच्च तापमान पर सामान्य थर्मल ऑर्डरिंग को दबाया जा सकता है। बहुत से अध्ययन किए गए उदाहरण अनाकार सामग्री, चश्मा, या तनु चुम्बक हैं।
+[[संघनित पदार्थ भौतिकी]] में, '''ज्यामितीय नैराश्य''' (या संक्षेप में: नैराश्य <ref>The psychological side of this problem is treated in a different article, [[frustration]]</ref>) शब्द ऐसी घटना को संदर्भित करता है जहां परमाणु गैर-तुच्छ स्थितियों से चिपके रहते हैं या जहां नियमित [[क्रिस्टल लैटिस|क्रिस्टल जाली]] पर, परस्पर विरोधी अंतर-परमाणु बल (हर किंतु सरल, किन्तु अलग-अलग संरचनाओं का पक्ष लेता है) अधिक जटिल संरचनाओं की ओर ले जाता है। ज्यामिति या बलों में नैराश्य के परिणामस्वरूप अलग-अलग [[जमीनी राज्य|जमीनी राज्यों]] की बहुतायत शून्य तापमान पर हो सकती है, और उच्च तापमान पर सामान्य थर्मल क्रम को दबाया जा सकता है। बहुत से अध्ययन किए गए उदाहरण अनाकार सामग्रीचश्मा, या तनु चुम्बक हैं।
-[[चुंबक]]त्व प्रणालियों के संदर्भ में हताशा शब्द की शुरुआत 1977 में [[जेरार्ड टूलूज़]] द्वारा की गई थी।<ref>{{Cite journal|first1=J. |last1=Vannimenus|first2=G.|last2=Toulouse|title=हताशा प्रभाव का सिद्धांत। द्वितीय। ईज़िंग एक चौकोर जाली पर घूमता है|doi=10.1088/0022-3719/10/18/008|journal=J. Phys. C|volume=10|year=1977|pages=L537|issue=18|bibcode = 1977JPhC...10L.537V }}</ref><ref>{{cite book |last=Toulouse | first=Gérard |editor1-first=Andrzej| editor1-last=Pekalski |editor2-first=Jerzy| editor2-last=Przystawa |title=संघनित पदार्थ के सिद्धांत में आधुनिक रुझान|publisher=Springer Berlin / Heidelberg |year=1980 |series=Lecture Notes in Physics |volume=115 |pages=195–203 |chapter=The frustration model |isbn=978-3-540-09752-5 |doi=10.1007/BFb0120136 | bibcode=1980LNP...115..195T }}</ref> निराश चुंबकत्व प्रणालियों का पहले भी अध्ययन किया गया था। प्रारंभिक कार्य में ग्रेगरी वानियर द्वारा [[आइसिंग मॉडल]] का एक त्रिकोणीय जाली पर निकटतम-पड़ोसी [[स्पिन (भौतिकी)]] युग्मित [[एंटीफेरोमैग्नेटिज्म]] का अध्ययन शामिल है। एच. वानियर, 1950 में प्रकाशित।<ref>{{Cite journal|author-link=Gregory Wannier|last1=Wannier|first1=G. H.|title=एंटीफेरोमैग्नेटिज्म। त्रिकोणीय आइसिंग नेट|doi=10.1103/PhysRev.79.357|journal=Phys. Rev.|volume=79|year=1950|pages=357–364|issue=2|bibcode = 1950PhRv...79..357W }}</ref> संबंधित विशेषताएं प्रतिस्पर्धात्मक अंतःक्रियाओं के साथ चुम्बकों में होती हैं, जहां स्पिन (भौतिकी) या चुंबकीय क्षणों के जोड़े के बीच फेरोमैग्नेटिक और साथ ही एंटीफेरोमैग्नेटिक कपलिंग दोनों मौजूद होते हैं, स्पिन की पृथक्करण दूरी के आधार पर बातचीत के प्रकार के साथ। उस मामले में अनुरूपता (गणित), जैसे कि [[ helimagnetism | ह्लिमाग्नेतिस्म]] स्पिन व्यवस्था का परिणाम हो सकता है, जैसा कि मूल रूप से चर्चा की गई थी, विशेष रूप से, ए। योशिमोरी द्वारा,<ref>{{Cite journal|last1=Yoshimori|first1=A.|title=रूटाइल टाइप क्रिस्टल में एक नए प्रकार का एंटीफेरोमैग्नेटिक स्ट्रक्चर|doi=10.1143/JPSJ.14.807|journal=J. Phys. Soc. Jpn.|volume=14|year=1959|pages=807–821|issue=6|bibcode = 1959JPSJ...14..807Y }}</ref> टी ए कापलान,<ref>{{Cite journal|last1=Kaplan|first1=T. A.|title=दुर्लभ-पृथ्वी धातुओं के अनुप्रयोग के साथ सर्पिल स्पिन-कॉन्फ़िगरेशन पर अनिसोट्रॉपी के कुछ प्रभाव|doi=10.1103/PhysRev.124.329|journal=Phys. Rev.|volume=124|year=1961|pages=329–339|issue=2|bibcode = 1961PhRv..124..329K }}</ref> रोजर जेम्स इलियट या  आर. जे इलियट,<ref>{{Cite journal|author-link=Roger James Elliott|last=Elliott|first=R. J.|title=हेवी रेयर-अर्थ मेटल्स में मैग्नेटिक ऑर्डरिंग की फेनोमेनोलॉजिकल चर्चा|doi=10.1103/PhysRev.124.346|journal=Phys. Rev.|volume=124|issue=2|pages=346–353|year=1961|bibcode = 1961PhRv..124..346E }}</ref> और अन्य, दुर्लभ-पृथ्वी धातुओं पर प्रायोगिक निष्कर्षों का वर्णन करने के लिए, 1959 से शुरू हुए। लगभग दो दशक बाद, 1970 के दशक की शुरुआत में, [[स्पिन ग्लास]] और स्थानिक रूप से संशोधित चुंबकीय सुपरस्ट्रक्चर के संदर्भ में, कुंठित या प्रतिस्पर्धी बातचीत के साथ ऐसी स्पिन प्रणालियों में एक नए सिरे से दिलचस्पी पैदा हुई। स्पिन ग्लासेस में, अंतःक्रियाओं में [[ स्टोकेस्टिक ]] डिसऑर्डर द्वारा हताशा को बढ़ाया जाता है, जैसा कि [[रससमीकरणमितीय]] चुंबकीय [[मिश्र धातु]]ओं में प्रयोगात्मक रूप से हो सकता है। हताशा के साथ सावधानी से विश्लेषण किए गए स्पिन मॉडल में शमन विकार शामिल है। शेरिंगटन-किर्कपैट्रिक मॉडल,<ref>{{Cite journal|author1-link=David Sherrington|last1=Sherrington|first1=D.|author2-link= Scott Kirkpatrick|last2=Kirkpatrick|first2=S.|title=स्पिन-ग्लास का हल करने योग्य मॉडल|doi=10.1103/PhysRevLett.35.1792|journal=Phys. Rev. Lett.|volume=35|issue=26|pages=1792–1796|year=1975|bibcode = 1975PhRvL..35.1792S }}</ref> स्पिन ग्लास और अन्नी  मॉडल का वर्णन करते हुए,<ref>{{Cite journal|author1-link=Michael E. Fisher|last1=Fisher|first1=M. E.|author2-link=Walter Selke|last2=Selke|first2=W.|title=एक साधारण आइसिंग मॉडल में असीम रूप से कई अनुरूप चरण|doi=10.1103/PhysRevLett.44.1502|journal=Phys. Rev. Lett.|volume=44|issue=23|pages=1502–1505|year=1980|bibcode = 1980PhRvL..44.1502F }}</ref> आनुपातिकता (गणित) चुंबकीय अधिरचना का वर्णन करना। हाल ही में, तंत्रिका कनेक्शन के गैर-तुच्छ संयोजन की पहचान करने और मस्तिष्क के समायोज्य तत्वों को उजागर करने के लिए मस्तिष्क नेटवर्क विश्लेषण में हताशा की अवधारणा का उपयोग किया गया है।<ref name= https://doi.org/10.1162/netn_a_00268>{{cite journal | vauthors = Saberi M, Khosrowabadi R, Khatibi A, Misic B, Jafari G | title = कार्यात्मक मस्तिष्क नेटवर्क में हताशा गठन का पैटर्न| journal = Network Neuroscience | date = October 2022 | volume = 6 | issue = 4 | page = 1334-1356 | doi = 10.1162/netn_a_00268 | url = https://direct.mit.edu/netn/article/6/4/1334/112207/Pattern-of-frustration-formation-in-the-functional| doi-access = free }}</ref>
+नैराश्य शब्द [[चुंबक|चुंबकीय]] प्रणालियों के संदर्भ में 1977 में [[जेरार्ड टूलूज़]] द्वारा प्रस्तुत किया गया है। <ref>{{Cite journal|first1=J. |last1=Vannimenus|first2=G.|last2=Toulouse|title=हताशा प्रभाव का सिद्धांत। द्वितीय। ईज़िंग एक चौकोर जाली पर घूमता है|doi=10.1088/0022-3719/10/18/008|journal=J. Phys. C|volume=10|year=1977|pages=L537|issue=18|bibcode = 1977JPhC...10L.537V }}</ref><ref>{{cite book |last=Toulouse | first=Gérard |editor1-first=Andrzej| editor1-last=Pekalski |editor2-first=Jerzy| editor2-last=Przystawa |title=संघनित पदार्थ के सिद्धांत में आधुनिक रुझान|publisher=Springer Berlin / Heidelberg |year=1980 |series=Lecture Notes in Physics |volume=115 |pages=195–203 |chapter=The frustration model |isbn=978-3-540-09752-5 |doi=10.1007/BFb0120136 | bibcode=1980LNP...115..195T }}</ref> निराश चुंबकीय प्रणालियों का पहले भी अध्ययन किया गया था। प्रारंभिक कार्य में 1950 में प्रकाशित जी. एच. वन्नियर द्वारा निकटतम-निकटतम [[स्पिन (भौतिकी)]] के साथ त्रिकोणीय जाली पर [[आइसिंग मॉडल|ईज़िंग मॉडल]] का अध्ययन सम्मिलित है। <ref>{{Cite journal|author-link=Gregory Wannier|last1=Wannier|first1=G. H.|title=एंटीफेरोमैग्नेटिज्म। त्रिकोणीय आइसिंग नेट|doi=10.1103/PhysRev.79.357|journal=Phys. Rev.|volume=79|year=1950|pages=357–364|issue=2|bibcode = 1950PhRv...79..357W }}</ref> प्रतिस्पर्धी अंतःक्रियाओं वाले चुम्बकों में संबंधित विशेषताएँ पाई जाती हैं, जहाँ फेरोमैग्नेटिक के साथ-साथ [[एंटीफेरोमैग्नेटिज्म|एंटीफेरोमैग्नेटिक]] कपलिंग दोनों स्पिन या चुंबकीय क्षणों के जोड़े के बीच उपस्थित होते हैं, स्पिन की पृथक्करण दूरी के आधार पर इंटरैक्शन के प्रकार के साथ उस स्थितियों में अनुरूपता जैसे [[ helimagnetism |ह्लिमाग्नेतिस्म]] पेचदार स्पिन व्यवस्था का परिणाम हो सकता है जैसा कि मूल रूप से चर्चा की गई थी विशेष रूप से, ए योशिमोरी, <ref>{{Cite journal|last1=Yoshimori|first1=A.|title=रूटाइल टाइप क्रिस्टल में एक नए प्रकार का एंटीफेरोमैग्नेटिक स्ट्रक्चर|doi=10.1143/JPSJ.14.807|journal=J. Phys. Soc. Jpn.|volume=14|year=1959|pages=807–821|issue=6|bibcode = 1959JPSJ...14..807Y }}</ref> टीए कपलान, <ref>{{Cite journal|last1=Kaplan|first1=T. A.|title=दुर्लभ-पृथ्वी धातुओं के अनुप्रयोग के साथ सर्पिल स्पिन-कॉन्फ़िगरेशन पर अनिसोट्रॉपी के कुछ प्रभाव|doi=10.1103/PhysRev.124.329|journal=Phys. Rev.|volume=124|year=1961|pages=329–339|issue=2|bibcode = 1961PhRv..124..329K }}</ref> आरजे इलियट, <ref>{{Cite journal|author-link=Roger James Elliott|last=Elliott|first=R. J.|title=हेवी रेयर-अर्थ मेटल्स में मैग्नेटिक ऑर्डरिंग की फेनोमेनोलॉजिकल चर्चा|doi=10.1103/PhysRev.124.346|journal=Phys. Rev.|volume=124|issue=2|pages=346–353|year=1961|bibcode = 1961PhRv..124..346E }}</ref> और अन्य, 1959 से प्रारंभ होकर वर्णन करने के लिए दुर्लभ-पृथ्वी धातुओं पर प्रायोगिक निष्कर्ष लगभग दो दशक बाद, 1970 के दशक की प्रारंभ में, [[स्पिन ग्लास]] और स्थानिक रूप से संशोधित चुंबकीय सुपरस्ट्रक्चर के संदर्भ में, नैराश्य या प्रतिस्पर्धी पारस्परिक क्रिया के साथ ऐसी स्पिन प्रणालियों में नए सिरे से दिलचस्पी उत्पन्न हुई। स्पिन ग्लासेस में, अंतःक्रियाओं में [[ स्टोकेस्टिक |स्टोकेस्टिक]] डिसऑर्डर द्वारा नैराश्य को बढ़ाया जाता है, जैसा कि समीकरणमितीय चुंबकीय [[मिश्र धातु|मिश्र धातुओं]] में प्रयोगात्मक रूप से हो सकता है। नैराश्य के साथ सावधानी से विश्लेषण किए गए स्पिन मॉडल में शेरिंगटन-किर्कपैट्रिक मॉडल <ref>{{Cite journal|author1-link=David Sherrington|last1=Sherrington|first1=D.|author2-link= Scott Kirkpatrick|last2=Kirkpatrick|first2=S.|title=स्पिन-ग्लास का हल करने योग्य मॉडल|doi=10.1103/PhysRevLett.35.1792|journal=Phys. Rev. Lett.|volume=35|issue=26|pages=1792–1796|year=1975|bibcode = 1975PhRvL..35.1792S }}</ref> स्पिन ग्लास का वर्णन और अन्नी मॉडल, <ref>{{Cite journal|author1-link=Michael E. Fisher|last1=Fisher|first1=M. E.|author2-link=Walter Selke|last2=Selke|first2=W.|title=एक साधारण आइसिंग मॉडल में असीम रूप से कई अनुरूप चरण|doi=10.1103/PhysRevLett.44.1502|journal=Phys. Rev. Lett.|volume=44|issue=23|pages=1502–1505|year=1980|bibcode = 1980PhRvL..44.1502F }}</ref> आनुपातिकता चुंबकीय सुपरस्ट्रक्चर का वर्णन करना सम्मिलित है। वर्तमान में तंत्रिका कनेक्शन के गैर-तुच्छ संयोजन की पहचान करने और मस्तिष्क के समायोज्य तत्वों को उजागर करने के लिए मस्तिष्क नेटवर्क विश्लेषण में नैराश्य की अवधारणा का उपयोग किया गया है। <ref name="https://doi.org/10.1162/netn_a_00268">{{cite journal | vauthors = Saberi M, Khosrowabadi R, Khatibi A, Misic B, Jafari G | title = कार्यात्मक मस्तिष्क नेटवर्क में हताशा गठन का पैटर्न| journal = Network Neuroscience | date = October 2022 | volume = 6 | issue = 4 | page = 1334-1356 | doi = 10.1162/netn_a_00268 | url = https://direct.mit.edu/netn/article/6/4/1334/112207/Pattern-of-frustration-formation-in-the-functional| doi-access = free }}</ref>
-== चुंबकीय क्रम ==
+== चुंबकीय क्रम                                                                                                                                    ==
 {{Multiple image
   | align = right
@@ Line 11: / Line 11: @@
   | image1 = Triangular frustration.svg
   | alt1 =
-  | caption1 = '''Figure 1:''' Antiferromagnetically interacting spins in a triangular arrangement
+  | caption1 = '''चित्र 1:'''एक त्रिकोणीय व्यवस्था में एंटीफेरोमैग्नेटिकली इंटरैक्टिव स्पिन
   | image2 = frustratedtetrahedron.png
   | alt2 =
-  | caption2 = '''Figure 2:''' Antiferromagnetically interacting spins in a tetrahedral arrangement
+  | caption2 = '''चित्र 2:''' टेट्राहेड्रल व्यवस्था में एंटीफेरोमैग्नेटिकली इंटरैक्टिंग स्पिन
 }}
 {{Multiple image
@@ Line 22: / Line 22: @@
   | image1 = allinspintet.svg
   | alt1 =
-  | caption1 = '''Figure 3:''' Spins along the easy axes of a tetrahedron
+  | caption1 = '''चित्रा 3:'''चतुष्फलक की आसान अक्षों के साथ घूमता है
   | image2 = Spinice.png
   | alt2 =
-  | caption2 = '''Figure 4:''' Frustrated easy spins in a tetrahedron
+  | caption2 = '''चित्रा 4:''''चतुष्फलक में कुंठित आसान चक्कर
-}}
+}}चुंबकत्व में ज्यामितीय नैराश्य महत्वपूर्ण विशेषता है, जहां यह स्पिन (भौतिकी) की सापेक्ष व्यवस्था से उत्पन्न होती है। साधारण 2डी उदाहरण चित्र 1 में दिखाया गया है। तीन चुंबकीय आयन त्रिकोण के कोनों पर रहते हैं उनके बीच एंटीफेरोमैग्नेटिक इंटरैक्शन होते हैं; ऊर्जा कम हो जाती है जब प्रत्येक स्पिन निकटतम के विपरीत संरेखित होती है। जब पहले दो घुमाव एंटीपैरल समानांतर हो जाते हैं, तो तीसरा निराश हो जाता है क्योंकि इसके दो संभावित झुकाव ऊपर और नीचे, समान ऊर्जा देते हैं। तीसरा स्पिन साथ अन्य दो दोनों के साथ अपनी पारस्परिक क्रिया को कम नहीं कर सकता है। चूंकि यह प्रभाव प्रत्येक स्पिन के लिए होता है, जमीनी अवस्था छह गुना पतित होती है। केवल दो अवस्थाएँ जहाँ सभी चक्रण ऊपर या नीचे होते हैं उनमें अधिक ऊर्जा होती है।
-[[File:Frustrated magnetism.webm|thumb|ठोस पदार्थों में निराश चुंबकत्व]]चुंबकत्व में ज्यामितीय निराशा एक महत्वपूर्ण विशेषता है, जहां यह स्पिन (भौतिकी) के सापेक्ष व्यवस्था से उत्पन्न होती है। चित्रा 1 में एक सरल 2डी उदाहरण दिखाया गया है। तीन चुंबकीय आयन त्रिभुज के कोनों पर रहते हैं, उनके बीच एंटीफेरोमैग्नेटिज्म इंटरैक्शन होता है; ऊर्जा कम हो जाती है जब प्रत्येक स्पिन पड़ोसियों के विपरीत संरेखित होती है। एक बार जब पहले दो घुमाव एंटीपैरल समानांतर हो जाते हैं, तो तीसरा निराश हो जाता है क्योंकि इसके दो संभावित झुकाव, ऊपर और नीचे, समान ऊर्जा देते हैं। तीसरा स्पिन एक साथ अन्य दो दोनों के साथ अपनी बातचीत को कम नहीं कर सकता है। चूंकि यह प्रभाव प्रत्येक स्पिन के लिए होता है, जमीनी अवस्था छह गुना पतित ऊर्जा स्तर होती है। केवल दो अवस्थाएँ जहाँ सभी चक्रण ऊपर या नीचे होते हैं उनमें अधिक ऊर्जा होती है।
-इसी तरह तीन आयामों में, [[चतुर्पाश्वीय]] (चित्रा 2) में व्यवस्थित चार स्पिन ज्यामितीय निराशा का अनुभव कर सकते हैं। यदि स्पिनों के बीच एक एंटी[[ लौह-चुंबकीय ]] इंटरेक्शन है, तो स्पिन्स को व्यवस्थित करना संभव नहीं है ताकि स्पिन्स के बीच सभी इंटरैक्शन एंटीपैरल हों। छह निकटतम-पड़ोसी अंतःक्रियाएं हैं, जिनमें से चार समानांतर हैं और इस प्रकार अनुकूल हैं, लेकिन इनमें से दो (1 और 2 के बीच, और 3 और 4 के बीच) प्रतिकूल हैं। सभी अंतःक्रियाओं का अनुकूल होना असंभव है, और व्यवस्था कुंठित है।
+इसी तरह तीन आयामों में, [[चतुर्पाश्वीय]] (चित्रा 2) में व्यवस्थित चार स्पिन ज्यामितीय नैराश्य का अनुभव कर सकते हैं। यदि स्पिनों के बीच [[ लौह-चुंबकीय |लौह-चुंबकीय]] इंटरेक्शन है, तो स्पिन्स को व्यवस्थित करना संभव नहीं है जिससे स्पिन्स के बीच सभी इंटरैक्शन एंटीपैरल हों छह निकटतम-निकटतम अंतःक्रियाएं हैं, जिनमें से चार समानांतर हैं और इस प्रकार अनुकूल हैं, किन्तु इनमें से दो (1 और 2 के बीच, और 3 और 4 के बीच) प्रतिकूल हैं। सभी अंतःक्रियाओं का अनुकूल होना असंभव है और व्यवस्था नैराश्य है।
-यदि घुमावों को गैर-[[रेखा (ज्यामिति)]] तरीके से व्यवस्थित किया जाता है तो ज्यामितीय कुंठा भी संभव है। यदि हम आसान अक्ष के साथ इंगित करने वाले प्रत्येक शीर्ष पर स्पिन के साथ एक टेट्राहेड्रॉन पर विचार करते हैं (अर्थात, सीधे टेट्राहेड्रॉन के केंद्र की ओर या दूर), तो चार स्पिनों को व्यवस्थित करना संभव है ताकि कोई शुद्ध स्पिन न हो (चित्र) 3). यह स्पिन के प्रत्येक जोड़े के बीच एक एंटीफेरोमैग्नेटिक इंटरैक्शन होने के बराबर है, इसलिए इस मामले में कोई ज्यामितीय निराशा नहीं है। इन कुल्हाड़ियों के साथ, ज्यामितीय निराशा उत्पन्न होती है यदि पड़ोसियों के बीच फेरोमैग्नेटिक इंटरैक्शन होता है, जहां समानांतर स्पिन द्वारा ऊर्जा को कम किया जाता है। चित्र 4 में सर्वोत्तम संभव व्यवस्था दिखाई गई है, जिसमें दो घुमाव केंद्र की ओर और दो दूर की ओर इशारा करते हैं। शुद्ध चुंबकीय क्षण ऊपर की ओर इशारा करता है, इस दिशा में फेरोमैग्नेटिक इंटरैक्शन को अधिकतम करता है, लेकिन बाएं और दाएं वैक्टर रद्द हो जाते हैं (यानी एंटीफेरोमैग्नेटिक रूप से संरेखित होते हैं), जैसा कि आगे और पीछे होता है। तीन अलग-अलग समतुल्य व्यवस्थाएँ हैं जिनमें दो स्पिन बाहर और दो अंदर हैं, इसलिए जमीनी स्थिति तीन गुना पतित है।
+ज्यामितीय नैराश्य भी संभव है यदि घुमावों को गैर-[[रेखा (ज्यामिति)]] विधि से व्यवस्थित किया जाए। यदि हम आसान अक्ष के साथ इंगित करने वाले प्रत्येक शीर्ष पर स्पिन के साथ टेट्राहेड्रॉन पर विचार करते हैं (अर्थात सीधे टेट्राहेड्रॉन के केंद्र की ओर या दूर), तो चार स्पिनों को व्यवस्थित करना संभव है जिससे कोई शुद्ध स्पिन न हो (चित्र) 3). यह स्पिन के प्रत्येक जोड़े के बीच एंटीफेरोमैग्नेटिक इंटरैक्शन होने के समान है इसलिए इस स्थितियों में कोई ज्यामितीय नैराश्य नहीं है। इन अक्षो के साथ ज्यामितीय नैराश्य उत्पन्न होती है यदि निकटतम के बीच फेरोमैग्नेटिक इंटरैक्शन होता है जहां समानांतर स्पिन द्वारा ऊर्जा को कम किया जाता है। चित्र 4 में सर्वोत्तम संभव व्यवस्था दिखाई गई है, जिसमें दो घुमाव केंद्र की ओर और दो दूर की ओर संकेत करते हैं। शुद्ध चुंबकीय क्षण ऊपर की ओर संकेत करता है, इस दिशा में फेरोमैग्नेटिक इंटरैक्शन को अधिकतम करता है किन्तु बाएं और दाएं सदिश समाप्त हो जाते हैं (अर्थात एंटीफेरोमैग्नेटिक रूप से संरेखित होते हैं), जैसा कि आगे और पीछे होता है। तीन अलग-अलग समतुल्य व्यवस्थाएँ हैं जिनमें दो स्पिन बाहर और दो अंदर हैं इसलिए जमीनी स्थिति तीन गुना पतित है।
-== गणितीय परिभाषा ==
+== गणितीय परिभाषा                                                                                 ==
-गणितीय परिभाषा सरल है (और [[क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स]] में तथाकथित [[विल्सन लूप]] के अनुरूप): एक उदाहरण के रूप में अभिव्यक्तियों (कुल ऊर्जा या हैमिल्टनियन) पर विचार करता है
+गणितीय परिभाषा सरल है (और [[क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स]] में तथाकथित [[विल्सन लूप]] के अनुरूप): उदाहरण के लिए अभिव्यक्ति ("कुल ऊर्जा" या "हैमिल्टनियन") के रूप पर विचार करता है
 :<math>\mathcal H=\sum_G -I_{k_\nu , k_\mu}\,\,S_{k_\nu}\cdot S_{k_\mu}\,,</math>
-जहाँ G माना गया ग्राफ है, जबकि मात्राएँ {{nowrap|''I''<sub>''k<sub>ν</sub>'',''k<sub>μ</sub>''</sub>}} निकटतम-पड़ोसियों के बीच तथाकथित विनिमय ऊर्जा हैं, जो (माना जाता है कि ऊर्जा इकाइयों में) मान ±1 (गणितीय रूप से, यह एक [[हस्ताक्षरित ग्राफ]] है) मानते हैं, जबकि {{nowrap|''S''<sub>''k<sub>ν</sub>''</sub>·''S''<sub>''k<sub>μ</sub>''</sub>}} स्केलर या वेक्टरियल स्पिन या स्यूडो-स्पिन के आंतरिक उत्पाद हैं। यदि ग्राफ G में द्विघात या त्रिकोणीय चेहरे P हैं, तो तथाकथित पट्टिका चर P<sub>W</sub>, निम्न प्रकार के लूप-उत्पाद दिखाई देते हैं:
+जहाँ G माना गया ग्राफ है, जबकि मात्रा {{nowrap|''I''<sub>''k<sub>ν</sub>'',''k<sub>μ</sub>''</sub>}} निकटतम-निकटतम के बीच तथाकथित "विनिमय ऊर्जा" हैं, जो (ऊर्जा इकाइयों में माना जाता है) मान ±1 मानते हैं (गणितीय रूप से, यह [[हस्ताक्षरित ग्राफ]] है), जबकि {{nowrap|''S''<sub>''k<sub>ν</sub>''</sub>·''S''<sub>''k<sub>μ</sub>''</sub>}} स्केलर या वेक्टरियल स्पिन या स्यूडो-स्पिन के आंतरिक उत्पाद हैं। यदि ग्राफ G में द्विघात या त्रिकोणीय चेहरे P हैं, तो तथाकथित "पट्टिका चर" P<sub>W</sub>, निम्न प्रकार के "लूप-उत्पाद", प्रकट होते हैं:
 :<math>P_W=I_{1,2}\,I_{2,3}\,I_{3,4}\,I_{4,1}</math> और <math>P_W=I_{1,2}\,I_{2,3}\,I_{3,1}\,,</math> क्रमश,
-जिन्हें हताशा उत्पाद भी कहा जाता है। किसी को इन उत्पादों पर एक योग करना पड़ता है, सभी पट्टिकाओं पर अभिव्यक्त किया जाता है। एकल पट्टिका का परिणाम या तो +1 या -1 है। अंतिम-उल्लेखित मामले में पट्टिका ज्यामितीय रूप से निराश है।
+जिन्हें "नैराश्य उत्पाद" भी कहा जाता है। किसी को इन उत्पादों पर योग करना पड़ता है, सभी पट्टिकाओं पर अभिव्यक्त किया जाता है। एकल पट्टिका का परिणाम या तो +1 या -1 है। पिछले उल्लिखित स्थितियों में पट्टिका "ज्यामितीय रूप से निराश" है।
-यह दिखाया जा सकता है कि परिणाम में एक साधारण गेज का व्युत्क्रम है: यह नहीं बदलता है - न ही अन्य मापने योग्य मात्राएं, उदा। कुल ऊर्जा <math>\mathcal H</math> - भले ही स्थानीय रूप से एक्सचेंज इंटीग्रल और स्पिन एक साथ निम्नानुसार संशोधित किए गए हों:
+यह दिखाया जा सकता है कि परिणाम में साधारण गेज का व्युत्क्रम है: यह नहीं बदलता है – nor ही अन्य मापने योग्य मात्राएं, उदा। "कुल ऊर्जा" <math>\mathcal H</math> - तथापि स्थानीय रूप से रूपांतरण इंटीग्रल और स्पिन साथ निम्नानुसार संशोधित किए गए हों:
 :<math>I_{i,k}\to\varepsilon_i I_{i,k}\varepsilon_k ,\quad S_i\to\varepsilon_i S_i ,\quad S_k\to \varepsilon_k S_k\,.</math>
-यहाँ संख्या ε<sub>i</sub>और ई<sub>k</sub>मनमानी संकेत हैं, यानी +1 या -1, ताकि संशोधित संरचना पूरी तरह यादृच्छिक दिख सके।
+यहां संख्याएं ''ε<sub>i</sub>'' और ''ε<sub>k</sub>'' मनमाना संकेत हैं, अर्थात +1 या -1, जिससे संरचना पूरी तरह यादृच्छिक दिख सकता है ।
 == जल बर्फ ==
-[[Image:Water ice.png|frame|left|चित्र 5: जल बर्फ अणुओं की योजना]]हालांकि हताशा पर अधिकांश पिछले और वर्तमान शोध स्पिन सिस्टम पर केंद्रित हैं, [[बर्फ़]] घटना का अध्ययन पहले साधारण बर्फ में किया गया था। 1936 में जियाउक और स्टाउट ने द एंट्रॉपी ऑफ वॉटर एंड द थर्ड लॉ ऑफ थर्मोडायनामिक्स प्रकाशित किया। 15 K से 273 K तक बर्फ की ताप क्षमता, उच्च तापमान गैस चरण तक ठंड और वाष्पीकरण संक्रमण के माध्यम से पानी पर [[कैलोरीमीटर]] माप की रिपोर्ट करना। [[एन्ट्रापी]] की गणना ऊष्मा क्षमता को एकीकृत करके और अव्यक्त ताप योगदान को जोड़कर की गई थी; डेबी के हाल ही में व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग करते हुए, निम्न तापमान मापों को शून्य पर एक्सट्रपलेशन किया गया था।<ref>{{Cite journal|author-link=Peter Debye|last=Debye|first=P.|title=Zur Theorie der spezifischen Wärmen|trans-title=On the theory of specific heats|doi=10.1002/andp.19123441404|journal=Ann. Phys.|volume=344|issue=14|pages=789–839|year=1912|bibcode = 1912AnP...344..789D |url=https://zenodo.org/record/1424256}}</ref> परिणामी एन्ट्रॉपी, एस<sub>1</sub>= 44.28 cal/(K·mol) = 185.3 J/(mol·K) की तुलना एक आदर्श गैस, S के सांख्यिकीय यांत्रिकी के सैद्धांतिक परिणाम से की गई थी<sub>2</sub>= 45.10 cal/(K·mol) = 188.7 J/(mol·K). दो मान S से भिन्न हैं<sub>0</sub>= 0.82 ± 0.05 cal/(K·mol) = 3.4 J/(mol·K). इस परिणाम की व्याख्या [[लिनस पॉलिंग]] ने की थी<ref>{{Cite journal |last=Pauling |first=Linus |author-link=Linus Pauling |title=परमाणु व्यवस्था की कुछ यादृच्छिकता के साथ बर्फ और अन्य क्रिस्टल की संरचना और एंट्रॉपी|doi=10.1021/ja01315a102|journal=J. Am. Chem. Soc. |volume=57 |issue=12 |pages=2680–2684|year=1935}}</ref> एक उत्कृष्ट सन्निकटन के लिए, जिसने दिखाया कि बर्फ में प्रोटॉन के आंतरिक विन्यास संबंधी विकार के कारण शून्य तापमान पर बर्फ में परिमित एन्ट्रापी (अनुमानित 0.81 cal/(K·mol) या 3.4 J/(mol·K)) होती है।
+[[Image:Water ice.png|frame|left|चित्र 5: जल बर्फ अणुओं की योजना]]चूंकि नैराश्य पर अधिकांश पिछले और वर्तमान शोध स्पिन प्रणाली पर केंद्रित हैं इस घटना का अध्ययन पहले साधारण [[बर्फ़]] में किया गया था। 1936 में जियाउक और स्टाउट ने द एंट्रॉपी ऑफ वॉटर एंड द थर्ड लॉ ऑफ थर्मोडायनामिक्स प्रकाशित किया। 15 K से 273 K तक बर्फ की ताप क्षमता उच्च तापमान गैस चरण तक ठंड और वाष्पीकरण संक्रमण के माध्यम से पानी पर [[कैलोरीमीटर]] माप की सूची करना [[एन्ट्रापी]] की गणना ऊष्मा क्षमता को एकीकृत करके और अव्यक्त ताप योगदान को जोड़कर की गई थी; डेबी के वर्तमान में व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग करते हुए निम्न तापमान मापों को शून्य पर एक्सट्रपलेशन किया गया था। <ref>{{Cite journal|author-link=Peter Debye|last=Debye|first=P.|title=Zur Theorie der spezifischen Wärmen|trans-title=On the theory of specific heats|doi=10.1002/andp.19123441404|journal=Ann. Phys.|volume=344|issue=14|pages=789–839|year=1912|bibcode = 1912AnP...344..789D |url=https://zenodo.org/record/1424256}}</ref> परिणामी एन्ट्रापी, S<sub>1</sub> = 44.28 cal/(K·mol) = 185.3 J/(mol·K) की तुलना आदर्श गैस के सांख्यिकीय यांत्रिकी से सैद्धांतिक परिणाम से की गई, S<sub>2</sub> = 45.10 cal/(K·mol) = 188.7 J /(mol·K). दोनों मानों में S<sub>0</sub> = 0.82 ± 0.05 cal/(K·mol) = 3.4 J/(mol·K) का अंतर है। इसके बाद इस परिणाम को [[लिनस पॉलिंग]]<ref>{{Cite journal |last=Pauling |first=Linus |author-link=Linus Pauling |title=परमाणु व्यवस्था की कुछ यादृच्छिकता के साथ बर्फ और अन्य क्रिस्टल की संरचना और एंट्रॉपी|doi=10.1021/ja01315a102|journal=J. Am. Chem. Soc. |volume=57 |issue=12 |pages=2680–2684|year=1935}}</ref> ने उत्कृष्ट सन्निकटन के द्वारा समझाया जिसने दिखाया कि बर्फ में परिमित एन्ट्रापी (0.81 cal/(K·mol) या 3.4 J/(mol·K) के रूप में अनुमानित) शून्य तापमान पर होता है। बर्फ में प्रोटॉन के लिए आंतरिक विन्यास संबंधी विकार है।
-[[हेक्सागोनल]] या [[ घन क्रिस्टल प्रणाली ]] में आइस #फेज [[ऑक्सीजन]] आयन O–O बॉन्ड लंबाई 2.76 angstrom या  Å (276 [[ पीकोमीटर ]]) के साथ एक टेट्राहेड्रल संरचना बनाते हैं, जबकि O-H बॉन्ड की लंबाई केवल 0.96 Å (96 pm) मापती है। प्रत्येक ऑक्सीजन (श्वेत) आयन चार हाइड्रोजन आयनों (काले) से घिरा होता है और प्रत्येक हाइड्रोजन आयन 2 ऑक्सीजन आयनों से घिरा होता है, जैसा कि चित्र 5 में दिखाया गया है। आंतरिक एच को बनाए रखना<sub>2</sub>ओ अणु संरचना, एक प्रोटॉन की न्यूनतम ऊर्जा स्थिति दो आसन्न ऑक्सीजन आयनों के बीच आधी नहीं होती है। O-O बंध की रेखा पर एक हाइड्रोजन, दूर और निकट की स्थिति में दो समतुल्य स्थितियाँ हो सकती हैं। इस प्रकार एक नियम जमीनी स्थिति विन्यास के लिए प्रोटॉन की स्थिति की हताशा की ओर जाता है: प्रत्येक ऑक्सीजन के लिए पड़ोसी प्रोटॉन में से दो को दूर की स्थिति में और दो को निकट की स्थिति में रहना चाहिए, तथाकथित '[[बर्फ नियम]]'। पॉलिंग ने प्रस्तावित किया कि बर्फ की खुली चतुष्फलकीय संरचना बर्फ के नियमों को संतुष्ट करने वाले कई समतुल्य राज्य प्रदान करती है।
+[[हेक्सागोनल]] या [[ घन क्रिस्टल प्रणाली |घन क्रिस्टल प्रणाली]] आइस चरण में [[ऑक्सीजन]] आयन O-O बॉन्ड लंबाई 2.76 Å (276 [[ पीकोमीटर |पीकोमीटर]]) के साथ टेट्राहेड्रल संरचना बनाते हैं, जबकि O-H बॉन्ड की लंबाई केवल 0.96 Å (96 pm) होती है। प्रत्येक ऑक्सीजन (श्वेत) आयन चार हाइड्रोजन आयनों (काले) से घिरा होता है और प्रत्येक हाइड्रोजन आयन 2 ऑक्सीजन आयनों से घिरा होता है जैसा कि चित्र 5 में दिखाया गया है। आंतरिक H<sub>2</sub>O अणु संरचना को बनाए रखते हुए, प्रोटॉन की न्यूनतम ऊर्जा स्थिति आधी नहीं होती है- दो आसन्न ऑक्सीजन आयनों के बीच का रास्ता O-O बंध की रेखा पर हाइड्रोजन, दूर और निकट की स्थिति में दो समतुल्य स्थितियाँ हो सकती हैं। इस प्रकार नियम जमीनी स्थिति विन्यास के लिए प्रोटॉन की स्थिति की नैराश्य की ओर जाता है: प्रत्येक ऑक्सीजन के लिए निकटतम प्रोटॉन में से दो को दूर की स्थिति में और दो को निकट की स्थिति में रहना चाहिए तथाकथित '[[बर्फ नियम]]' पॉलिंग ने प्रस्तावित किया कि बर्फ की खुली चतुष्फलकीय संरचना बर्फ के नियमों को संतुष्ट करने वाले कई समतुल्य स्थिति प्रदान करती है।
-पॉलिंग ने निम्नलिखित तरीके से विन्यास एन्ट्रॉपी की गणना की: बर्फ के एक मोल पर विचार करें, जिसमें एनओ शामिल है<sup>2−</sup> और 2N प्रोटॉन। प्रत्येक ओ-ओ बंधन में प्रोटॉन के लिए दो स्थान होते हैं, जिसके कारण 2 होते हैं<sup>2N</sup> संभावित कॉन्फ़िगरेशन। हालांकि, प्रत्येक ऑक्सीजन से जुड़े 16 संभावित विन्यासों में से केवल 6 ऊर्जावान रूप से अनुकूल हैं, जो एच को बनाए रखते हैं<sub>2</sub>ओ अणु बाधा। फिर संख्याओं की एक ऊपरी सीमा जो जमीनी स्थिति ले सकती है, का अनुमान Ω < 2 के रूप में लगाया जाता है<sup>वह</too>({{sfrac|6|16}})<sup>एन</sup>. इसके अनुरूप विन्यास एन्ट्रॉपी एस<sub>0</sub>= के<sub>''B''</sub>एलएन (Ω) = एनके<sub>''B''</sub>एलएन ({{sfrac|3|2}}) = 0.81 cal/(K·mol) = 3.4 J/(mol·K) जियाउक और स्टाउट द्वारा मापी गई लापता एंट्रोपी के साथ अद्भुत समझौता है।
+पॉलिंग ने निम्नलिखित विधि से विन्यास एन्ट्रापी की गणना की: बर्फ के मोल पर विचार करें, जिसमें N O<sup>2</sup>− और 2N प्रोटॉन सम्मिलित हैं। प्रत्येक O–O बंधन में प्रोटॉन के लिए दो स्थान होते हैं, जिससे 2<sup>2N</sup> संभावित विन्यास हो सकते हैं। चूंकि , प्रत्येक ऑक्सीजन से जुड़े 16 संभावित विन्यासों में से केवल 6 ऊर्जावान रूप से अनुकूल हैं, जो H<sub>2</sub>O अणु बाधा को बनाए रखते हैं। फिर जमीन की स्थिति ले सकने वाली संख्याओं की ऊपरी सीमा का अनुमान Ω < 2<sup>2N</sup>({{sfrac|6|16}})<sup>N के रूप में लगाया जाता है। इसके अनुरूप विन्यास एन्ट्रापी ''S''<sub>0</sub> = ''k<sub>B</sub>''ln(''Ω'') = ''Nk<sub>B</sub>''ln({{sfrac|3|2}})= 0.81 cal/(K·mol) = 3.4 J/(mol·K) जियाउक और स्टाउट द्वारा मापी गई लापता एंट्रॉपी के साथ अद्भुत समझौते में है।
-हालांकि पॉलिंग की गणना ने प्रोटॉन की संख्या पर वैश्विक बाधा और वर्ट्ज़ाइट जाली पर बंद लूप से उत्पन्न होने वाली स्थानीय बाधा दोनों की उपेक्षा की, बाद में अनुमान को उत्कृष्ट सटीकता के रूप में दिखाया गया।
+चूंकि पॉलिंग की गणना ने प्रोटॉन की संख्या पर वैश्विक बाधा और वर्ट्ज़ाइट जाली पर बंद लूप से उत्पन्न होने वाली स्थानीय बाधा दोनों की उपेक्षा की बाद में अनुमान को उत्कृष्ट त्रुटिहीन के रूप में दिखाया गया।
 == स्पिन आइस ==
-[[Image:SpinIce.svg|frame|right|चित्रा 6: स्पिन आइस अणुओं की योजना]]स्पिन आइस में पानी की बर्फ में गिरावट के लिए गणितीय रूप से समान स्थिति पाई जाती है। चार कोनों में से प्रत्येक पर एक चुंबकीय परमाणु या आयन के साथ क्यूबिक पाइरोक्लोर संरचना में चित्र 6 में एक सामान्य [[स्पिन बर्फ]] संरचना दिखाई गई है। सामग्री में मजबूत [[क्रिस्टल क्षेत्र सिद्धांत]] के कारण, प्रत्येक चुंबकीय आयनों को एक बड़े पल के साथ एक आइसिंग ग्राउंड स्टेट डबल द्वारा दर्शाया जा सकता है। यह कोने-शेयरिंग टेट्राहेड्रल जाली पर रहने वाले ईज़िंग स्पिन की एक तस्वीर का सुझाव देता है, जो स्थानीय परिमाणीकरण अक्ष, मिलर इंडेक्स के साथ तय होता है। ऊर्जा को न्यूनतम करने के लिए प्रत्येक चतुष्फलकीय कोशिका में दो घुमाव अंदर की ओर और दो बाहर की ओर होने चाहिए। वर्तमान में स्पिन आइस मॉडल को लगभग वास्तविक सामग्रियों द्वारा महसूस किया गया है, विशेष रूप से दुर्लभ पृथ्वी पाइरोक्लोरस होल्मियम टाइटेनेट  या   हो<sub>2</sub>का<sub>2</sub>O<sub>7</sub>, डिस्प्रोसियम टाइटेनैट या  उप<sub>2</sub>का<sub>2</sub>O<sub>7</sub>, और होल्मियम स्टैनेट  या   हो<sub>2</sub>एस.एन.<sub>2</sub>O<sub>7</sub>. ये सभी सामग्रियां कम तापमान पर गैर-शून्य अवशिष्ट एन्ट्रॉपी दिखाती हैं।
+[[Image:SpinIce.svg|frame|right|चित्रा 6: स्पिन आइस अणुओं की योजना]]स्पिन आइस में पानी की बर्फ में गिरावट के लिए गणितीय रूप से समान स्थिति पाई जाती है। चार कोनों में से प्रत्येक पर चुंबकीय परमाणु या आयन के साथ क्यूबिक पाइरोक्लोर संरचना में चित्र 6 में सामान्य [[स्पिन बर्फ]] संरचना दिखाई गई है। पदार्थ में शक्तिशाली [[क्रिस्टल क्षेत्र सिद्धांत]] के कारण प्रत्येक चुंबकीय आयनों को बड़े पल के साथ आइसिंग ग्राउंड स्टेट डबल द्वारा दर्शाया जा सकता है। यह कोने-शेयरिंग टेट्राहेड्रल जाली पर रहने वाले ईज़िंग स्पिन की तस्वीर का सुझाव देता है, जो स्थानीय परिमाणीकरण अक्ष, <111> घन अक्षों के साथ तय किए गए स्पिन के साथ होता है, जो प्रत्येक टेट्राहेड्रल वर्टेक्स को केंद्र से जोड़ने वाली रेखाओं के साथ मेल खाता है। ऊर्जा को न्यूनतम करने के लिए प्रत्येक चतुष्फलकीय कोशिका में दो घुमाव अंदर की ओर और दो बाहर की ओर होने चाहिए। वर्तमान में स्पिन आइस मॉडल को लगभग वास्तविक सामग्रियों द्वारा अनुभूत किया गया है, विशेष रूप से दुर्लभ पृथ्वी पाइरोक्लोरेस Ho<sub>2</sub>Ti<sub>2</sub>O<sub>7</sub>, Dy<sub>2</sub>Ti<sub>2</sub>O<sub>7</sub>, और Ho<sub>2</sub>Sn<sub>2</sub>O<sub>7</sub> ये सभी सामग्रियां कम तापमान पर गैर-शून्य अवशिष्ट एन्ट्रॉपी दिखाती हैं।
 == पॉलिंग के मॉडल का विस्तार: सामान्य हताशा ==
-स्पिन आइस मॉडल कुंठित प्रणालियों का केवल एक उपखंड है। हताशा शब्द को शुरू में एक प्रणाली की अक्षमता का वर्णन करने के लिए पेश किया गया था ताकि इसके घटकों के बीच प्रतिस्पर्धी अंतःक्रियात्मक ऊर्जा को एक साथ कम किया जा सके। सामान्य रूप से हताशा या तो साइट विकार के कारण प्रतिस्पर्धात्मक अंतःक्रियाओं के कारण होती है (खलनायक मॉडल भी देखें<ref>{{Cite journal|author-link=Jacques Villain|last=Villain|first=J.|title=गैर-यादृच्छिक इंटरैक्शन के साथ स्पिन ग्लास|doi=10.1088/0022-3719/10/10/014|journal=J. Phys. C: Solid State Phys.|volume=10|issue=10|pages=1717–1734|year=1977|bibcode = 1977JPhC...10.1717V }}</ref>) या [[त्रिकोणीय टाइलिंग]], क्यूबिक क्रिस्टल सिस्टम  या   फेस-सेंटर्ड क्यूबिक (एफसीसी), [[ हेक्सागोनल (क्रिस्टल प्रणाली) ]]  या   हेक्सागोनल-क्लोज-पैक्ड, टेट्राहेड्रॉन, [[pyrochlor|पायरोक्लोर]] और [[कगोम जाली]] जैसे एंटीफेरोमैग्नेटिक इंटरैक्शन के रूप में जाली संरचना द्वारा। तो हताशा को दो श्रेणियों में बांटा गया है: पहला स्पिन ग्लास से मेल खाता है, जिसमें संरचना में विकार और स्पिन में निराशा दोनों हैं; दूसरा आदेशित जाली संरचना और स्पिन की हताशा के साथ ज्यामितीय निराशा है। स्पिन ग्लास की हताशा को [[आरकेकेवाई]] मॉडल के ढांचे के भीतर समझा जाता है, जिसमें इंटरेक्शन प्रॉपर्टी, या तो फेरोमैग्नेटिक या एंटी-फेरोमैग्नेटिक, दो चुंबकीय आयनों की दूरी पर निर्भर होती है। स्पिन ग्लास में जाली विकार के कारण, एक स्पिन ऑफ इंटरेस्ट और उसके निकटतम पड़ोसी अलग-अलग दूरी पर हो सकते हैं और एक अलग इंटरैक्शन प्रॉपर्टी हो सकती है, जो इस प्रकार स्पिन के अलग-अलग पसंदीदा संरेखण की ओर ले जाती है।
+स्पिन आइस मॉडल नैराश्य प्रणालियों का केवल उपखंड है। नैराश्य शब्द को प्रारंभ में प्रणाली की अक्षमता का वर्णन करने के लिए प्रस्तुत किया गया था जिससे इसके घटकों के बीच प्रतिस्पर्धी अंतःक्रियात्मक ऊर्जा को साथ कम किया जा सकता है। सामान्य रूप से नैराश्य या तो साइट विकार के कारण प्रतिस्पर्धात्मक अंतःक्रियाओं के कारण होती है (खलनायक मॉडल भी देखें<ref>{{Cite journal|author-link=Jacques Villain|last=Villain|first=J.|title=गैर-यादृच्छिक इंटरैक्शन के साथ स्पिन ग्लास|doi=10.1088/0022-3719/10/10/014|journal=J. Phys. C: Solid State Phys.|volume=10|issue=10|pages=1717–1734|year=1977|bibcode = 1977JPhC...10.1717V }}</ref>) या [[त्रिकोणीय टाइलिंग]], क्यूबिक क्रिस्टल प्रणाली या फेस-सेंटर्ड क्यूबिक (एफसीसी), [[ हेक्सागोनल (क्रिस्टल प्रणाली) |हेक्सागोनल (क्रिस्टल प्रणाली)]] या   हेक्सागोनल-क्लोज-पैक्ड, टेट्राहेड्रॉन, [[pyrochlor|पायरोक्लोर]] और [[कगोम जाली]] जैसे एंटीफेरोमैग्नेटिक इंटरैक्शन के रूप में जाली संरचना द्वारा तो नैराश्य को दो श्रेणियों में बांटा गया है: पहला स्पिन ग्लास से मेल खाता है जिसमें संरचना में विकार और स्पिन में नैराश्य दोनों हैं; दूसरा आदेशित जाली संरचना और स्पिन की नैराश्य के साथ ज्यामितीय नैराश्य है। स्पिन ग्लास की नैराश्य को [[आरकेकेवाई]] मॉडल के रूपरेखा के अंदर समझा जाता है, जिसमें इंटरेक्शन प्रॉपर्टी, या तो फेरोमैग्नेटिक या एंटी-फेरोमैग्नेटिक, दो चुंबकीय आयनों की दूरी पर निर्भर होती है। स्पिन ग्लास में जाली विकार के कारण स्पिन ऑफ इंटरेस्ट और उसके निकटतम निकटतम अलग-अलग दूरी पर हो सकते हैं और अलग इंटरैक्शन गुण हो सकती है, जो इस प्रकार स्पिन के अलग-अलग पसंदीदा संरेखण की ओर ले जाती है।
 == कृत्रिम ज्यामितीय रूप से निराश फेरोमैग्नेट्स ==
-लिथोग्राफी तकनीकों की मदद से, उप-माइक्रोमीटर आकार के चुंबकीय द्वीपों का निर्माण करना संभव है, जिनकी ज्यामितीय व्यवस्था प्राकृतिक रूप से होने वाली स्पिन बर्फ सामग्री में पाई जाने वाली हताशा को पुन: उत्पन्न करती है। हाल ही में आरएफ वांग एट अल। की सूचना दी<ref>{{cite journal
+लिथोग्राफी तकनीकों की सहायता से, उप-माइक्रोमीटर आकार के चुंबकीय द्वीपों का निर्माण करना संभव है, जिनकी ज्यामितीय व्यवस्था प्राकृतिक रूप से होने वाली स्पिन बर्फ पदार्थ में पाई जाने वाली नैराश्य को पुन: उत्पन्न करती है। वर्तमान में आरएफ वांग एट अल की सूचना दी थी <ref>{{cite journal
   | last1 = Wang
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@@ Line 80: / Line 76: @@
   | doi = 10.1038/nature04447
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-  }}</ref> लिथोग्राफिक रूप से गढ़े गए एकल-डोमेन फेरोमैग्नेटिक द्वीपों की सरणियों से बना एक कृत्रिम ज्यामितीय रूप से कुंठित चुंबक की खोज। इन द्वीपों को मैन्युअल रूप से स्पिन आइस के लिए द्वि-आयामी एनालॉग बनाने के लिए व्यवस्थित किया गया है। आदेशित 'स्पिन' द्वीपों के चुंबकीय क्षणों को [[चुंबकीय बल माइक्रोस्कोप]]  या   चुंबकीय बल माइक्रोस्कोपी (एमएफएम) के साथ चित्रित किया गया था और फिर हताशा के स्थानीय आवास का गहन अध्ययन किया गया था। कुंठित चुम्बकों के एक चौकोर जाली पर अपने पिछले काम में, उन्होंने बर्फ की तरह छोटी दूरी के सहसंबंधों और लंबी दूरी के सहसंबंधों की अनुपस्थिति का अवलोकन किया, ठीक उसी तरह जैसे कम तापमान पर स्पिन बर्फ में होता है। ये परिणाम अज्ञात आधार को मजबूत करते हैं जिस पर इन कृत्रिम ज्यामितीय रूप से कुंठित चुम्बकों द्वारा हताशा के वास्तविक भौतिकी की कल्पना और प्रतिरूपण किया जा सकता है, और आगे की शोध गतिविधि को प्रेरित करता है।
+  }}</ref> लिथोग्राफिक रूप से गढ़े गए एकल-डोमेन फेरोमैग्नेटिक द्वीपों की सरणियों से बना कृत्रिम ज्यामितीय रूप से नैराश्य चुंबक की खोज कि जाती है । इन द्वीपों को मैन्युअल रूप से स्पिन आइस के लिए द्वि-आयामी एनालॉग बनाने के लिए व्यवस्थित किया गया है। आदेशित 'स्पिन' द्वीपों के चुंबकीय क्षणों को [[चुंबकीय बल माइक्रोस्कोप]] या   चुंबकीय बल माइक्रोस्कोपी (एमएफएम) के साथ चित्रित किया गया था और फिर नैराश्य के स्थानीय आवास का गहन अध्ययन किया गया था। नैराश्य चुम्बकों के चौकोर जाली पर अपने पिछले काम में उन्होंने बर्फ की तरह छोटी दूरी के सहसंबंधों और लंबी दूरी के सहसंबंधों की अनुपस्थिति का अवलोकन किया ठीक उसी तरह जैसे कम तापमान पर स्पिन बर्फ में होता है। ये परिणाम अज्ञात आधार को शक्तिशाली करते हैं जिस पर इन कृत्रिम ज्यामितीय रूप से नैराश्य चुम्बकों द्वारा नैराश्य के वास्तविक भौतिकी की कल्पना और प्रतिरूपण किया जा सकता है, और आगे की शोध गतिविधि को प्रेरित करता है।
-मैग्नेटो-ऑप्टिकल केर इफेक्ट का उपयोग करके बाहरी क्षेत्र में अपनी वैश्विक प्रतिक्रिया का अध्ययन करते समय ये कृत्रिम रूप से निराश फेरोमैग्नेट्स अद्वितीय चुंबकीय गुणों का प्रदर्शन कर सकते हैं।<ref>{{Cite journal|last1=Kohli|first1=K. K.|last2=Balk|first2=Andrew L.|last3=Li|first3=Jie|last4=Zhang|first4=Sheng|last5=Gilbert|first5=Ian|last6=Lammert|first6=Paul E.|last7=Crespi|first7=Vincent H.|last8=Schiffer|first8=Peter|last9=Samarth|first9=Nitin|year=1804|title=चौकोर कृत्रिम स्पिन बर्फ का मैग्नेटो-ऑप्टिकल केर प्रभाव अध्ययन|journal=Physical Review B|volume=84|issue=18|pages=180412|doi=10.1103/PhysRevB.84.180412|arxiv = 1106.1394 |bibcode = 2011PhRvB..84r0412K |s2cid=119177920}}</ref> विशेष रूप से, कृत्रिम स्पिन बर्फ प्रणाली में विकार से संबंधित वर्ग जाली ज़बरदस्ती की एक गैर-मोनोटोनिक कोणीय निर्भरता पाई जाती है।
+मैग्नेटो-ऑप्टिकल केर इफेक्ट का उपयोग करके बाहरी क्षेत्र में अपनी वैश्विक प्रतिक्रिया का अध्ययन करते समय ये कृत्रिम रूप से निराश फेरोमैग्नेट्स अद्वितीय चुंबकीय गुणों का प्रदर्शन कर सकते हैं।<ref>{{Cite journal|last1=Kohli|first1=K. K.|last2=Balk|first2=Andrew L.|last3=Li|first3=Jie|last4=Zhang|first4=Sheng|last5=Gilbert|first5=Ian|last6=Lammert|first6=Paul E.|last7=Crespi|first7=Vincent H.|last8=Schiffer|first8=Peter|last9=Samarth|first9=Nitin|year=1804|title=चौकोर कृत्रिम स्पिन बर्फ का मैग्नेटो-ऑप्टिकल केर प्रभाव अध्ययन|journal=Physical Review B|volume=84|issue=18|pages=180412|doi=10.1103/PhysRevB.84.180412|arxiv = 1106.1394 |bibcode = 2011PhRvB..84r0412K |s2cid=119177920}}</ref> विशेष रूप से कृत्रिम स्पिन बर्फ प्रणाली में विकार से संबंधित वर्ग जाली प्रभाव की गैर-मोनोटोनिक कोणीय निर्भरता पाई जाती है।
-== जाली के बिना ज्यामितीय निराशा ==
+== जाली के बिना ज्यामितीय नैराश्य ==
-एक अन्य प्रकार की ज्यामितीय हताशा एक स्थानीय क्रम के प्रसार से उत्पन्न होती है। संघनित पदार्थ भौतिक विज्ञानी जिस मुख्य प्रश्न का सामना करता है, वह ठोस की स्थिरता की व्याख्या करना है।
+अन्य प्रकार की ज्यामितीय नैराश्य स्थानीय क्रम के प्रसार से उत्पन्न होती है। संघनित पदार्थ भौतिक विज्ञानी जिस मुख्य प्रश्न का सामना करता है, वह ठोस की स्थिरता की व्याख्या करना है।
-रासायनिक प्रकृति के कुछ स्थानीय नियमों को स्थापित करना कभी-कभी संभव होता है, जो कम ऊर्जा विन्यास की ओर ले जाते हैं और इसलिए संरचनात्मक और रासायनिक क्रम को नियंत्रित करते हैं। यह आम तौर पर मामला नहीं है और अक्सर स्थानीय बातचीत द्वारा परिभाषित स्थानीय क्रम स्वतंत्र रूप से प्रचार नहीं कर सकता है, जिससे ज्यामितीय निराशा होती है। इन सभी प्रणालियों की एक सामान्य विशेषता यह है कि, सरल स्थानीय नियमों के साथ भी, वे अक्सर जटिल, संरचनात्मक अहसासों का एक बड़ा समूह प्रस्तुत करते हैं। ज्यामितीय हताशा संघनित पदार्थ के क्षेत्रों में एक भूमिका निभाती है, जिसमें गुच्छों और अनाकार ठोस से लेकर जटिल तरल पदार्थ होते हैं।
+रासायनिक प्रकृति के कुछ स्थानीय नियमों को स्थापित करना कभी-कभी संभव होता है, जो कम ऊर्जा विन्यास की ओर ले जाते हैं और इसलिए संरचनात्मक और रासायनिक क्रम को नियंत्रित करते हैं। यह सामान्यतः स्थिति नहीं है और अधिकांशतः स्थानीय पारस्परिक क्रिया द्वारा परिभाषित स्थानीय क्रम स्वतंत्र रूप से प्रचार नहीं कर सकता है, जिससे ज्यामितीय नैराश्य होती है। इन सभी प्रणालियों की सामान्य विशेषता यह है कि सरल स्थानीय नियमों के साथ भी वे अधिकांशतः जटिल, संरचनात्मक अनिभावो का बड़ा समूह प्रस्तुत करते हैं। ज्यामितीय नैराश्य संघनित पदार्थ के क्षेत्रों में भूमिका निभाती है, जिसमें गुच्छों और अनाकार ठोस से लेकर जटिल तरल पदार्थ होते हैं।
-इन जटिलताओं को हल करने के लिए दृष्टिकोण की सामान्य विधि दो चरणों का अनुसरण करती है। सबसे पहले, अंतरिक्ष वक्रता की अनुमति देकर सही स्थान भरने की बाधा को आराम दिया जाता है। इस घुमावदार स्थान में एक आदर्श, निराश्रित, संरचना परिभाषित की गई है। फिर, इस आदर्श टेम्पलेट को तीन आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एम्बेड करने के लिए विशिष्ट विकृतियों को लागू किया जाता है। अंतिम संरचना आदेशित क्षेत्रों का मिश्रण है, जहां स्थानीय क्रम टेम्पलेट के समान है, और एम्बेडिंग से उत्पन्न होने वाले दोष हैं। संभावित दोषों में, झुकाव एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।
+इन जटिलताओं को हल करने के लिए दृष्टिकोण की सामान्य विधि दो चरणों का अनुसरण करती है। सबसे पहले अंतरिक्ष वक्रता की अनुमति देकर सही स्थान भरने की बाधा को विश्राम दिया जाता है। इस घुमावदार स्थान में आदर्श, निराश्रित, संरचना परिभाषित की गई है। फिर इस आदर्श टेम्पलेट को तीन आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एम्बेड करने के लिए विशिष्ट विकृतियों को प्रयुक्त किया जाता है। अंतिम संरचना आदेशित क्षेत्रों का मिश्रण है, जहां स्थानीय क्रम टेम्पलेट के समान है, और एम्बेडिंग से उत्पन्न होने वाले दोष हैं। संभावित दोषों में, झुकाव महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।
-[[Image:frustrationPentagons.jpg|thumb|पेंटागनों द्वारा एक तल की टाइलिंग असंभव है, लेकिन एक गोले पर पेंटागोनल डोडेकाहेड्रॉन के रूप में महसूस किया जा सकता है जैसा कि क्वासिक क्रिस्टल में दिखाया गया है]]
+[[Image:frustrationPentagons.jpg|thumb|पेंटागनों द्वारा तल की टाइलिंग असंभव है, किन्तु गोले पर पेंटागोनल डोडेकाहेड्रॉन के रूप में अनुभूत किया जा सकता है जैसा कि क्वासिक क्रिस्टल में दिखाया गया है]]
 === सरल द्वि-आयामी उदाहरण ===
-बड़े पैमाने पर स्थानीय नियमों और ज्यामिति के बीच प्रतिस्पर्धा की उत्पत्ति के बारे में कुछ समझने के लिए द्वि-आयामी उदाहरण सहायक होते हैं। पहले एक समतल पर समान डिस्क (एक काल्पनिक द्वि-आयामी धातु के लिए एक मॉडल) की व्यवस्था पर विचार करें; हम मानते हैं कि डिस्क के बीच की बातचीत आइसोट्रोपिक है और स्थानीय रूप से डिस्क को यथासंभव सघन तरीके से व्यवस्थित करने की प्रवृत्ति है। तीन डिस्क के लिए सबसे अच्छी व्यवस्था त्रिभुज के कोने पर स्थित डिस्क केंद्रों के साथ एक समबाहु त्रिभुज है। लंबी दूरी की संरचना का अध्ययन इसलिए समबाहु त्रिभुजों के साथ समतल टाइलिंग के अध्ययन के लिए कम किया जा सकता है। स्थानीय और वैश्विक नियमों के बीच कुल अनुकूलता के साथ त्रिकोणीय टाइलिंग द्वारा एक प्रसिद्ध समाधान प्रदान किया जाता है: प्रणाली को अप्रतिबंधित कहा जाता है।
+बड़े मापदंड पर स्थानीय नियमों और ज्यामिति के बीच प्रतिस्पर्धा की उत्पत्ति के बारे में कुछ समझने के लिए द्वि-आयामी उदाहरण सहायक होते हैं। पहले समतल पर समान डिस्क ( काल्पनिक द्वि-आयामी धातु के लिए मॉडल) की व्यवस्था पर विचार करें; हम मानते हैं कि डिस्क के बीच की पारस्परिक क्रिया आइसोट्रोपिक है और स्थानीय रूप से डिस्क को यथासंभव सघन विधि से व्यवस्थित करने की प्रवृत्ति है। तीन डिस्क के लिए सबसे अच्छी व्यवस्था त्रिभुज के कोने पर स्थित डिस्क केंद्रों के साथ समबाहु त्रिभुज है। लंबी दूरी की संरचना का अध्ययन इसलिए समबाहु त्रिभुजों के साथ समतल टाइलिंग के अध्ययन के लिए कम किया जा सकता है। स्थानीय और वैश्विक नियमों के बीच कुल अनुकूलता के साथ त्रिकोणीय टाइलिंग द्वारा प्रसिद्ध समाधान प्रदान किया जाता है: प्रणाली को अप्रतिबंधित कहा जाता है।
-लेकिन अब, अंतःक्रियात्मक ऊर्जा को न्यूनतम माना जाता है जब परमाणु एक नियमित [[ पंचकोण ]] के शीर्ष पर बैठते हैं। किनारों (परमाणु बांड) और कोने (परमाणु) को साझा करने वाले इन पेंटागनों की पैकिंग को लंबी दूरी तक फैलाने की कोशिश करना असंभव है। यह नियमित पेंटागन के साथ एक विमान को खपरैल करने की असंभवता के कारण है, सिर्फ इसलिए कि पेंटागन वर्टेक्स कोण 2 को विभाजित नहीं करता है{{pi}}. ऐसे तीन पंचभुज एक सामान्य शीर्ष पर आसानी से समा सकते हैं, लेकिन दो किनारों के बीच एक अंतर बना रहता है। यह इस प्रकार की विसंगति है जिसे ज्यामितीय निराशा कहा जाता है। इस कठिनाई को दूर करने का एक तरीका है। टाइल की जाने वाली सतह को किसी भी अनुमानित टोपोलॉजी से मुक्त होने दें, और आइए हम स्थानीय अंतःक्रिया नियम के सख्त अनुप्रयोग के साथ टाइलिंग का निर्माण करें। इस सरल उदाहरण में, हम देखते हैं कि सतह एक गोले की टोपोलॉजी को विरासत में लेती है और इसलिए एक वक्रता प्राप्त करती है। अंतिम संरचना, यहाँ एक पंचकोणीय द्वादशफलक, पंचकोणीय क्रम के एक पूर्ण प्रसार के लिए अनुमति देता है। इसे विचारित संरचना के लिए एक आदर्श (दोष-मुक्त) मॉडल कहा जाता है।
+किन्तु अब अंतःक्रियात्मक ऊर्जा को न्यूनतम माना जाता है जब परमाणु नियमित [[ पंचकोण |पंचकोण]] के शीर्ष पर बैठते हैं। किनारों (परमाणु बांड) और कोने (परमाणु) को साझा करने वाले इन पेंटागनों की पैकिंग को लंबी दूरी तक फैलाने की प्रयाश करना असंभव है। यह नियमित पेंटागन के साथ विमान को टाइलिंग करने की असंभवता के कारण है सिर्फ इसलिए कि पेंटागन वर्टेक्स कोण 2{{pi}} को विभाजित नहीं करता है। ऐसे तीन पंचभुज सामान्य शीर्ष पर आसानी से समा सकते हैं किन्तु दो किनारों के बीच अंतर बना रहता है। यह इस तरह की विसंगति है जिसे "ज्यामितीय नैराश्य" कहा जाता है। इस कठिनाई को दूर करने का विधि है। टाइल की जाने वाली सतह को किसी भी अनुमानित टोपोलॉजी से मुक्त होने दें और आइए हम स्थानीय अंतःक्रिया नियम के सख्त अनुप्रयोग के साथ टाइलिंग का निर्माण करें। इस सरल उदाहरण में हम देखते हैं कि सतह गोले की टोपोलॉजी को विरासत में लेती है और इसलिए वक्रता प्राप्त करती है। अंतिम संरचना यहाँ पंचकोणीय द्वादशफलक, पंचकोणीय क्रम के पूर्ण प्रसार के लिए अनुमति देता है। इसे माना संरचना के लिए "आदर्श" (दोष-मुक्त) मॉडल कहा जाता है।
 === घनी संरचनाएं और टेट्राहेड्रल पैकिंग ===
-[[Image:FrustrationIcosaedre.jpg|thumb|टेट्राहेड्रल पैकिंग: टेट्राहेड्रल का डायहेड्रल कोण 2 के साथ अनुरूपता (गणित) नहीं है{{pi}}; नतीजतन, एक आम किनारे के साथ पांच टेट्राहेड्रा के पैकिंग के दो चेहरों के बीच एक छेद रहता है। एक सामान्य शीर्ष के साथ बीस टेट्राहेड्रा की पैकिंग इस तरह से है कि बारह बाहरी कोने एक अनियमित आईकोसाहेड्रॉन बनाते हैं]]धातुओं की स्थिरता ठोस अवस्था भौतिकी का एक पुराना प्रश्न है, जिसे केवल सकारात्मक रूप से आवेशित आयनों और वैलेंस और चालन इलेक्ट्रॉनों के बीच की बातचीत को ध्यान में रखते हुए क्वांटम यांत्रिक ढांचे में समझा जा सकता है। फिर भी धात्विक बंधन की एक बहुत ही सरलीकृत तस्वीर का उपयोग करना संभव है और केवल एक आइसोट्रोपिक प्रकार की बातचीत रखता है, जिससे संरचनाओं को घनी पैक वाले क्षेत्रों के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है। और वास्तव में क्रिस्टलीय सरल धातु संरचनाएं अक्सर या तो क्लोज पैक्ड [[ चेहरा केंद्रित घन ]] (एफसीसी) या [[हेक्सागोनल क्लोज पैकिंग]] (एचसीपी) लैटिस होती हैं। कुछ हद तक अक्रिस्टलीय धातुओं और अर्ध-क्रिस्टल को भी गोलों की क्लोज पैकिंग द्वारा प्रतिरूपित किया जा सकता है। स्थानीय परमाणु क्रम को टेट्राहेड्रा के एक करीबी पैकिंग द्वारा अच्छी तरह से तैयार किया गया है, जिससे अपूर्ण आईकोसाहेड्रल ऑर्डर हो जाता है।
+[[Image:FrustrationIcosaedre.jpg|thumb|टेट्राहेड्रल पैकिंग: टेट्राहेड्रल का डायहेड्रल कोण 2{{pi}} के साथ अनुरूपता (गणित) नहीं है; परिणाम स्वरुप समान किनारे के साथ पांच टेट्राहेड्रा के पैकिंग के दो चेहरों के बीच छेद रहता है। सामान्य शीर्ष के साथ बीस टेट्राहेड्रा की पैकिंग इस तरह से है कि बारह बाहरी कोने अनियमित आईकोसाहेड्रॉन बनाते हैं]]धातुओं की स्थिरता ठोस अवस्था भौतिकी का पुराना प्रश्न है जिसे केवल सकारात्मक रूप से आवेशित आयनों और वैलेंस और चालन इलेक्ट्रॉनों के बीच की पारस्परिक क्रिया को ध्यान में रखते हुए क्वांटम यांत्रिक रूपरेखा में समझा जा सकता है। फिर भी धात्विक बंधन की बहुत ही सरलीकृत तस्वीर का उपयोग करना संभव है और केवल आइसोट्रोपिक प्रकार की पारस्परिक क्रिया रखता है जिससे संरचनाओं को घनी पैक वाले क्षेत्रों के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है। और वास्तव में क्रिस्टलीय सरल धातु संरचनाएं अधिकांशतः या तो क्लोज पैक्ड [[ चेहरा केंद्रित घन |चेहरा केंद्रित घन]] (एफसीसी) या [[हेक्सागोनल क्लोज पैकिंग]] (एचसीपी) लैटिस होती हैं। कुछ सीमा तक अक्रिस्टलीय धातुओं और अर्ध-क्रिस्टल को भी गोलों की क्लोज पैकिंग द्वारा प्रतिरूपित किया जा सकता है। स्थानीय परमाणु क्रम को टेट्राहेड्रा के समीप पैकिंग द्वारा अच्छी तरह से तैयार किया गया है, जिससे अपूर्ण आईकोसाहेड्रल क्रमित हो जाता है।
-एक नियमित टेट्राहेड्रॉन चार समान क्षेत्रों की पैकिंग के लिए सबसे सघन विन्यास है। कठिन क्षेत्रों की समस्या के घने यादृच्छिक पैकिंग को [[टेट्राहेड्रॉन पैकिंग]] पर मैप किया जा सकता है। केवल चतुष्फलकीय विन्यास बनाने के लिए टेबल टेनिस गेंदों को पैक करने का प्रयास करना एक व्यावहारिक अभ्यास है। एक पूर्ण चतुष्फलक के रूप में व्यवस्थित चार गेंदों से शुरू होता है, और नए चतुष्फलक बनाते समय नए गोले जोड़ने का प्रयास करता है। अगला समाधान, पांच गेंदों के साथ, एक सामान्य चेहरे को साझा करने वाले दो टेट्राहेड्रा हैं; ध्यान दें कि पहले से ही इस समाधान के साथ, एफसीसी संरचना, जिसमें व्यक्तिगत टेट्राहेड्रल छेद होते हैं, ऐसा कॉन्फ़िगरेशन नहीं दिखाते हैं (टेट्राहेड्रा किनारों को साझा करते हैं, चेहरे नहीं)। छह गेंदों के साथ, तीन नियमित टेट्राहेड्रा बनाए जाते हैं, और क्लस्टर सभी कॉम्पैक्ट क्रिस्टलीय संरचनाओं (एफसीसी और एचसीपी) के साथ असंगत है। सातवें गोले को जोड़ने से एक नया समूह मिलता है जिसमें दो अक्षीय गेंदें एक दूसरे को छूती हैं और पांच अन्य बाद की दो गेंदों को छूती हैं, बाहरी आकार लगभग नियमित पंचकोणीय द्वि-पिरामिड होता है। हालाँकि, अब हम एक वास्तविक पैकिंग समस्या का सामना कर रहे हैं, जो कि दो आयामों में पंचकोणीय टाइलिंग के साथ ऊपर की समस्या के अनुरूप है। टेट्राहेड्रॉन का डायहेड्रल कोण 2 के अनुरूप नहीं है{{pi}}; नतीजतन, पड़ोसी टेट्राहेड्रा के दो चेहरों के बीच एक छेद बना रहता है। नतीजतन, यूक्लिडियन स्पेस आर का एक आदर्श टाइलिंग<sup>3</sup> नियमित टेट्राहेड्रा के साथ असंभव है। हताशा का एक सामयिक चरित्र है: यूक्लिडियन स्थान को टेट्राहेड्रा से भरना असंभव है, यहां तक कि गंभीर रूप से विकृत, अगर हम यह कहते हैं कि टेट्राहेड्रा की एक निरंतर संख्या (यहां पांच) एक आम बढ़त साझा करते हैं।
+एक नियमित टेट्राहेड्रॉन चार समान क्षेत्रों की पैकिंग के लिए सबसे सघन विन्यास है। कठिन क्षेत्रों की सघन यादृच्छिक संकुलन समस्या को इस प्रकार [[टेट्राहेड्रॉन पैकिंग|चतुष्फलकीय संकुलन]] समस्या पर प्रतिचित्रित   किया जा सकता है। केवल चतुष्फलकीय विन्यास बनाने के लिए टेबल टेनिस गेंदों को पैक करने का प्रयास करना व्यावहारिक अभ्यास है। पूर्ण चतुष्फलक के रूप में व्यवस्थित चार गेंदों से प्रारंभ होता है, और नए चतुष्फलक बनाते समय नए गोले जोड़ने का प्रयास करता है। अगला समाधान पांच गेंदों के साथ सामान्य चेहरे को साझा करने वाले दो टेट्राहेड्रा हैं; ध्यान दें कि पहले से ही इस समाधान के साथ, एफसीसी संरचना, जिसमें व्यक्तिगत टेट्राहेड्रल छेद होते हैं, ऐसा कॉन्फ़िगरेशन नहीं दिखाते हैं (टेट्राहेड्रा किनारों को साझा करते हैं, चेहरे नहीं)। छह गेंदों के साथ, तीन नियमित टेट्राहेड्रा बनाए जाते हैं क्लस्टर सभी कॉम्पैक्ट क्रिस्टलीय संरचनाओं (एफसीसी और एचसीपी) के साथ असंगत है। सातवें गोले को जोड़ने से दो "अक्षीय" गेंदों में दूसरे को छूने वाला नया क्लस्टर मिलता है और पांच अन्य बाद की दो गेंदों को छूते हैं, बाहरी आकार लगभग नियमित पंचकोणीय द्वि-पिरामिड होता है। चूँकि अब हम वास्तविक पैकिंग समस्या का सामना कर रहे हैं, जो कि दो आयामों में पंचकोणीय टाइलिंग के साथ ऊपर की समस्या के अनुरूप है। टेट्राहेड्रॉन का डायहेड्रल कोण 2{{pi}} के अनुरूप नहीं है; परिणाम स्वरुप   निकटतम टेट्राहेड्रा के दो चेहरों के बीच छेद बना रहता है। परिणाम स्वरुप नियमित टेट्राहेड्रा के साथ यूक्लिडियन अंतरिक्ष R<sup>3</sup> की सही टाइलिंग असंभव है। नैराश्य का सामयिक चरित्र है: यूक्लिडियन स्थान को टेट्राहेड्रा से भरना असंभव है यहां तक कि गंभीर रूप से विकृत यदि हम यह कहते हैं कि टेट्राहेड्रा की निरंतर संख्या (यहां पांच) समान रूप से साझा करते हैं।
-अगला चरण महत्वपूर्ण है: वक्रता # वक्रता_ऑफ_स्पेस की अनुमति देकर एक अप्रतिबंधित संरचना की खोज, स्थानीय कॉन्फ़िगरेशन के लिए पूरे अंतरिक्ष में समान रूप से और दोषों के बिना प्रचार करने के लिए।
+अगला कदम महत्वपूर्ण है: अंतरिक्ष में वक्रता की अनुमति देकर अप्रतिष्ठित संरचना की खोज, जिससे स्थानीय विन्यास पूरे अंतरिक्ष में समान रूप से और दोषों के बिना प्रचारित हो सकता है ।
 === टेट्राहेड्रा की नियमित पैकिंग: पॉलीटॉप {3,3,5}===
-[[File:Schlegel wireframe 600-cell vertex-centered.png|thumb|right|250px|[[600-सेल]]: पॉलीटॉप {3,3,5}]]बीस अनियमित टेट्राहेड्रा एक सामान्य शीर्ष के साथ इस तरह से पैक होते हैं कि बारह बाहरी कोने एक नियमित आईकोसाहेड्रॉन बनाते हैं। वास्तव में, आइकोसैहेड्रॉन किनारे की लंबाई l परिधि त्रिज्या r (l ≈ 1.05r) से थोड़ी अधिक लंबी है। यदि अंतरिक्ष यूक्लिडियन नहीं है, लेकिन गोलाकार है, तो नियमित टेट्राहेड्रा के साथ एक समाधान है। यह श्लाफली प्रतीक का उपयोग करते हुए [[polytope|पोल्यत्पे]] {3,3,5} है। श्लाफली संकेतन, जिसे 600-सेल के रूप में भी जाना जाता है।
+[[File:Schlegel wireframe 600-cell vertex-centered.png|thumb|right|250px|[[600-सेल]]: पॉलीटॉप {3,3,5}]]बीस अनियमित टेट्राहेड्रा सामान्य शीर्ष के साथ इस तरह से पैक होते हैं कि बारह बाहरी कोने नियमित आईकोसाहेड्रॉन बनाते हैं। वास्तव में   आइकोसैहेड्रॉन किनारे की लंबाई l परिधि त्रिज्या r (l ≈ 1.05r) से थोड़ी अधिक लंबी है। यदि अंतरिक्ष यूक्लिडियन नहीं है किन्तु गोलाकार है, तो नियमित टेट्राहेड्रा के साथ समाधान है। यह श्लाफली संकेतन का उपयोग करते हुए [[polytope|पॉलीटॉप]] {3,3,5} है, जिसे 600-सेल के रूप में भी जाना जाता है।
-एक सौ बीस शीर्ष हैं जो सभी हाइपरस्फीयर एस से संबंधित हैं<sup>3</sup> सुनहरे अनुपात के बराबर त्रिज्या के साथ (φ ={{sfrac|1 + {{sqrt|5}}|2}}) यदि किनारे इकाई लंबाई के हैं। छह सौ कोशिकाएं नियमित टेट्राहेड्रा हैं जिन्हें एक सामान्य किनारे के चारों ओर पाँच और एक सामान्य शीर्ष के चारों ओर बीस द्वारा समूहीकृत किया जाता है। इस संरचना को एक पॉलीटॉप कहा जाता है ([[कॉक्सेटर]] देखें) जो कि बहुभुज और पॉलीहेड्रा वाली श्रृंखला में उच्च आयाम में सामान्य नाम है। यह संरचना चार आयामों में सन्निहित होने पर भी त्रिविम (घुमावदार) बहुरूपी मानी गई है। यह बिंदु निम्नलिखित कारणों से वैचारिक रूप से महत्वपूर्ण है। घुमावदार स्थान में पेश किए गए आदर्श मॉडल त्रि-आयामी घुमावदार टेम्पलेट हैं। वे स्थानीय रूप से तीन आयामी यूक्लिडियन मॉडल के रूप में दिखते हैं। तो, {3,3,5} पॉलीटॉप, जो टेट्राहेड्रा द्वारा खपरैल है, एक बहुत ही सघन परमाणु संरचना प्रदान करता है यदि परमाणु इसके शीर्ष पर स्थित हों। इसलिए यह स्वाभाविक रूप से अनाकार धातुओं के लिए एक टेम्पलेट के रूप में उपयोग किया जाता है, लेकिन किसी को यह नहीं भूलना चाहिए कि यह क्रमिक आदर्शों की कीमत पर है।
+एक सौ बीस कोने हैं जो सभी हाइपरस्फीयर S<sup>3</sup> से संबंधित हैं, जिनकी त्रिज्या सुनहरे अनुपात (φ ={{sfrac|1 + {{sqrt|5}}|2}}) के समान है यदि किनारे इकाई लंबाई के हैं। छह सौ कोशिकाएं नियमित टेट्राहेड्रा हैं जिन्हें सामान्य किनारे के चारों ओर पाँच और सामान्य शीर्ष के चारों ओर बीस द्वारा समूहीकृत किया जाता है। इस संरचना को पॉलीटॉप कहा जाता है ([[कॉक्सेटर]] देखें) जो कि बहुभुज और पॉलीहेड्रा वाली श्रृंखला में उच्च आयाम में सामान्य नाम है। यह संरचना चार आयामों में सन्निहित होने पर भी त्रिविम (घुमावदार) बहुरूपी मानी गई है। यह बिंदु निम्नलिखित कारणों से वैचारिक रूप से महत्वपूर्ण है। घुमावदार स्थान में प्रस्तुत किए गए आदर्श मॉडल त्रि-आयामी घुमावदार टेम्पलेट हैं। वे स्थानीय रूप से तीन आयामी यूक्लिडियन मॉडल के रूप में दिखते हैं। तो, {3,3,5} पॉलीटॉप जो टेट्राहेड्रा द्वारा टाइलिंग है, बहुत ही सघन परमाणु संरचना प्रदान करता है यदि परमाणु इसके शीर्ष पर स्थित है इसलिए यह स्वाभाविक रूप से अनाकार धातुओं के लिए टेम्पलेट के रूप में उपयोग किया जाता है किन्तु किसी को यह नहीं भूलना चाहिए कि यह क्रमिक आदर्शों की मूल्य पर है।
 == साहित्य ==
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 == संदर्भ ==
-<references />
-<!-- Furthermore, the following names resp. papers refer directly or indirectly to the text:
-*P. Schiffer, Comments ''Con. Mat. Phys.'' 18, 21 (1996)
-*D. Bitko, T. F. Rosenbaum and G. Aeppli, ''Phys. Rev. Lett.'' 77, 940 (1996)
-*J. R. Friedman, M. P. Sarachik, J. Tejada, and R. Ziolo, ''Phys. Rev. Lett.'' 76, 3830 (1996)
-*M. J. Harris, S. T. Bramwell, D. F. McMorrow, T. Zeiske, and K. W. Godfrey, ''Phys. Rev. Lett.'' 79, 2554 (1997)
-*S. Rosenkranz, A.P. Ramirez, A. Hayashi, R. J. Cava, R. Siddharthan, and B. S. Shastry, ''J. Appl. Phys.'' 87, 5914 (2000)
-*R. Stewart (ed.), ''J. Phys. Condens. Matter'' 16, S553-922 (2004)
-* D. Dai and M.-H. Whangbo, J. Chem. Phys., 121 (2004), 672
-*R. F. Wang, C. Nisoli, R. S. Freitas, J. Li, W. McConville, B. J. Cooley, M. S. Lund, N. Samarth, C. Leighton, V. H. Crespi, and P. Schiffer, ''Nature'', 439, 303 (2006)
-*C. Nisoli, R.F. Wang, J. Li, W. F. McConville, P.l E. Lammert, P. Schiffer, and V. H. Crespi ''Phys. Rev. Lett.'' 98, 217203 (2007)
- -->
-{{authority control}}
 {{DEFAULTSORT:Geometrical Frustration}}[[Category: संघनित पदार्थ भौतिकी]] [[Category: थर्मोडायनामिक एन्ट्रापी]] [[Category: चुंबकीय आदेश]]
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कृत्रिम ज्यामितीय रूप से निराश फेरोमैग्नेट्स

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सरल द्वि-आयामी उदाहरण

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टेट्राहेड्रा की नियमित पैकिंग: पॉलीटॉप {3,3,5}

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जल बर्फ

स्पिन आइस

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कृत्रिम ज्यामितीय रूप से निराश फेरोमैग्नेट्स

जाली के बिना ज्यामितीय नैराश्य

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