सजातीय विविधता

द्वारा दिया गया घन समतल वक्र $y^{2}=x^{2}(x+1)$

बीजगणितीय ज्यामिति में, बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर, संबधित विविधता, या बीजगणितीय विविधता, kएफ़ाइन स्थान में शून्य-स्थल है kⁿ के बहुपदों के कुछ परिमित परिवार का n में गुणांक के साथ चर k जो प्रमुख आदर्श उत्पन्न करता है। यदि अभाज्य गुणज उत्पन्न करने की स्थिति को हटा दिया जाता है, तो ऐसे समुच्चय को बीजगणितीय समुच्चय (affine) कहा जाता है। जरिस्की टोपोलॉजी संबधित विविधता की उप-प्रजाति को अर्ध-एफ़ाइन विविधता कहा जाता है।

कुछ ग्रंथों को प्रमुख आदर्श की आवश्यकता नहीं होती है, और प्रधान आदर्श द्वारा परिभाषित बीजगणितीय विविधता को इरिड्यूसिबल कहते हैं। यह लेख आवश्यक रूप से प्रमुख आदर्शों के शून्य-लोकी को संदर्भित नहीं करता है जैसे कि बीजीय बीजगणितीय सेट है।

कुछ संदर्भों में, बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र K (युक्त k) से k को अलग करना उपयोगी होता है जिसमें गुणांक माना जाता है, जिस पर शून्य-लोकस माना जाता है (अर्थात् एफ़ाइन विविधता के बिंदु अंद होते हैं Kⁿमें हैं) . इस मामले में, विविधता को k पर परिभाषित कहा जाता है , और k से संबंधित विविधता के बिंदु k तर्कसंगत या k तर्कसंगत कहा जाता है। सामान्य स्थिति में जहाँ k वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र है, k- रामेय बिंदु को वास्तविक बिंदु कहते हैं। जब मैदान k निर्दिष्ट नहीं होता है, परिमेय बिंदु वह बिंदु है जो परिमेय संख्याओं पर परिमेय होता है। उदाहरण के लिए, फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय का दावा है कि xⁿ + yⁿ − 1 = 0 द्वारा परिभाषित एफ़ाइन बीजगणितीय विविधता (यह वक्र है) में दो से अधिक पूर्णांक के n लिए कोई परिमेय बिंदु नहीं है।

परिचय

affine बीजगणितीय सेट बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में समाधान का सेट है k में गुणांकों के साथ बहुपद समीकरणों की प्रणाली k. अधिक सटीक, अगर $f_{1},\ldots ,f_{m}$ में गुणांक वाले बहुपद हैं k, वे सजातीय बीजगणितीय सेट को परिभाषित करते हैं

$V(f_{1},\ldots ,f_{m})=\left\{(a_{1},\ldots ,a_{n})\in k^{n}\;|\;f_{1}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\ldots =f_{m}(a_{1},\ldots ,a_{n})=0\right\}.$

affine (बीजीय) विविधता एफ़ाइन बीजगणितीय सेट है जो दो उचितएफ़ाइन बीजगणितीय उपसमुच्चय का मिलन नहीं है। इस तरह के सजातीय बीजगणितीय सेट को अक्सर इर्रिड्यूसिबल कहा जाता है।

अगर X सजातीय बीजगणितीय समुच्चय है, और I उन सभी बहुपदों की गुणजावली है जिन पर शून्य है X, फिर भागफल की अंगूठी $R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/I$ कहा जाता है{{vanchor|coordinate ring}्स का }. यदि X संबधित विविधता है, तो I अभाज्य है, इसलिए निर्देशांक वलय अभिन्न डोमेन है। समन्वय वलय आर के तत्वों को विविधता पर नियमित कार्य या बहुपद कार्य भी कहा जाता है। वे विविधता पर नियमित कार्यों की अंगूठी बनाते हैं, या, बस, विविधता की अंगूठी; दूसरे शब्दों में (#स्ट्रक्चर शीफ देखें), यह ्स के स्ट्रक्चर शीफ के ग्लोबल सेक्शन का स्पेस है।

विविधता का आयाम प्रत्येक विविधता से जुड़ा पूर्णांक है, और यहां तक ​​​​कि प्रत्येक बीजगणितीय सेट के लिए, जिसका महत्व बड़ी संख्या में इसकी समकक्ष परिभाषाओं पर निर्भर करता है (बीजगणितीय विविधता का आयाम देखें)।

उदाहरण

• affine विविधता में hypersurface का पूरक X (वह है X - { f = 0 } कुछ बहुपद के लिए f) एफ़िन है। इसके परिभाषित समीकरण संतृप्ति (कम्यूटेटिव बीजगणित) द्वारा प्राप्त किए जाते हैं f का परिभाषित आदर्श X. इस प्रकार निर्देशांक वलय वलय का स्थानीयकरण है $k[X][f^{-1}]$.
• विशेष रूप से, $\mathbb {C} -0$ (मूल के साथएफ़ाइन रेखा हटा दी गई है)एफ़ाइन है।
• वहीं दूसरी ओर, $\mathbb {C} ^{2}-0$ (मूल के साथ संबधित तल) सजातीय विविधता नहीं है; सी एफ हार्टोग्स का विस्तार प्रमेय।
• एफ़िन स्पेस में कोडिमेंशन वन की उप- विविधता ें $k^{n}$ वास्तव में हाइपरसर्फ्स हैं, जो कि बहुपद द्वारा परिभाषित विविधता ें हैं।
• इरेड्यूसिबल एफाइन विविधता की सामान्य योजना एफाइन है; सामान्यीकरण का समन्वय वलय विविधता के समन्वय वलय का अभिन्न समापन है। (इसी तरह, प्रक्षेपी विविधता का सामान्यीकरण प्रक्षेपी विविधता है।)

वाजिब बिंदु

वक्र के वास्तविक बिंदुओं का आरेखण y² = x³ − x² − 16x.

Main article: rational point

एफ़िन विविधता के लिए $V\subseteq K^{n}$ बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर K, और उपक्षेत्र k का K, ए k-तार्किक बिंदु V बिंदु है $p\in V\cap k^{n}.$ यानी बिंदु V जिसके निर्देशांक तत्व हैं k. का संग्रह k- सजातीय विविधता के तर्कसंगत बिंदु V को अक्सर निरूपित किया जाता है $V(k).$ अक्सर, यदि आधार क्षेत्र सम्मिश्र संख्याएँ होती हैं C, बिंदु जो हैं R-तर्कसंगत (जहां R वास्तविक संख्या है) विविधता के वास्तविक बिंदु कहलाते हैं, और Q-तर्कसंगत अंक (Q परिमेय संख्याएँ) अक्सर केवल परिमेय बिंदु कहलाते हैं।

उदाहरण के लिए, (1, 0) है Q-तर्कसंगत और R- विविधता का तर्कसंगत बिंदु $V=V(x^{2}+y^{2}-1)\subseteq \mathbf {C} ^{2},$ जैसा इसमें है V और इसके सभी निर्देशांक पूर्णांक हैं। बिंदु (√2/2, √2/2) का वास्तविक बिंदु है V जो कि नहीं Q-तर्कसंगत, और $(i,{\sqrt {2}})$ का बिन्दु है V जो कि नहीं R-तर्कसंगत। इस विविधता को वृत्त कहा जाता है, क्योंकि इसका सेट R-रेशनल पॉइंट्स यूनिट सर्कल है। इसमें अपरिमित रूप से अनेक हैं Q-तर्कसंगत बिंदु जो बिंदु हैं

$\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)$

कहाँ t परिमेय संख्या है।

वृत्त $V(x^{2}+y^{2}-3)\subseteq \mathbf {C} ^{2}$ डिग्री दो के बीजगणितीय वक्र का उदाहरण है जिसमें कोई नहीं है Q-तर्कसंगत बिंदु। इसका अंदाजा इस बात से लगाया जा सकता है कि, मॉड्यूलर अंकगणित 4, दो वर्गों का योग नहीं हो सकता 3.

यह सिद्ध किया जा सकता है कि a के साथ डिग्री दो का बीजगणितीय वक्र Q-रेशनल पॉइंट के अपरिमित रूप से कई अन्य होते हैं Q-तर्कसंगत अंक; ऐसा प्रत्येक बिंदु वक्र का दूसरा प्रतिच्छेदन बिंदु है और परिमेय बिंदु से गुजरने वाली परिमेय ढलान वाली रेखा है।

जटिल विविधता $V(x^{2}+y^{2}+1)\subseteq \mathbf {C} ^{2}$ है कोई R-तर्कसंगत बिंदु, लेकिन कई जटिल बिंदु हैं।

अगर V में एफ़ाइन विविधता है C² जटिल संख्याओं पर परिभाषित C, द R-तर्कसंगत अंक V को कागज के टुकड़े पर या रेखांकन सॉफ्टवेयर द्वारा खींचा जा सकता है। दाईं ओर का आंकड़ा दिखाता है R-तर्कसंगत अंक $V(y^{2}-x^{3}+x^{2}+16x)\subseteq \mathbf {C} ^{2}.$

वचन बिंदु और स्पर्शरेखा स्थान

होने देना V बहुपदों द्वारा परिभाषित सजातीय विविधता हो $f_{1},\dots ,f_{r}\in k[x_{1},\dots ,x_{n}],$ और $a=(a_{1},\dots ,a_{n})$ का बिंदु हो V.

जैकबियन मैट्रिक्स J_V(a) का V पर a आंशिक डेरिवेटिव का मैट्रिक्स है

${\frac {\partial f_{j}}{\partial {x_{i}}}}(a_{1},\dots ,a_{n}).$

बिंदु a की रैंक नियमित है J_V(a) बीजगणितीय विविधता के आयाम के बराबर है V, और वचन अन्यथा।

अगर a नियमित है, स्पर्शरेखा स्थान V पर a का एफिन उपस्थान है $k^{n}$ रैखिक समीकरणों द्वारा परिभाषित

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial {x_{i}}}}(a_{1},\dots ,a_{n})(x_{i}-a_{i})=0,\quad j=1,\dots ,r.$

यदि बिंदु वचन है, तो इन समीकरणों द्वारा परिभाषित एफ़िन उप-स्थान को कुछ लेखकों द्वारा स्पर्शरेखा स्थान भी कहा जाता है, जबकि अन्य लेखकों का कहना है कि वचन बिंदु पर कोई स्पर्शरेखा स्थान नहीं है। अधिक आंतरिक परिभाषा, जो निर्देशांक का उपयोग नहीं करती है, ज़रिस्की स्पर्शरेखा स्थान द्वारा दी गई है।

जारिस्की टोपोलॉजी

Main article: Zariski topology

के केएफ़ाइन बीजगणितीय सेटⁿ k पर टोपोलॉजी के बंद सेट बनाते हैंⁿ, जिसे 'ज़ारिस्की टोपोलॉजी' कहा जाता है। यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि $V(0)=k[x_{1},\ldots ,x_{n}],$ $V(1)=\emptyset ,$ $V(S)\cup V(T)=V(ST),$ और $V(S)\cap V(T)=V(S+T)$ (वास्तव में,एफ़ाइन बीजगणितीय सेटों का गणनीय प्रतिच्छेदन एफ़ाइन बीजगणितीय सेट है)।

ज़ारिस्की टोपोलॉजी को बेस (टोपोलॉजी) के माध्यम से भी वर्णित किया जा सकता है, जहाँ ज़ारिस्की-ओपन सेट फॉर्म के सेटों के गणनीय संघ हैं $U_{f}=\{p\in k^{n}:f(p)\neq 0\}$ के लिए $f\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}].$ ये बुनियादी खुले सेट k में पूरक हैंⁿ बंद सेटों में से $V(f)=D_{f}=\{p\in k^{n}:f(p)=0\},$ ल बहुपद का शून्य लोकी। यदि k नोथेरियन वलय है (उदाहरण के लिए, यदि k फ़ील्ड (गणित) या प्रमुख आदर्श डोमेन है), तो k का प्रत्येक आदर्श अंतिम रूप से उत्पन्न होता है, इसलिए प्रत्येक खुला सेट बुनियादी खुले सेटों का परिमित संघ है।

यदि V, k की सजातीय उप- विविधता हैⁿ V पर ज़ारिस्की टोपोलॉजी केवल k पर ज़ारिस्की टोपोलॉजी से विरासत में मिली सबस्पेस टोपोलॉजी है^एन.

ज्यामिति-बीजगणित पत्राचार

सजातीय विविधता की ज्यामितीय संरचना इसके समन्वय वलय की बीजगणितीय संरचना से गहरे तरीके से जुड़ी हुई है। I और J को k [V] के आदर्श होने दें, जो एफ़ाइन विविधता V का समन्वय वलय है। I (V) को सभी बहुपदों का समुच्चय होने दें $k[x_{1},\ldots ,x_{n}],$ जो वी पर गायब हो जाता है, और जाने दो ${\sqrt {I}}$ आदर्श I के आदर्श के रेडिकल को निरूपित करें, बहुपद f का सेट जिसके लिए f की कुछ शक्ति I में है। आधार क्षेत्र को बीजगणितीय रूप से बंद करने की आवश्यकता का कारण यह है किएफ़ाइन विविधता ें स्वचालित रूप से हिल्बर्ट के नलस्टेलेंसैट्ज को संतुष्ट करती हैं: आदर्श के लिए जे में $k[x_{1},\ldots ,x_{n}],$ जहाँ k बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है, $I(V(J))={\sqrt {J}}.$ के [वी] के कट्टरपंथी आदर्श (आदर्श जो अपने स्वयं के कट्टरपंथी हैं) वी के बीजगणितीय उपसमुच्चय के अनुरूप हैं। वास्तव में, कट्टरपंथी आदर्शों I और J के लिए, $I\subseteq J$ अगर और केवल अगर $V(J)\subseteq V(I).$ इसलिए V(I)=V(J) अगर और केवल अगर I=J. इसके अलावा, फलन बीजगणितीय सेट W को ग्रहण करता है और I(W) लौटाता है, सभी कार्यों का सेट जो W के सभी बिंदुओं पर भी गायब हो जाता है, फ़ंक्शन का व्युत्क्रम होता है, जो बीजगणितीय सेट को कट्टरपंथी आदर्श के लिए निर्दिष्ट करता है, नलस्टेलेंसैट द्वारा। इसलिएएफ़ाइन बीजगणितीय सेट और कट्टरपंथी आदर्शों के बीच पत्राचार आपत्ति है। एफ़ाइन बीजगणितीय सेट का समन्वय रिंग कम रिंग (nilpotent-free) है, रिंग R में आदर्श I के रूप में कट्टरपंथी है अगर और केवल अगर भागफल रिंग R/I कम हो जाता है।

समन्वयित वलय के प्रधान आदर्श एफ़िन उप- विविधता ों के अनुरूप होते हैं। सजातीय बीजीय समुच्चय V(I) को दो अन्य बीजगणितीय समुच्चयों के मिलन के रूप में लिखा जा सकता है यदि और केवल यदि I=JK उचित आदर्शों के लिए J और K I के बराबर नहीं है (किस मामले में $V(I)=V(J)\cup V(K)$). यह मामला है अगर और केवल अगर मैं प्रधान नहीं हूं।एफ़ाइन उपप्रकार ठीक वे हैं जिनकी समन्वय रिंग अभिन्न डोमेन है। ऐसा इसलिए है क्योंकि आदर्श प्रधान है अगर और केवल अगर आदर्श द्वारा रिंग का भागफल अभिन्न डोमेन है।

के [वी] के अधिकतम आदर्श वी के बिंदुओं के अनुरूप हैं। यदि मैं और जे कट्टरपंथी आदर्श हैं, तो $V(J)\subseteq V(I)$ अगर और केवल अगर $I\subseteq J.$ जैसा कि अधिकतम आदर्श कट्टरपंथी हैं, अधिकतम आदर्श न्यूनतम बीजगणितीय सेट (जिनमें कोई उचित बीजगणितीय उपसमुच्चय नहीं है) के अनुरूप हैं, जो V में बिंदु हैं। यदि V समन्वय वलय के साथ परिशोधित विविधता है $R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/\langle f_{1},\ldots ,f_{m}\rangle ,$ यह पत्राचार मानचित्र के माध्यम से स्पष्ट हो जाता है $(a_{1},\ldots ,a_{n})\mapsto \langle {\overline {x_{1}-a_{1}}},\ldots ,{\overline {x_{n}-a_{n}}}\rangle ,$ कहाँ ${\overline {x_{i}-a_{i}}}$ बहुपद के भागफल बीजगणित आर में छवि को दर्शाता है $x_{i}-a_{i}.$ बीजगणितीय उपसमुच्चय बिंदु है यदि और केवल यदि उपसमुच्चय का समन्वय वलय क्षेत्र है, क्योंकि अधिकतम आदर्श द्वारा वलय का भागफल क्षेत्र है।

निम्न तालिका इस पत्राचार को सारांशित करती है, सजातीय विविधता के बीजगणितीय उपसमुच्चय और संबंधित समन्वय अंगूठी के आदर्शों के लिए:

Type of algebraic set	Type of ideal	Type of coordinate ring
affine algebraic subset	radical ideal	reduced ring
affine subvariety	prime ideal	integral domain
point	maximal ideal	field

एफ़ाइन विविधता ों के उत्पाद

समरूप विविधता ों के उत्पाद को समरूपता का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है Aⁿ × A^m = A^n+m, फिर उत्पाद को इस नएएफ़ाइन स्थान में एम्बेड करना। होने देना Aⁿ और A^m में समन्वय के छल्ले हैं k[x₁,..., x_n] और k[y₁,..., y_m] क्रमशः, ताकि उनका उत्पाद A^n+m में निर्देशांक वलय है k[x₁,..., x_n, y₁,..., y_m]. होने देना V = V( f₁,..., f_N) का बीजगणितीय उपसमुच्चय हो Aⁿ, और W = V( g₁,..., g_M) का बीजगणितीय उपसमुच्चय A^m. फिर प्रत्येक f_i में बहुपद है k[x₁,..., x_n], और प्रत्येक g_j में है k[y₁,..., y_m]. का उत्पाद V और W को बीजगणितीय सेट के रूप में परिभाषित किया गया है V × W = V( f₁,..., f_N, g₁,..., g_M) में A^n+m. यदि प्रत्येक उत्पाद अप्रासंगिक है V, W अलघुकरणीय है। जरिस्की टोपोलॉजी ऑन Aⁿ × A^m  दो स्थानों पर ज़ारिस्की टोपोलॉजी का उत्पाद टोपोलॉजी नहीं है। दरअसल, उत्पाद टोपोलॉजी मूल खुले सेट के उत्पादों द्वारा उत्पन्न होती है U_f = Aⁿ − V( f ) और T_g = A^m − V( g ). इसलिए, बहुपद जो अंदर हैं k[x₁,..., x_n, y₁,..., y_m] लेकिन बहुपद के उत्पाद के रूप में प्राप्त नहीं किया जा सकता है k[x₁,..., x_n] में बहुपद के साथ k[y₁,..., y_m] उन बीजगणितीय सेटों को परिभाषित करेगा जो ज़रिस्की टोपोलॉजी में हैं Aⁿ × A^m , लेकिन उत्पाद टोपोलॉजी में नहीं।

सजातीय विविधता ों की रूपात्मकता

Main article: Morphism of algebraic varieties

एफ़िन विविधता ों का रूपवाद, या नियमित मानचित्र, एफ़िन विविधता ों के बीच कार्य है जो प्रत्येक समन्वय में बहुपद है: अधिक सटीक रूप से, एफ़िन विविधता ों के लिए V ⊆ kⁿ और W ⊆ k^m, रूपवाद से V को W नक्शा है φ : V → W फॉर्म का φ(a₁, ..., a_n) = (f₁(a₁, ..., a_n), ..., f_m(a₁, ..., a_n)), कहाँ f_i ∈ k[X₁, ..., X_n] प्रत्येक के लिए i = 1, ..., m. ये एफ़ाइन विविधता ों की श्रेणी (गणित) में आकारिकी हैं।

बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर एफ़ाइन विविधता ों के आकारिकी के बीच -से- पत्राचार होता है k, औरएफ़ाइन विविधता ों के समन्वय के छल्ले के समरूपता k विपरीत दिशा में जा रहा है। इस वजह से, इस तथ्य के साथ कि वहाँएफ़ाइन विविधता ों के बीच -से- पत्राचार है k और उनके निर्देशांक के छल्ले,एफ़ाइन विविधता ों की श्रेणी kएफ़ाइन विविधता ों के समन्वय के छल्ले की श्रेणी के लिए दोहरी (श्रेणी सिद्धांत) है k.एफ़ाइन विविधता ों के समन्वय के छल्ले की श्रेणी k ठीक-ठीक जनित, निलपोटेंट-मुक्त बीजगणित की श्रेणी है k.

अधिक सटीक, प्रत्येक रूपवाद के लिए φ : V → Wएफ़ाइन विविधता ों में, समरूपता है φ^# : k[W] → k[V] निर्देशांक वलयों के बीच (विपरीत दिशा में जा रहा है), और इस तरह के प्रत्येक समरूपता के लिए, समन्वय वलयों से जुड़ी विविधता ों का रूपवाद है। इसे स्पष्ट रूप से दिखाया जा सकता है: let V ⊆ kⁿ और W ⊆ k^m कोआर्डिनेट रिंग्स के साथ एफिन विविधता ें बनें k[V] = k[X₁, ..., X_n] / I और k[W] = k[Y₁, ..., Y_m] / J क्रमश। होने देना φ : V → W रूपवाद हो। दरअसल, बहुपद के छल्ले के बीच समरूपता θ : k[Y₁, ..., Y_m] / J → k[X₁, ..., X_n] / I अंगूठी के माध्यम से अद्वितीय कारक k[X₁, ..., X_n], और समरूपता ψ : k[Y₁, ..., Y_m] / J → k[X₁, ..., X_n] की छवियों द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है Y₁, ..., Y_m. इसलिए, प्रत्येक समरूपता φ^# : k[W] → k[V] प्रत्येक के लिए विशिष्ट रूप से छवि के विकल्प से मेल खाता है Y_i. फिर कोई रूपवाद दिया φ = (f₁, ..., f_m) से V को W, समरूपता का निर्माण किया जा सकता है φ^# : k[W] → k[V] जो भेजता है Y_i को ${\overline {f_{i}}},$ कहाँ ${\overline {f_{i}}}$ का तुल्यता वर्ग है f_i में k[V].

इसी तरह, समन्वय के छल्ले के प्रत्येक समरूपता के लिए, विपरीत दिशा में चक्करदार विविधता ों का रूपवाद बनाया जा सकता है। उपरोक्त पैराग्राफ को प्रतिबिंबित करना, समरूपता φ^# : k[W] → k[V] भेजता है Y_i बहुपद के लिए $f_{i}(X_{1},\dots ,X_{n})$ में k[V]. यह विविधता ों के आकारिकी से मेल खाता है φ : V → W द्वारा परिभाषित φ(a₁, ... , a_n) = (f₁(a₁, ..., a_n), ..., f_m(a₁, ..., a_n)).

संरचना शीफ ​​

नीचे वर्णित संरचना शीफ ​​से सुसज्जित, सजातीय विविधता स्थानीय रूप से चक्राकार स्थान है।

कोऑर्डिनेट रिंग A के साथएफ़ाइन वैरायटी X दी गई है, जो k-अलजेब्रस का शीफ ​​है ${\mathcal {O}}_{X}$ देकर परिभाषित किया गया है ${\mathcal {O}}_{X}(U)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ यू पर नियमित कार्यों की अंगूठी बनें।

माना D(f) = { x | ए में प्रत्येक एफ के लिए एफ (्स) ≠ 0}। वे ्स के टोपोलॉजी के लिए आधार बनाते हैं और इसलिए ${\mathcal {O}}_{X}$ खुले सेट डी (एफ) पर इसके मूल्यों से निर्धारित होता है। (यह भी देखें: मॉड्यूल का शीफ#मॉड्यूल से जुड़ा शीफ।)

मुख्य तथ्य, जो आवश्यक रूप से हिल्बर्ट शून्य प्रमेय पर निर्भर करता है, निम्नलिखित है:

Claim — $\Gamma (D(f),{\mathcal {O}}_{X})=A[f^{-1}]$ for any f in A.

सबूत: समावेश ⊃ स्पष्ट है। इसके विपरीत के लिए, जी को बाएं हाथ की ओर होने दें और $J=\{h\in A|hg\in A\}$है, जो आदर्श है। यदि ्स डी (एफ) में है, तो चूंकि जी ्स के पास नियमित है, ्स के कुछ खुले संबंध पड़ोस डी (एच) हैं जैसे कि $g\in k[D(h)]=A[h^{-1}]$; वह है, एच^m g, A में है और इसलिए x, V(J) में नहीं है। दूसरे शब्दों में, $V(J)\subset \{x|f(x)=0\}$ और इस प्रकार हिल्बर्ट नलस्टेलेंसैट्ज का अर्थ है कि एफ जे के रेडिकल में है; अर्थात।, $f^{n}g\in A$. $\square$ दावा, सबसे पहले, यह दर्शाता है कि X तब से स्थानीय रूप से रिंग किया हुआ स्थान है

${\mathcal {O}}_{X,x}=\varinjlim _{f(x)\neq 0}A[f^{-1}]=A_{{\mathfrak {m}}_{x}}$

कहाँ ${\mathfrak {m}}_{x}=\{f\in A|f(x)=0\}$. दूसरे, दावा का तात्पर्य है ${\mathcal {O}}_{X}$ पुलिया है; वास्तव में, यह कहता है कि यदि कोई फ़ंक्शन डी (एफ) पर नियमित (बिंदुवार) है, तो यह डी (एफ) की समन्वय अंगूठी में होना चाहिए; यानी, रेगुलर-नेस को साथ पैच किया जा सकता है।

इस तरह, $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ स्थानीय रूप से चक्राकार स्थान है।

आत्मीयता पर सेरे का प्रमेय

Main article: Serre's theorem on affineness

आत्मीयता पर सेरे की प्रमेय सजातीय विविधता का कोहोमोलॉजिकल लक्षण वर्णन देती है; यह कहता है कि बीजगणितीय विविधताएफ़ाइन है अगर और केवल अगर $H^{i}(X,F)=0$ किसी के लिए $i>0$ और ्स पर कोई भी अर्ध-सुसंगत शीफ एफ। (cf. कार्टन की प्रमेय बी।) यह प्रक्षेपी मामले के विपरीत, जिसमें लाइन बंडलों के कोहोलॉजी समूह केंद्रीय हित के होते हैं, के विपरीत, गैर-अस्तित्व में एफ़ाइन विविधता का कोहोलॉजिकल अध्ययन करता है। .

Affine बीजगणितीय समूह

Main article: linear algebraic group

एफ़िन विविधता G बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड पर k कोएफ़ाइन बीजगणितीय समूह कहा जाता है यदि इसमें:

• गुणन μ: G × G → G, जो नियमित रूपवाद है जो सहयोगीता स्वयंसिद्ध का पालन करता है-अर्थात्, ऐसा है μ(μ(f, g), h) = μ(f, μ(g, h)) सभी बिंदुओं के लिए f, g और h में G;
• पहचान तत्व e ऐसा है कि μ(e, g) = μ(g, e) = g हर के लिए g में G;
• व्युत्क्रम रूपवाद, नियमित आक्षेप ι: G → G ऐसा है कि μ(ι(g), g) = μ(g, ι(g)) = e हर के लिए g में G.

साथ में, ये विविधता पर समूह (गणित) को परिभाषित करते हैं। उपरोक्त morphisms अक्सर साधारण समूह संकेतन का उपयोग करते हुए लिखा जाता है: μ(f, g) के रूप में लिखा जा सकता है f + g, f⋅g, या fg; उलटा ι(g) के रूप में लिखा जा सकता है −g या g⁻¹. गुणात्मक संकेतन का उपयोग करके, साहचर्य, पहचान और व्युत्क्रम कानूनों को फिर से लिखा जा सकता है: f(gh) = (fg)h, ge = eg = g और gg⁻¹ = g⁻¹g = e.

एफ़िन बीजगणितीय समूह का सबसे प्रमुख उदाहरण है GL_n(k), डिग्री का सामान्य रैखिक समूह n. यह सदिश स्थान के रैखिक परिवर्तनों का समूह है kⁿ; यदि आधार (रैखिक बीजगणित) का kⁿ, नियत है, यह के समूह के समतुल्य है n×n में प्रविष्टियों के साथ उलटा आव्यूह k. यह दिखाया जा सकता है कि कोई भी बीजगणितीय समूह उपसमूह के लिए आइसोमोर्फिक है GL_n(k). इस कारण से,एफ़ाइन बीजगणितीय समूहों को अक्सर रैखिक बीजगणितीय समूह कहा जाता है।

परिमित बीजगणितीय समूह परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, क्योंकि झूठ प्रकार के समूह के सभी सेट हैं F_q- सजातीय बीजगणितीय समूह के तर्कसंगत अंक, जहां F_q परिमित क्षेत्र है।

सामान्यीकरण

• यदि लेखक को बीजगणितीय रूप से बंद होने के लिएएफ़ाइन विविधता के आधार क्षेत्र की आवश्यकता होती है (जैसा कि यह लेख करता है), तो गैर-बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों पर इरेड्यूसिबलएफ़ाइन बीजगणितीय सेटएफ़ाइन विविधता ों का सामान्यीकरण है। इस सामान्यीकरण में विशेष रूप से वास्तविक संख्याओं पर एफ़िन विविधता ों को शामिल किया गया है।

• बीजगणितीय विविधता ों के लिए संबधित विविधता स्थानीय चार्ट की भूमिका निभाती है; कहने का तात्पर्य यह है कि सामान्य बीजगणितीय विविधता ें जैसे कि प्रोजेक्टिव विविधता को ग्लूइंग एफाइन विविधता ों द्वारा प्राप्त किया जाता है। रेखीय संरचनाएं जो विविधता ों से जुड़ी होती हैं, वे भी (तुच्छ रूप से) एफ़िन विविधता ें होती हैं; उदाहरण के लिए, स्पर्शरेखा रिक्त स्थान, बीजगणितीय वेक्टर बंडलों के तंतु।

• affine विविधता एफ़ाइन स्कीम का विशेष मामला है, स्थानीय रूप से रिंग वाली जगह जो कम्यूटेटिव रिंग (श्रेणियों की समानता तक) के रिंग के स्पेक्ट्रम के लिए आइसोमोर्फिक है। प्रत्येकएफ़ाइन विविधता से जुड़ी एफ़ाइन योजना होती है: if V(I) में एफ़ाइन विविधता है kⁿ निर्देशांक वलय के साथ R = k[x₁, ..., x_n] / I, फिर इसके अनुरूप योजना V(I) है Spec(R), के प्रमुख आदर्शों का सेट R. एफ़िन योजना में शास्त्रीय बिंदु हैं जो विविधता के बिंदुओं के अनुरूप हैं (और इसलिए विविधता के समन्वय रिंग के अधिकतम आदर्श), और विविधता के प्रत्येक बंद उप- विविधता के लिए बिंदु भी है (ये बिंदु प्रधान, गैर-अधिकतम आदर्शों के अनुरूप हैं) समन्वय की अंगूठी की)। यह प्रत्येक बंद उप- विविधता को खुला बिंदु निर्दिष्ट करके, जो उप- विविधता में सघन है, संबधित विविधता के सामान्य बिंदु की अधिक अच्छी तरह से परिभाषित धारणा बनाता है। अधिक आम तौर पर, एफ़िन योजना एफ़िन विविधता है यदि यह बीजगणितीय ज्यामिति # आर, इर्रेड्यूसबल घटक, और परिमित आकारिकी # बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर परिमित प्रकार की शब्दावली है k.

यह भी देखें

• बीजगणितीय विविधता
• एफ़िन योजना
• निर्देशांक वलयों पर प्रतिनिधित्व

संदर्भ

The original article was written as a partial human translation of the corresponding French article.

• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
• Fulton, William (1969). Algebraic Curves (PDF). Addison-Wesley. ISBN 0-201-510103.
• Milne, J.S. (2017). "Algebraic Geometry" (PDF). www.jmilne.org. Retrieved 16 July 2021.
• Milne, Lectures on Étale cohomology
• Mumford, David (1999). The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1358 (2nd ed.). Springer-Verlag. doi:10.1007/b62130. ISBN 354063293X.
• Reid, Miles (1988). Undergraduate Algebraic Geometry. Cambridge University Press. ISBN 0-521-35662-8.