न्यूनतम प्रतिरूप (भौतिकी): Difference between revisions

Latest revision as of 15:13, 19 October 2023

सैद्धांतिक भौतिकी में, एक न्यूनतम प्रतिरूप या विरासोरो न्यूनतम प्रतिरूप एक द्वि-आयामी अनुकोण क्षेत्र सिद्धांत है जिसका वर्णक्रम विरासोरो बीजगणित के परिमित संख्या के कई अखंडनीय अभ्यावेदन से बनाया गया है। न्यूनतम प्रतिरूप को इसलिए वर्गीकृत और हल किया गया है, ताकि यह ADE वर्गीकरण का पालन कर सके।^[1] शब्द न्यूनतम प्रतिरूप एक बीजगणित पर आधारित एक उचित CFT का भी उल्लेख कर सकता है जो वीरासोरो बीजगणित से बड़ा है, जैसे W-बीजगणित।

विरासोरो बीजगणित के सटीक अभ्यावेदन

अभ्यावेदन

न्यूनतम प्रतिरूप में, विरासोरो बीजगणित का प्रमुख प्रभार प्रकार के मान लेता है

c_{p,q}=1-6{(p-q)^{2} \over pq}\ .

जहाँ $p,q$ सह अभाज्य पूर्णांक हैं जैसे कि $p,q\geq 2$ . फिर अपहृसित अभ्यावेदन के अनुरूप परिमाप हैं

h_{r,s}={\frac {(pr-qs)^{2}-(p-q)^{2}}{4pq}}\ ,\quad {\text{with}}\ r,s\in \mathbb {N} ^{*}\ ,

और वे सर्वसमिका का पालन करते हैं

h_{r,s}=h_{q-r,p-s}=h_{r+q,s+p}\ .

न्यूनतम प्रतिरूप के वर्णक्रम, विरासोरो बीजगणित के अखंडनीय, अपहृसित निम्नतम-वजन अभ्यावेदन से बने होते हैं, जिनके अनुरूप परिमाप $h_{r,s}$ प्रकार के हैं

1\leq r\leq q-1\quad ,\quad 1\leq s\leq p-1\ .

ऐसा अभ्यावेदन ${\mathcal {R}}_{r,s}$ एक वर्मा मॉड्यूल का एक सह समुच्चय है, जो इसके अनंत संख्या से कई असतहीय उपप्रतिरूपक द्वारा बनाया गया है। यह ऐकिक है अगर और केवल $|p-q|=1$ .

किसी दिए गए प्रमुख प्रभार पर, ${\frac {1}{2}}(p-1)(q-1)$ इस प्रकार के विशिष्ट अभ्यावेदन है। इन अभ्यावेदन, या उनके अनुरूप परिमापों के सेट को मापदंडों $(p,q)$ के साथ Kac तालिका कहा जाता है। Kac तालिका समान्यतः $(q-1)\times (p-1)$ , आकार के आयत के रूप में खींची जाती है, जहां संबंध के कारण प्रत्येक अभ्यावेदन दो बार प्रकट होता है

{\mathcal {R}}_{r,s}={\mathcal {R}}_{q-r,p-s}\ .

संलयन नियम

बहुअपहृसित अभ्यावेदन के संलयन नियम ${\mathcal {R}}_{r,s}$ उनके सभी शून्य सदिश से बाधाओं को कूटबद्ध करते हैं। इसलिए उन्हे केवल अपहृसित अभ्यावेदन के संलयन नियमों से घटाया जा सकता है, जो एकाकी शून्य सदिश से बाधाओं को कूटबद्ध करता है।^[2]स्पष्ट रूप से, संलयन नियम

{\mathcal {R}}_{r_{1},s_{1}}\times {\mathcal {R}}_{r_{2},s_{2}}=\sum _{r_{3}{\overset {2}{=}}|r_{1}-r_{2}|+1}^{\min(r_{1}+r_{2},2q-r_{1}-r_{2})-1}\ \sum _{s_{3}{\overset {2}{=}}|s_{1}-s_{2}|+1}^{\min(s_{1}+s_{2},2p-s_{1}-s_{2})-1}{\mathcal {R}}_{r_{3},s_{3}}\ ,

है, जहां योग दो की वृद्धि से चलता है।

वर्गीकरण

A-श्रृंखला न्यूनतम प्रतिरूप: विकर्ण स्थिति

किसी भी सह अभाज्य पूर्णांक $p,q$ के लिए जैसे कि $p,q\geq 2$ , एक विकर्ण न्यूनतम प्रतिरूप उपस्थित है जिसके वर्णक्रम Kac तालिका में प्रत्येक विशिष्ट अभ्यावेदन की एक प्रति है:

{\mathcal {S}}_{p,q}^{\text{A-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{r=1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\ .

 $(p,q)$  और  $(q,p)$  प्रतिरूप समान हैं।

दो क्षेत्रों के OPE में वे सभी क्षेत्र समिलित हैं जो संबंधित अभ्यावेदन के संलयन नियमों द्वारा अनुमत हैं।

D-श्रृंखला न्यूनतम प्रतिरूप

प्रमुख प्रभार $c_{p,q}$ के साथ D-श्रृंखला न्यूनतम प्रतिरूप उपस्थित है यदि $p$ या $q$ सम और कम से कम $6$ हैं। समरूपता $p\leftrightarrow q$ का उपयोग करके हम मानते हैं कि $q$ सम है, तो $p$ विषम है। वर्णक्रम वह जगह है

{\mathcal {S}}_{p,q}^{\text{D-series}}\ \ {\underset {q\equiv 0\operatorname {mod} 4,\ q\geq 8}{=}}\ \ {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\oplus {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}2}^{q-2}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{q-r,s}\ ,

{\mathcal {S}}_{p,q}^{\text{D-series}}\ \ {\underset {q\equiv 2\operatorname {mod} 4,\ q\geq 6}{=}}\ \ {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\oplus {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{q-r,s}\ ,

जहां $r$ के योग दो की वृद्धि से चलते हैं। किसी दिए गए वर्णक्रम में, प्रत्येक अभ्यावेदन में बहुलता एक होती है, ${\mathcal {R}}_{{\frac {q}{2}},s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{{\frac {q}{2}},s}$ इस प्रकार के अभ्यावेदन के अतिरिक्त $q\equiv 2\ \mathrm {mod} \ 4$ , जिसकी बहुलता दो है। वर्णक्रम के लिए हमारे सूत्र में ये अभ्यावेदन वास्तव में दोनों शब्दों में दिखाई देते हैं।

दो क्षेत्रों के OPE में वे सभी क्षेत्र समिलित हैं जो संबंधित अभ्यावेदन के संलयन नियमों द्वारा अनुमत हैं, और जो विकर्णता के संरक्षण का सम्मान करते हैं: एक विकर्ण और एक गैर-विकर्ण क्षेत्र का OPE केवल गैर-विकर्ण क्षेत्र उत्पन्न करता है, और OPE एक ही प्रकार के दो क्षेत्रों से केवल विकर्ण क्षेत्र प्राप्त होते हैं।^[3]

इस नियम के लिए अभ्यावेदन की एक प्रति ${\mathcal {R}}_{{\frac {q}{2}},s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{{\frac {q}{2}},s}$ को विकर्ण के रूप में गिना जाता है, और दूसरी प्रति को गैर-विकर्ण के रूप में गिना जाता है।

E-श्रृंखला न्यूनतम प्रतिरूप

E-श्रृंखला के न्यूनतम प्रतिरूप की तीन श्रृंखलाएँ हैं। प्रत्येक श्रृंखला $q\in \{12,18,30\},$ के किसी दिए गए मान के लिए उपस्थित है $p\geq 2$ जो $q$ के साथ सह अभाज्य है (इसका मतलब है $p\geq 5$ ) अंकन $|{\mathcal {R}}|^{2}={\mathcal {R}}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}$ का उपयोग करना:

{\mathcal {S}}_{p,12}^{\text{E-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{s=1}^{p-1}\left\{\left|{\mathcal {R}}_{1,s}\oplus {\mathcal {R}}_{7,s}\right|^{2}\oplus \left|{\mathcal {R}}_{4,s}\oplus {\mathcal {R}}_{8,s}\right|^{2}\oplus \left|{\mathcal {R}}_{5,s}\oplus {\mathcal {R}}_{11,s}\right|^{2}\right\}\ ,

{\mathcal {S}}_{p,18}^{\text{E-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{s=1}^{p-1}\left\{\left|{\mathcal {R}}_{9,s}\oplus 2{\mathcal {R}}_{3,s}\right|^{2}\ominus 4\left|{\mathcal {R}}_{3,s}\right|^{2}\oplus \bigoplus _{r\in \{1,5,7\}}\left|{\mathcal {R}}_{r,s}\oplus {\mathcal {R}}_{18-r,s}\right|^{2}\right\}\ ,

{\mathcal {S}}_{p,30}^{\text{E-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{s=1}^{p-1}\left\{\left|\bigoplus _{r\in \{1,11,19,29\}}{\mathcal {R}}_{r,s}\right|^{2}\oplus \left|\bigoplus _{r\in \{7,13,17,23\}}{\mathcal {R}}_{r,s}\right|^{2}\right\}\ .

उदाहरण

निम्नलिखित A-श्रृंखला न्यूनतम प्रतिरूप प्रसिद्ध भौतिक तंत्र से संबंधित हैं:^[2]

$(p,q)=(3,2)$ : तुच्छ CFT,
$(p,q)=(5,2)$ : यांग-ली एज विलक्षणता,
$(p,q)=(4,3)$ : द्वि-आयामी आइसिंग निदर्श,
$(p,q)=(5,4)$ : त्री क्रांतिक आइसिंग निदर्श,
$(p,q)=(6,5)$ : चतुष्क क्रांतिक आइसिंग निदर्श।

निम्नलिखित D-श्रृंखला न्यूनतम प्रतिरूप प्रसिद्ध भौतिक तंत्र से संबंधित हैं:

$(p,q)=(6,5)$ : 3-स्थिति क्वांटम थ्री-स्थिति पॉट्स प्रतिरूप क्रांतिकता पर,
$(p,q)=(7,6)$ : त्री क्रांतिक 3-स्थिति पॉट्स प्रतिरूप।

इन प्रतिरूपों की Kac तालिकाएँ, साथ ही में कुछ अन्य Kac तालिकाएँ $2\leq q\leq 6$ , हैं:

{\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cc}1&0&0\\\hline &1&2\end{array}}\\c_{3,2}=0\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccc}1&0&-{\frac {1}{5}}&-{\frac {1}{5}}&0\\\hline &1&2&3&4\end{array}}\\c_{5,2}=-{\frac {22}{5}}\end{array}}

{\begin{array}{c}{\begin{array}{c|ccc}2&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{16}}&0\\1&0&{\frac {1}{16}}&{\frac {1}{2}}\\\hline &1&2&3\end{array}}\\c_{4,3}={\frac {1}{2}}\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccc}2&{\frac {3}{4}}&{\frac {1}{5}}&-{\frac {1}{20}}&0\\1&0&-{\frac {1}{20}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {3}{4}}\\\hline &1&2&3&4\end{array}}\\c_{5,3}=-{\frac {3}{5}}\end{array}}

{\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccc}3&{\frac {3}{2}}&{\frac {3}{5}}&{\frac {1}{10}}&0\\2&{\frac {7}{16}}&{\frac {3}{80}}&{\frac {3}{80}}&{\frac {7}{16}}\\1&0&{\frac {1}{10}}&{\frac {3}{5}}&{\frac {3}{2}}\\\hline &1&2&3&4\end{array}}\\c_{5,4}={\frac {7}{10}}\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccccc}3&{\frac {5}{2}}&{\frac {10}{7}}&{\frac {9}{14}}&{\frac {1}{7}}&-{\frac {1}{14}}&0\\2&{\frac {13}{16}}&{\frac {27}{112}}&-{\frac {5}{112}}&-{\frac {5}{112}}&{\frac {27}{112}}&{\frac {13}{16}}\\1&0&-{\frac {1}{14}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {9}{14}}&{\frac {10}{7}}&{\frac {5}{2}}\\\hline &1&2&3&4&5&6\end{array}}\\c_{7,4}=-{\frac {13}{14}}\end{array}}

{\begin{array}{c}{\begin{array}{c|ccccc}4&3&{\frac {13}{8}}&{\frac {2}{3}}&{\frac {1}{8}}&0\\3&{\frac {7}{5}}&{\frac {21}{40}}&{\frac {1}{15}}&{\frac {1}{40}}&{\frac {2}{5}}\\2&{\frac {2}{5}}&{\frac {1}{40}}&{\frac {1}{15}}&{\frac {21}{40}}&{\frac {7}{5}}\\1&0&{\frac {1}{8}}&{\frac {2}{3}}&{\frac {13}{8}}&3\\\hline &1&2&3&4&5\end{array}}\\c_{6,5}={\frac {4}{5}}\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccccc}4&{\frac {15}{4}}&{\frac {16}{7}}&{\frac {33}{28}}&{\frac {3}{7}}&{\frac {1}{28}}&0\\3&{\frac {9}{5}}&{\frac {117}{140}}&{\frac {8}{35}}&-{\frac {3}{140}}&{\frac {3}{35}}&{\frac {11}{20}}\\2&{\frac {11}{20}}&{\frac {3}{35}}&-{\frac {3}{140}}&{\frac {8}{35}}&{\frac {117}{140}}&{\frac {9}{5}}\\1&0&{\frac {1}{28}}&{\frac {3}{7}}&{\frac {33}{28}}&{\frac {16}{7}}&{\frac {15}{4}}\\\hline &1&2&3&4&5&6\end{array}}\\c_{7,5}={\frac {11}{35}}\end{array}}

{\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccccc}5&5&{\frac {22}{7}}&{\frac {12}{7}}&{\frac {5}{7}}&{\frac {1}{7}}&0\\4&{\frac {23}{8}}&{\frac {85}{56}}&{\frac {33}{56}}&{\frac {5}{56}}&{\frac {1}{56}}&{\frac {3}{8}}\\3&{\frac {4}{3}}&{\frac {10}{21}}&{\frac {1}{21}}&{\frac {1}{21}}&{\frac {10}{21}}&{\frac {4}{3}}\\2&{\frac {3}{8}}&{\frac {1}{56}}&{\frac {5}{56}}&{\frac {33}{56}}&{\frac {85}{56}}&{\frac {23}{8}}\\1&0&{\frac {1}{7}}&{\frac {5}{7}}&{\frac {12}{7}}&{\frac {22}{7}}&5\\\hline &1&2&3&4&5&6\end{array}}\\c_{7,6}={\frac {6}{7}}\end{array}}

संदर्भ

↑ A. Cappelli, J-B. Zuber, "A-D-E Classification of Conformal Field Theories", Scholarpedia
↑ ^2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 P. Di Francesco, P. Mathieu, and D. Sénéchal, Conformal Field Theory, 1997, ISBN 0-387-94785-X
↑ I. Runkel, "Structure constants for the D series Virasoro minimal models", hep-th/9908046
↑ ^4.0 ^4.1 S. Ribault, "Conformal field theory on the plane", arXiv:1406.4290
↑ I. Runkel, G. Watts, "A Nonrational CFT with c = 1 as a limit of minimal models", arXiv:hep-th/0107118
↑ V. Schomerus, "Rolling tachyons from Liouville theory",arXiv:hep-th/0306026
↑ T. Quella, I. Runkel, G. Watts, "Reflection and Transmission for Conformal Defects", arxiv:hep-th/0611296
↑ Runkel, Ingo; Watts, Gerard (2020). "Fermionic CFTs and classifying algebras". Journal of High Energy Physics. 2020 (6): 25. arXiv:2001.05055. Bibcode:2020JHEP...06..025R. doi:10.1007/JHEP06(2020)025. S2CID 210718696.

[1] A. Cappelli, J-B. Zuber, "A-D-E Classification of Conformal Field Theories", Scholarpedia

[BYB-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 P. Di Francesco, P. Mathieu, and D. Sénéchal, Conformal Field Theory, 1997, ISBN 0-387-94785-X

[3] I. Runkel, "Structure constants for the D series Virasoro minimal models", hep-th/9908046

[rib14-4] 4.0 ^4.1 S. Ribault, "Conformal field theory on the plane", arXiv:1406.4290

[5] I. Runkel, G. Watts, "A Nonrational CFT with c = 1 as a limit of minimal models", arXiv:hep-th/0107118

[6] V. Schomerus, "Rolling tachyons from Liouville theory",arXiv:hep-th/0306026

[7] T. Quella, I. Runkel, G. Watts, "Reflection and Transmission for Conformal Defects", arxiv:hep-th/0611296

[rw20-8] Runkel, Ingo; Watts, Gerard (2020). "Fermionic CFTs and classifying algebras". Journal of High Energy Physics. 2020 (6): 25. arXiv:2001.05055. Bibcode:2020JHEP...06..025R. doi:10.1007/JHEP06(2020)025. S2CID 210718696.

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 {{Short description|Family of solved 2D conformal field theories}}
-[[सैद्धांतिक भौतिकी]] में, एक '''न्यूनतम प्रतिरूप''' या '''विरासोरो न्यूनतम प्रतिरूप''' एक [[द्वि-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत|द्वि-आयामी अनुकोण क्षेत्र सिद्धांत]] है जिसका वर्णक्रम [[विरासोरो बीजगणित]] के परिमित संख्या के कई [[अलघुकरणीय प्रतिरूपण|अखंडनीय निरूपण]] से बनाया गया है। न्यूनतम प्रतिरूप को इसलिए वर्गीकृत और हल किया गया है, ताकि यह [[एडीई वर्गीकरण|ADE वर्गीकरण]] का पालन कर सके।<ref>A. Cappelli, J-B. Zuber, "A-D-E Classification of Conformal Field Theories", [http://www.scholarpedia.org/article/A-D-E_Classification_of_Conformal_Field_Theories Scholarpedia]</ref> शब्द न्यूनतम प्रतिरूप एक बीजगणित पर आधारित एक उचित CFT का भी उल्लेख कर सकता है जो वीरासोरो बीजगणित से बड़ा है, जैसे [[W-बीजगणित]]।
+[[सैद्धांतिक भौतिकी]] में, एक '''न्यूनतम प्रतिरूप''' या '''विरासोरो न्यूनतम प्रतिरूप''' एक [[द्वि-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत|द्वि-आयामी अनुकोण क्षेत्र सिद्धांत]] है जिसका वर्णक्रम [[विरासोरो बीजगणित]] के परिमित संख्या के कई [[अलघुकरणीय प्रतिरूपण|अखंडनीय अभ्यावेदन]] से बनाया गया है। न्यूनतम प्रतिरूप को इसलिए वर्गीकृत और हल किया गया है, ताकि यह [[एडीई वर्गीकरण|ADE वर्गीकरण]] का पालन कर सके।<ref>A. Cappelli, J-B. Zuber, "A-D-E Classification of Conformal Field Theories", [http://www.scholarpedia.org/article/A-D-E_Classification_of_Conformal_Field_Theories Scholarpedia]</ref> शब्द न्यूनतम प्रतिरूप एक बीजगणित पर आधारित एक उचित CFT का भी उल्लेख कर सकता है जो वीरासोरो बीजगणित से बड़ा है, जैसे [[W-बीजगणित]]।
-== विरासोरो बीजगणित के सटीक निरूपण ==
+== विरासोरो बीजगणित के सटीक अभ्यावेदन ==
-=== निरूपण ===
+=== अभ्यावेदन ===
-न्यूनतम प्रतिरूप में, विरासोरो बीजगणित का केंद्रीय आवेश प्रकार के मान लेता है
+न्यूनतम प्रतिरूप में, विरासोरो बीजगणित का प्रमुख प्रभार प्रकार के मान लेता है
 :<math> c_{p,q} = 1 - 6 {(p-q)^2 \over pq}\ .</math>
-जहाँ <math> p, q </math> सह अभाज्य पूर्णांक हैं जैसे कि <math>p,q \geq 2</math>. फिर पतित निरूपण के अनुकोण आयाम हैं
+जहाँ <math> p, q </math> सह अभाज्य पूर्णांक हैं जैसे कि <math>p,q \geq 2</math>. फिर अपहृसित अभ्यावेदन के अनुरूप परिमाप हैं
 :<math> h_{r,s} = \frac{(pr-qs)^2-(p-q)^2}{4pq}\ , \quad \text{with}\ r,s\in\mathbb{N}^*\ ,</math>
-और वे तत्समक का पालन करते हैं
+और वे सर्वसमिका का पालन करते हैं
 :<math> h_{r,s} = h_{q-r,p-s} = h_{r+q,s+p}\ . </math>
-न्यूनतम प्रतिरूप के वर्णक्रम, विरासोरो बीजगणित के अखंडनीय, पतित निम्नतम-वजन निरूपण से बने होते हैं, जिनके अनुकोण आयाम <math>h_{r,s}</math> प्रकार के हैं
+न्यूनतम प्रतिरूप के वर्णक्रम, विरासोरो बीजगणित के अखंडनीय, अपहृसित निम्नतम-वजन अभ्यावेदन से बने होते हैं, जिनके अनुरूप परिमाप <math>h_{r,s}</math> प्रकार के हैं
 :<math> 1\leq r \leq q-1 \quad , \quad 1\leq s \leq p-1\ . </math>
-ऐसा निरूपण <math>\mathcal{R}_{r,s}</math> एक [[वर्मा मॉड्यूल]] का एक सह समुच्चय है, जो इसके अनंत संख्या से कई असतहीय उपप्रतिरूपक द्वारा बनाया गया है। यह ऐकिक है अगर और केवल <math>|p-q|=1</math>.
+ऐसा अभ्यावेदन <math>\mathcal{R}_{r,s}</math> एक [[वर्मा मॉड्यूल]] का एक सह समुच्चय है, जो इसके अनंत संख्या से कई असतहीय उपप्रतिरूपक द्वारा बनाया गया है। यह ऐकिक है अगर और केवल <math>|p-q|=1</math>.
-किसी दिए गए केंद्रीय आवेश पर, <math>\frac12(p-1)(q-1)</math> इस प्रकार के विशिष्ट निरूपण है। इन निरूपण, या उनके अनुकोण आयामों के सेट को मापदंडों <math>(p, q)</math> के साथ केएसी तालिका कहा जाता है। केएसी तालिका समान्यतः <math>(q-1)\times (p-1)</math>, आकार के आयत के रूप में खींची जाती है, जहां संबंध के कारण प्रत्येक निरूपण दो बार प्रकट होता है
+किसी दिए गए प्रमुख प्रभार पर, <math>\frac12(p-1)(q-1)</math> इस प्रकार के विशिष्ट अभ्यावेदन है। इन अभ्यावेदन, या उनके अनुरूप परिमापों के सेट को मापदंडों <math>(p, q)</math> के साथ Kac तालिका कहा जाता है। '''Kac तालिका''' समान्यतः <math>(q-1)\times (p-1)</math>, आकार के आयत के रूप में खींची जाती है, जहां संबंध के कारण प्रत्येक अभ्यावेदन दो बार प्रकट होता है
 :
 :<math> \mathcal{R}_{r,s} = \mathcal{R}_{q-r,p-s}\ . </math>
@@ Line 23: / Line 23: @@
 === संलयन नियम ===
-बहुपतित निरूपण के संलयन नियम <math>\mathcal{R}_{r,s}</math> उनके सभी अशक्त वैक्टर से बाधाओं को कूटबद्ध करते हैं। इसलिए उन्हे केवल पतित निरूपण के संलयन नियमों से घटाया जा सकता है, जो एकाकी शून्य वैक्टर से बाधाओं को कूटबद्ध करता है।<ref name = "BYB"/>स्पष्ट रूप से, संलयन नियम
+बहुअपहृसित अभ्यावेदन के संलयन नियम <math>\mathcal{R}_{r,s}</math> उनके सभी शून्य सदिश से बाधाओं को कूटबद्ध करते हैं। इसलिए उन्हे केवल अपहृसित अभ्यावेदन के संलयन नियमों से घटाया जा सकता है, जो एकाकी शून्य सदिश से बाधाओं को कूटबद्ध करता है।<ref name = "BYB"/>स्पष्ट रूप से, संलयन नियम
 :<math>
 \mathcal{R}_{r_1,s_1} \times \mathcal{R}_{r_2,s_2} = \sum_{r_3\overset{2}{=}|r_1-r_2|+1}^{\min(r_1+r_2,2q-r_1-r_2)-1}\ \sum_{s_3\overset{2}{=}|s_1-s_2|+1}^{\min(s_1+s_2,2p-s_1-s_2)-1} \mathcal{R}_{r_3,s_3}\ ,
 </math>
-है, जहां रकम दो की वृद्धि से चलती है।
+है, जहां योग दो की वृद्धि से चलता है।
 == वर्गीकरण ==
@@ Line 33: / Line 33: @@
 === A-श्रृंखला न्यूनतम प्रतिरूप: विकर्ण स्थिति ===
-किसी भी सह अभाज्य पूर्णांक के लिए <math>p,q</math> जैसे कि <math>p,q\geq 2</math>, एक विकर्ण न्यूनतम प्रतिरूप उपस्थित है जिसके वर्णक्रम केएसी तालिका में प्रत्येक विशिष्ट निरूपण की एक प्रति है:
+किसी भी सह अभाज्य पूर्णांक <math>p,q</math> के लिए जैसे कि <math>p,q\geq 2</math>, एक विकर्ण न्यूनतम प्रतिरूप उपस्थित है जिसके वर्णक्रम Kac तालिका में प्रत्येक विशिष्ट अभ्यावेदन की एक प्रति है:
 :<math> \mathcal{S}_{p,q}^\text{A-series} = \frac12 \bigoplus_{r=1}^{q-1}\bigoplus_{s=1}^{p-1} \mathcal{R}_{r,s}\otimes \bar{\mathcal{R}}_{r,s}\ . </math>
   <math> (p,q)</math> और <math>(q,p)</math> प्रतिरूप समान हैं।
-दो क्षेत्रों के OPE में वे सभी क्षेत्र समिलित हैं जो संबंधित निरूपण के संलयन नियमों द्वारा अनुमत हैं।
+दो क्षेत्रों के OPE में वे सभी क्षेत्र समिलित हैं जो संबंधित अभ्यावेदन के संलयन नियमों द्वारा अनुमत हैं।
 === D-श्रृंखला न्यूनतम प्रतिरूप ===
@@ Line 43: / Line 43: @@
 प्रमुख प्रभार <math>c_{p,q}</math> के साथ D-श्रृंखला न्यूनतम प्रतिरूप उपस्थित है यदि <math>p</math> या <math>q</math> सम और कम से कम <math>6</math> हैं। समरूपता <math>p\leftrightarrow q</math> का उपयोग करके हम मानते हैं कि <math>q </math> सम है, तो <math>p</math> विषम है। वर्णक्रम वह जगह है
-है
 :<math>
 \mathcal{S}_{p,q}^{\text{D-series}} \ \ \underset{q\equiv 0\operatorname{mod} 4,\  q\geq 8}{=}\ \ \frac12 \bigoplus_{r\overset{2}{=}1}^{q-1} \bigoplus_{s=1}^{p-1} \mathcal{R}_{ r,s} \otimes \bar{\mathcal{R}}_{r,s}\oplus \frac12\bigoplus_{r\overset{2}{=}2}^{q-2} \bigoplus_{s=1}^{p-1} \mathcal{R}_{r,s} \otimes \bar{\mathcal{R}}_{q-r,s}\ ,
@@ Line 50: / Line 49: @@
 \mathcal{S}_{p,q}^{\text{D-series}} \ \ \underset{q\equiv 2\operatorname{mod} 4,\ q\geq 6}{=}\ \ \frac12 \bigoplus_{r\overset{2}{=}1}^{q-1} \bigoplus_{s=1}^{p-1} \mathcal{R}_{ r,s} \otimes \bar{\mathcal{R}}_{r,s}\oplus \frac12\bigoplus_{r\overset{2}{=}1}^{q-1} \bigoplus_{s=1}^{p-1} \mathcal{R}_{r,s} \otimes \bar{\mathcal{R}}_{q-r,s}\ ,
 </math>
-जहां <math>r</math> के योग दो की वृद्धि से चलते हैं। किसी दिए गए वर्णक्रम में, प्रत्येक निरूपण में बहुलता एक होती है, <math>\mathcal{R}_{\frac{q}{2},s}\otimes \bar{\mathcal{R}}_{\frac{q}{2},s}</math> इस प्रकार के निरूपण के अतिरिक्त <math>q\equiv 2\ \mathrm{mod}\ 4</math>, जिसकी बहुलता दो है। वर्णक्रम के लिए हमारे सूत्र में ये निरूपण वास्तव में दोनों शब्दों में दिखाई देते हैं।
+जहां <math>r</math> के योग दो की वृद्धि से चलते हैं। किसी दिए गए वर्णक्रम में, प्रत्येक अभ्यावेदन में बहुलता एक होती है, <math>\mathcal{R}_{\frac{q}{2},s}\otimes \bar{\mathcal{R}}_{\frac{q}{2},s}</math> इस प्रकार के अभ्यावेदन के अतिरिक्त <math>q\equiv 2\ \mathrm{mod}\ 4</math>, जिसकी बहुलता दो है। वर्णक्रम के लिए हमारे सूत्र में ये अभ्यावेदन वास्तव में दोनों शब्दों में दिखाई देते हैं।
-दो क्षेत्रों के OPE में वे सभी क्षेत्र समिलित हैं जो संबंधित निरूपण के संलयन नियमों द्वारा अनुमत हैं, और जो विकर्णता के संरक्षण का सम्मान करते हैं: एक विकर्ण और एक गैर-विकर्ण क्षेत्र का OPE केवल गैर-विकर्ण क्षेत्र उत्पन्न करता है, और OPE एक ही प्रकार के दो क्षेत्रों से केवल विकर्ण क्षेत्र प्राप्त होते हैं।
+दो क्षेत्रों के OPE में वे सभी क्षेत्र समिलित हैं जो संबंधित अभ्यावेदन के संलयन नियमों द्वारा अनुमत हैं, और जो '''विकर्णता के संरक्षण''' का सम्मान करते हैं: एक विकर्ण और एक गैर-विकर्ण क्षेत्र का OPE केवल गैर-विकर्ण क्षेत्र उत्पन्न करता है, और OPE एक ही प्रकार के दो क्षेत्रों से केवल विकर्ण क्षेत्र प्राप्त होते हैं।<ref> I. Runkel, "Structure constants for the D series Virasoro minimal models", [https://arxiv.org/abs/hep-th/9908046 hep-th/9908046]</ref>
- <ref> I. Runkel, "Structure constants for the D series Virasoro minimal models", [https://arxiv.org/abs/hep-th/9908046 hep-th/9908046]</ref>
-इस नियम के लिए निरूपण की एक प्रति <math>\mathcal{R}_{\frac{q}{2},s}\otimes \bar{\mathcal{R}}_{\frac{q}{2},s}</math> को विकर्ण के रूप में गिना जाता है, और दूसरी प्रति को गैर-विकर्ण के रूप में गिना जाता है।
+इस नियम के लिए अभ्यावेदन की एक प्रति <math>\mathcal{R}_{\frac{q}{2},s}\otimes \bar{\mathcal{R}}_{\frac{q}{2},s}</math> को विकर्ण के रूप में गिना जाता है, और दूसरी प्रति को गैर-विकर्ण के रूप में गिना जाता है।
 === E-श्रृंखला न्यूनतम प्रतिरूप ===
-ई-श्रृंखला के न्यूनतम प्रतिरूप की तीन श्रृंखलाएँ हैं। प्रत्येक श्रृंखला के दिए गए मान के लिए उपस्थित है <math>q\in\{12,18,30\},</math> किसी के लिए <math>p\geq 2</math> वह सह अभाज्य है <math>q</math>. (यह वास्तव में तात्पर्य है <math>p\geq 5</math>।) अंकन का उपयोग करना <math>|\mathcal{R}|^2 = \mathcal{R}\otimes \bar{\mathcal{R}}</math>वर्णक्रम पढ़ता है:
+E-श्रृंखला के न्यूनतम प्रतिरूप की तीन श्रृंखलाएँ हैं। प्रत्येक श्रृंखला <math>q\in\{12,18,30\},</math> के किसी दिए गए मान के लिए उपस्थित है  <math>p\geq 2</math> जो <math>q</math> के साथ सह अभाज्य है (इसका मतलब है <math>p\geq 5</math>) अंकन  <math>|\mathcal{R}|^2 = \mathcal{R}\otimes \bar{\mathcal{R}}</math> का उपयोग करना:
 :<math> \mathcal{S}^\text{E-series}_{p,12} = \frac12 \bigoplus_{s=1}^{p-1} \left\{
 \left| \mathcal{R}_{1,s}\oplus \mathcal{R}_{7,s}\right|^2
@@ Line 73: / Line 73: @@
 == उदाहरण ==
-निम्नलिखित ए-श्रृंखला न्यूनतम प्रतिरूप प्रसिद्ध भौतिक प्रणालियों से संबंधित हैं:<ref name="BYB">P. Di Francesco, P. Mathieu, and D. Sénéchal, ''Conformal Field Theory'', 1997, {{ISBN|0-387-94785-X}}</ref>
+निम्नलिखित A-श्रृंखला न्यूनतम प्रतिरूप प्रसिद्ध भौतिक तंत्र से संबंधित हैं:<ref name="BYB">P. Di Francesco, P. Mathieu, and D. Sénéchal, ''Conformal Field Theory'', 1997, {{ISBN|0-387-94785-X}}</ref>
-* <math>(p,q)=(3,2)</math> : तुच्छ सीएफटी,
+* <math>(p,q)=(3,2)</math> : तुच्छ CFT,
-* <math>(p,q)=(5,2)</math> : यांग-ली बढ़त विलक्षणता,
+* <math>(p,q)=(5,2)</math> : यांग-ली एज विलक्षणता,
-* <math>(p,q)=(4,3)</math> : [[द्वि-आयामी महत्वपूर्ण आइसिंग मॉडल|द्वि-आयामी महत्वपूर्ण आइसिंग प्रतिरूप]],
+* <math>(p,q)=(4,3)</math> : [[द्वि-आयामी महत्वपूर्ण आइसिंग मॉडल|द्वि-आयामी आइसिंग निदर्श]],
-* <math>(p,q)=(5,4)</math> : ट्राइक्रिटिकल आइसिंग प्रतिरूप,
+* <math>(p,q)=(5,4)</math> : त्री क्रांतिक आइसिंग निदर्श,
-* <math>(p,q)=(6,5)</math> : टेट्राक्रिटिकल आइसिंग प्रतिरूप।
+* <math>(p,q)=(6,5)</math> : चतुष्क क्रांतिक आइसिंग निदर्श।
-निम्नलिखित डी-श्रृंखला न्यूनतम प्रतिरूप प्रसिद्ध भौतिक प्रणालियों से संबंधित हैं:
+निम्नलिखित D-श्रृंखला न्यूनतम प्रतिरूप प्रसिद्ध भौतिक तंत्र से संबंधित हैं:
-* <math>(p,q)=(6,5)</math> : 3-स्टेट [[क्वांटम थ्री-स्टेट पॉट्स मॉडल|क्वांटम थ्री-स्टेट पॉट्स प्रतिरूप]] क्रिटिकलिटी पर,
+* <math>(p,q)=(6,5)</math> : 3-स्थिति [[क्वांटम थ्री-स्टेट पॉट्स मॉडल|क्वांटम थ्री-स्थिति पॉट्स प्रतिरूप]] क्रांतिकता पर,
-* <math>(p,q)=(7,6)</math> : ट्राइक्रिटिकल 3-स्टेट पॉट्स प्रतिरूप।
+* <math>(p,q)=(7,6)</math> : त्री क्रांतिक 3-स्थिति पॉट्स प्रतिरूप।
-इन मॉडलों की Kac तालिकाएँ, साथ में कुछ अन्य Kac तालिकाएँ <math>2\leq q \leq 6</math>, हैं:
+इन प्रतिरूपों की Kac तालिकाएँ, साथ ही में कुछ अन्य Kac तालिकाएँ <math>2\leq q \leq 6</math>, हैं:
 :<math>
 \begin{array}{c}\begin{array}{c|cc} 1 & 0 & 0 \\  \hline & 1 & 2 \end{array}\\ c_{3,2}=0 \end{array}
@@ Line 111: / Line 111: @@
 == संबंधित अनुकोण क्षेत्र सिद्धांत ==
-=== कोसेट प्राप्ति ===
+=== सह समुच्चय प्रतिफलन ===
+सूचकांकों <math>(p,q)</math> के साथ A-श्रृंखला न्यूनतम प्रतिरूप WZW प्रतिरूप के निम्नलिखित सह समुच्चय के साथ मेल खाता है:<ref name = "BYB"/>:<math> \frac{SU(2)_k\times SU(2)_1}{SU(2)_{k+1}}\ , \quad \text{where} \quad k = \frac{q}{p-q}-2\ .</math>
+यह मानते हुए कि <math>p>q</math>, स्तर <math>k</math> पूर्णांक है अगर और केवल <math>p=q+1</math> यानी अगर और केवल न्यूनतम प्रतिरूप एकात्मक है।
-सूचकांकों के साथ ए-श्रृंखला न्यूनतम प्रतिरूप <math>(p,q)</math> WZW प्रतिरूप के निम्नलिखित कोसेट के साथ मेल खाता है:<ref name = "BYB"/>:<math> \frac{SU(2)_k\times SU(2)_1}{SU(2)_{k+1}}\ , \quad \text{where} \quad k = \frac{q}{p-q}-2\ .</math> यह मानते हुए <math>p>q</math>, स्तर <math>k</math> पूर्णांक है अगर और केवल अगर <math>p=q+1</math> यानी अगर और केवल अगर न्यूनतम प्रतिरूप एकात्मक है।
+WZW प्रतिरूप के सह समुच्चय के रूप में कुछ न्यूनतम प्रतिरूप, विकर्ण या नहीं, के अन्य प्रतिफलन उपस्थित हैं, जरूरी नहीं है कि यह समूह <math>SU(2)</math> पर ही आधारित हो।<ref name="BYB" />
-WZW प्रतिरूप के कोसेट के रूप में कुछ न्यूनतम प्रतिरूप, विकर्ण या नहीं, के अन्य अहसास उपस्थित हैं, जरूरी नहीं कि समूह पर आधारित हो <math>SU(2)</math>.<ref name = "BYB"/>
 === सामान्यीकृत न्यूनतम प्रतिरूप ===
-किसी भी केंद्रीय शुल्क के लिए <math>c\in\mathbb{C}</math>, एक विकर्ण CFT है जिसका वर्णक्रम सभी पतित निरूपण से बना है,
+किसी भी प्रमुख प्रभार <math>c\in\mathbb{C}</math> के लिए, एक विकर्ण CFT है जिसका वर्णक्रम सभी अपहृसित अभ्यावेदन से बना होता है,
 :<math> \mathcal{S}=\bigoplus_{r,s=1}^\infty \mathcal{R}_{r,s}\otimes \bar{\mathcal{R}}_{r,s} \ . </math>
-जब केंद्रीय प्रभार जाता है <math>c_{p,q}</math>, सामान्यीकृत न्यूनतम प्रतिरूप संबंधित ए-श्रृंखला न्यूनतम प्रतिरूप के लिए होते हैं।<ref name="rib14">S. Ribault, "Conformal field theory on the plane", [https://arxiv.org/abs/1406.4290 arXiv:1406.4290]</ref> इसका विशेष रूप से मतलब है कि पतित निरूपण जो कि केएसी तालिका में नहीं हैं।
+जब प्रमुख प्रभार <math>c_{p,q}</math>, की ओर जाता है, तो सामान्यीकृत न्यूनतम प्रतिरूप संबंधित A-श्रृंखला के प्रवृत्त होते हैं।<ref name="rib14">S. Ribault, "Conformal field theory on the plane", [https://arxiv.org/abs/1406.4290 arXiv:1406.4290]</ref> इसका विशेष रूप से मतलब है कि अपहृसित अभ्यावेदन जो कि Kac तालिका में नहीं हैं।
 === लिउविल सिद्धांत ===
-चूंकि लिउविले क्षेत्र सिद्धांत सामान्यीकृत न्यूनतम प्रतिरूप में कम हो जाता है जब खेतों को पतित होने के लिए लिया जाता है,<ref name="rib14"/>जब केंद्रीय प्रभार भेजा जाता है तो यह ए-सीरीज़ न्यूनतम प्रतिरूप को और कम कर देता है <math>c_{p,q}</math>.
+चूंकि [[लिउविले क्षेत्र सिद्धांत]] सामान्यीकृत न्यूनतम प्रतिरूप में कम हो जाता है जब क्षेत्रों को अपहृसित होने के लिए लिया जाता है,<ref name="rib14"/> जब केंद्रीय प्रभार <math>c_{p,q}</math> को भेजा जाता है तो यह A-श्रृंखला न्यूनतम प्रतिरूप को और कम कर देता है।
-इसके अलावा, ए-सीरीज़ के न्यूनतम प्रतिरूप की एक अच्छी तरह से परिभाषित सीमा होती है <math>c\to 1</math>: रंकेल-वाट्स सिद्धांत नामक एक सतत वर्णक्रम के साथ एक विकर्ण सीएफटी,<ref>I. Runkel, G. Watts, "A Nonrational CFT with c = 1 as a limit of minimal models", [https://arxiv.org/abs/hep-th/0107118 arXiv:hep-th/0107118]</ref> जो लिउविल सिद्धांत की सीमा के साथ मेल खाता है जब <math>c\to 1^+</math>.<ref>V. Schomerus, "Rolling tachyons from Liouville theory",[https://arxiv.org/abs/hep-th/0306026 arXiv:hep-th/0306026]</ref>
+इसके अतिरिक्त, A-श्रृंखला के न्यूनतम प्रतिरूप में <math>c\to 1</math> के रूप में एक अच्छी तरह से परिभाषित सीमा होती है: रंकेल-वाट्स सिद्धांत नामक एक सतत वर्णक्रम के साथ एक विकर्ण CFT,<ref>I. Runkel, G. Watts, "A Nonrational CFT with c = 1 as a limit of minimal models", [https://arxiv.org/abs/hep-th/0107118 arXiv:hep-th/0107118]</ref> जो लिउविल सिद्धांत की सीमा के साथ मेल खाता है जब <math>c\to 1^+</math>.<ref>V. Schomerus, "Rolling tachyons from Liouville theory",[https://arxiv.org/abs/hep-th/0306026 arXiv:hep-th/0306026]</ref>
-=== न्यूनतम प्रतिरूप के उत्पाद ===
+=== न्यूनतम प्रतिरूप के गुणन ===
-न्यूनतम प्रतिरूप के तीन मामले हैं जो दो न्यूनतम प्रतिरूप के उत्पाद हैं।<ref>T. Quella, I. Runkel, G. Watts, "Reflection and Transmission for Conformal Defects", [https://arxiv.org/abs/hep-th/0611296 arxiv:hep-th/0611296]</ref>
+न्यूनतम प्रतिरूप की तीन स्थितियाँ हैं जो दो न्यूनतम प्रतिरूप के गुणन हैं।<ref>T. Quella, I. Runkel, G. Watts, "Reflection and Transmission for Conformal Defects", [https://arxiv.org/abs/hep-th/0611296 arxiv:hep-th/0611296]</ref>उनके वर्णक्रम के स्तर पर, संबंध निम्न हैं:
-उनके वर्णक्रम के स्तर पर, संबंध हैं:
 :<math> \mathcal{S}^\text{A-series}_{2,5}\otimes \mathcal{S}^\text{A-series}_{2,5} = \mathcal{S}^\text{D-series}_{3,10}\ , </math>
 :<math> \mathcal{S}^\text{A-series}_{2,5}\otimes \mathcal{S}^\text{A-series}_{3,4} =
@@ Line 142: / Line 144: @@
-===न्यूनतम मॉडलों का फर्मियोनिक विस्तार===
+===न्यूनतम प्रतिरूपों का फर्मियोनिक विस्तार===
-अगर <math>q\equiv 0\bmod 4</math>, ए-सीरीज़ और डी-सीरीज़ <math>(p,q)</math> न्यूनतम प्रतिरूप में प्रत्येक का फर्मीओनिक विस्तार होता है। इन दो फर्मियोनिक एक्सटेंशन में अर्ध-पूर्णांक स्पिन वाले फ़ील्ड समिलित हैं, और वे एक समानता-शिफ्ट ऑपरेशन द्वारा एक दूसरे से संबंधित हैं।<ref name="rw20"/>
+अगर <math>q\equiv 0\bmod 4</math>, A-सीरीज़ और D-सीरीज़ <math>(p,q)</math> न्यूनतम प्रतिरूप में प्रत्येक का फर्मीओनिक विस्तार होता है। इन दो फर्मियोनिक विस्तार में अर्ध-पूर्णांक घुमाव वाले क्षेत्र समिलित हैं, और वे एक समानता-परिवर्तन संचालन द्वारा एक दूसरे से संबंधित हैं।<ref name="rw20"/>
@@ Line 154: / Line 156: @@
 {{Quantum field theories}}
-{{DEFAULTSORT:Minimal Models}}[[Category: अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत]] [[Category: बिल्कुल हल करने योग्य मॉडल]]
+{{DEFAULTSORT:Minimal Models}}
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Collapse templates|Minimal Models]]
-[[Category:Created On 18/04/2023]]
+[[Category:Created On 18/04/2023|Minimal Models]]
+[[Category:Lua-based templates|Minimal Models]]
+[[Category:Machine Translated Page|Minimal Models]]
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Latest revision as of 15:13, 19 October 2023

Contents

विरासोरो बीजगणित के सटीक अभ्यावेदन

अभ्यावेदन

संलयन नियम

वर्गीकरण

A-श्रृंखला न्यूनतम प्रतिरूप: विकर्ण स्थिति

D-श्रृंखला न्यूनतम प्रतिरूप

E-श्रृंखला न्यूनतम प्रतिरूप

उदाहरण

संबंधित अनुकोण क्षेत्र सिद्धांत

सह समुच्चय प्रतिफलन

सामान्यीकृत न्यूनतम प्रतिरूप

लिउविल सिद्धांत

न्यूनतम प्रतिरूप के गुणन

न्यूनतम प्रतिरूपों का फर्मियोनिक विस्तार

संदर्भ

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D-श्रृंखला न्यूनतम प्रतिरूप

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संबंधित अनुकोण क्षेत्र सिद्धांत

सह समुच्चय प्रतिफलन

सामान्यीकृत न्यूनतम प्रतिरूप

लिउविल सिद्धांत

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न्यूनतम प्रतिरूपों का फर्मियोनिक विस्तार

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