रैखिक समूह

गणित में, एक मैट्रिक्स समूह एक समूह (गणित) G होता है जिसमें मैट्रिक्स गुणन के संचालन के साथ एक निर्दिष्ट क्षेत्र (गणित) K पर उलटा मैट्रिक्स मैट्रिक्स (गणित) होता है। एक रैखिक समूह एक ऐसा समूह है जो एक मैट्रिक्स समूह के लिए समूह समरूपता होता है (अर्थात, जो कि K पर विश्वसनीय, सीमित समूह प्रतिनिधित्व को स्वीकार करता है)।

कोई भी परिमित समूह रैखिक होता है, क्योंकि केली के उपयोग से परिवर्तन मैट्रिक्सों का उपयोग करके उसे प्राप्त किया जा सकता है। अनंत समूह सिद्धांत के बीच, रैखिक समूह एक दिलचस्प और सुगम वर्ग बनाते हैं। गैर-रैखिक समूहों के उदाहरणों में वे समूह शामिल हैं जो "बहुत बड़े" समूह हैं (उदाहरण के लिए, एक अनंत सेट के क्रमपरिवर्तन का समूह), या जो कुछ रोग संबंधी व्यवहार प्रदर्शित करते हैं (उदाहरण के लिए, अंतिम रूप से उत्पन्न समूह अनंत मरोड़ वाले समूह)।

परिभाषा और बुनियादी उदाहरण

एक समूह G को रैखिक कहा जाता है यदि एक क्षेत्र K, एक पूर्णांक d और G से सामान्य रैखिक समूह GL_d(K) तक एक इंजेक्शन समूह समाकारिता मौजूद होता है। (K पर आयाम d के विश्वसनीय रैखिक प्रतिनिधित्व का एक वफादार रैखिक प्रतिनिधित्व): ययदि आवश्यक हो तो G को डिग्री d के K पर रैखिक कहा जा सकता है। उन समूहों को शामिल करते हैं जो एक रैखिक समूह के उपसमूह के रूप में परिभाषित किए गए हैं, उदाहरण के लिए:

1. GL_n(K) समूह इसी तरह का है;
2. विशेष रैखिक समूह SL_n(K) (निर्धारक 1 के साथ मेट्रिसेस का उपसमूह);
3. उल्टे ऊपरी (या निचले) त्रिकोणीय मैट्रिक्स का समूह
4. अगर G_i एक संग्रह है जो एक समूह I द्वारा सूचकांक सेट हैं, तो G_i द्वारा उत्पन्न किए गए उपसमूह एक रैखिक समूह हैं।

झूठ समूहों के अध्ययन में, कभी-कभी झूठ समूहों पर ध्यान देने के लिए शैक्षणिक रूप से सुविधाजनक होता है, जिन्हें जटिल संख्याओं के क्षेत्र में ईमानदारी से प्रदर्शित किया जा सकता है। (कुछ लेखकों की आवश्यकता है कि समूह को GL_n(C) के एक बंद उपसमूह के रूप में प्रतिनिधित्व किया जाना चाहिए।) इस दृष्टिकोण से इस प्रकार की पुस्तकें हॉल (2015) शामिल हैं और रॉसमैन (2002)।

रैखिक समूहों की कक्षाएं

शास्त्रीय समूह और संबंधित उदाहरण

उपरोक्त उदाहरण 1 और 2 का सामान्यीकरण करने के लिए, सामान्य रूप से कहे जाने वाले क्लासिकल समूहों को बनाया जाता है। वे रैखिक बीजगणितीय समूहों के रूप में उत्पन्न होते हैं, अर्थात GL_n के उपसमूहों होते हैं जो एक सीमित संख्या के समीकरणोंद्वारा परिभाषित होते हैं। मूल उदाहरण ओर्थोगोनल समूह, एकात्मक समूह और सहानुभूतिपूर्ण समूह हैं लेकिन विभाजन बीजगणित (उदाहरण के लिए क्वाटरनियन बीजगणित के एक युक्ति समूह का इकाई समूह एक शास्त्रीय समूह है) का उपयोग करके अधिक समूह निर्मित किये जा सकते हैं। ध्यान दें कि इन समूहों से संबंधित प्रोजेक्टिव समूह भी रैखिक होते हैं, हालांकि इसका स्पष्टतया पता नहीं चलता है। उदाहरण के लिए, समूह PSLR₂(R) एक 2 × 2 मैट्रिक्सों का समूह नहीं है, लेकिन इसका एक विश्वसनीय रूपवादक 3 × 3 मैट्रिक्सों के रूप में होता है (एडजॉइंट रूपवादन), जो सामान्य मामले में उपयोग किया जा सकता है।

बहुत से झूठ समूह रैखिक होते हैं, लेकिन सभी नहीं होते हैं। SL₂(R) टोपोलॉजी और यूनिवर्सल कवर का यूनिवर्सल कवर(आर) रैखिक नहीं है, जैसा कि कई हल करने योग्य समूह हैं, उदाहरण के लिए एक केंद्रीय उपसमूह चक्रीय उपसमूह द्वारा हाइजेनबर्ग समूह के विभाग समूह।

शास्त्रीय झूठ समूहों के असतत उपसमूह (उदाहरण के लिए जाली (असतत उपसमूह) या पतला समूह (बीजगणितीय समूह सिद्धांत) भी दिलचस्प रैखिक समूहों के उदाहरण हैं।

परिमित समूह

आदेश (समूह सिद्धांत) n का एक परिमित समूह G किसी भी क्षेत्र K पर अधिकतम n डिग्री का रैखिक है। इस कथन को कभी-कभी केली प्रमेय कहा जाता है, और केवल इस तथ्य से परिणाम होता है कि समूह रिंग K[G] पर G की क्रिया बाएं (या दाएं) गुणा रैखिक और वफादार है। लाइ प्रकार का समूह (परिमित क्षेत्रों पर शास्त्रीय समूह) परिमित सरल समूहों का एक महत्वपूर्ण परिवार है, क्योंकि वे परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में अधिकांश स्लॉट लेते हैं।

बारीकी से उत्पन्न मैट्रिक्स समूह

जबकि उपरोक्त उदाहरण 4 एक विशिष्ट वर्ग (इसमें सभी रैखिक समूह शामिल हैं) को परिभाषित करने के लिए बहुत सामान्य है, एक परिमित सूचकांक सेट I तक सीमित है, जो कि सूक्ष्म रूप से उत्पन्न समूहों के लिए कई दिलचस्प उदाहरणों का निर्माण करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए:

• पिंग-पोंग लेम्मा का उपयोग रैखिक समूहों के कई उदाहरणों के निर्माण के लिए किया जा सकता है जो मुक्त समूह हैं (उदाहरण के लिए समूह द्वारा उत्पन्न समूह ${\bigl (}{}_{2}^{1}\,_{1}^{0}{\bigr )},\,{\bigl (}{}_{0}^{1}\,_{1}^{2}{\bigr )}$ आज़ाद है)।
• अंकगणितीय समूहों को अंतिम रूप से उत्पन्न होने के लिए जाना जाता है। दूसरी ओर, किसी दिए गए अंकगणितीय समूह के लिए जनरेटर का एक स्पष्ट सेट खोजना एक कठिन समस्या है।
• ब्रेड समूहों (जिन्हें सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत समूह के रूप में परिभाषित किया गया है) का एक आयाम (वेक्टर स्पेस)|परिमित-आयामी जटिल वेक्टर स्पेस पर वफादार रैखिक प्रतिनिधित्व है जहां जनरेटर स्पष्ट मैट्रिसेस द्वारा कार्य करते हैं।

ज्यामिति से उदाहरण

कुछ मामलों में एक ज्यामितीय संरचना से आने वाले अभ्यावेदन का उपयोग करके कई गुना के मूलभूत समूह को रैखिक दिखाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, जीनस (गणित) की कम से कम 2 सभी बंद सतहें अतिशयोक्तिपूर्ण रीमैन सतहें हैं। एकरूपता प्रमेय के माध्यम से यह अतिशयोक्तिपूर्ण विमान के आइसोमेट्री समूह में अपने मौलिक समूह के प्रतिनिधित्व को जन्म देता है, जो कि पीएसएल के लिए आइसोमोर्फिक है₂(आर) और यह मौलिक समूह को फ्यूचियन समूह के रूप में महसूस करता है। इस निर्माण का एक सामान्यीकरण एक (जी, एक्स) - संरचना | ( जी , एक्स ) - कई गुना पर संरचना की धारणा द्वारा दिया गया है।

एक और उदाहरण सीफर्ट कई गुना ्स का मौलिक समूह है। दूसरी ओर, यह ज्ञात नहीं है कि 3-कई गुना के सभी मौलिक समूह रैखिक हैं या नहीं।

गुण

जबकि रैखिक समूह उदाहरणों का एक विशाल वर्ग हैं, सभी अनंत समूहों के बीच वे कई उल्लेखनीय गुणों से अलग हैं। सूक्ष्म रूप से उत्पन्न रैखिक समूहों में निम्नलिखित गुण होते हैं:

• वे अवशिष्ट परिमित समूह हैं;
• बर्नसाइड समस्या|बर्नसाइड की प्रमेय: परिमित मरोड़ समूह का एक मरोड़ समूह समूह जो विशेषता 0 के एक क्षेत्र पर रैखिक है, परिमित होना चाहिए;
• शूर की प्रमेय: एक मरोड़ समूह रैखिक समूह स्थानीय रूप से परिमित समूह है। विशेष रूप से, यदि यह परिमित रूप से उत्पन्न होता है तो यह परिमित होता है।
• सेलबर्ग की लेम्मा: किसी भी परिमित रूप से उत्पन्न रैखिक समूह में एक उपसमूह के परिमित सूचकांक का मरोड़-मुक्त समूह | मरोड़-मुक्त उपसमूह होता है।

स्तन विकल्प बताता है कि एक रैखिक समूह में या तो एक गैर-अबेलियन मुक्त समूह होता है या फिर वास्तव में हल करने योग्य होता है (अर्थात, परिमित सूचकांक का एक हल करने योग्य समूह होता है)। इसके कई और परिणाम हैं, उदाहरण के लिए:

• परिमित रूप से उत्पन्न रैखिक समूह का देह फलन या तो बहुपद या चरघातांकी हो सकता है;
• एक उत्तरदायी समूह रैखिक समूह वास्तव में हल करने योग्य है, विशेष रूप से प्रारंभिक उत्तरदायी;
• वॉन न्यूमैन अनुमान रैखिक समूहों के लिए सत्य है।

गैर रैखिक समूहों के उदाहरण

गैर-रैखिक समूहों के असीम रूप से उत्पन्न उदाहरण देना कठिन नहीं है: उदाहरण के लिए अनंत एबेलियन समूह (Z/2Z)^{एन</सुप> एक्स (जेड/3जेड)N रैखिक नहीं हो सकता। चूंकि अनंत सेट पर सममित समूह में यह समूह होता है, यह भी रैखिक नहीं है। बारीक रूप से उत्पन्न उदाहरणों को खोजना सूक्ष्म है और आमतौर पर ऊपर सूचीबद्ध गुणों में से एक के उपयोग की आवश्यकता होती है।}

• चूँकि कोई भी परिमित रैखिक समूह अवशिष्ट रूप से परिमित है, यह सरल और अनंत दोनों नहीं हो सकता। इस प्रकार सूक्ष्म रूप से उत्पन्न अनंत सरल समूह, उदाहरण के लिए थॉम्पसन समूह | थॉम्पसन का समूह एफ, और हिगमैन का समूह, रैखिक नहीं हैं।
• ऊपर उल्लिखित स्तन विकल्प के परिणाम के अनुसार, मध्यवर्ती विकास के समूह जैसे कि ग्रिगोरचुक का समूह रैखिक नहीं है।
• फिर से स्तन विकल्प द्वारा, जैसा कि वॉन न्यूमैन अनुमान के सभी प्रति-उदाहरणों के ऊपर उल्लेख किया गया है, रैखिक नहीं हैं। इसमें थॉम्पसन समूह | थॉम्पसन का समूह एफ और टार्स्की राक्षस समूह शामिल हैं।
• बर्नसाइड के प्रमेय द्वारा, अनंत, सूक्ष्मता से उत्पन्न मरोड़ समूह जैसे टार्स्की राक्षस समूह रैखिक नहीं हो सकते।
• ऐसे अतिपरवलयिक समूहों के उदाहरण हैं जो रैखिक नहीं हैं, जिन्हें झूठ समूहों Sp(n, 1) में जाली के भागफल के रूप में प्राप्त किया जाता है।
• बाहरी ऑटोमॉर्फिज़्म समूह आउट(मजेदार)|आउट(OF_n) मुक्त समूह के n कम से कम 4 के लिए रैखिक नहीं होने के लिए जाना जाता है।
• ब्रेड समूहों के मामले के विपरीत, यह एक खुली समस्या है कि क्या जीनस> 1 की सतह का मानचित्रण वर्ग समूह रैखिक है।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत

एक बार एक समूह रैखिक होने के लिए स्थापित हो जाने के बाद, इसके लिए सबसे कम संभव आयाम के उदाहरण के लिए, या यहां तक ​​​​कि इसके सभी रैखिक प्रतिनिधित्वों को वर्गीकृत करने की कोशिश करने के लिए इसके लिए इष्टतम वफादार रैखिक प्रतिनिधित्व खोजने की कोशिश करना दिलचस्प है (उन लोगों सहित जो वफादार नहीं हैं)। ये प्रश्न प्रतिनिधित्व सिद्धांत का उद्देश्य हैं। सिद्धांत के मुख्य भागों में शामिल हैं:

• परिमित समूहों का प्रतिनिधित्व सिद्धांत;
• झूठ समूहों और अधिक सामान्यतः रैखिक बीजगणितीय समूहों का प्रतिनिधित्व सिद्धांत।

अनंत रूप से उत्पन्न समूहों का प्रतिनिधित्व सिद्धांत सामान्य रूप से रहस्यमय है; इस मामले में रुचि की वस्तु समूह की चरित्र विविधता है, जो केवल बहुत कम मामलों में अच्छी तरह से समझी जाती है, उदाहरण के लिए मुक्त समूह, सतह समूह और अधिक आम तौर पर झूठ समूहों में जाली (उदाहरण के लिए मार्गुलिस के अति कठोरता प्रमेय और अन्य कठोरता के माध्यम से) परिणाम)।

संदर्भ

• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.
• Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups: An Introduction through Linear Groups, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford University Press, ISBN 9780198596837.
• Suprnenko, D.A. (1976). Matrix groups. Translations of mathematical monographs. Vol. 45. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1595-4.
• Wehrfritz, B.A.F. (1973). Infinite linear groups. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Vol. 76. Springer-Verlag.