ब्राउनियन सतह: Difference between revisions
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[[File:Brownian surface.png|thumb|त्रि-आयामी ब्राउनियन सतह का एकल अहसास]]'''ब्राउनियन सतह''' आंशिक सतह है जो आंशिक | [[File:Brownian surface.png|thumb|त्रि-आयामी ब्राउनियन सतह का एकल अहसास]]'''ब्राउनियन सतह''' आंशिक सतह है जो आंशिक उन्नति कार्य के माध्यम से उत्पन्न होता है।<ref name=Russ >{{cite book|title=भग्न सतहें, खंड 1|first=John C.|last=Russ|year=1994|isbn=0-306-44702-9|page=167|url=https://books.google.com/books?id=qDQjyuuDRxUC&dq=%22brownian+surface%22&pg=PA167}}</ref><ref name=xie>{{cite book|title=रॉक यांत्रिकी में भग्न|first=Heping|last=Xie|year=1993|isbn=90-5410-133-4|page=73|url=https://books.google.com/books?id=lXElMU9_tIMC&dq=%22brownian+surface%22&pg=PA73}}</ref><ref>{{cite book|title=भग्न विकास घटना|first=Tamás|last=Vicsek|year=1992|isbn=981-02-0668-2|page=40|url=https://books.google.com/books?id=InnD-GTUi0gC&dq=%22brownian+surface%22&pg=PA40}}</ref> | ||
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उदाहरण के लिए, त्रि-आयामी मामले में, जहां दो चर X और Y निर्देशांक के रूप में दिए गए हैं, किन्हीं दो बिंदुओं (x<sub>1</sub>, | उदाहरण के लिए, त्रि-आयामी मामले में, जहां दो चर X और Y निर्देशांक के रूप में दिए गए हैं, किन्हीं दो बिंदुओं (x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>) और (x<sub>2</sub>, y<sub>2</sub>) के बीच वेक्टर दूरी बढ़ती है।<ref name=Russ /> तथापि, उन्नयन कार्य को परिभाषित करने के कई तरीके हैं। उदाहरण के लिए, [[आंशिक ब्राउनियन गति|भिन्नात्मक ब्राउनियन गति]] चर का उपयोग किया जा सकता है, या अधिक प्राकृतिक दिखने वाली सतहों को प्राप्त करने के लिए विभिन्न घूर्णन कार्य का उपयोग किया जा सकता है।<ref name=xie /> | ||
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भिन्नात्मक ब्राउनियन सतहों की कुशल पीढ़ी महत्वपूर्ण चुनौतियों पेश करती है।<ref>{{cite journal |author1=Kroese, D.P. |authorlink1=Dirk Kroese|author2=Botev, Z.I.|year=2015 |title=स्थानिक प्रक्रिया पीढ़ी|journal=Lectures on Stochastic Geometry, Spatial Statistics and Random Fields, Volume II: Analysis, Modeling and Simulation of Complex Structures, Springer-Verlag, Berlin|pages=369–404 |doi=10.1007/978-3-319-10064-7_12|arxiv=1308.0399|bibcode=2013arXiv1308.0399K}}</ref> चूंकि ब्राउनियन सतह गैर-स्थिर सहप्रसरण फ़ंक्शन के साथ गाऊसी प्रक्रिया का प्रतिनिधित्व करती है, इसलिए कोई [[चोल्स्की अपघटन]] विधि का उपयोग कर सकते हैं। स्टीन की विधि अधिक कुशल विधि है,<ref name="Stein">{{ Cite journal | author = Stein, M. L. | title = आंशिक ब्राउनियन गति का तेज़ और सटीक अनुकरण| journal = Journal of Computational and Graphical Statistics | year = 2002 | volume = 11 | issue = 3 | pages = 587–599 | doi = 10.1198/106186002466 | s2cid = 121718378 }}</ref> जो [[ परिपत्र एम्बेडिंग | | भिन्नात्मक ब्राउनियन सतहों की कुशल पीढ़ी महत्वपूर्ण चुनौतियों पेश करती है।<ref>{{cite journal |author1=Kroese, D.P. |authorlink1=Dirk Kroese|author2=Botev, Z.I.|year=2015 |title=स्थानिक प्रक्रिया पीढ़ी|journal=Lectures on Stochastic Geometry, Spatial Statistics and Random Fields, Volume II: Analysis, Modeling and Simulation of Complex Structures, Springer-Verlag, Berlin|pages=369–404 |doi=10.1007/978-3-319-10064-7_12|arxiv=1308.0399|bibcode=2013arXiv1308.0399K}}</ref> चूंकि ब्राउनियन सतह गैर-स्थिर सहप्रसरण फ़ंक्शन के साथ गाऊसी प्रक्रिया का प्रतिनिधित्व करती है, इसलिए कोई [[चोल्स्की अपघटन]] विधि का उपयोग कर सकते हैं। स्टीन की विधि अधिक कुशल विधि है,<ref name="Stein">{{ Cite journal | author = Stein, M. L. | title = आंशिक ब्राउनियन गति का तेज़ और सटीक अनुकरण| journal = Journal of Computational and Graphical Statistics | year = 2002 | volume = 11 | issue = 3 | pages = 587–599 | doi = 10.1198/106186002466 | s2cid = 121718378 }}</ref> जो [[ परिपत्र एम्बेडिंग |वृत्तीय एम्बेडिंग]] दृष्टिकोण का उपयोग करके सहायक स्थिर गाऊसी प्रक्रिया उत्पन्न करता है और फिर वांछित गैर-स्थिर गाऊसी प्रक्रिया प्राप्त करने के लिए इस सहायक प्रक्रिया को समायोजित करती है। नीचे दिया गया चित्र खुरदरापन या [[हर्स्ट पैरामीटर]] के विभिन्न मूल्यों के लिए भिन्नात्मक ब्राउनियन सतहों के तीन विशिष्ट प्राप्ति दिखाता है। हर्स्ट पैरामीटर हमेशा शून्य और एक के बीच होता है, जिसका मान चिकनी सतहों के अनुरूप के करीब होता है। ये सतहें स्टीन की विधि के [http://www.mathworks.com.au/matlabcentral/fileexchange/38945-fractional-brownian-field-or-surface-generator मैटलैब कार्यान्वयन] का उपयोग करके उत्पन्न किया गया था। | ||
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ब्राउनियन सतह आंशिक सतह है जो आंशिक उन्नति कार्य के माध्यम से उत्पन्न होता है।[1][2][3]
ब्राउनियन सतह का नाम ब्राउनियन गति के नाम पर रखा गया है।
उदाहरण
उदाहरण के लिए, त्रि-आयामी मामले में, जहां दो चर X और Y निर्देशांक के रूप में दिए गए हैं, किन्हीं दो बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) के बीच वेक्टर दूरी बढ़ती है।[1] तथापि, उन्नयन कार्य को परिभाषित करने के कई तरीके हैं। उदाहरण के लिए, भिन्नात्मक ब्राउनियन गति चर का उपयोग किया जा सकता है, या अधिक प्राकृतिक दिखने वाली सतहों को प्राप्त करने के लिए विभिन्न घूर्णन कार्य का उपयोग किया जा सकता है।[2]
आंशिक ब्राउनियन सतहों का निर्माण
भिन्नात्मक ब्राउनियन सतहों की कुशल पीढ़ी महत्वपूर्ण चुनौतियों पेश करती है।[4] चूंकि ब्राउनियन सतह गैर-स्थिर सहप्रसरण फ़ंक्शन के साथ गाऊसी प्रक्रिया का प्रतिनिधित्व करती है, इसलिए कोई चोल्स्की अपघटन विधि का उपयोग कर सकते हैं। स्टीन की विधि अधिक कुशल विधि है,[5] जो वृत्तीय एम्बेडिंग दृष्टिकोण का उपयोग करके सहायक स्थिर गाऊसी प्रक्रिया उत्पन्न करता है और फिर वांछित गैर-स्थिर गाऊसी प्रक्रिया प्राप्त करने के लिए इस सहायक प्रक्रिया को समायोजित करती है। नीचे दिया गया चित्र खुरदरापन या हर्स्ट पैरामीटर के विभिन्न मूल्यों के लिए भिन्नात्मक ब्राउनियन सतहों के तीन विशिष्ट प्राप्ति दिखाता है। हर्स्ट पैरामीटर हमेशा शून्य और एक के बीच होता है, जिसका मान चिकनी सतहों के अनुरूप के करीब होता है। ये सतहें स्टीन की विधि के मैटलैब कार्यान्वयन का उपयोग करके उत्पन्न किया गया था।
यह भी देखें
- वीनरप्रक्रम
- भिन्नात्मक ब्राउनियन गति
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 Russ, John C. (1994). भग्न सतहें, खंड 1. p. 167. ISBN 0-306-44702-9.
- ↑ 2.0 2.1 Xie, Heping (1993). रॉक यांत्रिकी में भग्न. p. 73. ISBN 90-5410-133-4.
- ↑ Vicsek, Tamás (1992). भग्न विकास घटना. p. 40. ISBN 981-02-0668-2.
- ↑ Kroese, D.P.; Botev, Z.I. (2015). "स्थानिक प्रक्रिया पीढ़ी". Lectures on Stochastic Geometry, Spatial Statistics and Random Fields, Volume II: Analysis, Modeling and Simulation of Complex Structures, Springer-Verlag, Berlin: 369–404. arXiv:1308.0399. Bibcode:2013arXiv1308.0399K. doi:10.1007/978-3-319-10064-7_12.
- ↑ Stein, M. L. (2002). "आंशिक ब्राउनियन गति का तेज़ और सटीक अनुकरण". Journal of Computational and Graphical Statistics. 11 (3): 587–599. doi:10.1198/106186002466. S2CID 121718378.
