द्विअनुकरण: Difference between revisions

Latest revision as of 15:49, 26 October 2023

सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में द्विअनुकरण संक्रमण प्रणालियों के बीच द्विआधारी संबंध होता है, इसके विपरीत सहयोगी प्रणालियाँ उसी तरह से व्यवहार करती है जिस तरह एक प्रणाली दूसरे का अनुकरण करती है।

सहज रूप से दो प्रणालियाँ द्विसमान होती है। इस अर्थ में, पर्यवेक्षक द्वारा प्रत्येक प्रणाली को दूसरे से अलग नहीं किया जा सकता है।

औपचारिक परिभाषा

एक संक्रमण प्रणाली को देखते हुए ( $S$ , $\Lambda$ , →), जहाँ $S$ का एक समूह है, $\Lambda$ का एक समूह है और → अंकित किए गए संक्रमण का एक समूह है (अर्थात, एक उपसमूह) $S\times \Lambda \times S$ ), द्विअनुकरण एक द्विआधारी संबंध है $R\subseteq S\times S$ , ऐसे कि दोनों $R$ और इसका विपरीत संबंध $R^{T}$ अनुकरण अनुक्रम है। इससे यह पता चलता है कि सममित सिमुलेशन एक द्विअनुकरण है। इस प्रकार कुछ लेखक द्विअनुकरण को सममित अनुकरण के रूप में परिभाषित करते है।^[1]

समान रूप से, $R$ के लिए यदि एक द्विअनुकरण है $(p,q)$ में $R$ और सभी अंकित है α में $\Lambda$ :

यदि $p\mathrel {\overset {\alpha }{\rightarrow }} p'$ , फिर वहाँ है $q\mathrel {\overset {\alpha }{\rightarrow }} q'$ ऐसा है कि $(p',q')\in R$ ,
यदि $q\mathrel {\overset {\alpha }{\rightarrow }} q'$ , फिर वहाँ है $p\mathrel {\overset {\alpha }{\rightarrow }} p'$ ऐसा है कि $(p',q')\in R$ .

दो संखयाए दिए गए $p$ और $q$ में $S$ , $p$ के समान है $q$ , लिखा हुआ $p\,\sim \,q$ , यदि कोई द्विअनुकरण है $R$ ऐसा है कि $(p,q)\in R$ . इसका मतलब है कि द्विसमानता संबंध $\,\sim \,$ सभी द्विअनुकरणों का मिलन है: $(p,q)\in \,\sim \,$ जब $(p,q)\in R$ द्विअनुकरण के लिए है $R$ .

द्विअनुकरण का समूह संघ के अंतर्गत बंद होता है,^{[Note 1]} इसलिए, द्विसमानता संबंध स्वयं एक द्विअनुकरण होता है। चूँकि यह सभी द्विअनुकरण का मिलन होता है, यह अद्वितीय सबसे बड़ा द्विअनुकरण होता है। द्विअनुकरण को पूर्व संबंधी, सममित और सकर्मक समापन के अनुसार भी बंद किया जाता है, इसलिए, सबसे बड़ा द्विअनुकरण प्रतिवर्ती, सममित और संक्रमणीय होती है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सबसे बड़ा द्विअनुकरण - द्विसमानता - एक तुल्यता संबंध है।^[2]

वैकल्पिक परिभाषाएँ

संबंधपरक परिभाषा

द्विअनुकरण को संबंधों की संरचना के संदर्भ में निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है।

एक संक्रमण प्रणाली दी गई $(S,\Lambda ,\rightarrow )$ , एक द्विअनुकरण संबंध (गणित) एक द्विआधारी संबंध है $R$ और $S$ (अर्थात, $R$ ⊆ $S$ × $S$ ) ऐसा है कि $\forall \alpha \in \Lambda$

R\ ;\ {\overset {\alpha }{\rightarrow }}\quad {\subseteq }\quad {\overset {\alpha }{\rightarrow }}\ ;\ R

और

R^{-1}\ ;\ {\overset {\alpha }{\rightarrow }}\quad {\subseteq }\quad {\overset {\alpha }{\rightarrow }}\ ;\ R^{-1}

संबंध संरचना की एकरसता और निरंतरता से, यह तुरंत पता चलता है कि द्विअनुकरण का समूह संघों (संबंधों की स्थिति में जुड़ता है) के अनुसार बंद होता है, और एक सरल बीजगणितीय गणना से पता चलता है कि द्विसमानता का संबंध - सभी द्विअनुकरण का जुड़ाव होता है। इस परिभाषा और द्विसमानता के संबंधित उपचार की व्याख्या किसी भी समावेशी मात्रा में की जा सकती है।

निश्चित बिंदु परिभाषा

द्विसमानता को अनुक्रम सिद्धांत में भी परिभाषित किया जा सकता है, नास्टर-टार्स्की सिद्धांत के संदर्भ में, अधिक त्रुटिहीन रूप से नीचे परिभाषित सबसे बड़े निश्चित बिंदु के रूप में एक निश्चित फलन होता है।

एक संक्रमण प्रणाली को देखते हुए ( $S$ , Λ, →), परिभाषित करता है $F:{\mathcal {P}}(S\times S)\to {\mathcal {P}}(S\times S)$ द्विआधारी संबंधों से एक फलन बनता है $S$ द्विआधारी संबंधों को समाप्त करने के लिए होता है $S$ , निम्नलिखित नुसार:

$R$ द्विआधारी संबंध को समाप्त करता है $S$ . $F(R)$ सभी जोड़ियों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है $(p,q)$ में $S$ × $S$ ऐसा है कि:

\forall \alpha \in \Lambda .\,\forall p'\in S.\,p{\overset {\alpha }{\rightarrow }}p'\,\Rightarrow \,\exists q'\in S.\,q{\overset {\alpha }{\rightarrow }}q'\,{\textrm {and}}\,(p',q')\in R

और

\forall \alpha \in \Lambda .\,\forall q'\in S.\,q{\overset {\alpha }{\rightarrow }}q'\,\Rightarrow \,\exists p'\in S.\,p{\overset {\alpha }{\rightarrow }}p'\,{\textrm {and}}\,(p',q')\in R

तब द्विसमानता को सबसे बड़े निश्चित बिंदु के रूप में परिभाषित किया जाता है

F

.

एहरनफ्यूच्ट-फ्रैस्से खेल परिभाषा

द्विसिम्यूलेशन को दो खिलाड़ियों के बीच खेल के संदर्भ में भी विचार किया जा सकता है: हमलावर और बचावकर्ता।

हमलावर पहले जाता है और कोई भी वैध संक्रमण चुन सकता है,  $\alpha$ , से  $(p,q)$ . वह है,

(p,q){\overset {\alpha }{\rightarrow }}(p',q)

या

 $(p,q){\overset {\alpha }{\rightarrow }}(p,q')$

फिर बचावकर्ता उस परिवर्तन से मेल खाने का प्रयास करता है, $\alpha$ दोनों से $(p',q)$ या $(p,q')$ अर्थात, उन्हें प्राप्त होता है $\alpha$ ऐसा है कि:

(p',q){\overset {\alpha }{\rightarrow }}(p',q')

या

 $(p,q'){\overset {\alpha }{\rightarrow }}(p',q')$

हमलावर और बचावकर्ता तब तक बारी-बारी से प्रयास करते रहते है:

बचावकर्ता हमलावर की गतिविधियाँ मेल खाने के लिए कोई वैध बदलाव प्राप्त करने में असमर्थ होती है। इस स्थिति में हमलावर जीत जाता है.
खेल तक पहुंचते है $(p,q)$ वे दोनों 'मृत' होते है (अर्थात, किसी भी राज्य से कोई परिवर्तन नहीं हुआ है) इस स्थिति में बचावकर्ता जीतता है
खेल हमेशा चलता रहता है, ऐसी स्थिति में बचावकर्ता जीतता है।
खेल तक पहुंचते है $(p,q)$ , जिसको पहले ही जाना जा चुका होता है। यह एक अनंत खेल के बराबर होता है और बचावकर्ता के लिए जीत के रूप में अंकित किया जाता है।

उपरोक्त परिभाषा के अनुसार प्रणाली एक द्विअनुकरण तभी होती है यदि जब बचावकर्ता के लिए जीतने की रणनीति उपस्थित होती है।

कोलगेब्रिक परिभाषा

संक्रमण प्रणालियों के लिए एक द्विअनुकरण सहसंयोजक ऊर्जा समूह प्रचालक के प्रकार के लिए कोलजेब्रा में द्विअनुकरण की एक विशेष स्थिति होती है। ध्यान दें कि प्रत्येक संक्रमण प्रणाली $(S,\Lambda ,\rightarrow )$ द्विभाजन फलन है $\xi _{\rightarrow }$ से $S$ के लिए $S$ द्वारा अनुक्रमित $\Lambda$ के रूप में लिखा गया है ${\mathcal {P}}(\Lambda \times S)$ , द्वारा परिभाषित है

p\mapsto \{(\alpha ,q)\in \Lambda \times S:p{\overset {\alpha }{\rightarrow }}q\}.

मान लेते है

\pi _{i}\colon S\times S\to S

और

i

- उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) मानचित्रण

(p,q)

को

p

और

q

क्रमशः के लिए

i=1,2

, और

{\mathcal {P}}(\Lambda \times \pi _{1})

की आगे की छवि

\pi _{1}

के तीसरे घटक को हटाकर परिभाषित किया जा सकता है

P\mapsto \{(\alpha ,p)\in \Lambda \times S:\exists q.(\alpha ,p,q)\in P\}

जहाँ

P

का एक उपसमुच्चय है

\Lambda \times S\times S

. इसी प्रकार के लिए

{\mathcal {P}}(\Lambda \times \pi _{2})

.

उपरोक्त अंकन का उपयोग करते हुए, एक संबंध $R\subseteq S\times S$ एक संक्रमण प्रणाली पर एक द्विअनुकरण होता है $(S,\Lambda ,\rightarrow )$ यदि कोई संक्रमण प्रणाली उपस्थित है $\gamma \colon R\to {\mathcal {P}}(\Lambda \times R)$ और $R$ जैसे कि यह क्रमविनिमेय आरेख है

आवागमन, अर्थात् के लिए $i=1,2$ , समीकरण

\xi _{\rightarrow }\circ \pi _{i}={\mathcal {P}}(\Lambda \times \pi _{i})\circ \gamma

जहाँ

\xi _{\rightarrow }

का कार्यात्मक प्रतिनिधित्व है

(S,\Lambda ,\rightarrow )

.

द्विअनुकरण के प्रकार

विशेष संदर्भों में द्विअनुकरण की धारणा को कभी-कभी अतिरिक्त आवश्यकताओं या बाधाओं को जोड़कर परिष्कृत किया जाता है। एक उदाहरण द्विअनुकरण का हकलाना होता है, जिसमें एक प्रणाली के एक संक्रमण को दूसरे के कई संक्रमणों के साथ मिलान किया जा सकता है, यदि मध्यवर्ती प्रारंभिक स्थिति (हकलाना) के बराबर होता है।^[3]

यदि संक्रमण प्रणाली एक अलग प्रकार लागू होता है, जिसे अधिकांशतः इसके साथ दर्शाया जाता है $\tau$ , अर्थात ऐसी क्रियाएं जो बाहरी पर्यवेक्षकों द्वारा दिखाई नहीं देती है, तो द्विअनुकरण को कमजोर द्विअनुकरण में शिथिल किया जा सकता है, जिसमें दो अवस्थाएं होती है $p$ और $q$ द्विसमान होते है और कुछ संख्या में आंतरिक क्रियाएं होती है $p$ के लिए $p'$ और $q'$ जैसे कि आंतरिक क्रियाओं की कुछ संख्या संभवतः शून्य होती है $q$ को $q'$ . एक संबंध ${\mathcal {R}}$ प्रक्रियाओं पर एक कमजोर द्विअनुकरण होता है यदि निम्नलिखित के साथ स्थित रहता है ${\mathcal {S}}\in \{{\mathcal {R}},{\mathcal {R}}^{-1}\}$ , और $a,\tau$ क्रमशः एक अवलोकनीय और मूक संक्रमण होता है:

\forall p,q.\quad (p,q)\in {\mathcal {S}}\Rightarrow p{\stackrel {\tau }{\rightarrow }}p'\Rightarrow \exists q'.\quad q{\stackrel {\tau ^{\ast }}{\rightarrow }}q'\wedge (p',q')\in {\mathcal {S}}

\forall p,q.\quad (p,q)\in {\mathcal {S}}\Rightarrow p{\stackrel {a}{\rightarrow }}p'\Rightarrow \exists q'.\quad q{\stackrel {\tau ^{\ast }a\tau ^{\ast }}{\rightarrow }}q'\wedge (p',q')\in {\mathcal {S}}

यह द्विअनुकरण से लेकर कंप्यूटर विज्ञान तक के संबंध तक निकटता से संबंधित होता है।

सामान्यतः, यदि संक्रमण प्रणाली एक प्रोग्रामिंग भाषा का परिगतिविधिन शब्दार्थ होता है, तो द्विअनुकरण की त्रुटिहीन परिभाषा प्रोग्रामिंग भाषा के प्रतिबंधों के लिए विशिष्ट होती है। इसलिए, सामान्यतः, संदर्भ के आधार पर एक से अधिक प्रकार के द्विअनुकरण, (द्विसमानता) संबंध हो सकते है।

द्विअनुकरण और प्रतिरूप तर्क

चूंकि क्रिपके शब्दार्थ संक्रमण प्रणालियों की एक विशेष स्थिति होती है, इसलिए द्विअनुकरण भी प्रतिरूप तर्क का एक विषय होता है। वास्तव में, प्रतिरूप तर्क द्विअनुकरण (जोहान के सिद्धांत) के अनुसार प्रथम-क्रम तर्क अपरिवर्तनीय होता है।

कलन विधि

कलन विधि दो परिमित संक्रमण प्रणालियाँ को द्विसमान बहुपद समय में किया जा सकता है।^[4] कलन विधि से विभाजन परिशोधन का उपयोग करते हुए चतुर्रेखीय समय में विभाजन की समस्या को कम किया जा सकता है।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Jančar, Petr and Srba, Jiří (2008). "डिफेंडर के दबाव से द्विसमानता की अनिश्चितता". J. ACM. New York, NY, USA: Association for Computing Machinery. 55 (1): 26. doi:10.1145/1326554.1326559. ISSN 0004-5411. S2CID 14878621.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
↑ Milner, Robin (1989). संचार और समवर्ती. USA: Prentice-Hall, Inc. ISBN 0131149849.
↑ Baier, Christel; Katoen, Joost-Pieter (2008). Principles of Model Checking. MIT Press. p. 527. ISBN 978-0-262-02649-9.
↑ Baier & Katoen (2008), Cor. 7.45, p. 486.

अग्रिम पठन

Park, David (1981). "Concurrency and Automata on Infinite Sequences". In Deussen, Peter (ed.). Theoretical Computer Science. Proceedings of the 5th GI-Conference, Karlsruhe. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 104. Springer-Verlag. pp. 167–183. doi:10.1007/BFb0017309. ISBN 978-3-540-10576-3.
Milner, Robin (1989). Communication and Concurrency. Prentice Hall. ISBN 0-13-114984-9.
Sangiorgi, Davide (2011). An introduction to Bisimulation and Coinduction. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 9781107003637. OCLC 773040572.

बाहरी संबंध

सॉफ्टवेयर उपकरण

सीएडीपी: विभिन्न द्विअनुकरण के अनुसार परिमित-राज्य प्रणालियों को कम करने और तुलना करने के लिए उपकरण
mCRL2: विभिन्न द्विअनुकरण के अनुसार परिमित-अवस्था प्रणालियों को छोटा करने और तुलना करने के लिए उपकरण
द द्विअनुकरण गेम गेम

श्रेणी:सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान श्रेणी:औपचारिक तरीके श्रेणी:कंप्यूटर विज्ञान में तर्क श्रेणी:संक्रमण प्रणालियाँ

[2] Meaning the union of two bisimulations is a bisimulation.

[1] Jančar, Petr and Srba, Jiří (2008). "डिफेंडर के दबाव से द्विसमानता की अनिश्चितता". J. ACM. New York, NY, USA: Association for Computing Machinery. 55 (1): 26. doi:10.1145/1326554.1326559. ISSN 0004-5411. S2CID 14878621.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[3] Milner, Robin (1989). संचार और समवर्ती. USA: Prentice-Hall, Inc. ISBN 0131149849.

[4] Baier, Christel; Katoen, Joost-Pieter (2008). Principles of Model Checking. MIT Press. p. 527. ISBN 978-0-262-02649-9.

[FOOTNOTEBaierKatoen2008Cor._7.45,_p._486-5] Baier & Katoen (2008), Cor. 7.45, p. 486.

[1]

[Note 1]

[2]

[3]

[4]

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-{{Short description|Relation between transition systems in computer science}}
+[[सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान]] में '''द्विअनुकरण''' संक्रमण प्रणालियों के बीच [[द्विआधारी संबंध]] होता है, इसके विपरीत सहयोगी प्रणालियाँ उसी तरह से व्यवहार करती है जिस तरह एक प्रणाली दूसरे का अनुकरण करती है।
-{{More citations needed|date=February 2017}}
-[[सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान]] में द्विसिमुलेशन राज्य संक्रमण प्रणालियों के बीच एक [[द्विआधारी संबंध]] है, सहयोगी प्रणालियाँ जो उसी तरह से व्यवहार करती हैं जिसमें एक प्रणाली दूसरे का अनुकरण करती है और इसके विपरीत।
-सहज रूप से दो प्रणालियाँ समान होती हैं यदि वे, यह मानते हुए कि हम उन्हें कुछ नियमों के अनुसार ''गेम'' खेलते हुए देखते हैं, एक-दूसरे की चाल से मेल खाते हैं। इस अर्थ में, पर्यवेक्षक द्वारा प्रत्येक प्रणाली को दूसरे से अलग नहीं किया जा सकता है।
+सहज रूप से दो प्रणालियाँ द्विसमान होती है। इस अर्थ में, पर्यवेक्षक द्वारा प्रत्येक प्रणाली को दूसरे से अलग नहीं किया जा सकता है।
 == औपचारिक परिभाषा ==
-एक [[राज्य संक्रमण प्रणाली]] को देखते हुए (<math>S</math>, <math>\Lambda</math>, →),
+एक [[राज्य संक्रमण प्रणाली|संक्रमण प्रणाली]] को देखते हुए (<math>S</math>, <math>\Lambda</math>, →), जहाँ <math>S</math> का एक समूह है, <math>\Lambda</math> का एक समूह है और → अंकित किए गए संक्रमण का एक समूह है (अर्थात, एक उपसमूह) <math>S \times \Lambda \times S</math>), द्विअनुकरण एक द्विआधारी संबंध है <math>R \subseteq S \times S</math>, ऐसे कि दोनों <math>R</math> और इसका [[विपरीत संबंध]] <math>R^T</math> [[अनुकरण पूर्वआदेश|अनुकरण अनुक्रम]] है। इससे यह पता चलता है कि सममित सिमुलेशन एक द्विअनुकरण है। इस प्रकार कुछ लेखक द्विअनुकरण को सममित अनुकरण के रूप में परिभाषित करते है।<ref>{{Cite journal |last=Jančar, Petr and Srba, Jiří |year=2008 |title=डिफेंडर के दबाव से द्विसमानता की अनिश्चितता|url=https://doi.org/10.1145/1326554.1326559 |journal=J. ACM |location=New York, NY, USA |publisher=Association for Computing Machinery |volume=55 |pages=26 |doi=10.1145/1326554.1326559 |issn=0004-5411 |url-access=subscription |number=1 |s2cid=14878621}}</ref>
-कहाँ <math>S</math> राज्यों का एक समूह है, <math>\Lambda</math> लेबलों का एक सेट है और → लेबल किए गए ट्रांज़िशन का एक सेट है (यानी, का एक सबसेट) <math>S \times \Lambda \times S</math>),
-द्विसिमुलेशन एक द्विआधारी संबंध है <math>R \subseteq S \times S</math>,
-ऐसे कि दोनों <math>R</math> और इसका [[विपरीत संबंध]] <math>R^T</math> [[अनुकरण पूर्वआदेश]] हैं। इससे यह पता चलता है कि द्विसिमुलेशन का सममित समापन एक द्विसिमुलेशन है, और प्रत्येक सममित सिमुलेशन एक द्विसिमुलेशन है। इस प्रकार कुछ लेखक द्विसिमुलेशन को सममित अनुकरण के रूप में परिभाषित करते हैं।<ref>{{Cite journal |last=Jančar, Petr and Srba, Jiří |year=2008 |title=डिफेंडर के दबाव से द्विसमानता की अनिश्चितता|url=https://doi.org/10.1145/1326554.1326559 |journal=J. ACM |location=New York, NY, USA |publisher=Association for Computing Machinery |volume=55 |pages=26 |doi=10.1145/1326554.1326559 |issn=0004-5411 |url-access=subscription |number=1 |s2cid=14878621}}</ref>
-समान रूप से, <math>R</math> राज्यों की प्रत्येक जोड़ी के लिए यदि और केवल यदि एक द्विसिमुलेशन है <math>(p,q)</math> में <math>R</math> और सभी लेबल α में <math>\Lambda</math>:
-* अगर <math>p \mathrel{\overset{\alpha}{\rightarrow}} p'</math>, फिर वहाँ है <math>q \mathrel{\overset{\alpha}{\rightarrow}} q'</math> ऐसा है कि <math>(p',q') \in R</math>;
+समान रूप से, <math>R</math> के लिए यदि एक द्विअनुकरण है <math>(p,q)</math> में <math>R</math> और सभी अंकित है α में <math>\Lambda</math>:
-* अगर <math>q \mathrel{\overset{\alpha}{\rightarrow}} q'</math>, फिर वहाँ है <math>p \mathrel{\overset{\alpha}{\rightarrow}} p'</math> ऐसा है कि <math>(p',q') \in R</math>.
-दो राज्य दिए गए <math>p</math> और <math>q</math> में <math>S</math>, <math>p</math> के समान है <math>q</math>, लिखा हुआ <math>p \, \sim \, q</math>, यदि और केवल यदि कोई द्विसिमुलेशन है <math>R</math> ऐसा है कि <math>(p, q) \in R</math>. इसका मतलब है कि द्विसमानता संबंध <math> \, \sim \, </math> सभी द्विअनुकरणों का मिलन है: <math>(p,q) \in\,\sim\,</math> बिल्कुल कब <math>(p, q) \in R</math> कुछ द्विसिमुलेशन के लिए <math>R</math>.
+* यदि <math>p \mathrel{\overset{\alpha}{\rightarrow}} p'</math>, फिर वहाँ है <math>q \mathrel{\overset{\alpha}{\rightarrow}} q'</math> ऐसा है कि <math>(p',q') \in R</math>,
+* यदि <math>q \mathrel{\overset{\alpha}{\rightarrow}} q'</math>, फिर वहाँ है <math>p \mathrel{\overset{\alpha}{\rightarrow}} p'</math> ऐसा है कि <math>(p',q') \in R</math>.
-द्विसिमुलेशन का सेट संघ के अंतर्गत बंद है;<ref group="Note">Meaning the union of two bisimulations is a bisimulation.</ref> इसलिए, द्विसमानता संबंध स्वयं एक द्विसिमुलेशन है। चूँकि यह सभी द्विसिमुलेशन का मिलन है, यह अद्वितीय सबसे बड़ा द्विसिमुलेशन है। बिसिम्यूलेशन को रिफ्लेक्सिव, सममित और ट्रांजिटिव क्लोजर के तहत भी बंद किया जाता है; इसलिए, सबसे बड़ा द्विसिमुलेशन प्रतिवर्ती, सममित और संक्रमणीय होना चाहिए। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सबसे बड़ा द्विसिमुलेशन - द्विसमानता - एक तुल्यता संबंध है।<ref>{{Cite book |last=Milner |first=Robin |title=संचार और समवर्ती|publisher=Prentice-Hall, Inc. |year=1989 |isbn=0131149849 |location=USA |authorlink=Robin Milner}}</ref>
+दो संखयाए दिए गए <math>p</math> और <math>q</math> में <math>S</math>, <math>p</math> के समान है <math>q</math>, लिखा हुआ <math>p \, \sim \, q</math>, यदि कोई द्विअनुकरण है <math>R</math> ऐसा है कि <math>(p, q) \in R</math>. इसका मतलब है कि द्विसमानता संबंध <math> \, \sim \, </math> सभी द्विअनुकरणों का मिलन है: <math>(p,q) \in\,\sim\,</math> जब <math>(p, q) \in R</math> द्विअनुकरण के लिए है <math>R</math>.
+द्विअनुकरण का समूह संघ के अंतर्गत बंद होता है,<ref group="Note">Meaning the union of two bisimulations is a bisimulation.</ref> इसलिए, द्विसमानता संबंध स्वयं एक द्विअनुकरण होता है। चूँकि यह सभी द्विअनुकरण का मिलन होता है, यह अद्वितीय सबसे बड़ा द्विअनुकरण होता है। द्विअनुकरण को पूर्व संबंधी, सममित और सकर्मक समापन के अनुसार भी बंद किया जाता है, इसलिए, सबसे बड़ा द्विअनुकरण प्रतिवर्ती, सममित और संक्रमणीय होती है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सबसे बड़ा द्विअनुकरण - द्विसमानता - एक तुल्यता संबंध है।<ref>{{Cite book |last=Milner |first=Robin |title=संचार और समवर्ती|publisher=Prentice-Hall, Inc. |year=1989 |isbn=0131149849 |location=USA |authorlink=Robin Milner}}</ref>
 == वैकल्पिक परिभाषाएँ ==
 === संबंधपरक परिभाषा ===
-बिसिमुलेशन को [[संबंधों की संरचना]] के संदर्भ में निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है।
+द्विअनुकरण को [[संबंधों की संरचना]] के संदर्भ में निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है।
-एक राज्य संक्रमण प्रणाली दी गई <math>(S, \Lambda, \rightarrow)</math>, एक द्विसिमुलेशन [[संबंध (गणित)]] एक द्विआधारी संबंध है <math>R</math> ऊपर <math>S</math> (अर्थात।, <math>R</math> ⊆ <math>S</math> × <math>S</math>) ऐसा है कि <math>\forall\alpha\in\Lambda</math>
+एक संक्रमण प्रणाली दी गई <math>(S, \Lambda, \rightarrow)</math>, एक द्विअनुकरण [[संबंध (गणित)]] एक द्विआधारी संबंध है <math>R</math> और <math>S</math> (अर्थात, <math>R</math> ⊆ <math>S</math> × <math>S</math>) ऐसा है कि <math>\forall\alpha\in\Lambda</math>
 <math display="block">R\ ;\ \overset{\alpha}{\rightarrow}\quad {\subseteq}\quad \overset{\alpha}{\rightarrow}\ ;\ R</math>
 और
 <math display="block">R^{-1}\ ;\ \overset{\alpha}{\rightarrow}\quad {\subseteq}\quad \overset{\alpha}{\rightarrow}\ ;\ R^{-1}</math>
-संबंध संरचना की एकरसता और निरंतरता से, यह तुरंत पता चलता है कि द्विसिमुलेशन का सेट यूनियनों (संबंधों की स्थिति में जुड़ता है) के तहत बंद है, और एक सरल बीजगणितीय गणना से पता चलता है कि द्विसिमिलरिटी का संबंध - सभी द्विसिमुलेशन का जुड़ाव - एक है समतुल्य संबंध. इस परिभाषा और द्विसमानता के संबंधित उपचार की व्याख्या किसी भी समावेशी मात्रा में की जा सकती है।
+संबंध संरचना की एकरसता और निरंतरता से, यह तुरंत पता चलता है कि द्विअनुकरण का समूह संघों (संबंधों की स्थिति में जुड़ता है) के अनुसार बंद होता है, और एक सरल बीजगणितीय गणना से पता चलता है कि द्विसमानता का संबंध - सभी द्विअनुकरण का जुड़ाव होता है। इस परिभाषा और द्विसमानता के संबंधित उपचार की व्याख्या किसी भी समावेशी मात्रा में की जा सकती है।
-=== फिक्सप्वाइंट परिभाषा ===
+=== निश्चित बिंदु परिभाषा ===
-बिसिमिलरिटी को [[ आदेश सिद्धांत ]] | ऑर्डर-सैद्धांतिक फैशन में भी परिभाषित किया जा सकता है, नास्टर-टार्स्की प्रमेय के संदर्भ में, अधिक सटीक रूप से नीचे परिभाषित एक निश्चित फ़ंक्शन के सबसे बड़े निश्चित बिंदु के रूप में।
+द्विसमानता को [[ आदेश सिद्धांत |अनुक्रम सिद्धांत]] में भी परिभाषित किया जा सकता है, नास्टर-टार्स्की सिद्धांत के संदर्भ में, अधिक त्रुटिहीन रूप से नीचे परिभाषित सबसे बड़े निश्चित बिंदु के रूप में एक निश्चित फलन होता है।
-एक राज्य संक्रमण प्रणाली को देखते हुए (<math>S</math>, Λ, →), परिभाषित करें <math>F:\mathcal{P}(S \times S) \to \mathcal{P}(S \times S)</math> बाइनरी संबंधों से एक फ़ंक्शन बनना <math>S</math> द्विआधारी संबंधों को खत्म करने के लिए <math>S</math>, निम्नलिखित नुसार:
+एक संक्रमण प्रणाली को देखते हुए (<math>S</math>, Λ, →), परिभाषित करता है <math>F:\mathcal{P}(S \times S) \to \mathcal{P}(S \times S)</math> द्विआधारी संबंधों से एक फलन बनता है <math>S</math> द्विआधारी संबंधों को समाप्त करने के लिए होता है <math>S</math>, निम्नलिखित नुसार:
-होने देना <math>R</math> कोई भी द्विआधारी संबंध खत्म हो <math>S</math>. <math>F(R)</math> सभी जोड़ियों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है <math>(p,q)</math> में <math>S</math> × <math>S</math> ऐसा है कि:
+<math>R</math> द्विआधारी संबंध को समाप्त करता है <math>S</math>. <math>F(R)</math> सभी जोड़ियों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है <math>(p,q)</math> में <math>S</math> × <math>S</math> ऐसा है कि:
 <math display="block">
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 तब द्विसमानता को सबसे बड़े निश्चित बिंदु के रूप में परिभाषित किया जाता है <math>F</math>.
-=== एहरनफ्यूच्ट-फ्रैसे गेम परिभाषा ===
+=== एहरनफ्यूच्ट-फ्रैस्से खेल परिभाषा ===
-बिसिम्यूलेशन को दो खिलाड़ियों के बीच खेल के संदर्भ में भी सोचा जा सकता है: हमलावर और रक्षक।
+द्विसिम्यूलेशन को दो खिलाड़ियों के बीच खेल के संदर्भ में भी विचार किया जा सकता है: हमलावर और बचावकर्ता।
   हमलावर पहले जाता है और कोई भी वैध संक्रमण चुन सकता है, <math>\alpha</math>, से <math>(p,q)</math>. वह है,
@@ Line 64: / Line 58: @@
 (p,q) \overset{\alpha}{\rightarrow} (p,q')
 </math>
-फिर डिफेंडर को उस परिवर्तन से मेल खाने का प्रयास करना चाहिए, <math>\alpha</math> दोनों से <math>(p',q)</math> या <math>(p,q')</math> हमलावर की चाल पर निर्भर करता है.
+फिर बचावकर्ता उस परिवर्तन से मेल खाने का प्रयास करता है, <math>\alpha</math> दोनों से <math>(p',q)</math> या <math>(p,q')</math> अर्थात, उन्हें प्राप्त होता है <math>\alpha</math> ऐसा है कि:
-यानी, उन्हें एक खोजना होगा  <math>\alpha</math> ऐसा है कि:
 <math display="block">
 (p',q) \overset{\alpha}{\rightarrow} (p',q')
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 (p,q') \overset{\alpha}{\rightarrow} (p',q')
 </math>
-हमलावर और बचावकर्ता तब तक बारी-बारी से मोड़ लेते रहते हैं:
+हमलावर और बचावकर्ता तब तक बारी-बारी से प्रयास करते रहते है:
-* रक्षक हमलावर की चाल से मेल खाने के लिए कोई वैध बदलाव ढूंढने में असमर्थ है। इस स्थिति में हमलावर जीत जाता है.
+* बचावकर्ता हमलावर की गतिविधियाँ मेल खाने के लिए कोई वैध बदलाव प्राप्त करने में असमर्थ होती है। इस स्थिति में हमलावर जीत जाता है.
-* गेम राज्यों तक पहुंचता है <math>(p,q)</math> वे दोनों 'मृत' हैं (अर्थात, किसी भी राज्य से कोई परिवर्तन नहीं हुआ है) इस मामले में रक्षक जीतता है
+* खेल तक पहुंचते है <math>(p,q)</math> वे दोनों 'मृत' होते है (अर्थात, किसी भी राज्य से कोई परिवर्तन नहीं हुआ है) इस स्थिति में बचावकर्ता जीतता है
-* खेल हमेशा चलता रहता है, ऐसी स्थिति में रक्षक जीतता है।
+* खेल हमेशा चलता रहता है, ऐसी स्थिति में बचावकर्ता जीतता है।
-* गेम राज्यों तक पहुंचता है <math>(p,q)</math>, जिसका दौरा पहले ही किया जा चुका है। यह एक अनंत खेल के बराबर है और डिफेंडर के लिए जीत के रूप में गिना जाता है।
+* खेल तक पहुंचते है <math>(p,q)</math>, जिसको पहले ही जाना जा चुका होता है। यह एक अनंत खेल के बराबर होता है और बचावकर्ता के लिए जीत के रूप में अंकित किया जाता है।
-उपरोक्त परिभाषा के अनुसार सिस्टम एक द्विसिमुलेशन है यदि और केवल तभी जब रक्षक के लिए जीतने की रणनीति मौजूद हो।
+उपरोक्त परिभाषा के अनुसार प्रणाली एक द्विअनुकरण तभी होती है यदि जब बचावकर्ता के लिए जीतने की रणनीति उपस्थित होती है।
 ===कोलगेब्रिक परिभाषा ===
-राज्य संक्रमण प्रणालियों के लिए एक द्विसिमुलेशन सहसंयोजक पॉवरसेट [[ऑपरेटर]] के प्रकार के लिए [[ कोलजेब्रा में ]] द्विसिमुलेशन का एक विशेष मामला है।
+संक्रमण प्रणालियों के लिए एक द्विअनुकरण सहसंयोजक ऊर्जा समूह [[ऑपरेटर|प्रचालक]] के प्रकार के लिए [[ कोलजेब्रा में |कोलजेब्रा में]] द्विअनुकरण की एक विशेष स्थिति होती है। ध्यान दें कि प्रत्येक संक्रमण प्रणाली <math>(S, \Lambda, \rightarrow)</math> [[द्विभाजन]] फलन है <math>\xi_{\rightarrow} </math> से <math>S</math> के लिए <math>S</math> द्वारा अनुक्रमित <math>\Lambda</math> के रूप में लिखा गया है <math>\mathcal{P}(\Lambda \times S)</math>, द्वारा परिभाषित है
-ध्यान दें कि प्रत्येक राज्य संक्रमण प्रणाली <math>(S, \Lambda, \rightarrow)</math> क्या [[द्विभाजन]] एक फ़ंक्शन है <math>\xi_{\rightarrow} </math> से <math>S</math> के [[ सत्ता स्थापित ]] के लिए <math>S</math> द्वारा अनुक्रमित <math>\Lambda</math> के रूप में लिखा गया है <math>\mathcal{P}(\Lambda \times S)</math>, द्वारा परिभाषित
 <math display="block"> p \mapsto \{ (\alpha, q) \in \Lambda \times S : p \overset{\alpha}{\rightarrow} q \}.</math>
-होने देना <math>\pi_i \colon S \times S \to S</math> होना <math>i</math>-वां [[उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत)]] मानचित्रण
+मान लेते है <math>\pi_i \colon S \times S \to S</math> और <math>i</math>- [[उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत)]] मानचित्रण <math>(p, q)</math> को <math>p</math> और <math>q</math> क्रमशः के लिए <math>i = 1, 2</math>, और <math>\mathcal{P}(\Lambda \times \pi_1)</math> की आगे की छवि <math>\pi_1</math> के तीसरे घटक को हटाकर परिभाषित किया जा सकता है
-<math>(p, q)</math> को <math>p</math> और <math>q</math> क्रमशः के लिए <math>i = 1, 2</math>; और
-<math>\mathcal{P}(\Lambda \times \pi_1)</math> की आगे की छवि <math>\pi_1</math> तीसरे घटक को हटाकर परिभाषित किया गया
 <math display="block"> P \mapsto \{ (\alpha, p) \in \Lambda \times S : \exists q . (\alpha, p, q) \in P \}</math>
-कहाँ <math>P</math> का एक उपसमुच्चय है <math>\Lambda \times S \times S</math>. इसी प्रकार के लिए <math>\mathcal{P}(\Lambda \times \pi_2)</math>.
+जहाँ <math>P</math> का एक उपसमुच्चय है <math>\Lambda \times S \times S</math>. इसी प्रकार के लिए <math>\mathcal{P}(\Lambda \times \pi_2)</math>.
-उपरोक्त नोटेशन का उपयोग करते हुए, एक संबंध <math>R \subseteq S \times S </math> एक संक्रमण प्रणाली पर एक द्विसिमुलेशन है <math>(S, \Lambda, \rightarrow)</math> यदि और केवल यदि कोई संक्रमण प्रणाली मौजूद है <math>\gamma \colon R \to \mathcal{P}(\Lambda \times R)</math> रिश्ते पर <math>R</math> जैसे कि [[क्रमविनिमेय आरेख]]
+उपरोक्त अंकन का उपयोग करते हुए, एक संबंध <math>R \subseteq S \times S </math> एक संक्रमण प्रणाली पर एक द्विअनुकरण होता है <math>(S, \Lambda, \rightarrow)</math> यदि कोई संक्रमण प्रणाली उपस्थित है <math>\gamma \colon R \to \mathcal{P}(\Lambda \times R)</math> और <math>R</math> जैसे कि यह [[क्रमविनिमेय आरेख]] है
 [[Image:Coalgebraic bisimulation.svg|frameकम|सीधा=1.5]]आवागमन, अर्थात् के लिए <math>i = 1, 2</math>, समीकरण
 <math display="block"> \xi_\rightarrow \circ \pi_i = \mathcal{P}(\Lambda \times \pi_i) \circ \gamma </math>
-पकड़
+जहाँ <math>\xi_{\rightarrow}</math> का कार्यात्मक प्रतिनिधित्व है <math>(S, \Lambda, \rightarrow)</math>.
-कहाँ <math>\xi_{\rightarrow}</math> का कार्यात्मक प्रतिनिधित्व है <math>(S, \Lambda, \rightarrow)</math>.
-== द्विसिमुलेशन के प्रकार ==
+== द्विअनुकरण के प्रकार ==
-विशेष संदर्भों में द्विसिमुलेशन की धारणा को कभी-कभी अतिरिक्त आवश्यकताओं या बाधाओं को जोड़कर परिष्कृत किया जाता है। एक उदाहरण हकलाना द्विसिमुलेशन का है, जिसमें एक प्रणाली के एक संक्रमण को दूसरे के कई संक्रमणों के साथ मिलान किया जा सकता है, बशर्ते कि मध्यवर्ती राज्य शुरुआती स्थिति (हकलाना) के बराबर हों।<ref>{{cite book |last1=Baier |first1=Christel|author1-link= Christel Baier |last2=Katoen |first2=Joost-Pieter|author2-link=Joost-Pieter Katoen |title=[[Principles of Model Checking]] |date=2008 |publisher=MIT Press |isbn=978-0-262-02649-9 |page=527}}</ref>
+विशेष संदर्भों में द्विअनुकरण की धारणा को कभी-कभी अतिरिक्त आवश्यकताओं या बाधाओं को जोड़कर परिष्कृत किया जाता है। एक उदाहरण द्विअनुकरण का हकलाना होता है, जिसमें एक प्रणाली के एक संक्रमण को दूसरे के कई संक्रमणों के साथ मिलान किया जा सकता है, यदि मध्यवर्ती प्रारंभिक स्थिति (हकलाना) के बराबर होता है।<ref>{{cite book |last1=Baier |first1=Christel|author1-link= Christel Baier |last2=Katoen |first2=Joost-Pieter|author2-link=Joost-Pieter Katoen |title=[[Principles of Model Checking]] |date=2008 |publisher=MIT Press |isbn=978-0-262-02649-9 |page=527}}</ref>
-यदि राज्य संक्रमण प्रणाली में मौन (या आंतरिक) कार्रवाई की धारणा शामिल होती है, तो एक अलग प्रकार लागू होता है, जिसे अक्सर इसके साथ दर्शाया जाता है <math>\tau</math>, यानी ऐसी क्रियाएं जो बाहरी पर्यवेक्षकों द्वारा दिखाई नहीं देती हैं, तो द्विसिमुलेशन को कमजोर द्विसिमुलेशन में शिथिल किया जा सकता है, जिसमें यदि दो अवस्थाएं होती हैं <math>p</math> और <math>q</math> द्विसमान हैं और कुछ संख्या में आंतरिक क्रियाएं होती हैं <math>p</math> किसी राज्य के लिए <math>p'</math> तो फिर राज्य का अस्तित्व होना ही चाहिए <math>q'</math> जैसे कि आंतरिक क्रियाओं की कुछ संख्या (संभवतः शून्य) हो <math>q</math> को <math>q'</math>. एक रिश्ता <math>\mathcal{R}</math> प्रक्रियाओं पर एक कमजोर द्विसिमुलेशन है यदि निम्नलिखित (के साथ) कायम रहता है <math>\mathcal{S} \in \{ \mathcal{R}, \mathcal{R}^{-1} \}</math>, और <math>a,\tau</math> क्रमशः एक अवलोकनीय और मूक संक्रमण होने के नाते):
-<math display="block">\forall p, q. \quad (p,q) \in \mathcal{S} \Rightarrow p \stackrel{\tau}{\rightarrow} p' \Rightarrow \exists q' . \quad q \stackrel{\tau^\ast}{\rightarrow} q' \wedge (p',q') \in \mathcal{S} </math>
+यदि संक्रमण प्रणाली एक अलग प्रकार लागू होता है, जिसे अधिकांशतः इसके साथ दर्शाया जाता है <math>\tau</math>, अर्थात ऐसी क्रियाएं जो बाहरी पर्यवेक्षकों द्वारा दिखाई नहीं देती है, तो द्विअनुकरण को कमजोर द्विअनुकरण में शिथिल किया जा सकता है, जिसमें दो अवस्थाएं होती है <math>p</math> और <math>q</math> द्विसमान होते है और कुछ संख्या में आंतरिक क्रियाएं होती है <math>p</math> के लिए <math>p'</math> और <math>q'</math> जैसे कि आंतरिक क्रियाओं की कुछ संख्या संभवतः शून्य होती है  <math>q</math> को <math>q'</math>. एक संबंध <math>\mathcal{R}</math> प्रक्रियाओं पर एक कमजोर द्विअनुकरण होता है यदि निम्नलिखित के साथ स्थित रहता है <math>\mathcal{S} \in \{ \mathcal{R}, \mathcal{R}^{-1} \}</math>, और <math>a,\tau</math> क्रमशः एक अवलोकनीय और मूक संक्रमण होता है:
-<math display="block">\forall p, q. \quad (p,q) \in \mathcal{S} \Rightarrow p \stackrel{a}{\rightarrow} p' \Rightarrow \exists q' . \quad q \stackrel{\tau^\ast a \tau^\ast}{\rightarrow} q' \wedge (p',q') \in \mathcal{S} </math>
-यह द्विसिमुलेशन से लेकर #कंप्यूटर विज्ञान तक के संबंध से निकटता से संबंधित है।
-आमतौर पर, यदि राज्य संक्रमण प्रणाली एक [[प्रोग्रामिंग भाषा]] का [[परिचालन शब्दार्थ]] देती है, तो द्विसिमुलेशन की सटीक परिभाषा प्रोग्रामिंग भाषा के प्रतिबंधों के लिए विशिष्ट होगी। इसलिए, सामान्य तौर पर, संदर्भ के आधार पर एक से अधिक प्रकार के द्विसिमुलेशन, (द्विसिमिलरिटी सम्मान) संबंध हो सकते हैं।
+<math display="block">\forall p, q. \quad (p,q) \in \mathcal{S} \Rightarrow p \stackrel{\tau}{\rightarrow} p' \Rightarrow \exists q' . \quad q \stackrel{\tau^\ast}{\rightarrow} q' \wedge (p',q') \in \mathcal{S} </math><math display="block">\forall p, q. \quad (p,q) \in \mathcal{S} \Rightarrow p \stackrel{a}{\rightarrow} p' \Rightarrow \exists q' . \quad q \stackrel{\tau^\ast a \tau^\ast}{\rightarrow} q' \wedge (p',q') \in \mathcal{S} </math>
+यह द्विअनुकरण से लेकर कंप्यूटर विज्ञान तक के संबंध तक निकटता से संबंधित होता है।
-== बिसिमुलेशन और [[मोडल तर्क]] ==
+सामान्यतः, यदि संक्रमण प्रणाली एक [[प्रोग्रामिंग भाषा]] का [[परिचालन शब्दार्थ|परिगतिविधिन शब्दार्थ]] होता है, तो द्विअनुकरण की त्रुटिहीन परिभाषा प्रोग्रामिंग भाषा के प्रतिबंधों के लिए विशिष्ट होती है। इसलिए, सामान्यतः, संदर्भ के आधार पर एक से अधिक प्रकार के द्विअनुकरण, (द्विसमानता) संबंध हो सकते है।
-चूंकि [[क्रिपके शब्दार्थ]] (लेबल) राज्य संक्रमण प्रणालियों का एक विशेष मामला है, इसलिए द्विसिमुलेशन भी मोडल लॉजिक में एक विषय है। वास्तव में, मोडल लॉजिक द्विसिमुलेशन (जोहान वैन बेन्थेम (तर्कशास्त्री) | वैन बेन्थेम के प्रमेय) के तहत [[प्रथम-क्रम तर्क]] अपरिवर्तनीय का टुकड़ा है।
+== द्विअनुकरण और [[मोडल तर्क|प्रतिरूप तर्क]] ==
-== एल्गोरिथम ==
+चूंकि [[क्रिपके शब्दार्थ]] संक्रमण प्रणालियों की एक विशेष स्थिति होती है, इसलिए द्विअनुकरण भी प्रतिरूप तर्क का एक विषय होता है। वास्तव में, प्रतिरूप तर्क द्विअनुकरण (जोहान के सिद्धांत) के अनुसार [[प्रथम-क्रम तर्क]] अपरिवर्तनीय होता है।
-यह जाँचना कि दो परिमित संक्रमण प्रणालियाँ द्विसमान हैं, बहुपद समय में की जा सकती हैं।{{sfnp|Baier|Katoen|2008|loc=Cor. 7.45, p. 486}} सबसे तेज़ एल्गोरिदम मोटे विभाजन की समस्या को कम करके [[विभाजन परिशोधन]] का उपयोग करते हुए [[चतुर्रेखीय समय]] हैं।
+== कलन विधि ==
+कलन विधि दो परिमित संक्रमण प्रणालियाँ को द्विसमान बहुपद समय में किया जा सकता है।{{sfnp|Baier|Katoen|2008|loc=Cor. 7.45, p. 486}} कलन विधि से [[विभाजन परिशोधन]] का उपयोग करते हुए [[चतुर्रेखीय समय]] में विभाजन की समस्या को कम किया जा सकता है।
 == यह भी देखें ==
 * सिमुलेशन प्रीऑर्डर
 * [[सर्वांगसम संबंध]]
-* [[संभाव्य द्विसिमुलेशन]]
+* [[संभाव्य द्विसिमुलेशन|संभाव्य द्विअनुकरण]]
 == टिप्पणियाँ ==
@@ Line 163: / Line 152: @@
 === सॉफ्टवेयर उपकरण ===
-* [[सीएडीपी]]: [http://cadp.inria.fr विभिन्न द्विसिमुलेशन के अनुसार परिमित-राज्य प्रणालियों को कम करने और तुलना करने के लिए उपकरण]
+* [[सीएडीपी]]: [http://cadp.inria.fr विभिन्न द्विअनुकरण के अनुसार परिमित-राज्य प्रणालियों को कम करने और तुलना करने के लिए उपकरण]
-* [[mCRL2]]: विभिन्न द्विसिमुलेशन के अनुसार परिमित-अवस्था प्रणालियों को छोटा करने और तुलना करने के लिए उपकरण
+* [[mCRL2]]: विभिन्न द्विअनुकरण के अनुसार परिमित-अवस्था प्रणालियों को छोटा करने और तुलना करने के लिए उपकरण
-* [http://www.brics.dk/bisim/ द बिसिमुलेशन गेम गेम]
+* [http://www.brics.dk/bisim/ द द्विअनुकरण गेम गेम]
 {{Authority control}}
@@ Line 174: / Line 163: @@
 श्रेणी:संक्रमण प्रणालियाँ
+[[Category:CS1 maint]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 30/06/2023]]
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औपचारिक परिभाषा

वैकल्पिक परिभाषाएँ

संबंधपरक परिभाषा

निश्चित बिंदु परिभाषा

एहरनफ्यूच्ट-फ्रैस्से खेल परिभाषा

कोलगेब्रिक परिभाषा

द्विअनुकरण के प्रकार

द्विअनुकरण और प्रतिरूप तर्क

कलन विधि

यह भी देखें

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