गोलाकार शंकु: Difference between revisions
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गणित में, एक गोलाकार शंकु या गोलाकार-शंकु गोले पर एक वक्र होता है, जो एक संकेंद्रित अण्डाकार शंकु के साथ गोले का प्रतिच्छेदन होता है। यह समतल में एक शंकु खंड (दीर्घवृत्त,परवलय या अतिशयोक्ति ) का गोलाकार एनालॉग है, और जैसा कि समतल स्थितियों में है, एक गोलाकार शंकु को उन बिंदुओं के स्थान (गणित) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिनके महान- दो फोकस (ज्यामिति) के लिए वृत्त की दूरी स्थिर है।[1]प्रतिव्यासांत बिंदु को एक फोकस पर ले जाने से, प्रत्येक गोलाकार दीर्घवृत्त भी एक गोलाकार अतिपरवलय होता है, और इसके विपरीत होता है। अंतरिक्ष वक्र के रूप में, एक गोलाकार शंकु एक चतुर्थक समारोह है, चूंकि तीन प्रिंसिपल अक्ष प्रमेय में इसके ऑर्थोगोनल अनुमान प्लानर शंकु हैं। तलीय शांकवों की प्रकार, गोलीय शांकव भी एक परावर्तन गुण को संतुष्ट करते हैं: शंक्वाकार के किसी भी बिंदु पर दो नाभियों से वृहत-वृत्त चापों में स्पर्शरेखा होती है और उस बिंदु पर शंकु के अभिलम्ब उनके कोण समद्विभाजक होते हैं।
समतल में शांकवों के बारे में कई प्रमेय गोलाकार शंकुओं तक विस्तारित होते हैं। उदाहरण के लिए, कंफोकल शंकुओं के बारे में ग्रेव्स की प्रमेय और आइवरी की प्रमेय को भी गोले पर सिद्ध किया जा सकता है; योजनाकर्ता संस्करणों के बारे में कॉन्फोकल शांकव खंड देखें गए है।[2]
जैसे दीर्घवृत्त चाप की लंबाई दूसरे प्रकार के अपूर्ण दीर्घवृत्तीय समाकलन के लिए दी जाती है, वैसे ही गोलाकार शंकु की चाप लंबाई तीसरी प्रकार के अपूर्ण दीर्घवृत्तीय समाकल के लिए दी जाती है।[3]
संकेंद्रित क्षेत्रों और द्विघात शंकुओं के आधार पर यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक ऑर्थोगोनल निर्देशांक को शंक्वाकार निर्देशांक या गोलाकार-शंक्वाकार समन्वय प्रणाली कहा जाता है। जब एक गोले की सतह तक सीमित किया जाता है, तो शेष निर्देशांक कन्फोकल गोलाकार शांकव होते हैं। कभी-कभी इसे समतल दीर्घवृत्त समन्वय प्रणाली के अनुरूप, गोले पर एक दीर्घवृत्तीय समन्वय प्रणाली कहा जाता है। इस प्रकार के निर्देशांक का उपयोग गोले से समतल तक के अनुरूप मानचित्रों की गणना में किया जा सकता है।[4]
अनुप्रयोग
समान धनात्मक वक्रता वाले स्थान में केप्लर समस्या का समाधान एक गोलाकार शंकु है, जिसमें जियोडेसिक दूरी के कॉटैंजेंट के संभावित आनुपातिक हैं।[5]
क्योंकि यह निर्दिष्ट बिंदुओं की एक जोड़ी के लिए दूरियों को संरक्षित करता है, दो-बिंदु समदूरस्थ प्रक्षेपण विमान में कॉन्फोकल दीर्घवृत्त और हाइपरबोले के दो परिवारों पर गोले पर कॉन्फोकल शंकु के परिवार को मैप करता है।[6]
यदि पृथ्वी के एक भाग को गोलाकार के रूप में प्रतिरूपित किया जाता है, उदहारण क्रांति के दीर्घवृत्त पर एक बिंदु पर ऑस्कुलेटिंग क्षेत्र का उपयोग करते हुए, अतिशयोक्तिपूर्ण नेविगेशन में उपयोग किए जाने वाले हाइपरबोले (जो निश्चित रेडियो ट्रांसमीटरों से प्राप्त सिग्नल समय में अंतर के आधार पर स्थिति निर्धारित करता है) गोलाकार शांकव हैं।[7]
fटिप्पणियाँ
- ↑ Fuss, Nicolas (1788). "De proprietatibus quibusdam ellipseos in superficie sphaerica descriptae" [On certain properties of ellipses described on a spherical surface]. Nova Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitanae (in Latina). 3: 90–99.
- ↑ Stachel, Hellmuth; Wallner, Johannes (2004). "Ivory's theorem in hyperbolic spaces" (PDF). Siberian Mathematical Journal. 45 (4): 785–794.
- ↑
Gudermann, Christoph (1835). "Integralia elliptica tertiae speciei reducendi methodus simplicior, quae simul ad ipsorum applicationem facillimam et computum numericum expeditum perducit. Sectionum conico–sphaericarum qudratura et rectification" [A simpler method of reducing elliptic integrals of the third kind, providing easy application and convenient numerical computation: Quadrature and rectification of conico-spherical sections]. Crelle's Journal. 14: 169–181.
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संदर्भ
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