स्यूडोग्रुप: Difference between revisions

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गणित में, एक स्यूडोग्रुप एक स्थान के खुले सेटों के बीच भिन्नता का एक सेट है, जो समूह-समान और शीफ-समान गुणों को संतुष्ट करता है। यह एक [[समूह (गणित)]] की अवधारणा का एक सामान्यीकरण है, जो [[सोफस झूठ]] के ज्यामितीय दृष्टिकोण से उत्पन्न हुआ है।<ref>{{Cite book|last=Sophus|first=Lie|url=http://worldcat.org/oclc/6056947|title=परिवर्तन समूहों का सिद्धांत|date=1888–1893|publisher=B.G. Teubner|oclc=6056947}}</ref> [[सार बीजगणित]] (जैसे अर्धसमूह, उदाहरण के लिए) के बजाय अंतर समीकरणों की समरूपता की जांच करने के लिए। स्यूडोग्रुप्स का आधुनिक सिद्धांत 1900 की शुरुआत में एली कार्टन द्वारा विकसित किया गया था।<ref>{{cite journal|first = Élie|last = Cartan|title = परिवर्तनों के अनंत समूहों की संरचना पर|journal = [[Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure]]|year = 1904|volume = 21|pages=153–206|doi = 10.24033/asens.538|url=http://archive.numdam.org/article/ASENS_1904_3_21__153_0.pdf|doi-access = free}}</ref><ref>{{cite journal|first = Élie|last = Cartan|title = निरंतर, अनंत, सरल परिवर्तनों के समूह|journal = Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure|year = 1909|volume = 26|pages=93–161|doi = 10.24033/asens.603|url=http://archive.numdam.org/article/ASENS_1909_3_26__93_0.pdf|doi-access = free}}</ref>
गणित में, '''स्यूडोग्रुप''' समष्टि के विवृत समूहों के बीच भिन्नता का एक समूह है, जो समूह-समान और शीफ-समान गुणों को संतुष्ट करता है। यह समूह की अवधारणा का एक सामान्यीकरण है, जो अमूर्त  के ज्यामितीय दृष्टिकोण से उत्पन्न हुआ है।<ref>{{Cite book|last=Sophus|first=Lie|url=http://worldcat.org/oclc/6056947|title=परिवर्तन समूहों का सिद्धांत|date=1888–1893|publisher=B.G. Teubner|oclc=6056947}}</ref>  
 
सार बीजगणित (जैसे अर्धसमूह, उदाहरण के लिए) के अतिरिक्त अंतर समीकरणों की समरूपता की जांच करने के लिए। स्यूडोग्रुपका आधुनिक सिद्धांत 1900 की शुरुआत में एली कार्टन द्वारा विकसित किया गया था।<ref>{{cite journal|first = Élie|last = Cartan|title = परिवर्तनों के अनंत समूहों की संरचना पर|journal = [[Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure]]|year = 1904|volume = 21|pages=153–206|doi = 10.24033/asens.538|url=http://archive.numdam.org/article/ASENS_1904_3_21__153_0.pdf|doi-access = free}}</ref><ref>{{cite journal|first = Élie|last = Cartan|title = निरंतर, अनंत, सरल परिवर्तनों के समूह|journal = Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure|year = 1909|volume = 26|pages=93–161|doi = 10.24033/asens.603|url=http://archive.numdam.org/article/ASENS_1909_3_26__93_0.pdf|doi-access = free}}</ref>
 




== परिभाषा ==
== परिभाषा ==
एक स्यूडोग्रुप किसी दिए गए [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] के खुले सेट यू पर परिभाषित होमोमोर्फिज्म (क्रमशः, [[डिफियोमोर्फिज्म]]) के एक सेट पर कई शर्तें लगाता है या आमतौर पर एक निश्चित [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] (क्रमशः, [[अलग करने योग्य कई गुना]]) का होता है। दो [[होमियोमोर्फिज्म]] के बाद से {{nowrap|''h'' : ''U'' → ''V''}} तथा {{nowrap|''g'' : ''V'' → ''W''}} U से W तक एक होमोमोर्फिज्म की रचना करें, कोई पूछता है कि रचना और व्युत्क्रम के तहत स्यूडोग्रुप बंद है। हालांकि, एक समूह के सिद्धांतों के विपरीत, छद्म समूह को परिभाषित करने वाले सिद्धांत विशुद्ध रूप से बीजगणितीय नहीं होते हैं; आगे की आवश्यकताएं होमोमोर्फिज्म को प्रतिबंधित करने और पैच करने की संभावना से संबंधित हैं (शेफ के वर्गों के लिए [[ग्लूइंग स्वयंसिद्ध]] के समान)।
एक स्यूडोग्रुप किसी दिए गए [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन समष्टि]] के विवृत समूह ''U'' पर परिभाषित होमोमोर्फिज्म (क्रमशः, [[डिफियोमोर्फिज्म]]) के एक समूह पर कई प्रतिबंध लगाता है या सामान्यतः एक निश्चित स्थलीय समष्टि (क्रमशः, [[अलग करने योग्य कई गुना]]) का होता है। चूँकि दो [[होमियोमोर्फिज्म]] , {{nowrap|''h'' : ''U'' → ''V''}} तथा {{nowrap|''g'' : ''V'' → ''W''}} U से W तक होमोमोर्फिज्म की रचना करते हैं,कोई पूछता है कि रचना और व्युत्क्रम के अनुसार छद्मसमूह बंद है।चूंकि, एक समूह के सिद्धांतों के विपरीत, स्यूडोग्रुप को परिभाषित करने वाले सिद्धांत विशुद्ध रूप से बीजगणितीय नहीं होते हैं; आगे की आवश्यकताएं होमोमोर्फिज्म को प्रतिबंधित करने और पैच करने की संभावना से संबंधित हैं (शेफ के वर्गों के लिए [[ग्लूइंग स्वयंसिद्ध]] के समान)।
 
अधिक त्रुटिहीन रूप से, एक स्थलीय समष्टि '{{mvar|''S''}} पर एक 'स्यूडोग्रुप' निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करने वाले '{{mvar|''S''}} के विवृत उपसमुच्चय के बीच होमोमोर्फिज्म का एक संग्रह है:<ref name="KN">{{cite book|last1=Kobayashi|first1= Shoshichi |last2= Nomizu|first2=Katsumi|title=डिफरेंशियल ज्योमेट्री की नींव, वॉल्यूम I|series=  Wiley Classics Library|publisher=John Wiley & Sons Inc.|location= New York|year= 1963|pages=1–2|isbn= 0470496487}}</ref><ref name="Thurston">{{cite book|mr=1435975|last=Thurston|first= William P.|author-link=William Thurston|title=त्रि-आयामी ज्यामिति और टोपोलॉजी|editor=Silvio Levy|series= Princeton Mathematical Series|volume= 35|publisher= [[Princeton University Press]] |year=1997|isbn=0-691-08304-5|url=https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/9781400865321/html?lang=en}}</ref>
# {{mvar|Γ}} ढकना {{mvar|''S''}} में तत्वों  {{mvar|''g''}} के डोमेन।
# इसके डोमेन में निहित किसी भी विवृत समुच्चय  में {{mvar|Γ}} एक तत्व {{mvar|''g''}} का प्रतिबंध भी में {{mvar|Γ}}  में (प्रतिबंध) में है।।
# {{mvar|Γ}}  के दो तत्वों का संयोजन रचना {{mvar|''g''}} ○ {{mvar|''h''}},परिभाषित होने पर,  {{mvar|Γ}}  ("संरचना") में होता है।
# {{mvar|''g''}} के एक तत्व का व्युत्क्रम {{mvar|Γ}} में है।
# {{mvar|Γ}} में ली बोलने की संपत्ति समष्टिय है, अर्थात यदि  {{mvar|''g ''}}: {{mvar|''U''}} → {{mvar|''V''}}  {{mvar|''S''}} तथा {{mvar|''U''}}  के विवृत समुच्चय के बीच एक होमोमोर्फिज्म है जो विवृत समुच्चय {{mvar|''U''<sub>''i''</sub>}} द्वारा कवर किया गया है, जिसमें प्रत्येक {{mvar|''i''}} के लिए {{mvar|Γ}} में स्थित {{mvar|''U''<sub>''i''</sub>}} तक सीमित है, तो {{mvar|''g''}} भी {{mvar|Γ}}  में निहित है ("समष्टिय")।


अधिक सटीक रूप से, एक स्थलीय स्थान पर एक 'छद्म समूह' {{mvar|''S''}} एक संग्रह है {{mvar|Γ}} के खुले उपसमुच्चय के बीच होमोमोर्फिज्म का {{mvar|''S''}} निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करना:<ref name="KN">{{cite book|last1=Kobayashi|first1= Shoshichi |last2= Nomizu|first2=Katsumi|title=डिफरेंशियल ज्योमेट्री की नींव, वॉल्यूम I|series=  Wiley Classics Library|publisher=John Wiley & Sons Inc.|location= New York|year= 1963|pages=1–2|isbn= 0470496487}}</ref><ref name="Thurston">{{cite book|mr=1435975|last=Thurston|first= William P.|author-link=William Thurston|title=त्रि-आयामी ज्यामिति और टोपोलॉजी|editor=Silvio Levy|series= Princeton Mathematical Series|volume= 35|publisher= [[Princeton University Press]] |year=1997|isbn=0-691-08304-5|url=https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/9781400865321/html?lang=en}}</ref>
परिणामस्वरूप {{mvar|''S''}} के किसी भी विवृत उपसमुच्चय की पहचान होमोमोर्फिज्म {{mvar|Γ}} में निहित है।
# तत्वों का डोमेन {{mvar|''g''}} में {{mvar|Γ}} ढकना {{mvar|''S''}} ( ढकना )।
# एक तत्व का प्रतिबंध {{mvar|''g''}} में {{mvar|Γ}} इसके डोमेन में निहित किसी भी खुले सेट में भी है {{mvar|Γ}} (प्रतिबंध)।
# रचना {{mvar|''g''}} ○ {{mvar|''h''}} के दो तत्वों का {{mvar|Γ}}, जब परिभाषित किया गया है, में है {{mvar|Γ}} ( संयोजन )।
# के एक तत्व का व्युत्क्रम {{mvar|''g''}} में है {{mvar|Γ}} ( श्लोक में )।
# लेटने का गुण {{mvar|Γ}} स्थानीय है, यानी अगर {{mvar|''g ''}}: {{mvar|''U''}} → {{mvar|''V''}} के खुले सेटों के बीच एक होमोमोर्फिज्म है {{mvar|''S''}} तथा {{mvar|''U''}} खुले सेटों द्वारा कवर किया गया है {{mvar|''U''<sub>''i''</sub>}} साथ {{mvar|''g''}} के लिए प्रतिबंधित {{mvar|''U''<sub>''i''</sub>}} में लेटा हुआ {{mvar|Γ}} प्रत्येक के लिए {{mvar|''i''}}, फिर {{mvar|''g''}} में भी है {{mvar|Γ}} ( स्थानीय )।


परिणामस्वरूप किसी भी खुले उपसमुच्चय की पहचान होमोमोर्फिज्म {{mvar|''S''}} में निहित है {{mvar|Γ}}.
इसी तरह, एक स्मूथ मैनिफोल्ड {{mvar|''X''}} पर एक छद्मसमूह  संग्रह के रूप में परिभाषित किया गया है '{{mvar|Γ}} के विवृत उपसमुच्चय के बीच भिन्नता का {{mvar|''X''}} अनुरूप गुणों को संतुष्ट करना (जहां हम होमोमोर्फिज्म को डिफियोमोर्फिज्म से बदल देते हैं)।<ref>{{cite book|first1=Lynn|last1=Loomis|author1-link=Lynn Loomis|first2=Shlomo|last2=Sternberg|author2-link=Shlomo Sternberg|title=उन्नत कैलकुलस|edition=Revised|year=2014|publisher=World Scientific|isbn=978-981-4583-93-0|mr=3222280|chapter=Differentiable manifolds|pages=364–372}}</ref>


इसी तरह, एक स्मूथ मैनिफोल्ड पर एक स्यूडोग्रुप {{mvar|''X''}} संग्रह के रूप में परिभाषित किया गया है {{mvar|Γ}} के खुले उपसमुच्चय के बीच भिन्नता का {{mvar|''X''}} अनुरूप गुणों को संतुष्ट करना (जहां हम होमोमोर्फिज्म को डिफियोमोर्फिज्म से बदल देते हैं)।<ref>{{cite book|first1=Lynn|last1=Loomis|author1-link=Lynn Loomis|first2=Shlomo|last2=Sternberg|author2-link=Shlomo Sternberg|title=उन्नत कैलकुलस|edition=Revised|year=2014|publisher=World Scientific|isbn=978-981-4583-93-0|mr=3222280|chapter=Differentiable manifolds|pages=364–372}}</ref>
{{mvar|''X''}} में दो बिंदुओं को एक ही कक्षा में कहा जाता है यदि {{var|Γ}} का तत्व एक दूसरे को भेजता है। छद्मसमूह की कक्षाएँ स्पष्ट रूप से {{mvar|''X''}} का विभाजन बनाती हैं; एक छद्मसमूह को सकर्मक कहा जाता है यदि इसकी केवल एक कक्षा हो।
दो अंक अंदर {{mvar|''X''}} कहा जाता है कि यदि कोई तत्व एक ही कक्षा में है {{var|Γ}} एक को दूसरे को भेजता है। स्यूडोग्रुप की कक्षाएँ स्पष्ट रूप से एक विभाजन बनाती हैं {{mvar|''X''}}; एक स्यूडोग्रुप को सकर्मक कहा जाता है यदि इसकी केवल एक कक्षा हो।


== उदाहरण ==
== उदाहरण ==
किसी दिए गए ज्यामितीय संरचना को संरक्षित करने वाले स्यूडोग्रुप्स द्वारा उदाहरणों का एक व्यापक वर्ग दिया गया है। उदाहरण के लिए, यदि (एक्स, जी) एक [[रीमैनियन कई गुना]] है, तो इसके स्थानीय [[आइसोमेट्री]] का स्यूडोग्रुप है; अगर (एक्स, ω) एक सहानुभूतिपूर्ण मैनिफोल्ड है, तो किसी के पास स्थानीय [[सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म]] का स्यूडोग्रुप है; आदि। इन छद्म समूहों को इन संरचनाओं की स्थानीय समरूपता के समुच्चय के रूप में माना जाना चाहिए।
किसी दिए गए ज्यामितीय संरचना को संरक्षित करने वाले छद्मसमूह द्वारा उदाहरणों का एक व्यापक वर्ग दिया गया है। उदाहरण के लिए, यदि (''X'', ''g'') एक रीमैनियन कई गुना है, तो इसके समष्टिय [[आइसोमेट्री]] का छद्मसमूह है; यदि (X, ω) एक सहानुभूतिपूर्ण मैनिफोल्ड है, तो किसी के पास समष्टिय [[सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म]] का छद्मसमूह है। इन स्यूडोग्रुपों को इन संरचनाओं की समष्टिय समरूपता के समुच्चय के रूप में माना जाना चाहिए।


== समरूपता और ज्यामितीय संरचनाओं के छद्म समूह ==
== समरूपता और ज्यामितीय संरचनाओं के स्यूडोग्रुप ==
अतिरिक्त संरचनाओं के साथ मैनिफोल्ड्स को अक्सर एक निश्चित स्थानीय मॉडल के समरूपता के छद्म समूह का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है। अधिक सटीक, एक छद्म समूह दिया गया {{mvar|Γ}}, एक एटलस (टोपोलॉजी) |{{mvar|Γ}}-एटलस एक टोपोलॉजिकल स्पेस पर {{mvar|''S''}} में एक मानक एटलस होता है {{mvar|''S''}} जैसे कि निर्देशांक के परिवर्तन (अर्थात संक्रमण मानचित्र) से संबंधित हैं {{mvar|Γ}}. Γ-एटलस के समतुल्य वर्ग को a भी कहा जाता है{{mvar|Γ}}-संरचना चालू {{mvar|''S''}}.
अतिरिक्त संरचनाओं के साथ मैनिफोल्ड्स को प्रायः एक निश्चित समष्टिय मॉडल के समरूपता के स्यूडोग्रुप का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है। अधिक त्रुटिहीन रूप से, एक स्यूडोग्रुप {{mvar|Γ}} दिया गया , एक स्थलीय समष्टि {{mvar|''S''}} पर एक  {{mvar|Γ}}-एटलस में {{mvar|''S''}} पर एक मानक एटलस होता है जैसे कि निर्देशांक के परिवर्तन (अर्थात संक्रमण मानचित्र) Γ  से संबंधित हैंI  Γ के समतुल्य वर्ग को Γ- भी कहा जाता हैI {{mvar|''S''}} पर संरचनाI


विशेष रूप से, कब {{mvar|Γ}} R के सभी स्थानीय रूप से परिभाषित भिन्नताओं का छद्म समूह है<sup>n</sup>, एक चिकनी एटलस और एक [[चिकनी संरचना]] की मानक धारणा को पुनः प्राप्त करता है। अधिक सामान्यतः, निम्नलिखित वस्तुओं को परिभाषित किया जा सकता है {{mvar|Γ}}एक स्थलीय स्थान पर संरचनाएं {{mvar|''S''}}:
विशेष रूप से,जब {{mvar|Γ}} R<sup>n</sup> के सभी समष्टिय रूप से परिभाषित भिन्नताओं का स्यूडोग्रुप है, तो स्मूथ एटलस और एक स्मूथ संरचना की मानक धारणा को पुनः प्राप्त करता है। अधिक सामान्यतः, निम्नलिखित वस्तुओं को एक स्थलीय समष्टि {{mvar|''S''}} पर {{mvar|Γ}} संरचनाओं के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:


* [[फ्लैट मैनिफोल्ड]], के लिए {{mvar|Γ}} आर के आइसोमेट्री के स्यूडोग्रुप<sup>n</sup> प्रामाणिक यूक्लिडियन मीट्रिक के साथ;
* विहित यूक्लिडियन मीट्रिक के साथ '''R'''<sup>''n''</sup> के आइसोमेट्री के {{mvar|Γ}}  छद्मसमूह के लिए फ्लैट कई गुना, रीमैनियन संरचनाएं;
* सहानुभूतिपूर्ण संरचना, के लिए {{mvar|Γ}} आर के सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म का स्यूडोग्रुप<sup>2n</sup> विहित सहानुभूतिपूर्ण रूप के साथ;
* सहानुभूतिपूर्ण संरचना, {{mvar|Γ}} के लिए कैनोनिकल सिम्प्लेक्टिक फॉर्म के साथ '''R'''<sup>''2n''</sup> के सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म के छद्मसमूह;
* [[विश्लेषणात्मक कई गुना]], के लिए {{mvar|Γ}} [[विश्लेषणात्मक कार्य]] का स्यूडोग्रुप |<sup>एन</sup>;
* [[विश्लेषणात्मक कई गुना]], {{mvar|Γ}} '''R'''<sup>''n''</sup> के (वास्तविक-) लिए  [[विश्लेषणात्मक कार्य|विश्लेषणात्मक भिन्नता]] के छद्मसमूह के लिए;
* [[रीमैन सतह]], के लिए {{mvar|Γ}} एक [[जटिल चर]] के व्युत्क्रम समारोह [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन]] का छद्म समूह।
* एक सम्मिश्र चर के उलटे होलोमॉर्फिक फलन फलनों के {{mvar|Γ}} स्यूडोग्रुप  के लिए रीमैन सतह।


अधिक आम तौर पर, कई गुना पर कोई भी पूर्ण जी-संरचना{{mvar|''G''}}-संरचना और कोई भी (जी, एक्स) - कई गुना |({{mvar|''G''}}, {{mvar|''X''}})-कई गुना की विशेष स्थितियाँ हैं {{mvar|Γ}}-संरचनाएं, उपयुक्त स्यूडोग्रुप्स के लिए {{mvar|Γ}}.
अधिक सामान्यतः पर, किसी भी पूर्णांक {{mvar|''G''}} संरचना और किसी भी ({{mvar|''G''}}, {{mvar|''X''}}) कई गुना उपयुक्त छद्मसमूह के लिए {{mvar|Γ}} संरचनाओं की विशेष स्थितियाँ हैं I


== स्यूडोग्रुप्स और लाई थ्योरी ==
== स्यूडोग्रुप और लाई सिद्धांत ==
सामान्य तौर पर, स्यूडोग्रुप्स का अध्ययन लाइ_ग्रुप#इनफिनिट-डायमेंशनल_ली_ग्रुप्स|अनंत-डायमेंशनल लाइ ग्रुप्स के संभावित सिद्धांत के रूप में किया गया था। एक यूक्लिडियन अंतरिक्ष की उत्पत्ति के [[पड़ोस (गणित)]] में परिभाषित कार्यों के छद्म समूह नामक एक स्थानीय [[झूठ समूह]] की अवधारणा {{mvar|''E''}}, वास्तव में लाइ समूह की मूल अवधारणा के करीब है, ऐसे मामले में जहां परिवर्तन शामिल हैं, कई गुना के माध्यम से समकालीन परिभाषा की तुलना में मापदंडों की एक सीमित संख्या पर निर्भर करते हैं। कार्टन की उपलब्धियों में शामिल बिंदुओं को स्पष्ट करना था, जिसमें यह बिंदु भी शामिल है कि एक स्थानीय लाई समूह हमेशा एक वैश्विक समूह को जन्म देता है, वर्तमान अर्थों में (ली के तीसरे प्रमेय का एक एनालॉग, एक समूह का निर्धारण करने वाले लाई बीजगणित पर)। [[औपचारिक समूह]] अभी तक झूठ समूहों के विनिर्देशन के लिए एक और दृष्टिकोण है, असीम रूप से। हालांकि, यह ज्ञात है कि स्थानीय [[टोपोलॉजिकल समूह]]ों के पास वैश्विक समकक्ष नहीं हैं।
n सामान्य, छद्मसमूह का अध्ययन अनंत-आयामी लाई समूहों के संभावित सिद्धांत के रूप में किया गया था। एक समष्टिय ली समूह की अवधारणा, अर्थात्  यूक्लिडियन अंतरिक्ष {{mvar|''E''}} की उत्पत्ति के [[पड़ोस (गणित)|निकट]] में परिभाषित फलनों का एक स्यूडोग्रुप, वास्तव में लाइ समूह की मूल अवधारणा के निकट है, ऐसी स्थिति में जहां परिवर्तन सम्मिलित हैं, मापदंडों की एक सीमित संख्या पर निर्भर करते हैं। कई गुना के माध्यम से समकालीन परिभाषा की तुलना में। कार्टन की उपलब्धियों में सम्मिलित बिंदुओं को स्पष्ट करना था, जिसमें यह बिंदु भी सम्मिलित है कि एक समष्टिय लाई समूह हमेशा एक वैश्विक समूह को जन्म देता है, वर्तमान अर्थों में (ली के तीसरे प्रमेय के अनुरूप, एक समूह का निर्धारण करने वाले लाई बीजगणित पर)। औपचारिक समूह अभी तक ली समूहों के विनिर्देशन के लिए एक और दृष्टिकोण है। चूंकि, यह ज्ञात है कि समष्टिय [[टोपोलॉजिकल समूह|स्थलीय समूहों]] के पास वैश्विक समकक्ष नहीं हैं।


अनंत-आयामी स्यूडोग्रुप्स के उदाहरण लाजिमी हैं, जो कि सभी भिन्नताओं के स्यूडोग्रुप से शुरू होते हैं {{mvar|''E''}}. रुचि मुख्य रूप से डिफियोमोर्फिज्म के उप-छद्मसमूहों में है, और इसलिए उन वस्तुओं के साथ जिनके पास सदिश क्षेत्रों का झूठा बीजगणित एनालॉग है। [[कंप्यूटर बीजगणित]] की प्रगति को देखते हुए इन वस्तुओं का अध्ययन करने के लिए लाई और कार्टन द्वारा प्रस्तावित तरीके अधिक व्यावहारिक हो गए हैं।
अनंत-आयामी छद्मसमूह के उदाहरण प्रचुर मात्रा में हैं, जो {{mvar|''E''}} कोलाई के सभी भिन्नताओं के स्यूडोग्रुप से प्रारम्भ होते हैंI रुचि मुख्य रूप से डिफियोमोर्फिज्म के उप-छद्मसमूहों में है, और इसलिए उन वस्तुओं के साथ जिनके पास सदिश क्षेत्रों का लीा बीजगणित अनुरूप है। [[कंप्यूटर बीजगणित]] की प्रगति को देखते हुए इन वस्तुओं का अध्ययन करने के लिए लाई और कार्टन द्वारा प्रस्तावित उपाय अधिक व्यावहारिक हो गए हैं।


1950 के दशक में, कार्टन के सिद्धांत को [[शिंग-शेन चेर्न]] द्वारा सुधारा गया था, और स्यूडोग्रुप्स के लिए एक सामान्य [[विरूपण सिद्धांत]] [[कुनिहिको कोडैरा]] द्वारा विकसित किया गया था।<ref>{{Cite journal|last=Kodaira|first=K.|date=1960|title=कुछ जटिल छद्म समूह संरचनाओं की विकृतियों पर|url=http://dx.doi.org/10.2307/1970083|journal=[[Annals of Mathematics]]|volume=71|issue=2|pages=224–302|doi=10.2307/1970083|jstor=1970083|issn=0003-486X}}</ref> और डी.सी. स्पेंसर।<ref>{{Cite journal|last1=Guillemin|first1=Victor|last2=Sternberg|first2=Shlomo|date=1966|title=स्यूडोग्रुप संरचनाओं का विरूपण सिद्धांत|journal=[[Memoirs of the American Mathematical Society]]|issue=64|pages=0|doi=10.1090/memo/0064|issn=0065-9266|doi-access=free}}</ref> 1960 के दशक में सजातीय बीजगणित को मूल आंशिक अंतर समीकरण प्रश्नों पर लागू किया गया था, जिसमें अति-निर्धारण; हालांकि इससे पता चला कि सिद्धांत का बीजगणित संभावित रूप से बहुत भारी है। उसी दशक में [[वर्तमान बीजगणित]] के आकार में पहली बार अनंत-आयामी झूठ सिद्धांत के [[सैद्धांतिक भौतिकी]] के लिए रुचि दिखाई दी।
1950 के दशक में, कार्टन के सिद्धांत को [[शिंग-शेन चेर्न]] द्वारा सुधारा गया था, और छद्मसमूह के लिए एक सामान्य [[विरूपण सिद्धांत]] [[कुनिहिको कोडैरा]] और डी.सी. स्पेंसर द्वारा विकसित किया गया था।।<ref>{{Cite journal|last1=Guillemin|first1=Victor|last2=Sternberg|first2=Shlomo|date=1966|title=स्यूडोग्रुप संरचनाओं का विरूपण सिद्धांत|journal=[[Memoirs of the American Mathematical Society]]|issue=64|pages=0|doi=10.1090/memo/0064|issn=0065-9266|doi-access=free}}</ref> <ref>{{Cite journal|last=Kodaira|first=K.|date=1960|title=कुछ जटिल छद्म समूह संरचनाओं की विकृतियों पर|url=http://dx.doi.org/10.2307/1970083|journal=[[Annals of Mathematics]]|volume=71|issue=2|pages=224–302|doi=10.2307/1970083|jstor=1970083|issn=0003-486X}}</ref> 1960 के दशक में समरूप बीजगणित को सम्मलित मूल आंशिक अंतर समीकरण प्रश्नों पर लागू किया गया था, जिसमें अति-निर्धारण;चूंकि इससे पता चला कि सिद्धांत का बीजगणित संभावित रूप से बहुत भारी है। उसी दशक में अनंत-आयामी ली सिद्धांत के [[सैद्धांतिक भौतिकी]] के रुचि पहली बार  [[वर्तमान बीजगणित]] के आकार में दिखाई दी।


सहजता से, एक छद्म समूह एक छद्म समूह होना चाहिए जो पीडीई की एक प्रणाली से उत्पन्न होता है। साहित्य में कई समान लेकिन असमान धारणाएँ हैं;<ref>{{Cite book|last1=Kumpera|first1=Antonio|url=http://dx.doi.org/10.1515/9781400881734|title=झूठ समीकरण, वॉल्यूम। मैं|last2=Spencer|first2=Donald Clayton|date=1973-01-01|publisher=Princeton University Press|doi=10.1515/9781400881734|isbn=978-1-4008-8173-4}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Singer|first1=I. M.|last2=Sternberg|first2=Shlomo|date=1965|title=झूठ और कार्टन भाग I के अनंत समूह, (सकर्मक समूह)|journal=[[Journal d'Analyse Mathématique]]|volume=15|issue=1|pages=1–114|doi=10.1007/bf02787690|doi-access=free|s2cid=123124081|issn=0021-7670}}</ref><ref>{{Cite book|last=Claude.|first=Albert|url=http://worldcat.org/oclc/715985799|title=सकर्मक झूठ छद्मसमूह|date=1984–1987|publisher=Hermann|oclc=715985799}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Kuranishi|first=Masatake|date=1959|title=सतत अनंत छद्म समूहों के स्थानीय सिद्धांत पर I|journal=Nagoya Mathematical Journal|volume=15|pages=225–260|doi=10.1017/s0027763000006747|issn=0027-7630|doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Olver|first1=Peter J.|last2=Pohjanpelto|first2=Juha|date=2005|title=मौरर-कार्टन फॉर्म और लाई स्यूडो-ग्रुप्स की संरचना|url=http://dx.doi.org/10.1007/s00029-005-0008-7|journal=Selecta Mathematica|volume=11|issue=1|pages=99–126|doi=10.1007/s00029-005-0008-7|s2cid=14712181|issn=1022-1824}}</ref> सही व्यक्ति इस बात पर निर्भर करता है कि उसके मन में कौन सा अनुप्रयोग है। हालाँकि, इन सभी विभिन्न दृष्टिकोणों में (परिमित- या अनंत-आयामी) [[जेट बंडल]] शामिल है {{mvar|Γ}}, जिन्हें लाइ ग्रुपॉयड कहा जाता है। विशेष रूप से, झूठ छद्म समूह को परिमित आदेश कहा जाता है {{mvar|''k''}}अगर इसे इसके स्थान से पुनर्निर्मित किया जा सकता है {{mvar|''k''}}-[[जेट (गणित)]]।
सरल रूप से,स्यूडोग्रुप एक स्यूडोग्रुप होना चाहिए जो पीडीई की प्रणाली से उत्पन्न होता है। साहित्य में कई समान और असमान धारणाएँ हैंI सही इस बात पर निर्भर करता है कि किसके मन में कौन सा अनुप्रयोग है।चूंकि, इन सभी विभिन्न दृष्टिकोणों में {{mvar|Γ}} [[जेट बंडल]] सम्मिलित है ,जिन्हें एक लाइ ग्रुपॉइड कहा जाता है। विशेष रूप से, एक लाइ ली स्यूडोग्रुप को परिमित क्रम {{mvar|''k''}} कहा जाता है यदि इसे इसके {{mvar|''k''}}- [[जेट (गणित)|जेट]] समष्टि से पुनर्निर्मित किया जा सकता है।;<ref>{{Cite book|last1=Kumpera|first1=Antonio|url=http://dx.doi.org/10.1515/9781400881734|title=झूठ समीकरण, वॉल्यूम। मैं|last2=Spencer|first2=Donald Clayton|date=1973-01-01|publisher=Princeton University Press|doi=10.1515/9781400881734|isbn=978-1-4008-8173-4}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Singer|first1=I. M.|last2=Sternberg|first2=Shlomo|date=1965|title=झूठ और कार्टन भाग I के अनंत समूह, (सकर्मक समूह)|journal=[[Journal d'Analyse Mathématique]]|volume=15|issue=1|pages=1–114|doi=10.1007/bf02787690|doi-access=free|s2cid=123124081|issn=0021-7670}}</ref><ref>{{Cite book|last=Claude.|first=Albert|url=http://worldcat.org/oclc/715985799|title=सकर्मक झूठ छद्मसमूह|date=1984–1987|publisher=Hermann|oclc=715985799}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Kuranishi|first=Masatake|date=1959|title=सतत अनंत छद्म समूहों के स्थानीय सिद्धांत पर I|journal=Nagoya Mathematical Journal|volume=15|pages=225–260|doi=10.1017/s0027763000006747|issn=0027-7630|doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Olver|first1=Peter J.|last2=Pohjanpelto|first2=Juha|date=2005|title=मौरर-कार्टन फॉर्म और लाई स्यूडो-ग्रुप्स की संरचना|url=http://dx.doi.org/10.1007/s00029-005-0008-7|journal=Selecta Mathematica|volume=11|issue=1|pages=99–126|doi=10.1007/s00029-005-0008-7|s2cid=14712181|issn=1022-1824}}</ref>  


== संदर्भ ==
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*{{cite journal | author=St. Golab | title=Über den Begriff der "Pseudogruppe von Transformationen" | journal=Mathematische Annalen | year=1939 | volume=116 | pages=768–780 | doi=10.1007/BF01597390| s2cid=124962440 }}
*{{cite journal | author=St. Golab | title=Über den Begriff der "Pseudogruppe von Transformationen" | journal=Mathematische Annalen | year=1939 | volume=116 | pages=768–780 | doi=10.1007/BF01597390| s2cid=124962440 }}


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Latest revision as of 12:30, 27 October 2023

गणित में, स्यूडोग्रुप समष्टि के विवृत समूहों के बीच भिन्नता का एक समूह है, जो समूह-समान और शीफ-समान गुणों को संतुष्ट करता है। यह समूह की अवधारणा का एक सामान्यीकरण है, जो अमूर्त के ज्यामितीय दृष्टिकोण से उत्पन्न हुआ है।[1]

सार बीजगणित (जैसे अर्धसमूह, उदाहरण के लिए) के अतिरिक्त अंतर समीकरणों की समरूपता की जांच करने के लिए। स्यूडोग्रुपका आधुनिक सिद्धांत 1900 की शुरुआत में एली कार्टन द्वारा विकसित किया गया था।[2][3]


परिभाषा

एक स्यूडोग्रुप किसी दिए गए यूक्लिडियन समष्टि के विवृत समूह U पर परिभाषित होमोमोर्फिज्म (क्रमशः, डिफियोमोर्फिज्म) के एक समूह पर कई प्रतिबंध लगाता है या सामान्यतः एक निश्चित स्थलीय समष्टि (क्रमशः, अलग करने योग्य कई गुना) का होता है। चूँकि दो होमियोमोर्फिज्म , h : U → V तथा g : V → W U से W तक होमोमोर्फिज्म की रचना करते हैं,कोई पूछता है कि रचना और व्युत्क्रम के अनुसार छद्मसमूह बंद है।चूंकि, एक समूह के सिद्धांतों के विपरीत, स्यूडोग्रुप को परिभाषित करने वाले सिद्धांत विशुद्ध रूप से बीजगणितीय नहीं होते हैं; आगे की आवश्यकताएं होमोमोर्फिज्म को प्रतिबंधित करने और पैच करने की संभावना से संबंधित हैं (शेफ के वर्गों के लिए ग्लूइंग स्वयंसिद्ध के समान)।

अधिक त्रुटिहीन रूप से, एक स्थलीय समष्टि 'S पर एक 'स्यूडोग्रुप' निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करने वाले 'S के विवृत उपसमुच्चय के बीच होमोमोर्फिज्म का एक संग्रह है:[4][5]

  1. Γ ढकना S में तत्वों g के डोमेन।
  2. इसके डोमेन में निहित किसी भी विवृत समुच्चय में Γ एक तत्व g का प्रतिबंध भी में Γ में (प्रतिबंध) में है।।
  3. Γ के दो तत्वों का संयोजन रचना g ○ h,परिभाषित होने पर, Γ ("संरचना") में होता है।
  4. g के एक तत्व का व्युत्क्रम Γ में है।
  5. Γ में ली बोलने की संपत्ति समष्टिय है, अर्थात यदि g : U → V S तथा U के विवृत समुच्चय के बीच एक होमोमोर्फिज्म है जो विवृत समुच्चय Ui द्वारा कवर किया गया है, जिसमें प्रत्येक i के लिए Γ में स्थित Ui तक सीमित है, तो g भी Γ में निहित है ("समष्टिय")।

परिणामस्वरूप S के किसी भी विवृत उपसमुच्चय की पहचान होमोमोर्फिज्म Γ में निहित है।

इसी तरह, एक स्मूथ मैनिफोल्ड X पर एक छद्मसमूह संग्रह के रूप में परिभाषित किया गया है 'Γ के विवृत उपसमुच्चय के बीच भिन्नता का X अनुरूप गुणों को संतुष्ट करना (जहां हम होमोमोर्फिज्म को डिफियोमोर्फिज्म से बदल देते हैं)।[6]

X में दो बिंदुओं को एक ही कक्षा में कहा जाता है यदि Γ का तत्व एक दूसरे को भेजता है। छद्मसमूह की कक्षाएँ स्पष्ट रूप से X का विभाजन बनाती हैं; एक छद्मसमूह को सकर्मक कहा जाता है यदि इसकी केवल एक कक्षा हो।

उदाहरण

किसी दिए गए ज्यामितीय संरचना को संरक्षित करने वाले छद्मसमूह द्वारा उदाहरणों का एक व्यापक वर्ग दिया गया है। उदाहरण के लिए, यदि (X, g) एक रीमैनियन कई गुना है, तो इसके समष्टिय आइसोमेट्री का छद्मसमूह है; यदि (X, ω) एक सहानुभूतिपूर्ण मैनिफोल्ड है, तो किसी के पास समष्टिय सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म का छद्मसमूह है। इन स्यूडोग्रुपों को इन संरचनाओं की समष्टिय समरूपता के समुच्चय के रूप में माना जाना चाहिए।

समरूपता और ज्यामितीय संरचनाओं के स्यूडोग्रुप

अतिरिक्त संरचनाओं के साथ मैनिफोल्ड्स को प्रायः एक निश्चित समष्टिय मॉडल के समरूपता के स्यूडोग्रुप का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है। अधिक त्रुटिहीन रूप से, एक स्यूडोग्रुप Γ दिया गया , एक स्थलीय समष्टि S पर एक Γ-एटलस में S पर एक मानक एटलस होता है जैसे कि निर्देशांक के परिवर्तन (अर्थात संक्रमण मानचित्र) Γ से संबंधित हैंI Γ के समतुल्य वर्ग को Γ- भी कहा जाता हैI S पर संरचनाI

विशेष रूप से,जब Γ Rn के सभी समष्टिय रूप से परिभाषित भिन्नताओं का स्यूडोग्रुप है, तो स्मूथ एटलस और एक स्मूथ संरचना की मानक धारणा को पुनः प्राप्त करता है। अधिक सामान्यतः, निम्नलिखित वस्तुओं को एक स्थलीय समष्टि S पर Γ संरचनाओं के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:

  • विहित यूक्लिडियन मीट्रिक के साथ Rn के आइसोमेट्री के Γ छद्मसमूह के लिए फ्लैट कई गुना, रीमैनियन संरचनाएं;
  • सहानुभूतिपूर्ण संरचना, Γ के लिए कैनोनिकल सिम्प्लेक्टिक फॉर्म के साथ R2n के सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म के छद्मसमूह;
  • विश्लेषणात्मक कई गुना, Γ Rn के (वास्तविक-) लिए विश्लेषणात्मक भिन्नता के छद्मसमूह के लिए;
  • एक सम्मिश्र चर के उलटे होलोमॉर्फिक फलन फलनों के Γ स्यूडोग्रुप के लिए रीमैन सतह।

अधिक सामान्यतः पर, किसी भी पूर्णांक G संरचना और किसी भी (G, X) कई गुना उपयुक्त छद्मसमूह के लिए Γ संरचनाओं की विशेष स्थितियाँ हैं I

स्यूडोग्रुप और लाई सिद्धांत

n सामान्य, छद्मसमूह का अध्ययन अनंत-आयामी लाई समूहों के संभावित सिद्धांत के रूप में किया गया था। एक समष्टिय ली समूह की अवधारणा, अर्थात् यूक्लिडियन अंतरिक्ष E की उत्पत्ति के निकट में परिभाषित फलनों का एक स्यूडोग्रुप, वास्तव में लाइ समूह की मूल अवधारणा के निकट है, ऐसी स्थिति में जहां परिवर्तन सम्मिलित हैं, मापदंडों की एक सीमित संख्या पर निर्भर करते हैं। कई गुना के माध्यम से समकालीन परिभाषा की तुलना में। कार्टन की उपलब्धियों में सम्मिलित बिंदुओं को स्पष्ट करना था, जिसमें यह बिंदु भी सम्मिलित है कि एक समष्टिय लाई समूह हमेशा एक वैश्विक समूह को जन्म देता है, वर्तमान अर्थों में (ली के तीसरे प्रमेय के अनुरूप, एक समूह का निर्धारण करने वाले लाई बीजगणित पर)। औपचारिक समूह अभी तक ली समूहों के विनिर्देशन के लिए एक और दृष्टिकोण है। चूंकि, यह ज्ञात है कि समष्टिय स्थलीय समूहों के पास वैश्विक समकक्ष नहीं हैं।

अनंत-आयामी छद्मसमूह के उदाहरण प्रचुर मात्रा में हैं, जो E कोलाई के सभी भिन्नताओं के स्यूडोग्रुप से प्रारम्भ होते हैंI रुचि मुख्य रूप से डिफियोमोर्फिज्म के उप-छद्मसमूहों में है, और इसलिए उन वस्तुओं के साथ जिनके पास सदिश क्षेत्रों का लीा बीजगणित अनुरूप है। कंप्यूटर बीजगणित की प्रगति को देखते हुए इन वस्तुओं का अध्ययन करने के लिए लाई और कार्टन द्वारा प्रस्तावित उपाय अधिक व्यावहारिक हो गए हैं।

1950 के दशक में, कार्टन के सिद्धांत को शिंग-शेन चेर्न द्वारा सुधारा गया था, और छद्मसमूह के लिए एक सामान्य विरूपण सिद्धांत कुनिहिको कोडैरा और डी.सी. स्पेंसर द्वारा विकसित किया गया था।।[7] [8] 1960 के दशक में समरूप बीजगणित को सम्मलित मूल आंशिक अंतर समीकरण प्रश्नों पर लागू किया गया था, जिसमें अति-निर्धारण;चूंकि इससे पता चला कि सिद्धांत का बीजगणित संभावित रूप से बहुत भारी है। उसी दशक में अनंत-आयामी ली सिद्धांत के सैद्धांतिक भौतिकी के रुचि पहली बार वर्तमान बीजगणित के आकार में दिखाई दी।

सरल रूप से,स्यूडोग्रुप एक स्यूडोग्रुप होना चाहिए जो पीडीई की प्रणाली से उत्पन्न होता है। साहित्य में कई समान और असमान धारणाएँ हैंI सही इस बात पर निर्भर करता है कि किसके मन में कौन सा अनुप्रयोग है।चूंकि, इन सभी विभिन्न दृष्टिकोणों में Γ जेट बंडल सम्मिलित है ,जिन्हें एक लाइ ग्रुपॉइड कहा जाता है। विशेष रूप से, एक लाइ ली स्यूडोग्रुप को परिमित क्रम k कहा जाता है यदि इसे इसके k- जेट समष्टि से पुनर्निर्मित किया जा सकता है।;[9][10][11][12][13]

संदर्भ

  1. ↑ Sophus, Lie (1888–1893). परिवर्तन समूहों का सिद्धांत. B.G. Teubner. OCLC 6056947.
  2. ↑ Cartan, Élie (1904). "परिवर्तनों के अनंत समूहों की संरचना पर" (PDF). Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 21: 153–206. doi:10.24033/asens.538.
  3. ↑ Cartan, Élie (1909). "निरंतर, अनंत, सरल परिवर्तनों के समूह" (PDF). Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 26: 93–161. doi:10.24033/asens.603.
  4. ↑ Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1963). डिफरेंशियल ज्योमेट्री की नींव, वॉल्यूम I. Wiley Classics Library. New York: John Wiley & Sons Inc. pp. 1–2. ISBN 0470496487.
  5. ↑ Thurston, William P. (1997). Silvio Levy (ed.). त्रि-आयामी ज्यामिति और टोपोलॉजी. Princeton Mathematical Series. Vol. 35. Princeton University Press. ISBN 0-691-08304-5. MR 1435975.
  6. ↑ Loomis, Lynn; Sternberg, Shlomo (2014). "Differentiable manifolds". उन्नत कैलकुलस (Revised ed.). World Scientific. pp. 364–372. ISBN 978-981-4583-93-0. MR 3222280.
  7. ↑ Guillemin, Victor; Sternberg, Shlomo (1966). "स्यूडोग्रुप संरचनाओं का विरूपण सिद्धांत". Memoirs of the American Mathematical Society (64): 0. doi:10.1090/memo/0064. ISSN 0065-9266.
  8. ↑ Kodaira, K. (1960). "कुछ जटिल छद्म समूह संरचनाओं की विकृतियों पर". Annals of Mathematics. 71 (2): 224–302. doi:10.2307/1970083. ISSN 0003-486X. JSTOR 1970083.
  9. ↑ Kumpera, Antonio; Spencer, Donald Clayton (1973-01-01). झूठ समीकरण, वॉल्यूम। मैं. Princeton University Press. doi:10.1515/9781400881734. ISBN 978-1-4008-8173-4.
  10. ↑ Singer, I. M.; Sternberg, Shlomo (1965). "झूठ और कार्टन भाग I के अनंत समूह, (सकर्मक समूह)". Journal d'Analyse Mathématique. 15 (1): 1–114. doi:10.1007/bf02787690. ISSN 0021-7670. S2CID 123124081.
  11. ↑ Claude., Albert (1984–1987). सकर्मक झूठ छद्मसमूह. Hermann. OCLC 715985799.
  12. ↑ Kuranishi, Masatake (1959). "सतत अनंत छद्म समूहों के स्थानीय सिद्धांत पर I". Nagoya Mathematical Journal. 15: 225–260. doi:10.1017/s0027763000006747. ISSN 0027-7630.
  13. ↑ Olver, Peter J.; Pohjanpelto, Juha (2005). "मौरर-कार्टन फॉर्म और लाई स्यूडो-ग्रुप्स की संरचना". Selecta Mathematica. 11 (1): 99–126. doi:10.1007/s00029-005-0008-7. ISSN 1022-1824. S2CID 14712181.

बाहरी संबंध

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