बीजगणितीय समापन: Difference between revisions

From Vigyanwiki
No edit summary
No edit summary
 
(9 intermediate revisions by 4 users not shown)
Line 1: Line 1:
{{Short description|Algebraic field extension}}
{{Short description|Algebraic field extension}}


गणित में, अमूर्त बीजगणित, [[क्षेत्र (गणित)|क्षेत्र]] K का बीजगणितीय समापन K का [[बीजगणितीय विस्तार]] है, जो बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है। यह गणित में कई क्लोजर में से है।
गणित में, अमूर्त बीजगणित, क्षेत्र K का समापन [[बीजगणितीय विस्तार|'''बीजगणितीय समापन''']] है, जो बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है। यह गणित में कई समापन में से है।


ज़ोर्न के लेम्मा<ref name=McC21>McCarthy (1991) p.21</ref><ref>M. F. Atiyah and I. G. Macdonald (1969). ''Introduction to commutative algebra''. Addison-Wesley publishing Company. pp.&nbsp;11–12.</ref><ref name=Kap7476>Kaplansky (1972) pp.74-76</ref> या [[अल्ट्राफिल्टर लेम्मा]],<ref>{{Citation|first=Bernhard|last=Banaschewski|
ज़ोर्न के लेम्मा<ref name=McC21>McCarthy (1991) p.21</ref><ref>M. F. Atiyah and I. G. Macdonald (1969). ''Introduction to commutative algebra''. Addison-Wesley publishing Company. pp.&nbsp;11–12.</ref><ref name=Kap7476>Kaplansky (1972) pp.74-76</ref> या [[अल्ट्राफिल्टर लेम्मा]],<ref>{{Citation|first=Bernhard|last=Banaschewski|
title=Algebraic closure without choice.|journal=Z. Math. Logik Grundlagen Math.|volume=38|issue=4|pages=383–385|year=1992|doi=10.1002/malq.19920380136|zbl=0739.03027}}</ref><ref>[https://mathoverflow.net/questions/46566/is-the-statement-that-every-field-has-an-algebraic-closure-known-to-be-equivalent Mathoverflow discussion]</ref> का उपयोग करते हुए, यह दिखाया जा सकता है कि बीजगणितीय समापन और विखंडन क्षेत्रों का अस्तित्व, और यह कि क्षेत्र K का बीजगणितीय समापन समरूपता [[तक]] अद्वितीय है, जो K के प्रत्येक सदस्य को [[निश्चित बिंदु (गणित)|निश्चित बिंदु]] करता है। इस आवश्यक अद्वितीयता के कारण, हम प्रायः बोलते हैं K के बीजगणितीय बंद होने के अतिरिक्त K के बीजगणितीय समापन का।
title=Algebraic closure without choice.|journal=Z. Math. Logik Grundlagen Math.|volume=38|issue=4|pages=383–385|year=1992|doi=10.1002/malq.19920380136|zbl=0739.03027}}</ref><ref>[https://mathoverflow.net/questions/46566/is-the-statement-that-every-field-has-an-algebraic-closure-known-to-be-equivalent Mathoverflow discussion]</ref> का उपयोग करते हुए, यह दिखाया जा सकता है कि बीजगणितीय समापन और विखंडन क्षेत्रों का अस्तित्व, और क्षेत्र K का बीजगणितीय समापन समरूपता [[तक]] अद्वितीय है, जो K के प्रत्येक सदस्य का [[निश्चित बिंदु (गणित)|निश्चित बिंदु]] होता है। इस आवश्यक विशिष्टता के कारण, हम प्रायः K के बीजगणितीय समापन का वर्णन करते हैं।
 
एक क्षेत्र K के बीजगणितीय समापन को K के सबसे बड़े बीजगणितीय विस्तार के रूप में माना जा सकता है।
इसे देखने के लिए, ध्यान दें कि यदि L, K का कोई बीजगणितीय विस्तार है, तो L का बीजगणितीय संवरण भी K का बीजगणितीय संवरण है, और इसलिए L, K के बीजगणितीय संवरण में समाहित है।
K का बीजगणितीय बंद भी सबसे छोटा बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है जिसमें K है,
क्योंकि यदि M कोई बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है जिसमें K है, तो M के तत्व जो बीजगणितीय विस्तार K हैं, K का बीजगणितीय समापन बनाते हैं।
 
एक क्षेत्र K के बीजगणितीय समापन में K के समान ही कार्डिनल संख्या होती है यदि K अनंत है, और यदि K परिमित है तो गणनात्मक रूप से अनंत है।<ref name=Kap7476/>


क्षेत्र K के बीजगणितीय समापन को K के सबसे बड़े बीजगणितीय समापन के रूप में माना जा सकता है। इसे देखने के लिए, ध्यान दें कि यदि L, K का कोई बीजगणितीय समापन है, तो L का बीजगणितीय संवरण भी K का बीजगणितीय संवरण है, और इसलिए L, K के बीजगणितीय संवरण में समाहित होता है। K का बीजगणितीय समापन भी छोटे बीजगणितीय रूप से समापन क्षेत्र है, जिसमें K है, क्योंकि यदि M कोई बीजगणितीय रूप से समापन क्षेत्र है, जिसमें K है, तो M के तत्व का बीजगणितीय समापन K हैं, K का बीजगणितीय समापन बनाते हैं।


क्षेत्र K के बीजगणितीय समापन में K के समान ही कार्डिनल संख्या होती है I यदि K अनंत और परिमित है तो गणनात्मक रूप से अनंत है।<ref name=Kap7476/>
== उदाहरण ==
== उदाहरण ==
*[[बीजगणित का मौलिक प्रमेय]] बताता है कि [[वास्तविक संख्या]]ओं के क्षेत्र का बीजगणितीय समापन [[जटिल संख्या]]ओं का क्षेत्र है।
*[[बीजगणित का मौलिक प्रमेय]] बताता है कि [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] के क्षेत्र का बीजगणितीय समापन [[जटिल संख्या|जटिल संख्याओं]] का क्षेत्र है।
*परिमेय संख्याओं के क्षेत्र का बीजगणितीय समापन [[बीजगणितीय संख्या]]ओं का क्षेत्र है।
*परिमेय संख्याओं के क्षेत्र का बीजगणितीय समापन [[बीजगणितीय संख्या|बीजगणितीय संख्याओं]] का क्षेत्र है।
*संमिश्र संख्याओं के भीतर कई गणनीय बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र हैं, और बीजगणितीय संख्याओं के क्षेत्र को सख्ती से समाहित करते हैं; ये परिमेय संख्याओं के अनुवांशिक विस्तार के बीजगणितीय समापन हैं, उदा। Q(π) का बीजगणितीय समापन।
*संमिश्र संख्याओं के अंदर कई गणनीय बीजगणितीय रूप से समापन क्षेत्र हैं, और बीजगणितीय संख्याओं के क्षेत्र को कठोरता से समाहित करते हैं; ये परिमेय संख्याओं के अनुवांशिक समापन के बीजगणितीय समापन हैं, उदा:- Q(π) का बीजगणितीय समापन हैं I
* [[अभाज्य संख्या]] शक्ति क्रम ''q'' के [[परिमित क्षेत्र]] के लिए, बीजगणितीय समापन एक गणनीय रूप से अनंत क्षेत्र है जिसमें क्रम ''q'' के क्षेत्र की एक प्रति होती है<sup>n</sup> प्रत्येक सकारात्मक [[पूर्णांक]] n के लिए (और वास्तव में इन प्रतियों का मिलन है)।<ref>{{citation | title=Infinite Algebraic Extensions of Finite Fields | volume=95 | series=Contemporary Mathematics | first1=Joel V. | last1=Brawley | first2=George E. | last2=Schnibben | publisher=[[American Mathematical Society]] | year=1989 | isbn=978-0-8218-5428-0 | contribution=2.2 The Algebraic Closure of a Finite Field | pages=22–23 | url=https://books.google.com/books?id=0HNfpAsMXhUC&pg=PA22 | zbl=0674.12009}}.</ref>
* [[अभाज्य संख्या]] शक्ति क्रम ''q'' के [[परिमित क्षेत्र]] के लिए, बीजगणितीय समापन गणनीय रूप से अनंत क्षेत्र है, जिसमें क्रम ''q<sup>n</sup>'' के क्षेत्र की प्रति होती है I प्रत्येक सकारात्मक [[पूर्णांक]] n के लिए इन प्रतियों का मिलन है।<ref>{{citation | title=Infinite Algebraic Extensions of Finite Fields | volume=95 | series=Contemporary Mathematics | first1=Joel V. | last1=Brawley | first2=George E. | last2=Schnibben | publisher=[[American Mathematical Society]] | year=1989 | isbn=978-0-8218-5428-0 | contribution=2.2 The Algebraic Closure of a Finite Field | pages=22–23 | url=https://books.google.com/books?id=0HNfpAsMXhUC&pg=PA22 | zbl=0674.12009}}.</ref>
 
== बीजगणितीय समापन और विभाजन क्षेत्रों का अस्तित्व ==
 
<math>S = \{ f_{\lambda} | \lambda \in \Lambda\}</math> K[x] में सभी मोनिक इरेड्यूसिबल बहुपदों का समुच्चय है। प्रत्येक के लिए <math>f_{\lambda} \in S</math>, नए चर प्रस्तुत <math>u_{\lambda,1},\ldots,u_{\lambda,d}</math> करें, जहाँ <math>d = {\rm degree}(f_{\lambda})</math> I R द्वारा उत्पन्न K के ऊपर बहुपद वलय <math>u_{\lambda,i}</math> है I  सभी के लिए <math>\lambda \in \Lambda</math> और सभी <math>i \leq {\rm degree}(f_{\lambda})</math> है I
== एक बीजगणितीय समापन और विभाजन क्षेत्रों का अस्तित्व ==
होने देना <math>S = \{ f_{\lambda} | \lambda \in \Lambda\}</math> K[x] में सभी मोनिक इरेड्यूसिबल बहुपदों का समुच्चय हो।
प्रत्येक के लिए <math>f_{\lambda} \in S</math>, नए चर पेश करें <math>u_{\lambda,1},\ldots,u_{\lambda,d}</math> कहाँ <math>d = {\rm degree}(f_{\lambda})</math>.
बता दें कि R द्वारा उत्पन्न K के ऊपर बहुपद वलय है <math>u_{\lambda,i}</math> सभी के लिए <math>\lambda \in \Lambda</math> और सभी <math>i \leq {\rm degree}(f_{\lambda})</math>. लिखना
: <math>f_{\lambda} - \prod_{i=1}^d (x-u_{\lambda,i}) = \sum_{j=0}^{d-1} r_{\lambda,j} \cdot x^j \in R[x]</math>
: <math>f_{\lambda} - \prod_{i=1}^d (x-u_{\lambda,i}) = \sum_{j=0}^{d-1} r_{\lambda,j} \cdot x^j \in R[x]</math>
साथ <math>r_{\lambda,j} \in R</math>.
<math>r_{\lambda,j} \in R</math> द्वारा उत्पन्न R में आदर्श <math>r_{\lambda,j}</math> हो, चूँकि I, R से पूर्ण रूप से छोटा है I ज़ोर्न लेम्मा का तात्पर्य है, कि R में अधिकतम आदर्श M उपस्तिथ है, जिसमें I सम्मलित होता है। क्षेत्र ''K''<sub>1</sub>=''R''/''M'' में वह गुण है जो प्रत्येक बहुपद <math>f_{\lambda}</math> में गुणांक के साथ के उत्पाद के रूप में विभाजित होता है I <math>x-(u_{\lambda,i} + M),</math> और इसलिए ''K''<sub>1</sub> में सभी मूल हैं I ''K''<sub>1</sub> का समापन ''K''<sub>2</sub> निर्मित किया जा सकता है। इन सभी समापनों का मिलन K का बीजगणितीय समापन है, क्योंकि इस नए क्षेत्र में गुणांक वाले किसी भी बहुपद के कुछ गुणांक ''K''<sub>n</sub> और पर्याप्त रूप से n के साथ में होते हैं। इसके मूल ''K''<sub>n+1</sub> में हैं, और इसलिए संघ में ही हैं।
चलो मैं द्वारा उत्पन्न आर में आदर्श हो <math>r_{\lambda,j}</math>. चूँकि I, R से पूरी तरह छोटा है,
ज़ोर्न लेम्मा का तात्पर्य है कि R में अधिकतम आदर्श M मौजूद है जिसमें I शामिल है।
फील्ड के<sub>1</sub>= आर/एम में संपत्ति है कि हर बहुपद <math>f_{\lambda}</math> के गुणांक के साथ के उत्पाद के रूप में विभाजित होता है <math>x-(u_{\lambda,i} + M),</math> और इसलिए K में सभी जड़ें हैं<sub>1</sub>. उसी तरह, एक एक्सटेंशन K<sub>2</sub> के<sub>1</sub> निर्माण किया जा सकता है, आदि। इन सभी एक्सटेंशनों का मिलन K का बीजगणितीय समापन है, क्योंकि इस नए क्षेत्र में गुणांक वाले किसी भी बहुपद के गुणांक कुछ K में होते हैं।<sub>n</sub> पर्याप्त रूप से बड़े n के साथ, और फिर इसकी जड़ें K में हैं<sub>n+1</sub>, और इसलिए संघ में ही।
 
यह उसी रेखा के साथ दिखाया जा सकता है कि के [एक्स] के किसी भी उपसमुच्चय एस के लिए, के पर एस के [[विभाजन क्षेत्र]] मौजूद हैं।
 
== वियोज्य क्लोजर ==
एक बीजगणितीय समापन K<sup>K के alg में अद्वितीय वियोज्य एक्सटेंशन K होता है<sup>K का sep</sup> जिसमें K के भीतर K के सभी (बीजीय) वियोज्य विस्तार शामिल हैं<sup>अलग</sup>. इस उप-विस्तार को K का 'वियोज्य समापन' कहा जाता है। चूंकि एक वियोज्य विस्तार का वियोज्य विस्तार फिर से वियोज्य है, K का कोई परिमित वियोज्य विस्तार नहीं है<sup>sep</sup>, of Degree > 1. इसे दूसरे तरीके से कहते हुए, K अलग-अलग बंद बीजगणितीय विस्तार क्षेत्र में समाहित है। यह अद्वितीय है (समरूपता तक)।<ref name=McC22>McCarthy (1991) p.22</ref>
वियोज्य क्लोजर पूर्ण बीजगणितीय क्लोजर है यदि और केवल यदि K एक पूर्ण क्षेत्र है। उदाहरण के लिए, यदि K अभिलाक्षणिक p का क्षेत्र है और यदि X, K पर पारलौकिक है, <math>K(X)(\sqrt[p]{X}) \supset K(X)</math> एक गैर-वियोज्य बीजगणितीय क्षेत्र विस्तार है।


सामान्य तौर पर, K का पूर्ण Galois समूह K का Galois समूह है<sup>सितम्बर</sup> ओवर के.<ref name=FJ12>{{cite book | last1=Fried | first1=Michael D. | last2=Jarden | first2=Moshe | title=फील्ड अंकगणित| edition=3rd | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge | volume=11 | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2008 | isbn=978-3-540-77269-9 | zbl=1145.12001 | page=12 }}</ref>
यह रेखा के साथ प्रदर्शित किया जा सकता है, कि ''K''[''x''] के किसी भी उपसमुच्चय ''S'' के लिए, ''K'' पर ''S'' के [[विभाजन क्षेत्र]] उपस्तिथ होते हैं।


== वियोज्य समापन  ==
बीजगणितीय समापन ''K<sup>alg</sup>'' में अद्वितीय वियोज्य समापन K होता है I  ''K<sup>sep</sup>''  जिसमें K में सभी वियोज्य समापन सम्मलित हैं I इस उप-समापन को K का 'वियोज्य समापन' कहा जाता है। चूंकि वियोज्य समापन का वियोज्य समापन वियोजय है, K का कोई परिमित वियोज्य समापन नहीं है I डिग्री> 1 इसे दूसरे प्रकार से कहते हुए, K भिन्न-भिन्न समापन बीजगणितीय समापन क्षेत्र में समाहित है। यह अद्वितीय है,<ref name="McC22">McCarthy (1991) p.22</ref>
वियोज्य समापन पूर्ण बीजगणितीय समापन है, यदि K पूर्ण क्षेत्र है। उदाहरण के लिए, यदि K अभिलाक्षणिक p का क्षेत्र है और यदि X, K पर पारलौकिक है, <math>K(X)(\sqrt[p]{X}) \supset K(X)</math> अन्य-वियोज्य बीजगणितीय क्षेत्र समापन है।


सामान्यतः, K का पूर्ण गैलोज़ समूह ''K<sup>sep</sup>'' के ऊपर ''K'' का गैलोज़ समूह है। <ref name=FJ12>{{cite book | last1=Fried | first1=Michael D. | last2=Jarden | first2=Moshe | title=फील्ड अंकगणित| edition=3rd | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge | volume=11 | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2008 | isbn=978-3-540-77269-9 | zbl=1145.12001 | page=12 }}</ref>
== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र
* बीजगणितीय रूप से समापन क्षेत्र
* बीजगणितीय विस्तार
* बीजगणितीय समापन
* [[प्यूसेक्स विस्तार]]
* [[प्यूसेक्स विस्तार|प्यूसेक्स समापन]]
* पूरा क्षेत्र
* पूर्ण क्षेत्र


==संदर्भ==
==संदर्भ==
Line 51: Line 37:
* {{cite book | last=McCarthy | first=Paul J. | title=Algebraic extensions of fields | edition=Corrected reprint of the 2nd | zbl=0768.12001 | location=New York | publisher=Dover Publications | year=1991 }}
* {{cite book | last=McCarthy | first=Paul J. | title=Algebraic extensions of fields | edition=Corrected reprint of the 2nd | zbl=0768.12001 | location=New York | publisher=Dover Publications | year=1991 }}


{{DEFAULTSORT:Algebraic Closure}}[[Category: फील्ड एक्सटेंशन]]
{{DEFAULTSORT:Algebraic Closure}}
 
 


[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 03/03/2023|Algebraic Closure]]
[[Category:Created On 03/03/2023]]
[[Category:Lua-based templates|Algebraic Closure]]
[[Category:Machine Translated Page|Algebraic Closure]]
[[Category:Pages with script errors|Algebraic Closure]]
[[Category:Short description with empty Wikidata description|Algebraic Closure]]
[[Category:Templates Vigyan Ready|Algebraic Closure]]
[[Category:Templates that add a tracking category|Algebraic Closure]]
[[Category:Templates that generate short descriptions|Algebraic Closure]]
[[Category:Templates using TemplateData|Algebraic Closure]]
[[Category:फील्ड एक्सटेंशन|Algebraic Closure]]

Latest revision as of 15:57, 27 October 2023

गणित में, अमूर्त बीजगणित, क्षेत्र K का समापन बीजगणितीय समापन है, जो बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है। यह गणित में कई समापन में से है।

ज़ोर्न के लेम्मा[1][2][3] या अल्ट्राफिल्टर लेम्मा,[4][5] का उपयोग करते हुए, यह दिखाया जा सकता है कि बीजगणितीय समापन और विखंडन क्षेत्रों का अस्तित्व, और क्षेत्र K का बीजगणितीय समापन समरूपता तक अद्वितीय है, जो K के प्रत्येक सदस्य का निश्चित बिंदु होता है। इस आवश्यक विशिष्टता के कारण, हम प्रायः K के बीजगणितीय समापन का वर्णन करते हैं।

क्षेत्र K के बीजगणितीय समापन को K के सबसे बड़े बीजगणितीय समापन के रूप में माना जा सकता है। इसे देखने के लिए, ध्यान दें कि यदि L, K का कोई बीजगणितीय समापन है, तो L का बीजगणितीय संवरण भी K का बीजगणितीय संवरण है, और इसलिए L, K के बीजगणितीय संवरण में समाहित होता है। K का बीजगणितीय समापन भी छोटे बीजगणितीय रूप से समापन क्षेत्र है, जिसमें K है, क्योंकि यदि M कोई बीजगणितीय रूप से समापन क्षेत्र है, जिसमें K है, तो M के तत्व का बीजगणितीय समापन K हैं, K का बीजगणितीय समापन बनाते हैं।

क्षेत्र K के बीजगणितीय समापन में K के समान ही कार्डिनल संख्या होती है I यदि K अनंत और परिमित है तो गणनात्मक रूप से अनंत है।[3]

उदाहरण

  • बीजगणित का मौलिक प्रमेय बताता है कि वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र का बीजगणितीय समापन जटिल संख्याओं का क्षेत्र है।
  • परिमेय संख्याओं के क्षेत्र का बीजगणितीय समापन बीजगणितीय संख्याओं का क्षेत्र है।
  • संमिश्र संख्याओं के अंदर कई गणनीय बीजगणितीय रूप से समापन क्षेत्र हैं, और बीजगणितीय संख्याओं के क्षेत्र को कठोरता से समाहित करते हैं; ये परिमेय संख्याओं के अनुवांशिक समापन के बीजगणितीय समापन हैं, उदा:- Q(π) का बीजगणितीय समापन हैं I
  • अभाज्य संख्या शक्ति क्रम q के परिमित क्षेत्र के लिए, बीजगणितीय समापन गणनीय रूप से अनंत क्षेत्र है, जिसमें क्रम qn के क्षेत्र की प्रति होती है I प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक n के लिए इन प्रतियों का मिलन है।[6]

बीजगणितीय समापन और विभाजन क्षेत्रों का अस्तित्व

K[x] में सभी मोनिक इरेड्यूसिबल बहुपदों का समुच्चय है। प्रत्येक के लिए , नए चर प्रस्तुत करें, जहाँ I R द्वारा उत्पन्न K के ऊपर बहुपद वलय है I सभी के लिए और सभी है I

द्वारा उत्पन्न R में आदर्श हो, चूँकि I, R से पूर्ण रूप से छोटा है I ज़ोर्न लेम्मा का तात्पर्य है, कि R में अधिकतम आदर्श M उपस्तिथ है, जिसमें I सम्मलित होता है। क्षेत्र K1=R/M में वह गुण है जो प्रत्येक बहुपद में गुणांक के साथ के उत्पाद के रूप में विभाजित होता है I और इसलिए K1 में सभी मूल हैं I K1 का समापन K2 निर्मित किया जा सकता है। इन सभी समापनों का मिलन K का बीजगणितीय समापन है, क्योंकि इस नए क्षेत्र में गुणांक वाले किसी भी बहुपद के कुछ गुणांक Kn और पर्याप्त रूप से n के साथ में होते हैं। इसके मूल Kn+1 में हैं, और इसलिए संघ में ही हैं।

यह रेखा के साथ प्रदर्शित किया जा सकता है, कि K[x] के किसी भी उपसमुच्चय S के लिए, K पर S के विभाजन क्षेत्र उपस्तिथ होते हैं।

वियोज्य समापन

बीजगणितीय समापन Kalg में अद्वितीय वियोज्य समापन K होता है I Ksep जिसमें K में सभी वियोज्य समापन सम्मलित हैं I इस उप-समापन को K का 'वियोज्य समापन' कहा जाता है। चूंकि वियोज्य समापन का वियोज्य समापन वियोजय है, K का कोई परिमित वियोज्य समापन नहीं है I डिग्री> 1 इसे दूसरे प्रकार से कहते हुए, K भिन्न-भिन्न समापन बीजगणितीय समापन क्षेत्र में समाहित है। यह अद्वितीय है,[7] वियोज्य समापन पूर्ण बीजगणितीय समापन है, यदि K पूर्ण क्षेत्र है। उदाहरण के लिए, यदि K अभिलाक्षणिक p का क्षेत्र है और यदि X, K पर पारलौकिक है, अन्य-वियोज्य बीजगणितीय क्षेत्र समापन है।

सामान्यतः, K का पूर्ण गैलोज़ समूह Ksep के ऊपर K का गैलोज़ समूह है। [8]

यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ McCarthy (1991) p.21
  2. ↑ M. F. Atiyah and I. G. Macdonald (1969). Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley publishing Company. pp. 11–12.
  3. ↑ 3.0 3.1 Kaplansky (1972) pp.74-76
  4. ↑ Banaschewski, Bernhard (1992), "Algebraic closure without choice.", Z. Math. Logik Grundlagen Math., 38 (4): 383–385, doi:10.1002/malq.19920380136, Zbl 0739.03027
  5. ↑ Mathoverflow discussion
  6. ↑ Brawley, Joel V.; Schnibben, George E. (1989), "2.2 The Algebraic Closure of a Finite Field", Infinite Algebraic Extensions of Finite Fields, Contemporary Mathematics, vol. 95, American Mathematical Society, pp. 22–23, ISBN 978-0-8218-5428-0, Zbl 0674.12009.
  7. ↑ McCarthy (1991) p.22
  8. ↑ Fried, Michael D.; Jarden, Moshe (2008). फील्ड अंकगणित. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Vol. 11 (3rd ed.). Springer-Verlag. p. 12. ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001.
Retrieved from ‘https://www.vigyanwiki.in/index.php?title=बीजगणितीय_समापन&oldid=271253’