बीजगणितीय समापन: Difference between revisions
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गणित में, अमूर्त बीजगणित, | गणित में, अमूर्त बीजगणित, क्षेत्र K का समापन [[बीजगणितीय विस्तार|'''बीजगणितीय समापन''']] है, जो बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है। यह गणित में कई समापन में से है। | ||
ज़ोर्न के लेम्मा<ref name=McC21>McCarthy (1991) p.21</ref><ref>M. F. Atiyah and I. G. Macdonald (1969). ''Introduction to commutative algebra''. Addison-Wesley publishing Company. pp. 11–12.</ref><ref name=Kap7476>Kaplansky (1972) pp.74-76</ref> या [[अल्ट्राफिल्टर लेम्मा]],<ref>{{Citation|first=Bernhard|last=Banaschewski| | ज़ोर्न के लेम्मा<ref name=McC21>McCarthy (1991) p.21</ref><ref>M. F. Atiyah and I. G. Macdonald (1969). ''Introduction to commutative algebra''. Addison-Wesley publishing Company. pp. 11–12.</ref><ref name=Kap7476>Kaplansky (1972) pp.74-76</ref> या [[अल्ट्राफिल्टर लेम्मा]],<ref>{{Citation|first=Bernhard|last=Banaschewski| | ||
title=Algebraic closure without choice.|journal=Z. Math. Logik Grundlagen Math.|volume=38|issue=4|pages=383–385|year=1992|doi=10.1002/malq.19920380136|zbl=0739.03027}}</ref><ref>[https://mathoverflow.net/questions/46566/is-the-statement-that-every-field-has-an-algebraic-closure-known-to-be-equivalent Mathoverflow discussion]</ref> का उपयोग करते हुए, यह दिखाया जा सकता है कि बीजगणितीय समापन और विखंडन क्षेत्रों का अस्तित्व, और क्षेत्र K का बीजगणितीय समापन समरूपता [[तक]] अद्वितीय है, जो K के प्रत्येक सदस्य का [[निश्चित बिंदु (गणित)|निश्चित बिंदु]] होता है। इस आवश्यक विशिष्टता के कारण, हम प्रायः K के बीजगणितीय समापन | title=Algebraic closure without choice.|journal=Z. Math. Logik Grundlagen Math.|volume=38|issue=4|pages=383–385|year=1992|doi=10.1002/malq.19920380136|zbl=0739.03027}}</ref><ref>[https://mathoverflow.net/questions/46566/is-the-statement-that-every-field-has-an-algebraic-closure-known-to-be-equivalent Mathoverflow discussion]</ref> का उपयोग करते हुए, यह दिखाया जा सकता है कि बीजगणितीय समापन और विखंडन क्षेत्रों का अस्तित्व, और क्षेत्र K का बीजगणितीय समापन समरूपता [[तक]] अद्वितीय है, जो K के प्रत्येक सदस्य का [[निश्चित बिंदु (गणित)|निश्चित बिंदु]] होता है। इस आवश्यक विशिष्टता के कारण, हम प्रायः K के बीजगणितीय समापन का वर्णन करते हैं। | ||
क्षेत्र K के बीजगणितीय समापन को K के सबसे बड़े बीजगणितीय | क्षेत्र K के बीजगणितीय समापन को K के सबसे बड़े बीजगणितीय समापन के रूप में माना जा सकता है। इसे देखने के लिए, ध्यान दें कि यदि L, K का कोई बीजगणितीय समापन है, तो L का बीजगणितीय संवरण भी K का बीजगणितीय संवरण है, और इसलिए L, K के बीजगणितीय संवरण में समाहित होता है। K का बीजगणितीय समापन भी छोटे बीजगणितीय रूप से समापन क्षेत्र है, जिसमें K है, क्योंकि यदि M कोई बीजगणितीय रूप से समापन क्षेत्र है, जिसमें K है, तो M के तत्व का बीजगणितीय समापन K हैं, K का बीजगणितीय समापन बनाते हैं। | ||
क्षेत्र K के बीजगणितीय समापन में K के समान ही कार्डिनल संख्या होती है I यदि K अनंत और परिमित है तो गणनात्मक रूप से अनंत है।<ref name=Kap7476/> | क्षेत्र K के बीजगणितीय समापन में K के समान ही कार्डिनल संख्या होती है I यदि K अनंत और परिमित है तो गणनात्मक रूप से अनंत है।<ref name=Kap7476/> | ||
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*[[बीजगणित का मौलिक प्रमेय]] बताता है कि [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] के क्षेत्र का बीजगणितीय समापन [[जटिल संख्या|जटिल संख्याओं]] का क्षेत्र है। | *[[बीजगणित का मौलिक प्रमेय]] बताता है कि [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] के क्षेत्र का बीजगणितीय समापन [[जटिल संख्या|जटिल संख्याओं]] का क्षेत्र है। | ||
*परिमेय संख्याओं के क्षेत्र का बीजगणितीय समापन [[बीजगणितीय संख्या|बीजगणितीय संख्याओं]] का क्षेत्र है। | *परिमेय संख्याओं के क्षेत्र का बीजगणितीय समापन [[बीजगणितीय संख्या|बीजगणितीय संख्याओं]] का क्षेत्र है। | ||
*संमिश्र संख्याओं के अंदर कई गणनीय बीजगणितीय रूप से समापन क्षेत्र हैं, और बीजगणितीय संख्याओं के क्षेत्र को कठोरता से समाहित करते हैं; ये परिमेय संख्याओं के अनुवांशिक | *संमिश्र संख्याओं के अंदर कई गणनीय बीजगणितीय रूप से समापन क्षेत्र हैं, और बीजगणितीय संख्याओं के क्षेत्र को कठोरता से समाहित करते हैं; ये परिमेय संख्याओं के अनुवांशिक समापन के बीजगणितीय समापन हैं, उदा:- Q(π) का बीजगणितीय समापन हैं I | ||
* [[अभाज्य संख्या]] शक्ति क्रम ''q'' के [[परिमित क्षेत्र]] के लिए, बीजगणितीय समापन गणनीय रूप से अनंत क्षेत्र है, जिसमें क्रम ''q<sup>n</sup>'' के क्षेत्र की प्रति होती है I प्रत्येक सकारात्मक [[पूर्णांक]] n के लिए इन प्रतियों का मिलन है।<ref>{{citation | title=Infinite Algebraic Extensions of Finite Fields | volume=95 | series=Contemporary Mathematics | first1=Joel V. | last1=Brawley | first2=George E. | last2=Schnibben | publisher=[[American Mathematical Society]] | year=1989 | isbn=978-0-8218-5428-0 | contribution=2.2 The Algebraic Closure of a Finite Field | pages=22–23 | url=https://books.google.com/books?id=0HNfpAsMXhUC&pg=PA22 | zbl=0674.12009}}.</ref> | * [[अभाज्य संख्या]] शक्ति क्रम ''q'' के [[परिमित क्षेत्र]] के लिए, बीजगणितीय समापन गणनीय रूप से अनंत क्षेत्र है, जिसमें क्रम ''q<sup>n</sup>'' के क्षेत्र की प्रति होती है I प्रत्येक सकारात्मक [[पूर्णांक]] n के लिए इन प्रतियों का मिलन है।<ref>{{citation | title=Infinite Algebraic Extensions of Finite Fields | volume=95 | series=Contemporary Mathematics | first1=Joel V. | last1=Brawley | first2=George E. | last2=Schnibben | publisher=[[American Mathematical Society]] | year=1989 | isbn=978-0-8218-5428-0 | contribution=2.2 The Algebraic Closure of a Finite Field | pages=22–23 | url=https://books.google.com/books?id=0HNfpAsMXhUC&pg=PA22 | zbl=0674.12009}}.</ref> | ||
== बीजगणितीय समापन और विभाजन क्षेत्रों का अस्तित्व == | == बीजगणितीय समापन और विभाजन क्षेत्रों का अस्तित्व == | ||
<math>S = \{ f_{\lambda} | \lambda \in \Lambda\}</math> K[x] में सभी मोनिक इरेड्यूसिबल बहुपदों का समुच्चय है। प्रत्येक के लिए <math>f_{\lambda} \in S</math>, नए चर प्रस्तुत <math>u_{\lambda,1},\ldots,u_{\lambda,d}</math> करें, जहाँ <math>d = {\rm degree}(f_{\lambda})</math> I R द्वारा उत्पन्न K के ऊपर बहुपद वलय <math>u_{\lambda,i}</math> है I सभी के लिए <math>\lambda \in \Lambda</math> और सभी <math>i \leq {\rm degree}(f_{\lambda})</math> है I | <math>S = \{ f_{\lambda} | \lambda \in \Lambda\}</math> K[x] में सभी मोनिक इरेड्यूसिबल बहुपदों का समुच्चय है। प्रत्येक के लिए <math>f_{\lambda} \in S</math>, नए चर प्रस्तुत <math>u_{\lambda,1},\ldots,u_{\lambda,d}</math> करें, जहाँ <math>d = {\rm degree}(f_{\lambda})</math> I R द्वारा उत्पन्न K के ऊपर बहुपद वलय <math>u_{\lambda,i}</math> है I सभी के लिए <math>\lambda \in \Lambda</math> और सभी <math>i \leq {\rm degree}(f_{\lambda})</math> है I | ||
: <math>f_{\lambda} - \prod_{i=1}^d (x-u_{\lambda,i}) = \sum_{j=0}^{d-1} r_{\lambda,j} \cdot x^j \in R[x]</math> | : <math>f_{\lambda} - \prod_{i=1}^d (x-u_{\lambda,i}) = \sum_{j=0}^{d-1} r_{\lambda,j} \cdot x^j \in R[x]</math> | ||
<math>r_{\lambda,j} \in R</math> द्वारा उत्पन्न R में आदर्श <math>r_{\lambda,j}</math> हो, चूँकि I, R से पूर्ण रूप से छोटा है I ज़ोर्न लेम्मा का तात्पर्य है, कि R में अधिकतम आदर्श M उपस्तिथ है, जिसमें I सम्मलित होता है। | <math>r_{\lambda,j} \in R</math> द्वारा उत्पन्न R में आदर्श <math>r_{\lambda,j}</math> हो, चूँकि I, R से पूर्ण रूप से छोटा है I ज़ोर्न लेम्मा का तात्पर्य है, कि R में अधिकतम आदर्श M उपस्तिथ है, जिसमें I सम्मलित होता है। क्षेत्र ''K''<sub>1</sub>=''R''/''M'' में वह गुण है जो प्रत्येक बहुपद <math>f_{\lambda}</math> में गुणांक के साथ के उत्पाद के रूप में विभाजित होता है I <math>x-(u_{\lambda,i} + M),</math> और इसलिए ''K''<sub>1</sub> में सभी मूल हैं I ''K''<sub>1</sub> का समापन ''K''<sub>2</sub> निर्मित किया जा सकता है। इन सभी समापनों का मिलन K का बीजगणितीय समापन है, क्योंकि इस नए क्षेत्र में गुणांक वाले किसी भी बहुपद के कुछ गुणांक ''K''<sub>n</sub> और पर्याप्त रूप से n के साथ में होते हैं। इसके मूल ''K''<sub>n+1</sub> में हैं, और इसलिए संघ में ही हैं। | ||
यह रेखा के साथ प्रदर्शित किया जा सकता है, कि ''K''[''x''] के किसी भी उपसमुच्चय ''S'' के लिए, ''K'' पर ''S'' के [[विभाजन क्षेत्र]] उपस्तिथ होते हैं। | यह रेखा के साथ प्रदर्शित किया जा सकता है, कि ''K''[''x''] के किसी भी उपसमुच्चय ''S'' के लिए, ''K'' पर ''S'' के [[विभाजन क्षेत्र]] उपस्तिथ होते हैं। | ||
== वियोज्य समापन == | == वियोज्य समापन == | ||
बीजगणितीय समापन ''K<sup>alg</sup>'' में अद्वितीय वियोज्य | बीजगणितीय समापन ''K<sup>alg</sup>'' में अद्वितीय वियोज्य समापन K होता है I ''K<sup>sep</sup>'' जिसमें K में सभी वियोज्य समापन सम्मलित हैं I इस उप-समापन को K का 'वियोज्य समापन' कहा जाता है। चूंकि वियोज्य समापन का वियोज्य समापन वियोजय है, K का कोई परिमित वियोज्य समापन नहीं है I डिग्री> 1 इसे दूसरे प्रकार से कहते हुए, K भिन्न-भिन्न समापन बीजगणितीय समापन क्षेत्र में समाहित है। यह अद्वितीय है,<ref name="McC22">McCarthy (1991) p.22</ref> | ||
वियोज्य समापन पूर्ण बीजगणितीय समापन है, यदि K पूर्ण क्षेत्र है। उदाहरण के लिए, यदि K अभिलाक्षणिक p का क्षेत्र है और यदि X, K पर पारलौकिक है, <math>K(X)(\sqrt[p]{X}) \supset K(X)</math> अन्य-वियोज्य बीजगणितीय क्षेत्र | वियोज्य समापन पूर्ण बीजगणितीय समापन है, यदि K पूर्ण क्षेत्र है। उदाहरण के लिए, यदि K अभिलाक्षणिक p का क्षेत्र है और यदि X, K पर पारलौकिक है, <math>K(X)(\sqrt[p]{X}) \supset K(X)</math> अन्य-वियोज्य बीजगणितीय क्षेत्र समापन है। | ||
सामान्यतः, K का पूर्ण गैलोज़ समूह ''K<sup>sep</sup>'' के ऊपर ''K'' का गैलोज़ समूह है। <ref name=FJ12>{{cite book | last1=Fried | first1=Michael D. | last2=Jarden | first2=Moshe | title=फील्ड अंकगणित| edition=3rd | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge | volume=11 | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2008 | isbn=978-3-540-77269-9 | zbl=1145.12001 | page=12 }}</ref> | सामान्यतः, K का पूर्ण गैलोज़ समूह ''K<sup>sep</sup>'' के ऊपर ''K'' का गैलोज़ समूह है। <ref name=FJ12>{{cite book | last1=Fried | first1=Michael D. | last2=Jarden | first2=Moshe | title=फील्ड अंकगणित| edition=3rd | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge | volume=11 | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2008 | isbn=978-3-540-77269-9 | zbl=1145.12001 | page=12 }}</ref> | ||
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Latest revision as of 15:57, 27 October 2023
गणित में, अमूर्त बीजगणित, क्षेत्र K का समापन बीजगणितीय समापन है, जो बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है। यह गणित में कई समापन में से है।
ज़ोर्न के लेम्मा[1][2][3] या अल्ट्राफिल्टर लेम्मा,[4][5] का उपयोग करते हुए, यह दिखाया जा सकता है कि बीजगणितीय समापन और विखंडन क्षेत्रों का अस्तित्व, और क्षेत्र K का बीजगणितीय समापन समरूपता तक अद्वितीय है, जो K के प्रत्येक सदस्य का निश्चित बिंदु होता है। इस आवश्यक विशिष्टता के कारण, हम प्रायः K के बीजगणितीय समापन का वर्णन करते हैं।
क्षेत्र K के बीजगणितीय समापन को K के सबसे बड़े बीजगणितीय समापन के रूप में माना जा सकता है। इसे देखने के लिए, ध्यान दें कि यदि L, K का कोई बीजगणितीय समापन है, तो L का बीजगणितीय संवरण भी K का बीजगणितीय संवरण है, और इसलिए L, K के बीजगणितीय संवरण में समाहित होता है। K का बीजगणितीय समापन भी छोटे बीजगणितीय रूप से समापन क्षेत्र है, जिसमें K है, क्योंकि यदि M कोई बीजगणितीय रूप से समापन क्षेत्र है, जिसमें K है, तो M के तत्व का बीजगणितीय समापन K हैं, K का बीजगणितीय समापन बनाते हैं।
क्षेत्र K के बीजगणितीय समापन में K के समान ही कार्डिनल संख्या होती है I यदि K अनंत और परिमित है तो गणनात्मक रूप से अनंत है।[3]
उदाहरण
- बीजगणित का मौलिक प्रमेय बताता है कि वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र का बीजगणितीय समापन जटिल संख्याओं का क्षेत्र है।
- परिमेय संख्याओं के क्षेत्र का बीजगणितीय समापन बीजगणितीय संख्याओं का क्षेत्र है।
- संमिश्र संख्याओं के अंदर कई गणनीय बीजगणितीय रूप से समापन क्षेत्र हैं, और बीजगणितीय संख्याओं के क्षेत्र को कठोरता से समाहित करते हैं; ये परिमेय संख्याओं के अनुवांशिक समापन के बीजगणितीय समापन हैं, उदा:- Q(π) का बीजगणितीय समापन हैं I
- अभाज्य संख्या शक्ति क्रम q के परिमित क्षेत्र के लिए, बीजगणितीय समापन गणनीय रूप से अनंत क्षेत्र है, जिसमें क्रम qn के क्षेत्र की प्रति होती है I प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक n के लिए इन प्रतियों का मिलन है।[6]
बीजगणितीय समापन और विभाजन क्षेत्रों का अस्तित्व
K[x] में सभी मोनिक इरेड्यूसिबल बहुपदों का समुच्चय है। प्रत्येक के लिए , नए चर प्रस्तुत करें, जहाँ I R द्वारा उत्पन्न K के ऊपर बहुपद वलय है I सभी के लिए और सभी है I
द्वारा उत्पन्न R में आदर्श हो, चूँकि I, R से पूर्ण रूप से छोटा है I ज़ोर्न लेम्मा का तात्पर्य है, कि R में अधिकतम आदर्श M उपस्तिथ है, जिसमें I सम्मलित होता है। क्षेत्र K1=R/M में वह गुण है जो प्रत्येक बहुपद में गुणांक के साथ के उत्पाद के रूप में विभाजित होता है I और इसलिए K1 में सभी मूल हैं I K1 का समापन K2 निर्मित किया जा सकता है। इन सभी समापनों का मिलन K का बीजगणितीय समापन है, क्योंकि इस नए क्षेत्र में गुणांक वाले किसी भी बहुपद के कुछ गुणांक Kn और पर्याप्त रूप से n के साथ में होते हैं। इसके मूल Kn+1 में हैं, और इसलिए संघ में ही हैं।
यह रेखा के साथ प्रदर्शित किया जा सकता है, कि K[x] के किसी भी उपसमुच्चय S के लिए, K पर S के विभाजन क्षेत्र उपस्तिथ होते हैं।
वियोज्य समापन
बीजगणितीय समापन Kalg में अद्वितीय वियोज्य समापन K होता है I Ksep जिसमें K में सभी वियोज्य समापन सम्मलित हैं I इस उप-समापन को K का 'वियोज्य समापन' कहा जाता है। चूंकि वियोज्य समापन का वियोज्य समापन वियोजय है, K का कोई परिमित वियोज्य समापन नहीं है I डिग्री> 1 इसे दूसरे प्रकार से कहते हुए, K भिन्न-भिन्न समापन बीजगणितीय समापन क्षेत्र में समाहित है। यह अद्वितीय है,[7] वियोज्य समापन पूर्ण बीजगणितीय समापन है, यदि K पूर्ण क्षेत्र है। उदाहरण के लिए, यदि K अभिलाक्षणिक p का क्षेत्र है और यदि X, K पर पारलौकिक है, अन्य-वियोज्य बीजगणितीय क्षेत्र समापन है।
सामान्यतः, K का पूर्ण गैलोज़ समूह Ksep के ऊपर K का गैलोज़ समूह है। [8]
यह भी देखें
- बीजगणितीय रूप से समापन क्षेत्र
- बीजगणितीय समापन
- प्यूसेक्स समापन
- पूर्ण क्षेत्र
संदर्भ
- ↑ McCarthy (1991) p.21
- ↑ M. F. Atiyah and I. G. Macdonald (1969). Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley publishing Company. pp. 11–12.
- ↑ 3.0 3.1 Kaplansky (1972) pp.74-76
- ↑ Banaschewski, Bernhard (1992), "Algebraic closure without choice.", Z. Math. Logik Grundlagen Math., 38 (4): 383–385, doi:10.1002/malq.19920380136, Zbl 0739.03027
- ↑ Mathoverflow discussion
- ↑ Brawley, Joel V.; Schnibben, George E. (1989), "2.2 The Algebraic Closure of a Finite Field", Infinite Algebraic Extensions of Finite Fields, Contemporary Mathematics, vol. 95, American Mathematical Society, pp. 22–23, ISBN 978-0-8218-5428-0, Zbl 0674.12009.
- ↑ McCarthy (1991) p.22
- ↑ Fried, Michael D.; Jarden, Moshe (2008). फील्ड अंकगणित. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Vol. 11 (3rd ed.). Springer-Verlag. p. 12. ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001.
- Kaplansky, Irving (1972). Fields and rings. Chicago lectures in mathematics (Second ed.). University of Chicago Press. ISBN 0-226-42451-0. Zbl 1001.16500.
- McCarthy, Paul J. (1991). Algebraic extensions of fields (Corrected reprint of the 2nd ed.). New York: Dover Publications. Zbl 0768.12001.
