लोकस (गणित): Difference between revisions

Latest revision as of 14:44, 30 October 2023

इस उदाहरण में प्रत्येक वक्र बिंदुपथ है जिसे बिंदु

P

और रेखा

l

के शंकुवृक्ष के रूप में परिभाषित किया गया है। इस उदाहरण में,

P

,

l

से 8 सेमी की दूरी पर स्थित है|

ज्यामिति में, लोकस (बहुवचन: लोकी) (स्थान के लिए लैटिन शब्द) सभी बिंदुओं (ज्यामिति) का समुच्चय (गणित) है (सामान्यतः, रेखा (ज्यामिति), रेखा खंड, वक्र (गणित) या सतह (टोपोलॉजी)), जिसका स्थान संतुष्ट करता है अथवा अधिक निर्दिष्ट स्थितियों द्वारा निर्धारित किया जाता है।^[1]^[2]

कुछ संपत्ति को तुष्टि करने वाले बिंदुओं के समुच्चय को अधिकांशतः इस संपत्ति को तुष्टि करने वाले बिंदु का लोकस कहा जाता है। इस सूत्रीकरण में एकवचन का प्रयोग इस तथ्य का साक्षी है कि 19वीं शताब्दी के अंत में गणितज्ञ अनंत समुच्चयों पर विचार नहीं किया करते थे। रेखाओं और वक्रों को बिंदुओं के समुच्चय के रूप में अवलोकित करने के अतिरिक्त, उन्हें ऐसे स्थानों के रूप में अवलोकित किया जहाँ बिंदु स्थित हो सकता है या स्थानांतरित हो सकता है।

इतिहास और दर्शन

20वीं शताब्दी के प्रारम्भ में, ज्यामितीय आकृति (उदाहरण के लिए वक्र) को बिंदुओं के अनंत समुच्चय के रूप में स्वीकार नहीं किया जाता था, किंतु, इसे इकाई के रूप में स्वीकार किया जाता था, जिस पर बिंदु स्थित हो सकता है अथवा जिस पर वह गमन करता है। इस प्रकार यूक्लिडियन समतल में वृत्त (गणित) को बिंदु के स्थान के रूप में परिभाषित किया गया था जो निश्चित बिंदु, वृत्त के केंद्र की दूरी पर स्थित है। आधुनिक गणित में, आकृतियों को समुच्चय के रूप में वर्णित करके समान अवधारणाओं की अधिक पुनरावृत्ति की जाती है| उदाहरण के लिए, वृत्त उन बिंदुओं का समुच्चय है जो केंद्र से निश्चित दूरी पर स्थित हैं।^[3]

सेट-सैद्धांतिक दृष्टिकोण के विपरीत, पूर्व सूत्रीकरण अनंत संग्रहों पर विचार नहीं करता है, क्योंकि वास्तविक अनंत से प्रतिरक्षण पूर्व गणितज्ञों की महत्वपूर्ण दार्शनिक स्थिति थी।^[4]^[5]

स्थापित सिद्धांत सार्वभौमिक आधार है जिस पर गणित आधारित है,^[6] लोकस प्राचीन शब्द है।^[7] तथापि, यह शब्द वर्तमान में व्यापक रूप से मुख्यतः संक्षिप्त सूत्रीकरण के लिए उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए-

क्रिटिकल लोकस , अवकलनीय फलन के महत्वपूर्ण बिंदुओं (गणित) का समुच्चय है।
शून्य लोकस या लुप्त लोकस, उन बिंदुओं का समुच्चय जहाँ फलन लुप्त हो जाता है, जिसमें वह शून्य मान (गणित) स्वीकार करता है।
एकल लोकस, बीजगणितीय प्रकार के बिंदुओं का समुच्चय है।
कनेक्टेडनेस लोकस , परिमेय फलन के सदस्य का प्राचल समुच्चय जिसके लिए फलन का जूलिया समुच्चय युग्मित है।

योजना सिद्धांत (गणित) और गणित को आधार देने के लिए समुच्चय सिद्धांत के अतिरिक्त श्रेणी सिद्धांत का उपयोग, बिंदुओं के समुच्चय के अतिरिक्त ऑब्जेक्ट के रूप में लोकस की मूल परिभाषा के रूप में किया जाता है।^[5]

समतल ज्यामिति में उदाहरण

समतल ज्यामिति के उदाहरणों में सम्मिलित हैं-

दो बिंदुओं से समदूरस्थ बिंदुओं का समुच्चय दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड का लम्ब समद्विभाजक होता है।^[8]
दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से समदूरस्थ बिंदुओं का समुच्चय उनके दो कोण समद्विभाजकों का युग्मन होता है।
सभी शंकु-परिच्छेद लोकी हैं-^[9]
- वृत्त- बिंदुओं का समुच्चय जिसके लिए बिंदु से दूरी स्थिर (त्रिज्या) है।
- परवलय- निश्चित बिंदु (फोकस (ज्यामिति)) और रेखा (डायरेक्ट्रिक्स (शंक्वाकार खंड)) से समदूरस्थ बिंदुओं का समुच्चय है।
- अतिशयोक्ति - बिंदुओं का वह समुच्चय जिनमें से प्रत्येक के लिए दो दिए गए नाभियों की दूरी के मध्य अंतर का निरपेक्ष मान स्थिरांक होता है।
- दीर्घवृत्त- बिंदुओं का वह समुच्चय जिसमें से प्रत्येक के लिए दो दिए गए नाभियों की दूरी का योग स्थिरांक होता है।

लोकी के अन्य उदाहरण गणित के विभिन्न क्षेत्रों में प्राप्त होते हैं। उदाहरण के लिए, जटिल गतिकी में, मैंडलब्रॉट सेट जटिल तल का उपसमुच्चय है जिसे बहुपद मानचित्रों के सदस्य के कनेक्टेडनेस लोकस के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

लोकस का प्रमाण

सिद्ध करें कि दी गई स्थितियों के लिए ज्यामितीय आकृति उचित लोकस है,

सामान्यतः प्रमाण दो चरणों में विभाजित हैं- स्थितियों को संतुष्ट करने वाले सभी बिंदु आकृति पर हैं और आकृति पर सभी बिंदु स्थितियों को पूर्ण करते हैं।^[10]

उदाहरण

(दूरी PA) = 3. (दूरी PB)

प्रथम उदाहरण

उस बिंदु P का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए जिसकी दूरी k = d₁/d₂ दो दिए गए बिंदुओं का अनुपात है।

इस उदाहरण में k = 3, A(−1,0) और B(0,2) को निश्चित बिंदुओं के रूप में चयनित किया गया है।

बिंदुपथ का बिंदु P(x,y) है

\Leftrightarrow |PA|=3|PB|

\Leftrightarrow |PA|^{2}=9|PB|^{2}

\Leftrightarrow (x+1)^{2}+(y-0)^{2}=9(x-0)^{2}+9(y-2)^{2}

\Leftrightarrow 8(x^{2}+y^{2})-2x-36y+35=0

\Leftrightarrow \left(x-{\frac {1}{8}}\right)^{2}+\left(y-{\frac {9}{4}}\right)^{2}={\frac {45}{64}}.

यह समीकरण वृत्त के केंद्र (1/8,9/4) और त्रिज्या ${\tfrac {3}{8}}{\sqrt {5}}$ का प्रतिनिधित्व करता है| यह k, A और B के इन मूल्यों द्वारा परिभाषित एपोलोनियस का वृत्त है।

द्वितीय उदाहरण

बिंदु C का स्थान

त्रिभुज ABC की लंबाई c के साथ निश्चित भुजा [AB] है।

तृतीय वर्टेक्स (ज्यामिति) C का लोकस इस प्रकार निर्धारित करें कि A और C से मेडियन (ज्यामिति) ओर्थोगोनल हों।

असामान्य निर्देशांक प्रणाली चुनें जैसे कि A(−c/2,0), B(c/2,0)।

C(x,y) तृतीय शीर्ष है। [BC] का केंद्र M((2x+c)/4,y/2) है। C से माध्यिका का ढलान y/x है। माध्यिका AM का ढलान 2y/(2x+3c) है।

लोकस वृत्त है

C(x,y) बिंदुपथ का बिंदु है|

\Leftrightarrow

A और C से माध्यिकाएँ ओर्थोगोनल हैं

\Leftrightarrow {\frac {y}{x}}\cdot {\frac {2y}{2x+3c}}=-1

:

\Leftrightarrow 2y^{2}+2x^{2}+3cx=0

:

\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+(3c/2)x=0

:

\Leftrightarrow (x+3c/4)^{2}+y^{2}=9c^{2}/16.

शीर्ष C का लोकस केंद्र (−3c/4,0) और त्रिज्या 3c/4 का वृत्त है।

तृतीय उदाहरण

संबंधित रेखा k और l का प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त का वर्णन करता है

सामान्य पैरामीटर के आधार पर लोकस को दो संबद्ध वक्रों द्वारा भी परिभाषित किया जा सकता है। यदि पैरामीटर भिन्न होता है, तो संबंधित वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु लोकस का वर्णन करते हैं।

आकृति में, बिंदु K और L दी गयी रेखा m पर स्थिर बिंदु हैं। रेखा k, K से होकर जाने वाली परिवर्तनशील रेखा है। L से होकर जाने वाली रेखा l, k के लंबवत है। कोण $\alpha$ , k और m के मध्य का पैरामीटर है।

सामान्य पैरामीटर के आधार पर k और l संबंधित रेखाएँ हैं। k और l का प्रतिच्छेदन बिंदु S, वृत्त का वर्णन करता है। यह वृत्त दो संबंधित रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का लोकस है।

चतुर्थ उदाहरण

बिंदुओं का लोकस 1-आयामी (वृत्त, रेखा, आदि के रूप में) नहीं होना चाहिए। उदाहरण के लिए,^[1]असमता का लोकस $2 x + 3 y - 6 < 0$ समतल का वह भाग है जो समीकरण $2 x + 3 y - 6 = 0$ की रेखा के नीचे है|

यह भी देखें

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 James, Robert Clarke; James, Glenn (1992), Mathematics Dictionary, Springer, p. 255, ISBN 978-0-412-99041-0.
↑ Whitehead, Alfred North (1911), An Introduction to Mathematics, H. Holt, p. 121, ISBN 978-1-103-19784-2.
↑ Cooke, Roger L. (2012), "38.3 Topology", The History of Mathematics: A Brief Course (3rd ed.), John Wiley & Sons, ISBN 9781118460290, The word locus is one that we still use today to denote the path followed by a point moving subject to stated constraints, although, since the introduction of set theory, a locus is more often thought of statically as the set of points satisfying a given collection.
↑ Bourbaki, N. (2013), Elements of the History of Mathematics, translated by J. Meldrum, Springer, p. 26, ISBN 9783642616938, the classical mathematicians carefully avoided introducing into their reasoning the 'actual infinity'.
↑ ^5.0 ^5.1 Borovik, Alexandre (2010), "6.2.4 Can one live without actual infinity?", Mathematics Under the Microscope: Notes on Cognitive Aspects of Mathematical Practice, American Mathematical Society, p. 124, ISBN 9780821847619.
↑ Mayberry, John P. (2000), The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 82, Cambridge University Press, p. 7, ISBN 9780521770347, set theory provides the foundations for all mathematics.
↑ Ledermann, Walter; Vajda, S. (1985), Combinatorics and Geometry, Part 1, Handbook of Applicable Mathematics, vol. 5, Wiley, p. 32, ISBN 9780471900238, We begin by explaining a slightly old-fashioned term.
↑ George E. Martin, The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane, Springer-Verlag, 1975.
↑ Hamilton, Henry Parr (1834), An Analytical System of Conic Sections: Designed for the Use of Students, Springer.
↑ G. P. West, The new geometry: form 1.

[James-1] 1.0 ^1.1 James, Robert Clarke; James, Glenn (1992), Mathematics Dictionary, Springer, p. 255, ISBN 978-0-412-99041-0.

[2] Whitehead, Alfred North (1911), An Introduction to Mathematics, H. Holt, p. 121, ISBN 978-1-103-19784-2.

[3] Cooke, Roger L. (2012), "38.3 Topology", The History of Mathematics: A Brief Course (3rd ed.), John Wiley & Sons, ISBN 9781118460290, The word locus is one that we still use today to denote the path followed by a point moving subject to stated constraints, although, since the introduction of set theory, a locus is more often thought of statically as the set of points satisfying a given collection.

[4] Bourbaki, N. (2013), Elements of the History of Mathematics, translated by J. Meldrum, Springer, p. 26, ISBN 9783642616938, the classical mathematicians carefully avoided introducing into their reasoning the 'actual infinity'.

[microscope-5] 5.0 ^5.1 Borovik, Alexandre (2010), "6.2.4 Can one live without actual infinity?", Mathematics Under the Microscope: Notes on Cognitive Aspects of Mathematical Practice, American Mathematical Society, p. 124, ISBN 9780821847619.

[6] Mayberry, John P. (2000), The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 82, Cambridge University Press, p. 7, ISBN 9780521770347, set theory provides the foundations for all mathematics.

[7] Ledermann, Walter; Vajda, S. (1985), Combinatorics and Geometry, Part 1, Handbook of Applicable Mathematics, vol. 5, Wiley, p. 32, ISBN 9780471900238, We begin by explaining a slightly old-fashioned term.

[8] George E. Martin, The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane, Springer-Verlag, 1975.

[9] Hamilton, Henry Parr (1834), An Analytical System of Conic Sections: Designed for the Use of Students, Springer.

[10] G. P. West, The new geometry: form 1.

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 {{short description|Set of points that satisfy some specified conditions}}
-{{other uses| Locus (disambiguation)}}
+[[File:Locus Curve.svg|thumb|right|upright=1.35|इस उदाहरण में प्रत्येक वक्र बिंदुपथ है जिसे बिंदु {{math|''P''}} और रेखा {{math|''l''}} के शंकुवृक्ष के रूप में परिभाषित किया गया है। इस उदाहरण में, {{math|''P''}}, {{math|''l''}}<nowiki> से 8 सेमी की दूरी पर स्थित है|</nowiki>]][[ज्यामिति]] में, '''लोकस''' (बहुवचन: ''लोकी'') (स्थान के लिए लैटिन शब्द) सभी बिंदुओं (ज्यामिति) का समुच्चय (गणित) है (सामान्यतः, [[रेखा (ज्यामिति)]], [[रेखा खंड]], वक्र (गणित) या [[सतह (टोपोलॉजी)]]), जिसका स्थान संतुष्ट करता है अथवा अधिक निर्दिष्ट स्थितियों द्वारा निर्धारित किया जाता है।<ref name=James>{{citation |first1=Robert Clarke |last1=James |first2=Glenn |last2=James |title=Mathematics Dictionary|publisher=Springer |year=1992 |isbn=978-0-412-99041-0 |page=255 |url=https://books.google.com/books?id=UyIfgBIwLMQC&pg=PA255}}.</ref><ref>{{citation |first=Alfred North |last=Whitehead |author-link=Alfred North Whitehead |title=An Introduction to Mathematics |publisher=H. Holt |year=1911 |isbn=978-1-103-19784-2 |page=121 |url=https://books.google.com/books?id=0Ko-AAAAYAAJ&pg=PA121}}.</ref>
-[[File:Locus Curve.svg|thumb|right|upright=1.35|इस उदाहरण में प्रत्येक वक्र बिंदुपथ है जिसे बिंदु {{math|''P''}} और रेखा {{math|''l''}} के शंकुवृक्ष के रूप में परिभाषित किया गया है। इस उदाहरण में, {{math|''P''}}, {{math|''l''}}<nowiki> से 8 सेमी की दूरी पर स्थित है|</nowiki>]][[ज्यामिति]] में, लोकस (बहुवचन: ''लोकी'') (स्थान के लिए लैटिन शब्द) सभी बिंदुओं (ज्यामिति) का [[सेट (गणित)]] है (सामान्यतः, [[रेखा (ज्यामिति)]], [[रेखा खंड]], वक्र ( गणित) या [[सतह (टोपोलॉजी)]]), जिसका स्थान संतुष्ट करता है अथवा अधिक निर्दिष्ट स्थितियों द्वारा निर्धारित किया जाता है।<ref name=James>{{citation |first1=Robert Clarke |last1=James |first2=Glenn |last2=James |title=Mathematics Dictionary|publisher=Springer |year=1992 |isbn=978-0-412-99041-0 |page=255 |url=https://books.google.com/books?id=UyIfgBIwLMQC&pg=PA255}}.</ref><ref>{{citation |first=Alfred North |last=Whitehead |author-link=Alfred North Whitehead |title=An Introduction to Mathematics |publisher=H. Holt |year=1911 |isbn=978-1-103-19784-2 |page=121 |url=https://books.google.com/books?id=0Ko-AAAAYAAJ&pg=PA121}}.</ref>
+कुछ संपत्ति को तुष्टि करने वाले बिंदुओं के समुच्चय को अधिकांशतः इस संपत्ति को तुष्टि करने वाले बिंदु का लोकस कहा जाता है। इस सूत्रीकरण में एकवचन का प्रयोग इस तथ्य का साक्षी है कि 19वीं शताब्दी के अंत में गणितज्ञ अनंत समुच्चयों पर विचार नहीं किया करते थे। रेखाओं और वक्रों को बिंदुओं के समुच्चय के रूप में अवलोकित करने के अतिरिक्त, उन्हें ऐसे स्थानों के रूप में अवलोकित किया जहाँ बिंदु स्थित हो सकता है या स्थानांतरित हो सकता है।
-कुछ संपत्ति को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं के समुच्चय को अधिकांशतः इस संपत्ति को संतुष्ट करने वाले बिंदु का स्थान कहा जाता है। इस सूत्रीकरण में एकवचन का प्रयोग इस तथ्य का साक्षी है कि 19वीं शताब्दी के अंत में गणितज्ञ अनंत समुच्चयों पर विचार नहीं किया करते थे। रेखाओं और वक्रों को बिंदुओं के समुच्चय के रूप में अवलोकित करने के अतिरिक्त, उन्हें ऐसे स्थानों के रूप में अवलोकित किया जहाँ बिंदु स्थित हो सकता है या स्थानांतरित हो सकता है।
 == इतिहास और दर्शन ==
-वीं शताब्दी के प्रारम्भ में, ज्यामितीय आकृति (उदाहरण के लिए वक्र) को बिंदुओं के अनंत समुच्चय के रूप में स्वीकार नहीं किया जाता था, किंतु, इसे इकाई के रूप में स्वीकार किया जाता था, जिस पर बिंदु स्थित हो सकता है अथवा जिस पर वह गमन करता है। इस प्रकार [[यूक्लिडियन विमान]] में [[वृत्त (गणित)]] को बिंदु के स्थान के रूप में परिभाषित किया गया था जो निश्चित बिंदु, वृत्त के केंद्र की दूरी पर स्थित है। आधुनिक गणित में, आकृतियों को समुच्चय के रूप में वर्णित करके समान अवधारणाओं की अधिक पुनरावृत्ति की जाती है| उदाहरण के लिए, वृत्त उन बिंदुओं का समुच्चय है जो केंद्र से निश्चित दूरी पर हैं।<ref>{{citation |title=The History of Mathematics: A Brief Course |first=Roger L. |last=Cooke |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2012 |isbn=9781118460290 |url=https://books.google.com/books?id=CFDaj0WUvM8C&pg=PT534 |contribution=38.3 Topology |quote=The word locus is one that we still use today to denote the path followed by a point moving subject to stated constraints, although, since the introduction of set theory, a locus is more often thought of statically as the set of points satisfying a given collection.}}</ref>
+वीं शताब्दी के प्रारम्भ में, ज्यामितीय आकृति (उदाहरण के लिए वक्र) को बिंदुओं के अनंत समुच्चय के रूप में स्वीकार नहीं किया जाता था, किंतु, इसे इकाई के रूप में स्वीकार किया जाता था, जिस पर बिंदु स्थित हो सकता है अथवा जिस पर वह गमन करता है। इस प्रकार यूक्लिडियन समतल में वृत्त (गणित) को बिंदु के स्थान के रूप में परिभाषित किया गया था जो निश्चित बिंदु, वृत्त के केंद्र की दूरी पर स्थित है। आधुनिक गणित में, आकृतियों को समुच्चय के रूप में वर्णित करके समान अवधारणाओं की अधिक पुनरावृत्ति की जाती है| उदाहरण के लिए, वृत्त उन बिंदुओं का समुच्चय है जो केंद्र से निश्चित दूरी पर स्थित हैं।<ref>{{citation |title=The History of Mathematics: A Brief Course |first=Roger L. |last=Cooke |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2012 |isbn=9781118460290 |url=https://books.google.com/books?id=CFDaj0WUvM8C&pg=PT534 |contribution=38.3 Topology |quote=The word locus is one that we still use today to denote the path followed by a point moving subject to stated constraints, although, since the introduction of set theory, a locus is more often thought of statically as the set of points satisfying a given collection.}}</ref>
 सेट-सैद्धांतिक दृष्टिकोण के विपरीत, पूर्व सूत्रीकरण अनंत संग्रहों पर विचार नहीं करता है, क्योंकि [[वास्तविक अनंत]] से प्रतिरक्षण पूर्व गणितज्ञों की महत्वपूर्ण दार्शनिक स्थिति थी।<ref>{{citation |title=Elements of the History of Mathematics |first=N. |last=Bourbaki |author-link=Nicolas Bourbaki |translator=J. Meldrum |publisher=Springer |year=2013 |isbn=9783642616938 |page=26 |url=https://books.google.com/books?id=4JprCQAAQBAJ&pg=PA26 |quote=the classical mathematicians carefully avoided introducing into their reasoning the 'actual infinity'}}.</ref><ref name="microscope" />
 स्थापित सिद्धांत सार्वभौमिक आधार है जिस पर गणित आधारित है,<ref>{{citation |title=The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets |volume=82 |series=Encyclopedia of Mathematics and its Applications |first=John P. |last=Mayberry |publisher=Cambridge University Press |year=2000 |isbn=9780521770347 |url=https://books.google.com/books?id=mP1ofko7p6IC&pg=PA7 |page=7 |quote=set theory provides the foundations for all mathematics}}.</ref> लोकस प्राचीन शब्द है।<ref>{{citation |title=Combinatorics and Geometry, Part 1 |volume=5 |series=Handbook of Applicable Mathematics |first1=Walter |last1=Ledermann |first2=S. |last2=Vajda |publisher=Wiley |year=1985 |isbn=9780471900238 |page=32 |quote=We begin by explaining a slightly old-fashioned term}}.</ref> तथापि, यह शब्द वर्तमान में व्यापक रूप से मुख्यतः संक्षिप्त सूत्रीकरण के लिए उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए-
-* [[ महत्वपूर्ण ठिकाना | क्रिटिकल लोकस]] , [[अलग करने योग्य समारोह|अवकलनीय फलन]] के [[महत्वपूर्ण बिंदु (गणित)|महत्वपूर्ण बिंदुओं (गणित)]] का समुच्चय है।
+* क्रिटिकल लोकस , [[अलग करने योग्य समारोह|अवकलनीय फलन]] के [[महत्वपूर्ण बिंदु (गणित)|महत्वपूर्ण बिंदुओं (गणित)]] का समुच्चय है।
 * शून्य लोकस या लुप्त लोकस, उन बिंदुओं का समुच्चय जहाँ फलन लुप्त हो जाता है, जिसमें वह शून्य मान (गणित) स्वीकार करता है।
 * एकल लोकस,  [[एक बीजगणितीय किस्म के एकवचन बिंदु|बीजगणितीय प्रकार के बिंदुओं]] का समुच्चय है।
-* [[ जुड़ाव स्थान ]], [[तर्कसंगत कार्य|परिमेय फलन]] के सदस्य के प्राचल समुच्चय का उप-समुच्चय जिसके लिए फलन का [[जूलिया सेट]] जुड़ा हुआ है।
+* कनेक्टेडनेस लोकस , [[तर्कसंगत कार्य|परिमेय फलन]] के सदस्य का प्राचल समुच्चय जिसके लिए फलन का [[जूलिया सेट|जूलिया समुच्चय]] युग्मित है।
-हाल ही में, योजना के सिद्धांत (गणित) जैसी तकनीकें, और गणित को आधार देने के लिए सेट सिद्धांत के अतिरिक्त [[श्रेणी सिद्धांत]] का उपयोग, धारणाओं पर वापस आ गया है, जैसे कि लोकस की मूल परिभाषा वस्तु के अतिरिक्त अपने आप में। बिंदुओं के समूह के रूप में।<ref name="microscope">{{citation |title=Mathematics Under the Microscope: Notes on Cognitive Aspects of Mathematical Practice |first=Alexandre |last=Borovik |publisher=American Mathematical Society |year=2010 |isbn=9780821847619 |contribution=6.2.4 Can one live without actual infinity? |url=https://books.google.com/books?id=hEPSAwAAQBAJ&pg=PA124 |page=124}}.</ref>
+योजना सिद्धांत (गणित) और गणित को आधार देने के लिए समुच्चय सिद्धांत के अतिरिक्त [[श्रेणी सिद्धांत]] का उपयोग, बिंदुओं के समुच्चय के अतिरिक्त ऑब्जेक्ट के रूप में लोकस की मूल परिभाषा के रूप में किया जाता है।<ref name="microscope">{{citation |title=Mathematics Under the Microscope: Notes on Cognitive Aspects of Mathematical Practice |first=Alexandre |last=Borovik |publisher=American Mathematical Society |year=2010 |isbn=9780821847619 |contribution=6.2.4 Can one live without actual infinity? |url=https://books.google.com/books?id=hEPSAwAAQBAJ&pg=PA124 |page=124}}.</ref>
-== विमान ज्यामिति में उदाहरण ==
+== समतल ज्यामिति में उदाहरण ==
-समतल ज्यामिति के उदाहरणों में शामिल हैं:
+समतल ज्यामिति के उदाहरणों में सम्मिलित हैं-
 * दो बिंदुओं से समदूरस्थ बिंदुओं का समुच्चय दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड का लम्ब समद्विभाजक होता है।<ref>George E. Martin, ''The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane'', Springer-Verlag, 1975.</ref>
-* दो रेखाओं से समदूरस्थ बिंदुओं का समुच्चय जो एक दूसरे को काटते हैं, कोण समद्विभाजक होता है।
+* दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से समदूरस्थ बिंदुओं का समुच्चय उनके दो कोण समद्विभाजकों का युग्मन होता है।
-* सभी शांकव खंड लोकी हैं:<ref>{{citation |first1=Henry Parr |last1=Hamilton |title=An Analytical System of Conic Sections: Designed for the Use of Students |publisher=Springer |year=1834}}.</ref>
+* सभी शंकु-परिच्छेद लोकी हैं-<ref>{{citation |first1=Henry Parr |last1=Hamilton |title=An Analytical System of Conic Sections: Designed for the Use of Students |publisher=Springer |year=1834}}.</ref>
-** वृत्त: बिंदुओं का समूह जिसके लिए एक बिंदु से दूरी स्थिर (त्रिज्या) है।
+** '''वृत्त'''- बिंदुओं का समुच्चय जिसके लिए बिंदु से दूरी स्थिर (त्रिज्या) है।
-** [[परवलय]]: निश्चित बिंदु ([[फोकस (ज्यामिति)]]) और एक रेखा ([[डायरेक्ट्रिक्स (शंक्वाकार खंड)]]) से समदूरस्थ बिंदुओं का समूह।
+** '''परवलय'''- निश्चित बिंदु ([[फोकस (ज्यामिति)]]) और रेखा (डायरेक्ट्रिक्स (शंक्वाकार खंड)) से समदूरस्थ बिंदुओं का समुच्चय है।
-** [[ अतिशयोक्ति ]]: बिंदुओं का समूह जिनमें से प्रत्येक के लिए दो दिए गए नाभियों की दूरियों के बीच अंतर का निरपेक्ष मान स्थिरांक होता है।
+** '''अतिशयोक्ति''' - बिंदुओं का वह समुच्चय जिनमें से प्रत्येक के लिए दो दिए गए नाभियों की दूरी के मध्य अंतर का निरपेक्ष मान स्थिरांक होता है।
-** दीर्घवृत्त: बिंदुओं का समुच्चय जिसमें से प्रत्येक के लिए दो दिए गए नाभियों की दूरियों का योग एक स्थिरांक होता है
+** '''दीर्घवृत्त'''- बिंदुओं का वह समुच्चय जिसमें से प्रत्येक के लिए दो दिए गए नाभियों की दूरी का योग स्थिरांक होता है।
-लोकी के अन्य उदाहरण गणित के विभिन्न क्षेत्रों में दिखाई देते हैं। उदाहरण के लिए, [[जटिल गतिकी]] में, मैंडलब्रॉट सेट#औपचारिक परिभाषा जटिल तल का उपसमुच्चय है जिसे बहुपद मानचित्रों के परिवार के जुड़ाव स्थान के रूप में वर्णित किया जा सकता है।
+लोकी के अन्य उदाहरण गणित के विभिन्न क्षेत्रों में प्राप्त होते हैं। उदाहरण के लिए, [[जटिल गतिकी]] में, मैंडलब्रॉट सेट जटिल तल का उपसमुच्चय है जिसे बहुपद मानचित्रों के सदस्य के कनेक्टेडनेस लोकस के रूप में वर्णित किया जा सकता है।
 == लोकस का प्रमाण ==
-एक ज्यामितीय आकार साबित करने के लिए शर्तों के एक सेट के लिए सही स्थान है,
+सिद्ध करें कि दी गई स्थितियों के लिए ज्यामितीय आकृति उचित लोकस है,
-एक आम तौर पर सबूत को दो चरणों में विभाजित करता है: सबूत है कि शर्तों को संतुष्ट करने वाले सभी बिंदु दिए गए आकार पर हैं, और प्रमाण है कि दिए गए आकार पर सभी बिंदु शर्तों को पूरा करते हैं।<ref>G. P. West, ''The new geometry: form 1''.</ref>
+सामान्यतः प्रमाण दो चरणों में विभाजित हैं- स्थितियों को संतुष्ट करने वाले सभी बिंदु आकृति पर हैं और आकृति पर सभी बिंदु स्थितियों को पूर्ण करते हैं।<ref>G. P. West, ''The new geometry: form 1''.</ref>
 == उदाहरण ==
-[[File:Locus apollonius.svg|thumb|(दूरी पीए) = 3. (दूरी पीबी)]]
+[[File:Locus apollonius.svg|thumb|(दूरी PA) = 3. (दूरी PB)]]
-=== पहला उदाहरण ===
+=== प्रथम उदाहरण ===
-उस बिंदु P का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए जिसकी दूरियों का अनुपात k = d है<sub>1</sub>/डी<sub>2</sub> दो दिए गए बिंदुओं के लिए।
+उस बिंदु P का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए जिसकी दूरी k = d<sub>1</sub>/d<sub>2</sub> दो दिए गए बिंदुओं का अनुपात है।
-इस उदाहरण में k = 3, A(−1,0) और B(0,2) को निश्चित बिंदुओं के रूप में चुना गया है।
+इस उदाहरण में k = 3, A(−1,0) और B(0,2) को निश्चित बिंदुओं के रूप में चयनित किया गया है।
-: P(x,y) बिंदुपथ का एक बिंदु है
+: बिंदुपथ का बिंदु P(x,y) है
 : <math>\Leftrightarrow |PA| = 3 |PB| </math>
 : <math>\Leftrightarrow |PA|^2 = 9 |PB|^2 </math>
@@ Line 49: / Line 50: @@
 : <math>\Leftrightarrow 8(x^2 + y^2) - 2x - 36y + 35 = 0 </math>
 : <math>\Leftrightarrow \left(x - \frac18\right)^2 + \left(y - \frac94\right)^2 = \frac{45}{64}.</math>
-यह समीकरण केंद्र (1/8,9/4) और त्रिज्या के साथ एक वृत्त का प्रतिनिधित्व करता है <math>\tfrac{3}{8}\sqrt{5}</math>. यह अपोलोनियस # अपोलोनियस की परिभाषा है, जो के, ए, और बी के इन मूल्यों द्वारा परिभाषित सर्कल की परिभाषा है।
+यह समीकरण वृत्त के केंद्र (1/8,9/4) और त्रिज्या <math>\tfrac{3}{8}\sqrt{5}</math> का प्रतिनिधित्व करता है| यह k, A और B के इन मूल्यों द्वारा परिभाषित एपोलोनियस का वृत्त है।
+=== द्वितीय उदाहरण ===
+[[File:Locus3a.svg|thumb|बिंदु C का स्थान]]त्रिभुज ABC की लंबाई c के साथ निश्चित भुजा [AB] है।
+तृतीय [[वर्टेक्स (ज्यामिति)]] C का लोकस इस प्रकार निर्धारित करें कि A और C से [[मेडियन (ज्यामिति)]] [[ओर्थोगोनल]] हों।
-=== दूसरा उदाहरण ===
+असामान्य निर्देशांक प्रणाली चुनें जैसे कि A(−c/2,0), B(c/2,0)।
-[[File:Locus3a.svg|thumb|बिंदु C का स्थान]]एक त्रिभुज ABC की लंबाई c के साथ एक निश्चित भुजा [AB] है।
-तीसरे [[वर्टेक्स (ज्यामिति)]] सी का स्थान निर्धारित करें जैसे कि
-ए और सी से [[मेडियन (ज्यामिति)]] [[ओर्थोगोनल]] हैं।
-एक असामान्य निर्देशांक प्रणाली चुनें जैसे कि A(−c/2,0), B(c/2,0)।
+C(x,y) तृतीय शीर्ष है। [BC] का केंद्र M((2x+c)/4,y/2) है। C से माध्यिका का [[ढलान]] y/x है। माध्यिका AM का ढलान 2y/(2x+3c) है।
-C(x,y) चर तीसरा शीर्ष है। [BC] का केंद्र M((2x+c)/4,y/2) है। C से माध्यिका का [[ढलान]] y/x है। माध्यिका AM का ढलान 2y/(2x+3c) है।
-[[File:Locus3.svg|thumb|ठिकाना एक वृत्त है]]:C(x,y) बिंदुपथ का एक बिंदु है
+[[File:Locus3.svg|thumb|लोकस वृत्त है]]C(x,y) बिंदुपथ का बिंदु है|
 :<math>\Leftrightarrow</math> A और C से माध्यिकाएँ ओर्थोगोनल हैं
 :<math>\Leftrightarrow \frac{y}{x} \cdot \frac{2y}{2x + 3c} = -1 </math> :<math>\Leftrightarrow 2 y^2 + 2x^2 + 3c x = 0 </math> :<math>\Leftrightarrow x^2 + y^2 + (3c/2) x = 0 </math> :<math>\Leftrightarrow (x +  3c/4)^2 + y^2 = 9c^2/16. </math>
-शीर्ष C का स्थान केंद्र (−3c/4,0) और त्रिज्या 3c/4 वाला एक वृत्त है।
+शीर्ष C का लोकस केंद्र (−3c/4,0) और त्रिज्या 3c/4 का वृत्त है।
+=== तृतीय उदाहरण ===
+[[File:Geassocieerde rechten.svg|thumb|संबंधित रेखा k और l का प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त का वर्णन करता है]]सामान्य [[पैरामीटर]] के आधार पर लोकस को दो संबद्ध वक्रों द्वारा भी परिभाषित किया जा सकता है। यदि पैरामीटर भिन्न होता है, तो संबंधित वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु लोकस का वर्णन करते हैं।
-=== तीसरा उदाहरण ===
+आकृति में, बिंदु K और L दी गयी रेखा m पर स्थिर बिंदु हैं। रेखा k, K से होकर जाने वाली परिवर्तनशील रेखा है। L से होकर जाने वाली रेखा l, k के लंबवत है। कोण <math>\alpha</math>, k और m के मध्य का पैरामीटर है।
-[[File:Geassocieerde rechten.svg|thumb|संबद्ध रेखाओं k और l का प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त का वर्णन करता है]]एक सामान्य [[पैरामीटर]] के आधार पर एक लोकस को दो संबद्ध वक्रों द्वारा भी परिभाषित किया जा सकता है। यदि पैरामीटर भिन्न होता है, तो संबंधित वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु लोकस का वर्णन करते हैं।
-आकृति में, बिंदु K और L किसी दिए गए रेखा m पर स्थिर बिंदु हैं। रेखा k, K से होकर जाने वाली एक परिवर्तनशील रेखा है। L से होकर जाने वाली रेखा l, k के लंबवत है। कोना <math>\alpha</math> k और m के बीच का पैरामीटर है।
+सामान्य पैरामीटर के आधार पर k और l संबंधित रेखाएँ हैं। k और l का प्रतिच्छेदन बिंदु S, वृत्त का वर्णन करता है। यह वृत्त दो संबंधित रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का लोकस है।
-सामान्य पैरामीटर के आधार पर k और l संबद्ध रेखाएँ हैं। k और l का चर चौराहा बिंदु S एक वृत्त का वर्णन करता है। यह वृत्त दो संबद्ध रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का स्थान है।
-=== चौथा उदाहरण ===
+=== चतुर्थ उदाहरण ===
-बिंदुओं का स्थान एक-आयामी (एक वृत्त, रेखा, आदि के रूप में) होना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए,<ref name=James/>असमानता का ठिकाना {{math|2''x'' + 3''y'' – 6 < 0}} समतल का वह भाग है जो समीकरण की रेखा के नीचे है {{math|1=2''x'' + 3''y'' – 6 = 0}}.
+बिंदुओं का लोकस 1-आयामी (वृत्त, रेखा, आदि के रूप में) नहीं होना चाहिए। उदाहरण के लिए,<ref name=James/>असमता का लोकस {{math|2''x'' + 3''y'' – 6 < 0}} समतल का वह भाग है जो समीकरण {{math|1=2''x'' + 3''y'' – 6 = 0}} की रेखा के नीचे है|
 == यह भी देखें ==
-* [[बीजगणितीय किस्म]]
+* [[बीजगणितीय किस्म|बीजगणितीय प्रकार]]
 * [[वक्र]]
 * रेखा (ज्यामिति)
 * [[सेट-बिल्डर नोटेशन]]
-* [[आकार (ज्यामिति)]]
+* [[आकार (ज्यामिति)|आकृति (ज्यामिति)]]
 ==संदर्भ==
 {{reflist}}
-[[Category: प्राथमिक ज्यामिति]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
 [[Category:Created On 05/04/2023]]
+[[Category:Lua-based templates]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Pages with script errors]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready]]
+[[Category:Templates that add a tracking category]]
+[[Category:Templates that generate short descriptions]]
+[[Category:Templates using TemplateData]]
+[[Category:प्राथमिक ज्यामिति]]

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समतल ज्यामिति में उदाहरण

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