सिमसन लाइन: Difference between revisions

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{{short description|Line constructed from a triangle}}
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[[Image:Pedal Line.svg|right|thumb|250px|परिवृत्त पर बिंदु {{mvar|P}} के संबंध में त्रिभुज {{mvar|ABC}} की सिमसन रेखा LN (लाल) है।]][[ज्यामिति]] में, त्रिभुज {{mvar|ABC}} और इसके [[परिवृत्त]] पर [[बिंदु (ज्यामिति)|बिंदु]] {{mvar|P}} दिया गया है, रेखाओं {{mvar|AB}}, {{mvar|AC}}, और {{mvar|BC}} पर {{mvar|P}} के तीन निकटतम बिंदु संरेख हैं।<ref>H.S.M. Coxeter and S.L. Greitzer, ''Geometry revisited'', Math. Assoc. America, 1967: p.41.</ref> इन बिंदुओं से होकर जाने वाली रेखा {{mvar|P}} की सिमसन रेखा है, जिसका नाम [[रॉबर्ट सिमसन]] के नाम पर रखा गया है।<ref>{{cite web|url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/Extras/Gibson_history_7.html|title=Gibson History 7 - Robert Simson|date= 2008-01-30|work=[[MacTutor History of Mathematics archive]]}}</ref> चूँकि, इस अवधारणा को प्रथम बार 1799 में [[विलियम वालेस (गणितज्ञ)|विलियम वालेस]] द्वारा प्रकाशित किया गया था।<ref>{{cite web|url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/Biographies/Wallace.html|title=विलियम वॉलेस|work=MacTutor History of Mathematics archive}}</ref>
[[Image:Pedal Line.svg|right|thumb|250px|परिवृत्त पर बिंदु {{mvar|P}} के संबंध में त्रिभुज {{mvar|ABC}} की सिमसन लाइन LN (लाल) है।]][[ज्यामिति]] में, त्रिभुज {{mvar|ABC}} और इसके [[परिवृत्त]] पर [[बिंदु (ज्यामिति)|बिंदु]] {{mvar|P}} दिया गया है, लाइनओं {{mvar|AB}}, {{mvar|AC}}, और {{mvar|BC}} पर {{mvar|P}} के तीन निकटतम बिंदु संरेख हैं।<ref>H.S.M. Coxeter and S.L. Greitzer, ''Geometry revisited'', Math. Assoc. America, 1967: p.41.</ref> इन बिंदुओं से होकर जाने वाली लाइन {{mvar|P}} की '''सिमसन लाइन''' है, जिसका नाम रॉबर्ट सिमसन के नाम पर रखा गया है।<ref>{{cite web|url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/Extras/Gibson_history_7.html|title=Gibson History 7 - Robert Simson|date= 2008-01-30|work=[[MacTutor History of Mathematics archive]]}}</ref> चूँकि, इस अवधारणा को प्रथम बार 1799 में विलियम वालेस द्वारा प्रकाशित किया गया था।<ref>{{cite web|url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/Biographies/Wallace.html|title=विलियम वॉलेस|work=MacTutor History of Mathematics archive}}</ref>
इसका विपरीत भी सत्य है; यदि तीन रेखाओं पर {{mvar|P}} के तीन निकटतम बिंदु समरेख हैं, और कोई भी दो रेखाएँ समानांतर नहीं हैं, तो {{mvar|P}} तीन रेखाओं से बने त्रिभुज के परिवृत्त पर स्थित है, या दूसरे शब्दों में, त्रिभुज {{mvar|ABC}} की सिमसन रेखा और बिंदु {{mvar|P}}, {{mvar|ABC}} और {{mvar|P}} का सिर्फ [[पेडल त्रिकोण]] है, जो सीधी रेखा में पतित हो गया है और यह स्थिति त्रिभुज {{mvar|ABC}} के परिवृत्त को ज्ञात करने के लिए {{mvar|P}} को बाधित करती है।
इसका विपरीत भी सत्य है; यदि तीन लाइनओं पर {{mvar|P}} के तीन निकटतम बिंदु समरेख हैं, और कोई भी दो लाइनएँ समानांतर नहीं हैं, तो {{mvar|P}} तीन लाइनओं से बने त्रिभुज के परिवृत्त पर स्थित है, या दूसरे शब्दों में, त्रिभुज {{mvar|ABC}} की सिमसन लाइन और बिंदु {{mvar|P}}, {{mvar|ABC}} और {{mvar|P}} का सिर्फ [[पेडल त्रिकोण]] है, जो सीधी लाइन में पतित हो गया है और यह स्थिति त्रिभुज {{mvar|ABC}} के परिवृत्त को ज्ञात करने के लिए {{mvar|P}} को बाधित करती है।


== समीकरण ==
== समीकरण ==


त्रिभुज को जटिल तल में रखते हुए, त्रिकोण {{mvar|ABC}} में इकाई परिवृत्त के साथ ऐसे शीर्ष होते हैं जिनके स्थानों में जटिल निर्देशांक {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}} होते हैं, और P को जटिल निर्देशांक {{mvar|p}} के साथ परिवृत्त पर बिंदु हो। सिमसन रेखा बिंदु {{mvar|z}} का समुच्चय है।<ref name=TZ>Todor Zaharinov, "The Simson triangle and its properties", ''Forum Geometricorum'' 17 (2017), 373--381. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201736.pdf</ref>{{rp|Proposition 4}}
त्रिभुज को जटिल तल में रखते हुए, त्रिकोण {{mvar|ABC}} में इकाई परिवृत्त के साथ ऐसे शीर्ष होते हैं जिनके स्थानों में जटिल निर्देशांक {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}} होते हैं, और P को जटिल निर्देशांक {{mvar|p}} के साथ परिवृत्त पर बिंदु हो। सिमसन लाइन बिंदु {{mvar|z}} का समुच्चय है।<ref name=TZ>Todor Zaharinov, "The Simson triangle and its properties", ''Forum Geometricorum'' 17 (2017), 373--381. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201736.pdf</ref>{{rp|Proposition 4}}


:<math>2abc\bar{z} -2pz+p^2+(a+b+c)p -(bc+ca+ab)-\frac{abc}{p} =0,</math>
:<math>2abc\bar{z} -2pz+p^2+(a+b+c)p -(bc+ca+ab)-\frac{abc}{p} =0,</math>
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== गुण ==
== गुण ==


[[Image:Simson-deltoid-anim.gif|right|thumb|250px|सिमसन रेखाएँ (लाल रंग में) स्टेनर [[डेल्टॉइड वक्र]] (नीले रंग में) की स्पर्शरेखाएँ हैं।]]
[[Image:Simson-deltoid-anim.gif|right|thumb|250px|सिमसन लाइनएँ (लाल रंग में) स्टेनर [[डेल्टॉइड वक्र]] (नीले रंग में) की स्पर्शलाइनएँ हैं।]]


* त्रिकोण के किसी शीर्ष की सिमसन रेखा उस शीर्ष से गिराए गए त्रिभुज की ऊँचाई (ज्यामिति) होती है, और शीर्ष के [[बिल्कुल विपरीत]] बिंदु की सिमसन रेखा उस शीर्ष के विपरीत त्रिभुज की भुजा होती है।
* त्रिकोण के किसी शीर्ष की सिमसन लाइन उस शीर्ष से गिराए गए त्रिभुज की ऊँचाई (ज्यामिति) होती है, और शीर्ष के [[बिल्कुल विपरीत]] बिंदु की सिमसन लाइन उस शीर्ष के विपरीत त्रिभुज की भुजा होती है।


*यदि {{mvar|P}} और {{mvar|Q}} परिवृत्त पर बिंदु हैं, तो {{mvar|P}} और {{mvar|Q}} की सिमसन रेखाओं के मध्य का कोण चाप {{mvar|PQ}} के कोण का अर्ध है। विशेष रूप से, यदि बिंदु बिलकुल विपरीत हैं, तो उनकी सिमसन रेखाएँ लंबवत होती हैं और इस स्थिति में रेखाओं का प्रतिच्छेदन नौ-बिंदु वाले वृत्त पर स्थित होता है।
*यदि {{mvar|P}} और {{mvar|Q}} परिवृत्त पर बिंदु हैं, तो {{mvar|P}} और {{mvar|Q}} की सिमसन लाइनओं के मध्य का कोण चाप {{mvar|PQ}} के कोण का अर्ध है। विशेष रूप से, यदि बिंदु बिलकुल विपरीत हैं, तो उनकी सिमसन लाइनएँ लंबवत होती हैं और इस स्थिति में लाइनओं का प्रतिच्छेदन नौ-बिंदु वाले वृत्त पर स्थित होता है।
*{{mvar|H}} त्रिभुज {{mvar|ABC}} के लंबकेंद्र को निरूपित करता है, सिमसन रेखा {{mvar|P}} खंड को समद्विभाजित करती है, {{mvar|PH}} उस बिंदु पर जो नौ-बिंदु वाले वृत्त पर स्थित है।
*{{mvar|H}} त्रिभुज {{mvar|ABC}} के लंबकेंद्र को निरूपित करता है, सिमसन लाइन {{mvar|P}} खंड को समद्विभाजित करती है, {{mvar|PH}} उस बिंदु पर जो नौ-बिंदु वाले वृत्त पर स्थित है।
* एक ही परिवृत्त वाले दो त्रिभुज दिए गए हैं, दोनों त्रिभुजों के परिवृत्त पर बिंदु {{mvar|P}} की सिमसन रेखाओं के मध्य का कोण {{mvar|P}} पर निर्भर नहीं करता है।
* एक ही परिवृत्त वाले दो त्रिभुज दिए गए हैं, दोनों त्रिभुजों के परिवृत्त पर बिंदु {{mvar|P}} की सिमसन लाइनओं के मध्य का कोण {{mvar|P}} पर निर्भर नहीं करता है।
* सभी सिमसन रेखाओं का समूह, जब खींचा जाता है, तो डेल्टोइड के आकार में [[लिफाफा (गणित)|लिफाफा]] बनाता है जिसे संदर्भ त्रिभुज के स्टीनर डेल्टोइड के रूप में जाना जाता है।
* सभी सिमसन लाइनओं का समूह, जब खींचा जाता है, तो डेल्टोइड के आकार में [[लिफाफा (गणित)|लिफाफा]] बनाता है जिसे संदर्भ त्रिभुज के स्टीनर डेल्टोइड के रूप में जाना जाता है।
* सिमसन रेखा का निर्माण जो संदर्भ त्रिकोण के पक्ष के साथ युग्मित होता है (ऊपर प्रथम संपत्ति देखें) इस पार्श्व रेखा पर अन्य-अल्प बिंदु उत्पन्न करता है। यह बिंदु बनाई जा रही पार्श्व रेखा के मध्य बिंदु के सम्बंध में ऊंचाई (पार्श्व रेखा पर गिरा हुआ) का प्रतिबिंब है। इसके अतिरिक्त, यह बिंदु संदर्भ त्रिभुज की भुजा और उसके [[स्टेनर डेल्टॉइड]] के मध्य स्पर्शरेखा बिंदु है।
* सिमसन लाइन का निर्माण जो संदर्भ त्रिकोण के पक्ष के साथ युग्मित होता है (ऊपर प्रथम संपत्ति देखें) इस पार्श्व लाइन पर अन्य-अल्प बिंदु उत्पन्न करता है। यह बिंदु बनाई जा रही पार्श्व लाइन के मध्य बिंदु के सम्बंध में ऊंचाई (पार्श्व लाइन पर गिरा हुआ) का प्रतिबिंब है। इसके अतिरिक्त, यह बिंदु संदर्भ त्रिभुज की भुजा और उसके [[स्टेनर डेल्टॉइड]] के मध्य स्पर्शलाइन बिंदु है।
* [[चतुर्भुज]] जो समांतर चतुर्भुज नहीं है, उसमें केवल पेडल बिंदु होता है, जिसे सिमसन बिंदु कहा जाता है, जिसके संबंध में चतुर्भुज पर समरेख होते हैं।<ref>[http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201316.pdf Daniela Ferrarello, Maria Flavia Mammana, and Mario Pennisi, "Pedal Polygons", ''Forum Geometricorum'' 13 (2013) 153–164: Theorem 4.]</ref> समलम्ब [[चतुर्भुज]] का सिम्पसन बिंदु दो अन्य समानांतर भुजाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है।<ref>Olga Radko and Emmanuel Tsukerman, "The Perpendicular Bisector Construction, the Isoptic point, and the Simson Line of a Quadrilateral", ''Forum Geometricorum'' 12 (2012). [http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201214.pdf]</ref>{{rp|p. 186}}
* [[चतुर्भुज]] जो समांतर चतुर्भुज नहीं है, उसमें केवल पेडल बिंदु होता है, जिसे सिमसन बिंदु कहा जाता है, जिसके संबंध में चतुर्भुज पर समरेख होते हैं।<ref>[http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201316.pdf Daniela Ferrarello, Maria Flavia Mammana, and Mario Pennisi, "Pedal Polygons", ''Forum Geometricorum'' 13 (2013) 153–164: Theorem 4.]</ref> समलम्ब [[चतुर्भुज]] का सिम्पसन बिंदु दो अन्य समानांतर भुजाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है।<ref>Olga Radko and Emmanuel Tsukerman, "The Perpendicular Bisector Construction, the Isoptic point, and the Simson Line of a Quadrilateral", ''Forum Geometricorum'' 12 (2012). [http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201214.pdf]</ref>{{rp|p. 186}}
* अल्प से अल्प 5 भुजाओं वाले किसी भी [[उत्तल बहुभुज]] में सिमसन रेखा नहीं होती है।<ref>{{cite journal | last1 = Tsukerman | first1 = Emmanuel | year = 2013 | title = पैराबोलस के असतत एनालॉग्स के रूप में एक सिमसन रेखा को स्वीकार करने वाले बहुभुजों पर| url = http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201321.pdf | journal = Forum Geometricorum | volume = 13 | pages = 197–208 }}</ref>
* अल्प से अल्प 5 भुजाओं वाले किसी भी [[उत्तल बहुभुज]] में सिमसन लाइन नहीं होती है।<ref>{{cite journal | last1 = Tsukerman | first1 = Emmanuel | year = 2013 | title = पैराबोलस के असतत एनालॉग्स के रूप में एक सिमसन रेखा को स्वीकार करने वाले बहुभुजों पर| url = http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201321.pdf | journal = Forum Geometricorum | volume = 13 | pages = 197–208 }}</ref>
== अस्तित्व का प्रमाण ==
== अस्तित्व का प्रमाण ==
प्रमाण का प्रकार यह दिखाना है, कि <math>\angle NMP + \angle PML = 180^\circ</math> <math>PCAB</math>  चक्रीय चतुर्भुज है, इसलिए <math>\angle PBA + \angle ACP = \angle PBN + \angle ACP = 180^\circ</math> <math>PMNB</math>  चक्रीय चतुर्भुज (थेल्स प्रमेय) है, इसलिए <math>\angle PBN + \angle NMP = 180^\circ</math> है, इस प्रकार <math>\angle NMP = \angle ACP</math> है, अब <math>PLCM</math> चक्रीय है, इसलिए <math>\angle PML = \angle PCL = 180^\circ - \angle ACP</math>, <math>\angle NMP + \angle PML = \angle ACP + (180^\circ - \angle ACP) = 180^\circ</math> है।
प्रमाण का प्रकार यह दिखाना है, कि <math>\angle NMP + \angle PML = 180^\circ</math> <math>PCAB</math>  चक्रीय चतुर्भुज है, इसलिए <math>\angle PBA + \angle ACP = \angle PBN + \angle ACP = 180^\circ</math> <math>PMNB</math>  चक्रीय चतुर्भुज (थेल्स प्रमेय) है, इसलिए <math>\angle PBN + \angle NMP = 180^\circ</math> है, इस प्रकार <math>\angle NMP = \angle ACP</math> है, अब <math>PLCM</math> चक्रीय है, इसलिए <math>\angle PML = \angle PCL = 180^\circ - \angle ACP</math>, <math>\angle NMP + \angle PML = \angle ACP + (180^\circ - \angle ACP) = 180^\circ</math> है।
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=== सामान्यीकरण 1 ===
=== सामान्यीकरण 1 ===
[[File:A generalization of the Simson line.svg|thumb|250px|AP, Bp, Cp का BC, CA, AB पर प्रक्षेप तीन संरेख बिंदु हैं।]]मान लीजिए कि ABC त्रिभुज है, माना कि रेखा ℓ परिकेन्द्र O से होकर जाती है, और बिंदु P परिवृत्त पर स्थित है। माना AP, BP, CP क्रमशः A<sub>p</sub>, B<sub>p</sub>, C<sub>p</sub>  ℓ पर मिलते हैं। माना A<sub>0</sub>, B<sub>0</sub>, C<sub>0</sub> क्रमश: BC, CA, AB पर A<sub>p</sub>, B<sub>p</sub>, C<sub>p</sub> के प्रक्षेप हैं। तब A<sub>0</sub>, B<sub>0</sub>, C<sub>0</sub> संरेख हैं। इसके अतिरिक्त, नई रेखा PH के मध्य बिंदु से होकर निकलती है, जहाँ H ΔABC का लंबकेन्द्र है। यदि ℓ, P से होकर निकलती है, तो रेखा सिमसन रेखा के संपाती हो जाती है।<ref>{{cite web|url=http://www.cut-the-knot.org/m/Geometry/GeneralizationSimson.shtml|title=सिमसन लाइन का एक सामान्यीकरण|publisher=Cut-the-knot|date = April 2015}}</ref><ref>{{citation|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201608.pdf|author= Nguyen Van Linh|title= Another synthetic proof of Dao's generalization of the Simson line theorem|journal= Forum Geometricorum|volume= 16|year=2016|pages= 57–61}}</ref><ref name=NguyenLePhuocandNguyenChuongChi>[http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=10362951&fileId=S0025557216000772 Nguyen Le Phuoc and Nguyen Chuong Chi (2016). 100.24 A synthetic proof of Dao's generalisation of the Simson line theorem. The Mathematical Gazette, 100, pp 341-345. doi:10.1017/mag.2016.77.] [[The Mathematical Gazette]]</ref>
[[File:A generalization of the Simson line.svg|thumb|250px|AP, Bp, Cp का BC, CA, AB पर प्रक्षेप तीन संरेख बिंदु हैं।]]मान लीजिए कि ABC त्रिभुज है, माना कि लाइन ℓ परिकेन्द्र O से होकर जाती है, और बिंदु P परिवृत्त पर स्थित है। माना AP, BP, CP क्रमशः A<sub>p</sub>, B<sub>p</sub>, C<sub>p</sub>  ℓ पर मिलते हैं। माना A<sub>0</sub>, B<sub>0</sub>, C<sub>0</sub> क्रमश: BC, CA, AB पर A<sub>p</sub>, B<sub>p</sub>, C<sub>p</sub> के प्रक्षेप हैं। तब A<sub>0</sub>, B<sub>0</sub>, C<sub>0</sub> संरेख हैं। इसके अतिरिक्त, नई लाइन PH के मध्य बिंदु से होकर निकलती है, जहाँ H ΔABC का लंबकेन्द्र है। यदि ℓ, P से होकर निकलती है, तो लाइन सिमसन लाइन के संपाती हो जाती है।<ref>{{cite web|url=http://www.cut-the-knot.org/m/Geometry/GeneralizationSimson.shtml|title=सिमसन लाइन का एक सामान्यीकरण|publisher=Cut-the-knot|date = April 2015}}</ref><ref>{{citation|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201608.pdf|author= Nguyen Van Linh|title= Another synthetic proof of Dao's generalization of the Simson line theorem|journal= Forum Geometricorum|volume= 16|year=2016|pages= 57–61}}</ref><ref name=NguyenLePhuocandNguyenChuongChi>[http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=10362951&fileId=S0025557216000772 Nguyen Le Phuoc and Nguyen Chuong Chi (2016). 100.24 A synthetic proof of Dao's generalisation of the Simson line theorem. The Mathematical Gazette, 100, pp 341-345. doi:10.1017/mag.2016.77.] [[The Mathematical Gazette]]</ref>


[[File:A propjective Simson line.svg|thumb|right|250px|सिमसन लाइन का  प्रक्षेपी संस्करण]]
[[File:A propjective Simson line.svg|thumb|right|250px|सिमसन लाइन का  प्रक्षेपी संस्करण]]
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* मान लीजिए कि त्रिभुज ABC शीर्ष [[शंकु खंड|शंकु]] Γ पर स्थित हैं, और Q, P को समतल में दो बिंदु होने देता है। माना PA, PB, PC शंकु को क्रमशः A<sub>1</sub>, B<sub>1</sub>, C<sub>1</sub> पर प्रतिच्छेद करते हैं। QA<sub>1</sub>, BC को A<sub>2</sub> पर, QB<sub>1</sub> AC को B<sub>2</sub>, और QC<sub>1</sub> AB को C<sub>2</sub> पर प्रतिछेदित करती है, यदि केवल Q शंकु Γ पर स्थित है, तब चार बिंदु A<sub>2</sub>, B<sub>2</sub>, C<sub>2</sub>, और P संरेख होते हैं।<ref>{{citation|url=http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=9834854&fulltextType=XX&fileId=S0025557215020549|first= Geoff|last= Smith|year=2015|title= 99.20 A projective Simson line|journal= The Mathematical Gazette|volume= 99|issue=545|pages=339–341|doi= 10.1017/mag.2015.47|s2cid= 124965348}}</ref>
* मान लीजिए कि त्रिभुज ABC शीर्ष [[शंकु खंड|शंकु]] Γ पर स्थित हैं, और Q, P को समतल में दो बिंदु होने देता है। माना PA, PB, PC शंकु को क्रमशः A<sub>1</sub>, B<sub>1</sub>, C<sub>1</sub> पर प्रतिच्छेद करते हैं। QA<sub>1</sub>, BC को A<sub>2</sub> पर, QB<sub>1</sub> AC को B<sub>2</sub>, और QC<sub>1</sub> AB को C<sub>2</sub> पर प्रतिछेदित करती है, यदि केवल Q शंकु Γ पर स्थित है, तब चार बिंदु A<sub>2</sub>, B<sub>2</sub>, C<sub>2</sub>, और P संरेख होते हैं।<ref>{{citation|url=http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=9834854&fulltextType=XX&fileId=S0025557215020549|first= Geoff|last= Smith|year=2015|title= 99.20 A projective Simson line|journal= The Mathematical Gazette|volume= 99|issue=545|pages=339–341|doi= 10.1017/mag.2015.47|s2cid= 124965348}}</ref>
=== सामान्यीकरण 3 ===
=== सामान्यीकरण 3 ===
* [https://www.jstor.org/stable/3606490 [[चक्रीय चतुर्भुज]] की सिमसन रेखाएँ]  की सिमसन रेखाओं में चक्रीय चतुर्भुजों की प्रमेय को आरएफ सिस्टर द्वारा सामान्यीकृत किया गया है।
* [https://www.jstor.org/stable/3606490 [[चक्रीय चतुर्भुज]] की सिमसन रेखाएँ] की सिमसन लाइनएँ की सिमसन लाइनओं में चक्रीय चतुर्भुजों की प्रमेय को आरएफ सिस्टर द्वारा सामान्यीकृत किया गया है।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
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==बाहरी संबंध==
==बाहरी संबंध==
{{Commons category|Simson line}}
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Simpson.shtml Simson Line] at [[cut-the-knot]].org
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Simpson.shtml Simson Line] at [[cut-the-knot]].org
* F. M. Jackson and {{mathworld | urlname = SimsonLine | title = Simson Line}}
* F. M. Jackson and {{mathworld | urlname = SimsonLine | title = Simson Line}}

Latest revision as of 14:55, 30 October 2023

परिवृत्त पर बिंदु P के संबंध में त्रिभुज ABC की सिमसन लाइन LN (लाल) है।

ज्यामिति में, त्रिभुज ABC और इसके परिवृत्त पर बिंदु P दिया गया है, लाइनओं AB, AC, और BC पर P के तीन निकटतम बिंदु संरेख हैं।[1] इन बिंदुओं से होकर जाने वाली लाइन P की सिमसन लाइन है, जिसका नाम रॉबर्ट सिमसन के नाम पर रखा गया है।[2] चूँकि, इस अवधारणा को प्रथम बार 1799 में विलियम वालेस द्वारा प्रकाशित किया गया था।[3]

इसका विपरीत भी सत्य है; यदि तीन लाइनओं पर P के तीन निकटतम बिंदु समरेख हैं, और कोई भी दो लाइनएँ समानांतर नहीं हैं, तो P तीन लाइनओं से बने त्रिभुज के परिवृत्त पर स्थित है, या दूसरे शब्दों में, त्रिभुज ABC की सिमसन लाइन और बिंदु P, ABC और P का सिर्फ पेडल त्रिकोण है, जो सीधी लाइन में पतित हो गया है और यह स्थिति त्रिभुज ABC के परिवृत्त को ज्ञात करने के लिए P को बाधित करती है।

समीकरण

त्रिभुज को जटिल तल में रखते हुए, त्रिकोण ABC में इकाई परिवृत्त के साथ ऐसे शीर्ष होते हैं जिनके स्थानों में जटिल निर्देशांक a, b, c होते हैं, और P को जटिल निर्देशांक p के साथ परिवृत्त पर बिंदु हो। सिमसन लाइन बिंदु z का समुच्चय है।[4]: Proposition 4 

जहां ओवरबार जटिल संयुग्मन को प्रदर्शित करता है।

गुण

सिमसन लाइनएँ (लाल रंग में) स्टेनर डेल्टॉइड वक्र (नीले रंग में) की स्पर्शलाइनएँ हैं।
  • त्रिकोण के किसी शीर्ष की सिमसन लाइन उस शीर्ष से गिराए गए त्रिभुज की ऊँचाई (ज्यामिति) होती है, और शीर्ष के बिल्कुल विपरीत बिंदु की सिमसन लाइन उस शीर्ष के विपरीत त्रिभुज की भुजा होती है।
  • यदि P और Q परिवृत्त पर बिंदु हैं, तो P और Q की सिमसन लाइनओं के मध्य का कोण चाप PQ के कोण का अर्ध है। विशेष रूप से, यदि बिंदु बिलकुल विपरीत हैं, तो उनकी सिमसन लाइनएँ लंबवत होती हैं और इस स्थिति में लाइनओं का प्रतिच्छेदन नौ-बिंदु वाले वृत्त पर स्थित होता है।
  • H त्रिभुज ABC के लंबकेंद्र को निरूपित करता है, सिमसन लाइन P खंड को समद्विभाजित करती है, PH उस बिंदु पर जो नौ-बिंदु वाले वृत्त पर स्थित है।
  • एक ही परिवृत्त वाले दो त्रिभुज दिए गए हैं, दोनों त्रिभुजों के परिवृत्त पर बिंदु P की सिमसन लाइनओं के मध्य का कोण P पर निर्भर नहीं करता है।
  • सभी सिमसन लाइनओं का समूह, जब खींचा जाता है, तो डेल्टोइड के आकार में लिफाफा बनाता है जिसे संदर्भ त्रिभुज के स्टीनर डेल्टोइड के रूप में जाना जाता है।
  • सिमसन लाइन का निर्माण जो संदर्भ त्रिकोण के पक्ष के साथ युग्मित होता है (ऊपर प्रथम संपत्ति देखें) इस पार्श्व लाइन पर अन्य-अल्प बिंदु उत्पन्न करता है। यह बिंदु बनाई जा रही पार्श्व लाइन के मध्य बिंदु के सम्बंध में ऊंचाई (पार्श्व लाइन पर गिरा हुआ) का प्रतिबिंब है। इसके अतिरिक्त, यह बिंदु संदर्भ त्रिभुज की भुजा और उसके स्टेनर डेल्टॉइड के मध्य स्पर्शलाइन बिंदु है।
  • चतुर्भुज जो समांतर चतुर्भुज नहीं है, उसमें केवल पेडल बिंदु होता है, जिसे सिमसन बिंदु कहा जाता है, जिसके संबंध में चतुर्भुज पर समरेख होते हैं।[5] समलम्ब चतुर्भुज का सिम्पसन बिंदु दो अन्य समानांतर भुजाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है।[6]: p. 186 
  • अल्प से अल्प 5 भुजाओं वाले किसी भी उत्तल बहुभुज में सिमसन लाइन नहीं होती है।[7]

अस्तित्व का प्रमाण

प्रमाण का प्रकार यह दिखाना है, कि चक्रीय चतुर्भुज है, इसलिए चक्रीय चतुर्भुज (थेल्स प्रमेय) है, इसलिए है, इस प्रकार है, अब चक्रीय है, इसलिए , है।

सामान्यीकर

सामान्यीकरण 1

AP, Bp, Cp का BC, CA, AB पर प्रक्षेप तीन संरेख बिंदु हैं।

मान लीजिए कि ABC त्रिभुज है, माना कि लाइन ℓ परिकेन्द्र O से होकर जाती है, और बिंदु P परिवृत्त पर स्थित है। माना AP, BP, CP क्रमशः Ap, Bp, Cp ℓ पर मिलते हैं। माना A0, B0, C0 क्रमश: BC, CA, AB पर Ap, Bp, Cp के प्रक्षेप हैं। तब A0, B0, C0 संरेख हैं। इसके अतिरिक्त, नई लाइन PH के मध्य बिंदु से होकर निकलती है, जहाँ H ΔABC का लंबकेन्द्र है। यदि ℓ, P से होकर निकलती है, तो लाइन सिमसन लाइन के संपाती हो जाती है।[8][9][10]

सिमसन लाइन का प्रक्षेपी संस्करण

सामान्यीकरण 2

  • मान लीजिए कि त्रिभुज ABC शीर्ष शंकु Γ पर स्थित हैं, और Q, P को समतल में दो बिंदु होने देता है। माना PA, PB, PC शंकु को क्रमशः A1, B1, C1 पर प्रतिच्छेद करते हैं। QA1, BC को A2 पर, QB1 AC को B2, और QC1 AB को C2 पर प्रतिछेदित करती है, यदि केवल Q शंकु Γ पर स्थित है, तब चार बिंदु A2, B2, C2, और P संरेख होते हैं।[11]

सामान्यीकरण 3

  • चक्रीय चतुर्भुज की सिमसन रेखाएँ की सिमसन लाइनएँ की सिमसन लाइनओं में चक्रीय चतुर्भुजों की प्रमेय को आरएफ सिस्टर द्वारा सामान्यीकृत किया गया है।

यह भी देखें

  • पेडल त्रिकोण
  • रॉबर्ट सिमसन

संदर्भ

  1. ↑ H.S.M. Coxeter and S.L. Greitzer, Geometry revisited, Math. Assoc. America, 1967: p.41.
  2. ↑ "Gibson History 7 - Robert Simson". MacTutor History of Mathematics archive. 2008-01-30.
  3. ↑ "विलियम वॉलेस". MacTutor History of Mathematics archive.
  4. ↑ Todor Zaharinov, "The Simson triangle and its properties", Forum Geometricorum 17 (2017), 373--381. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201736.pdf
  5. ↑ Daniela Ferrarello, Maria Flavia Mammana, and Mario Pennisi, "Pedal Polygons", Forum Geometricorum 13 (2013) 153–164: Theorem 4.
  6. ↑ Olga Radko and Emmanuel Tsukerman, "The Perpendicular Bisector Construction, the Isoptic point, and the Simson Line of a Quadrilateral", Forum Geometricorum 12 (2012). [1]
  7. ↑ Tsukerman, Emmanuel (2013). "पैराबोलस के असतत एनालॉग्स के रूप में एक सिमसन रेखा को स्वीकार करने वाले बहुभुजों पर" (PDF). Forum Geometricorum. 13: 197–208.
  8. ↑ "सिमसन लाइन का एक सामान्यीकरण". Cut-the-knot. April 2015.
  9. ↑ Nguyen Van Linh (2016), "Another synthetic proof of Dao's generalization of the Simson line theorem" (PDF), Forum Geometricorum, 16: 57–61
  10. ↑ Nguyen Le Phuoc and Nguyen Chuong Chi (2016). 100.24 A synthetic proof of Dao's generalisation of the Simson line theorem. The Mathematical Gazette, 100, pp 341-345. doi:10.1017/mag.2016.77. The Mathematical Gazette
  11. ↑ Smith, Geoff (2015), "99.20 A projective Simson line", The Mathematical Gazette, 99 (545): 339–341, doi:10.1017/mag.2015.47, S2CID 124965348


बाहरी संबंध

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