वन-वे वेव समीकरण: Difference between revisions

Latest revision as of 15:23, 30 October 2023

वन-वे वेव समीकरण प्रथम-क्रम आंशिक भिन्नता समीकरण है जो सदिश वेव वेग द्वारा परिभाषित दिशा में यात्रा करने वाली वेव का वर्णन करता है। यह दूसरे क्रम के दो-वे वेव समीकरण के विपरीत है, जो विपरीत दिशाओं में दो वेवों के अध्यारोपण से उत्पन्न स्थायी वेव क्षेत्र का वर्णन करता है।^[1]^[2]^[3] आयामी स्थिति में, वन-वे वेव समीकरण, दूसरे क्रम के भिन्नता समीकरण को हल करने की गणितीय जटिलता के बिना वेव प्रसार की गणना करने की अनुमति देता है। इस तथ्य के कारण कि पिछले दशकों में कोई 3डी वन-वे वेव समीकरण नहीं पाया जा सका, 1डी वन-वे वेव समीकरण के आधार पर कई सन्निकटन विधियों का उपयोग 3डी भूकंपीय और अन्य भूभौतिकीय गणनाओं के लिए किया जाता है, यह भी अनुभाग देखें § त्रि-आयामी स्थिति है। ^[4]^[5]^[1] ^[6]

आयामी स्थिति

अदिश वेव समीकरण | द्वितीय-क्रम (दो-वे) वेव समीकरण स्थायी वेव क्षेत्र का वर्णन करते हुए लिखा जा सकता है:

{\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}s}{\partial x^{2}}}=0,

कहाँ

x

निर्देशांक है,

t

यह समय है,

s=s(x,t)

विस्थापन है, और

c

वेव वेग है।

वेव वेग की दिशा में अस्पष्टता के कारण, $c^{2}=(+c)^{2}=(-c)^{2}$ , समीकरण में वेव की दिशा के बारे में जानकारी नहीं है और इसलिए आगे दोनों में प्रसार करने वाले समाधान हैं ( $+x$ ) और पिछड़े ( $-x$ ) निर्देश। समीकरण का सामान्य समाधान इन दो दिशाओं में समाधानों का योग है:

s(x,t)=s_{+}(t-x/c)+s_{-}(t+x/c)

कहाँ

s_{+}

और

s_{-}

चल रही वेवों के विस्थापन आयाम हैं

+c

और

-c

दिशा।

जब वे वेव समस्या तैयार की जाती है, तो वेव प्रसार दिशा को सामान्य समाधान में दो शब्दों में से को रखकर (मैन्युअल रूप से) चुना जाना होता है।

समीकरण के बाईं ओर संकारक को गुणनखंडित करने से वे वेव समीकरणों का युग्म प्राप्त होता है, समाधान के साथ जो आगे की ओर फैलता है और दूसरा समाधानों के साथ जो पीछे की ओर फैलता है।^[7]^[8]^[9]

\left({\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-c^{2}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\right)s=\left({\partial  \over \partial t}-c{\partial  \over \partial x}\right)\left({\partial  \over \partial t}+c{\partial  \over \partial x}\right)s=0,

आगे और पीछे की ओर यात्रा करने वाली वेवों का वर्णन क्रमशः किया गया है,

{\begin{aligned}&{{\frac {\partial s}{\partial t}}-c{\frac {\partial s}{\partial x}}=0}\\[6pt]&{{\frac {\partial s}{\partial t}}+c{\frac {\partial s}{\partial x}}=0}\end{aligned}}

वे वेव समीकरण भी भौतिक रूप से सीधे विशिष्ट ध्वनिक प्रतिबाधा से प्राप्त किए जा सकते हैं।

अनुदैर्ध्य समतल वेव में, विशिष्ट प्रतिबाधा दबाव के स्थानीय आनुपातिकता को निर्धारित करती है $p=p(x,t)$ और कण वेग $v=v(x,t)$ :^[10]

{\frac {p}{v}}=\rho c,

साथ

\rho

= घनत्व।

प्रतिबाधा समीकरण के रूपांतरण की ओर जाता है:^[3]

v-{\frac {1}{\rho c}}p=0

(⁎)

कोणीय आवृत्ति की अनुदैर्ध्य समतल वेव $\omega$ विस्थापन है $s=s(x,t)$ .

दबाव $p$ और कण वेग $v$ विस्थापन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $s$ ( $E$ : लोचदार मापांक)^[11]^{[better source needed]}:

p:=E{\partial s \over \partial x}

1D स्थिति के लिए यह तनाव (यांत्रिकी) के पूर्ण सादृश्य में है

\sigma

यांत्रिकी में:

\sigma =E\varepsilon

विरूपण (यांत्रिकी) के रूप में परिभाषित किया जा रहा है

\varepsilon ={\frac {\Delta L}{L}}

^[12]

v={\partial s \over \partial t}

उपरोक्त समीकरण में इन संबंधों को सम्मिलित किया गया (⁎) उपज:

{\partial s \over \partial t}-{E \over \rho c}{\partial s \over \partial x}=0

स्थानीय वेव वेग परिभाषा (ध्वनि) के साथ:

c={\sqrt {E(x) \over \rho (x)}}\Leftrightarrow c={E \over \rho c}

सीधे (!) वे वेव समीकरण के प्रथम-क्रम आंशिक भिन्नता समीकरण का अनुसरण करता है:

{{\frac {\partial s}{\partial t}}-c{\frac {\partial s}{\partial x}}=0}

वेव वेग

c

इस वेव समीकरण के भीतर सेट किया जा सकता है

+c

या

-c

वेव प्रसार की दिशा के अनुसार।

की दिशा में वेव प्रसार के लिए $+c$ अनूठा उपाय है

s(x,t)=s_{+}(t-x/c)

और में वेव प्रसार के लिए

-c

दिशा संबंधित समाधान है^[13]

s(x,t)=s_{-}(t+x/c)

गोलाकार वन-वे वेव समीकरण उपस्थित है जो गोलाकार निर्देशांक में मोनोपोल ध्वनि स्रोत के वेव प्रसार का वर्णन करता है, अर्थात, रेडियल दिशा में करता है। रेडियल की ऑपरेटर के संशोधन से गोलाकार विचलन और लाप्लास ऑपरेटरों के मध्य असंगति हल हो जाती है और परिणामी समाधान बेसेल समारोह नहीं दिखाता है (पारंपरिक दो-तरफा दृष्टिकोण के ज्ञात समाधान के विपरीत)।^[6]

त्रि-आयामी स्थिति

त्रि-आयामी स्थिति में वन-वे समीकरण और समाधान को दूसरे क्रम के भिन्नता समीकरण के गणितीय अपघटन (गुणनखंड) आयामी स्थिति के समान माना गया था।^[14] वास्तव में, 3डी वन-वे वेव समीकरण पूर्व सिद्धांतों से प्राप्त किया जा सकता है: ए) प्रतिबाधा प्रमेय से व्युत्पत्ति ^[3]और बी) क्षेत्र बिंदु में तन्य आवेग प्रवाह संतुलन से व्युत्पत्ति करता है।^[6]

अमानवीय मीडिया

स्थान-निर्भर लोच मॉड्यूल के साथ अमानवीय मीडिया के लिए $E(x)$ , घनत्व $\rho (x)$ और वेव वेग $c(x)$ वन-वे वेव समीकरण का विश्लेषणात्मक समाधान आधुनिक क्षेत्र चर के परिचय द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।^[9]

यांत्रिक और विद्युत चुम्बकीय वेवें

पीडीई गुणनखंडन की विधि को अन्य 2 या 4 क्रम वेव समीकरणों में भी स्थानांतरित किया जा सकता है, उदा। अनुप्रस्थ, और स्ट्रिंग, मोएन्स/कोर्टवेग, बेंडिंग, और विद्युत चुम्बकीय वेव समीकरण और विद्युत चुम्बकीय वेवें है।^[9]

यह भी देखें

वेव समीकरण
खड़ी लहर

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Angus, D. A. (2014-03-01). "The One-Way Wave Equation: A Full-Waveform Tool for Modeling Seismic Body Wave Phenomena" (PDF). Surveys in Geophysics (in English). 35 (2): 359–393. Bibcode:2014SGeo...35..359A. doi:10.1007/s10712-013-9250-2. ISSN 1573-0956. S2CID 121469325.
↑ Trefethen, L N. "19. One-way wave equations" (PDF).
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↑ ^9.0 ^9.1 ^9.2 Bschorr, Oskar; Raida, Hans-Joachim (December 2021). "फैक्टराइज़्ड वन-वे वेव समीकरण". Acoustics (in English). 3 (4): 717–722. doi:10.3390/acoustics3040045.
↑ "ध्वनि - प्रतिबाधा". Encyclopedia Britannica (in English). Retrieved 2021-05-20.
↑ "लोचदार मापांक". Encyclopedia Britannica (in English). Retrieved 2021-12-15.
↑ "Young's modulus | Description, Example, & Facts". Encyclopedia Britannica (in English). Retrieved 2021-05-20.
↑ "Wave Equation--1-Dimensional".
↑ The mathematics of PDEs and the wave equation https://mathtube.org/sites/default/files/lecture-notes/Lamoureux_Michael.pdf

[An-1] 1.0 ^1.1 Angus, D. A. (2014-03-01). "The One-Way Wave Equation: A Full-Waveform Tool for Modeling Seismic Body Wave Phenomena" (PDF). Surveys in Geophysics (in English). 35 (2): 359–393. Bibcode:2014SGeo...35..359A. doi:10.1007/s10712-013-9250-2. ISSN 1573-0956. S2CID 121469325.

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[br1-3] 3.0 ^3.1 ^3.2 Bschorr, Oskar; Raida, Hans-Joachim (March 2020). "प्रतिबाधा प्रमेय से व्युत्पन्न वन-वे वेव समीकरण". Acoustics (in English). 2 (1): 164–170. doi:10.3390/acoustics2010012.

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[5] Zhang, Yu; Zhang, Guanquan; Bleistein, Norman (September 2003). "ट्रू एम्प्लीट्यूड वेव इक्वेशन माइग्रेशन ट्रू एम्पलीट्यूड वन-वे वेव इक्वेशन से उत्पन्न होता है". Inverse Problems (in English). 19 (5): 1113–1138. Bibcode:2003InvPr..19.1113Z. doi:10.1088/0266-5611/19/5/307. ISSN 0266-5611. S2CID 250860035.

[br2-6] 6.0 ^6.1 ^6.2 Bschorr, Oskar; Raida, Hans-Joachim (March 2021). "गोलाकार वन-वे वेव समीकरण". Acoustics (in English). 3 (2): 309–315. doi:10.3390/acoustics3020021.

[7] Baysal, Edip; Kosloff, Dan D.; Sherwood, J. W. C. (February 1984), "A two‐way nonreflecting wave equation", Geophysics, vol. 49, no. 2, pp. 132–141, Bibcode:1984Geop...49..132B, doi:10.1190/1.1441644, ISSN 0016-8033

[8] Angus, D. A. (2013-08-17), "The One-Way Wave Equation: A Full-Waveform Tool for Modeling Seismic Body Wave Phenomena" (PDF), Surveys in Geophysics, vol. 35, no. 2, pp. 359–393, Bibcode:2014SGeo...35..359A, doi:10.1007/s10712-013-9250-2, ISSN 0169-3298, S2CID 121469325

[br3-9] 9.0 ^9.1 ^9.2 Bschorr, Oskar; Raida, Hans-Joachim (December 2021). "फैक्टराइज़्ड वन-वे वेव समीकरण". Acoustics (in English). 3 (4): 717–722. doi:10.3390/acoustics3040045.

[10] "ध्वनि - प्रतिबाधा". Encyclopedia Britannica (in English). Retrieved 2021-05-20.

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[12] "Young's modulus | Description, Example, & Facts". Encyclopedia Britannica (in English). Retrieved 2021-05-20.

[13] "Wave Equation--1-Dimensional".

[14] The mathematics of PDEs and the wave equation https://mathtube.org/sites/default/files/lecture-notes/Lamoureux_Michael.pdf

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-{{Short description|Differential equation important in physics}}
+{{Short description|Differential equation important in physics}}'''वन-वे वेव समीकरण'''  प्रथम-क्रम आंशिक भिन्नता समीकरण है जो सदिश वेव वेग द्वारा परिभाषित दिशा में यात्रा करने वाली वेव का वर्णन करता है। यह दूसरे क्रम के दो-वे वेव समीकरण के विपरीत है, जो विपरीत दिशाओं में दो वेवों के अध्यारोपण से उत्पन्न स्थायी वेव क्षेत्र का वर्णन करता है।<ref name="An">{{Cite journal| last=Angus|first=D. A.|date=2014-03-01|title=The One-Way Wave Equation: A Full-Waveform Tool for Modeling Seismic Body Wave Phenomena| journal=Surveys in Geophysics|language=en|volume=35|issue=2|pages=359–393|doi=10.1007/s10712-013-9250-2| bibcode=2014SGeo...35..359A| s2cid=121469325|issn=1573-0956|url=http://eprints.whiterose.ac.uk/77377/8/SIG_2013_with_coversheet.pdf}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/pdectb/oneway2.pdf|title=19. One-way wave equations|last=Trefethen|first=L N}}</ref><ref name="br1">{{Cite journal |last1=Bschorr |first1=Oskar| last2=Raida|first2=Hans-Joachim|date=March 2020|title=प्रतिबाधा प्रमेय से व्युत्पन्न वन-वे वेव समीकरण|journal=Acoustics|language=en| volume=2|issue=1| pages=164–170| doi=10.3390/acoustics2010012 |doi-access=free}}</ref> आयामी स्थिति में, वन-वे  वेव समीकरण, दूसरे क्रम के भिन्नता समीकरण को हल करने की गणितीय जटिलता के बिना वेव प्रसार की गणना करने की अनुमति देता है। इस तथ्य के कारण कि पिछले दशकों में कोई 3डी वन-वे वेव समीकरण नहीं पाया जा सका, 1डी वन-वे वेव समीकरण के आधार पर कई सन्निकटन विधियों का उपयोग 3डी भूकंपीय और अन्य भूभौतिकीय गणनाओं के लिए किया जाता है, यह भी अनुभाग देखें {{Section link|2=त्रि-आयामी स्थिति |nopage=y}} है। <ref>{{Cite journal|last=Qiqiang|first=Yang|date=2012-01-01|title=हार्टले मेथड द्वारा वन-वे एकॉस्टिक वेव इक्वेशन की फॉरवर्ड मॉडलिंग|journal=Procedia Environmental Sciences|series=2011 International Conference of Environmental Science and Engineering|language=en|volume=12|pages=1116–1121|doi=10.1016/j.proenv.2012.01.396|issn=1878-0296|doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Zhang|first1=Yu|last2=Zhang|first2=Guanquan|last3=Bleistein|first3=Norman|date=September 2003| title=ट्रू एम्प्लीट्यूड वेव इक्वेशन माइग्रेशन ट्रू एम्पलीट्यूड वन-वे वेव इक्वेशन से उत्पन्न होता है|journal=Inverse Problems| language=en|volume=19|issue=5|pages=1113–1138|doi=10.1088/0266-5611/19/5/307|bibcode=2003InvPr..19.1113Z|s2cid=250860035 |issn=0266-5611}}</ref><ref name="An" /> <ref name="br2" />
-{{primary sources|date=April 2020}}
-एक तरफ़ा [[तरंग समीकरण]] एक प्रथम-क्रम आंशिक अंतर समीकरण है जो सदिश तरंग वेग द्वारा परिभाषित दिशा में यात्रा करने वाली एक तरंग का वर्णन करता है। यह दूसरे क्रम के दो-तरफ़ा तरंग समीकरण के विपरीत है, जो विपरीत दिशाओं में दो तरंगों के सुपरपोज़िशन से उत्पन्न एक स्थायी तरंग क्षेत्र का वर्णन करता है।<ref name="An">{{Cite journal| last=Angus|first=D. A.|date=2014-03-01|title=The One-Way Wave Equation: A Full-Waveform Tool for Modeling Seismic Body Wave Phenomena| journal=Surveys in Geophysics|language=en|volume=35|issue=2|pages=359–393|doi=10.1007/s10712-013-9250-2| bibcode=2014SGeo...35..359A| s2cid=121469325|issn=1573-0956|url=http://eprints.whiterose.ac.uk/77377/8/SIG_2013_with_coversheet.pdf}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/pdectb/oneway2.pdf|title=19. One-way wave equations|last=Trefethen|first=L N}}</ref><ref name="br1">{{Cite journal |last1=Bschorr |first1=Oskar| last2=Raida|first2=Hans-Joachim|date=March 2020|title=प्रतिबाधा प्रमेय से व्युत्पन्न वन-वे वेव समीकरण|journal=Acoustics|language=en| volume=2|issue=1| pages=164–170| doi=10.3390/acoustics2010012 |doi-access=free}}</ref> एक-आयामी मामले में, एक-तरफ़ा तरंग समीकरण, दूसरे क्रम के अंतर समीकरण को हल करने की गणितीय जटिलता के बिना तरंग प्रसार की गणना करने की अनुमति देता है। इस तथ्य के कारण कि पिछले दशकों में कोई 3डी वन-वे वेव समीकरण नहीं पाया जा सका, 1डी वन-वे वेव समीकरण के आधार पर कई सन्निकटन विधियों का उपयोग 3डी भूकंपीय और अन्य भूभौतिकीय गणनाओं के लिए किया जाता है, यह भी अनुभाग देखें {{Section link|2=Three-dimensional case |nopage=y}}.<ref>{{Cite journal|last=Qiqiang|first=Yang|date=2012-01-01|title=हार्टले मेथड द्वारा वन-वे एकॉस्टिक वेव इक्वेशन की फॉरवर्ड मॉडलिंग|journal=Procedia Environmental Sciences|series=2011 International Conference of Environmental Science and Engineering|language=en|volume=12|pages=1116–1121|doi=10.1016/j.proenv.2012.01.396|issn=1878-0296|doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Zhang|first1=Yu|last2=Zhang|first2=Guanquan|last3=Bleistein|first3=Norman|date=September 2003| title=ट्रू एम्प्लीट्यूड वेव इक्वेशन माइग्रेशन ट्रू एम्पलीट्यूड वन-वे वेव इक्वेशन से उत्पन्न होता है|journal=Inverse Problems| language=en|volume=19|issue=5|pages=1113–1138|doi=10.1088/0266-5611/19/5/307|bibcode=2003InvPr..19.1113Z|s2cid=250860035 |issn=0266-5611}}</ref><ref name="An" /> <ref name="br2" />
+== आयामी स्थिति ==
-== एक आयामी मामला ==
+अदिश वेव समीकरण | द्वितीय-क्रम (दो-वे) वेव समीकरण  स्थायी वेव क्षेत्र का वर्णन करते हुए लिखा जा सकता है:
-अदिश तरंग समीकरण | द्वितीय-क्रम (दो-तरफ़ा) तरंग समीकरण एक स्थायी तरंग क्षेत्र का वर्णन करते हुए लिखा जा सकता है:
 <math display="block">\frac{\partial^2 s}{\partial t^2} - c^2 \frac{\partial^2 s}{\partial x^2} = 0,</math>
-कहाँ <math>x</math> निर्देशांक है, <math>t</math> यह समय है, <math>s=s(x,t)</math> विस्थापन है, और <math>c</math> तरंग वेग है।
+कहाँ <math>x</math> निर्देशांक है, <math>t</math> यह समय है, <math>s=s(x,t)</math> विस्थापन है, और <math>c</math> वेव वेग है।
-तरंग वेग की दिशा में अस्पष्टता के कारण, <math>c^2=(+c)^2=(-c)^2</math>, समीकरण में तरंग की दिशा के बारे में जानकारी नहीं है और इसलिए आगे दोनों में प्रसार करने वाले समाधान हैं (<math>+x</math>) और पिछड़े (<math>-x</math>) निर्देश। समीकरण का सामान्य समाधान इन दो दिशाओं में समाधानों का योग है:
+वेव वेग की दिशा में अस्पष्टता के कारण, <math>c^2=(+c)^2=(-c)^2</math>, समीकरण में वेव की दिशा के बारे में जानकारी नहीं है और इसलिए आगे दोनों में प्रसार करने वाले समाधान हैं (<math>+x</math>) और पिछड़े (<math>-x</math>) निर्देश। समीकरण का सामान्य समाधान इन दो दिशाओं में समाधानों का योग है:
-  <math display="block">s(x,t)=s_{+}(t -x/c) + s_{-} (t +x/c)</math>
+<math display="block">s(x,t)=s_{+}(t -x/c) + s_{-} (t +x/c)</math>
-कहाँ <math>s_{+}</math> और <math>s_{-}</math> चल रही तरंगों के विस्थापन आयाम हैं <math>+c</math> और <math>-c</math> दिशा।
+कहाँ <math>s_{+}</math> और <math>s_{-}</math> चल रही वेवों के विस्थापन आयाम हैं <math>+c</math> और <math>-c</math> दिशा।
-जब एक तरफ़ा तरंग समस्या तैयार की जाती है, तो तरंग प्रसार दिशा को सामान्य समाधान में दो शब्दों में से एक को रखकर (मैन्युअल रूप से) चुना जाना होता है।
+जब  वे वेव समस्या तैयार की जाती है, तो वेव प्रसार दिशा को सामान्य समाधान में दो शब्दों में से  को रखकर (मैन्युअल रूप से) चुना जाना होता है।
-समीकरण के बाईं ओर संकारक को [[गुणन]]खंडित करने से एक तरफ़ा तरंग समीकरणों का एक युग्म प्राप्त होता है, एक समाधान के साथ जो आगे की ओर फैलता है और दूसरा समाधानों के साथ जो पीछे की ओर फैलता है।<ref>{{citation| last1=Baysal | first1=Edip |title=A two‐way nonreflecting wave equation|date=February 1984| volume=49|issue=2|periodical=[[Geophysics (journal)|Geophysics]]|at=pp.&nbsp;132–141| doi=10.1190/1.1441644|issn=0016-8033|last2=Kosloff|first2=Dan D.|last3=Sherwood| first3=J. W. C.| bibcode=1984Geop...49..132B}}</ref><ref>{{citation| last=Angus|first=D. A.| title=The One-Way Wave Equation: A Full-Waveform Tool for Modeling Seismic Body Wave Phenomena|date=2013-08-17|volume=35| issue=2|periodical=[[Surveys in Geophysics]]| at=pp.&nbsp;359–393| doi=10.1007/s10712-013-9250-2|bibcode=2014SGeo...35..359A | s2cid=121469325|issn=0169-3298| url=http://eprints.whiterose.ac.uk/77377/8/SIG_2013_with_coversheet.pdf}}</ref><ref name="br3">{{Cite journal |last1=Bschorr|first1=Oskar| last2=Raida| first2=Hans-Joachim|date=December 2021 |title=फैक्टराइज़्ड वन-वे वेव समीकरण|journal=Acoustics |language=en|volume=3 |issue=4 |pages=717–722 |doi=10.3390/acoustics3040045 |doi-access=free}}</ref>
+समीकरण के बाईं ओर संकारक को [[गुणन]]खंडित करने से  वे वेव समीकरणों का  युग्म प्राप्त होता है,  समाधान के साथ जो आगे की ओर फैलता है और दूसरा समाधानों के साथ जो पीछे की ओर फैलता है।<ref>{{citation| last1=Baysal | first1=Edip |title=A two‐way nonreflecting wave equation|date=February 1984| volume=49|issue=2|periodical=[[Geophysics (journal)|Geophysics]]|at=pp.&nbsp;132–141| doi=10.1190/1.1441644|issn=0016-8033|last2=Kosloff|first2=Dan D.|last3=Sherwood| first3=J. W. C.| bibcode=1984Geop...49..132B}}</ref><ref>{{citation| last=Angus|first=D. A.| title=The One-Way Wave Equation: A Full-Waveform Tool for Modeling Seismic Body Wave Phenomena|date=2013-08-17|volume=35| issue=2|periodical=[[Surveys in Geophysics]]| at=pp.&nbsp;359–393| doi=10.1007/s10712-013-9250-2|bibcode=2014SGeo...35..359A | s2cid=121469325|issn=0169-3298| url=http://eprints.whiterose.ac.uk/77377/8/SIG_2013_with_coversheet.pdf}}</ref><ref name="br3">{{Cite journal |last1=Bschorr|first1=Oskar| last2=Raida| first2=Hans-Joachim|date=December 2021 |title=फैक्टराइज़्ड वन-वे वेव समीकरण|journal=Acoustics |language=en|volume=3 |issue=4 |pages=717–722 |doi=10.3390/acoustics3040045 |doi-access=free}}</ref>
 <math display="block">\left({\partial^2\over\partial t^2}-c^2{\partial^2\over\partial x^2}\right)s=
 \left({\partial\over\partial t}-c{\partial\over\partial x}\right)
 \left({\partial\over\partial t}+c{\partial\over\partial x}\right)s=0,</math>
-आगे और पीछे की ओर यात्रा करने वाली तरंगों का वर्णन क्रमशः किया गया है,
+आगे और पीछे की ओर यात्रा करने वाली वेवों का वर्णन क्रमशः किया गया है,
 <math display="block">
 \begin{align}
@@ Line 28: / Line 25: @@
 \end{align}
 </math>
-एक तरफ़ा तरंग समीकरण भी भौतिक रूप से सीधे विशिष्ट ध्वनिक प्रतिबाधा से प्राप्त किए जा सकते हैं।
+वे वेव समीकरण भी भौतिक रूप से सीधे विशिष्ट ध्वनिक प्रतिबाधा से प्राप्त किए जा सकते हैं।
-एक अनुदैर्ध्य समतल तरंग में, विशिष्ट प्रतिबाधा दबाव के स्थानीय आनुपातिकता को निर्धारित करती है <math>p= p(x,t)</math> और कण वेग <math>v= v(x,t)</math>:<ref>{{Cite web| title=ध्वनि - प्रतिबाधा|url=https://www.britannica.com/science/sound-physics|access-date=2021-05-20 |website=Encyclopedia Britannica| language=en}}</ref>
+अनुदैर्ध्य समतल वेव में, विशिष्ट प्रतिबाधा दबाव के स्थानीय आनुपातिकता को निर्धारित करती है <math>p= p(x,t)</math> और कण वेग <math>v= v(x,t)</math>:<ref>{{Cite web| title=ध्वनि - प्रतिबाधा|url=https://www.britannica.com/science/sound-physics|access-date=2021-05-20 |website=Encyclopedia Britannica| language=en}}</ref>
 <math display="block">\frac{p}{v}=\rho c ,</math>
@@ Line 38: / Line 35: @@
 {{NumBlk||<math display="block">v - \frac{1}{\rho c} p  = 0</math>|{{EquationRef|⁎}}}}
-कोणीय आवृत्ति की एक अनुदैर्ध्य समतल तरंग <math>\omega</math> विस्थापन है <math>s = s(x,t)</math>.
+कोणीय आवृत्ति की  अनुदैर्ध्य समतल वेव <math>\omega</math> विस्थापन है <math>s = s(x,t)</math>.
 दबाव <math>p</math> और कण वेग <math>v</math> विस्थापन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है <math>s</math> (<math>E</math>: [[लोचदार मापांक]])<ref>{{Cite web| title=लोचदार मापांक|url=https://www.britannica.com/science/elastic-modulus|access-date=2021-12-15 |website=Encyclopedia Britannica| language=en}}</ref>{{Better source needed|reason=Recently published primary source|date=May 2021}}:
-<math display="block">p:=E {\partial s\over\partial x}</math> 1D मामले के लिए यह [[तनाव (यांत्रिकी)]] के पूर्ण सादृश्य में है <math>\sigma</math> [[यांत्रिकी]] में: <math>\sigma = E \varepsilon</math>[[विरूपण (यांत्रिकी)]] के रूप में परिभाषित किया जा रहा है <math>\varepsilon = \frac{\Delta L}{L}</math> <ref>{{Cite web|title=Young's modulus {{!}} Description, Example, & Facts |url=https://www.britannica.com/science/Youngs-modulus|access-date=2021-05-20| website=Encyclopedia Britannica| language=en}}</ref>
+<math display="block">p:=E {\partial s\over\partial x}</math> 1D स्थिति के लिए यह [[तनाव (यांत्रिकी)]] के पूर्ण सादृश्य में है <math>\sigma</math> [[यांत्रिकी]] में: <math>\sigma = E \varepsilon</math>[[विरूपण (यांत्रिकी)]] के रूप में परिभाषित किया जा रहा है <math>\varepsilon = \frac{\Delta L}{L}</math> <ref>{{Cite web|title=Young's modulus {{!}} Description, Example, & Facts |url=https://www.britannica.com/science/Youngs-modulus|access-date=2021-05-20| website=Encyclopedia Britannica| language=en}}</ref>
 <math display="block">v = {\partial s \over\partial t}</math>
 उपरोक्त समीकरण में इन संबंधों को सम्मिलित किया गया ({{EquationNote|⁎}}) उपज:
-<math display="block">{\partial s \over\partial t} - {E\over \rho c}  {\partial s\over\partial x} = 0 </math> स्थानीय तरंग वेग परिभाषा (ध्वनि) के साथ:
+<math display="block">{\partial s \over\partial t} - {E\over \rho c}  {\partial s\over\partial x} = 0 </math> स्थानीय वेव वेग परिभाषा (ध्वनि) के साथ:
- <math display="block">c=\sqrt{E(x) \over \rho(x)}   \Leftrightarrow  c = {E\over \rho c}</math>
+<math display="block">c=\sqrt{E(x) \over \rho(x)}   \Leftrightarrow  c = {E\over \rho c}</math>
-सीधे (!) एक तरफ़ा तरंग समीकरण के प्रथम-क्रम आंशिक अंतर समीकरण का अनुसरण करता है:
+सीधे (!)  वे वेव समीकरण के प्रथम-क्रम आंशिक भिन्नता समीकरण का अनुसरण करता है:
- <math display="block">{\frac{\partial s}{\partial t}-c \frac{\partial s}{\partial x} = 0}</math>
+<math display="block">{\frac{\partial s}{\partial t}-c \frac{\partial s}{\partial x} = 0}</math>
-तरंग वेग <math>c</math> इस तरंग समीकरण के भीतर सेट किया जा सकता है <math>+c</math> या <math>-c</math> तरंग प्रसार की दिशा के अनुसार।
+वेव वेग <math>c</math> इस वेव समीकरण के भीतर सेट किया जा सकता है <math>+c</math> या <math>-c</math> वेव प्रसार की दिशा के अनुसार।
-की दिशा में तरंग प्रसार के लिए <math>+c</math> अनूठा उपाय है
+की दिशा में वेव प्रसार के लिए <math>+c</math> अनूठा उपाय है
- <math display="block">s(x,t)=s_{+}(t -x/c) </math>
+<math display="block">s(x,t)=s_{+}(t -x/c) </math>
-और में तरंग प्रसार के लिए <math>-c</math> दिशा संबंधित समाधान है<ref>{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/WaveEquation1-Dimensional.html|title=Wave Equation--1-Dimensional}}</ref>
+और में वेव प्रसार के लिए <math>-c</math> दिशा संबंधित समाधान है<ref>{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/WaveEquation1-Dimensional.html|title=Wave Equation--1-Dimensional}}</ref>
 <math display="block">s(x,t)=s_{-}(t+x/c) </math>
-गोलाकार एक तरफ़ा तरंग समीकरण भी मौजूद है जो गोलाकार निर्देशांक में एक मोनोपोल ध्वनि स्रोत के तरंग प्रसार का वर्णन करता है, अर्थात, रेडियल दिशा में। रेडियल [[ की ]] ऑपरेटर के एक संशोधन से गोलाकार विचलन और लाप्लास ऑपरेटरों के बीच एक असंगति हल हो जाती है और परिणामी समाधान [[बेसेल समारोह]] नहीं दिखाता है (पारंपरिक दो-तरफा दृष्टिकोण के ज्ञात समाधान के विपरीत)।<ref name="br2">{{Cite journal |last1=Bschorr|first1=Oskar| last2=Raida| first2=Hans-Joachim|date=March 2021 |title=गोलाकार वन-वे वेव समीकरण|journal=Acoustics |language=en|volume=3 |issue=2 |pages=309–315 |doi=10.3390/acoustics3020021 |doi-access=free}}</ref>
+गोलाकार वन-वे वेव समीकरण उपस्थित है जो गोलाकार निर्देशांक में मोनोपोल ध्वनि स्रोत के वेव प्रसार का वर्णन करता है, अर्थात, रेडियल दिशा में करता है। रेडियल [[ की ]] ऑपरेटर के संशोधन से गोलाकार विचलन और लाप्लास ऑपरेटरों के मध्य  असंगति हल हो जाती है और परिणामी समाधान [[बेसेल समारोह]] नहीं दिखाता है (पारंपरिक दो-तरफा दृष्टिकोण के ज्ञात समाधान के विपरीत)।<ref name="br2">{{Cite journal |last1=Bschorr|first1=Oskar| last2=Raida| first2=Hans-Joachim|date=March 2021 |title=गोलाकार वन-वे वेव समीकरण|journal=Acoustics |language=en|volume=3 |issue=2 |pages=309–315 |doi=10.3390/acoustics3020021 |doi-access=free}}</ref>
-== त्रि-आयामी मामला ==
+== त्रि-आयामी स्थिति ==
-त्रि-आयामी मामले में एक-तरफ़ा समीकरण और समाधान को एक-आयामी मामले के लिए एक दूसरे क्रम के अंतर समीकरण के गणितीय अपघटन (गुणनखंड) के समान माना गया था।<ref>The mathematics of PDEs and the wave equation https://mathtube.org/sites/default/files/lecture-notes/Lamoureux_Michael.pdf</ref> वास्तव में, 3डी वन-वे वेव समीकरण पहले सिद्धांतों से प्राप्त किया जा सकता है: ए) प्रतिबाधा प्रमेय से व्युत्पत्ति <ref name="br1" />और बी) एक क्षेत्र बिंदु में एक तन्य आवेग प्रवाह संतुलन से व्युत्पत्ति।<ref name="br2" />
+त्रि-आयामी स्थिति में वन-वे समीकरण और समाधान को दूसरे क्रम के भिन्नता समीकरण के गणितीय अपघटन (गुणनखंड) आयामी स्थिति के समान माना गया था।<ref>The mathematics of PDEs and the wave equation https://mathtube.org/sites/default/files/lecture-notes/Lamoureux_Michael.pdf</ref> वास्तव में, 3डी वन-वे वेव समीकरण पूर्व सिद्धांतों से प्राप्त किया जा सकता है: ए) प्रतिबाधा प्रमेय से व्युत्पत्ति <ref name="br1" />और बी)  क्षेत्र बिंदु में तन्य आवेग प्रवाह संतुलन से व्युत्पत्ति करता है।<ref name="br2" />
 == अमानवीय मीडिया ==
-स्थान-निर्भर लोच मॉड्यूल के साथ अमानवीय मीडिया के लिए <math>E(x)</math>, घनत्व <math>\rho(x)</math> और तरंग वेग <math>c(x)</math> एक तरफ़ा तरंग समीकरण का एक विश्लेषणात्मक समाधान एक नए क्षेत्र चर के परिचय द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।<ref name="br3">{{Cite journal |last1=Bschorr|first1=Oskar| last2=Raida| first2=Hans-Joachim|date=December 2021 |title=फैक्टराइज़्ड वन-वे वेव समीकरण|journal=Acoustics |language=en|volume=3 |issue=4 |pages=717–722 |doi=10.3390/acoustics3040045 |doi-access=free}}</ref>
+स्थान-निर्भर लोच मॉड्यूल के साथ अमानवीय मीडिया के लिए <math>E(x)</math>, घनत्व <math>\rho(x)</math> और वेव वेग <math>c(x)</math>  वन-वे वेव समीकरण का विश्लेषणात्मक समाधान आधुनिक क्षेत्र चर के परिचय द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।<ref name="br3">{{Cite journal |last1=Bschorr|first1=Oskar| last2=Raida| first2=Hans-Joachim|date=December 2021 |title=फैक्टराइज़्ड वन-वे वेव समीकरण|journal=Acoustics |language=en|volume=3 |issue=4 |pages=717–722 |doi=10.3390/acoustics3040045 |doi-access=free}}</ref>
-== आगे यांत्रिक और विद्युत चुम्बकीय तरंगें ==
+== यांत्रिक और विद्युत चुम्बकीय वेवें ==
-PDE गुणनखंडन की विधि को अन्य 2 या 4 क्रम तरंग समीकरणों में भी स्थानांतरित किया जा सकता है, उदा। ट्रांसवर्सल, और स्ट्रिंग, मोएन्स/कोर्टवेग, बेंडिंग, और विद्युत चुम्बकीय तरंग समीकरण और विद्युत चुम्बकीय तरंगें।<ref name="br3" />
+पीडीई गुणनखंडन की विधि को अन्य 2 या 4 क्रम वेव समीकरणों में भी स्थानांतरित किया जा सकता है, उदा। अनुप्रस्थ, और स्ट्रिंग, मोएन्स/कोर्टवेग, बेंडिंग, और विद्युत चुम्बकीय वेव समीकरण और विद्युत चुम्बकीय वेवें है।<ref name="br3" />
 == यह भी देखें ==
-* {{annotated link|Wave equation}}
+* वेव समीकरण
-* {{annotated link|Standing wave}}
+* खड़ी लहर
 == संदर्भ ==
 <references />
-[[Category: भूभौतिकी]] [[Category: तरंग यांत्रिकी]] [[Category: ध्वनि-विज्ञान]] [[Category: आवाज़]] [[Category: सातत्यक यांत्रिकी]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:All articles lacking reliable references]]
+[[Category:Articles lacking reliable references from May 2021]]
+[[Category:Articles with invalid date parameter in template]]
+[[Category:CS1 English-language sources (en)]]
 [[Category:Created On 26/04/2023]]
+[[Category:Lua-based templates]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Pages with script errors]]
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+[[Category:Templates that add a tracking category]]
+[[Category:Templates that generate short descriptions]]
+[[Category:Templates using TemplateData]]
+[[Category:आवाज़]]
+[[Category:तरंग यांत्रिकी]]
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+[[Category:भूभौतिकी]]
+[[Category:सातत्यक यांत्रिकी]]

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