हाइपरबोलिक ऑर्थोगोनलिटी: Difference between revisions

Latest revision as of 15:26, 30 October 2023

यूक्लिडियन ओर्थोगोनालिटी को बाएं आरेख में घुमाकर संरक्षित किया जाता है; हाइपरबोला (बी) के संबंध में हाइपरबॉलिक ऑर्थोगोनलिटी सही आरेख में अतिशयोक्तिपूर्ण रोटेशन द्वारा संरक्षित है

ज्यामिति में, हाइपरबोला के स्पर्शोन्मुख द्वारा भिन्न की गई दो रेखाओं के मध्य हाइपरबोलिक ऑर्थोगोनलिटी संबंध की अवधारणा है जिसका उपयोग विशेष सापेक्षता के साथ होने वाली घटनाओं को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। दो घटनाएं होंगी जब वे किसी विशेष समय रेखा के लिए अतिशयोक्ति पूर्ण रूप से ऑर्थोगोनल रेखा पर हों। निश्चित समय रेखा पर निर्भरता वेग द्वारा निर्धारित होती है, और सापेक्षता का आधार है।

ज्यामिति

दो रेखाएँ हाइपरबोलिक ऑर्थोगोनल होती हैं जब वे किसी दिए गए हाइपरबोला के स्पर्शोन्मुख पर एक दूसरे का प्रतिबिंब (गणित) होती हैं। विमान में दो विशेष हाइपरबोलस अधिकांशतः उपयोग किए जाते हैं:

xy = 1 with y = 0 as asymptote.
When reflected in the x-axis, a line y = mx becomes y = −mx.
In this case the lines are hyperbolic orthogonal if their slopes are additive inverses.
x² − y² = 1 with y = x as asymptote. For lines y = mx with −1 < m < 1, when x = 1/m, then y = 1. The point (1/m , 1) on the line is reflected across y = x to (1, 1/m). Therefore the reflected line has slope 1/m and the slopes of hyperbolic orthogonal lines are reciprocals of each other.

हाइपरबॉलिक ऑर्थोगोनलिटी का संबंध वास्तव में विमान में समांतर रेखाओं के वर्गों पर प्रारम्भ होता है, जहां कोई विशेष रेखा वर्ग का प्रतिनिधित्व कर सकती है। इस प्रकार, दिए गए हाइपरबोला और एसिम्प्टोट A के लिए, लाइनों की जोड़ी (a, b) हाइपरबॉलिक ऑर्थोगोनल होती है यदि कोई जोड़ी (c, d) होती है $a\rVert c,\ b\rVert d$ , और c, A में d का प्रतिबिंब है।

स्पर्शरेखा के लिए वृत्त त्रिज्या की लंबवतता के समान, हाइपरबोला के लिए त्रिज्या हाइपरबोला के स्पर्शरेखा के लिए हाइपरबोलिक ऑर्थोगोनल है।^[1]^[2]

विश्लेषणात्मक ज्यामिति में ऑर्थोगोनलिटी का वर्णन करने के लिए बिलिनियर रूप का उपयोग किया जाता है, जिसमें दो तत्व ऑर्थोगोनल होते हैं जब उनका बिलिनियर रूप विलुप्त हो जाता है। जटिल संख्याओं के तल में $z_{1}=u+iv,\quad z_{2}=x+iy$ , द्विरेखीय रूप है $xu+yv$ , जबकि हाइपरबोलिक संख्याओं के तल में $w_{1}=u+jv,\quad w_{2}=x+jy,$ का द्विरेखीय रूप $xu-yv$ है।

वैक्टर z₁और z₂ सम्मिश्र संख्या तल में, w₁ और w₂ अतिशयोक्तिपूर्ण संख्या तल में क्रमशः यूक्लिडियन ऑर्थोगोनल या हाइपरबोलिक ऑर्थोगोनल कहा जाता है यदि उनके संबंधित आंतरिक उत्पाद [बिलिनियर रूप] शून्य हैं।^[3]

द्विरेखीय रूप की गणना संख्या के जटिल उत्पाद के वास्तविक भाग के रूप में दूसरे के संयुग्म के साथ की जा सकती है।

z_{1}z_{2}^{*}+z_{1}^{*}z_{2}=0

जटिल विमान में लंबवतता पर होता है, जबकि

w_{1}w_{2}^{*}+w_{1}^{*}w_{2}=0

तात्पर्य यह है कि w हाइपरबोलिक ऑर्थोगोनल हैं।

हाइपरबोलिक ऑर्थोगोनलिटी की धारणा विश्लेषणात्मक ज्यामिति में दीर्घवृत्त और हाइपरबोलस के संयुग्मित व्यास के विचार में उत्पन्न हुई।^[4] यदि g और g' संयुग्मित व्यासों के ढालों को निरूपित करते हैं, तब $gg'=-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}$ दीर्घवृत्त के स्थिति में और $gg'={\frac {b^{2}}{a^{2}}}$ हाइपरबोला के स्थिति में हैं। जब a = b दीर्घवृत्त वृत्त होता है और संयुग्मित व्यास लंबवत होते हैं जबकि हाइपरबोला आयताकार होता है और संयुग्मित व्यास हाइपरबोलिक-ऑर्थोगोनल होते हैं।

प्रक्षेपी ज्यामिति की शब्दावली में, हाइपरबोलिक ऑर्थोगोनल लाइन लेने का ऑपरेशन इनवोल्यूशन (गणित) है। मान लीजिए कि ऊर्ध्वाधर रेखा के ढलान को ∞चिन्ह दिया गया है जिससे सभी रेखाओं में प्रक्षेप्य रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा में ढलान हो। जो भी हाइपरबोला (A) या (B) का उपयोग किया जाता है, ऑपरेशन हाइपरबॉलिक इनवोल्यूशन का उदाहरण है जहां स्पर्शोन्मुख अपरिवर्तनीय है। हाइपरबॉलिक रूप से ऑर्थोगोनल लाइनें विमान के विभिन्न क्षेत्रों में होती हैं, जो हाइपरबोला के एसिम्पटोट्स द्वारा निर्धारित होती हैं, इस प्रकार हाइपरबॉलिक ऑर्थोगोनलिटी का संबंध विमान में लाइनों के समूह पर विषम संबंध है।

समकालिकता

1908 में अंतरिक्ष समय अध्ययन के लिए हरमन मिन्कोव्स्की की नींव के पश्चात से, स्पेसटाइम प्लेन में बिंदुओं की अवधारणा अतिशयोक्ति पूर्ण-ऑर्थोगोनल समयरेखा के लिए (विश्व रेखा के लिए स्पर्शरेखा) का उपयोग समयरेखा के सापेक्ष घटनाओं की साथता, की सापेक्षता को परिभाषित करने के लिए किया गया है। मिन्कोव्स्की के विकास में उपरोक्त प्रकार (B) का हाइपरबोला उपयोग में है।^[5] दो सदिश (x₁, y₁, z₁, t₁) और (x₂, y₂, z₂, t₂) सामान्य होता हैं, जब

c^{2}\ t_{1}\ t_{2}-x_{1}\ x_{2}-y_{1}\ y_{2}-z_{1}\ z_{2}=0.

जब c = 1 और y और z शून्य हैं, x1 ≠ 0, t2 ≠ 0, तब, x₁ ≠ 0, t₂ ≠ 0, तब ${\frac {c\ t_{1}}{x_{1}}}={\frac {x_{2}}{c\ t_{2}}}$ .

स्पर्शोन्मुख A के साथ हाइपरबोला दिया गया है, A में इसका प्रतिबिंब संयुग्मित हाइपरबोला उत्पन्न करता है। मूल हाइपरबोला का संयुग्मित व्यास में परिलक्षित होता है। संयुग्मित व्यास द्वारा प्रदर्शित दिशाएँ सापेक्षता में अंतरिक्ष और समय अक्षों के लिए ली जाती हैं। जैसा कि ई टी व्हिटेकर ने 1910 में लिखा था, हाइपरबोला अपरिवर्तित है जब संयुग्मित व्यास की किसी भी जोड़ी को नव्य अक्षों के रूप में लिया जाता है, और लंबाई की नव्य इकाई को इनमें से किसी भी व्यास की लंबाई के अनुपात में लिया जाता है।^[6] सापेक्षता के इस सिद्धांत पर, उन्होंने तब लोरेंत्ज़ परिवर्तन को आधुनिक रूप में तीव्रता से उपयोग करते हुए लिखा जाता है।

एडविन बिडवेल विल्सन और गिल्बर्ट एन. लुईस ने 1912 में सिंथेटिक ज्यामिति के भीतर अवधारणा विकसित की है। उन्होंने ध्यान दिया कि हमारे विमान में लंबवत [हाइपरबॉलिक-ऑर्थोगोनल] रेखाओं की कोई जोड़ी किसी भी अन्य जोड़ी की समानता में समन्वय अक्ष के रूप में कार्य करने के लिए श्रेष्ठ नहीं है।^[1]

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Edwin B. Wilson & Gilbert N. Lewis (1912) "The Space-time Manifold of Relativity. The Non-Euclidean Geometry of Mechanics and Electromagnetics" Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences 48:387–507, esp. 415 doi:10.2307/20022840
↑ Bjørn Felsager (2004), Through the Looking Glass – A glimpse of Euclid’s twin geometry, the Minkowski geometry Archived 2011-07-16 at the Wayback Machine, ICME-10 Copenhagen; pages 6 & 7.
↑ Sobczyk, G.(1995) Hyperbolic Number Plane, also published in College Mathematics Journal 26:268–80.
↑ Barry Spain (1957) Analytical Conics, ellipse §33, page 38 and hyperbola §41, page 49, from Hathi Trust
↑
Minkowski, Hermann (1909), "Raum und Zeit" , Physikalische Zeitschrift, 10: 75–88
- Various English translations on Wikisource: Space and Time
↑ E. T. Whittaker (1910) A History of the Theories of Aether and Electricity Dublin: Longmans, Green and Co. (see page 441)

G. D. Birkhoff (1923) Relativity and Modern Physics, pages 62,3, Harvard University Press.
Francesco Catoni, Dino Boccaletti, & Roberto Cannata (2008) Mathematics of Minkowski Space, Birkhäuser Verlag, Basel. See page 38, Pseudo-orthogonality.
Robert Goldblatt (1987) Orthogonality and Spacetime Geometry, chapter 1: A Trip on Einstein's Train, Universitext Springer-Verlag ISBN 0-387-96519-X MR0888161
J.A. Wheeler; C. Misner; K.S. Thorne (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. p. 58. ISBN 0-7167-0344-0.

[L&W-1] 1.0 ^1.1 Edwin B. Wilson & Gilbert N. Lewis (1912) "The Space-time Manifold of Relativity. The Non-Euclidean Geometry of Mechanics and Electromagnetics" Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences 48:387–507, esp. 415 doi:10.2307/20022840

[2] Bjørn Felsager (2004), Through the Looking Glass – A glimpse of Euclid’s twin geometry, the Minkowski geometry Archived 2011-07-16 at the Wayback Machine, ICME-10 Copenhagen; pages 6 & 7.

[3] Sobczyk, G.(1995) Hyperbolic Number Plane, also published in College Mathematics Journal 26:268–80.

[4] Barry Spain (1957) Analytical Conics, ellipse §33, page 38 and hyperbola §41, page 49, from Hathi Trust

[5] Minkowski, Hermann (1909), "Raum und Zeit" , Physikalische Zeitschrift, 10: 75–88
Various English translations on Wikisource: Space and Time

[6] Various English translations on Wikisource: Space and Time

[6] E. T. Whittaker (1910) A History of the Theories of Aether and Electricity Dublin: Longmans, Green and Co. (see page 441)

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 {{short description|Relation of space and time in relativity theory}}
-[[File:Orthogonality and rotation.svg|thumb|350px|यूक्लिडियन [[ओर्थोगोनालिटी]] को बाएं आरेख में घुमाकर संरक्षित किया जाता है; हाइपरबोला (बी) के संबंध में हाइपरबॉलिक ऑर्थोगोनलिटी सही आरेख में [[अतिशयोक्तिपूर्ण रोटेशन]] द्वारा संरक्षित है]][[ज्यामिति]] में, हाइपरबोला के स्पर्शोन्मुख द्वारा अलग की गई दो रेखाओं के बीच हाइपरबोलिक ऑर्थोगोनलिटी का संबंध एक अवधारणा है जिसका उपयोग [[विशेष सापेक्षता]] में एक साथ होने वाली घटनाओं को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। दो घटनाएं एक साथ होंगी जब वे किसी विशेष समय रेखा के लिए [[अतिशयोक्ति]]पूर्ण रूप से ऑर्थोगोनल रेखा पर हों। एक निश्चित समय रेखा पर यह निर्भरता वेग द्वारा निर्धारित होती है, और एक साथ सापेक्षता का आधार है।
+[[File:Orthogonality and rotation.svg|thumb|350px|यूक्लिडियन [[ओर्थोगोनालिटी]] को बाएं आरेख में घुमाकर संरक्षित किया जाता है; हाइपरबोला (बी) के संबंध में हाइपरबॉलिक ऑर्थोगोनलिटी सही आरेख में [[अतिशयोक्तिपूर्ण रोटेशन]] द्वारा संरक्षित है]][[ज्यामिति]] में, हाइपरबोला के स्पर्शोन्मुख द्वारा भिन्न की गई दो रेखाओं के मध्य '''हाइपरबोलिक ऑर्थोगोनलिटी''' संबंध की अवधारणा है जिसका उपयोग [[विशेष सापेक्षता]] के साथ होने वाली घटनाओं को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। दो घटनाएं होंगी जब वे किसी विशेष समय रेखा के लिए [[अतिशयोक्ति]] पूर्ण रूप से ऑर्थोगोनल रेखा पर हों। निश्चित समय रेखा पर निर्भरता वेग द्वारा निर्धारित होती है, और सापेक्षता का आधार है।
 == ज्यामिति ==
 दो रेखाएँ हाइपरबोलिक ऑर्थोगोनल होती हैं जब वे किसी दिए गए हाइपरबोला के स्पर्शोन्मुख पर एक दूसरे का [[प्रतिबिंब (गणित)]] होती हैं।
-विमान में दो विशेष हाइपरबोलस अक्सर उपयोग किए जाते हैं:
+विमान में दो विशेष हाइपरबोलस अधिकांशतः उपयोग किए जाते हैं:
 {{ordered list | list-style-type = upper-alpha
 | 1 = ''xy'' = 1  with ''y'' = 0 as asymptote.
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 Therefore the reflected line has slope 1/m and the slopes of hyperbolic orthogonal lines are [[multiplicative inverse|reciprocal]]s of each other.}}
-हाइपरबॉलिक ऑर्थोगोनलिटी का संबंध वास्तव में विमान में समांतर रेखाओं के वर्गों पर लागू होता है, जहां कोई विशेष रेखा वर्ग का प्रतिनिधित्व कर सकती है। इस प्रकार, दिए गए हाइपरबोला और एसिम्प्टोट ए के लिए, लाइनों की एक जोड़ी (ए, बी) हाइपरबॉलिक ऑर्थोगोनल होती है यदि कोई जोड़ी (सी, डी) होती है <math>a \rVert c ,\  b \rVert d </math>, और c, A में d का प्रतिबिंब है।
+हाइपरबॉलिक ऑर्थोगोनलिटी का संबंध वास्तव में विमान में समांतर रेखाओं के वर्गों पर प्रारम्भ होता है, जहां कोई विशेष रेखा वर्ग का प्रतिनिधित्व कर सकती है। इस प्रकार, दिए गए हाइपरबोला और एसिम्प्टोट ''A'' के लिए, लाइनों की जोड़ी (''a'', ''b'') हाइपरबॉलिक ऑर्थोगोनल होती है यदि कोई जोड़ी (c, d) होती है <math>a \rVert c ,\  b \rVert d </math>, और c, A में d का प्रतिबिंब है।
-[[स्पर्शरेखा]] के लिए एक वृत्त त्रिज्या की लंबवतता के समान, हाइपरबोला के लिए एक त्रिज्या हाइपरबोला के स्पर्शरेखा के लिए हाइपरबोलिक ऑर्थोगोनल है।<ref name=L&W/><ref>Bjørn Felsager (2004), [http://www.dynamicgeometry.com/Documents/advancedSketchGallery/minkowski/Minkowski_Overview.pdf Through the Looking Glass – A glimpse of Euclid’s twin geometry, the Minkowski geometry] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110716173907/http://www.dynamicgeometry.com/documents/advancedSketchGallery/minkowski/Minkowski_Overview.pdf |date=2011-07-16 }}, ICME-10 Copenhagen; pages 6 & 7.</ref>
+[[स्पर्शरेखा]] के लिए वृत्त त्रिज्या की लंबवतता के समान, हाइपरबोला के लिए त्रिज्या हाइपरबोला के स्पर्शरेखा के लिए हाइपरबोलिक ऑर्थोगोनल है।<ref name=L&W/><ref>Bjørn Felsager (2004), [http://www.dynamicgeometry.com/Documents/advancedSketchGallery/minkowski/Minkowski_Overview.pdf Through the Looking Glass – A glimpse of Euclid’s twin geometry, the Minkowski geometry] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110716173907/http://www.dynamicgeometry.com/documents/advancedSketchGallery/minkowski/Minkowski_Overview.pdf |date=2011-07-16 }}, ICME-10 Copenhagen; pages 6 & 7.</ref>
-विश्लेषणात्मक ज्यामिति में ऑर्थोगोनलिटी का वर्णन करने के लिए एक [[ द्विरेखीय रूप ]] का उपयोग किया जाता है, जिसमें दो तत्व ऑर्थोगोनल होते हैं जब उनका बिलिनियर फॉर्म गायब हो जाता है। [[जटिल संख्या]]ओं के तल में <math>z_1 =u + iv, \quad z_2 = x + iy</math>, द्विरेखीय रूप है <math>xu + yv</math>, जबकि [[अतिशयोक्तिपूर्ण संख्या]]ओं के तल में <math>w_1 =  u + jv,\quad w_2 =  x +jy,</math> द्विरेखीय रूप है <math>xu - yv .</math>
-: वैक्टर जेड<sub>1</sub> और जेड<sub>2</sub> सम्मिश्र संख्या तल में, और w<sub>1</sub> और डब्ल्यू<sub>2</sub> अतिशयोक्तिपूर्ण संख्या तल में क्रमशः यूक्लिडियन ऑर्थोगोनल या हाइपरबोलिक ऑर्थोगोनल कहा जाता है यदि उनके संबंधित आंतरिक उत्पाद [बिलिनियर रूप] शून्य हैं।<ref>Sobczyk, G.(1995) [http://garretstar.com/secciones/publications/docs/HYP2.PDF Hyperbolic Number Plane], also published in ''College Mathematics Journal'' 26:268–80.</ref>
+विश्लेषणात्मक ज्यामिति में ऑर्थोगोनलिटी का वर्णन करने के लिए [[ द्विरेखीय रूप |बिलिनियर रूप]] का उपयोग किया जाता है, जिसमें दो तत्व ऑर्थोगोनल होते हैं जब उनका बिलिनियर रूप विलुप्त हो जाता है। [[जटिल संख्या|जटिल संख्याओं]] के तल में <math>z_1 =u + iv, \quad z_2 = x + iy</math>, द्विरेखीय रूप है <math>xu + yv</math>, जबकि [[अतिशयोक्तिपूर्ण संख्या|हाइपरबोलिक संख्याओं]] के तल में <math>w_1 =  u + jv,\quad w_2 =  x +jy,</math>का द्विरेखीय रूप <math>xu - yv </math> है।
-द्विरेखीय रूप की गणना एक संख्या के जटिल उत्पाद के वास्तविक भाग के रूप में दूसरे के संयुग्म के साथ की जा सकती है। तब
+: वैक्टर ''z''<sub>1</sub>और ''z''<sub>2</sub> सम्मिश्र संख्या तल में, w<sub>1</sub> और w<sub>2</sub> अतिशयोक्तिपूर्ण संख्या तल में क्रमशः यूक्लिडियन ऑर्थोगोनल या हाइपरबोलिक ऑर्थोगोनल कहा जाता है यदि उनके संबंधित आंतरिक उत्पाद [बिलिनियर रूप] शून्य हैं।<ref>Sobczyk, G.(1995) [http://garretstar.com/secciones/publications/docs/HYP2.PDF Hyperbolic Number Plane], also published in ''College Mathematics Journal'' 26:268–80.</ref>
-:<math>z_1 z_2^* + z_1^* z_2 = 0</math> जटिल विमान में लंबवतता पर जोर देता है, जबकि
+द्विरेखीय रूप की गणना संख्या के जटिल उत्पाद के वास्तविक भाग के रूप में दूसरे के संयुग्म के साथ की जा सकती है।
+:<math>z_1 z_2^* + z_1^* z_2 = 0</math> जटिल विमान में लंबवतता पर होता है, जबकि
 :<math>w_1 w_2^* + w_1^* w_2 = 0</math> तात्पर्य यह है कि w हाइपरबोलिक ऑर्थोगोनल हैं।
-दीर्घवृत्त और हाइपरबोलस के [[संयुग्मित व्यास]] को ध्यान में रखते हुए [[विश्लेषणात्मक ज्यामिति]] में हाइपरबोलिक ऑर्थोगोनलिटी की धारणा उत्पन्न हुई।<ref>Barry Spain (1957) [http://catalog.hathitrust.org/Record/000660610 Analytical Conics], ellipse §33, page 38 and hyperbola §41, page 49, from [[Hathi Trust]]</ref> यदि g और g' संयुग्मित व्यासों के ढालों को निरूपित करते हैं, तब <math>g g' = - \frac{b^2}{a^2}</math> दीर्घवृत्त के मामले में और <math>g g' =  \frac{b^2}{a^2}</math> हाइपरबोला के मामले में। जब a = b दीर्घवृत्त एक वृत्त होता है और संयुग्मित व्यास लंबवत होते हैं जबकि हाइपरबोला आयताकार होता है और संयुग्मित व्यास हाइपरबोलिक-ऑर्थोगोनल होते हैं।
+हाइपरबोलिक ऑर्थोगोनलिटी की धारणा [[विश्लेषणात्मक ज्यामिति]] में दीर्घवृत्त और हाइपरबोलस के [[संयुग्मित व्यास]] के विचार में उत्पन्न हुई।<ref>Barry Spain (1957) [http://catalog.hathitrust.org/Record/000660610 Analytical Conics], ellipse §33, page 38 and hyperbola §41, page 49, from [[Hathi Trust]]</ref> यदि g और g' संयुग्मित व्यासों के ढालों को निरूपित करते हैं, तब <math>g g' = - \frac{b^2}{a^2}</math> दीर्घवृत्त के स्थिति में और <math>g g' =  \frac{b^2}{a^2}</math> हाइपरबोला के स्थिति में हैं। जब a = b दीर्घवृत्त वृत्त होता है और संयुग्मित व्यास लंबवत होते हैं जबकि हाइपरबोला आयताकार होता है और संयुग्मित व्यास हाइपरबोलिक-ऑर्थोगोनल होते हैं।
-[[ प्रक्षेपी ज्यामिति ]] की शब्दावली में, हाइपरबोलिक ऑर्थोगोनल लाइन लेने का ऑपरेशन एक [[इनवोल्यूशन (गणित)]] है। मान लीजिए कि एक ऊर्ध्वाधर रेखा के ढलान को ∞ चिह्नित किया गया है ताकि सभी रेखाओं में प्रक्षेप्य रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा में ढलान हो। फिर जो भी हाइपरबोला (ए) या (बी) का उपयोग किया जाता है, ऑपरेशन एक इनवोल्यूशन (गणित) #प्रोजेक्टिव ज्यामिति का एक उदाहरण है जहां स्पर्शोन्मुख अपरिवर्तनीय है। हाइपरबॉलिक रूप से ऑर्थोगोनल लाइनें विमान के विभिन्न क्षेत्रों में होती हैं, जो हाइपरबोला के एसिम्पटोट्स द्वारा निर्धारित होती हैं, इस प्रकार हाइपरबॉलिक ऑर्थोगोनलिटी का संबंध विमान में लाइनों के सेट पर एक [[विषम संबंध]] है।
+[[ प्रक्षेपी ज्यामिति | प्रक्षेपी ज्यामिति]] की शब्दावली में, हाइपरबोलिक ऑर्थोगोनल लाइन लेने का ऑपरेशन [[इनवोल्यूशन (गणित)]] है। मान लीजिए कि ऊर्ध्वाधर रेखा के ढलान को ∞चिन्ह दिया गया है जिससे सभी रेखाओं में प्रक्षेप्य रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा में ढलान हो। जो भी हाइपरबोला (A) या (B) का उपयोग किया जाता है, ऑपरेशन हाइपरबॉलिक इनवोल्यूशन का उदाहरण है जहां स्पर्शोन्मुख अपरिवर्तनीय है। हाइपरबॉलिक रूप से ऑर्थोगोनल लाइनें विमान के विभिन्न क्षेत्रों में होती हैं, जो हाइपरबोला के एसिम्पटोट्स द्वारा निर्धारित होती हैं, इस प्रकार हाइपरबॉलिक ऑर्थोगोनलिटी का संबंध विमान में लाइनों के समूह पर [[विषम संबंध]] है।
 == समकालिकता ==
-में [[ अंतरिक्ष समय ]] अध्ययन के लिए [[हरमन मिन्कोव्स्की]] की नींव के बाद से, स्पेसटाइम प्लेन में बिंदुओं की अवधारणा हाइपरबोलिक-ऑर्थोगोनल टू ए टाइमलाइन (एक [[विश्व रेखा]] के लिए स्पर्शरेखा) का उपयोग समयरेखा के सापेक्ष घटनाओं की एक साथता, या एक साथ की सापेक्षता को परिभाषित करने के लिए किया गया है। मिन्कोव्स्की के विकास में उपरोक्त प्रकार (बी) का हाइपरबोला उपयोग में है।<ref>{{Citation|author=Minkowski, Hermann|year=1909|title=[[s:de:Raum und Zeit (Minkowski)|Raum und Zeit]]|journal=Physikalische Zeitschrift|volume=10|pages=75–88}}
+में [[ अंतरिक्ष समय |अंतरिक्ष समय]] अध्ययन के लिए [[हरमन मिन्कोव्स्की]] की नींव के पश्चात से, स्पेसटाइम प्लेन में बिंदुओं की अवधारणा अतिशयोक्ति पूर्ण-ऑर्थोगोनल समयरेखा के लिए ([[विश्व रेखा]] के लिए स्पर्शरेखा) का उपयोग समयरेखा के सापेक्ष घटनाओं की साथता, की सापेक्षता को परिभाषित करने के लिए किया गया है। मिन्कोव्स्की के विकास में उपरोक्त प्रकार (B) का हाइपरबोला उपयोग में है।<ref>{{Citation|author=Minkowski, Hermann|year=1909|title=[[s:de:Raum und Zeit (Minkowski)|Raum und Zeit]]|journal=Physikalische Zeitschrift|volume=10|pages=75–88}}
-:*Various English translations on Wikisource: [[s:Space and Time|Space and Time]]</ref> दो सदिश ({{var|x}}{{sub|1}}, {{var|y}}{{sub|1}}, {{var|z}}{{sub|1}}, {{var|t}}{{sub|1}}) और ({{var|x}}{{sub|2}}, {{var|y}}{{sub|2}}, {{var|z}}{{sub|2}}, {{var|t}}{{sub|2}}) सामान्य हैं (मतलब हाइपरबोलिक ऑर्थोगोनल) जब
+:*Various English translations on Wikisource: [[s:Space and Time|Space and Time]]</ref> दो सदिश ({{var|x}}{{sub|1}}, {{var|y}}{{sub|1}}, {{var|z}}{{sub|1}}, {{var|t}}{{sub|1}}) और ({{var|x}}{{sub|2}}, {{var|y}}{{sub|2}}, {{var|z}}{{sub|2}}, {{var|t}}{{sub|2}}) सामान्य होता हैं,  जब
 :<math>c^{2} \ t_1 \ t_2 - x_1 \ x_2 - y_1 \ y_2 - z_1 \ z_2 = 0.</math>
-कब {{var|c}} = 1 और {{var|y}}रेत {{var|z}शून्य हैं, {{var|x}}{{sub|1}} ≠ 0, {{var|t}}{{sub|2}} ≠ 0, तब <math>\frac{c \ t_1}{x_1} = \frac{x_2}{c \ t_2}</math>.
+जब c = 1 और y और z शून्य हैं, x1 ≠ 0, t2 ≠ 0, तब, {{var|x}}{{sub|1}} ≠ 0, {{var|t}}{{sub|2}} ≠ 0, तब <math>\frac{c \ t_1}{x_1} = \frac{x_2}{c \ t_2}</math>.
-स्पर्शोन्मुख ए के साथ एक हाइपरबोला दिया गया है, ए में इसका प्रतिबिंब संयुग्मित हाइपरबोला पैदा करता है। मूल अतिपरवलय का कोई भी व्यास एक संयुग्मित व्यास में परिलक्षित होता है। संयुग्मित व्यास द्वारा इंगित दिशाएँ सापेक्षता में अंतरिक्ष और समय अक्षों के लिए ली जाती हैं।
+स्पर्शोन्मुख A के साथ हाइपरबोला दिया गया है, A में इसका प्रतिबिंब संयुग्मित हाइपरबोला उत्पन्न करता है। मूल हाइपरबोला का संयुग्मित व्यास में परिलक्षित होता है। संयुग्मित व्यास द्वारा प्रदर्शित दिशाएँ सापेक्षता में अंतरिक्ष और समय अक्षों के लिए ली जाती हैं।
-जैसा कि ईटी व्हिटेकर ने 1910 में लिखा था, [] हाइपरबोला अपरिवर्तित है जब संयुग्मित व्यास की किसी भी जोड़ी को नए अक्षों के रूप में लिया जाता है, और लंबाई की एक नई इकाई को इनमें से किसी भी व्यास की लंबाई के अनुपात में लिया जाता है।<ref>[[E. T. Whittaker]] (1910) [[A History of the Theories of Aether and Electricity]] Dublin: [[Longmans, Green and Co.]] (see page 441)</ref> सापेक्षता के इस सिद्धांत पर, उन्होंने तब लोरेंत्ज़ परिवर्तन को आधुनिक रूप में तेजी से उपयोग करते हुए लिखा।
+जैसा कि ई टी व्हिटेकर ने 1910 में लिखा था, हाइपरबोला अपरिवर्तित है जब संयुग्मित व्यास की किसी भी जोड़ी को नव्य अक्षों के रूप में लिया जाता है, और लंबाई की नव्य इकाई को इनमें से किसी भी व्यास की लंबाई के अनुपात में लिया जाता है।<ref>[[E. T. Whittaker]] (1910) [[A History of the Theories of Aether and Electricity]] Dublin: [[Longmans, Green and Co.]] (see page 441)</ref> सापेक्षता के इस सिद्धांत पर, उन्होंने तब लोरेंत्ज़ परिवर्तन को आधुनिक रूप में तीव्रता से उपयोग करते हुए लिखा जाता है।
-[[एडविन बिडवेल विल्सन]] और गिल्बर्ट एन. लुईस ने 1912 में [[सिंथेटिक ज्यामिति]] के भीतर अवधारणा विकसित की। उन्होंने ध्यान दिया कि हमारे विमान में लंबवत [हाइपरबॉलिक-ऑर्थोगोनल] रेखाओं की कोई जोड़ी किसी भी अन्य जोड़ी की तुलना में समन्वय अक्ष के रूप में काम करने के लिए बेहतर नहीं है।<ref name=L&W>Edwin B. Wilson & Gilbert N. Lewis (1912) "The Space-time Manifold of Relativity. The Non-Euclidean Geometry of Mechanics and Electromagnetics" Proceedings of the [[American Academy of Arts and Sciences]] 48:387–507, esp. 415 {{doi|10.2307/20022840}}</ref>
+[[एडविन बिडवेल विल्सन]] और गिल्बर्ट एन. लुईस ने 1912 में [[सिंथेटिक ज्यामिति]] के भीतर अवधारणा विकसित की है। उन्होंने ध्यान दिया कि हमारे विमान में लंबवत [हाइपरबॉलिक-ऑर्थोगोनल] रेखाओं की कोई जोड़ी किसी भी अन्य जोड़ी की समानता में समन्वय अक्ष के रूप में कार्य करने के लिए  श्रेष्ठ नहीं है।<ref name="L&W">Edwin B. Wilson & Gilbert N. Lewis (1912) "The Space-time Manifold of Relativity. The Non-Euclidean Geometry of Mechanics and Electromagnetics" Proceedings of the [[American Academy of Arts and Sciences]] 48:387–507, esp. 415 {{doi|10.2307/20022840}}</ref>
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 * [[Robert Goldblatt]] (1987) ''Orthogonality and Spacetime Geometry'', chapter 1: A Trip on Einstein's Train, Universitext Springer-Verlag {{ISBN|0-387-96519-X}} {{mr|id=0888161}}
 * {{cite book|title=Gravitation|url=https://archive.org/details/gravitation00misn_003|url-access=limited|author1=J.A. Wheeler |author2=C. Misner |author3=K.S. Thorne |publisher=W.H. Freeman & Co|page=[https://archive.org/details/gravitation00misn_003/page/n82 58]|year=1973|isbn=0-7167-0344-0}}
-{{Relativity}}
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