ह्यूजेंस-फ्रेस्नेल सिद्धांत: Difference between revisions

Latest revision as of 15:46, 30 October 2023

ह्यूजेंस विधि द्वारा तरंग अपवर्तन

ह्यूजेंस और फ्रेस्नेल विधि में तरंग विवर्तन

ह्यूजेंस-फ्रेस्नेल सिद्धांत (नीदरलैंड के भौतिक विज्ञानी क्रिस्टियान ह्यूजेंस और फ्रांस के भौतिक विज्ञानी ऑगस्टिन-जीन फ्रेस्नेल के नाम पर आधारित है) में अंकित है कि तरंगाग्र पर प्रत्येक बिंदु वृताकार तरंगिकाओं का स्रोत होता है और विभिन्न बिंदुओं से निकलने वाली द्वितीयक तरंगिकाएँ परस्पर हस्तक्षेप करती हैं।^[1] इन वृताकार तरंगिकाओं का योग नया तरंगाग्र निर्मित करता है। इस प्रकार ह्यूजेंस-फ्रेस्नेल सिद्धांत दूर-क्षेत्र सीमा और निकट-क्षेत्र विवर्तन के साथ प्रतिबिंब (भौतिकी) में दीप्त तरंग प्रसार की समस्याओं पर प्रस्तावित विश्लेषण की विधि है।

इतिहास

1678 में, ह्यूजेन्स ने प्रस्तावित किया कि दीप्त अव्यवस्था से प्रत्येक बिंदु वृताकार तरंग का स्रोत बन जाता है; इन द्वितीयक तरंगों का योग तरंग के रूप को निर्धारित करता है।^[2] उन्होंने स्वीकार किया कि द्वितीयक तरंगें मात्र अग्र दिशा में यात्रा करती हैं और सिद्धांत में यह स्पष्ट भी नहीं किया गया है। वह रैखिक और गोलाकार तरंग प्रसार की गुणात्मक व्याख्या प्रदान करने में सक्षम थे और इस सिद्धांत का उपयोग करके प्रतिबिंब और अपवर्तन के नियमों को प्राप्त करने में सक्षम थे, किन्तु रेक्टिलाइनियर प्रसार से विचलन की व्याख्या नहीं कर सके जिसमें प्रकाश का आकस्मिक मिलन एपर्चर और स्क्रीन से होता है, जिसे सामान्यतः विवर्तन प्रभाव के रूप में जाना जाता है।^[3] इस त्रुटि के समाधान का अध्ययन अंततः 1991 में डेविड ए.बी. मिलर द्वारा किया गया था।^[4] स्रोत द्विध्रुवीय होता है (ह्यूजेंस द्वारा स्वीकृत मोनोपोल नहीं है) जो परावर्तित दिशा में निरस्त हो जाता है।

1818 में, फ्रेस्नेल^[5] ने वर्णित किया कि ह्यूजेंस का सिद्धांत व्यतिकरण के सिद्धांत के साथ मिलकर प्रकाश के सरल रेखीय प्रसार और विवर्तन प्रभाव दोनों की व्याख्या कर सकता है। प्रायोगिक परिणामों के साथ सहमति प्राप्त करने के लिए वे द्वितीयक तरंगों के चरण और आयाम के संबंध में अतिरिक्त अर्बिटरी धारणाओं और ऑबलिक्विटी कारक को भी सम्मिलित करते हैं। इन धारणाओं का कोई स्पष्ट भौतिक आधार नहीं है, किन्तु वे पॉइसन स्पॉट सहित विभिन्न प्रायोगिक प्रेक्षणों से सहमत थे।

शिमोन डेनिस पोइसन फ्रांसीसी अकादमी के सदस्य थे, जिन्होंने फ्रेस्नेल के कार्य की समीक्षा की थी।^[6] उन्होंने फ्रेस्नेल के सिद्धांत का उपयोग किया जिसमें उज्ज्वल स्थान को छोटी सी डिस्क की छाया के केंद्र में प्रकट होना चाहिए और इससे यह अनुमान लगाया गया कि यह सिद्धांत अनुचित था। चूँकि, समिति के अन्य सदस्य अरगो ने प्रयोग करके अरागो स्पॉट को दर्शाया था। (लिस्ले ने इसे पचास वर्ष पूर्व अवलोकित किया था।^[3]^{[dubious – discuss]} प्रकाश के तरंग सिद्धांत की उस समय के प्रमुख कोरपसकुलर सिद्धांत पर विजय प्राप्त हुई।

ऐन्टेना (रेडियो) और इंजीनियरिंग में, वर्तमान स्रोतों को विकीर्ण करने के लिए ह्यूजेंस-फ्रेस्नेल सिद्धांत के पुनर्निर्माण को सतह तुल्यता सिद्धांत के रूप में जाना जाता है।^[7]^[8]

सूक्ष्म मॉडल के रूप में ह्यूजेंस का सिद्धांत

ह्यूजेंस-फ्रेस्नेल सिद्धांत प्रकाश के तरंग प्रसार के अध्ययन करने के लिए उचित आधार प्रदान करता है। चूँकि, सिद्धांत की सीमाएँ हैं अर्थात् किरचॉफ के विवर्तन सूत्र को प्राप्त करने के लिए किए गए समान सन्निकटन और फ्रेस्नेल के कारण निकट और दूर क्षेत्र के सन्निकटन हैं। इन्हें इस तथ्य में संक्षेपित किया जा सकता है कि प्रकाश की तरंग दैर्ध्य ऑप्टिकल घटकों के आयामों की तुलना में अधिक छोटी होती हैं।^[6]

किरचॉफ का विवर्तन सूत्र तरंग समीकरण के आधार पर विवर्तन के लिए गणितीय आधार प्रदान करता है। ह्यूजेंस-फ्रेस्नेल समीकरण के लिए फ्रेस्नेल द्वारा निर्मित आर्बिटरी धारणाएं इस व्युत्पत्ति में गणित से स्वचालित रूप से उभरती हैं।^[9]

सिद्धांत के संचालन का सरल उदाहरण जिसमें विवृत द्वार दो कक्षों को जोड़ता है और उनमें से एक में ध्वनि उत्पन्न होती है। दूसरे कक्ष में व्यक्ति ध्वनि सुन सकता है जो द्वार पर उत्पन्न हुई होती है। द्वार में वायु का कंपन ध्वनि का स्रोत होता है।

आधुनिक भौतिकी व्याख्याएं

सभी विशेषज्ञ इस कथन से सहमत नहीं हैं कि ह्यूजेंस का सिद्धांत वास्तविकता का त्रुटिहीन सूक्ष्म प्रतिनिधित्व है। उदाहरण के लिए, मेल्विन श्वार्ट्ज ने आर्ग्यूमेंट दिया कि ह्यूजेंस का सिद्धांत वास्तव में उचित उत्तर देता है किन्तु अनुचित कारणों से।^[1]

इसे निम्नलिखित तथ्यों में परिलक्षित किया जा सकता है-

फोटॉन बनाने के लिए सूक्ष्म यांत्रिकी अनिवार्य रूप से इलेक्ट्रॉनों का त्वरण है।^[1] ह्यूजेंस के मूल विश्लेषण^[10] में केवल आयाम सम्मिलित हैं। इसमें न तो चरण सम्मिलित हैं और न ही विभिन्न गति से प्रसारित तरंगें (मीडिया के भीतर विवर्तन के कारण) और इसलिए यह व्यतिकरण को ध्यान में नहीं रखता है।
ह्यूजेंस विश्लेषण में प्रकाश के लिए ध्रुवीकरण भी सम्मिलित नहीं है जो सदिश पोटेंशियल को दर्शाता है, जहां इसके अतिरिक्त ध्वनि तरंगों को स्केलर पोटेंशियल के साथ वर्णित किया जा सकता है और दोनों के मध्य कोई अद्वितीय और प्राकृतिक अनुवाद नहीं है।^[11]
ह्यूजेंस के विवरण में इस कथन की कोई व्याख्या नहीं है कि हम मात्र अग्रगामी (मंद तरंग) के प्रति पश्चगामी प्रसार वाली उन्नत तरंग का चयन क्यों करते हैं।^[11]
फ्रेस्नेल सन्निकटन में विभिन्न चरणों के साथ वृताकार तरंगों के योग के कारण अस्थानीय व्यवहार की अवधारणा है जो तरंगाग्र के विभिन्न बिंदुओं से आती है और अस्थानीय सिद्धांत विभिन्न वाद और सक्रिय शोध का विषय है।^{[citation needed]}
फ्रेस्नेल सन्निकटन की व्याख्या क्वांटम संभाव्य विधि द्वारा की जा सकती है। परमाणु ऑर्बिटल्स (एलसीएओ) विधि के रैखिक संयोजन की भाँति सामान्य आधार पर सन्निकटन का अधिक प्रतिनिधित्व करता है।

ह्यूजेंस का सिद्धांत एस मैट्रिक्स में क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के साथ अनिवार्य रूप से संगत है, प्रकीर्णन के केंद्र में प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत पर विचार करते हुए क्वांटम प्रकाशिकी शास्त्रीय प्रकाशिकी के साथ संगत है, अन्य व्याख्याएं अनुशय और सक्रिय शोध का विषय हैं।

फेनमैन मॉडल काल्पनिक तरंगाग्र में प्रत्येक बिंदु तरंगिका उत्पन्न करता है,^[12] और इस संभावित संदर्भ में दूरस्थ बिंदु केवल समग्र संभाव्यता आयाम में न्यूनतम योगदान दे सकते हैं।

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में फोटॉन निर्माण के लिए कोई सूक्ष्म मॉडल सम्मिलित नहीं है और एकल फोटॉन की अवधारणा को भी सैद्धांतिक स्तर पर अन्वेषण में रखा गया है।

सिद्धांत की गणितीय अभिव्यक्ति

फ्रेस्नेल की गणना के लिए ज्यामितीय व्यवस्था

बिंदु P₀ पर स्थित बिंदु स्रोत की स्तिथि पर विचार करें जो आवृत्ति f पर कंपन करता है। डिस्टर्बेंस को जटिल चर U₀ द्वारा वर्णित किया जा सकता है जिसे जटिल आयाम के रूप में जाना जाता है। यह तरंग दैर्ध्य λ, तरंग संख्या के साथ वृताकार तरंग $k = 2 π / λ$ उत्पन्न करती है। आनुपातिकता के स्थिरांक के भीतर P₀ से दूरी r₀ पर स्थित बिंदु Q पर प्राथमिक तरंग का जटिल आयाम है-

U(r_{0})\propto {\frac {U_{0}e^{ikr_{0}}}{r_{0}}}.

ध्यान दें कि आयाम निर्धारित दूरी के व्युत्क्रमानुपाती में कम होता है, और निर्धारित दूरी के k गुना के रूप में चरण परिवर्तित होता है।

ह्यूजेंस के सिद्धांत और तरंगों के सुपरपोजिशन के सिद्धांत का उपयोग करके बिंदु P पर जटिल आयाम त्रिज्या r₀ के क्षेत्र पर प्रत्येक बिंदु से योगदान को जोड़कर अन्य बिंदु प्राप्त होता है।

प्रयोगात्मक परिणामों के साथ निष्कर्ष के लिए फ्रेस्नेल ने अन्वेषित किया कि वृत पर द्वितीयक तरंगों से विभिन्न योगदान को स्थिर -i/λ और झुकाव कारक K(χ) से गुणा किया जाना था। प्रथम धारणा का अर्थ है कि द्वितीयक तरंगें प्राथमिक तरंग के संबंध में चरण के बाहर चक्र के चतुर्थांश पर दोलन करती हैं और द्वितीयक तरंगों का परिमाण 1: λ के प्राथमिक तरंग के अनुपात में होता है। उन्होंने यह भी माना कि χ = 0 होने पर K(χ) का अधिकतम मूल्य था और χ = π/2 होने पर शून्य के समान था जहां χ प्राथमिक तरंगाग्र और द्वितीयक तरंगाग्र के मध्य का कोण है। द्वितीयक तरंगों के योगदान के कारण 'P' पर जटिल आयाम है-^[13]

U(P)=-{\frac {i}{\lambda }}U(r_{0})\int _{S}{\frac {e^{iks}}{s}}K(\chi )\,dS

जहाँ S वृत की सतह का वर्णन करता है, और s 'Q' और 'P' के मध्य की दूरी है।

फ्रेस्नेल ने विभिन्न क्षेत्रों के लिए K के अनुमानित मानों के शोधन के लिए ज़ोन निर्माण विधि का उपयोग किया^[6], जिससे उन्हें भविष्यवाणियां करने में सहायता प्राप्त हुई जो प्रयोगात्मक परिणामों के अनुरूप थीं। किरचॉफ अभिन्न प्रमेय में ह्यूजेंस-फ्रेस्नेल सिद्धांत का मूल विचार सम्मिलित है। किरचॉफ ने दर्शाया कि विभिन्न स्तिथियों में, प्रमेय को सरल रूप में अनुमानित किया जा सकता है जो फ्रेस्नेल के सूत्रीकरण के गठन के समान है।^[6]

यदि तरंग की वक्रता की त्रिज्या पर्याप्त रूप से बड़ी है, तो एकल विस्तारित वृताकार तरंग से युक्त एपर्चर प्रकाश के लिए किरचॉफ ने K(χ) के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति दी है^[6]- $~K(\chi )={\frac {1}{2}}(1+\cos \chi )$

K का अधिकतम मान χ = 0 पर है जैसा कि ह्यूजेंस-फ्रेस्नेल सिद्धांत में है, चूँकि K = π/2 पर शून्य के समान नहीं है, किन्तु χ = π पर है।

K(χ) की उपरोक्त व्युत्पत्ति ने स्वीकार किया कि विवर्तक छिद्र वक्रता के पर्याप्त बड़े त्रिज्या के साथ एकल वृताकार तरंग द्वारा प्रदीप्त होता है। चूँकि, सिद्धांत अधिक सामान्य प्रकाश के लिए है।^[14] आर्बिटरी रूप से प्रकाश को बिंदु स्रोतों के संग्रह में विघटित किया जा सकता है, और तरंग समीकरण की रैखिकता को व्यक्तिगत रूप से प्रत्येक बिंदु स्रोत पर सिद्धांत के लिए प्रस्तावित किया जा सकता है। K(χ) को सामान्यतः व्यक्त किया जा सकता है-^[14]

~K(\chi )=\cos \chi

इस स्तिथि में, K ऊपर वर्णित स्तिथियों को पूर्ण करता है (χ = 0 पर अधिकतम मान और χ = π/2 पर शून्य प्राप्त होता है)।

सामान्यीकृत ह्यूजेंस का सिद्धांत

विभिन्न पुस्तकों^[15] और उदाहरणों में^[16] फेनमैन द्वारा संदर्भित सामान्यीकृत ह्यूजेन्स सिद्धांत का संदर्भ है।^[17]

फेनमैन सामान्यीकृत सिद्धांत को निम्नलिखित रूप से परिभाषित करता है:

"वास्तव में ह्यूजेंस का सिद्धांत प्रकाशिकी में उचित नहीं है। इसे किरचॉफ के संशोधन द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है जिसके लिए आवश्यक है कि आसन्न सतह पर आयाम और इसके व्युत्पन्न दोनों ज्ञात हों। यह इस तथ्य का परिणाम है कि प्रकाशिकी में तरंग समीकरण समय में द्वितीय क्रम का है। क्वांटम यांत्रिकी का तरंग समीकरण उस समय का प्रथम क्रम है; इसलिए ह्यूजेंस का सिद्धांत समय के स्थान पर पदार्थ तरंगों की क्रिया के लिए उचित है।"

यह इस तथ्य को स्पष्ट करता है कि इस संदर्भ में सामान्यीकृत सिद्धांत क्वांटम यांत्रिकी की रैखिकता को दर्शाता है और तथ्य यह है कि क्वांटम यांत्रिकी समीकरण समय में प्रथम क्रम के होते हैं। अंत में मात्र इस स्तिथि में सुपरपोज़िशन सिद्धांत पूर्व रूप से प्रस्तावित होता है, अर्थात बिंदु P में तरंग फलन को P की बॉर्डर सतह पर तरंगों के सुपरपोज़िशन के रूप में विस्तारित किया जा सकता है। तरंग फलन की व्याख्या सामान्य क्वांटम यांत्रिक अर्थों में संभाव्यता घनत्व के रूप में की जा सकती है जहाँ ग्रीन के फलनों और प्रचारकों की औपचारिकता प्रस्तावित होती है। यह सामान्यीकृत सिद्धांत पदार्थ तरंगों के लिए प्रस्तावित होता है। क्रिया (भौतिकी) द्वारा दिए गए चरण कारक को स्पष्ट किया गया है और अब कोई भ्रम नहीं है कि तरंगिका के चरण मूल तरंग से पृथक क्यों हैं और अतिरिक्त फ्रेस्नेल पैरामीटर द्वारा संशोधित किए गए हैं।

ग्रीनर के अनुसार ^[15]सामान्यीकृत सिद्धांत को $t'>t$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है-

\psi '(\mathbf {x} ',t')=i\int {}{}d^{3}xG(\mathbf {x} ',t';\mathbf {x} ,t)\psi (\mathbf {x} ,t)

जहाँ G सामान्य हरा फलन है जो समय के साथ तरंग फलन $\psi$ का प्रसार करता है। यह विवरण शास्त्रीय मॉडल के प्रारंभिक फ्रेस्नेल का सूत्र है और सामान्यीकरण करता है।

ह्यूजेंस का सिद्धांत, फेनमैन का पथ अभिन्न और आधुनिक फोटॉन तरंग फलन

ह्यूजेंस के सिद्धांत ने प्रकाश व्यतिकरण की तरंग प्रकृति की मूल व्याख्या के रूप में कार्य किया और फ्रेस्नेल और यंग द्वारा अग्र विकसित किया गया था, किन्तु 1909 में सर्वप्रथम जी.आई. टेलर द्वारा किए गए कम-तीव्रता वाले डबल-स्लिट प्रयोग जैसे सभी अवलोकनों को पूर्ण रूप से हल नहीं किया गया था। यह 1900 के प्रारम्भ और मध्य तक नहीं था कि क्वांटम सिद्धांत विशेष रूप से 1927 ब्रसेल्स सोल्वे सम्मेलन में प्रारंभिक वर्णन था जहां लुइस डी ब्रोगली ने अपनी डी ब्रोगली परिकल्पना का प्रस्ताव दिया था कि फोटॉन तरंग फलन द्वारा निर्देशित है।^[18] तरंग फलन डबल स्लिट प्रयोग में अवलोकित प्रकाश और डार्क बैंडों की भिन्न व्याख्या प्रस्तुत करता है। इस अवधारणा में, फोटॉन पथ का अनुसरण करता है जो विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में विभिन्न संभावित पथों में संभाव्य विकल्प है। ये संभावित पथ डार्क क्षेत्रों में पैटर्न बनाते हैं जिसमें विभिन्न नहीं फोटॉन होते हैं और उज्ज्वल क्षेत्रों में विभिन्न फोटॉन होते हैं। संभावित फोटॉन पथों का सेट रिचर्ड फेनमैन के पथ अभिन्न सिद्धांत के अनुरूप होते है, पथ फोटॉन के मूल बिंदु (परमाणु) के निकट स्लिट, स्क्रीन, ट्रैकिंग और योग चरणों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। तरंग फलन इस ज्यामिति का हल है। 1970 और 1980 में इटली और जापान में इलेक्ट्रॉनों के साथ अतिरिक्त डबल-स्लिट प्रयोगों द्वारा वेव फंक्शन दृष्टिकोण का समर्थन किया गया था।^[19]

ह्यूजेंस का सिद्धांत और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत

ह्यूजेंस के सिद्धांत को अंतरिक्ष के सजातीय स्थान के परिणाम के रूप में देखा जा सकता है - अंतरिक्ष सभी स्थानों में समान है।^[20]सजातीय स्थान (या सजातीय माध्यम में) के पर्याप्त छोटे क्षेत्र में उत्पन्न कोई भी विक्षोभ उस क्षेत्र से सभी भूगर्भीय दिशाओं में विस्तृत होता है। इस विक्षोभ से उत्पन्न तरंगें अन्य क्षेत्रों आदि में विक्षोभ उत्पन्न करती हैं। सभी तरंगों के सुपरपोज़िशन सिद्धांत के परिणामस्वरूप तरंग प्रसार का अवलोकन किया गया पैटर्न होता है।

अंतरिक्ष की एकरूपता क्वांटम फील्ड थ्योरी (क्यूएफटी) के लिए वास्तविक है जहां किसी भी वस्तु का तरंग फलन अबाधित पथों के साथ विस्तृत होता है। जब पार्टीशन फलन (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत), क्रिया (भौतिकी) के आनुपातिक चरण (तरंगों) कारक के साथ, तरंग-फलन का व्यतिकरण उचित रूप से घटनाओं की भविष्यवाणी करता है। तरंगाग्र पर प्रत्येक बिंदु द्वितीयक तरंगों के स्रोत के रूप में कार्य करता है जो प्रकाश शंकु में तरंग की समान गति से विस्तृत होता है। नया तरंगाग्र द्वितीयक तरंगिकाओं की सतह स्पर्शरेखा का निर्माण करके प्राप्त किया जा सकता है।

अन्य स्थानिक आयामों में

1900 में, जैक्स हैडमार्ड ने अवलोकित किया कि ह्यूजेंस का सिद्धांत तब विभक्त हो गया था जब स्थानिक आयामों की संख्या सम थी।^[21]^[22]^[23] इससे उन्होंने अनुमानों का समूह विकसित किया जो अनुसंधान का सक्रिय विषय बना हुआ है।^[24]^[25] विशेष रूप से, यह ज्ञात हुआ है कि ह्यूजेंस का सिद्धांत कॉक्सेटर समूह से प्राप्त सजातीय रिक्त स्थान के बड़े वर्ग पर आधारित है (इसलिए, उदाहरण के लिए, सरल लाई बीजगणित के वेइल समूह है)।^[20]^[26]

डी'अलेम्बर्टियन के लिए ह्यूजेंस के सिद्धांत का कथन केडीवी पदानुक्रम को उत्पन्न करता है; डायराक ऑपरेटर एकेएनएस पदानुक्रम को उत्पन्न करता है।^[27]^[28]

यह भी देखें

फ्राउनहोफर विवर्तन
किरचॉफ का विवर्तन सूत्र
ग्रीन का कार्य
ग्रीन की प्रमेय
ग्रीन की पहचान
निकट-क्षेत्र विवर्तन पैटर्न
डबल-स्लिट प्रयोग
चाकू की धार का प्रभाव
फर्मेट का सिद्धांत
फूरियर ऑप्टिक्स
भूतल तुल्यता सिद्धांत
तरंग क्षेत्र संश्लेषण
किरचॉफ अभिन्न प्रमेय

संदर्भ

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[Enders-16] Enders, Peter (2009). "प्रसार के सार्वभौम मॉडल के रूप में ह्यूजेंस का सिद्धांत" (PDF). Latin-American Journal of Physics Education. 3 (1): 19–32.

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[veselov-20] 20.0 ^20.1 Veselov, Alexander P. (1995). "ह्यूजेंस का सिद्धांत और इंटीग्रेबल सिस्टम". Physica D: Nonlinear Phenomena. 87 (1–4): 9–13. Bibcode:1995PhyD...87....9V. doi:10.1016/0167-2789(95)00166-2.

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[28] Berest, Yuri Yu.; Loutsenko, Igor M. (1997). "मिन्कोव्स्की स्पेस में ह्यूजेंस का सिद्धांत और कॉर्टेवेग-डे व्रीस समीकरण का सोलिटॉन समाधान". Communications in Mathematical Physics. 190 (1): 113–132. arXiv:solv-int/9704012. Bibcode:1997CMaPh.190..113B. doi:10.1007/s002200050235. S2CID 14271642.

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 [[File:Refraction - Huygens-Fresnel principle.svg|thumb|ह्यूजेंस विधि द्वारा तरंग [[अपवर्तन]]]]
-[[File:Refraction on an aperture - Huygens-Fresnel principle.svg|thumb|ह्यूजेंस और फ्रेस्नेल के तरीके में तरंग विवर्तन]]ह्यूजेंस-फ्रेस्नेल सिद्धांत ([[नीदरलैंड]] के [[भौतिक विज्ञानी]] [[क्रिस्टियान ह्यूजेंस]] और [[फ्रांस]] के भौतिक विज्ञानी [[ऑगस्टिन-जीन फ्रेस्नेल]] के नाम पर आधारित है) में अंकित है कि तरंगाग्र पर प्रत्येक बिंदु वृताकार तरंगिकाओं का स्रोत होता है और विभिन्न बिंदुओं से निकलने वाली द्वितीयक तरंगिकाएँ परस्पर हस्तक्षेप करती हैं।<ref name="MathPages">{{cite web | title=ह्यूजेंस का सिद्धांत| website=MathPages | url=https://www.mathpages.com/home/kmath242/kmath242.htm | access-date=2017-10-03}}</ref> इन वृताकार तरंगिकाओं का योग नया तरंगाग्र निर्मित करता है। इस प्रकार ह्यूजेंस-फ्रेस्नेल सिद्धांत दूर-क्षेत्र सीमा और निकट-क्षेत्र [[विवर्तन]] के साथ [[प्रतिबिंब (भौतिकी)]] में दीप्त तरंग प्रसार की समस्याओं पर प्रस्तावित विश्लेषण की विधि है।
+[[File:Refraction on an aperture - Huygens-Fresnel principle.svg|thumb|ह्यूजेंस और फ्रेस्नेल विधि में तरंग विवर्तन]]'''ह्यूजेंस-फ्रेस्नेल सिद्धांत''' (नीदरलैंड के [[भौतिक विज्ञानी]] [[क्रिस्टियान ह्यूजेंस]] और [[फ्रांस]] के भौतिक विज्ञानी [[ऑगस्टिन-जीन फ्रेस्नेल]] के नाम पर आधारित है) में अंकित है कि तरंगाग्र पर प्रत्येक बिंदु वृताकार तरंगिकाओं का स्रोत होता है और विभिन्न बिंदुओं से निकलने वाली द्वितीयक तरंगिकाएँ परस्पर हस्तक्षेप करती हैं।<ref name="MathPages">{{cite web | title=ह्यूजेंस का सिद्धांत| website=MathPages | url=https://www.mathpages.com/home/kmath242/kmath242.htm | access-date=2017-10-03}}</ref> इन वृताकार तरंगिकाओं का योग नया तरंगाग्र निर्मित करता है। इस प्रकार ह्यूजेंस-फ्रेस्नेल सिद्धांत दूर-क्षेत्र सीमा और निकट-क्षेत्र [[विवर्तन]] के साथ [[प्रतिबिंब (भौतिकी)]] में दीप्त तरंग प्रसार की समस्याओं पर प्रस्तावित विश्लेषण की विधि है।
 == इतिहास ==
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 किरचॉफ का विवर्तन सूत्र तरंग समीकरण के आधार पर विवर्तन के लिए गणितीय आधार प्रदान करता है। ह्यूजेंस-फ्रेस्नेल समीकरण के लिए फ्रेस्नेल द्वारा निर्मित आर्बिटरी धारणाएं इस व्युत्पत्ति में गणित से स्वचालित रूप से उभरती हैं।<ref>{{cite book |first1=M. V. |last1=Klein |first2=T. E. |last2=Furtak |title=प्रकाशिकी|year=1986 |publisher=John Wiley & Sons |location=New York |edition=2nd |isbn=0-471-84311-3 }}</ref>
-सिद्धांत के संचालन का सरल उदाहरण देखा जा सकता है जब खुला द्वार दो कमरों को जोड़ता है और उनमें से एक के दूरस्थ कोने में ध्वनि उत्पन्न होती है। दूसरे कमरे में एक व्यक्ति ध्वनि सुनेगा जैसे कि वह द्वार पर उत्पन्न हुई हो। जहां तक दूसरे कमरे का संबंध है, द्वार में हवा का कंपन ध्वनि का स्रोत है।
+सिद्धांत के संचालन का सरल उदाहरण जिसमें विवृत द्वार दो कक्षों को जोड़ता है और उनमें से एक में ध्वनि उत्पन्न होती है। दूसरे कक्ष में व्यक्ति ध्वनि सुन सकता है जो द्वार पर उत्पन्न हुई होती है। द्वार में वायु का कंपन ध्वनि का स्रोत होता है।
 === आधुनिक भौतिकी व्याख्याएं ===
-सभी विशेषज्ञ इस बात से सहमत नहीं हैं कि ह्यूजेंस का सिद्धांत वास्तविकता का सटीक सूक्ष्म प्रतिनिधित्व है। उदाहरण के लिए, [[मेल्विन श्वार्ट्ज]] ने तर्क दिया कि ह्यूजेंस का सिद्धांत वास्तव में सही उत्तर देता है किन्तु गलत कारणों से।<ref name="MathPages" />
+सभी विशेषज्ञ इस कथन से सहमत नहीं हैं कि ह्यूजेंस का सिद्धांत वास्तविकता का त्रुटिहीन सूक्ष्म प्रतिनिधित्व है। उदाहरण के लिए, [[मेल्विन श्वार्ट्ज]] ने आर्ग्यूमेंट दिया कि ह्यूजेंस का सिद्धांत वास्तव में उचित उत्तर देता है किन्तु अनुचित कारणों से।<ref name="MathPages" />
-इसे निम्नलिखित तथ्यों में परिलक्षित किया जा सकता है:
+इसे निम्नलिखित तथ्यों में परिलक्षित किया जा सकता है-
-* सामान्य रूप से फोटॉन और उत्सर्जन बनाने के लिए सूक्ष्म यांत्रिकी अनिवार्य रूप से इलेक्ट्रॉनों का त्वरण है।<ref name="MathPages" />* ह्यूजेंस का मूल विश्लेषण<ref name="Huygens">{{cite web | title=हुय्गेंस| website=Archive.org | url=https://archive.org/details/treatiseonlight031310mbp/page/n71/mode/2up | access-date=2020-07-02}}</ref> केवल आयाम शामिल हैं। इसमें न तो चरण शामिल हैं और न ही अलग-अलग गति से फैलने वाली तरंगें (निरंतर मीडिया के भीतर विवर्तन के कारण), और इसलिए यह हस्तक्षेप को ध्यान में नहीं रखता है।
+* फोटॉन बनाने के लिए सूक्ष्म यांत्रिकी अनिवार्य रूप से इलेक्ट्रॉनों का त्वरण है।<ref name="MathPages" /> ह्यूजेंस के मूल विश्लेषण<ref name="Huygens">{{cite web | title=हुय्गेंस| website=Archive.org | url=https://archive.org/details/treatiseonlight031310mbp/page/n71/mode/2up | access-date=2020-07-02}}</ref> में केवल आयाम सम्मिलित हैं। इसमें न तो चरण सम्मिलित हैं और न ही विभिन्न गति से प्रसारित तरंगें (मीडिया के भीतर विवर्तन के कारण) और इसलिए यह व्यतिकरण को ध्यान में नहीं रखता है।
-* ह्यूजेंस विश्लेषण में प्रकाश के लिए ध्रुवीकरण भी शामिल नहीं है जो एक सदिश क्षमता को दर्शाता है, जहां इसके बजाय ध्वनि तरंगों को एक स्केलर क्षमता के साथ वर्णित किया जा सकता है और दोनों के बीच कोई अद्वितीय और प्राकृतिक अनुवाद नहीं है।<ref name="TheoryOfHuygens">{{cite web | title=ह्यूजेंस का सिद्धांत|website=Archive.org |year=1939 | url=https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.84565 }}</ref>
+* ह्यूजेंस विश्लेषण में प्रकाश के लिए ध्रुवीकरण भी सम्मिलित नहीं है जो सदिश पोटेंशियल को दर्शाता है, जहां इसके अतिरिक्त ध्वनि तरंगों को स्केलर पोटेंशियल के साथ वर्णित किया जा सकता है और दोनों के मध्य कोई अद्वितीय और प्राकृतिक अनुवाद नहीं है।<ref name="TheoryOfHuygens">{{cite web | title=ह्यूजेंस का सिद्धांत|website=Archive.org |year=1939 | url=https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.84565 }}</ref>
-* क्रिस्टियान ह्यूजेंस के विवरण में, इस बात का कोई स्पष्टीकरण नहीं है कि हम केवल आगे जाने वाली (लहर की [[मंद लहर]] या लहर मोर्चों का आगे का लिफाफा) बनाम पिछड़े-प्रचारित [[उन्नत लहर]] (पिछड़ा लिफाफा) का चयन क्यों करते हैं।<ref name="TheoryOfHuygens"/>* फ्रेस्नेल सन्निकटन में विभिन्न चरणों के साथ वृताकार तरंगों के योग के कारण गैर-स्थानीय व्यवहार की एक अवधारणा है जो लहर के मोर्चे के विभिन्न बिंदुओं से आती है, और गैर-स्थानीय सिद्धांत कई बहस का विषय हैं (जैसे, लोरेंत्ज़ नहीं होना) सहप्रसरण) और सक्रिय अनुसंधान।{{Citation needed|date=November 2022}}
+* ह्यूजेंस के विवरण में इस कथन की कोई व्याख्या नहीं है कि हम मात्र अग्रगामी ([[मंद लहर|मंद]] [[उन्नत लहर|तरंग]]) के प्रति पश्चगामी प्रसार वाली [[उन्नत लहर|उन्नत तरंग]] का चयन क्यों करते हैं।<ref name="TheoryOfHuygens"/>
-* फ्रेस्नेल सन्निकटन की व्याख्या क्वांटम संभाव्य तरीके से की जा सकती है किन्तु यह स्पष्ट नहीं है कि राज्यों का यह योग कितना है (अर्थात, वेवफ्रंट पर वेवलेट्स) एक पूर्ण ऑर्थोनॉर्मल आधार है जो भौतिक रूप से अर्थपूर्ण है या सामान्य ऑर्थोनॉर्मल आधार पर एक सन्निकटन का अधिक प्रतिनिधित्व करता है जैसे परमाणु ऑर्बिटल्स (एलसीएओ) विधि के रैखिक संयोजन में।
+*फ्रेस्नेल सन्निकटन में विभिन्न चरणों के साथ वृताकार तरंगों के योग के कारण अस्थानीय व्यवहार की अवधारणा है जो तरंगाग्र के विभिन्न बिंदुओं से आती है और अस्थानीय सिद्धांत विभिन्न वाद और सक्रिय शोध का विषय है।{{Citation needed|date=November 2022}}
+* फ्रेस्नेल सन्निकटन की व्याख्या क्वांटम संभाव्य विधि द्वारा की जा सकती है। परमाणु ऑर्बिटल्स (एलसीएओ) विधि के रैखिक संयोजन की भाँति सामान्य आधार पर सन्निकटन का अधिक प्रतिनिधित्व करता है।
-[[ एस मैट्रिक्स ]] में ह्यूजेंस का सिद्धांत अनिवार्य रूप से क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के साथ संगत है, बिखरने के केंद्र में [[प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत]] पर विचार करते हुए, छोटे गड़बड़ी पर विचार करते हुए, और इसी अर्थ में कि [[ क्वांटम प्रकाशिकी ]] [[शास्त्रीय प्रकाशिकी]] के साथ संगत है, अन्य व्याख्याएं विषय हैं बहस और सक्रिय अनुसंधान।
+ह्यूजेंस का सिद्धांत [[ एस मैट्रिक्स |एस मैट्रिक्स]] में क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के साथ अनिवार्य रूप से संगत है, प्रकीर्णन के केंद्र में  [[प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत]] पर विचार करते हुए [[ क्वांटम प्रकाशिकी |क्वांटम प्रकाशिकी]] [[शास्त्रीय प्रकाशिकी]] के साथ संगत है, अन्य व्याख्याएं अनुशय और सक्रिय शोध का विषय हैं।
-फेनमैन मॉडल जहां कमरे के रूप में बड़े काल्पनिक तरंग मोर्चे में प्रत्येक बिंदु एक तरंगिका उत्पन्न कर रहा है, इन अनुमानों में भी व्याख्या की जाएगी <ref name="LosAlamos">{{cite web  | url=https://books.google.com/books?id=JiVVAAAAMAAJ&q=what+if+you+cover+every+single+point+in+space+with+double+slit+feynman%22&pg=PR12|title = लॉस एलामोस साइंस|year = 2002}}</ref> और संभाव्यता के संदर्भ में, इस संदर्भ में दूरस्थ बिंदु समग्र संभाव्यता आयाम में केवल न्यूनतम योगदान कर सकते हैं।
+फेनमैन मॉडल काल्पनिक तरंगाग्र में प्रत्येक बिंदु तरंगिका उत्पन्न करता है,<ref name="LosAlamos">{{cite web  | url=https://books.google.com/books?id=JiVVAAAAMAAJ&q=what+if+you+cover+every+single+point+in+space+with+double+slit+feynman%22&pg=PR12|title = लॉस एलामोस साइंस|year = 2002}}</ref> और इस संभावित संदर्भ में दूरस्थ बिंदु केवल समग्र संभाव्यता आयाम में न्यूनतम योगदान दे सकते हैं।
-क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में फोटॉन निर्माण के लिए कोई सूक्ष्म मॉडल शामिल नहीं है और एकल फोटॉन की अवधारणा को भी सैद्धांतिक स्तर पर जांच के दायरे में रखा गया है।
+क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में फोटॉन निर्माण के लिए कोई सूक्ष्म मॉडल सम्मिलित नहीं है और एकल फोटॉन की अवधारणा को भी सैद्धांतिक स्तर पर अन्वेषण में रखा गया है।
 == सिद्धांत की गणितीय अभिव्यक्ति ==
-[[File:Huygens-Fresnel BW.svg|thumb|300px|right|फ्रेस्नेल की गणना के लिए ज्यामितीय व्यवस्था]]बिंदु P पर स्थित बिंदु स्रोत के मामले पर विचार करें<sub>0</sub>, एक [[आवृत्ति]] f पर कंपन। गड़बड़ी को एक जटिल चर यू द्वारा वर्णित किया जा सकता है<sub>0</sub> [[जटिल आयाम]] के रूप में जाना जाता है। यह [[तरंग दैर्ध्य]] λ, तरंग संख्या के साथ एक वृताकार तरंग उत्पन्न करता है {{math|''k'' {{=}} 2''&pi;''/''&lambda;''}}. समानुपातिकता के एक स्थिरांक के भीतर, ''r'' दूरी पर स्थित बिंदु Q पर प्राथमिक तरंग का जटिल आयाम<sub>0</sub> पी से<sub>0</sub> है:
+[[File:Huygens-Fresnel BW.svg|thumb|300px|right|फ्रेस्नेल की गणना के लिए ज्यामितीय व्यवस्था]]बिंदु P<sub>0</sub> पर स्थित बिंदु स्रोत की स्तिथि पर विचार करें जो [[आवृत्ति]] f पर कंपन करता है। डिस्टर्बेंस को जटिल चर U<sub>0</sub> द्वारा वर्णित किया जा सकता है जिसे [[जटिल आयाम]] के रूप में जाना जाता है। यह [[तरंग दैर्ध्य]] λ, तरंग संख्या के साथ वृताकार तरंग {{math|''k'' {{=}} 2''&pi;''/''&lambda;''}} उत्पन्न करती है। आनुपातिकता के स्थिरांक के भीतर P<sub>0</sub> से दूरी r<sub>0</sub> पर स्थित बिंदु Q पर प्राथमिक तरंग का जटिल आयाम है-
 :<math>U(r_0) \propto \frac {U_0 e^{ikr_0}}{r_0}. </math>
-ध्यान दें कि [[आयाम]] तय की गई दूरी के व्युत्क्रमानुपाती में घटता है, और तय की गई दूरी के k गुना के रूप में चरण बदलता है।
+ध्यान दें कि [[आयाम]] निर्धारित दूरी के व्युत्क्रमानुपाती में कम होता है, और निर्धारित दूरी के k गुना के रूप में चरण परिवर्तित होता है।
-ह्यूजेन्स के सिद्धांत और तरंगों के सुपरपोज़िशन सिद्धांत का उपयोग करके, एक और बिंदु 'पी' पर जटिल आयाम योगदान को जोड़कर पाया जाता है
+ह्यूजेंस के सिद्धांत और तरंगों के सुपरपोजिशन के सिद्धांत का उपयोग करके बिंदु P पर जटिल आयाम त्रिज्या r<sub>0</sub> के क्षेत्र पर प्रत्येक बिंदु से योगदान को जोड़कर अन्य बिंदु प्राप्त होता है।
- त्रिज्या r के गोले पर प्रत्येक बिंदु से<sub>0</sub>. प्रायोगिक परिणामों के साथ समझौता करने के लिए, फ्रेस्नेल ने पाया कि गोले पर द्वितीयक तरंगों से व्यक्तिगत योगदान को एक स्थिर, -i/λ और एक अतिरिक्त झुकाव कारक, K(χ) से गुणा किया जाना था। पहली धारणा का अर्थ है कि द्वितीयक तरंगें प्राथमिक तरंग के संबंध में चरण के बाहर एक चक्र के एक चौथाई पर दोलन करती हैं, और यह कि द्वितीयक तरंगों का परिमाण 1: λ के प्राथमिक तरंग के अनुपात में होता है। उन्होंने यह भी माना कि K(χ) का अधिकतम मूल्य था जब χ = 0, और शून्य के बराबर था जब χ = π/2, जहां χ प्राथमिक तरंग मोर्चे के सामान्य और माध्यमिक तरंग मोर्चे के सामान्य के बीच का कोण है। . द्वितीयक तरंगों के योगदान के कारण 'P' पर जटिल आयाम तब दिया जाता है:<ref name = "फूरियर ऑप्टिक्स का परिचय">{{cite book|author=J. Goodman|year=2005|title=फूरियर ऑप्टिक्स का परिचय|edition=3rd|publisher=Roberts & Co Publishers|isbn=978-0-9747077-2-3|url= https://books.google.com/books?id=ow5xs_Rtt9AC}}</ref>
+प्रयोगात्मक परिणामों के साथ निष्कर्ष के लिए फ्रेस्नेल ने अन्वेषित किया कि वृत पर द्वितीयक तरंगों से विभिन्न योगदान को स्थिर -i/λ और झुकाव कारक K(χ) से गुणा किया जाना था। प्रथम धारणा का अर्थ है कि द्वितीयक तरंगें प्राथमिक तरंग के संबंध में चरण के बाहर चक्र के चतुर्थांश पर दोलन करती हैं और द्वितीयक तरंगों का परिमाण 1: λ के प्राथमिक तरंग के अनुपात में होता है। उन्होंने यह भी माना कि χ = 0 होने पर K(χ) का अधिकतम मूल्य था और χ = π/2 होने पर शून्य के समान था जहां χ प्राथमिक तरंगाग्र और द्वितीयक तरंगाग्र के मध्य का कोण है। द्वितीयक तरंगों के योगदान के कारण 'P' पर जटिल आयाम है-<ref name="फूरियर ऑप्टिक्स का परिचय">{{cite book|author=J. Goodman|year=2005|title=फूरियर ऑप्टिक्स का परिचय|edition=3rd|publisher=Roberts & Co Publishers|isbn=978-0-9747077-2-3|url= https://books.google.com/books?id=ow5xs_Rtt9AC}}</ref>
 :<math> U(P) = -\frac{i}{\lambda} U(r_0) \int_{S} \frac {e^{iks}}{s} K(\chi)\,dS </math>
-जहाँ S गोले की सतह का वर्णन करता है, और s 'Q' और 'P' के बीच की दूरी है।
+जहाँ S वृत की सतह का वर्णन करता है, और s 'Q' और 'P' के मध्य की दूरी है।
-विभिन्न क्षेत्रों के लिए K के अनुमानित मान ज्ञात करने के लिए फ्रेस्नेल ने एक ज़ोन निर्माण विधि का उपयोग किया,<ref name="Born and Wolf"/>जिसने उन्हें प्रायोगिक परिणामों के अनुरूप भविष्यवाणियां करने में सक्षम बनाया। [[किरचॉफ अभिन्न प्रमेय]] में ह्यूजेंस-फ्रेस्नेल सिद्धांत का मूल विचार शामिल है। किरचॉफ ने दिखाया कि कई मामलों में, प्रमेय को एक सरल रूप में अनुमानित किया जा सकता है जो फ्रेस्नेल के सूत्रीकरण के गठन के बराबर है।<ref name="Born and Wolf"/>
+फ्रेस्नेल ने विभिन्न क्षेत्रों के लिए K के अनुमानित मानों के शोधन के लिए ज़ोन निर्माण विधि का उपयोग किया<ref name="Born and Wolf"/>, जिससे उन्हें भविष्यवाणियां करने में सहायता प्राप्त हुई जो प्रयोगात्मक परिणामों के अनुरूप थीं। [[किरचॉफ अभिन्न प्रमेय]] में ह्यूजेंस-फ्रेस्नेल सिद्धांत का मूल विचार सम्मिलित है। किरचॉफ ने दर्शाया कि विभिन्न स्तिथियों में, प्रमेय को सरल रूप में अनुमानित किया जा सकता है जो फ्रेस्नेल के सूत्रीकरण के गठन के समान है।<ref name="Born and Wolf"/>
-एक विस्तारित वृताकार तरंग से मिलकर एपर्चर रोशनी के लिए, यदि लहर की वक्रता का त्रिज्या पर्याप्त रूप से बड़ा है, तो किरचॉफ ने के (χ) के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति दी:<ref name="Born and Wolf"/>:<math>~K(\chi )= \frac{1}{2}(1+\cos \chi)</math>
+यदि तरंग की वक्रता की त्रिज्या पर्याप्त रूप से बड़ी है, तो एकल विस्तारित वृताकार तरंग से युक्त एपर्चर प्रकाश के लिए किरचॉफ ने K(χ) के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति दी है<ref name="Born and Wolf"/>- <math>~K(\chi )= \frac{1}{2}(1+\cos \chi)</math>
-K का अधिकतम मान χ = 0 पर है जैसा कि ह्यूजेंस-फ्रेस्नेल सिद्धांत में है; चूँकि, χ = π/2 पर K शून्य के बराबर नहीं है, किन्तु χ = π पर।
-K(χ) की उपरोक्त व्युत्पत्ति ने मान लिया कि विवर्तक छिद्र वक्रता के पर्याप्त बड़े त्रिज्या के साथ एकल वृताकार तरंग द्वारा प्रदीप्त होता है। चूँकि, सिद्धांत अधिक सामान्य रोशनी के लिए है।<ref name="Introduction to Fourier Optics"/>एक मनमाने ढंग से रोशनी को बिंदु स्रोतों के संग्रह में विघटित किया जा सकता है, और तरंग समीकरण की रैखिकता को व्यक्तिगत रूप से प्रत्येक बिंदु स्रोत पर सिद्धांत लागू करने के लिए लागू किया जा सकता है। के (χ) आम तौर पर व्यक्त किया जा सकता है:<ref name="Introduction to Fourier Optics"/>
+K का अधिकतम मान χ = 0 पर है जैसा कि ह्यूजेंस-फ्रेस्नेल सिद्धांत में है, चूँकि K = π/2 पर शून्य के समान नहीं है, किन्तु χ = π पर है।
+K(χ) की उपरोक्त व्युत्पत्ति ने स्वीकार किया कि विवर्तक छिद्र वक्रता के पर्याप्त बड़े त्रिज्या के साथ एकल वृताकार तरंग द्वारा प्रदीप्त होता है। चूँकि, सिद्धांत अधिक सामान्य प्रकाश के लिए है।<ref name="Introduction to Fourier Optics" /> आर्बिटरी रूप से प्रकाश को बिंदु स्रोतों के संग्रह में विघटित किया जा सकता है, और तरंग समीकरण की रैखिकता को व्यक्तिगत रूप से प्रत्येक बिंदु स्रोत पर सिद्धांत के लिए प्रस्तावित किया जा सकता है। K(χ) को सामान्यतः व्यक्त किया जा सकता है-<ref name="Introduction to Fourier Optics" />
 :<math>~K(\chi )= \cos \chi</math>
-इस मामले में, K ऊपर बताई गई शर्तों को पूरा करता है (χ = 0 पर अधिकतम मान और χ = π/2 पर शून्य)।
+इस स्तिथि में, K ऊपर वर्णित स्तिथियों को पूर्ण करता है (χ = 0 पर अधिकतम मान और χ = π/2 पर शून्य प्राप्त होता है)।
 == सामान्यीकृत ह्यूजेंस का सिद्धांत ==
-कई किताबें और संदर्भ उदा।<ref name="Greiner">{{cite book | author=Greiner W. | title= क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स| publisher=Springer, 2002}}</ref> और <ref name="Enders">{{cite journal |last1=Enders |first1=Peter |title=प्रसार के सार्वभौम मॉडल के रूप में ह्यूजेंस का सिद्धांत|journal=Latin-American Journal of Physics Education |date=2009 |volume=3 |issue=1 |pages=19–32 |url=http://lajpe.org/jan09/04_Peter_Enders.pdf }}</ref> इस प्रकाशन में [[फेनमैन]] द्वारा संदर्भित सामान्यीकृत ह्यूजेन्स सिद्धांत का संदर्भ लें।<ref name="Fey1">{{cite journal |last1=Feynman |first1=R. P. |title=गैर-सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी के लिए स्पेस-टाइम दृष्टिकोण|journal=Reviews of Modern Physics |date=1 April 1948 |volume=20 |issue=2 |pages=367–387 |doi=10.1103/RevModPhys.20.367 |bibcode=1948RvMP...20..367F |url=https://resolver.caltech.edu/CaltechAUTHORS:20140731-165931911 }}</ref>
+विभिन्न पुस्तकों<ref name="Greiner">{{cite book | author=Greiner W. | title= क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स| publisher=Springer, 2002}}</ref> और उदाहरणों में<ref name="Enders">{{cite journal |last1=Enders |first1=Peter |title=प्रसार के सार्वभौम मॉडल के रूप में ह्यूजेंस का सिद्धांत|journal=Latin-American Journal of Physics Education |date=2009 |volume=3 |issue=1 |pages=19–32 |url=http://lajpe.org/jan09/04_Peter_Enders.pdf }}</ref> [[फेनमैन]] द्वारा संदर्भित सामान्यीकृत ह्यूजेन्स सिद्धांत का संदर्भ है।<ref name="Fey1">{{cite journal |last1=Feynman |first1=R. P. |title=गैर-सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी के लिए स्पेस-टाइम दृष्टिकोण|journal=Reviews of Modern Physics |date=1 April 1948 |volume=20 |issue=2 |pages=367–387 |doi=10.1103/RevModPhys.20.367 |bibcode=1948RvMP...20..367F |url=https://resolver.caltech.edu/CaltechAUTHORS:20140731-165931911 }}</ref>
-फेनमैन सामान्यीकृत सिद्धांत को निम्नलिखित तरीके से परिभाषित करता है:
-{{bquote| "Actually Huygens’ principle is not correct in optics. It is replaced by Kirchoff’s [sic] modification which requires that both the amplitude and its derivative must be known on the adjacent surface. This is a consequence of the fact that the wave equation in optics is second order in the time. The wave equation of quantum mechanics is first order in the time; therefore, Huygens’ principle is correct for matter waves, action replacing time."}}
+फेनमैन सामान्यीकृत सिद्धांत को निम्नलिखित रूप से परिभाषित करता है:
+{{bquote| "वास्तव में ह्यूजेंस का सिद्धांत प्रकाशिकी में उचित नहीं है। इसे किरचॉफ के संशोधन द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है जिसके लिए आवश्यक है कि आसन्न सतह पर आयाम और इसके व्युत्पन्न दोनों ज्ञात हों। यह इस तथ्य का परिणाम है कि प्रकाशिकी में तरंग समीकरण समय में द्वितीय क्रम का है। क्वांटम यांत्रिकी का तरंग समीकरण उस समय का प्रथम क्रम है; इसलिए ह्यूजेंस का सिद्धांत समय के स्थान पर पदार्थ तरंगों की क्रिया के लिए उचित है।"}}
-यह इस तथ्य को स्पष्ट करता है कि इस संदर्भ में सामान्यीकृत सिद्धांत क्वांटम यांत्रिकी की रैखिकता को दर्शाता है और तथ्य यह है कि क्वांटम यांत्रिकी समीकरण समय में पहले क्रम के होते हैं। अंत में केवल इस मामले में सुपरपोज़िशन सिद्धांत पूरी तरह से लागू होता है, यानी एक बिंदु P में वेव फ़ंक्शन को P को घेरने वाली बॉर्डर सतह पर तरंगों के सुपरपोज़िशन के रूप में विस्तारित किया जा सकता है। वेव फ़ंक्शंस की व्याख्या सामान्य क्वांटम मैकेनिकल अर्थ में संभाव्यता घनत्व के रूप में की जा सकती है जहाँ ग्रीन के कार्य की औपचारिकता (बहु-निकाय सिद्धांत) | ग्रीन के कार्य और [[प्रचारक]] लागू होते हैं। ध्यान देने योग्य बात यह है कि यह सामान्यीकृत सिद्धांत पदार्थ तरंगों के लिए लागू होता है न कि प्रकाश तरंगों के लिए। [[क्रिया (भौतिकी)]] द्वारा दिए गए चरण कारक को अब स्पष्ट किया गया है और अब कोई भ्रम नहीं है कि वेवलेट्स के चरण मूल तरंग में से एक से अलग क्यों हैं और अतिरिक्त फ्रेस्नेल मापदंडों द्वारा संशोधित किए गए हैं।
+यह इस तथ्य को स्पष्ट करता है कि इस संदर्भ में सामान्यीकृत सिद्धांत क्वांटम यांत्रिकी की रैखिकता को दर्शाता है और तथ्य यह है कि क्वांटम यांत्रिकी समीकरण समय में प्रथम क्रम के होते हैं। अंत में मात्र इस स्तिथि में सुपरपोज़िशन सिद्धांत पूर्व रूप से प्रस्तावित होता है, अर्थात बिंदु P में तरंग फलन को P की बॉर्डर सतह पर तरंगों के सुपरपोज़िशन के रूप में विस्तारित किया जा सकता है। तरंग फलन की व्याख्या सामान्य क्वांटम यांत्रिक अर्थों में संभाव्यता घनत्व के रूप में की जा सकती है जहाँ ग्रीन के फलनों और [[प्रचारक|प्रचारकों]] की औपचारिकता प्रस्तावित होती है। यह सामान्यीकृत सिद्धांत पदार्थ तरंगों के लिए प्रस्तावित होता है। [[क्रिया (भौतिकी)]] द्वारा दिए गए चरण कारक को स्पष्ट किया गया है और अब कोई भ्रम नहीं है कि तरंगिका के चरण मूल तरंग से पृथक क्यों हैं और अतिरिक्त फ्रेस्नेल पैरामीटर द्वारा संशोधित किए गए हैं।
-ग्रीनर के अनुसार <ref name="Greiner"/>सामान्यीकृत सिद्धांत के लिए व्यक्त किया जा सकता है <math>t'>t </math> प्रपत्र में:
+ग्रीनर के अनुसार <ref name="Greiner" />सामान्यीकृत सिद्धांत को <math>t'>t </math> के रूप में व्यक्त किया जा सकता है-
 :<math>\psi'(\mathbf{x}',t') = i \int{}{}d^3x G(\mathbf{x}',t';\mathbf{x},t)\psi(\mathbf{x},t)</math>
-जहां जी सामान्य ग्रीन फ़ंक्शन है जो तरंग समारोह के समय में फैलता है <math>\psi</math>. यह विवरण शास्त्रीय मॉडल के प्रारंभिक फ्रेस्नेल के फार्मूले जैसा दिखता है और सामान्यीकरण करता है।
+जहाँ G सामान्य हरा फलन है जो समय के साथ तरंग फलन <math>\psi</math> का प्रसार करता है। यह विवरण शास्त्रीय मॉडल के प्रारंभिक फ्रेस्नेल का सूत्र है और सामान्यीकरण करता है।
-=== ह्यूजेंस का सिद्धांत, फेनमैन का पथ अभिन्न और आधुनिक फोटॉन वेव फंक्शन ===
+=== ह्यूजेंस का सिद्धांत, फेनमैन का पथ अभिन्न और आधुनिक फोटॉन तरंग फलन ===
-ह्यूजेंस के सिद्धांत ने प्रकाश के हस्तक्षेप की तरंग प्रकृति की एक मौलिक व्याख्या के रूप में कार्य किया और आगे फ्रेस्नेल और यंग द्वारा विकसित किया गया था, किन्तु 1909 में जीआई टेलर द्वारा पहली बार किए गए कम-तीव्रता वाले [[डबल-स्लिट प्रयोग]] जैसे सभी अवलोकनों को पूरी तरह से हल नहीं किया। यह था 1900 के शुरुआती और मध्य 1900 तक क्वांटम सिद्धांत पर चर्चा नहीं हुई, विशेष रूप से 1927 के ब्रसेल्स [[सोल्वे सम्मेलन]] में शुरुआती चर्चा, जहां [[लुइस डी ब्रोगली]] ने अपनी डी ब्रोगली परिकल्पना का प्रस्ताव दिया कि फोटॉन एक तरंग फ़ंक्शन द्वारा निर्देशित है।<ref>{{cite book|last1=Baggott|first1=Jim|title=क्वांटम कहानी|url=https://archive.org/details/quantumstoryhist00bagg|url-access=limited|date=2011|publisher=Oxford Press|isbn=978-0-19-965597-7|page=[https://archive.org/details/quantumstoryhist00bagg/page/n136 116]}}</ref> तरंग फलन एक डबल स्लिट प्रयोग में देखे गए प्रकाश और अंधेरे बैंडों की एक बहुत अलग व्याख्या प्रस्तुत करता है। इस अवधारणा में, फोटॉन एक पथ का अनुसरण करता है जो विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में कई संभावित पथों में से एक का संभाव्य विकल्प है। ये संभावित पथ पैटर्न बनाते हैं: अंधेरे क्षेत्रों में, कोई फोटॉन नहीं उतर रहे हैं, और उज्ज्वल क्षेत्रों में, कई फोटॉन उतर रहे हैं। संभावित फोटॉन पथों का सेट रिचर्ड फेनमैन के पथ अभिन्न सिद्धांत के अनुरूप है, पथ परिवेश द्वारा निर्धारित: फोटॉन का मूल बिंदु (परमाणु), भट्ठा, और स्क्रीन और चरणों को ट्रैक और योग करके। तरंग फलन इस ज्यामिति का एक हल है। 1970 और 1980 के दशक में इटली और जापान में इलेक्ट्रॉनों के साथ अतिरिक्त डबल-स्लिट प्रयोगों द्वारा वेव फंक्शन दृष्टिकोण का समर्थन किया गया था।<ref>{{cite web|last1=Peter|first1=Rodgers|title=डबल-स्लिट प्रयोग|url=https://physicsworld.com/a/the-double-slit-experiment/|website=www.physicsworld.com|publisher=Physics World|access-date=10 Sep 2018|date=September 2002}}</ref>
+ह्यूजेंस के सिद्धांत ने प्रकाश व्यतिकरण की तरंग प्रकृति की मूल व्याख्या के रूप में कार्य किया और फ्रेस्नेल और यंग द्वारा अग्र विकसित किया गया था, किन्तु 1909 में सर्वप्रथम जी.आई. टेलर द्वारा किए गए कम-तीव्रता वाले [[डबल-स्लिट प्रयोग]] जैसे सभी अवलोकनों को पूर्ण रूप से हल नहीं किया गया था। यह 1900 के प्रारम्भ और मध्य तक नहीं था कि क्वांटम सिद्धांत विशेष रूप से 1927 ब्रसेल्स सोल्वे सम्मेलन में प्रारंभिक वर्णन था जहां लुइस डी ब्रोगली ने अपनी डी ब्रोगली परिकल्पना का प्रस्ताव दिया था कि फोटॉन तरंग फलन द्वारा निर्देशित है।<ref>{{cite book|last1=Baggott|first1=Jim|title=क्वांटम कहानी|url=https://archive.org/details/quantumstoryhist00bagg|url-access=limited|date=2011|publisher=Oxford Press|isbn=978-0-19-965597-7|page=[https://archive.org/details/quantumstoryhist00bagg/page/n136 116]}}</ref> तरंग फलन डबल स्लिट प्रयोग में अवलोकित प्रकाश और डार्क बैंडों की भिन्न व्याख्या प्रस्तुत करता है। इस अवधारणा में, फोटॉन पथ का अनुसरण करता है जो विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में विभिन्न संभावित पथों में संभाव्य विकल्प है। ये संभावित पथ डार्क क्षेत्रों में पैटर्न बनाते हैं जिसमें विभिन्न नहीं फोटॉन होते हैं और उज्ज्वल क्षेत्रों में विभिन्न फोटॉन होते हैं। संभावित फोटॉन पथों का सेट रिचर्ड फेनमैन के पथ अभिन्न सिद्धांत के अनुरूप होते है, पथ फोटॉन के मूल बिंदु (परमाणु) के निकट स्लिट, स्क्रीन, ट्रैकिंग और योग चरणों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। तरंग फलन इस ज्यामिति का हल है। 1970 और 1980 में इटली और जापान में इलेक्ट्रॉनों के साथ अतिरिक्त डबल-स्लिट प्रयोगों द्वारा वेव फंक्शन दृष्टिकोण का समर्थन किया गया था।<ref>{{cite web|last1=Peter|first1=Rodgers|title=डबल-स्लिट प्रयोग|url=https://physicsworld.com/a/the-double-slit-experiment/|website=www.physicsworld.com|publisher=Physics World|access-date=10 Sep 2018|date=September 2002}}</ref>
 === ह्यूजेंस का सिद्धांत और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत ===
-ह्यूजेंस के सिद्धांत को अंतरिक्ष के [[सजातीय स्थान]] के परिणाम के रूप में देखा जा सकता है - अंतरिक्ष सभी स्थानों में एक समान है।<ref name="veselov"/>सजातीय स्थान (या एक सजातीय माध्यम में) के पर्याप्त छोटे क्षेत्र में उत्पन्न कोई भी गड़बड़ी उस क्षेत्र से सभी भूगर्भीय दिशाओं में फैलती है। इस विक्षोभ से उत्पन्न तरंगें, बदले में, अन्य क्षेत्रों में विक्षोभ पैदा करती हैं, इत्यादि। सभी तरंगों के सुपरपोज़िशन सिद्धांत के परिणामस्वरूप तरंग प्रसार का अवलोकन किया गया पैटर्न होता है।
+ह्यूजेंस के सिद्धांत को अंतरिक्ष के [[सजातीय स्थान]] के परिणाम के रूप में देखा जा सकता है - अंतरिक्ष सभी स्थानों में समान है।<ref name="veselov"/>सजातीय स्थान (या सजातीय माध्यम में) के पर्याप्त छोटे क्षेत्र में उत्पन्न कोई भी विक्षोभ उस क्षेत्र से सभी भूगर्भीय दिशाओं में विस्तृत होता है। इस विक्षोभ से उत्पन्न तरंगें अन्य क्षेत्रों आदि में विक्षोभ उत्पन्न करती हैं। सभी तरंगों के सुपरपोज़िशन सिद्धांत के परिणामस्वरूप तरंग प्रसार का अवलोकन किया गया पैटर्न होता है।
-अंतरिक्ष की एकरूपता क्वांटम फील्ड थ्योरी (क्यूएफटी) के लिए मौलिक है जहां किसी भी वस्तु का तरंग कार्य सभी उपलब्ध अबाधित पथों के साथ फैलता है। जब विभाजन कार्य ([[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]]), क्रिया (भौतिकी) के आनुपातिक चरण (तरंगों) कारक के साथ, तरंग-कार्यों का हस्तक्षेप सही ढंग से देखने योग्य घटनाओं की भविष्यवाणी करता है। वेवफ्रंट पर प्रत्येक बिंदु द्वितीयक तरंगों के स्रोत के रूप में कार्य करता है जो प्रकाश शंकु में तरंग के समान गति से फैलता है। नया तरंगाग्र द्वितीयक तरंगिकाओं के सतह स्पर्शरेखा का निर्माण करके पाया जाता है।
+अंतरिक्ष की एकरूपता क्वांटम फील्ड थ्योरी (क्यूएफटी) के लिए वास्तविक है जहां किसी भी वस्तु का तरंग फलन अबाधित पथों के साथ विस्तृत होता है। जब पार्टीशन फलन ([[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]]), क्रिया (भौतिकी) के आनुपातिक चरण (तरंगों) कारक के साथ, तरंग-फलन का व्यतिकरण उचित रूप से घटनाओं की भविष्यवाणी करता है। तरंगाग्र पर प्रत्येक बिंदु द्वितीयक तरंगों के स्रोत के रूप में कार्य करता है जो प्रकाश शंकु में तरंग की समान गति से विस्तृत होता है। नया तरंगाग्र द्वितीयक तरंगिकाओं की सतह स्पर्शरेखा का निर्माण करके प्राप्त किया जा सकता है।
 == अन्य स्थानिक आयामों में ==
-में, [[जैक्स हैडमार्ड]] ने देखा कि ह्यूजेंस का सिद्धांत तब टूट गया था जब स्थानिक आयामों की संख्या सम थी।<ref>{{cite web |first=Alexander P. |last=Veselov |url=http://www.lboro.ac.uk/microsites/maths/research/preprints/papers02/02-49.pdf |title=ह्यूजेंस का सिद्धांत|archive-url=https://web.archive.org/web/20160221215126/http://www.lboro.ac.uk/microsites/maths/research/preprints/papers02/02-49.pdf |archive-date=2016-02-21 |date=2002 }}</ref><ref>{{cite web |url=https://web.stanford.edu/class/math220a/handouts/waveequation3.pdf |title=उच्च आयामों में तरंग समीकरण|publisher=Stanford University |work=Math 220a class notes }}</ref><ref>{{cite journal |first1=M. |last1=Belger |first2=R. |last2=Schimming |first3=V. |last3=Wünsch |title=ह्यूजेंस के सिद्धांत पर एक सर्वेक्षण|journal=Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen |volume=16 |issue=1 |date=1997 |pages=9–36 |doi=10.4171/ZAA/747 |doi-access=free }}</ref> इससे उन्होंने अनुमानों का एक समूह विकसित किया जो अनुसंधान का एक सक्रिय विषय बना हुआ है।<ref>{{cite journal |first=Leifur |last=Ásgeirsson |author-link=Leifur Ásgeirsson |title=ह्यूजेन्स के सिद्धांत और हैडमार्ड के अनुमान पर कुछ संकेत|journal=Communications on Pure and Applied Mathematics |volume=9 |issue=3 |pages=307–326 |date=1956 |doi=10.1002/cpa.3160090304 }}</ref><ref>{{cite journal |first=Paul |last=Günther |title=ह्यूजेंस का सिद्धांत और हैडमार्ड का अनुमान|journal=The Mathematical Intelligencer |date=1991 |volume=13 |issue=2 |pages=56–63 |doi=10.1007/BF03024088 |s2cid=120446795 }}</ref> विशेष रूप से, यह पता चला है कि ह्यूजेंस का सिद्धांत [[कॉक्सेटर समूह]] से प्राप्त सजातीय रिक्त स्थान के एक बड़े वर्ग पर आधारित है (इसलिए, उदाहरण के लिए, सरल लाई बीजगणित के [[वेइल समूह]])।<ref name="veselov">{{cite journal |first=Alexander P. |last=Veselov |title=ह्यूजेंस का सिद्धांत और इंटीग्रेबल सिस्टम|journal=Physica D: Nonlinear Phenomena |volume=87 |issue=1–4 |year=1995 |pages=9–13 |doi=10.1016/0167-2789(95)00166-2 |bibcode=1995PhyD...87....9V }}</ref><ref>{{cite journal |first1=Yu. Yu. |last1=Berest |first2=A. P. |last2=Veselov |title=Hadamard's problem and Coxeter groups: New examples of Huygens' equations |journal=Functional Analysis and Its Applications |date=1994 |volume=28 |issue=1 |pages=3–12 |doi=10.1007/BF01079005 |s2cid=121842251 }}</ref>
+में, [[जैक्स हैडमार्ड]] ने अवलोकित किया कि ह्यूजेंस का सिद्धांत तब विभक्त हो गया था जब स्थानिक आयामों की संख्या सम थी।<ref>{{cite web |first=Alexander P. |last=Veselov |url=http://www.lboro.ac.uk/microsites/maths/research/preprints/papers02/02-49.pdf |title=ह्यूजेंस का सिद्धांत|archive-url=https://web.archive.org/web/20160221215126/http://www.lboro.ac.uk/microsites/maths/research/preprints/papers02/02-49.pdf |archive-date=2016-02-21 |date=2002 }}</ref><ref>{{cite web |url=https://web.stanford.edu/class/math220a/handouts/waveequation3.pdf |title=उच्च आयामों में तरंग समीकरण|publisher=Stanford University |work=Math 220a class notes }}</ref><ref>{{cite journal |first1=M. |last1=Belger |first2=R. |last2=Schimming |first3=V. |last3=Wünsch |title=ह्यूजेंस के सिद्धांत पर एक सर्वेक्षण|journal=Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen |volume=16 |issue=1 |date=1997 |pages=9–36 |doi=10.4171/ZAA/747 |doi-access=free }}</ref> इससे उन्होंने अनुमानों का समूह विकसित किया जो अनुसंधान का सक्रिय विषय बना हुआ है।<ref>{{cite journal |first=Leifur |last=Ásgeirsson |author-link=Leifur Ásgeirsson |title=ह्यूजेन्स के सिद्धांत और हैडमार्ड के अनुमान पर कुछ संकेत|journal=Communications on Pure and Applied Mathematics |volume=9 |issue=3 |pages=307–326 |date=1956 |doi=10.1002/cpa.3160090304 }}</ref><ref>{{cite journal |first=Paul |last=Günther |title=ह्यूजेंस का सिद्धांत और हैडमार्ड का अनुमान|journal=The Mathematical Intelligencer |date=1991 |volume=13 |issue=2 |pages=56–63 |doi=10.1007/BF03024088 |s2cid=120446795 }}</ref> विशेष रूप से, यह ज्ञात हुआ है कि ह्यूजेंस का सिद्धांत [[कॉक्सेटर समूह]] से प्राप्त सजातीय रिक्त स्थान के बड़े वर्ग पर आधारित है (इसलिए, उदाहरण के लिए, सरल लाई बीजगणित के [[वेइल समूह]] है)।<ref name="veselov">{{cite journal |first=Alexander P. |last=Veselov |title=ह्यूजेंस का सिद्धांत और इंटीग्रेबल सिस्टम|journal=Physica D: Nonlinear Phenomena |volume=87 |issue=1–4 |year=1995 |pages=9–13 |doi=10.1016/0167-2789(95)00166-2 |bibcode=1995PhyD...87....9V }}</ref><ref>{{cite journal |first1=Yu. Yu. |last1=Berest |first2=A. P. |last2=Veselov |title=Hadamard's problem and Coxeter groups: New examples of Huygens' equations |journal=Functional Analysis and Its Applications |date=1994 |volume=28 |issue=1 |pages=3–12 |doi=10.1007/BF01079005 |s2cid=121842251 }}</ref>
-डी'अलेम्बर्टियन के लिए ह्यूजेंस के सिद्धांत का पारंपरिक बयान [[केडीवी पदानुक्रम]] को जन्म देता है; समान रूप से, [[डायराक ऑपरेटर]] [[ अकंस ]]एस पदानुक्रम को जन्म देता है।<ref>{{cite journal |first1=Fabio A. C. C. |last1=Chalub |first2=Jorge P. |last2=Zubelli |title=हाइपरबोलिक ऑपरेटरों और एकीकृत पदानुक्रमों के लिए ह्यूजेंस का सिद्धांत|journal=Physica D: Nonlinear Phenomena |volume=213 |issue=2 |date=2006 |pages=231–245 |doi=10.1016/j.physd.2005.11.008 |bibcode=2006PhyD..213..231C }}</ref><ref>{{cite journal |first1=Yuri Yu. |last1=Berest |first2=Igor M. |last2=Loutsenko |title=मिन्कोव्स्की स्पेस में ह्यूजेंस का सिद्धांत और कॉर्टेवेग-डे व्रीस समीकरण का सोलिटॉन समाधान|journal=Communications in Mathematical Physics |date=1997 |volume=190 |issue=1 |pages=113–132 |arxiv=solv-int/9704012 |doi=10.1007/s002200050235 |bibcode=1997CMaPh.190..113B |s2cid=14271642 }}</ref>
+डी'अलेम्बर्टियन के लिए ह्यूजेंस के सिद्धांत का कथन [[केडीवी पदानुक्रम]] को उत्पन्न करता है; [[डायराक ऑपरेटर]] [[ अकंस |एकेएनएस]] पदानुक्रम को उत्पन्न करता है।<ref>{{cite journal |first1=Fabio A. C. C. |last1=Chalub |first2=Jorge P. |last2=Zubelli |title=हाइपरबोलिक ऑपरेटरों और एकीकृत पदानुक्रमों के लिए ह्यूजेंस का सिद्धांत|journal=Physica D: Nonlinear Phenomena |volume=213 |issue=2 |date=2006 |pages=231–245 |doi=10.1016/j.physd.2005.11.008 |bibcode=2006PhyD..213..231C }}</ref><ref>{{cite journal |first1=Yuri Yu. |last1=Berest |first2=Igor M. |last2=Loutsenko |title=मिन्कोव्स्की स्पेस में ह्यूजेंस का सिद्धांत और कॉर्टेवेग-डे व्रीस समीकरण का सोलिटॉन समाधान|journal=Communications in Mathematical Physics |date=1997 |volume=190 |issue=1 |pages=113–132 |arxiv=solv-int/9704012 |doi=10.1007/s002200050235 |bibcode=1997CMaPh.190..113B |s2cid=14271642 }}</ref>
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 * Stratton, Julius Adams: ''Electromagnetic Theory'', McGraw-Hill, 1941. (Reissued by Wiley – IEEE Press, {{ISBN|978-0-470-13153-4}}).
 * B.B. Baker and E.T. Copson, ''The Mathematical Theory of Huygens' Principle'', Oxford, 1939, 1950; AMS Chelsea, 1987.
-{{Christiaan Huygens}}
 {{Authority control}}
-{{DEFAULTSORT:Huygens-Fresnel Principle}}[[Category: तरंग यांत्रिकी]] [[Category: विवर्तन]] [[Category: क्रिस्टियान ह्यूजेंस]]
+{{DEFAULTSORT:Huygens-Fresnel Principle}}
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इतिहास

सूक्ष्म मॉडल के रूप में ह्यूजेंस का सिद्धांत

आधुनिक भौतिकी व्याख्याएं

सिद्धांत की गणितीय अभिव्यक्ति

सामान्यीकृत ह्यूजेंस का सिद्धांत

ह्यूजेंस का सिद्धांत, फेनमैन का पथ अभिन्न और आधुनिक फोटॉन तरंग फलन

ह्यूजेंस का सिद्धांत और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत

अन्य स्थानिक आयामों में

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सामान्यीकृत ह्यूजेंस का सिद्धांत

ह्यूजेंस का सिद्धांत, फेनमैन का पथ अभिन्न और आधुनिक फोटॉन तरंग फलन

ह्यूजेंस का सिद्धांत और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत

अन्य स्थानिक आयामों में

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