सशर्त संभाव्यता वितरण: Difference between revisions

Latest revision as of 16:04, 30 October 2023

संभाव्यता सिद्धांत एवं सांख्यिकी में, दो संयुक्त संभाव्यता वितरण यादृच्छिक चर दिए गए हैं $X$ एवं $Y$ , की नियमबद्ध संभाव्यता वितरण $Y$ दिया गया $X$ का संभाव्यता वितरण है। $Y$ जब विशेष मान $X$ के रूप में जाना जाता है, कुछ स्थितियों में नियमबद्ध संभावनाओं को अनिर्दिष्ट मान वाले कार्यों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। जब दोनों $X$ एवं $Y$ श्रेणीबद्ध चर होते हैं, नियमबद्ध संभावना सारणी सामान्यतः का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग की जाती है। नियमबद्ध वितरण यादृच्छिक चर के सीमांत वितरण के विपरीत है, जो कि अन्य चर के मान के संदर्भ के बिना इसका वितरण होता है।

यदि $Y$ का नियमबद्ध वितरण दिया गया $X$ सतत वितरण होता है, तो इसके संभाव्यता घनत्व फंक्शन को नियमबद्ध घनत्व फंक्शन के रूप में जाना जाता है।^[1] नियमबद्ध वितरण के गुण, जैसे क्षण (गणित), प्रायः नियमबद्ध माध्य एवं नियमबद्ध भिन्नता जैसे संबंधित नामों से संदर्भित होते हैं।

अधिक सामान्यतः दो से अधिक चर के समूह के उपसमुच्चय के नियमबद्ध वितरण का उल्लेख कर सकते हैं; यह नियमबद्ध वितरण शेष सभी चरों के मूल्यों पर आकस्मिक है, एवं अधिक चर उपसमुच्चय में सम्मिलित होते हैं, तो यह नियमबद्ध वितरण सम्मिलित चरों का नियमबद्ध संयुक्त वितरण होता है।

नियमबद्ध असतत वितरण

असतत यादृच्छिक चर के लिए, संभाव्यता द्रव्यमान फंक्शन $Y$ दिया गया, इसकी परिभाषा के अनुसार $X=x$ लिखा जा सकता है।

p_{Y|X}(y\mid x)\triangleq P(Y=y\mid X=x)={\frac {P(\{X=x\}\cap \{Y=y\})}{P(X=x)}}\qquad

$P(X=x)$ होने के कारण भाजक में यह केवल गैर-शून्य के लिए परिभाषित किया गया है (इसलिए जटिलता से सकारात्मक) $P(X=x).$ संभाव्यता वितरण के साथ संबंध $X$ एवं $Y$ दिया गया है।

P(Y=y\mid X=x)P(X=x)=P(\{X=x\}\cap \{Y=y\})=P(X=x\mid Y=y)P(Y=y).

उदाहरण

मेले के रोल एवं die पर विचार करने पर, $X=1$ यदि संख्या सम है (अर्थात, 2, 4, या 6) एवं $X=0$ अन्यथा, इसके अतिरिक्त, $Y=1$ यदि संख्या अभाज्य है (अर्थात, 2, 3, या 5) एवं $Y=0$ है।

D	1	2	3	4	5	6
X	0	1	0	1	0	1
Y	0	1	1	0	1	0

बिना नियम संभावना है कि $X=1$ 3/6 = 1/2 है (चूंकि डाइस के छह संभावित रोल हैं, जिनमें से तीन सम हैं), जबकि संभावना है कि $X=1$ नियमबद्ध $Y=1$ 1/3 है (चूँकि तीन संभावित अभाज्य संख्याएँ हैं - 2, 3, एवं 5 - जिनमें से सम है)।

नियमबद्ध निरंतर वितरण

इसी प्रकार निरंतर यादृच्छिक चर के लिए, नियमबद्ध प्रायिकता घनत्व फंक्शन $Y$ मूल्य की घटना को देखते हुए $x$ को $X$ रूप में लिखा जा सकता है।^[2]

f_{Y\mid X}(y\mid x)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{X}(x)}}\qquad

जहाँ $f_{X,Y}(x,y)$ का संयुक्त वितरण $X$ एवं $Y$ देता है, जबकि $f_{X}(x)$ के लिए सीमांत घनत्व देता है। $X$ के साथ ही इस विषय में यह $f_{X}(x)>0$ आवश्यक होता है। संभाव्यता वितरण के साथ संबंध $X$ द्वारा $Y$ दिया गया है।

f_{Y\mid X}(y\mid x)f_{X}(x)=f_{X,Y}(x,y)=f_{X|Y}(x\mid y)f_{Y}(y).

सतत यादृच्छिक चर के नियमबद्ध वितरण की अवधारणा उतनी सरल नहीं है जितनी यह लग सकती है, बोरेल का विरोधाभास दर्शाता है कि नियमबद्ध संभाव्यता घनत्व कार्यों को समन्वय परिवर्तनों के अनुसार अपरिवर्तनीय नहीं होना चाहिए।

उदाहरण

द्विपक्षीय सामान्य संयुक्त संभाव्यता वितरण घनत्व फलन या द्रव्यमान फलन

आलेख यादृच्छिक चर के लिए द्विचर सामान्य वितरण $X$ एवं $Y$ दिखाता है, वितरण देखने के लिए $Y$ नियमबद्ध रेखा $X=70$ की कल्पना कर सकता है, $X=70$ में $X,Y$ विमान (ज्यामिति), एवं उस रेखा वाले विमान की कल्पना करें, एवं $X,Y$ इसके लंबवत विमान संयुक्त सामान्य घनत्व के साथ उस विमान का अंतःखंड, प्रतिच्छेदन के अनुसार इकाई क्षेत्र देने के लिए पुन: स्केल किया गया, प्रासंगिक नियमबद्ध घनत्व $Y$ है।

$Y\mid X=70\ \sim \ {\mathcal {N}}\left(\mu _{1}+{\frac {\sigma _{1}}{\sigma _{2}}}\rho (70-\mu _{2}),\,(1-\rho ^{2})\sigma _{1}^{2}\right).$

स्वतंत्रता से संबंध

यादृच्छिक चर सांख्यिकीय स्वतंत्रता $X$ , $Y$ हैं, यदि $Y$ एवं $X$ का नियमबद्ध वितरण दिया गया है, $X$ के सभी संभव प्राप्तियों के लिए $Y$ के बिना नियम वितरण के समान $P(Y=y|X=x)=P(Y=y)$ असतत होता है, यादृच्छिक चर के लिए इसका अर्थ है, प्रत्येक संभव $y$ के लिए एवं $x$ के साथ $P(X=x)>0$ . निरंतर यादृच्छिक चर के लिए $X$ एवं $Y$ , संयुक्त घनत्व फंक्शन होने का अर्थ है, $f_{Y}(y|X=x)=f_{Y}(y)$ सभी संभव के लिए $y$ एवं $x$ के साथ $f_{X}(x)>0$ होता है।

गुण

$y$ के कार्य के रूप में देखा जाता है, $x$ , $P(Y=y|X=x)$ प्रायिकता द्रव्यमान फलन है एवं इसलिए सभी का योग $y$ 1 है। $x$ के कार्य के रूप में देखा गया, $y$ यह संभावना कार्य है, जिससे सभी का योग हो $x$ 1 नहीं होना चाहिए।

इसके अतिरिक्त, संयुक्त वितरण के सीमांत को संबंधित नियमबद्ध वितरण की अपेक्षा के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $p_{X}(x)=E_{Y}[p_{X|Y}(X\ |\ Y)]$ है।

माप-सैद्धांतिक सूत्रीकरण

$(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ होने में ${\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}$ संभाव्यता स्थान है, a $\sigma$ -फ़ील्ड इन ${\mathcal {F}}$ . दिया गया $A\in {\mathcal {F}}$ , रैडॉन-निकोडिम प्रमेय का तात्पर्य है कि ^[3] a ${\mathcal {G}}$ - मापने योग्य यादृच्छिक चर $P(A\mid {\mathcal {G}}):\Omega \to \mathbb {R}$ , नियमबद्ध संभाव्यता कहा जाता है, जैसे कि

\int _{G}P(A\mid {\mathcal {G}})(\omega )dP(\omega )=P(A\cap G)

प्रत्येक के लिए

G\in {\mathcal {G}}

इस प्रकार के यादृच्छिक चर को प्रायिकता शून्य के समूह तक विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है। नियमबद्ध संभाव्यता को नियमित नियमबद्ध संभावना कहा जाता है यदि

\operatorname {P} (\cdot \mid {\mathcal {G}})(\omega )

पर संभावना प्रविधि है

(\Omega ,{\mathcal {F}})

सभी के लिए

\omega \in \Omega

होता है।

विशेष स्थितियां:

${\mathcal {G}}=\{\emptyset ,\Omega \}$ तुच्छ सिग्मा बीजगणित के लिए $\operatorname {P} \!\left(A\mid \{\emptyset ,\Omega \}\right)=\operatorname {P} (A).$ नियमबद्ध संभावना स्थिर कार्य है।
यदि $A\in {\mathcal {G}}$ , तब $\operatorname {P} (A\mid {\mathcal {G}})=1_{A}$ संकेतक फ़ंक्शन (नीचे परिभाषित) होता है।

मूल्यवान यादृच्छिक चर $X:\Omega \to E$ हो $(E,{\mathcal {E}})$ - प्रत्येक के लिए $B\in {\mathcal {E}}$ , परिभाषित करना है।

\mu _{X\,|\,{\mathcal {G}}}(B\,|\,{\mathcal {G}})=\mathrm {P} (X^{-1}(B)\,|\,{\mathcal {G}}).

किसी के लिए

\omega \in \Omega

, कार्यक्रम

\mu _{X\,|{\mathcal {G}}}(\cdot \,|{\mathcal {G}})(\omega ):{\mathcal {E}}\to \mathbb {R}

नियमबद्ध अपेक्षा कहा जाता है,

X

नियमबद्ध संभाव्यता वितरण की परिभाषा

{\mathcal {G}}

में दिया गया, यदि संभाव्यता माप

(E,{\mathcal {E}})

है, तो इसे नियमित नियमबद्ध संभाव्यता कहा जाता है।

वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर के लिए प्रत्येक नियमबद्ध संभाव्यता वितरण नियमित है।^[4] इस विषय में लगभग निश्चित रूप से $E[X\mid {\mathcal {G}}]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,\mu (dx,\cdot )$ होते है।

नियमबद्ध अपेक्षा से संबंध

किसी भी घटना के लिए $A\in {\mathcal {F}}$ , सूचक फंक्शन को परिभाषित करें:

\mathbf {1} _{A}(\omega )={\begin{cases}1\;&{\text{if }}\omega \in A,\\0\;&{\text{if }}\omega \notin A,\end{cases}}

जो यादृच्छिक चर है। ध्यान दें कि इस यादृच्छिक चर की अपेक्षा स्वयं A की प्रायिकता के समान है।

\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A})=\operatorname {P} (A).\;

$A$ दिया $\sigma$ -फील्ड ${\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}$ , नियमबद्ध संभावना $\operatorname {P} (A\mid {\mathcal {G}})$ के लिए संकेतक फ़ंक्शन की नियमबद्ध अपेक्षा का $A$ संस्करण है।

\operatorname {P} (A\mid {\mathcal {G}})=\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A}\mid {\mathcal {G}})\;

नियमित नियमबद्ध संभाव्यता के संबंध में यादृच्छिक चर की अपेक्षा इसकी नियमबद्ध अपेक्षा के समान होता है।

यह भी देखें

संदर्भ

उद्धरण

↑ Ross, Sheldon M. (1993). संभाव्यता मॉडल का परिचय (Fifth ed.). San Diego: Academic Press. pp. 88–91. ISBN 0-12-598455-3.
↑ Park,Kun Il (2018). संचार के लिए अनुप्रयोगों के साथ संभाव्यता और स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं की बुनियादी बातों. Springer. ISBN 978-3-319-68074-3.
↑ Billingsley (1995), p. 430
↑ Billingsley (1995), p. 439

स्रोत

Billingsley, Patrick (1995). संभावना और उपाय (3rd ed.). New York, NY: John Wiley and Sons.

[1] Ross, Sheldon M. (1993). संभाव्यता मॉडल का परिचय (Fifth ed.). San Diego: Academic Press. pp. 88–91. ISBN 0-12-598455-3.

[KunIlPark-2] Park,Kun Il (2018). संचार के लिए अनुप्रयोगों के साथ संभाव्यता और स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं की बुनियादी बातों. Springer. ISBN 978-3-319-68074-3.

[3] Billingsley (1995), p. 430

[4] Billingsley (1995), p. 439

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 {{Short description|Probability theory and statistics concept}}
-{{refimprove|date=April 2013}}
+संभाव्यता सिद्धांत एवं सांख्यिकी में, दो [[संयुक्त संभाव्यता वितरण]] यादृच्छिक चर दिए गए हैं <math>X</math> एवं <math>Y</math>, की नियमबद्ध संभाव्यता वितरण <math>Y</math> दिया गया <math>X</math> का संभाव्यता वितरण है।  <math>Y</math> जब विशेष मान <math>X</math> के रूप में जाना जाता है, कुछ स्थितियों में नियमबद्ध संभावनाओं को अनिर्दिष्ट मान वाले कार्यों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। जब दोनों <math>X</math> एवं <math>Y</math> श्रेणीबद्ध चर होते हैं, नियमबद्ध संभावना सारणी सामान्यतः का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग की जाती है। नियमबद्ध वितरण यादृच्छिक चर के [[सीमांत वितरण]] के विपरीत है, जो कि अन्य चर के मान के संदर्भ के बिना इसका वितरण होता है।
-संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, दो [[संयुक्त संभाव्यता वितरण]] यादृच्छिक चर दिए गए हैं <math>X</math> और <math>Y</math>, का सशर्त संभाव्यता वितरण <math>Y</math> दिया गया <math>X</math> का संभाव्यता वितरण है <math>Y</math> कब <math>X</math> एक विशेष मूल्य के रूप में जाना जाता है; कुछ मामलों में सशर्त संभावनाओं को अनिर्दिष्ट मान वाले कार्यों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है <math>x</math> का <math>X</math> एक पैरामीटर के रूप में। कब दोनों <math>X</math> और <math>Y</math> श्रेणीबद्ध चर हैं, एक सशर्त संभावना तालिका आमतौर पर सशर्त संभावना का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग की जाती है। सशर्त वितरण एक यादृच्छिक चर के [[सीमांत वितरण]] के विपरीत है, जो कि अन्य चर के मान के संदर्भ के बिना इसका वितरण है।
-यदि का सशर्त वितरण <math>Y</math> दिया गया <math>X</math> एक सतत वितरण है, तो इसके संभाव्यता घनत्व समारोह को सशर्त घनत्व समारोह के रूप में जाना जाता है।<ref>{{cite book |first=Sheldon M. |last=Ross |authorlink=Sheldon M. Ross |title=संभाव्यता मॉडल का परिचय|location=San Diego |publisher=Academic Press |edition=Fifth |year=1993 |isbn=0-12-598455-3 |pages=88–91 }}</ref> एक सशर्त वितरण के गुण, जैसे क्षण (गणित), अक्सर सशर्त माध्य और सशर्त भिन्नता जैसे संबंधित नामों से संदर्भित होते हैं।
+यदि  <math>Y</math> का नियमबद्ध वितरण दिया गया <math>X</math> सतत वितरण होता है, तो इसके संभाव्यता घनत्व फंक्शन को नियमबद्ध घनत्व फंक्शन के रूप में जाना जाता है।<ref>{{cite book |first=Sheldon M. |last=Ross |authorlink=Sheldon M. Ross |title=संभाव्यता मॉडल का परिचय|location=San Diego |publisher=Academic Press |edition=Fifth |year=1993 |isbn=0-12-598455-3 |pages=88–91 }}</ref>  नियमबद्ध वितरण के गुण, जैसे क्षण (गणित), प्रायः नियमबद्ध माध्य एवं नियमबद्ध भिन्नता जैसे संबंधित नामों से संदर्भित होते हैं।
-अधिक आम तौर पर, दो से अधिक चर के सेट के उपसमुच्चय के सशर्त वितरण का उल्लेख कर सकते हैं; यह सशर्त वितरण शेष सभी चरों के मूल्यों पर आकस्मिक है, और यदि एक से अधिक चर उपसमुच्चय में शामिल हैं तो यह सशर्त वितरण शामिल चरों का सशर्त [[संयुक्त वितरण]] है।
+अधिक सामान्यतः दो से अधिक चर के समूह के उपसमुच्चय के नियमबद्ध वितरण का उल्लेख कर सकते हैं; यह नियमबद्ध वितरण शेष सभी चरों के मूल्यों पर आकस्मिक है, एवं अधिक चर उपसमुच्चय में सम्मिलित होते हैं, तो यह नियमबद्ध वितरण सम्मिलित चरों का नियमबद्ध [[संयुक्त वितरण]] होता है।
-== सशर्त असतत वितरण ==
+== नियमबद्ध असतत वितरण ==
-[[असतत यादृच्छिक चर]] के लिए, सशर्त संभाव्यता द्रव्यमान समारोह <math>Y</math> दिया गया <math>X=x</math> इसकी परिभाषा के अनुसार लिखा जा सकता है:
+[[असतत यादृच्छिक चर]] के लिए, संभाव्यता द्रव्यमान फंक्शन <math>Y</math> दिया गया, इसकी परिभाषा के अनुसार <math>X=x</math> लिखा जा सकता है।
 {{Equation box 1
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-होने के कारण <math>P(X=x)</math> भाजक में, यह केवल गैर-शून्य के लिए परिभाषित किया गया है (इसलिए सख्ती से सकारात्मक) <math>P(X=x).</math>
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-संभाव्यता वितरण के साथ संबंध <math>X</math> दिया गया <math>Y</math> है:
 :<math>P(Y=y \mid X=x) P(X=x) = P(\{X=x\} \cap \{Y=y\}) = P(X=x \mid Y=y)P(Y=y).</math>
 === उदाहरण ===
-मेले के रोल पर विचार करें {{dice}} और जाने <math>X=1</math> अगर संख्या सम है (यानी, 2, 4, या 6) और <math>X=0</math> अन्यथा। इसके अलावा, चलो <math>Y=1</math> यदि संख्या अभाज्य है (यानी, 2, 3, या 5) और <math>Y=0</math> अन्यथा।
+मेले के रोल एवं {{dice}} पर विचार करने पर,  <math>X=1</math> यदि संख्या सम है (अर्थात, 2, 4, या 6) एवं <math>X=0</math> अन्यथा, इसके अतिरिक्त, <math>Y=1</math> यदि संख्या अभाज्य है (अर्थात, 2, 3, या 5) एवं <math>Y=0</math> है।
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 |-
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 |}
-फिर बिना शर्त संभावना है कि <math>X=1</math> 3/6 = 1/2 है (चूंकि पासा के छह संभावित रोल हैं, जिनमें से तीन सम हैं), जबकि संभावना है कि <math>X=1</math> सशर्त <math>Y=1</math> 1/3 है (चूँकि तीन संभावित अभाज्य संख्याएँ हैं - 2, 3, और 5 - जिनमें से एक सम है)।
+बिना नियम संभावना है कि <math>X=1</math> 3/6 = 1/2 है (चूंकि डाइस के छह संभावित रोल हैं, जिनमें से तीन सम हैं), जबकि संभावना है कि <math>X=1</math> नियमबद्ध <math>Y=1</math> 1/3 है (चूँकि तीन संभावित अभाज्य संख्याएँ हैं - 2, 3, एवं 5 - जिनमें से सम है)।
-== सशर्त निरंतर वितरण ==
+== नियमबद्ध निरंतर वितरण ==
-इसी तरह निरंतर यादृच्छिक चर के लिए, सशर्त प्रायिकता घनत्व समारोह <math>Y</math> मूल्य की घटना को देखते हुए <math>x</math> का <math>X</math> रूप में लिखा जा सकता है<ref name=KunIlPark>{{cite book | author=Park,Kun Il| title=संचार के लिए अनुप्रयोगों के साथ संभाव्यता और स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं की बुनियादी बातों| publisher=Springer | year=2018 | isbn=978-3-319-68074-3}}</ref>{{rp|p. 99}}
+इसी प्रकार निरंतर यादृच्छिक चर के लिए, नियमबद्ध प्रायिकता घनत्व फंक्शन <math>Y</math> मूल्य की घटना को देखते हुए <math>x</math> को <math>X</math> रूप में लिखा जा सकता है।<ref name=KunIlPark>{{cite book | author=Park,Kun Il| title=संचार के लिए अनुप्रयोगों के साथ संभाव्यता और स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं की बुनियादी बातों| publisher=Springer | year=2018 | isbn=978-3-319-68074-3}}</ref>
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-कहाँ <math>f_{X,Y}(x,y)</math> का संयुक्त वितरण देता है <math>X</math> और <math>Y</math>, जबकि <math>f_X(x)</math> के लिए [[सीमांत घनत्व]] देता है <math>X</math>. साथ ही इस मामले में यह जरूरी है <math>f_X(x)>0</math>.
+जहाँ <math>f_{X,Y}(x,y)</math> का संयुक्त वितरण <math>X</math> एवं <math>Y</math> देता है, जबकि <math>f_X(x)</math> के लिए [[सीमांत घनत्व]] देता है। <math>X</math> के साथ ही इस विषय में यह <math>f_X(x)>0</math> आवश्यक होता है। संभाव्यता वितरण के साथ संबंध <math>X</math> द्वारा <math>Y</math> दिया गया है।
-संभाव्यता वितरण के साथ संबंध <math>X</math> दिया गया <math>Y</math> द्वारा दिया गया है:
 :<math>f_{Y\mid X}(y \mid x)f_X(x) = f_{X,Y}(x, y) = f_{X|Y}(x \mid y)f_Y(y). </math>
-एक सतत यादृच्छिक चर के सशर्त वितरण की अवधारणा उतनी सहज नहीं है जितनी यह लग सकती है: बोरेल का विरोधाभास दर्शाता है कि सशर्त संभाव्यता घनत्व कार्यों को समन्वय परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय नहीं होना चाहिए।
+सतत यादृच्छिक चर के नियमबद्ध वितरण की अवधारणा उतनी सरल नहीं है जितनी यह लग सकती है, बोरेल का विरोधाभास दर्शाता है कि नियमबद्ध संभाव्यता घनत्व कार्यों को समन्वय परिवर्तनों के अनुसार अपरिवर्तनीय नहीं होना चाहिए।
 === उदाहरण ===
-[[File:Multivariate Gaussian.png|thumb|right|300px|द्विपक्षीय सामान्य संयुक्त संभाव्यता वितरण#घनत्व फलन या द्रव्यमान फलन]]ग्राफ यादृच्छिक चर के लिए द्विचर सामान्य वितरण दिखाता है <math>X</math> और <math>Y</math>. वितरण देखने के लिए <math>Y</math> सशर्त <math>X=70</math>, कोई पहले रेखा की कल्पना कर सकता है <math>X=70</math> में <math>X,Y</math> विमान (ज्यामिति), और फिर उस रेखा वाले विमान की कल्पना करें और इसके लंबवत <math>X,Y</math> विमान। संयुक्त सामान्य घनत्व के साथ उस विमान का चौराहा, एक बार प्रतिच्छेदन के तहत इकाई क्षेत्र देने के लिए पुन: स्केल किया गया, प्रासंगिक सशर्त घनत्व है <math>Y</math>.
+[[File:Multivariate Gaussian.png|thumb|right|300px|द्विपक्षीय सामान्य संयुक्त संभाव्यता वितरण घनत्व फलन या द्रव्यमान फलन]]आलेख यादृच्छिक चर के लिए द्विचर सामान्य वितरण <math>X</math> एवं <math>Y</math> दिखाता है, वितरण देखने के लिए <math>Y</math> नियमबद्ध रेखा <math>X=70</math> की कल्पना कर सकता है, <math>X=70</math> में <math>X,Y</math> विमान (ज्यामिति), एवं उस रेखा वाले विमान की कल्पना करें, एवं <math>X,Y</math> इसके लंबवत विमान संयुक्त सामान्य घनत्व के साथ उस विमान का अंतःखंड, प्रतिच्छेदन के अनुसार इकाई क्षेत्र देने के लिए पुन: स्केल किया गया, प्रासंगिक नियमबद्ध घनत्व <math>Y</math> है।
 <math>Y\mid X=70 \ \sim\ \mathcal{N}\left(\mu_1+\frac{\sigma_1}{\sigma_2}\rho( 70 - \mu_2),\, (1-\rho^2)\sigma_1^2\right).</math>
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 == स्वतंत्रता से संबंध ==
-यादृच्छिक चर <math>X</math>, <math>Y</math> [[सांख्यिकीय स्वतंत्रता]] हैं यदि और केवल यदि का सशर्त वितरण <math>Y</math> दिया गया <math>X</math> है, के सभी संभव प्राप्तियों के लिए <math>X</math>, के बिना शर्त वितरण के बराबर <math>Y</math>. असतत यादृच्छिक चर के लिए इसका मतलब है <math>P(Y=y|X=x) = P(Y=y)</math> हर संभव के लिए <math>y</math> और <math>x</math> साथ <math>P(X=x)>0</math>. निरंतर यादृच्छिक चर के लिए <math>X</math> और <math>Y</math>, एक [[संयुक्त घनत्व समारोह]] होने का मतलब है <math>f_Y(y|X=x) = f_Y(y)</math> हर संभव के लिए <math>y</math> और <math>x</math> साथ <math>f_X(x)>0</math>.
+यादृच्छिक चर [[सांख्यिकीय स्वतंत्रता]] <math>X</math>, <math>Y</math> हैं, यदि <math>Y</math> एवं <math>X</math> का नियमबद्ध वितरण  दिया गया है, <math>X</math> के सभी संभव प्राप्तियों के लिए <math>Y</math> के बिना नियम वितरण के समान <math>P(Y=y|X=x) = P(Y=y)</math> असतत होता है, यादृच्छिक चर के लिए इसका अर्थ है, प्रत्येक संभव <math>y</math> के लिए एवं <math>x</math> के साथ <math>P(X=x)>0</math>. निरंतर यादृच्छिक चर के लिए <math>X</math> एवं <math>Y</math>,  [[संयुक्त घनत्व समारोह|संयुक्त घनत्व फंक्शन]] होने का अर्थ है, <math>f_Y(y|X=x) = f_Y(y)</math> सभी संभव के लिए <math>y</math> एवं <math>x</math> के साथ <math>f_X(x)>0</math> होता है।
 == गुण ==
-के कार्य के रूप में देखा जाता है <math>y</math> माफ़ कर दिया <math>x</math>, <math>P(Y=y|X=x)</math> एक प्रायिकता द्रव्यमान फलन है और इसलिए सभी का योग है <math>y</math> (या अभिन्न अगर यह एक सशर्त संभाव्यता घनत्व है) 1 है। के कार्य के रूप में देखा गया <math>x</math> माफ़ कर दिया <math>y</math>, यह एक संभावना कार्य है, ताकि सभी का योग हो <math>x</math> 1 नहीं होना चाहिए।
+<math>y</math> के कार्य के रूप में देखा जाता है,  <math>x</math>, <math>P(Y=y|X=x)</math>  प्रायिकता द्रव्यमान फलन है एवं इसलिए सभी का योग <math>y</math> 1 है। <math>x</math> के कार्य के रूप में देखा गया, <math>y</math> यह संभावना कार्य है, जिससे सभी का योग हो  <math>x</math> 1 नहीं होना चाहिए।
-इसके अतिरिक्त, एक संयुक्त वितरण के सीमांत को संबंधित सशर्त वितरण की अपेक्षा के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, <math> p_X(x) = E_{Y}[p_{X|Y}(X \ |\ Y)] </math>.
+इसके अतिरिक्त, संयुक्त वितरण के सीमांत को संबंधित नियमबद्ध वितरण की अपेक्षा के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, <math> p_X(x) = E_{Y}[p_{X|Y}(X \ |\ Y)] </math> है।
 == माप-सैद्धांतिक सूत्रीकरण ==
-होने देना <math>(\Omega, \mathcal{F}, P)</math> एक संभाव्यता स्थान हो, <math>\mathcal{G} \subseteq \mathcal{F}</math> a <math>\sigma</math>-फ़ील्ड इन <math>\mathcal{F}</math>. दिया गया <math>A\in \mathcal{F}</math>, [[रैडॉन-निकोडिम प्रमेय]] का तात्पर्य है कि वहाँ है<ref>[[#billingsley95|Billingsley (1995)]], p. 430</ref> a  <math>\mathcal{G}</math>- मापने योग्य यादृच्छिक चर <math>P(A\mid\mathcal{G}):\Omega\to \mathbb{R}</math>, सशर्त संभाव्यता कहा जाता है, जैसे कि<math display="block">\int_G P(A\mid\mathcal{G})(\omega) dP(\omega)=P(A\cap G)</math>हरएक के लिए <math>G\in \mathcal{G}</math>, और इस तरह के एक यादृच्छिक चर को प्रायिकता शून्य के सेट तक विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है। सशर्त संभाव्यता को नियमित सशर्त संभावना कहा जाता है यदि  <math> \operatorname{P}(\cdot\mid\mathcal{G})(\omega) </math> पर एक संभावना उपाय है <math>(\Omega, \mathcal{F})</math> सभी के लिए <math>\omega \in \Omega</math> ए.ई.
+<math>(\Omega, \mathcal{F}, P)</math> होने में  <math>\mathcal{G} \subseteq \mathcal{F}</math> संभाव्यता स्थान है,  a <math>\sigma</math>-फ़ील्ड इन <math>\mathcal{F}</math>. दिया गया <math>A\in \mathcal{F}</math>, [[रैडॉन-निकोडिम प्रमेय]] का तात्पर्य है कि <ref>[[#billingsley95|Billingsley (1995)]], p. 430</ref> a  <math>\mathcal{G}</math>- मापने योग्य यादृच्छिक चर <math>P(A\mid\mathcal{G}):\Omega\to \mathbb{R}</math>, नियमबद्ध संभाव्यता कहा जाता है, जैसे कि<math display="block">\int_G P(A\mid\mathcal{G})(\omega) dP(\omega)=P(A\cap G)</math>प्रत्येक के लिए <math>G\in \mathcal{G}</math> इस प्रकार के  यादृच्छिक चर को प्रायिकता शून्य के समूह तक विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है। नियमबद्ध संभाव्यता को नियमित नियमबद्ध संभावना कहा जाता है यदि  <math> \operatorname{P}(\cdot\mid\mathcal{G})(\omega) </math> पर  संभावना प्रविधि है <math>(\Omega, \mathcal{F})</math> सभी के लिए <math>\omega \in \Omega</math> होता है।
 विशेष स्थितियां:
-* तुच्छ सिग्मा बीजगणित के लिए <math>\mathcal G= \{\emptyset,\Omega\}</math>, सशर्त संभावना एक स्थिर कार्य है <math>\operatorname{P}\!\left( A\mid \{\emptyset,\Omega\} \right) = \operatorname{P}(A).</math>
+* <math>\mathcal G= \{\emptyset,\Omega\}</math> तुच्छ सिग्मा बीजगणित के लिए  <math>\operatorname{P}\!\left( A\mid \{\emptyset,\Omega\} \right) = \operatorname{P}(A).</math> नियमबद्ध संभावना  स्थिर कार्य है।
-* अगर <math>A\in \mathcal{G}</math>,  तब <math>\operatorname{P}(A\mid\mathcal{G})=1_A</math>, संकेतक फ़ंक्शन (नीचे परिभाषित)।
+* यदि <math>A\in \mathcal{G}</math>,  तब <math>\operatorname{P}(A\mid\mathcal{G})=1_A</math> संकेतक फ़ंक्शन (नीचे परिभाषित) होता है।
-होने देना <math>X : \Omega \to E</math> एक हो <math>(E, \mathcal{E})</math>-मूल्यवान यादृच्छिक चर। प्रत्येक के लिए <math>B \in \mathcal{E}</math>, परिभाषित करना <math display="block">\mu_{X \, | \, \mathcal{G}} (B \, |\, \mathcal{G}) = \mathrm{P} (X^{-1}(B) \, | \, \mathcal{G}).</math>किसी के लिए <math>\omega \in \Omega</math>, कार्यक्रम <math>\mu_{X \, | \mathcal{G}}(\cdot \, | \mathcal{G}) (\omega) : \mathcal{E} \to \mathbb{R}</math> सशर्त अपेक्षा कहा जाता है # की सशर्त संभाव्यता वितरण की परिभाषा <math>X</math> दिया गया <math>\mathcal{G}</math>. यदि यह एक संभाव्यता माप है <math>(E, \mathcal{E})</math>, तो इसे नियमित सशर्त संभाव्यता कहा जाता है।
+मूल्यवान यादृच्छिक चर <math>X : \Omega \to E</math>  हो <math>(E, \mathcal{E})</math>- प्रत्येक के लिए <math>B \in \mathcal{E}</math>, परिभाषित करना है। <math display="block">\mu_{X \, | \, \mathcal{G}} (B \, |\, \mathcal{G}) = \mathrm{P} (X^{-1}(B) \, | \, \mathcal{G}).</math>किसी के लिए <math>\omega \in \Omega</math>, कार्यक्रम <math>\mu_{X \, | \mathcal{G}}(\cdot \, | \mathcal{G}) (\omega) : \mathcal{E} \to \mathbb{R}</math> नियमबद्ध अपेक्षा कहा जाता है, <math>X</math> नियमबद्ध संभाव्यता वितरण की परिभाषा <math>\mathcal{G}</math> में दिया गया, यदि संभाव्यता माप <math>(E, \mathcal{E})</math> है, तो इसे नियमित नियमबद्ध संभाव्यता कहा जाता है।
-वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर के लिए (बोरेल के संबंध में <math>\sigma</math>-मैदान <math>\mathcal{R}^1</math> पर <math>\mathbb{R}</math>), प्रत्येक सशर्त संभाव्यता वितरण नियमित है।<ref>[[#billingsley95|Billingsley (1995)]], p. 439</ref> इस मामले में,<math>E[X \mid \mathcal{G}] = \int_{-\infty}^\infty x \, \mu(d x, \cdot)</math> लगभग निश्चित रूप से।
+वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर के लिए प्रत्येक नियमबद्ध संभाव्यता वितरण नियमित है।<ref>[[#billingsley95|Billingsley (1995)]], p. 439</ref> इस विषय में लगभग निश्चित रूप से  <math>E[X \mid \mathcal{G}] = \int_{-\infty}^\infty x \, \mu(d x, \cdot)</math>होते है।
-=== सशर्त अपेक्षा से संबंध ===
+=== नियमबद्ध अपेक्षा से संबंध ===
-किसी भी घटना के लिए <math>A \in \mathcal{F}</math>, [[सूचक समारोह]] को परिभाषित करें:
+किसी भी घटना के लिए <math>A \in \mathcal{F}</math>, [[सूचक समारोह|सूचक फंक्शन]] को परिभाषित करें:
 :<math>\mathbf{1}_A (\omega) = \begin{cases} 1 \; &\text{if } \omega \in A, \\ 0 \; &\text{if } \omega \notin A, \end{cases}</math>
-जो एक यादृच्छिक चर है। ध्यान दें कि इस यादृच्छिक चर की अपेक्षा स्वयं A की प्रायिकता के बराबर है:
+जो  यादृच्छिक चर है। ध्यान दें कि इस यादृच्छिक चर की अपेक्षा स्वयं A की प्रायिकता के समान है।
 :<math>\operatorname{E}(\mathbf{1}_A) = \operatorname{P}(A). \; </math>
-ए दिया  <math>\sigma</math>-मैदान <math>\mathcal{G} \subseteq \mathcal{F}</math>, सशर्त संभावना <math> \operatorname{P}(A\mid\mathcal{G})</math> के लिए संकेतक फ़ंक्शन की [[सशर्त अपेक्षा]] का एक संस्करण है <math>A</math>:
+<math>A</math> दिया  <math>\sigma</math>-फील्ड <math>\mathcal{G} \subseteq \mathcal{F}</math>, नियमबद्ध संभावना <math> \operatorname{P}(A\mid\mathcal{G})</math> के लिए संकेतक फ़ंक्शन की [[सशर्त अपेक्षा|नियमबद्ध अपेक्षा]] का <math>A</math> संस्करण है।
 :<math>\operatorname{P}(A\mid\mathcal{G}) = \operatorname{E}(\mathbf{1}_A\mid\mathcal{G}) \; </math>
-एक नियमित सशर्त संभाव्यता के संबंध में एक यादृच्छिक चर की अपेक्षा इसकी सशर्त अपेक्षा के बराबर है।
+नियमित नियमबद्ध संभाव्यता के संबंध में यादृच्छिक चर की अपेक्षा इसकी नियमबद्ध अपेक्षा के समान होता है।
 == यह भी देखें ==
 * [[कंडीशनिंग (संभावना)]]
-*[[सशर्त संभाव्यता]]
+*[[सशर्त संभाव्यता|नियमबद्ध संभाव्यता]]
-* [[नियमित सशर्त संभावना]]
+* [[नियमित सशर्त संभावना|नियमित नियमबद्ध संभावना]]
 * बेयस प्रमेय
 == संदर्भ ==
 === उद्धरण ===
 {{Reflist}}
 === स्रोत ===
 {{refbegin}}
@@ Line 120: / Line 111: @@
 {{refend}}
-श्रेणी:संभाव्यता वितरण का सिद्धांत
-श्रेणी: सशर्त संभावना
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 12/05/2023]]
+[[Category:Lua-based templates]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Pages with script errors]]
+[[Category:Short description with empty Wikidata description]]
+[[Category:Template documentation pages|Short description/doc]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready]]
+[[Category:Templates that add a tracking category]]
+[[Category:Templates that generate short descriptions]]
+[[Category:Templates using TemplateData]]

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नियमबद्ध असतत वितरण

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स्वतंत्रता से संबंध

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नियमबद्ध अपेक्षा से संबंध

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