बहिष्कोण प्रमेय: Difference between revisions
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[[यूक्लिड के तत्वों]] में '''[[बाहरी कोण]] प्रमेय''' | [[यूक्लिड के तत्वों]] में '''[[बाहरी कोण|बहिष्कोण]] प्रमेय''' साध्य 1.16 है, जिसमें कहा गया है कि त्रिभुज के बाहरी कोण का माप दूरस्थ [[आंतरिक कोणों]] के उपायों में से किसी एक से अधिक है। यह [[निरपेक्ष ज्यामिति]] में एक मूल परिणाम है क्योंकि इसकी उपपत्ति [[समानांतर अभिधारणा|समानांतर परिकल्पना]] पर निर्भर नहीं करती है। | ||
ज्यामिति के | ज्यामिति के कई उच्च माध्यमिक वर्णन में, "बहिष्कोण प्रमेय" शब्द को एक अलग परिणाम पर लागू किया गया है,<ref>{{harvnb|Henderson|Taimiņa|2005|loc=p. 110}}</ref> अर्थात् साध्य 1.32 का वह भाग जो बताता है कि त्रिभुज के बाहरी कोण का माप दूरस्थ आंतरिक कोणों के माप के योग के बराबर होता है।आंतरिक कोणों के उपाय। यह परिणाम, जो यूक्लिड के समानांतर सिद्धांत पर निर्भर करता है, इसे यूक्लिड के बाहरी कोण प्रमेय से अलग करने के लिए "उच्च माध्यमिक बहिष्कोण प्रमेय" (एचएसईएटी) के रूप में उल्लिखित किया जाएगा। | ||
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यूक्लिड द्वारा दिए गए | यूक्लिड द्वारा दिए गए साध्य 1.16 के प्रमाण को प्रायः एक स्थान के रूप में प्रमाणित किया जाता है जहां यूक्लिड त्रुटिपूर्ण प्रमाण देता है।<ref>{{harvnb|Faber|1983|loc=p. 113}}</ref><ref>{{harvnb|Greenberg|1974|loc=p. 99}}</ref><ref>{{harvnb|Venema|2006|loc=p. 10}}</ref> | ||
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* किरण BE पर बिंदु F की रचना करें ताकि E, B और F का मध्यबिंदु (भी) हो, | * किरण BE पर बिंदु F की रचना करें ताकि E, B और F का मध्यबिंदु (भी) हो, | ||
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सर्वांगसम त्रिभुजों से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि ∠ BAC = ∠ ECF और ∠ ECF, ∠ ECD से छोटा है, ∠ ECD = ∠ ACD इसलिए ∠ BAC, ∠ ACD से छोटा है और यही कोण ∠ CBA के लिए BC को भी समद्विभाजित करके किया जा सकता है। | |||
त्रुटि इस कल्पना में निहित है कि एक बिंदु (F, ऊपर) "आंतरिक" कोण (∠ ACD) पर स्थित है। इस कथन के लिए कोई कारण नहीं दिया गया है, लेकिन संलग्न आरेख इसे एक सत्य कथन जैसा दीखाता है। जब यूक्लिडियन ज्यामिति के लिए स्वयंसिद्धों का एक पूरा समुच्चय उपयोग किया जाता है (ज्यामिति के आधार देखें) यूक्लिड का यह दावा सिद्ध किया जा सकता है।<ref>{{harvnb|Greenberg|1974|loc=p. 99}}</ref> | |||
=== गोलाकार ज्यामिति में अमान्यता === | === गोलाकार ज्यामिति में अमान्यता === | ||
[[File:Triangles (spherical geometry).jpg|thumbnail|right|छोटे त्रिकोण लगभग यूक्लिडियन | [[File:Triangles (spherical geometry).jpg|thumbnail|right|छोटे त्रिकोण लगभग यूक्लिडियन प्रणाली से अच्छा व्यवहार कर सकते हैं, लेकिन बड़े त्रिकोण के आधार पर बहिष्कोण 90° हैं, जो यूक्लिड के बहिष्कोण प्रमेय का विरोधाभास है।]]बहिष्कोण प्रमेय [[गोलाकार ज्यामिति]] में मान्य नहीं है और न ही संबंधित [[अण्डाकार ज्यामिति]] में। एक [[गोलाकार त्रिभुज]] पर विचार करें जिसका एक शीर्ष [[उत्तरी ध्रुव]] है और अन्य दो [[भूमध्य रेखा]] पर स्थित हैं। उत्तरी ध्रुव (गोले के बड़े घेरे) से निकलने वाली त्रिभुज की भुजाएँ दोनों भूमध्य रेखा से समकोण पर मिलती हैं, इसलिए इस त्रिभुज का एक बाहरी कोण है जो एक दूरस्थ आंतरिक कोण के बराबर है। अन्य आंतरिक कोण (उत्तरी ध्रुव पर) को 90° से बड़ा बनाया जा सकता है, जो आगे इस कथन की विफलता पर बल देता है। हालाँकि, चूंकि यूक्लिड का बहिष्कोण प्रमेय निरपेक्ष ज्यामिति में एक प्रमेय है, यह [[अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति|अतिपरवलीय ज्यामिति]] में स्वचालित रूप से मान्य है। | ||
== उच्च माध्यमिक बहिष्कोण प्रमेय == | |||
उच्च माध्यमिक बहिष्कोण प्रमेय (एचएसईएटी) का कहना है कि त्रिभुज के शीर्ष पर बाहरी कोण का आकार त्रिभुज के अन्य दो शीर्षों (दूरस्थ आंतरिक कोण) पर आंतरिक कोणों के आकार के बराबर होता है। तो, चित्र में, कोण ''ACD'' का आकार, कोण ''ABC'' के आकार और कोण ''CAB'' के आकार के बराबर है। | |||
एचएसईएटी तार्किक रूप से यूक्लिडियन कथन के समतुल्य है कि [[त्रिभुज के कोणों का योग]] 180° है। यदि यह ज्ञात है कि एक त्रिभुज में कोणों की माप का योग 180° है, तो एचएसईएटी इस प्रकार सिद्ध होता है: | |||
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एचएसईएटी का यूक्लिडियन प्रमाण (और साथ ही त्रिभुज के कोणों के योग पर परिणाम) बिंदु C से गुजरने वाली भुजा AB के समानांतर रेखा का निर्माण करके और फिर संगत कोणों के गुणों का उपयोग करके और समानांतर रेखाओं के वैकल्पिक आंतरिक कोणों का उपयोग करके शुरू होता है। उदाहरण के अनुसार निष्कर्ष प्राप्त करें।<ref>{{harvnb|Heath|1956|loc=Vol. 1, p. 316}}</ref> | |||
त्रिकोण में अज्ञात कोणों के उपायों की गणना करने का प्रयास करते समय एचएसईएटी बेहद उपयोगी हो सकता है। | त्रिकोण में अज्ञात कोणों के उपायों की गणना करने का प्रयास करते समय एचएसईएटी बेहद उपयोगी हो सकता है। | ||
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* {{Citation | last1=Wheater | first1=Carolyn C. | title=Homework Helpers: Geometry | publisher=Career Press | location=Franklin Lakes, NJ | isbn=978-1-56414-936-7 | year=2007 | pages=88–90}}. | * {{Citation | last1=Wheater | first1=Carolyn C. | title=Homework Helpers: Geometry | publisher=Career Press | location=Franklin Lakes, NJ | isbn=978-1-56414-936-7 | year=2007 | pages=88–90}}. | ||
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Latest revision as of 10:41, 1 November 2023
यूक्लिड के तत्वों में बहिष्कोण प्रमेय साध्य 1.16 है, जिसमें कहा गया है कि त्रिभुज के बाहरी कोण का माप दूरस्थ आंतरिक कोणों के उपायों में से किसी एक से अधिक है। यह निरपेक्ष ज्यामिति में एक मूल परिणाम है क्योंकि इसकी उपपत्ति समानांतर परिकल्पना पर निर्भर नहीं करती है।
ज्यामिति के कई उच्च माध्यमिक वर्णन में, "बहिष्कोण प्रमेय" शब्द को एक अलग परिणाम पर लागू किया गया है,[1] अर्थात् साध्य 1.32 का वह भाग जो बताता है कि त्रिभुज के बाहरी कोण का माप दूरस्थ आंतरिक कोणों के माप के योग के बराबर होता है।आंतरिक कोणों के उपाय। यह परिणाम, जो यूक्लिड के समानांतर सिद्धांत पर निर्भर करता है, इसे यूक्लिड के बाहरी कोण प्रमेय से अलग करने के लिए "उच्च माध्यमिक बहिष्कोण प्रमेय" (एचएसईएटी) के रूप में उल्लिखित किया जाएगा।
कुछ निर्माता "उच्च माध्यमिक बहिष्कोण प्रमेय" को बाहरी कोण प्रमेय के प्रबल रूप और :यूक्लिड के बहिष्कोण प्रमेय" को शिथिल रूप में उल्लिखित करते हैं।[2]
बहिष्कोण
एक त्रिभुज के तीन कोने होते हैं, जिन्हें शीर्ष कहते हैं। एक त्रिकोण (रेखा खंड) की भुजाएँ जो एक शीर्ष पर एक साथ आती हैं, दो कोण बनाती हैं (चार कोण यदि आप त्रिभुज की भुजाओं को रेखा खंडों के बजाय रेखाएँ मानते हैं)।[3] इन कोणों में से केवल एक कोण त्रिभुज की तीसरी भुजा को उसके आंतरिक भाग में समाहित करता है, और इस कोण को त्रिभुज का आंतरिक कोण कहा जाता है।[4] नीचे दिए गए चित्र में कोण ∠ABC, ∠BCA और ∠CAB त्रिभुज के तीन आंतरिक कोण हैं। त्रिभुज की एक भुजा को बढ़ाकर एक बहिष्कोण बनाया जाता है; विस्तारित भुजा और दूसरी भुजा के बीच का कोण बाह्य कोण है। चित्र में, कोण ∠ACD एक बहिष्कोण है।
यूक्लिड का बहिष्कोण प्रमेय
यूक्लिड द्वारा दिए गए साध्य 1.16 के प्रमाण को प्रायः एक स्थान के रूप में प्रमाणित किया जाता है जहां यूक्लिड त्रुटिपूर्ण प्रमाण देता है।[5][6][7]
यूक्लिड बहिष्कोण प्रमेय को इस प्रकार सिद्ध करता है:
- खंड AC का मध्यबिंदु E का निर्माण करें,
- किरण BE खींचिए,
- किरण BE पर बिंदु F की रचना करें ताकि E, B और F का मध्यबिंदु (भी) हो,
- खण्ड FC खींचिए।
सर्वांगसम त्रिभुजों से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि ∠ BAC = ∠ ECF और ∠ ECF, ∠ ECD से छोटा है, ∠ ECD = ∠ ACD इसलिए ∠ BAC, ∠ ACD से छोटा है और यही कोण ∠ CBA के लिए BC को भी समद्विभाजित करके किया जा सकता है।
त्रुटि इस कल्पना में निहित है कि एक बिंदु (F, ऊपर) "आंतरिक" कोण (∠ ACD) पर स्थित है। इस कथन के लिए कोई कारण नहीं दिया गया है, लेकिन संलग्न आरेख इसे एक सत्य कथन जैसा दीखाता है। जब यूक्लिडियन ज्यामिति के लिए स्वयंसिद्धों का एक पूरा समुच्चय उपयोग किया जाता है (ज्यामिति के आधार देखें) यूक्लिड का यह दावा सिद्ध किया जा सकता है।[8]
गोलाकार ज्यामिति में अमान्यता
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बहिष्कोण प्रमेय गोलाकार ज्यामिति में मान्य नहीं है और न ही संबंधित अण्डाकार ज्यामिति में। एक गोलाकार त्रिभुज पर विचार करें जिसका एक शीर्ष उत्तरी ध्रुव है और अन्य दो भूमध्य रेखा पर स्थित हैं। उत्तरी ध्रुव (गोले के बड़े घेरे) से निकलने वाली त्रिभुज की भुजाएँ दोनों भूमध्य रेखा से समकोण पर मिलती हैं, इसलिए इस त्रिभुज का एक बाहरी कोण है जो एक दूरस्थ आंतरिक कोण के बराबर है। अन्य आंतरिक कोण (उत्तरी ध्रुव पर) को 90° से बड़ा बनाया जा सकता है, जो आगे इस कथन की विफलता पर बल देता है। हालाँकि, चूंकि यूक्लिड का बहिष्कोण प्रमेय निरपेक्ष ज्यामिति में एक प्रमेय है, यह अतिपरवलीय ज्यामिति में स्वचालित रूप से मान्य है।
उच्च माध्यमिक बहिष्कोण प्रमेय
उच्च माध्यमिक बहिष्कोण प्रमेय (एचएसईएटी) का कहना है कि त्रिभुज के शीर्ष पर बाहरी कोण का आकार त्रिभुज के अन्य दो शीर्षों (दूरस्थ आंतरिक कोण) पर आंतरिक कोणों के आकार के बराबर होता है। तो, चित्र में, कोण ACD का आकार, कोण ABC के आकार और कोण CAB के आकार के बराबर है।
एचएसईएटी तार्किक रूप से यूक्लिडियन कथन के समतुल्य है कि त्रिभुज के कोणों का योग 180° है। यदि यह ज्ञात है कि एक त्रिभुज में कोणों की माप का योग 180° है, तो एचएसईएटी इस प्रकार सिद्ध होता है:
दूसरी ओर, यदि एचएसईएटी को सत्य कथन के रूप में लिया जाता है तो:
सिद्ध करना कि एक त्रिभुज के कोणों की मापों का योग 180° होता है।
एचएसईएटी का यूक्लिडियन प्रमाण (और साथ ही त्रिभुज के कोणों के योग पर परिणाम) बिंदु C से गुजरने वाली भुजा AB के समानांतर रेखा का निर्माण करके और फिर संगत कोणों के गुणों का उपयोग करके और समानांतर रेखाओं के वैकल्पिक आंतरिक कोणों का उपयोग करके शुरू होता है। उदाहरण के अनुसार निष्कर्ष प्राप्त करें।[9]
त्रिकोण में अज्ञात कोणों के उपायों की गणना करने का प्रयास करते समय एचएसईएटी बेहद उपयोगी हो सकता है।
टिप्पणियाँ
- ↑ Henderson & Taimiņa 2005, p. 110
- ↑ Wylie 1964, p. 101 & p. 106
- ↑ One line segment is considered the initial side and the other the terminal side. The angle is formed by going counterclockwise from the initial side to the terminal side. The choice of which line segment is the initial side is arbitrary, so there are two possibilities for the angle determined by the line segments.
- ↑ This way of defining interior angles does not presuppose that the sum of the angles of a triangle is 180 degrees.
- ↑ Faber 1983, p. 113
- ↑ Greenberg 1974, p. 99
- ↑ Venema 2006, p. 10
- ↑ Greenberg 1974, p. 99
- ↑ Heath 1956, Vol. 1, p. 316
संदर्भ
- Faber, Richard L. (1983), Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry, New York: Marcel Dekker, Inc., ISBN 0-8247-1748-1
- Greenberg, Marvin Jay (1974), Euclidean and Non-Euclidean Geometries/Development and History, San Francisco: W.H. Freeman, ISBN 0-7167-0454-4
- Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] ed.). New York: Dover Publications.
- (3 vols.): ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3).
- Henderson, David W.; Taimiņa, Daina (2005), Experiencing Geometry/Euclidean and Non-Euclidean with History (3rd ed.), Pearson/Prentice-Hall, ISBN 0-13-143748-8
- Venema, Gerard A. (2006), Foundations of Geometry, Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall, ISBN 0-13-143700-3
- Wylie, C. R. Jr. (1964), Foundations of Geometry, New York: McGraw-Hill
HSEAT references
- Geometry Textbook - Standard IX, Maharashtra State Board of Secondary and Higher Secondary Education, Pune - 411 005, India.
- Geometry Common Core, 'Pearson Education: Upper Saddle River, ©2010, pages 171-173 | United States.
- Wheater, Carolyn C. (2007), Homework Helpers: Geometry, Franklin Lakes, NJ: Career Press, pp. 88–90, ISBN 978-1-56414-936-7.
