पुनरावृत्त फलन: Difference between revisions

Latest revision as of 11:09, 1 November 2023

बार-बार, स्वयं से बना,समानता F केंद्र S के सबसे छोटे समभुजकोणीय पंचकोण को क्रमिक संकेंद्रित पंचकोण में विस्तारित करता है, इस तरह से कि हर एक की रूपरेखा पिछले पंचकोण के सभी शीर्षों से होकर गुजरता है, जिनमें से यह F के नीचे का प्रतिबिम्ब है। यदि रूपांतरण F अनिश्चित पुनरावृत्त के लिए पुनरावृत्त होता है, फिर A और K दो अनंत सर्पिलों के शुरुआती बिंदु हैं। गणित में, एक पुनरावृत्त फलन एक फलन $X \to X$ (अर्थात्, कुछ समुच्चय X से स्वयं में एक फलन) जो एक अन्य फलन $f : X \to X$ को स्वयं के साथ एक निश्चित संख्या में जोड़कर प्राप्त किया जाता है। एक ही कार्य को बार-बार लागू करने की प्रक्रिया को पुनरावृत्ति कहा जाता है। इस प्रक्रिया में, किसी आरंभिक वस्तु से शुरू करके, दिए गए फलन को लागू करने के परिणाम को फिर से निविष्ट के रूप में फलन में फीड किया जाता है, और यह प्रक्रिया दोहराई जाती है। उदाहरण के लिए दाईं ओर की छवि पर:

L =

{\mathit {F}}\,

( K ), M =

{\mathit {F}}\,\circ {\mathit {F}}\,

( K ) =

{\mathit {F}}\;^{2}\,

( K ),
फलन रचना के वृत्त के आकार के प्रतीक के साथ।

कंप्यूटर विज्ञान, भग्न, गतिकीय तंत्र, गणित और पुनर्सामान्यीकरण समूह भौतिकी में पुनरावृत्त कार्य अध्ययन की वस्तुएं हैं।

परिभाषा

समुच्चय X पर पुनरावृत्त फलन की औपचारिक परिभाषा इस प्रकार है।

मान लीजिए $X$ एक समुच्चय हो और $f : X \to X$ एक फलन हो।

$f n$ को f के n-वें पुनरावृति के रूप में परिभाषित करना ( हंस हेनरिक बर्मन^{[citation needed]}^[1]^[2]और जॉन फ्रेडरिक विलियम हर्शेल द्वारा प्रस्तुत एक संकेतन ^[3]^[1]^[4]^[2]), जहां n एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, इसके द्वारा:

f^{0}~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~\operatorname {id} _{X}

और

f^{n+1}~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~f\circ f^{n},

जहां

id X

X

पर तत्समक फलन और

f ○ g

फलन रचना को दर्शाता है। वह है,

(f ○ g)(x) = f (g (x))

,

हमेशा सहयोगी।

क्योंकि अंकन $f n$ फलन f के पुनरावृत्ति (रचना) या [[फलन के घातांक|फलन $f$ के घातांक]] दोनों को संदर्भित कर सकता है (उत्तरार्द्ध आमतौर पर त्रिकोणमितीय में उपयोग किया जाता है), कुछ गणितज्ञ^{[citation needed]} रचनात्मक अर्थ को दर्शाने के लिए $\circ$ का उपयोग करना चुनते हैं, फलन f(x) के n-वें पुनरावृत्ति के लिए $f \circ n (x)$ लिखते हैं, उदाहरण के लिए, $f \circ3 (x)$ अर्थ $f (f (f (x)))$ / इसी उद्देश्य के लिए, $f [n] (x)$ का उपयोग बेंजामिन पीयर्स द्वारा किया गया था^[5]^[2]^{[nb 1]} जबकि अल्फ्रेड प्रिंगशाइम और जूल्स मोल्क ने इसके बजाय $n f (x)$ का सुझाव दिया था। ।^[6]^[2]^{[nb 2]}

एबेलियन गुण और पुनरावृत्ति अनुक्रम

सामान्य तौर पर, निम्नलिखित सर्वसमिका सभी गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों m और n के लिए लागू होती है

f^{m}\circ f^{n}=f^{n}\circ f^{m}=f^{m+n}~.

यह संरचनात्मक रूप से घातांक के गुण के समान है कि $a m a n = a m + n$ , यानी विशेष स्थिति $f (x) = ax$ .

सामान्य तौर पर, स्वेच्छ सामान्य (ऋणात्मक, गैर-पूर्णांक, आदि) सूचकांक m और n के लिए, इस संबंध को अनुवाद प्रकार्यात्मक समीकरण सीएफ कहा जाता है, श्रोडर का समीकरण और एबेल समीकरण। लघुगणकीय पैमाने पर, यह चेबीशेव बहुपदों के नीडन गुण को कम कर देता है, $T m (T n (x)) = T m n (x)$ , चूंकि $T n (x) = cos(n arccos(x))$ /

संबंध $(f m) n (x) = (f n) m (x) = f mn (x)$ भी धारण करता है, घातांक के गुण के अनुरूप $(a m) n = (a n) m = a mn$ ।

फलन का अनुक्रम $f n$ को पिकार्ड अनुक्रम कहा जाता है,^[7]^[8] जिसका नाम चार्ल्स एमिल पिकार्ड के नाम पर रखा गया है।

$x$ में दिए गए x के लिए, मानों के अनुक्रम fn(x) को x की कक्षा कहा जाता है।

अगर $f n (x) = f n + m (x)$ कुछ पूर्णांक के लिए $m>0$ , कक्षा को आवर्ती कक्षा कहा जाता है। किसी दिए गए x के लिए m का ऐसा सबसे छोटा मान कक्षा का आवर्त कहलाता है। बिंदु $x$ को ही आवर्त बिन्दु कहते हैं। कंप्यूटर विज्ञान में चक्र का पता लगाने की समस्या एक कक्षा में पहला आवर्त बिंदु और कक्षा का आवर्त खोजने की कलन विधि समस्या है।

निश्चित बिंदु

यदि x में कुछ x के लिए f(x) = x (अर्थात् x की कक्षा की आवर्त 1 है), तो $x$ को पुनरावृत्त अनुक्रम का एक निश्चित बिंदु कहा जाता है। स्थिर बिन्दुओं के समुच्चय को प्राय: फिक्स (एफ) के रूप में दर्शाया जाता है। कई निश्चित-बिंदु प्रमेय मौजूद हैं जो विभिन्न स्थितियों में निश्चित बिंदुओं के अस्तित्व की गारंटी देते हैं, जिसमें बनच निश्चित बिंदु प्रमेय और ब्रोवर निश्चित बिंदु प्रमेय सम्मिलित हैं।

निश्चित बिंदु पुनरावृत्ति द्वारा प्रस्तुत अनुक्रमों के अभिसरण त्वरण के लिए कई प्रविधि हैं।^[9] उदाहरण के लिए, ऐटकेन विधि को पुनरावृत्त निश्चित बिंदु पर लागू किया जाता है जिसे स्टीफ़ेंसन की विधि के रूप में जाना जाता है, और द्विघात अभिसरण उत्पन्न करता है।

सीमित व्यवहार

पुनरावृति पर, कोई यह पा सकता है कि ऐसे समुच्चय हैं जो संकुचित होते हैं और एक बिंदु की ओर अभिसरण करते हैं। ऐसी स्थिति में, जिस बिंदु पर अभिसरण होता है उसे एक आकर्षक निश्चित बिंदु के रूप में जाना जाता है। इसके विपरीत, पुनरावृति एक बिंदु से अलग होने वाले बिंदुओं का आभास दे सकती है; यह अस्थिर निश्चित बिंदु के स्थिति में होगा।^[10] जब कक्षा के बिंदु एक या अधिक सीमाओं में अभिसरण करते हैं, तो कक्षा के संचयन बिंदुओं के समुच्चय को सीमा समुच्चय या ω-सीमा समुच्चय के रूप में जाना जाता है।

आकर्षण और प्रतिकर्षण के विचार समान रूप से सामान्य होते हैं; पुनरावृत्ति के तहत छोटे प्रतिवेश के व्यवहार के अनुसार, पुनरावृति को स्थिर समुच्चय और अस्थिर समुच्चय में वर्गीकृत किया जा सकता है। (विश्लेषणात्मक फलन की अनंत रचनाएं भी देखें।)

अन्य सीमित व्यवहार संभव हैं; उदाहरण के लिए, अस्थिर बिंदु वे बिंदु होते हैं जो दूर चले जाते हैं, और जहां से उन्होंने शुरू किया था, उसके करीब कभी वापस नहीं आते हैं।

निश्चर माप

यदि कोई व्यक्तिगत बिंदु गतिकी के बजाय घनत्व वितरण के विकास पर विचार करता है, तो सीमित व्यवहार निश्चर माप द्वारा दिया जाता है। इसे बार-बार पुनरावृत्ति के तहत बिंदु-समूह या चूर्ण-समूह के व्यवहार के रूप में देखा जा सकता है। निश्चर माप रूले-फ्रोबेनियस-पेरॉन प्रचालक या स्थानांतरण प्रचालक का एक ईजेनस्टेट है, जो 1 के ईजेनवेल्यू के अनुरूप है। छोटे ईजेनवेल्यूज अस्थिर, क्षय अवस्था के अनुरूप हैं।

सामान्य तौर पर, क्योंकि बार-बार पुनरावृत्ति एक बदलाव से मेल खाती है,और इसके सहायक,कोपमैन प्रचालक दोनों को शिफ्ट अंतरालक पर शिफ्ट प्रचालक की कार्रवाई के रूप में व्याख्या की जा सकती है। परिमित प्रकार के उप शिफ्ट का सिद्धांत कई पुनरावृत्त प्रकार्य में सामान्य अंतर्दृष्टि प्रदान करता है, विशेष रूप से वे जो अराजकता की ओर ले जाते हैं।

भिन्नात्मक पुनरावृति और प्रवाह, और ऋणात्मक पुनरावृति

g: R→R ,f: R⁺→R⁺, f(x) = sin(x) का एक तुच्छ 5वां मूल फलन है। f(π⁄6) = 1/2 = g5(π⁄6) की गणना दिखाई गई है।

संकेतन $f 1/ n$ का उपयोग सावधानी से किया जाना चाहिए जब समीकरण $g n (x) = f (x)$ के कई समाधान हैं, जो आम तौर पर होता है, जैसा कि बैबेज के पहचान मानचित्र के प्रकार्यात्मक मूल के समीकरण में होता है। उदाहरण के लिए, के लिए $n = 2$ और $f (x) = 4 x - 6$ के लिए,दोनों $g (x) = 6 - 2 x$ और $g (x) = 2 x - 2$ समाधान हैं; इसलिए व्यंजक $f 1/2 (x)$ किसी अद्वितीय फलन को निरूपित नहीं करता है, जैसे संख्याओं के अनेक बीजगणितीय मूल होते हैं। यह परिणाम अंकगणित में "0/0" व्यंजक के समान है। यदि f के प्रक्षेत्र को पर्याप्त रूप से बढ़ाया जा सकता है, तो f का एक तुच्छ मूल चित्र हमेशा प्राप्त किया जा सकता है, चुनी गई मूल कक्षा आमतौर पर अध्ययन के तहत से संबंधित होती हैं।

किसी फलन की भिन्नात्मक पुनरावृति को परिभाषित किया जा सकता है: उदाहरण के लिए, फलन $f$ का अर्द्ध पुनरावृति एक फलन g है जैसे कि $g (g (x)) = f (x)$ |^[11] यह फलन $g (x)$ को $f 1/2 (x)$ के रूप में घातांक संकेतन का उपयोग करके लिखा जा सकता है। इसी तरह , $f 1/3 (x)$ इस तरह परिभाषित फलन है कि $f 1/3 (f 1/3 (f 1/3 (x))) = f (x)$ , जबकि $f 2/3 (x)$ को बराबर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $f 1/3 (f 1/3 (x))$ , और इसी प्रकार आगे भी, यह सब पहले बताए गए सिद्धांत पर आधारित हैं कि $f m ○ f n = f m + n$ | इस विचार को सामान्यीकृत किया जा सकता है ताकि पुनरावृति संख्या $n$ एक सतत अंतःखंडी अनुपात बन जाता है,एक सतत कक्षा का सतत "समय"।^[12]^[13]

ऐसी स्थिति में, पद्धति को प्रवाह के रूप में संदर्भित किया जाता है। (cf. नीचे संयुग्मन पर अनुभाग।)

ऋणात्मक पुनरावृत्त प्रकार्य व्युत्क्रम और उनकी रचनाओं के अनुरूप हैं। उदाहरण के लिए, $f -1 (x)$ का सामान्य प्रतिलोम है $f$ , जबकि $f -2 (x)$ स्वयं से बना प्रतिलोम है, अर्थात $f -2 (x) = f -1 (f -1 (x))$ | भिन्नात्मक ऋणात्मक पुनरावृत्त को भिन्नात्मक घनात्मक के अनुरूप परिभाषित किया जाता है; उदाहरण के लिए, $f -1/2 (x)$ इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि $f -1/2 (f -1/2 (x)) = f -1 (x)$ , या, तुल्यतः रूप से, ऐसा कि $f -1/2 (f 1/2 (x)) = f 0 (x) = x$ |

भिन्नात्मक पुनरावृत्ति के लिए कुछ सूत्र

भिन्नात्मक पुनरावृति के लिए एक श्रेणी सूत्र खोजने के कई विधि में से एक, एक निश्चित बिंदु का उपयोग करते हुए, इस प्रकार है।^[14]

पहले फलन के लिए एक निश्चित बिंदु निर्धारित करें जैसे $f (a) = a$ .
वास्तविक से संबंधित सभी n के लिए $f n (a) = a$ परिभाषित करें। यह, कुछ स्थिति में, भिन्नात्मक पुनरावृति पर रखने के लिए सबसे प्राकृतिक अतिरिक्त स्थिति है।
टेलरश्रेणी के रूप में निश्चित बिंदु a के आस-पास $f n (x)$ का विस्तार करें, $f^{n}(x)=f^{n}(a)+(x-a)\left.{\frac {d}{dx}}f^{n}(x)\right|_{x=a}+{\frac {(x-a)^{2}}{2}}\left.{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f^{n}(x)\right|_{x=a}+\cdots$
प्रसारित करें $f^{n}(x)=f^{n}(a)+(x-a)f'(a)f'(f(a))f'(f^{2}(a))\cdots f'(f^{n-1}(a))+\cdots$
$f k (a) = a$ ,के लिए, किसी भी के लिए प्रतिस्थापी करें $f^{n}(x)=a+(x-a)f'(a)^{n}+{\frac {(x-a)^{2}}{2}}(f''(a)f'(a)^{n-1})\left(1+f'(a)+\cdots +f'(a)^{n-1}\right)+\cdots$
शर्तों को सरल बनाने के लिए ज्यामितीय श्रेढ़ी का उपयोग करें, $f^{n}(x)=a+(x-a)f'(a)^{n}+{\frac {(x-a)^{2}}{2}}(f''(a)f'(a)^{n-1}){\frac {f'(a)^{n}-1}{f'(a)-1}}+\cdots$ एक विशेष स्थिति है जब $f'(a) = 1$ , $f^{n}(x)=x+{\frac {(x-a)^{2}}{2}}(nf''(a))+{\frac {(x-a)^{3}}{6}}\left({\frac {3}{2}}n(n-1)f''(a)^{2}+nf'''(a)\right)+\cdots$

यह अस्पष्टतापूर्वक तक किया जा सकता है, हालांकि अक्षम रूप से, क्योंकि बाद की शर्तें विस्तार रूप से जटिल हो जाती हैं। संयुग्मता पर निम्नलिखित खंड में एक अधिक व्यवस्थित प्रक्रिया की रूपरेखा दी गई है।

उदाहरण 1

उदाहरण के लिए, समुच्चयिंग $f (x) = Cx + D$ निश्चित बिंदु $a = D /(1 - C)$ देता है,इसलिए उपरोक्त सूत्र केवल समाप्त होता है

f^{n}(x)={\frac {D}{1-C}}+\left(x-{\frac {D}{1-C}}\right)C^{n}=C^{n}x+{\frac {1-C^{n}}{1-C}}D~,

जो जांच के लिए तुच्छ है।

उदाहरण 2

मान ज्ञात कीजिए ${\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdots }}}$ जहां यह n बार किया जाता है (और संभवतः अंतर्वेशित मान जब n पूर्णांक नहीं होता है)। हमारे पास $f (x) = \sqrt 2 x$ है | एक नियत बिंदु a = f(2) = 2 है। तो $x = 1$ समुच्चय करें और $f n (1)$ 2 के निश्चित बिंदु मान के चारों ओर विस्तारित तब एक अनंत श्रेणी है,

{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdots }}}=f^{n}(1)=2-(\ln 2)^{n}+{\frac {(\ln 2)^{n+1}((\ln 2)^{n}-1)}{4(\ln 2-1)}}-\cdots

जो, केवल पहले तीन शर्तों को लेते हुए, पहले दशमलव स्थान पर सही होता है जब n धनात्मक-cf होता है। टेट्रेशन:

f n (1) = n \sqrt 2

. (अन्य निश्चित बिंदु

a = f (4) = 4

का उपयोग करने से श्रेणी अलग हो जाती है।)

$n = -1$ के लिए श्रेणी प्रतिलोम फलन की गणना करती है 2+ln x/ln 2.

उदाहरण 3

फलन $f (x) = x b$ के साथ, श्रेणी प्राप्त करने के लिए निश्चित बिंदु 1 के चारों ओर विस्तार करें

f^{n}(x)=1+b^{n}(x-1)+{\frac {1}{2}}b^{n}(b^{n}-1)(x-1)^{2}+{\frac {1}{3!}}b^{n}(b^{n}-1)(b^{n}-2)(x-1)^{3}+\cdots ~,

जो केवल x(bn ) की टेलर श्रेणी है जो 1 के आसपास विस्तारित है।

संयुग्मन

यदि $f$ और $g$ दो पुनरावर्तित फलन हैं, और एक सममिति $h$ उपस्थित है जैसे कि $g = h -1 ○ f ○ h$ , तो $f$ और $g$ स्थैतिक रूप से संयुग्मित कहा जाता है।

स्पष्ट रूप से, सममिति संयुग्मन पुनरावृत्ति के तहत संरक्षित है,जैसे $g n = h -1 ○ f n ○ h$ | इस प्रकार, यदि कोई एक पुनरावृत्त प्रकार्य पद्धति के लिए हल कर सकता है, तो उसके पास सभी स्थैतिक रूप से संयुग्मित पद्धतिय़ों के लिए भी समाधान हैं। उदाहरण के लिए, टेंट का नक्शा स्थैतिक रूप से तार्किक मानचित्र के साथ जुड़ा हुआ है। एक विशेष स्थिति के रूप में, $f (x) = x + 1$ लेते हुए, $g (x) = h -1 (h (x) + 1)$ का पुनरावृत्त होता है

g n (x) = h -1 (h (x) + n)

, किसी भी फलन

h

के लिए।

प्रतिस्थापन करने से $x = h -1 (y) = ϕ (y)$ प्राप्त होता है

g (ϕ (y)) = ϕ (y +1)

, एबेल समीकरण के रूप में जाना जाने वाला एक रूप।

यहां तक कि एक पूर्णतः सममिति की अनुपस्थिति में, एक निश्चित बिंदु के पास, यहां $x$ = 0, $f$ (0) = 0 पर लिया जाता है, अक्सर एक ^[15] फलनΨ के लिए श्रोडर के समीकरण को हल किया जा सकता है, जो $f (x)$ बनाता है स्थैतिक रूप से एक मात्र विस्तार के लिए संयुग्मित, $g (x) = f'(0) x$ , अर्थात

f (x) = Ψ -1 (f'(0) Ψ(x)) |

.

इस प्रकार, इसकी पुनरावृति कक्षा, या प्रवाह, उपयुक्त प्रावधानों के तहत (जैसे, $f'(0) \neq 1$ ), एकपदी कक्षा के संयुग्म के बराबर है,

Ψ -1 (f'(0) n Ψ(x))

,

जहां $n$ इस व्यंजक में एक प्रत्यक्ष चर घातांक के रूप में कार्य करता है: प्रकार्यात्मक पुनरावृत्ति को गुणन में घटा दिया गया है! यहाँ, हालांकि, चर घातांक $n$ को अब पूर्णांक या धनात्मक होने की आवश्यकता नहीं है, और पूर्ण कक्षा के लिए विकास का एक सतत "समय" है:^[16] पिकार्ड अनुक्रम का एकाभ (cf. रूपांतरण अर्धसमूह) एक पूर्ण सतत समूह के लिए सामान्यीकृत है।^[17]

पहले अर्ध आवर्तन काल में जीवा फलन (नीला) के पुनरावृत्त। अर्ध-पुनरावृति (नारंगी), यानी जीवा का प्रकार्यात्मक वर्गमूल; उसका प्रकार्यात्मक वर्गमूल, उसके ऊपर चौथाई-पुनरावृत्ति ( काला); और आगे भिन्नात्मक 1/64 वें तक पुनरावृत्त होता है। (नीला) जीवा के नीचे के फलन इसके नीचे छह अभिन्न पुनरावृत्त हैं, दूसरे पुनरावृति (लाल) से शुरू होकर 64 वें पुनरावृति के साथ समाप्त होते हैं। हरे रंग का आवरण त्रिकोण सीमित अशक्त पुनरावृति का प्रतिनिधित्व करता है, सॉटूओथ फलन प्रारंभिक बिंदु के रूप में कार्य करता है जो जीवा फलन की ओर जाता है। असतत रेखा ऋणात्मक पहली पुनरावृति है, अर्थात जीवा (आर्क्सिन) का व्युत्क्रम। (सामान्य शिक्षाशास्त्र वेब-साइट से।^[18] अंकन के लिए, [2] देखें।)

यह विधि (प्रमुख ईजेनफंक्शनΨ, cf. कार्लमैन आव्यूह का अनुगामी निर्धारण) पिछले अनुभाग कलनविधि के समतुल्य है, यद्यपि, अभ्यास में, अधिक सशक्त और व्यवस्थित।

मार्कोव शृंखला

यदि फलन रैखिक है और एक प्रसंभाव्य आव्यूह द्वारा वर्णित किया जा सकता है, अर्थात एक आव्यूह जिसकी पंक्तियों या स्तंभों का योग एक है, तो पुनरावृत्त पद्धति को मार्कोव शृंखला के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण

कई अराजक नक्शें है। जाने-माने पुनरावृत्त फलन में मैंडेलब्रॉट समुच्चय और पुनरावृत्त फलन पद्धति सम्मिलित हैं।

1870 में अर्नस्ट श्रोडर, ^[19] ने तार्किक मानचित्र की विशेष स्थितियाें पर काम किया , जैसे अराजक स्थिति $f (x) = 4 x (1 - x)$ , ताकि $Ψ(x) = arcsin 2 (\sqrt x)$ , इसलिए $f n (x) = sin 2 (2 n arcsin(\sqrt x))$ |

श्रोडर ने भी अपनी विधि $f (x) = 2 x (1 - x)$ , के साथ एक अराजक स्थिति को भी चित्रित किया, जिससे $Ψ(x) = - 1 / 2 ln(1 - 2 x)$ प्राप्त हुआ और इसलिए $f n (x) = - 1 / 2 ((1 - 2 x) 2 n - 1)$ |

अगर $f$ एक समुच्चय पर समूह तत्व की क्रिया है, तो पुनरावृत्त फलन एक मुक्त समूह से मेल खाता है।

अधिकांश फलन में n-वें पुनरावृत्त के लिए स्पष्ट सामान्य संवृत रूप व्यंजक नहीं होता है। नीचे दी गई तालिका मे कुछ सूचीबद्ध करते है^[19] ध्यान दें कि ये सभी व्यंजक गैर-पूर्णांक और ऋणात्मक n के साथ-साथ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n के लिए भी मान्य हैं।

$f(x)$	$f^{n}(x)$
$x+b$	$x+nb$
$ax+b\ (a\neq 1)$	$a^{n}x+{\frac {a^{n}-1}{a-1}}b$
$ax^{b}\ (b\neq 1)$	$a^{\frac {b^{n}-1}{b-1}}x^{b^{n}}$
$ax^{2}+bx+{\frac {b^{2}-2b}{4a}}$ (नोट देखें)	${\frac {2\alpha ^{2^{n}}-b}{2a}}$ जहां: $\alpha ={\frac {2ax+b}{2}}$
$ax^{2}+bx+{\frac {b^{2}-2b-8}{4a}}$ (नोट देखें)	${\frac {2\alpha ^{2^{n}}+2\alpha ^{-2^{n}}-b}{2a}}$ जहां: $\alpha ={\frac {2ax+b\pm {\sqrt {(2ax+b)^{2}-16}}}{4}}$
${\frac {ax+b}{cx+d}}$ (तर्कसंगत अंतर समीकरण)^[20]	${\frac {a}{c}}+{\frac {bc-ad}{c}}\left[{\frac {(cx-a+\alpha )\alpha ^{n-1}-(cx-a+\beta )\beta ^{n-1}}{(cx-a+\alpha )\alpha ^{n}-(cx-a+\beta )\beta ^{n}}}\right]$ जहां: $\alpha ={\frac {a+d+{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2}}$ $\beta ={\frac {a+d-{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2}}$
$g^{-1}{\Big (}h{\bigl (}g(x){\bigr )}{\Big )}$	$g^{-1}{\Bigl (}h^{n}{\bigl (}g(x){\bigr )}{\Bigr )}$
$g^{-1}{\bigl (}g(x)+b{\bigr )}$ ( सामान्य एबेल समीकरण)	$g^{-1}{\bigl (}g(x)+nb{\bigr )}$
${\sqrt {x^{2}+b}}$	${\sqrt {x^{2}+bn}}$
$g^{-1}{\Bigl (}a\ g(x)+b{\Bigr )}\ (a\neq 1\vee b=0)$	$g^{-1}{\Bigl (}a^{n}g(x)+{\frac {a^{n}-1}{a-1}}b{\Bigr )}$
${\sqrt {ax^{2}+b}}$	${\sqrt {a^{n}x^{2}+{\frac {a^{n}-1}{a-1}}b}}$
$T_{m}(x)=\cos(m\arccos x)$ (पूर्णांक m के लिए चेबिशेव बहुपद)	$T_{mn}=\cos(m^{n}\arccos x)$

नोट: $ax 2 + bx + c$ की ये दो विशेष स्थितियाँ ही एकमात्र ऐसी स्थितियाँ हैं जिनका संवृत रूप में समाधान है। क्रमशः b = 2 = -a और b = 4 = -a चुनने से, उन्हें तालिका से पहले चर्चा किए गए गैर-अराजक और अराजक तार्किक स्थितियाें में कम कर दिया जाता है।

इनमें से कुछ उदाहरण आपस में सरल संयुग्मन द्वारा संबंधित हैं। कुछ और उदाहरण, अनिवार्य रूप से श्रोडर के उदाहरणों की सरल संयुग्मन के लिए उल्लेख में पाए जा सकते हैं।^[21]

अध्ययन के साधन

पुनरावृत्त फलन का अध्ययन आर्टिन-मज़ूर जेटा फलन और स्थानांतरण प्रचालकों के साथ किया जा सकता है।

कंप्यूटर विज्ञान में

कंप्यूटर विज्ञान में, पुनरावृत्त फलन पुनरावर्ती प्रकार्य के एक विशेष स्थिति के रूप में होते हैं, जो बदले में लैम्ब्डा कलन ,या संकीर्ण वाले जैसे व्यापक विषयों के अध्ययन को एंकर करते हैं, जैसे कंप्यूटर प्रोग्राम के सांकेतिक शब्दार्थविज्ञान |

पुनरावृत्त फलन के संदर्भ में परिभाषाएँ

पुनरावृत्त फलन के संदर्भ में दो महत्वपूर्ण फलन को परिभाषित किया जा सकता है। ये संकलन हैं:

\left\{b+1,\sum _{i=a}^{b}g(i)\right\}\equiv \left(\{i,x\}\rightarrow \{i+1,x+g(i)\}\right)^{b-a+1}\{a,0\}

और समतुल्य परिणाम:

\left\{b+1,\prod _{i=a}^{b}g(i)\right\}\equiv \left(\{i,x\}\rightarrow \{i+1,xg(i)\}\right)^{b-a+1}\{a,1\}

प्रकार्यात्मक अवकलज

पुनरावृत्त फलन का प्रकार्यात्मक अवकलज पुनरावर्ती सूत्र द्वारा दिया जाता है:

{\frac {\delta f^{N}(x)}{\delta f(y)}}=f'(f^{N-1}(x)){\frac {\delta f^{N-1}(x)}{\delta f(y)}}+\delta (f^{N-1}(x)-y)

असत्य का डेटा ट्रांसपोर्ट समीकरण

$g (f (x))$ . जैसे संयुक्त फलन के श्रेणी विस्तार में पुनरावृत्त कार्य फलन होते हैं।

पुनरावृत्ति वेग, या बीटा फलन(भौतिकी) को देखते हुए,

v(x)=\left.{\frac {\partial f^{n}(x)}{\partial n}}\right|_{n=0}

फलन f के nवें पुनरावृति के लिए, हमारे पास ^[22]

g(f(x))=\exp \left[v(x){\frac {\partial }{\partial x}}\right]g(x).

|

उदाहरण के लिए, दृढ़ संवहन के लिए, यदि $f (x) = x + t$ , तब $v (x) = t$ |परिणामस्वरूप, $g (x + t) = exp(t \partial/\partial x) g (x)$ , सामान्य विस्थापन प्रचालक द्वारा क्रिया।

इसके विपरीत, ऊपर चर्चा किए गए सामान्य एबेल समीकरण के माध्यम से कोई भी स्वेच्छ $v (x)$ , दिया गया f(x) निर्दिष्ट कर सकता है,

f(x)=h^{-1}(h(x)+1),

जहां

h(x)=\int {\frac {1}{v(x)}}\,dx.

यह टिप्पण स्पष्ट करने से पता चलती है

f^{n}(x)=h^{-1}(h(x)+n)~.

सतत पुनरावृत्ति सूचकांक के लिए $t$ , फिर अब एक पादांक के रूप में लिखा गया है, यह एक सतत समूह के असत्य की प्रख्यात घातीय प्राप्ति के बराबर है,

e^{t~{\frac {\partial ~~}{\partial h(x)}}}g(x)=g(h^{-1}(h(x)+t))=g(f_{t}(x)).

प्रारंभिक प्रवाह वेग $v$ पूरे प्रवाह को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है, इस घातीय प्रस्तुति को देखते हुए जो स्वचालित रूप से अनुवाद प्रकार्यात्मक समीकरण का सामान्य समाधान प्रदान करता है,^[23] : $f_{t}(f_{\tau }(x))=f_{t+\tau }(x)~.$

यह भी देखें

तर्कहीन घुमाव
पुनरावृत्त फलन पद्धति
पुनरावर्ती विधि
घूर्णन संख्या
सरकोवस्की की प्रमेय
भिन्नात्मक कलन
पुनरावृत्ति संबंध
श्रोडर का समीकरण
प्रकार्यात्मक वर्गमूल
हाबिल फलन
विश्लेषणात्मक प्रकार्य की अनंत रचनाएँ
प्रवाह (गणित)
टेट्रेशन
प्रकार्यात्मक समीकरण

↑ while $f (n)$ is taken for the [[Derivative#Lagrange's notation| $n$ th derivative]]
↑ Alfred Pringsheim's and Jules Molk's (1907) notation $n f (x)$ to denote function compositions must not be confused with Rudolf von Bitter Rucker's (1982) notation $n x$ , introduced by Hans Maurer (1901) and Reuben Louis Goodstein (1947) for tetration, or with David Patterson Ellerman's (1995) $n x$ pre-superscript notation for roots.

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Herschel, John Frederick William (1820). "Part III. Section I. Examples of the Direct Method of Differences". A Collection of Examples of the Applications of the Calculus of Finite Differences. Cambridge, UK: Printed by J. Smith, sold by J. Deighton & sons. pp. 1–13 [5–6]. Archived from the original on 2020-08-04. Retrieved 2020-08-04. [1] (NB. Inhere, Herschel refers to his 1813 work and mentions Hans Heinrich Bürmann's older work.)
↑ ^2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 Cajori, Florian (1952) [March 1929]. "§472. The power of a logarithm / §473. Iterated logarithms / §533. John Herschel's notation for inverse functions / §535. Persistence of rival notations for inverse functions / §537. Powers of trigonometric functions". A History of Mathematical Notations. Vol. 2 (3rd corrected printing of 1929 issue, 2nd ed.). Chicago, USA: Open court publishing company. pp. 108, 176–179, 336, 346. ISBN 978-1-60206-714-1. Retrieved 2016-01-18. […] §473. Iterated logarithms […] We note here the symbolism used by Pringsheim and Molk in their joint Encyclopédie article: "²log_b a = log_b (log_b a), …, ^k+1log_b a = log_b (^klog_b a)."^[a] […] §533. John Herschel's notation for inverse functions, sin⁻¹ x, tan⁻¹ x, etc., was published by him in the Philosophical Transactions of London, for the year 1813. He says (p. 10): "This notation cos.⁻¹ e must not be understood to signify 1/cos. e, but what is usually written thus, arc (cos.=e)." He admits that some authors use cos.^m A for (cos. A)^m, but he justifies his own notation by pointing out that since d² x, Δ³ x, Σ² x mean dd x, ΔΔΔ x, ΣΣ x, we ought to write sin.² x for sin. sin. x, log.³ x for log. log. log. x. Just as we write d⁻ⁿ V=∫ⁿ V, we may write similarly sin.⁻¹ x=arc (sin.=x), log.⁻¹ x.=c^x. Some years later Herschel explained that in 1813 he used fⁿ(x), f⁻ⁿ(x), sin.⁻¹ x, etc., "as he then supposed for the first time. The work of a German Analyst, Burmann, has, however, within these few months come to his knowledge, in which the same is explained at a considerably earlier date. He[Burmann], however, does not seem to have noticed the convenience of applying this idea to the inverse functions tan⁻¹, etc., nor does he appear at all aware of the inverse calculus of functions to which it gives rise." Herschel adds, "The symmetry of this notation and above all the new and most extensive views it opens of the nature of analytical operations seem to authorize its universal adoption."^[b] […] §535. Persistence of rival notations for inverse function.— […] The use of Herschel's notation underwent a slight change in Benjamin Peirce's books, to remove the chief objection to them; Peirce wrote: "cos^[−1] x," "log^[−1] x."^[c] […] §537. Powers of trigonometric functions.—Three principal notations have been used to denote, say, the square of sin x, namely, (sin x)², sin x², sin² x. The prevailing notation at present is sin² x, though the first is least likely to be misinterpreted. In the case of sin² x two interpretations suggest themselves; first, sin x · sin x; second,^[d] sin (sin x). As functions of the last type do not ordinarily present themselves, the danger of misinterpretation is very much less than in case of log² x, where log x · log x and log (log x) are of frequent occurrence in analysis. […] The notation sinⁿ x for (sin x)ⁿ has been widely used and is now the prevailing one. […] (xviii+367+1 pages including 1 addenda page) (NB. ISBN and link for reprint of 2nd edition by Cosimo, Inc., New York, USA, 2013.)
↑ Herschel, John Frederick William (1813) [1812-11-12]. "On a Remarkable Application of Cotes's Theorem". Philosophical Transactions of the Royal Society of London. London: Royal Society of London, printed by W. Bulmer and Co., Cleveland-Row, St. James's, sold by G. and W. Nicol, Pall-Mall. 103 (Part 1): 8–26 [10]. doi:10.1098/rstl.1813.0005. JSTOR 107384. S2CID 118124706.
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↑ "तेतरतीओं.ऑर्ग".
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↑ For explicit instance, example 2 above amounts to just $f n (x) = Ψ -1 ((ln 2) n Ψ(x))$ , for any n, not necessarily integer, where Ψ is the solution of the relevant Schröder's equation, $Ψ(\sqrt 2 x) = ln 2 Ψ(x)$ . This solution is also the infinite m limit of $(f m (x) - 2)/(ln 2) m$ .
↑ Curtright, T. L. Evolution surfaces and Schröder functional methods.
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बाहरी कड़ियाँ

Gill, John (January 2017). "कॉम्प्लेक्स फ़ंक्शंस की अनंत रचनाओं के प्राथमिक सिद्धांत पर एक प्राइमर". Colorado State University.

श्रेणी:गतिशील प्रणालियाँ श्रेणी:भग्न श्रेणी:अनुक्रम और श्रृंखला श्रेणी:निश्चित अंक (गणित) श्रेणी:कार्य और मानचित्रण श्रेणी:प्रकार्यात्मकसमीकरण

[6] while $f (n)$ is taken for the [[Derivative#Lagrange's notation| $n$ th derivative]]

[NB_Rucker-8] Alfred Pringsheim's and Jules Molk's (1907) notation $n f (x)$ to denote function compositions must not be confused with Rudolf von Bitter Rucker's (1982) notation $n x$ , introduced by Hans Maurer (1901) and Reuben Louis Goodstein (1947) for tetration, or with David Patterson Ellerman's (1995) $n x$ pre-superscript notation for roots.

[Herschel_1820-1] 1.0 ^1.1 Herschel, John Frederick William (1820). "Part III. Section I. Examples of the Direct Method of Differences". A Collection of Examples of the Applications of the Calculus of Finite Differences. Cambridge, UK: Printed by J. Smith, sold by J. Deighton & sons. pp. 1–13 [5–6]. Archived from the original on 2020-08-04. Retrieved 2020-08-04. [1] (NB. Inhere, Herschel refers to his 1813 work and mentions Hans Heinrich Bürmann's older work.)

[Cajori_1929-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 Cajori, Florian (1952) [March 1929]. "§472. The power of a logarithm / §473. Iterated logarithms / §533. John Herschel's notation for inverse functions / §535. Persistence of rival notations for inverse functions / §537. Powers of trigonometric functions". A History of Mathematical Notations. Vol. 2 (3rd corrected printing of 1929 issue, 2nd ed.). Chicago, USA: Open court publishing company. pp. 108, 176–179, 336, 346. ISBN 978-1-60206-714-1. Retrieved 2016-01-18. […] §473. Iterated logarithms […] We note here the symbolism used by Pringsheim and Molk in their joint Encyclopédie article: "²log_b a = log_b (log_b a), …, ^k+1log_b a = log_b (^klog_b a)."^[a] […] §533. John Herschel's notation for inverse functions, sin⁻¹ x, tan⁻¹ x, etc., was published by him in the Philosophical Transactions of London, for the year 1813. He says (p. 10): "This notation cos.⁻¹ e must not be understood to signify 1/cos. e, but what is usually written thus, arc (cos.=e)." He admits that some authors use cos.^m A for (cos. A)^m, but he justifies his own notation by pointing out that since d² x, Δ³ x, Σ² x mean dd x, ΔΔΔ x, ΣΣ x, we ought to write sin.² x for sin. sin. x, log.³ x for log. log. log. x. Just as we write d⁻ⁿ V=∫ⁿ V, we may write similarly sin.⁻¹ x=arc (sin.=x), log.⁻¹ x.=c^x. Some years later Herschel explained that in 1813 he used fⁿ(x), f⁻ⁿ(x), sin.⁻¹ x, etc., "as he then supposed for the first time. The work of a German Analyst, Burmann, has, however, within these few months come to his knowledge, in which the same is explained at a considerably earlier date. He[Burmann], however, does not seem to have noticed the convenience of applying this idea to the inverse functions tan⁻¹, etc., nor does he appear at all aware of the inverse calculus of functions to which it gives rise." Herschel adds, "The symmetry of this notation and above all the new and most extensive views it opens of the nature of analytical operations seem to authorize its universal adoption."^[b] […] §535. Persistence of rival notations for inverse function.— […] The use of Herschel's notation underwent a slight change in Benjamin Peirce's books, to remove the chief objection to them; Peirce wrote: "cos^[−1] x," "log^[−1] x."^[c] […] §537. Powers of trigonometric functions.—Three principal notations have been used to denote, say, the square of sin x, namely, (sin x)², sin x², sin² x. The prevailing notation at present is sin² x, though the first is least likely to be misinterpreted. In the case of sin² x two interpretations suggest themselves; first, sin x · sin x; second,^[d] sin (sin x). As functions of the last type do not ordinarily present themselves, the danger of misinterpretation is very much less than in case of log² x, where log x · log x and log (log x) are of frequent occurrence in analysis. […] The notation sinⁿ x for (sin x)ⁿ has been widely used and is now the prevailing one. […] (xviii+367+1 pages including 1 addenda page) (NB. ISBN and link for reprint of 2nd edition by Cosimo, Inc., New York, USA, 2013.)

[Herschel_1813-3] Herschel, John Frederick William (1813) [1812-11-12]. "On a Remarkable Application of Cotes's Theorem". Philosophical Transactions of the Royal Society of London. London: Royal Society of London, printed by W. Bulmer and Co., Cleveland-Row, St. James's, sold by G. and W. Nicol, Pall-Mall. 103 (Part 1): 8–26 [10]. doi:10.1098/rstl.1813.0005. JSTOR 107384. S2CID 118124706.

[Peano_1903-4] Peano, Giuseppe (1903). Formulaire mathématique (in français). Vol. IV. p. 229.

[Peirce_1852-5] Peirce, Benjamin (1852). Curves, Functions and Forces. Vol. I (new ed.). Boston, USA. p. 203.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

[Pringsheim-Molk_1907-7] Pringsheim, Alfred; Molk, Jules (1907). Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées (in français). Vol. I. p. 195. Part I.

[9] Kuczma, Marek (1968). एक चर में कार्यात्मक समीकरण. Monografie Matematyczne. Warszawa: PWN – Polish Scientific Publishers.

[10] Kuczma, M., Choczewski B., and Ger, R. (1990). पुनरावृत्त कार्यात्मक समीकरण. Cambridge University Press. ISBN 0-521-35561-3.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[11] Carleson, L.; Gamelin, T. D. W. (1993). जटिल गतिकी. Universitext: Tracts in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97942-5.

[12] Istratescu, Vasile (1981). Fixed Point Theory, An Introduction, D. Reidel, Holland. ISBN 90-277-1224-7.

[13] "Finding f such that f(f(x))=g(x) given g". MathOverflow.

[14] Aldrovandi, R.; Freitas, L. P. (1998). "डायनेमिकल मैप्स का निरंतर परिवर्तन". J. Math. Phys. 39 (10): 5324. arXiv:physics/9712026. Bibcode:1998JMP....39.5324A. doi:10.1063/1.532574. hdl:11449/65519. S2CID 119675869.

[15] Berkolaiko, G.; Rabinovich, S.; Havlin, S. (1998). "विश्लेषणात्मक पुनरावर्तन के कार्लमैन प्रतिनिधित्व का विश्लेषण". J. Math. Anal. Appl. 224: 81–90. doi:10.1006/jmaa.1998.5986.

[16] "तेतरतीओं.ऑर्ग".

[17] Kimura, Tosihusa (1971). "On the Iteration of Analytic Functions", Funkcialaj Ekvacioj Archived 2012-04-26 at the Wayback Machine 14, 197-238.

[18] Curtright, T. L.; Zachos, C. K. (2009). "विकास प्रोफाइल और कार्यात्मक समीकरण". Journal of Physics A. 42 (48): 485208. arXiv:0909.2424. Bibcode:2009JPhA...42V5208C. doi:10.1088/1751-8113/42/48/485208. S2CID 115173476.

[19] For explicit instance, example 2 above amounts to just $f n (x) = Ψ -1 ((ln 2) n Ψ(x))$ , for any n, not necessarily integer, where Ψ is the solution of the relevant Schröder's equation, $Ψ(\sqrt 2 x) = ln 2 Ψ(x)$ . This solution is also the infinite m limit of $(f m (x) - 2)/(ln 2) m$ .

[20] Curtright, T. L. Evolution surfaces and Schröder functional methods.

[schr-21] 19.0 ^19.1 Schröder, Ernst (1870). "पुनरावृत्त कार्यों के बारे में". Math. Ann. 3 (2): 296–322. doi:10.1007/BF01443992. S2CID 116998358.

[22] Brand, Louis, "A sequence defined by a difference equation," American Mathematical Monthly 62, September 1955, 489–492. online

[23] Katsura, S.; Fukuda, W. (1985). "अराजक व्यवहार दिखाने वाले सटीक रूप से हल करने योग्य मॉडल". Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications. 130 (3): 597. Bibcode:1985PhyA..130..597K. doi:10.1016/0378-4371(85)90048-2.

[24] Berkson, E.; Porta, H. (1978). "विश्लेषणात्मक कार्यों और संरचना ऑपरेटरों के सेमिग्रुप". The Michigan Mathematical Journal. 25: 101–115. doi:10.1307/mmj/1029002009. Curtright, T. L.; Zachos, C. K. (2010). "Chaotic maps, Hamiltonian flows and holographic methods". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 43 (44): 445101. arXiv:1002.0104. Bibcode:2010JPhA...43R5101C. doi:10.1088/1751-8113/43/44/445101. S2CID 115176169.

[acz-25] Aczel, J. (2006), Lectures on Functional Equations and Their Applications (Dover Books on Mathematics, 2006), Ch. 6, ISBN 978-0486445236.

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Contents

परिभाषा

एबेलियन गुण और पुनरावृत्ति अनुक्रम

निश्चित बिंदु

सीमित व्यवहार

निश्चर माप

भिन्नात्मक पुनरावृति और प्रवाह, और ऋणात्मक पुनरावृति

भिन्नात्मक पुनरावृत्ति के लिए कुछ सूत्र

उदाहरण 1

उदाहरण 2

उदाहरण 3

संयुग्मन

मार्कोव शृंखला

उदाहरण

अध्ययन के साधन

कंप्यूटर विज्ञान में

पुनरावृत्त फलन के संदर्भ में परिभाषाएँ

प्रकार्यात्मक अवकलज

असत्य का डेटा ट्रांसपोर्ट समीकरण

यह भी देखें

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संदर्भ

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Result of repeatedly applying a mathematical function}}
+[[बार-बार,]] स्वयं  से बना,[[समानता]] ''F'' [[केंद्र]] ''S'' के सबसे छोटे  [[समभुजकोणीय पंचकोण]] को क्रमिक [[संकेंद्रित पंचकोण]] में विस्तारित करता है, इस तरह से कि हर एक की रूपरेखा पिछले पंचकोण के सभी शीर्षों से होकर गुजरता है, जिनमें से यह ''F'' के नीचे का प्रतिबिम्ब है। यदि रूपांतरण ''F'' अनिश्चित पुनरावृत्त के लिए पुनरावृत्त होता है, फिर A और K दो अनंत सर्पिलों के शुरुआती बिंदु हैं।                                            [[गणित]] में, एक '''पुनरावृत्त फलन''' एक फलन {{math|''X&nbsp;→&nbsp;X''}} (अर्थात्, कुछ [[समुच्चय]] X से स्वयं में एक फलन) जो एक अन्य फलन {{math|''f''&nbsp;:&nbsp;''X''&nbsp;→&nbsp;''X''}} को स्वयं के साथ एक निश्चित संख्या में जोड़कर प्राप्त किया जाता है। एक ही कार्य को बार-बार लागू करने की प्रक्रिया को [[पुनरावृत्ति]] कहा जाता है। इस प्रक्रिया में, किसी आरंभिक वस्तु से शुरू करके, दिए गए फलन को लागू करने के परिणाम को फिर से निविष्ट के रूप में फलन में फीड किया जाता है, और यह प्रक्रिया दोहराई जाती है। उदाहरण के लिए दाईं ओर की छवि पर:
-[[File:An iterated direct similarity yields spirals.svg|thumb|upright=1.8|फ़ंक्शन संरचना  स्वयं के साथ  बार-बार,  [[समानता (ज्यामिति)]] {{math|''F''}<br
-/>समानता (ज्यामिति)#Similarity_with_a_center S  सबसे छोटे नियमित बहुभुज को बड़ा करता है|'नियमित' पेंटागन क्रमिक संकेंद्री वस्तुओं [[पंचकोण]]ों में,  इस तरह से कि हर एक की रूपरेखा<br
-/>पिछले पंचकोण के सभी शीर्षों से होकर गुजरता है,<br
-/>जिसके अंतर्गत यह Image_(mathematics)#Image_of_an_element है {{math|''F''}}. अगर [[परिवर्तन (फ़ंक्शन)]] {{math|''F''}<br
-/>अनिश्चित काल के लिए पुनरावृत्त किया जाता है,  फिर ''ए''  और ''के''<br
-/>दो अनंत सर्पिलों के शुरुआती बिंदु हैं।]]                                                     [[गणित]] में, एक '''पुनरावृत्त फलन''' एक फलन {{math|''X&nbsp;→&nbsp;X''}} (अर्थात्, कुछ [[समुच्चय]] X से स्वयं में एक फलन) जो एक अन्य फलन {{math|''f''&nbsp;:&nbsp;''X''&nbsp;→&nbsp;''X''}} को स्वयं के साथ एक निश्चित संख्या में जोड़कर प्राप्त किया जाता है। एक ही कार्य को बार-बार लागू करने की प्रक्रिया को [[पुनरावृत्ति]] कहा जाता है। इस प्रक्रिया में, किसी आरंभिक वस्तु से शुरू करके, दिए गए फलन को लागू करने के परिणाम को फिर से निविष्ट के रूप में फलन में फीड किया जाता है, और यह प्रक्रिया दोहराई जाती है। उदाहरण के लिए दाईं ओर की छवि पर:
 :{{nobr|1=''L'' = <math>\mathit{F}\,</math>( ''K ''),   ''M '' = <math>\mathit{F}\,\circ \mathit{F}\,</math>( ''K '') = <math>\mathit{F}\;^{2}\,</math>( ''K ''),}}<br /> फलन रचना के वृत्त के आकार के प्रतीक के साथ।
@@ Line 25: / Line 19: @@
 हमेशा [[सहयोगी]]।
-क्योंकि अंकन {{math|''f'' <sup>''n''</sup>}} फलन f के पुनरावृत्ति (रचना) या [[फलन के घातांक|फलन {{mvar|''f''}} के घातांक]] दोनों को संदर्भित कर सकता है (उत्तरार्द्ध आमतौर पर [[त्रिकोणमितीय कार्य|त्रिकोणमितीय]] में उपयोग किया जाता है), कुछ गणितज्ञ{{citation needed|date=August 2020|reason=Origin? Example authors?}} रचनात्मक अर्थ को दर्शाने के लिए {{math|∘}}  का उपयोग करना चुनते हैं, फलन f(x) के n-वें पुनरावृत्ति के लिए  {{math|''f''{{i sup|∘''n''}}(''x'')}} लिखते हैं, उदाहरण के लिए, {{math|''f''{{i sup|∘3}}(''x'')}} अर्थ {{math|''f''(''f''(''f''(''x'')))}} / इसी उद्देश्य के लिए, {{math|''f'' <sup>[''n'']</sup>(''x'')}} का उपयोग [[बेंजामिन पीयर्स]] द्वारा किया गया था<ref name="Peirce_1852"/><ref name="Cajori_1929"/><ref group="nb">while {{math|''f'' <sup>(''n'')</sup>}} is taken for the [[Derivative#Lagrange's notation|{{math|''n''}}th derivative]]</ref> जबकि [[अल्फ्रेड प्रिंगशाइम]] और [[जूल्स मोल्क]] ने सुझाव दिया {{math|{{i sup|''n''}}''f''(''x'')}} बजाय।<ref name="Pringsheim-Molk_1907"/><ref name="Cajori_1929"/><ref group="nb" name="NB_Rucker"/>
+क्योंकि अंकन {{math|''f'' <sup>''n''</sup>}} फलन f के पुनरावृत्ति (रचना) या [[फलन के घातांक|फलन {{mvar|''f''}} के घातांक]] दोनों को संदर्भित कर सकता है (उत्तरार्द्ध आमतौर पर [[त्रिकोणमितीय कार्य|त्रिकोणमितीय]] में उपयोग किया जाता है), कुछ गणितज्ञ{{citation needed|date=August 2020|reason=Origin? Example authors?}} रचनात्मक अर्थ को दर्शाने के लिए {{math|∘}}  का उपयोग करना चुनते हैं, फलन f(x) के n-वें पुनरावृत्ति के लिए  {{math|''f''{{i sup|∘''n''}}(''x'')}} लिखते हैं, उदाहरण के लिए, {{math|''f''{{i sup|∘3}}(''x'')}} अर्थ {{math|''f''(''f''(''f''(''x'')))}} / इसी उद्देश्य के लिए, {{math|''f'' <sup>[''n'']</sup>(''x'')}} का उपयोग [[बेंजामिन पीयर्स]] द्वारा किया गया था<ref name="Peirce_1852"/><ref name="Cajori_1929"/><ref group="nb">while {{math|''f'' <sup>(''n'')</sup>}} is taken for the [[Derivative#Lagrange's notation|{{math|''n''}}th derivative]]</ref> जबकि [[अल्फ्रेड प्रिंगशाइम]] और [[जूल्स मोल्क]] ने इसके बजाय {{math|{{i sup|''n''}}''f''(''x'')}} का सुझाव दिया था। ।<ref name="Pringsheim-Molk_1907"/><ref name="Cajori_1929"/><ref group="nb" name="NB_Rucker"/>
-== एबेलियन संपत्ति और पुनरावृत्ति क्रम ==
+== एबेलियन गुण और पुनरावृत्ति अनुक्रम ==
-सामान्य तौर पर, निम्नलिखित सर्वसमिका सभी गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के लिए लागू होती है {{mvar|m}} और {{mvar|n}},
+सामान्य तौर पर, निम्नलिखित सर्वसमिका सभी गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों m और n के लिए लागू होती है
 : <math>f^m \circ f^n =   f^n \circ f^m = f^{m+n}~.</math>
-यह संरचनात्मक रूप से [[घातांक]] की संपत्ति के समान है {{math|1=''a''<sup>''m''</sup>''a''<sup>''n''</sup> = ''a''<sup>''m'' + ''n''</sup>}}, यानी विशेष मामला {{math|1=''f''(''x'') = ''ax''}}.
+यह संरचनात्मक रूप से [[घातांक]] के गुण के समान है कि {{math|1=''a''<sup>''m''</sup>''a''<sup>''n''</sup> = ''a''<sup>''m'' + ''n''</sup>}}, यानी विशेष स्थिति {{math|1=''f''(''x'') = ''ax''}}.
-सामान्य तौर पर, मनमाना सामान्य (नकारात्मक, गैर-पूर्णांक, आदि) सूचकांकों के लिए {{mvar|m}} और {{mvar|n}}, इस संबंध को अनुवाद कार्यात्मक समीकरण कहा जाता है, cf. श्रोडर का समीकरण और एबेल समीकरण। एक लघुगणकीय पैमाने पर, यह चेबीशेव बहुपदों की नेस्टिंग संपत्ति को कम कर देता है, {{math|1=''T''<sub>''m''</sub>(''T''<sub>''n''</sub>(''x'')) = ''T''<sub>''m n''</sub>(''x'')}}, तब से  {{math|1=''T''<sub>''n''</sub>(''x'') = cos(''n'' arccos(''x''))}}.
+सामान्य तौर पर, स्वेच्छ सामान्य (ऋणात्मक, गैर-पूर्णांक, आदि) सूचकांक m और n के लिए, इस संबंध को '''अनुवाद प्रकार्यात्मक समीकरण''' सीएफ कहा जाता है, [[श्रोडर का समीकरण]] और [[एबेल समीकरण]]। लघुगणकीय पैमाने पर, यह [[चेबीशेव बहुपदों]] के '''नीडन गुण''' को कम कर देता है, {{math|1=''T''<sub>''m''</sub>(''T''<sub>''n''</sub>(''x'')) = ''T''<sub>''m n''</sub>(''x'')}}, चूंकि {{math|1=''T''<sub>''n''</sub>(''x'') = cos(''n'' arccos(''x''))}} /
-रिश्ता  {{math|1=(''f''<sup> ''m''</sup>)<sup>''n''</sup>(''x'') = (''f''<sup> ''n''</sup>)<sup>''m''</sup>(''x'') = ''f''<sup> ''mn''</sup>(''x'')}} भी धारण करता है, घातांक की संपत्ति के अनुरूप  {{math|1=(''a''<sup>''m''</sup>)<sup>''n''</sup> = (''a''<sup>''n''</sup>)<sup>''m''</sup> = ''a''<sup>''mn''</sup>}}.
+संबंध {{math|1=(''f''<sup> ''m''</sup>)<sup>''n''</sup>(''x'') = (''f''<sup> ''n''</sup>)<sup>''m''</sup>(''x'') = ''f''<sup> ''mn''</sup>(''x'')}} भी धारण करता है, घातांक के गुण के अनुरूप  {{math|1=(''a''<sup>''m''</sup>)<sup>''n''</sup> = (''a''<sup>''n''</sup>)<sup>''m''</sup> = ''a''<sup>''mn''</sup>}}।
-कार्यों का क्रम  {{math|''f'' <sup>''n''</sup>}} को पिकार्ड अनुक्रम कहा जाता है,<ref>{{cite book |title=एक चर में कार्यात्मक समीकरण|last=Kuczma |first=Marek| author-link=Marek Kuczma|series=Monografie Matematyczne |year=1968 |publisher=PWN – Polish Scientific Publishers |location=Warszawa}}</ref><ref>{{cite book|title=पुनरावृत्त कार्यात्मक समीकरण| last=Kuczma| first=M., Choczewski B., and Ger, R. |year=1990|publisher=Cambridge University Press|isbn= 0-521-35561-3|url=https://archive.org/details/iterativefunctio0000kucz|url-access=registration}}</ref> चार्ल्स एमिल पिकार्ड के नाम पर।
+फलन का अनुक्रम {{math|''f'' <sup>''n''</sup>}} को '''पिकार्ड अनुक्रम''' कहा जाता है,<ref>{{cite book |title=एक चर में कार्यात्मक समीकरण|last=Kuczma |first=Marek| author-link=Marek Kuczma|series=Monografie Matematyczne |year=1968 |publisher=PWN – Polish Scientific Publishers |location=Warszawa}}</ref><ref>{{cite book|title=पुनरावृत्त कार्यात्मक समीकरण| last=Kuczma| first=M., Choczewski B., and Ger, R. |year=1990|publisher=Cambridge University Press|isbn= 0-521-35561-3|url=https://archive.org/details/iterativefunctio0000kucz|url-access=registration}}</ref> जिसका नाम [[चार्ल्स एमिल पिकार्ड]] के नाम पर रखा गया है।
-किसी प्रदत्त के लिए {{mvar|x}} में {{mvar|X}}, मानों का क्रम  {{math|''f''<sup>''n''</sup>(''x'')}} की [[कक्षा (गतिकी)]] कहलाती है {{mvar|x}}.
+{{mvar|x}} में दिए गए x के लिए, मानों के [[अनुक्रम]] fn(x) को x की [[कक्षा]] कहा जाता है।
-अगर  {{math|1=''f'' <sup>''n''</sup> (''x'') =  ''f'' <sup>''n''+''m''</sup> (''x'')}} कुछ पूर्णांक के लिए {{math|m>0}}, कक्षा को आवर्ती कक्षा कहा जाता है। सबसे छोटा ऐसा मूल्य {{mvar|m}} किसी प्रदत्त के लिए {{mvar|x}} को कक्षा की अवधि कहा जाता है। बिंदु {{mvar|x}} को ही आवर्त बिन्दु कहते हैं। कंप्यूटर विज्ञान में [[चक्र का पता लगाने]] की समस्या एक कक्षा में पहला [[आवधिक बिंदु]] और कक्षा की अवधि खोजने की [[कलन विधि]] समस्या है।
+अगर  {{math|1=''f'' <sup>''n''</sup> (''x'') =  ''f'' <sup>''n''+''m''</sup> (''x'')}} कुछ पूर्णांक के लिए {{math|m>0}}, कक्षा को '''आवर्ती कक्षा''' कहा जाता है। किसी दिए गए x के लिए m का ऐसा सबसे छोटा मान '''कक्षा का आवर्त''' कहलाता है। बिंदु {{mvar|x}} को ही आवर्त बिन्दु कहते हैं। कंप्यूटर विज्ञान में [[चक्र का पता लगाने]] की समस्या एक कक्षा में पहला [[आवधिक बिंदु|आवर्त बिंदु]] और [[कक्षा]] का आवर्त खोजने की [[कलन विधि]] समस्या है।
 == निश्चित बिंदु ==
-अगर {{math|1=''f''(''x'') = ''x''}} कुछ के लिए {{mvar|x}} में {{mvar|X}} (यानी, की कक्षा की अवधि {{mvar|x}} है {{math|1}}), तब {{mvar|x}} को पुनरावृत्त अनुक्रम का एक [[निश्चित बिंदु (गणित)]] कहा जाता है। स्थिर बिन्दुओं के समुच्चय को प्राय: निरूपित किया जाता है {{math|'''Fix'''(''f'')}}. कई [[निश्चित-बिंदु प्रमेय]] मौजूद हैं जो विभिन्न स्थितियों में निश्चित बिंदुओं के अस्तित्व की गारंटी देते हैं, जिसमें बनच निश्चित बिंदु प्रमेय और [[ब्रोवर निश्चित बिंदु प्रमेय]] शामिल हैं।
+यदि x में कुछ x के लिए f(x) = x (अर्थात् x की कक्षा की आवर्त 1 है), तो {{mvar|x}} को पुनरावृत्त अनुक्रम का एक [[निश्चित बिंदु (गणित)|निश्चित बिंदु]] कहा जाता है। स्थिर बिन्दुओं के समुच्चय को प्राय: '''फिक्स (एफ)''' के रूप में दर्शाया जाता है। कई [[निश्चित-बिंदु प्रमेय]] मौजूद हैं जो विभिन्न स्थितियों में निश्चित बिंदुओं के अस्तित्व की गारंटी देते हैं, जिसमें बनच निश्चित बिंदु प्रमेय और [[ब्रोवर निश्चित बिंदु प्रमेय]] सम्मिलित हैं।
-[[निश्चित बिंदु पुनरावृत्ति]] द्वारा उत्पादित अनुक्रमों के [[अभिसरण त्वरण]] के लिए कई तकनीकें हैं।<ref>{{Cite book| last1=Carleson|first1=L.| last2=Gamelin|first2=T. D. W.| title=जटिल गतिकी|series=Universitext: Tracts in Mathematics| publisher=Springer-Verlag| year=1993| isbn=0-387-97942-5| url-access=registration| url=https://archive.org/details/complexdynamics0000carl}}</ref> उदाहरण के लिए, ऐटकेन विधि को पुनरावृत्त निश्चित बिंदु पर लागू किया जाता है जिसे स्टीफ़ेंसन की विधि के रूप में जाना जाता है, और द्विघात अभिसरण उत्पन्न करता है।
+[[निश्चित बिंदु पुनरावृत्ति]] द्वारा प्रस्तुत अनुक्रमों के [[अभिसरण त्वरण]] के लिए कई प्रविधि हैं।<ref>{{Cite book| last1=Carleson|first1=L.| last2=Gamelin|first2=T. D. W.| title=जटिल गतिकी|series=Universitext: Tracts in Mathematics| publisher=Springer-Verlag| year=1993| isbn=0-387-97942-5| url-access=registration| url=https://archive.org/details/complexdynamics0000carl}}</ref> उदाहरण के लिए, ऐटकेन विधि को पुनरावृत्त निश्चित बिंदु पर लागू किया जाता है जिसे स्टीफ़ेंसन की विधि के रूप में जाना जाता है, और द्विघात अभिसरण उत्पन्न करता है।
 == सीमित व्यवहार ==
-पुनरावृति पर, कोई यह पा सकता है कि ऐसे सेट हैं जो सिकुड़ते हैं और एक बिंदु की ओर अभिसरण करते हैं। ऐसे मामले में, जिस बिंदु पर अभिसरण होता है उसे एक [[आकर्षक निश्चित बिंदु]] के रूप में जाना जाता है। इसके विपरीत, पुनरावृति एक बिंदु से अलग होने वाले बिंदुओं का आभास दे सकती है; यह [[अस्थिर निश्चित बिंदु]] के मामले में होगा।<ref>Istratescu, Vasile  (1981). ''Fixed Point Theory, An Introduction'',  D. Reidel, Holland.  {{ISBN|90-277-1224-7}}.</ref> जब कक्षा के बिंदु एक या अधिक सीमाओं में अभिसरण करते हैं, तो कक्षा के [[संचय बिंदु]]ओं के सेट को सीमा सेट या ω-सीमा सेट के रूप में जाना जाता है।
+पुनरावृति पर, कोई यह पा सकता है कि ऐसे समुच्चय हैं जो संकुचित होते हैं और एक बिंदु की ओर अभिसरण करते हैं। ऐसी स्थिति में, जिस बिंदु पर अभिसरण होता है उसे एक [[आकर्षक निश्चित बिंदु]] के रूप में जाना जाता है। इसके विपरीत, पुनरावृति एक बिंदु से अलग होने वाले बिंदुओं का आभास दे सकती है; यह [[अस्थिर निश्चित बिंदु]] के स्थिति में होगा।<ref>Istratescu, Vasile  (1981). ''Fixed Point Theory, An Introduction'',  D. Reidel, Holland.  {{ISBN|90-277-1224-7}}.</ref> जब कक्षा के बिंदु एक या अधिक सीमाओं में अभिसरण करते हैं, तो कक्षा के [[संचय बिंदु|संचयन बिंदु]]ओं के समुच्चय को [[सीमा समुच्चय]] या '''ω-सीमा समुच्चय''' के रूप में जाना जाता है।
-आकर्षण और प्रतिकर्षण के विचार समान रूप से सामान्य होते हैं; पुनरावृत्ति के तहत छोटे [[पड़ोस (गणित)]] के व्यवहार के अनुसार, पुनरावृति को [[स्थिर कई गुना]] और [[अस्थिर सेट]] में वर्गीकृत किया जा सकता है। (विश्लेषणात्मक कार्यों की अनंत रचनाएं भी देखें।)
+आकर्षण और प्रतिकर्षण के विचार समान रूप से सामान्य होते हैं; पुनरावृत्ति के तहत छोटे [[पड़ोस (गणित)|प्रतिवेश]] के व्यवहार के अनुसार, पुनरावृति को [[स्थिर कई गुना|स्थिर समुच्चय]] और [[अस्थिर सेट|अस्थिर समुच्चय]] में वर्गीकृत किया जा सकता है। ([[विश्लेषणात्मक फलन की अनंत रचनाएं]] भी देखें।)
-अन्य सीमित व्यवहार संभव हैं; उदाहरण के लिए, भटकने वाले बिंदु वे बिंदु होते हैं जो दूर चले जाते हैं, और जहां से उन्होंने शुरू किया था, उसके करीब कभी वापस नहीं आते हैं।
+अन्य सीमित व्यवहार संभव हैं; उदाहरण के लिए, अस्थिर बिंदु वे बिंदु होते हैं जो दूर चले जाते हैं, और जहां से उन्होंने शुरू किया था, उसके करीब कभी वापस नहीं आते हैं।
-== अपरिवर्तनीय माप ==
+== निश्चर माप ==
-यदि कोई व्यक्तिगत बिंदु गतिकी के बजाय घनत्व वितरण के विकास पर विचार करता है, तो सीमित व्यवहार अपरिवर्तनीय माप द्वारा दिया जाता है। इसे बार-बार पुनरावृत्ति के तहत बिंदु-बादल या धूल-बादल के व्यवहार के रूप में देखा जा सकता है। अपरिवर्तनीय माप रूले-फ्रोबेनियस-पेरॉन ऑपरेटर या [[ट्रांसफर ऑपरेटर]] का एक ईजेनस्टेट है, जो 1 के ईजेनवेल्यू के अनुरूप है। छोटे ईजेनवेल्यूज अस्थिर, क्षयकारी राज्यों के अनुरूप हैं।
+यदि कोई व्यक्तिगत बिंदु गतिकी के बजाय घनत्व वितरण के विकास पर विचार करता है, तो सीमित व्यवहार [[निश्चर माप]] द्वारा दिया जाता है। इसे बार-बार पुनरावृत्ति के तहत बिंदु-समूह या चूर्ण-समूह के व्यवहार के रूप में देखा जा सकता है। निश्चर माप रूले-फ्रोबेनियस-पेरॉन प्रचालक या [[ट्रांसफर ऑपरेटर|स्थानांतरण प्रचालक]] का एक ईजेनस्टेट है, जो 1 के ईजेनवेल्यू के अनुरूप है। छोटे ईजेनवेल्यूज अस्थिर, क्षय अवस्था के अनुरूप हैं।
-सामान्य तौर पर, क्योंकि बार-बार चलना एक शिफ्ट, ट्रांसफर ऑपरेटर और उसके सहायक से मेल खाता है, [[व्यापारी संचालिका]] को [[शिफ्ट स्पेस]] पर [[शिफ्ट ऑपरेटर]] की कार्रवाई के रूप में व्याख्या की जा सकती है। परिमित प्रकार के उपशिफ्ट का सिद्धांत कई पुनरावृत्त कार्यों में सामान्य अंतर्दृष्टि प्रदान करता है, विशेष रूप से वे जो अराजकता की ओर ले जाते हैं।
+सामान्य तौर पर, क्योंकि बार-बार पुनरावृत्ति एक बदलाव से मेल खाती है,और इसके सहायक,[[कोपमैन प्रचालक]] दोनों को [[शिफ्ट अंतरालक]] पर [[शिफ्ट प्रचालक]] की कार्रवाई के रूप में व्याख्या की जा सकती है। परिमित प्रकार के उप शिफ्ट का सिद्धांत कई पुनरावृत्त प्रकार्य में सामान्य अंतर्दृष्टि प्रदान करता है, विशेष रूप से वे जो अराजकता की ओर ले जाते हैं।
 == भिन्नात्मक पुनरावृति और प्रवाह, और ऋणात्मक पुनरावृति ==
-[[File:TrivFctRootExm svg.svg|thumb|{{color|#20b080|''g'': '''R'''→'''R'''}} की एक तुच्छ क्रियात्मक 5वीं जड़ है {{color|#901070|2=''f'': '''R'''<sup>+</sup>→'''R'''<sup>+</sup>, ''f''(''x'') = sin(''x'')}}. एफ की गणना ({{frac|π|6}}) = {{frac|1|2}} = जी<sup>5</sup>({{frac|π|6}}) दिखाई जा रही है।]]धारणा {{math|''f''{{i sup|1/''n''}}}} का उपयोग समीकरण के समय सावधानी से किया जाना चाहिए {{math|1=''g''<sup>''n''</sup>(''x'') = ''f''(''x'')}} के कई समाधान हैं, जो आम तौर पर होता है, जैसा कि कार्यात्मक वर्गमूल | पहचान मानचित्र के कार्यात्मक जड़ों के बैबेज के समीकरण में है। उदाहरण के लिए, के लिए {{math|1=''n'' = 2}} और {{math|1=''f''(''x'') = 4''x'' − 6}}, दोनों {{math|1=''g''(''x'') = 6 − 2''x''}} और {{math|1=''g''(''x'') = 2''x'' − 2}} समाधान हैं; तो अभिव्यक्ति {{math|''f''<sup> 1/2</sup>(''x'')}} एक अद्वितीय कार्य को निरूपित नहीं करता है, जैसे संख्याओं में कई बीजगणितीय जड़ें होती हैं। यह मुद्दा अंकगणित में शून्य#Algebra|0/0 द्वारा अभिव्यक्ति विभाजन के समान है। f का तुच्छ मूल सदैव प्राप्त किया जा सकता है यदि f{{'}}s डोमेन को पर्याप्त रूप से बढ़ाया जा सकता है, cf. चित्र। चुनी गई जड़ें आमतौर पर अध्ययन के तहत कक्षा से संबंधित होती हैं।
+[[File:TrivFctRootExm svg.svg|thumb|{{color|#20b080|''g'': '''R'''→'''R'''}} ,{{color|#901070|2=''f'': '''R'''<sup>+</sup>→'''R'''<sup>+</sup>, ''f''(''x'') = sin(''x'')}} का एक तुच्छ 5वां मूल फलन है। f(π⁄6) = 1/2 = g5(π⁄6) की गणना दिखाई गई है।]]संकेतन {{math|''f''{{i sup|1/''n''}}}} का उपयोग सावधानी से किया जाना चाहिए जब समीकरण {{math|1=''g''<sup>''n''</sup>(''x'') = ''f''(''x'')}} के कई समाधान हैं, जो आम तौर पर होता है, जैसा कि [[बैबेज]] के पहचान मानचित्र के प्रकार्यात्मक मूल के समीकरण में होता है। उदाहरण के लिए, के लिए {{math|1=''n'' = 2}} और {{math|1=''f''(''x'') = 4''x'' − 6}} के लिए,दोनों {{math|1=''g''(''x'') = 6 − 2''x''}} और {{math|1=''g''(''x'') = 2''x'' − 2}} समाधान हैं; इसलिए व्यंजक {{math|''f''<sup> 1/2</sup>(''x'')}} किसी अद्वितीय फलन को निरूपित नहीं करता है, जैसे संख्याओं के अनेक बीजगणितीय मूल होते हैं। यह परिणाम अंकगणित में "[[0/0]]" व्यंजक के समान है। यदि f के प्रक्षेत्र को पर्याप्त रूप से बढ़ाया जा सकता है, तो f का एक तुच्छ मूल चित्र हमेशा प्राप्त किया जा सकता है, चुनी गई मूल कक्षा आमतौर पर अध्ययन के तहत से संबंधित होती हैं।
-किसी फ़ंक्शन के भिन्नात्मक पुनरावृति को परिभाषित किया जा सकता है: उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन का [[कार्यात्मक वर्गमूल]] {{mvar|f}} एक कार्य है {{mvar|g}} ऐसा है कि {{math|1=''g''(''g''(''x'')) = ''f''(''x'')}}.<ref>{{cite web |work=MathOverflow |title=Finding f such that f(f(x))=g(x) given g |url=https://mathoverflow.net/q/66538 }}</ref> यह समारोह {{math|''g''(''x'')}} को इंडेक्स नोटेशन के रूप में लिखा जा सकता है {{math|''f''<sup> 1/2</sup>(''x'')}} . इसी प्रकार, {{math|''f''<sup> 1/3</sup>(''x'')}} ऐसा कार्य है जिसे परिभाषित किया गया है {{math|1=''f''<sup>1/3</sup>(''f''<sup>1/3</sup>(''f''<sup>1/3</sup>(''x''))) = ''f''(''x'')}}, जबकि {{math|''f''{{i sup|2/3}}(''x'')}} के बराबर परिभाषित किया जा सकता है {{math|''f''{{i sup| 1/3}}(''f''{{i sup|1/3}}(''x''))}}, और इत्यादि, सभी उस सिद्धांत पर आधारित हैं, जिसका उल्लेख पहले किया जा चुका है {{math|1=''f''<sup> ''m''</sup> ○ ''f''<sup> ''n''</sup> = ''f''<sup> ''m'' + ''n''</sup>}}. इस विचार को सामान्यीकृत किया जा सकता है ताकि पुनरावृति गिनती हो {{mvar|n}} एक निरंतर पैरामीटर बन जाता है, एक सतत कक्षा (गतिकी) का निरंतर समय।<ref>{{cite journal |first1=R. |last1=Aldrovandi |first2=L. P. |last2=Freitas |title=डायनेमिकल मैप्स का निरंतर परिवर्तन|journal=J. Math. Phys. |volume=39 |issue=10 |pages=5324 |year=1998 |doi=10.1063/1.532574 |arxiv=physics/9712026 |bibcode=1998JMP....39.5324A |hdl=11449/65519 |s2cid=119675869 |hdl-access=free }}</ref><ref>{{cite journal |first1=G. |last1=Berkolaiko |first2=S. |last2=Rabinovich |first3=S. |last3=Havlin |title=विश्लेषणात्मक पुनरावर्तन के कार्लमैन प्रतिनिधित्व का विश्लेषण|journal=J. Math. Anal. Appl. |volume=224 |pages=81–90 |year=1998 |doi=10.1006/jmaa.1998.5986 |doi-access=free }}</ref>
+किसी फलन की भिन्नात्मक पुनरावृति को परिभाषित किया जा सकता है: उदाहरण के लिए, फलन  {{mvar|f}}  का [[अर्द्ध पुनरावृति]] एक फलन g है जैसे कि {{math|1=''g''(''g''(''x'')) = ''f''(''x'')}} |<ref>{{cite web |work=MathOverflow |title=Finding f such that f(f(x))=g(x) given g |url=https://mathoverflow.net/q/66538 }}</ref> यह फलन {{math|''g''(''x'')}} को  {{math|''f''<sup> 1/2</sup>(''x'')}}  के रूप में घातांक संकेतन का उपयोग करके लिखा जा सकता है। इसी तरह , {{math|''f''<sup> 1/3</sup>(''x'')}} इस तरह परिभाषित फलन है कि {{math|1=''f''<sup>1/3</sup>(''f''<sup>1/3</sup>(''f''<sup>1/3</sup>(''x''))) = ''f''(''x'')}}, जबकि {{math|''f''{{i sup|2/3}}(''x'')}} को बराबर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है {{math|''f''{{i sup| 1/3}}(''f''{{i sup|1/3}}(''x''))}}, और इसी प्रकार आगे भी, यह सब पहले बताए गए सिद्धांत पर आधारित हैं कि {{math|1=''f''<sup> ''m''</sup> ○ ''f''<sup> ''n''</sup> = ''f''<sup> ''m'' + ''n''</sup>}} | इस विचार को सामान्यीकृत किया जा सकता है ताकि पुनरावृति संख्या {{mvar|n}} एक सतत अंतःखंडी अनुपात बन जाता है,एक सतत कक्षा का सतत "समय"।<ref>{{cite journal |first1=R. |last1=Aldrovandi |first2=L. P. |last2=Freitas |title=डायनेमिकल मैप्स का निरंतर परिवर्तन|journal=J. Math. Phys. |volume=39 |issue=10 |pages=5324 |year=1998 |doi=10.1063/1.532574 |arxiv=physics/9712026 |bibcode=1998JMP....39.5324A |hdl=11449/65519 |s2cid=119675869 |hdl-access=free }}</ref><ref>{{cite journal |first1=G. |last1=Berkolaiko |first2=S. |last2=Rabinovich |first3=S. |last3=Havlin |title=विश्लेषणात्मक पुनरावर्तन के कार्लमैन प्रतिनिधित्व का विश्लेषण|journal=J. Math. Anal. Appl. |volume=224 |pages=81–90 |year=1998 |doi=10.1006/jmaa.1998.5986 |doi-access=free }}</ref>
-ऐसे मामलों में, सिस्टम को [[प्रवाह (गणित)]] के रूप में संदर्भित किया जाता है। (cf. नीचे #Conjugacy पर अनुभाग।)
-नकारात्मक पुनरावृत्त कार्य व्युत्क्रम और उनकी रचनाओं के अनुरूप हैं। उदाहरण के लिए, {{math|''f''<sup> −1</sup>(''x'')}} का सामान्य प्रतिलोम है {{mvar|f}}, जबकि {{math|''f''<sup> −2</sup>(''x'')}} स्वयं से बना प्रतिलोम है, अर्थात {{math|1=''f''<sup> −2</sup>(''x'') = ''f''<sup> −1</sup>(''f''<sup> −1</sup>(''x''))}}. फ्रैक्शनल नेगेटिव इटरेट्स को फ्रैक्शनल पॉजिटिव के अनुरूप परिभाषित किया जाता है; उदाहरण के लिए, {{math|''f''<sup> −1/2</sup>(''x'')}} इस प्रकार परिभाषित किया गया है {{math|1=''f''<sup> −1/2</sup>(''f''<sup> −1/2</sup>(''x'')) = ''f''<sup> −1</sup>(''x'')}}, या, समकक्ष, जैसे कि {{math|1=''f''<sup> −1/2</sup>(''f''<sup> 1/2</sup>(''x'')) = ''f''<sup> 0</sup>(''x'') = ''x''}}.
+ऐसी स्थिति में, पद्धति को [[प्रवाह (गणित)|प्रवाह]] के रूप में संदर्भित किया जाता है। (cf. नीचे संयुग्मन पर अनुभाग।)
-=== आंशिक पुनरावृत्ति के लिए कुछ सूत्र ===
+ऋणात्मक पुनरावृत्त प्रकार्य व्युत्क्रम और उनकी रचनाओं के अनुरूप हैं। उदाहरण के लिए, {{math|''f''<sup> −1</sup>(''x'')}} का सामान्य प्रतिलोम है {{mvar|f}}, जबकि {{math|''f''<sup> −2</sup>(''x'')}} स्वयं से बना प्रतिलोम है, अर्थात {{math|1=''f''<sup> −2</sup>(''x'') = ''f''<sup> −1</sup>(''f''<sup> −1</sup>(''x''))}} | भिन्नात्मक ऋणात्मक पुनरावृत्त को भिन्नात्मक घनात्मक के अनुरूप परिभाषित किया जाता है; उदाहरण के लिए, {{math|''f''<sup> −1/2</sup>(''x'')}} इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि  {{math|1=''f''<sup> −1/2</sup>(''f''<sup> −1/2</sup>(''x'')) = ''f''<sup> −1</sup>(''x'')}}, या, तुल्यतः रूप से, ऐसा कि  {{math|1=''f''<sup> −1/2</sup>(''f''<sup> 1/2</sup>(''x'')) = ''f''<sup> 0</sup>(''x'') = ''x''}} |
-भिन्नात्मक पुनरावृति के लिए एक श्रृंखला सूत्र खोजने के कई तरीकों में से एक, एक निश्चित बिंदु का उपयोग करते हुए, इस प्रकार है।<ref>{{cite web |title=तेतरतीओं.ऑर्ग|url=http://Tetration.org/Tetration/index.html }}</ref>
+=== भिन्नात्मक पुनरावृत्ति के लिए कुछ सूत्र ===
-# पहले फ़ंक्शन के लिए एक निश्चित बिंदु निर्धारित करें जैसे कि {{math|1=''f''(''a'') = ''a''}}.
-# परिभाषित करना {{math|1=''f'' <sup>''n''</sup>(''a'') = ''a''}} सभी n के लिए वास्तविक से संबंधित है। यह, कुछ मायनों में, भिन्नात्मक पुनरावृति पर रखने के लिए सबसे स्वाभाविक अतिरिक्त स्थिति है।
+भिन्नात्मक पुनरावृति के लिए एक श्रेणी सूत्र खोजने के कई विधि में से एक, एक निश्चित बिंदु का उपयोग करते हुए, इस प्रकार है।<ref>{{cite web |title=तेतरतीओं.ऑर्ग|url=http://Tetration.org/Tetration/index.html }}</ref>
-# बढ़ाना {{math|''f''<sup>''n''</sup>(''x'')}} निश्चित बिंदु के आसपास एक [[टेलर श्रृंखला]] के रूप में, <math display="block">
+# पहले फलन के लिए एक निश्चित बिंदु निर्धारित करें जैसे  {{math|1=''f''(''a'') = ''a''}}.
+# वास्तविक से संबंधित सभी n के लिए {{math|1=''f'' <sup>''n''</sup>(''a'') = ''a''}} परिभाषित करें। यह, कुछ स्थिति में, भिन्नात्मक पुनरावृति पर रखने के लिए सबसे प्राकृतिक अतिरिक्त स्थिति है।
+# टेलरश्रेणी के रूप में निश्चित बिंदु a के आस-पास  {{math|''f''<sup>''n''</sup>(''x'')}} का विस्तार करें,<math display="block">
 f^n(x) = f^n(a) + (x-a)\left.\frac{d}{dx}f^n(x)\right|_{x=a} + \frac{(x-a)^2}2\left.\frac{d^2}{dx^2}f^n(x)\right|_{x=a} +\cdots
 </math>
-# विस्तार करें <math display="block">
+# प्रसारित करें <math display="block">
 f^n(x) = f^n(a) + (x-a) f'(a)f'(f(a))f'(f^2(a))\cdots f'(f^{n-1}(a)) + \cdots
 </math>
-# के लिए स्थानापन्न करें {{math|1=''f{{i sup|k}}''(''a'') = ''a''}}, किसी भी कश्मीर के लिए, <math display="block">
+# {{math|1=''f{{i sup|k}}''(''a'') = ''a''}},के लिए, किसी भी के लिए प्रतिस्थापी करें<math display="block">
 f^n(x) = a + (x-a) f'(a)^n + \frac{(x-a)^2}2(f''(a)f'(a)^{n-1})\left(1+f'(a)+\cdots+f'(a)^{n-1} \right)+\cdots
 </math>
-# शर्तों को सरल बनाने के लिए ज्यामितीय प्रगति का उपयोग करें, <math display="block">
+# शर्तों को सरल बनाने के लिए ज्यामितीय श्रेढ़ी का उपयोग करें, <math display="block">
 f^n(x) = a + (x-a) f'(a)^n + \frac{(x-a)^2}2(f''(a)f'(a)^{n-1})\frac{f'(a)^n-1}{f'(a)-1}+\cdots
-</math> एक विशेष मामला है जब {{math|1=''f'' '(a) = 1}}, <math display="block">
+</math> एक विशेष स्थिति है जब {{math|1=''f'' '(a) = 1}}, <math display="block">
 f^n(x) = x + \frac{(x-a)^2}2(n f''(a))+ \frac{(x-a)^3}6\left(\frac{3}{2}n(n-1) f''(a)^2 + n f'''(a)\right)+\cdots
 </math>
-यह अनिश्चित काल तक किया जा सकता है, हालांकि अक्षम रूप से, क्योंकि बाद की शर्तें तेजी से जटिल हो जाती हैं। संयुग्मता पर निम्नलिखित खंड में एक अधिक व्यवस्थित प्रक्रिया की रूपरेखा दी गई है।
+यह अस्पष्टतापूर्वक तक किया जा सकता है, हालांकि अक्षम रूप से, क्योंकि बाद की शर्तें विस्तार रूप से जटिल हो जाती हैं। संयुग्मता पर निम्नलिखित खंड में एक अधिक व्यवस्थित प्रक्रिया की रूपरेखा दी गई है।
 ====उदाहरण 1====
-उदाहरण के लिए, सेटिंग {{math|''f''(''x'') {{=}} ''Cx'' + ''D''}} निश्चित बिंदु देता है {{math|''a'' {{=}} ''D''/(1 − ''C'')}}, इसलिए उपरोक्त सूत्र सिर्फ पर समाप्त होता है
+उदाहरण के लिए, समुच्चयिंग {{math|''f''(''x'') {{=}} ''Cx'' + ''D''}} निश्चित बिंदु {{math|''a'' {{=}} ''D''/(1 − ''C'')}}  देता है,इसलिए उपरोक्त सूत्र केवल समाप्त होता है
 <math display="block">
 f^n(x)=\frac{D}{1-C} + \left(x-\frac{D}{1-C}\right)C^n=C^nx+\frac{1-C^n}{1-C}D ~,
@@ Line 100: / Line 95: @@
 ====उदाहरण 2====
-का मान ज्ञात कीजिए <math>\sqrt{2}^{ \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdots}} }</math> जहां यह n बार किया जाता है (और संभावित रूप से इंटरपोलेटेड मान जब n पूर्णांक नहीं होता है)। अपने पास {{math|1=''f''(''x'') = {{sqrt|2}}<sup>''x''</sup>}}. एक स्थिर बिन्दु है {{math|1=''a'' = ''f''(2) = 2}}.
+मान ज्ञात कीजिए <math>\sqrt{2}^{ \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdots}} }</math> जहां यह n बार किया जाता है (और संभवतः अंतर्वेशित मान जब n पूर्णांक नहीं होता है)। हमारे पास {{math|1=''f''(''x'') = {{sqrt|2}}<sup>''x''</sup>}} है | एक नियत बिंदु a = f(2) = 2 है। तो {{math|1=''x'' = 1}} समुच्चय करें और {{math|''f'' <sup>''n''</sup> (1)}} 2 के निश्चित बिंदु मान के चारों ओर विस्तारित तब एक अनंत श्रेणी है,<math display="block">
-सो सेट {{math|1=''x'' = 1}} और {{math|''f'' <sup>''n''</sup> (1)}} 2 के निश्चित बिंदु मान के चारों ओर विस्तारित तब एक अनंत श्रृंखला है,
-<math display="block">
 \sqrt{2}^{ \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdots}} } = f^n(1) = 2 - (\ln 2)^n + \frac{(\ln 2)^{n+1}((\ln 2)^n-1)}{4(\ln 2-1)} - \cdots
 </math>
-जो, केवल पहले तीन शब्दों को लेते हुए, पहले दशमलव स्थान पर सही होता है जब n धनात्मक-cf होता है। [[टेट्रेशन]]: {{math|1=''f'' <sup>''n''</sup>(1) = <sup>''n''</sup>{{sqrt|2}}}}. (अन्य निश्चित बिंदु का उपयोग करना {{math|1=''a'' = ''f''(4) {{=}} 4}} श्रृंखला को अलग करने का कारण बनता है।)
+जो, केवल पहले तीन शर्तों को लेते हुए, पहले दशमलव स्थान पर सही होता है जब n धनात्मक-cf होता है। [[टेट्रेशन]]: {{math|1=''f'' <sup>''n''</sup>(1) = <sup>''n''</sup>{{sqrt|2}}}}. (अन्य निश्चित बिंदु {{math|1=''a'' = ''f''(4) {{=}} 4}} का उपयोग करने से श्रेणी अलग हो जाती है।)
-के लिए {{math|1= ''n'' = −1}}, श्रृंखला प्रतिलोम फलन की गणना करती है {{sfrac|2|ln ''x''|ln 2}}.
+{{math|1= ''n'' = −1}} के लिए  श्रेणी प्रतिलोम फलन की गणना करती है {{sfrac|2|ln ''x''|ln 2}}.
 ====उदाहरण 3====
-समारोह के साथ {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''<sup>''b''</sup>}}, श्रृंखला प्राप्त करने के लिए निश्चित बिंदु 1 के चारों ओर विस्तार करें
+फलन  {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''<sup>''b''</sup>}} के साथ,  श्रेणी प्राप्त करने के लिए निश्चित बिंदु 1 के चारों ओर विस्तार करें
 <math display="block">
 f^n(x) = 1 + b^n(x-1) + \frac{1}2b^{n}(b^n-1)(x-1)^2 + \frac{1}{3!}b^n (b^n-1)(b^n-2)(x-1)^3 + \cdots ~,
 </math>
-जो केवल x की टेलर श्रृंखला है<sup>(बी<sup>n</sup> )</sup> लगभग 1 बड़ा हुआ।
+जो केवल x(bn ) की टेलर श्रेणी है जो 1 के आसपास विस्तारित है।
 == संयुग्मन ==
-अगर {{mvar|f}} और {{mvar|g}} दो पुनरावृत्त कार्य हैं, और एक [[होमियोमोर्फिज्म]] मौजूद है {{mvar|h}} ऐसा है कि  {{math| ''g'' {{=}}  ''h''<sup>−1</sup> ○ ''f'' ○ ''h'' }},  तब {{mvar|f}} और {{mvar|g}} स्थलाकृतिक संयुग्मन कहा जाता है।
+यदि {{mvar|f}} और {{mvar|g}} दो पुनरावर्तित फलन हैं, और एक [[होमियोमोर्फिज्म|सममिति]] {{mvar|h}} उपस्थित है जैसे कि {{math| ''g'' {{=}}  ''h''<sup>−1</sup> ○ ''f'' ○ ''h'' }},  तो  {{mvar|f}} और {{mvar|g}} [[स्थैतिक रूप से संयुग्मित]] कहा जाता है।
-स्पष्ट रूप से, [[सामयिक संयुग्मन]] पुनरावृत्ति के तहत संरक्षित है, जैसा कि {{math|''g''<sup>''n''</sup>&nbsp;{{=}}&nbsp;''h''<sup>−1</sup> &nbsp;○&nbsp;''f'' <sup>''n''</sup> ○ ''h''}}. इस प्रकार, यदि कोई एक पुनरावृत्त कार्य प्रणाली के लिए हल कर सकता है, तो उसके पास सभी स्थैतिक रूप से संयुग्मित प्रणालियों के लिए भी समाधान हैं। उदाहरण के लिए, टेंट का नक्शा स्थलीय रूप से [[रसद मानचित्र]] के साथ जुड़ा हुआ है। एक विशेष मामले के रूप में, लेना {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''&nbsp;+&nbsp;1}}, एक की पुनरावृत्ति है {{math|''g''(''x'') {{=}} ''h''<sup>&minus;1</sup>(''h''(''x'')&nbsp;+&nbsp;1)}} जैसा
+स्पष्ट रूप से, [[सामयिक संयुग्मन|सममिति]] [[सामयिक संयुग्मन|संयुग्मन]] पुनरावृत्ति के तहत संरक्षित है,जैसे {{math|''g''<sup>''n''</sup>&nbsp;{{=}}&nbsp;''h''<sup>−1</sup> &nbsp;○&nbsp;''f'' <sup>''n''</sup> ○ ''h''}} | इस प्रकार, यदि कोई एक पुनरावृत्त प्रकार्य  पद्धति के लिए हल कर सकता है, तो उसके पास सभी स्थैतिक रूप से संयुग्मित पद्धतिय़ों के लिए भी समाधान हैं। उदाहरण के लिए, [[टेंट का नक्शा]] स्थैतिक रूप से [[संयुग्मित|तार्किक]] [[रसद मानचित्र|मानचित्र]] के साथ जुड़ा हुआ है। एक विशेष स्थिति के रूप में,  {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''&nbsp;+&nbsp;1}} लेते हुए, {{math|''g''(''x'') {{=}} ''h''<sup>&minus;1</sup>(''h''(''x'')&nbsp;+&nbsp;1)}} का पुनरावृत्त होता है
-:{{math|''g''<sup>''n''</sup>(''x'') {{=}} ''h''<sup>&minus;1</sup>(''h''(''x'')&nbsp;+&nbsp;''n'')}},   किसी भी समारोह के लिए {{mvar|h}}.
+:{{math|''g''<sup>''n''</sup>(''x'') {{=}} ''h''<sup>&minus;1</sup>(''h''(''x'')&nbsp;+&nbsp;''n'')}}, किसी भी फलन {{mvar|h}} के लिए।
-प्रतिस्थापन बनाना {{math|''x'' {{=}} ''h''<sup>&minus;1</sup>(''y'') {{=}} ''ϕ''(''y'')}} पैदावार
+प्रतिस्थापन करने से {{math|''x'' {{=}} ''h''<sup>&minus;1</sup>(''y'') {{=}} ''ϕ''(''y'')}} प्राप्त होता है
-:{{math|''g''(''ϕ''(''y'')) {{=}} ''ϕ''(''y''+1)}},   एबेल समीकरण के रूप में जाना जाने वाला एक रूप।
+:{{math|''g''(''ϕ''(''y'')) {{=}} ''ϕ''(''y''+1)}},  [[एबेल समीकरण]] के रूप में जाना जाने वाला एक रूप।
-यहां तक कि एक निश्चित बिंदु के पास एक सख्त होमोमोर्फिज्म की अनुपस्थिति में, यहां पर होने के लिए लिया गया {{mvar|x}} = 0, {{mvar|f}}(0) = 0, कोई अक्सर हल कर सकता है<ref>Kimura, Tosihusa  (1971). "On the Iteration of Analytic Functions",  [http://www.math.sci.kobe-u.ac.jp/~fe/ ''Funkcialaj Ekvacioj''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120426011125/http://www.math.sci.kobe-u.ac.jp/~fe/ |date=2012-04-26  }} '''14''', 197-238.</ref> फ़ंक्शन Ψ के लिए श्रोडर का समीकरण, जो बनाता है {{math|''f''(''x'')}} स्थानीय रूप से एक मात्र फैलाव के लिए संयुग्मित, {{math|''g''(''x'') {{=}} ''f'' '(0) ''x''}}, वह है
+यहां तक कि एक पूर्णतः सममिति की अनुपस्थिति में, एक निश्चित बिंदु के पास, यहां  {{mvar|x}} = 0, {{mvar|f}}(0) = 0 पर लिया जाता है, अक्सर एक <ref>Kimura, Tosihusa  (1971). "On the Iteration of Analytic Functions",  [http://www.math.sci.kobe-u.ac.jp/~fe/ ''Funkcialaj Ekvacioj''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120426011125/http://www.math.sci.kobe-u.ac.jp/~fe/ |date=2012-04-26  }} '''14''', 197-238.</ref> फलनΨ के लिए [[श्रोडर के समीकरण]] को हल किया जा सकता है, जो  {{math|''f''(''x'')}} बनाता है स्थैतिक रूप से एक मात्र विस्तार के लिए संयुग्मित, {{math|''g''(''x'') {{=}} ''f'' '(0) ''x''}}, अर्थात
-:{{math|''f''(''x'') {{=}}  Ψ<sup>−1</sup>(''f'' '(0) Ψ(''x''))}}.
+:{{math|''f''(''x'') {{=}}  Ψ<sup>−1</sup>(''f'' '(0) Ψ(''x'')) {{!}}}}.
-इस प्रकार, इसकी पुनरावृति कक्षा, या प्रवाह, उपयुक्त प्रावधानों के तहत (जैसे, {{math|''f'' '(0) ≠ 1}}), मोनोमियल की कक्षा के संयुग्म के बराबर है,
+इस प्रकार, इसकी पुनरावृति कक्षा, या प्रवाह, उपयुक्त प्रावधानों के तहत (जैसे, {{math|''f'' '(0) ≠ 1}}),  एकपदी कक्षा के संयुग्म के बराबर है,
 :{{math|Ψ<sup>−1</sup>(''f'' '(0)<sup>''n''</sup> Ψ(''x''))}},
-कहाँ {{mvar|n}} इस अभिव्यक्ति में एक सादे प्रतिपादक के रूप में कार्य करता है: कार्यात्मक पुनरावृत्ति को गुणन में घटा दिया गया है! यहाँ, हालांकि, प्रतिपादक {{mvar|n}} अब पूर्णांक या धनात्मक होने की आवश्यकता नहीं है, और पूर्ण कक्षा के लिए विकास का एक सतत समय है:<ref>{{cite journal |author-last1=Curtright |author-first1=T. L. |author-link1=Thomas Curtright|author-last2=Zachos |author-first2=C. K. |author-link2=Cosmas Zachos | year=2009|title=विकास प्रोफाइल और कार्यात्मक समीकरण|journal=Journal of Physics A |volume=42|issue=48 |pages=485208|doi=10.1088/1751-8113/42/48/485208|arxiv=0909.2424|bibcode=2009JPhA...42V5208C|s2cid=115173476 }}</ref> पिकार्ड अनुक्रम का [[मोनोइड]] (cf. [[परिवर्तन अर्धसमूह]]) एक पूर्ण [[निरंतर समूह]] के लिए सामान्यीकृत है।<ref>For explicit instance, example 2 above amounts to just {{math|''f'' <sup>''n''</sup>(''x'') {{=}} Ψ<sup>−1</sup>((ln&nbsp;2)<sup>''n''</sup> Ψ(''x''))}}, for ''any n'', not necessarily integer, where Ψ is the solution of the relevant [[Schröder's equation]], {{math|Ψ({{sqrt|2}}<sup>''x''</sup>) {{=}}&nbsp;ln&nbsp;2&nbsp;Ψ(''x'')}}. This solution is also the infinite ''m'' limit of {{math|(''f'' <sup>''m''</sup>(''x'')&nbsp;−&nbsp;2)/(ln&nbsp;2)<sup>''m''</sup>}}.</ref>
+जहां ''{{mvar|n}} इस  व्यंजक में एक प्रत्यक्ष चर घातांक'' के रूप में कार्य करता है: ''प्रकार्यात्मक पुनरावृत्ति को गुणन में घटा'' दिया गया है! यहाँ, हालांकि, ''चर घातांक'' {{mvar|n}} को अब पूर्णांक या धनात्मक होने की आवश्यकता नहीं है, और पूर्ण कक्षा के लिए विकास का एक सतत "समय" है:<ref>{{cite journal |author-last1=Curtright |author-first1=T. L. |author-link1=Thomas Curtright|author-last2=Zachos |author-first2=C. K. |author-link2=Cosmas Zachos | year=2009|title=विकास प्रोफाइल और कार्यात्मक समीकरण|journal=Journal of Physics A |volume=42|issue=48 |pages=485208|doi=10.1088/1751-8113/42/48/485208|arxiv=0909.2424|bibcode=2009JPhA...42V5208C|s2cid=115173476 }}</ref> पिकार्ड अनुक्रम का एकाभ (cf. [[परिवर्तन अर्धसमूह|रूपांतरण अर्धसमूह]]) एक पूर्ण [[निरंतर समूह|सतत समूह]] के लिए सामान्यीकृत है।<ref>For explicit instance, example 2 above amounts to just {{math|''f'' <sup>''n''</sup>(''x'') {{=}} Ψ<sup>−1</sup>((ln&nbsp;2)<sup>''n''</sup> Ψ(''x''))}}, for ''any n'', not necessarily integer, where Ψ is the solution of the relevant [[Schröder's equation]], {{math|Ψ({{sqrt|2}}<sup>''x''</sup>) {{=}}&nbsp;ln&nbsp;2&nbsp;Ψ(''x'')}}. This solution is also the infinite ''m'' limit of {{math|(''f'' <sup>''m''</sup>(''x'')&nbsp;−&nbsp;2)/(ln&nbsp;2)<sup>''m''</sup>}}.</ref>
-[[File:Sine_iterations.svg|right|thumb|380px|साइन फ़ंक्शन के पुनरावृत्त (<span style= color:blue >blue</span>), पहली छमाही में। अर्ध-पुनरावृति (<span style= color:orange >orange</span>), यानी ज्या का कार्यात्मक वर्गमूल; उस का कार्यात्मक वर्गमूल, उसके ऊपर चौथाई-पुनरावृत्ति (काला); और आगे भिन्नात्मक 1/64 वें तक पुनरावृत्त होता है। (<span style= color:blue >blue</span>) ज्या के नीचे के फंक्शन इसके नीचे छह इंटीग्रल पुनरावृत्त हैं, जो दूसरे पुनरावृति (<span style= color:red >red</span>) से शुरू होते हैं और इसके साथ समाप्त होते हैं। 64वां पुनरावृति। <span style= color:green >green </span> लिमिटिंग नल इटरेट को लिमिटिंग ट्रायंगल दर्शाता है, सॉटूथ फंक्शन साइन फंक्शन की ओर ले जाने वाले शुरुआती बिंदु के रूप में काम करता है। धराशायी रेखा नकारात्मक पहली पुनरावृति है, अर्थात साइन (आर्क्सिन) का व्युत्क्रम।
+[[File:Sine_iterations.svg|right|thumb|380px|पहले अर्ध आवर्तन काल में जीवा फलन (<span style= color:blue >नीला</span>) के पुनरावृत्त। अर्ध-पुनरावृति (<span style= color:orange >नारंगी</span>), यानी जीवा का प्रकार्यात्मक वर्गमूल; उसका प्रकार्यात्मक वर्गमूल, उसके ऊपर चौथाई-पुनरावृत्ति ( काला); और आगे भिन्नात्मक 1/64 वें तक पुनरावृत्त होता है। (<span style= color:blue >नीला</span>) जीवा के नीचे के फलन इसके नीचे छह अभिन्न पुनरावृत्त हैं, दूसरे पुनरावृति ([[लाल]]) से शुरू होकर 64 वें पुनरावृति के साथ समाप्त होते हैं। [[हरे]] रंग का आवरण त्रिकोण सीमित अशक्त पुनरावृति का प्रतिनिधित्व करता है, सॉटूओथ फलन प्रारंभिक बिंदु के रूप में कार्य करता है जो जीवा फलन की ओर जाता है। असतत रेखा ऋणात्मक पहली पुनरावृति है, अर्थात जीवा (आर्क्सिन) का व्युत्क्रम।
-(सामान्य शिक्षाशास्त्र वेब-साइट से।<ref>Curtright, T. L. [http://www.physics.miami.edu/~curtright/Schroeder.html Evolution surfaces and Schröder functional methods.]</ref> अंकन के लिए, [http://www.physics.miami.edu/~curtright/TheRootsOfSin.pdf] देखें।)]]यह विधि (प्रिंसिपल [[eigenfunction]] Ψ, cf. [[कार्लमैन मैट्रिक्स]] का अनुगामी निर्धारण) पिछले अनुभाग के एल्गोरिथम के समतुल्य है, यद्यपि, व्यवहार में, अधिक शक्तिशाली और व्यवस्थित।
+(सामान्य शिक्षाशास्त्र वेब-साइट से।<ref>Curtright, T. L. [http://www.physics.miami.edu/~curtright/Schroeder.html Evolution surfaces and Schröder functional methods.]</ref> अंकन के लिए, [http://www.physics.miami.edu/~curtright/TheRootsOfSin.pdf] देखें।)]]यह विधि (प्रमुख ईजेनफंक्शनΨ, cf. [[कार्लमैन मैट्रिक्स|कार्लमैन]] आव्यूह का अनुगामी निर्धारण) पिछले अनुभाग कलनविधि के समतुल्य है, यद्यपि, अभ्यास में, अधिक सशक्त और व्यवस्थित।
-== मार्कोव चेन ==
+== मार्कोव शृंखला ==
-यदि फ़ंक्शन रैखिक है और एक [[ स्टोकेस्टिक मैट्रिक्स ]] द्वारा वर्णित किया जा सकता है, अर्थात एक मैट्रिक्स जिसकी पंक्तियों या स्तंभों का योग एक है, तो पुनरावृत्त प्रणाली को [[मार्कोव श्रृंखला]] के रूप में जाना जाता है।
+यदि फलन रैखिक है और एक [[ स्टोकेस्टिक मैट्रिक्स |प्रसंभाव्य आव्यूह]] द्वारा वर्णित किया जा सकता है, अर्थात एक आव्यूह जिसकी पंक्तियों या स्तंभों का योग एक है, तो पुनरावृत्त पद्धति को [[मार्कोव श्रृंखला|मार्कोव शृंखला]] के रूप में जाना जाता है।
 == उदाहरण ==
-[[अराजक नक्शों की सूची]] है।
+[[कई]] [[अराजक नक्शों की सूची|अराजक नक्शें]] है।
-जाने-माने पुनरावृत्त कार्यों में [[मैंडेलब्रॉट सेट]] और [[पुनरावृत्त फ़ंक्शन सिस्टम]] शामिल हैं।
+जाने-माने पुनरावृत्त फलन में [[मैंडेलब्रॉट सेट|मैंडेलब्रॉट समुच्चय]] और [[पुनरावृत्त फ़ंक्शन सिस्टम|पुनरावृत्त फलन पद्धति]] सम्मिलित हैं।
-अर्नस्ट श्रोडर (गणितज्ञ)|अर्नस्ट श्रोडर,<ref name="schr">{{cite journal |last=Schröder |first=Ernst |author-link=Ernst Schröder (mathematician) |year=1870 |title=पुनरावृत्त कार्यों के बारे में|journal=Math. Ann. |volume=3 |issue= 2|pages=296–322 | doi=10.1007/BF01443992 |s2cid=116998358 }}</ref> 1870 में, रसद मानचित्र के विशेष मामलों, जैसे अराजक मामले पर काम किया {{math|1=''f''(''x'') = 4''x''(1 − ''x'')}}, ताकि {{math|1=Ψ(''x'') = arcsin<sup>2</sup>({{radic|''x''}})}}, इस तरह {{math|1=''f'' <sup>''n''</sup>(''x'') = sin<sup>2</sup>(2<sup>''n''</sup> arcsin({{radic|''x''}}))}}.
+में अर्नस्ट श्रोडर, <ref name="schr">{{cite journal |last=Schröder |first=Ernst |author-link=Ernst Schröder (mathematician) |year=1870 |title=पुनरावृत्त कार्यों के बारे में|journal=Math. Ann. |volume=3 |issue= 2|pages=296–322 | doi=10.1007/BF01443992 |s2cid=116998358 }}</ref> ने तार्किक मानचित्र की विशेष स्थितियाें पर काम किया , जैसे अराजक स्थिति  {{math|1=''f''(''x'') = 4''x''(1 − ''x'')}}, ताकि {{math|1=Ψ(''x'') = arcsin<sup>2</sup>({{radic|''x''}})}}, इसलिए  {{math|1=''f'' <sup>''n''</sup>(''x'') = sin<sup>2</sup>(2<sup>''n''</sup> arcsin({{radic|''x''}}))}} |
-एक अराजक मामला श्रोडर ने भी अपनी पद्धति से चित्रित किया, {{math|1=''f''(''x'') = 2''x''(1 − ''x'')}}, प्राप्त हुआ {{math|1=Ψ(''x'') = −{{sfrac|1|2}} ln(1 − 2''x'')}}, और इसलिए  {{math|1=''f''<sup>''n''</sup>(''x'') = −{{sfrac|1|2}}((1 − 2''x'')<sup>2<sup>''n''</sup></sup> − 1)}}.
+श्रोडर ने भी अपनी विधि  {{math|1=''f''(''x'') = 2''x''(1 − ''x'')}}, के साथ एक अराजक स्थिति को भी चित्रित किया, जिससे {{math|1=Ψ(''x'') = −{{sfrac|1|2}} ln(1 − 2''x'')}}  प्राप्त हुआ और इसलिए  {{math|1=''f''<sup>''n''</sup>(''x'') = −{{sfrac|1|2}}((1 − 2''x'')<sup>2<sup>''n''</sup></sup> − 1)}} |
-अगर {{mvar|''f''}} एक सेट पर समूह तत्व की [[समूह क्रिया (गणित)]] है, तो पुनरावृत्त फ़ंक्शन एक [[मुक्त समूह]] से मेल खाता है।
+अगर {{mvar|''f''}} एक समुच्चय पर समूह तत्व की [[समूह क्रिया (गणित)|क्रिया]] है, तो पुनरावृत्त फलन एक [[मुक्त समूह]] से मेल खाता है।
-अधिकांश कार्यों में एन-वें पुनरावृत्त के लिए स्पष्ट सामान्य बंद-रूप अभिव्यक्ति नहीं होती है। नीचे दी गई तालिका कुछ सूचीबद्ध करती है<ref name="schr"/>यह काम करता है। ध्यान दें कि ये सभी भाव गैर-पूर्णांक और ऋणात्मक n के साथ-साथ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n के लिए भी मान्य हैं।
+अधिकांश फलन में n-वें पुनरावृत्त के लिए स्पष्ट सामान्य [[संवृत रूप व्यंजक]] नहीं होता है। नीचे दी गई तालिका मे कुछ सूचीबद्ध करते है<ref name="schr"/> ध्यान दें कि ये सभी व्यंजक गैर-पूर्णांक और ऋणात्मक n के साथ-साथ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n के लिए भी मान्य हैं।
 {| class=wikitable width=100%
@@ Line 165: / Line 157: @@
 |<math>a^{\frac{b^n-1}{b-1}}x^{b^n}</math>
 |-
-|<math>ax^2 + bx + \frac{b^2 - 2b}{4a}</math> (see note)<br>
+|<math>ax^2 + bx + \frac{b^2 - 2b}{4a}</math> (नोट देखें)<br>
 |<math>\frac{2\alpha^{2^n} - b}{2a}</math><br>
-where:
+जहां:
 *<math>\alpha = \frac{2ax + b}{2}</math>
 |-
-|<math>ax^2 + bx + \frac{b^2 - 2b - 8}{4a}</math> (see note)<br>
+|<math>ax^2 + bx + \frac{b^2 - 2b - 8}{4a}</math> (नोट देखें)<br>
 |<math>\frac{2\alpha^{2^n} + 2\alpha^{-2^n} - b}{2a}</math><br>
-where:
+जहां:
 *<math>\alpha = \frac{2ax + b \pm \sqrt{(2ax + b)^2 - 16}}{4}</math>
 |-
-|<math>\frac{ax + b}{cx + d}</math> &nbsp; ([[rational difference equation]])<ref>Brand, Louis, "A sequence defined by a difference equation," ''[[American Mathematical Monthly]]'' '''62''', September 1955, 489&ndash;492.   [https://www.jstor.org/discover/10.2307/2307362  online]</ref>
+|<math>\frac{ax + b}{cx + d}</math> &nbsp; ([[rational difference equation|तर्कसंगत अंतर समीकरण]])<ref>Brand, Louis, "A sequence defined by a difference equation," ''[[American Mathematical Monthly]]'' '''62''', September 1955, 489&ndash;492.   [https://www.jstor.org/discover/10.2307/2307362  online]</ref>
 |<math>\frac{a}{c} + \frac{bc - ad}{c} \left [ \frac{(cx - a + \alpha)\alpha^{n - 1} - (cx - a + \beta)\beta^{n - 1}}{(cx - a + \alpha)\alpha^{n} - (cx - a + \beta)\beta^{n}} \right ]</math><br>
-where:
+जहां:
 *<math>\alpha = \frac{a + d + \sqrt{(a - d)^2 + 4bc}}{2}</math>
 *<math>\beta = \frac{a + d - \sqrt{(a - d)^2 + 4bc}}{2}</math>
@@ Line 184: / Line 176: @@
 |<math>g^{-1}\Bigl(h^n\bigl(g(x)\bigr)\Bigr)</math>
 |-
-|<math>g^{-1}\bigl(g(x)+b\bigr)</math> &nbsp; (generic [[Abel equation]])
+|<math>g^{-1}\bigl(g(x)+b\bigr)</math> &nbsp; ( सामान्य [[Abel equation|एबेल समीकरण]])
 |<math>g^{-1}\bigl(g(x)+nb\bigr)</math>
 |-
@@ Line 196: / Line 188: @@
 | <math>\sqrt{a^nx^2 + \frac{a^n - 1}{a - 1}b}</math>
 |-
-| <math>T_m (x)=\cos (m \arccos x)</math> ([[Chebyshev polynomials#Trigonometric definition|Chebyshev polynomial]] for integer ''m'')
+| <math>T_m (x)=\cos (m \arccos x)</math> (पूर्णांक m के लिए चेबिशेव बहुपद)
 | <math>T_{mn}=\cos(m^n \arccos x)</math>
 |}
-नोट: के ये दो विशेष मामले {{math|''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''}} केवल ऐसे मामले हैं जिनका एक बंद-रूप समाधान है। क्रमशः b = 2 = -a और b = 4 = -a चुनने से, उन्हें तालिका से पहले चर्चा किए गए गैर-अराजक और अराजक रसद मामलों में कम कर दिया जाता है।
+नोट: {{math|''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''}} की ये दो विशेष स्थितियाँ ही एकमात्र ऐसी स्थितियाँ हैं जिनका संवृत रूप में समाधान है। क्रमशः b = 2 = -a और b = 4 = -a चुनने से, उन्हें तालिका से पहले चर्चा किए गए गैर-अराजक और अराजक तार्किक स्थितियाें में कम कर दिया जाता है।
-इनमें से कुछ उदाहरण आपस में सरल संयुग्मन द्वारा संबंधित हैं। कुछ और उदाहरण, अनिवार्य रूप से श्रोडर के उदाहरणों की सरल संयुग्मन के लिए रेफ में पाए जा सकते हैं।<ref>{{Cite journal | last1 = Katsura | first1 = S. | last2 = Fukuda | first2 = W. | doi = 10.1016/0378-4371(85)90048-2 | title = अराजक व्यवहार दिखाने वाले सटीक रूप से हल करने योग्य मॉडल| journal = Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications | volume = 130 | issue = 3 | pages = 597 | year = 1985 | bibcode = 1985PhyA..130..597K }}</ref>
+इनमें से कुछ उदाहरण आपस में सरल संयुग्मन द्वारा संबंधित हैं। कुछ और उदाहरण, अनिवार्य रूप से श्रोडर के उदाहरणों की सरल संयुग्मन के लिए उल्लेख में पाए जा सकते हैं।<ref>{{Cite journal | last1 = Katsura | first1 = S. | last2 = Fukuda | first2 = W. | doi = 10.1016/0378-4371(85)90048-2 | title = अराजक व्यवहार दिखाने वाले सटीक रूप से हल करने योग्य मॉडल| journal = Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications | volume = 130 | issue = 3 | pages = 597 | year = 1985 | bibcode = 1985PhyA..130..597K }}</ref>
 ==अध्ययन के साधन==
-पुनरावृत्त कार्यों का अध्ययन आर्टिन-मज़ूर जेटा फ़ंक्शन और स्थानांतरण ऑपरेटरों के साथ किया जा सकता है।
+पुनरावृत्त फलन का अध्ययन आर्टिन-मज़ूर जेटा फलन और स्थानांतरण प्रचालकों के साथ किया जा सकता है।
 == कंप्यूटर विज्ञान में ==
-कंप्यूटर विज्ञान में, पुनरावृत्त कार्य पुनरावर्तन (कंप्यूटर विज्ञान) के एक विशेष मामले के रूप में होते हैं, जो बदले में लैम्ब्डा कैलकुस, या संकुचित वाले जैसे व्यापक विषयों के अध्ययन को एंकर करते हैं, जैसे कंप्यूटर प्रोग्राम के [[सांकेतिक शब्दार्थ]]
+कंप्यूटर विज्ञान में, पुनरावृत्त फलन पुनरावर्ती प्रकार्य के एक विशेष स्थिति के रूप में होते हैं, जो बदले में लैम्ब्डा कलन ,या संकीर्ण वाले जैसे व्यापक विषयों के अध्ययन को एंकर करते हैं, जैसे कंप्यूटर प्रोग्राम के [[सांकेतिक शब्दार्थ|सांकेतिक शब्दार्थविज्ञान |]]
-== पुनरावृत्त कार्यों के संदर्भ में परिभाषाएँ ==
+== पुनरावृत्त फलन के संदर्भ में परिभाषाएँ ==
-दो महत्वपूर्ण [[कार्यात्मक (गणित)]] को पुनरावृत्त कार्यों के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। ये [[योग]] हैं:
+पुनरावृत्त फलन के संदर्भ में दो महत्वपूर्ण फलन को परिभाषित किया जा सकता है। ये संकलन हैं:
 :<math>
 \left\{b+1,\sum_{i=a}^b g(i)\right\} \equiv \left( \{i,x\} \rightarrow \{ i+1 ,x+g(i) \}\right)^{b-a+1} \{a,0\}
 </math>
-और समकक्ष उत्पाद:
+और समतुल्य परिणाम:
 :<math>
@@ Line 223: / Line 215: @@
-== [[कार्यात्मक व्युत्पन्न]] ==
+== [[कार्यात्मक व्युत्पन्न|प्रकार्यात्मक अवकलज]] ==
-पुनरावृत्त फ़ंक्शन का कार्यात्मक व्युत्पन्न पुनरावर्ती सूत्र द्वारा दिया जाता है:
+पुनरावृत्त फलन का [[प्रकार्यात्मक अवकलज]] पुनरावर्ती सूत्र द्वारा दिया जाता है:
 :<math>\frac{ \delta f^N(x)}{\delta f(y)} = f'( f^{N-1}(x) ) \frac{ \delta f^{N-1}(x)}{\delta f(y)} + \delta( f^{N-1}(x) - y ) </math>
-== झूठ का डेटा परिवहन समीकरण ==
+== असत्य का डेटा ट्रांसपोर्ट समीकरण ==
-संयुक्त कार्यों के श्रृंखला विस्तार में इटरेटेड फ़ंक्शंस फ़सल होते हैं, जैसे  {{math|''g''(''f''(''x''))}}.
+{{math|''g''(''f''(''x''))}}. जैसे संयुक्त फलन के श्रेणी विस्तार में पुनरावृत्त कार्य फलन होते हैं।
-कोएनिग्स फ़ंक्शन को देखते हुए # यूनिवेलेंट सेमिग्रुप्स की संरचना, या [[बीटा फ़ंक्शन (भौतिकी)]],
+पुनरावृत्ति वेग, या बीटा फलन(भौतिकी) को देखते हुए,
-:<math>v(x) = \left. \frac{\partial f^n(x)}{\partial n} \right|_{n=0}</math> के लिए {{mvar|n}}<sup>वें</sup> समारोह की पुनरावृति {{mvar|f}}, अपने पास<ref>{{Cite journal | last1 = Berkson | first1 = E. | last2 = Porta | first2 = H. | doi = 10.1307/mmj/1029002009 | title = विश्लेषणात्मक कार्यों और संरचना ऑपरेटरों के सेमिग्रुप| journal = The Michigan Mathematical Journal | volume = 25 | pages = 101–115 | year = 1978 | doi-access = free }}  {{Cite journal | last1 = Curtright | first1 = T. L. | last2 = Zachos | first2 = C. K. | doi = 10.1088/1751-8113/43/44/445101 | title = Chaotic maps, Hamiltonian flows and holographic methods | journal = Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical | volume = 43 | issue = 44 | pages = 445101 | year = 2010 | arxiv = 1002.0104 | bibcode = 2010JPhA...43R5101C | s2cid = 115176169 }}</ref>
+:<math>v(x) = \left. \frac{\partial f^n(x)}{\partial n} \right|_{n=0}</math> फलन f के nवें पुनरावृति के लिए, हमारे पास <ref>{{Cite journal | last1 = Berkson | first1 = E. | last2 = Porta | first2 = H. | doi = 10.1307/mmj/1029002009 | title = विश्लेषणात्मक कार्यों और संरचना ऑपरेटरों के सेमिग्रुप| journal = The Michigan Mathematical Journal | volume = 25 | pages = 101–115 | year = 1978 | doi-access = free }}  {{Cite journal | last1 = Curtright | first1 = T. L. | last2 = Zachos | first2 = C. K. | doi = 10.1088/1751-8113/43/44/445101 | title = Chaotic maps, Hamiltonian flows and holographic methods | journal = Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical | volume = 43 | issue = 44 | pages = 445101 | year = 2010 | arxiv = 1002.0104 | bibcode = 2010JPhA...43R5101C | s2cid = 115176169 }}</ref>
 :<math>
 g(f(x)) = \exp\left[ v(x) \frac{\partial}{\partial x} \right] g(x).
-</math>
+</math>|
-उदाहरण के लिए, कठोर संवहन के लिए, यदि {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x'' + ''t''}}, तब {{math|''v''(''x'') {{=}} ''t''}}. फलस्वरूप,  {{math|''g''(''x'' + ''t'') {{=}} exp(''t'' ∂/∂''x'')  ''g''(''x'')}}, प्लेन शिफ्ट ऑपरेटर द्वारा कार्रवाई।
+उदाहरण के लिए, दृढ़ संवहन के लिए, यदि {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x'' + ''t''}}, तब {{math|''v''(''x'') {{=}} ''t''}} |परिणामस्वरूप,  {{math|''g''(''x'' + ''t'') {{=}} exp(''t'' ∂/∂''x'')  ''g''(''x'')}}, सामान्य विस्थापन प्रचालक द्वारा क्रिया।
-इसके विपरीत, कोई निर्दिष्ट कर सकता है {{math|''f''(''x'')}} एक मनमाना दिया {{math|''v''(''x'')}}, ऊपर चर्चा किए गए सामान्य एबेल समीकरण के माध्यम से,
+इसके विपरीत, ऊपर चर्चा किए गए सामान्य एबेल समीकरण के माध्यम से कोई भी स्वेच्छ {{math|''v''(''x'')}}, दिया गया f(x) निर्दिष्ट कर सकता है,
 :<math>
 f(x) = h^{-1}(h(x)+1) ,
 </math>
-कहाँ
+जहां
 :<math>
 h(x) = \int \frac{1}{v(x)} \, dx .
 </math>
-यह बात नोट करने से पता चलता है
+यह टिप्पण स्पष्ट करने से पता चलती है
 :<math>f^n(x)=h^{-1}(h(x)+n)~.</math>
-निरंतर पुनरावृत्ति सूचकांक के लिए {{mvar|t}}, फिर, अब एक सबस्क्रिप्ट के रूप में लिखा गया है, यह एक सतत समूह के झूठ की प्रसिद्ध घातीय प्राप्ति के बराबर है,
+सतत पुनरावृत्ति सूचकांक के लिए {{mvar|t}}, फिर अब एक पादांक के रूप में लिखा गया है, यह एक सतत समूह के असत्य की प्रख्यात घातीय प्राप्ति के बराबर है,
 :<math>e^{t~\frac{\partial ~~}{\partial h(x)}} g(x)= g(h^{-1}(h(x )+t))= g(f_t(x)).</math>
-प्रारंभिक प्रवाह वेग {{mvar|v}} पूरे प्रवाह को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है, इस घातीय अहसास को देखते हुए जो स्वचालित रूप से अनुवाद कार्यात्मक समीकरण का सामान्य समाधान प्रदान करता है,<ref  name="acz">Aczel, J. (2006), ''Lectures on Functional Equations and Their Applications'' (Dover Books on Mathematics, 2006), Ch. 6, {{ISBN|978-0486445236}}.</ref> :<math>f_t(f_\tau (x))=f_{t+\tau} (x)  ~.</math>
+प्रारंभिक प्रवाह वेग {{mvar|v}} पूरे प्रवाह को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है, इस घातीय प्रस्तुति को देखते हुए जो स्वचालित रूप से अनुवाद प्रकार्यात्मक समीकरण का सामान्य समाधान प्रदान करता है,<ref  name="acz">Aczel, J. (2006), ''Lectures on Functional Equations and Their Applications'' (Dover Books on Mathematics, 2006), Ch. 6, {{ISBN|978-0486445236}}.</ref> :<math>f_t(f_\tau (x))=f_{t+\tau} (x)  ~.</math>
-{{see also|Shift operator#Functions of a real variable}}
+{{see also|शिफ्ट प्रचालक § एक वास्तविक चर के फलन}}
 == यह भी देखें ==
 {{Div col|colwidth=15em}}
 * [[तर्कहीन घुमाव]]
-* [[पुनरावृत्त समारोह प्रणाली]]
+* [[पुनरावृत्त फलन पद्धति]]
 * [[पुनरावर्ती विधि]]
 * घूर्णन संख्या
@@ Line 265: / Line 257: @@
 * [[पुनरावृत्ति संबंध]]
 * श्रोडर का समीकरण
-* कार्यात्मक वर्गमूल
+* प्रकार्यात्मक वर्गमूल
-* [[हाबिल समारोह]]
+* [[हाबिल फलन ]]
-* विश्लेषणात्मक कार्यों की अनंत रचनाएँ
+* विश्लेषणात्मक प्रकार्य की अनंत रचनाएँ
 * प्रवाह (गणित)
 * टेट्रेशन
-* [[कार्यात्मक समीकरण]]
+* [[प्रकार्यात्मक समीकरण]]
 {{div col end}}
@@ Line 298: / Line 290: @@
 श्रेणी:निश्चित अंक (गणित)
 श्रेणी:कार्य और मानचित्रण
-श्रेणी:कार्यात्मक समीकरण
+श्रेणी:प्रकार्यात्मकसमीकरण
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:All articles with unsourced statements]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
+[[Category:Articles with unsourced statements from August 2020]]
+[[Category:CS1 français-language sources (fr)]]
 [[Category:Created On 03/03/2023]]
+[[Category:Lua-based templates]]
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पुनरावृत्त फलन: Difference between revisions

Latest revision as of 11:09, 1 November 2023

परिभाषा

एबेलियन गुण और पुनरावृत्ति अनुक्रम

निश्चित बिंदु

सीमित व्यवहार

निश्चर माप

भिन्नात्मक पुनरावृति और प्रवाह, और ऋणात्मक पुनरावृति

भिन्नात्मक पुनरावृत्ति के लिए कुछ सूत्र

उदाहरण 1

उदाहरण 2

उदाहरण 3

संयुग्मन

मार्कोव शृंखला

उदाहरण

अध्ययन के साधन

कंप्यूटर विज्ञान में

पुनरावृत्त फलन के संदर्भ में परिभाषाएँ

प्रकार्यात्मक अवकलज

असत्य का डेटा ट्रांसपोर्ट समीकरण

यह भी देखें

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