रोज़ (गणित)

साइनसॉइड द्वारा निर्दिष्ट रोज़ $r=\cos(k\theta )$ कोणीय आवृत्ति k=n/d के विभिन्न तर्कसंगत क्रमांकित मानों के लिए। द्वारा निर्दिष्ट रोज़ $r=\sin(k\theta )$ ध्रुव (मूल) के बारे में वामावर्त दिशा में साइनसॉइड की एक-चौथाई अवधि द्वारा इन रोज़ों का घूमना है। उचित गणितीय विश्लेषण के लिए, $k$ अलघुकरणीय रूप में व्यक्त किया जाना चाहिए।

गणित में, रोज़ या रोडोनिया वक्र साइन लहर है जो या तो कोज्या या साइन फलन द्वारा निर्दिष्ट होती है जिसमें कोई चरण (लहरें) नहीं होती है जो ध्रुवीय निर्देशांक में प्लॉट की जाती है। रोज कर्व्स या रोडोनिया का नाम इटली गणितज्ञ द्वारा दिया गया था गुइडो ग्रैंडी जिन्होंने 1723 और 1728 के बीच उनका अध्ययन किया था।

सामान्य अवलोकन

विशिष्टता

रोज़, ध्रुवीय समीकरण
द्वारा निर्दिष्ट ध्रुवीय निर्देशांकों में बिंदुओं का समूह है।

$r=a\cos(k\theta )$

या कार्तीय में पैरामीट्रिक समीकरणों का उपयोग करके निर्देशांक करता है।

$x=r\cos(\theta )=a\cos(k\theta )\cos(\theta )$

$y=r\sin(\theta )=a\cos(k\theta )\sin(\theta )$.

साइन फलन का उपयोग करके रोज़ को भी निर्दिष्ट किया जा सकता है। तब से

$\sin(k\theta )=\cos \left(k\theta -{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos \left(k\left(\theta -{\frac {\pi }{2k}}\right)\right)$.

इस प्रकार, द्वारा निर्दिष्ट रोज़ $\,r=a\sin(k\theta )$ द्वारा निर्दिष्ट के समान है $\,r=a\cos(k\theta )$ द्वारा वामावर्त घुमाया गया $\pi /2k$ रेडियंस, जो साइनसॉइड की एक-चौथाई अवधि है।

चूंकि वे कोसाइन या साइन फलन का उपयोग करके निर्दिष्ट किए जाते हैं, रोज़ सामान्यतः ध्रुवीय समन्वय प्रणाली (कार्तीय समन्वय प्रणाली के अतिरिक्त) साइनसोइड्स के ग्राफ़ के रूप में व्यक्त किए जाते हैं जिनकी कोणीय आवृत्ति होती है $k$ और का आयाम $a$ जो रेडियल निर्देशांक निर्धारित करते हैं $(r)$ ध्रुवीय कोण दिया $(\theta )$ (चूंकि कब $k$ एक परिमेय संख्या है, रोज़ वक्र को कार्तीय निर्देशांकों में व्यक्त किया जा सकता है क्योंकि उन्हें बीजगणितीय वक्र के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है।

सामान्य गुण

रोज़ सीधे उन साइनसोइड्स के गुणों से संबंधित होते हैं जो उन्हें निर्दिष्ट करते हैं।

पंखुड़ियाँ

• रोज़ के ग्राफ पंखुड़ियों से बने होते हैं। पंखुड़ी साइनसॉइड के आधे-चक्र के ग्राफ द्वारा बनाई गई आकृति है जो रोज़ को निर्दिष्ट करती है। (चक्र साइनसॉइड का भाग है जो एक अवधि है $T=2\pi /k$ लंबा और सकारात्मक आधा चक्र होता है, जहां बिंदुओं का निरंतर सेट होता है $r\geq 0$ और है $T/2=\pi /k$
• नकारात्मक आधा चक्र दूसरा आधा है जहां $r\leq 0$.)
  • प्रत्येक पंखुड़ी का आकार समान होता है क्योंकि अर्धचक्रों के आलेखों का आकार समान होता है। शिखा के साथ सकारात्मक अर्ध-चक्र द्वारा आकार दिया गया है $(a,0)$ इसके द्वारा निर्दिष्ट $r=a\cos(k\theta )$ (जो कोण अंतराल से घिरा हुआ है $-T/4\leq \theta \leq T/4$). पंखुड़ी ध्रुवीय अक्ष के बारे में सममित है। अन्य सभी पंखुड़ियाँ ध्रुव के बारे में इस पंखुड़ी के घुमाव हैं, जिनमें समान मूल्यों के साथ साइन फलन द्वारा निर्दिष्ट रोज़ के लिए सम्मिलित हैं। $a$ और $k$.
  • ध्रुवीय निर्देशांकों में बिंदुओं को प्लॉट करने के नियमों के अनुरूप, एक ऋणात्मक अर्ध-चक्र में एक बिंदु को उसके ध्रुवीय कोण पर प्लॉट नहीं किया जा सकता क्योंकि इसका रेडियल निर्देशांक $r$ नकारात्मक है। बिंदु को जोड़कर प्लॉट किया गया है $\pi$ रेडियन एक रेडियल समन्वय के साथ ध्रुवीय कोण के लिए $|r|$. इस प्रकार, रोज़ के ग्राफ में सकारात्मक और नकारात्मक अर्ध-चक्र संयोग कर सकते हैं। इसके अतिरिक्त , रोज़ को घेरा में अंकित हुआ है $r=a$.
  • जब अवधि $T$साइनसॉइड का कम या बराबर है $4\pi$, पंखुड़ी का आकार एक बंद लूप है। एकल लूप बनता है क्योंकि एक ध्रुवीय भूखंड के लिए कोण अंतराल है $2\pi$ और अर्ध-चक्र की कोणीय चौड़ाई इससे कम या इसके बराबर है $2\pi$. कब $T>4\pi$ (या $|k|<1/2$) अर्ध-चक्र की साजिश को ध्रुव के चारों ओर एक से अधिक सर्किट में ध्रुव से बाहर सर्पिलिंग के रूप में देखा जा सकता है जब तक कि प्लॉटिंग अंकित घेरा तक नहीं पहुंचती है जहां यह सर्पिल वापस ध्रुव पर जाता है, खुद को काटता है और रास्ते में एक या एक से अधिक लूप बनाता है। . परिणाम स्वरुप, प्रत्येक पंखुड़ी 2 लूप बनाती है जब $4\pi <T\leq 8\pi$ (या $1/4\leq |k|<1/2$), 3 लूप जब $8\pi <T\leq 12\pi$ (या $1/6\leq |k|<1/4$), आदि। केवल एक पंखुड़ी के साथ कई छोरों के साथ रोज़ देखे जाते हैं $k=1/3,k=1/5,k=1/7,etc.$ (परिचय अनुभाग में आंकड़ा देखें।)
  • कोणीय आवृत्ति होने पर रोज़ की पंखुड़ियाँ एक दूसरे को नहीं काटेंगी $k$ एक गैर-शून्य पूर्णांक है; अन्यथा, पंखुड़ियाँ एक दूसरे को काटती हैं।

समरूपता

साइनसोइड्स के अंतर्निहित सममित और आवधिक गुणों के कारण सभी रोज़ समरूपता गणित के एक या अधिक रूपों को प्रदर्शित करते हैं।

• रोज़ के रूप में निर्दिष्ट $r=a\cos(k\theta )$ ध्रुवीय अक्ष के बारे में सममित है (रेखा $\theta =0$) त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची के कारण $a\cos(k\theta )=a\cos(-k\theta )$ जो दो ध्रुवीय समीकरणों द्वारा निर्दिष्ट रोज़ों को संपाती बनाता है।

• रोज़ के रूप में निर्दिष्ट $r=a\sin(k\theta )$ ऊर्ध्वाधर रेखा के बारे में सममित है $\theta =\pi /2$ पहचान के कारण $a\sin(k\theta )=a\sin(\pi -k\theta )$ जो दो ध्रुवीय समीकरणों द्वारा निर्दिष्ट रोज़ों को संपाती बनाता है।

• ध्रुव के बारे में केवल कुछ रोज़ सममित होते हैं।

• अलग-अलग पंखुड़ियाँ ध्रुव और पंखुड़ी के शिखर के माध्यम से रेखा के बारे में सममित होती हैं, जो अंतर्निहित साइनसॉइड के अर्ध-चक्र की समरूपता को दर्शाती हैं। पंखुड़ियों की एक सीमित संख्या से बना रोज़, परिभाषा के अनुसार, घूर्णी रूप से सममित होता है क्योंकि प्रत्येक पंखुड़ी एक ही आकार की होती है, जिसमें सतत पंखुड़ियाँ ध्रुव के बारे में समान कोण पर घूमती हैं।

k के गैर-शून्य पूर्णांक मानों के साथ रोज़

रोज़ $r=\cos(4\theta )$. तब से $k=4$ एक सम संख्या है, रोज़ के पास है $2k=8$ पंखुड़ी। क्रमिक चोटियों को जोड़ने वाले रेखा खंड वृत्त पर स्थित हैं $r=1$ और एक अष्टभुज बना देगा। चूंकि एक चोटी पर है $(1,0)$ अर्ध-चक्र की सीमाएँ (एपोथेम्स के अनुरूप) खींचे जाने के बाद अष्टकोण ग्राफ को स्केच करना अपेक्षाकृत सरल बना देता है।

द्वारा निर्दिष्ट रोज़ $r=\cos(7\theta )$. तब से $k=7$ एक विषम संख्या है, रोज़ के पास है $k=7$ पंखुड़ी। क्रमिक चोटियों को जोड़ने वाले रेखा खंड वृत्त पर स्थित हैं $r=1$ और एक सप्तभुज बनेगा। रोज़ को घेरे में अंकित किया गया है $r=1$.

कब $k$ गैर-शून्य पूर्णांक है, वक्र रोज़ के आकार का होगा $2k$ पंखुड़ी अगर $k$ सम है, और $k$ पंखुड़ी जब $k$ विचित्र है। इन रोज़ों के गुण कोणीय आवृत्तियों वाले रोज़ों का विशेष स्थितियों है $(k)$ इस लेख के अगले भाग में चर्चा की गई परिमेय संख्याएँ हैं।

• रोज़ घेरे में अंकित हुआ है $r=a$, इसकी सभी चोटियों के रेडियल समन्वय के अनुरूप।

• क्योंकि एक ध्रुवीय निर्देशांक भूखंड के बीच के ध्रुवीय कोणों तक सीमित है $0$ और $2\pi$, वहाँ हैं $2\pi /T=k$ ग्राफ में प्रदर्शित चक्र। किसी अतिरिक्त बिंदु को प्लॉट करने की आवश्यकता नहीं है क्योंकि रेडियल निर्देशांक पर $\theta =0$ पर समान मान है $\theta =2\pi$ (जो कोसाइन फलन द्वारा निर्दिष्ट रोज़ के लिए दो अलग-अलग सकारात्मक अर्ध-चक्रों के लिए शिखर हैं)।

• कब $k$ सम (और गैर-शून्य) है, रोज़ से बना है $2k$ पंखुड़ियाँ, प्रत्येक चोटी के लिए एक $2\pi$ प्रदर्शित ध्रुवीय कोणों का अंतराल। प्रत्येक चोटी वृत्त पर स्थित बिंदु से मिलान खाती है $r=a$. सतत चोटियों को जोड़ने वाले रेखा खंड एक सम बहुभुज के साथ एक नियमित बहुभुज बनाएंगे, जिसका केंद्र ध्रुव पर होगा और प्रत्येक चोटी के माध्यम से एक त्रिज्या होगी, और इसी तरह:
  • रोज़ ध्रुव के बारे में सममित हैं।
  • रोज़ प्रत्येक रेखा के बारे में ध्रुव और एक चोटी के माध्यम से सममित होते हैं (बीच में एक पंखुड़ी के माध्यम से) सतत पंखुड़ियों की चोटियों के बीच ध्रुवीय कोण के साथ $2\pi /2k=\pi /k$ रेडियन। इस प्रकार, इन रोज़ों में क्रम की घूर्णी समरूपता होती है $2k$.
  • रोज़ प्रत्येक रेखा के बारे में सममित होते हैं जो क्रमिक चोटियों के बीच के कोण को द्विभाजित करता है, जो अर्ध-चक्र की सीमाओं और संबंधित बहुभुज के एपोटेम से मिलान खाता है।

• कब $k$ विषम है, रोज़ से बना है $k$ पंखुड़ी, प्रत्येक शिखा (या गर्त) के लिए एक $2\pi$ प्रदर्शित ध्रुवीय कोणों का अंतराल। प्रत्येक चोटी वृत्त पर स्थित एक बिंदु से मिलान खाती है $r=a$. ये रोज़ के धनात्मक और ऋणात्मक अर्ध-चक्र संयोग हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें रेखांकन करने में, पूर्ण वक्र बनाने के लिए केवल धनात्मक अर्ध-चक्र या केवल ऋणात्मक अर्ध-चक्र की आवश्यकता होती है। (समतुल्य रूप से, ध्रुवीय कोणों के किसी भी निरंतर अंतराल को प्लॉट करके एक पूर्ण वक्र का रेखांकन किया जाएगा $\pi$ रेडियन लंबा जैसे $\theta =0$ को $\theta =\pi$.) सतत चोटियों को जोड़ने वाले रेखा खंड विषम संख्याओं के साथ एक नियमित बहुभुज बनाएंगे, और इसी तरह:
  • रोज़ प्रत्येक रेखा के बारे में ध्रुव और एक चोटी के माध्यम से सममित होते हैं (बीच में एक पंखुड़ी के माध्यम से) सतत पंखुड़ियों की चोटियों के बीच ध्रुवीय कोण के साथ $2\pi /k$ रेडियन। इस प्रकार, इन रोज़ों में क्रम की घूर्णी समरूपता होती है ।

• रोज़ की पंखुड़ियां आपस में नहीं मिलतीं।

• रोज़ों को क्रम के बीजगणितीय वक्रों द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है $k+1$ जब k विषम है, और $2(k+1)$ जब k सम है।

चक्र

साथ रोज़ $k=1$ एक वृत्त है जो ध्रुव पर एक व्यास के साथ स्थित होता है जो ध्रुवीय अक्ष पर स्थित होता है $r=a\cos(\theta )$. वृत्त वक्र की एकल पंखुड़ी है। (अगले खंड के अंत में बनने वाले वृत्त को देखें।) कार्तीय निर्देशांक में, समतुल्य कोसाइन और साइन विनिर्देश हैं $(x-a/2)^{2}+y^{2}=(a/2)^{2}$ और $x^{2}+(y-a/2)^{2}=(a/2)^{2}$, क्रमश होते है।

चतुर्भुज

साथ रोज़ $k=2$ चार मुखी तिपतिया कहा जाता है क्योंकि इसमें 4 पंखुड़ियाँ होती हैं। कार्तीय निर्देशांक में कोज्या और ज्या विनिर्देश हैं $(x^{2}+y^{2})^{3}=a^{2}(x^{2}-y^{2})^{2}$ और $(x^{2}+y^{2})^{3}=4(axy)^{2}$, क्रमश।

ट्राइफोलियम

रोज़ $k=3$ ट्राइफोलियम कहा जाता है क्योंकि इसकी 3 पंखुड़ियाँ होती हैं। वक्र को पेकेरेट डे मेलिबी भी कहा जाता है। कार्तीय निर्देशांक में कोज्या और ज्या विनिर्देश हैं $(x^{2}+y^{2})^{2}=a(x^{3}-3xy^{2})$ और $(x^{2}+y^{2})^{2}=-a(x^{3}-3xy^{2})$, क्रमश। (अगले खंड के अंत में बनने वाले ट्राइफोलियम को देखें।)

कुल और पंखुड़ी क्षेत्र

कुल ध्रुवीय निर्देशांक रोज़ का अभिन्न कैलकुलस फॉर्म के ध्रुवीय समीकरण के साथ

$r=a\cos(k\theta )$ या $r=a\sin(k\theta )\,$, कहाँ $k$ एक गैर-शून्य पूर्णांक है,
है

${\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left(\pi +{\frac {\sin(4k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{2}}$, जब $k$ सम है; और

${\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\sin(2k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{4}}$, जब $k$ विषम है।

जब $k$ सम है, हैं $2k$ पंखुड़ी; और जब $k$ विचित्र है, हैं $k$ पंखुड़ी, इसलिए प्रत्येक पंखुड़ी का क्षेत्रफल है

${\frac {\pi a^{2}}{4k}}$.

k के लिए परिमेय संख्या मान वाले रोज़

सामान्यतः पर, जब $k$ अलघुकरणीय भिन्न रूप में परिमेय संख्या है $k=n/d$, कहाँ $n$ और $d$ गैर-शून्य पूर्णांक हैं, पंखुड़ियों की संख्या व्यंजक का हर है $1/2-1/(2k)=(n-d)/2n$. इसका अर्थ है कि पंखुड़ियों की संख्या है $n$ अगर दोनों $n$ और $d$ विषम हैं, और $2n$ अन्यथा है।

• स्थितियों में जब दोनों $n$ और $d$ विषम हैं, साइनसॉइड के सकारात्मक और नकारात्मक अर्ध-चक्र संपाती हैं। इन रोज़ों का ग्राफ ध्रुवीय कोणों के किसी भी निरंतर अंतराल में पूरा होता है $d\pi$ लंबा है।
• कब $n$ सम है और $d$ विषम है, या इसके विपरीत, रोज़ पूरी तरह से एक सतत ध्रुवीय कोण अंतराल में रेखांकन किया जाएगा $2d\pi$ लंबा। इसके अतिरिक्त , रोज़ कोसाइन और साइन विनिर्देशों दोनों के लिए ध्रुव के बारे में सममित हैं।
  • इसके अतिरिक्त , कब $n$ विषम है और $d$ समान मान के साथ कोसाइन और साइन ध्रुवीय समीकरणों द्वारा निर्दिष्ट रोज़ सम है $a$ और $k$ संयोग हैं। रोज़ की ऐसी जोड़ी के लिए, साइन फलन विनिर्देश के साथ रोज़ रोज़ की शिखा के साथ कोसाइन विनिर्देश के साथ ध्रुवीय अक्ष पर या तो पर होता है $\theta =d\pi /2$ या कि $\theta =3d\pi /2$. (इसका मतलब है कि रोज़ $r=a\cos(k\theta )$ और $r=a\sin(k\theta )$ के गैर-शून्य पूर्णांक मानों के साथ $k$ कभी संयोग नहीं होता।

• रोज़ घेरे में अंकित हुआ है $r=a$, इसकी सभी चोटियों के रेडियल समन्वय के अनुरूप।

ड्यूरर फोलियम

रोज़ $k=1/2$ ड्यूरर फोलियम कहा जाता है, जिसका नाम जर्मन चित्रकार और उत्कीर्णक अल्ब्रेक्ट ड्यूरर के नाम पर रखा गया है। द्वारा निर्दिष्ट रोज़ $r=a\cos(\theta /2)$ और $r=a\sin(\theta /2)$ यद्यपि संयोग हैं $a\cos(\theta /2)\neq a\sin(\theta /2)$. कार्तीय निर्देशांक में रोज़ को इस रूप में निर्दिष्ट किया गया है $(x^{2}+y^{2})[2(x^{2}+y^{2})-a^{2}]^{2}=a^{4}x^{2}$.

ड्यूरर फोलियम भी एक त्रिभुज है, एक वक्र जिसका उपयोग कोणों को विभाजित करने के लिए किया जा सकता है।

लिमाकॉन ट्राइसेक्ट्रिक्स

रोज़ $k=1/3$ एक लिमाकॉन ट्राइसेक्ट्रिक्स है जिसमें ट्राइसेक्ट्रिक्स कर्व्स का गुण होता है जिसका उपयोग कोणों को ट्राइसेक्ट करने के लिए किया जा सकता है। रोज़ की एक पंखुड़ी होती है जिसमें दो लूप होते हैं। (नीचे एनीमेशन देखें।)

Examples of roses $r=\cos(k\theta )$ created using gears with different ratios.
The rays displayed are the polar axis and $\theta =\pi /2$.
Graphing starts at $\theta =2\pi$ when $k$ is an integer, $\theta =2d\pi$ otherwise, and proceeds clock-wise to $\theta =0$.

The circle, k=1 (n=1, d=1). The rose is complete when $\theta =\pi$ is reached (one-half revolution of the lighter gear).

The limaçon trisectrix, k=1/3 (n=1, d=3), has one petal with two loops. The rose is complete when $\theta =3\pi$ is reached (one and one-half revolution of the lighter gear).

The trifolium, k=3 (n=3, d=1). The rose is complete when $\theta =\pi$ is reached (one-half revolution of the lighter gear).

The 8 petals of the rose with k=4/5 (n=4, d=5) is each, a single loop that intersect other petals. The rose is symmetric about the pole. The rose is complete at $\theta =0$ (five revolutions of the lighter gear).

k के लिए अपरिमेय संख्या मान वाले रोज़

अपरिमेय संख्या के साथ निर्दिष्ट रोज़ वक्र $k$ अनंत संख्या में पंखुड़ियाँ हैं और कभी पूरा नहीं होगा। उदाहरण के लिए, साइनसॉइड $r=a\cos(\pi \theta )$ एक अवधि है $T=2$, इसलिए, ध्रुवीय कोण अंतराल में इसकी एक पंखुड़ी है $-1/2\leq \theta \leq 1/2$ ध्रुवीय अक्ष पर शिखा के साथ; चूंकि ध्रुवीय समीकरण के क्षेत्र में कोई अन्य ध्रुवीय कोण नहीं है जो निर्देशांकों पर प्लॉट करेगा $(a,0)$. कुल मिलाकर, कोणीय आवृत्तियों के साथ साइनसोइड्स द्वारा निर्दिष्ट रोज़ जो अपरिमेय स्थिरांक हैं, घने सेट का निर्माण करते हैं (यानी, वे डिस्क में प्रत्येक बिंदु को निर्दिष्ट करने के लिए मनमाने ढंग से निकट आते हैं $r\leq a$).

यह भी देखें

• Limaçon Trisectrix - इसका आकार रोज़ के समान है k = 1/3.
• क्वाड्रिफोलियम - एक रोज़ वक्र जहां k = 2.
• मौरर रोज़
• रोज़ (टोपोलॉजी)
• मैकलॉरिन का सेक्ट्रिक्स
• स्पाइरोग्राफ

बाहरी संबंध

Applet to create rose with k parameter

• Visual Dictionary of Special Plane Curves Xah Lee
• Interactive example with JSXGraph
• Interactive example with p5