ध्रुव और ध्रुवीय

बिंदु O पर केंद्रित त्रिज्या r के एक वृत्त के संबंध में एक बिंदु Q की ध्रुवीय रेखा q बिंदु P, Q का व्युत्क्रम बिंदु है; ध्रुवीय P के माध्यम से वह रेखा है जो O, P और Q को समाविष्ट करने वाली रेखा के लंबवत है।

ज्यामिति में, एक ध्रुव और ध्रुवीय क्रमशः एक बिंदु और एक रेखा है जो किसी दिए गए शांकव खंड के संबंध में एक अनूठा पारस्परिक संबंध है।

किसी दिए गए वृत्त में ध्रुवीय पारस्परिकता समतल के प्रत्येक बिंदु को उसकी ध्रुवीय रेखा में और प्रत्येक रेखा को उसके ध्रुव में बदलना है।

गुण

ध्रुव और ध्रुवीय में कई उपयोगी गुण होते हैं:

• यदि कोई बिंदु P रेखा l पर स्थित है, तो रेखा l का ध्रुव L बिंदु P के ध्रुवीय p पर स्थित है।
• यदि एक बिंदु P एक रेखा l के साथ चलता है, तो इसका ध्रुवीय p रेखा l के ध्रुव L के बारे में घूमता है।
• यदि किसी ध्रुव से शंक्वाकार परिच्छेद तक दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकें तो उसका ध्रुव दोनों स्पर्श बिन्दुओं से होकर गुजरता है।
• यदि कोई बिंदु शंक्वाकार खंड पर स्थित है, तो इसका ध्रुवीय इस बिंदु के माध्यम से शंकु खंड पर स्पर्शरेखा है।
• यदि कोई बिंदु P अपनी स्वयं की ध्रुवीय रेखा पर स्थित है, तो P शंक्वाकार खंड पर है।
• प्रत्येक पंक्ति में, गैर-अपभ्रष्ट शांकव खंड के संबंध में, बिल्कुल एक ध्रुव होता है।

वृत्तों का विशेष मामला

See also: विपरीत ज्यामिति

एक वृत्त C में एक रेखा L का ध्रुव एक बिंदु 'Q' है जो कि L पर स्थित बिंदु 'P' का C में वृत्त का व्युत्क्रम है जो वृत्त के केंद्र के सबसे निकट है। इसके विपरीत, एक वृत्त C में एक बिंदु 'Q' की 'ध्रुवीय रेखा' (या 'ध्रुवीय') L है, जैसे कि वृत्त के केंद्र में इसका निकटतम बिंदु 'P' 'Q' का वृत्त व्युत्क्रम C है।

यदि एक बिंदु A दूसरे बिंदु Q की ध्रुवीय रेखा q पर स्थित है, तो Q, A की ध्रुवीय रेखा a पर स्थित है। अधिक सामान्यतः, रेखा 'q' पर सभी बिंदुओं के ध्रुव ' को इसके खंभे Q से गुजरना होगा।

ध्रुव और ध्रुवीय के बीच का संबंध पारस्परिक है। इस प्रकार, यदि कोई बिंदु A, बिंदु Q की ध्रुवीय रेखा q पर स्थित है, तो बिंदु Q को बिंदु A की ध्रुवीय रेखा a पर स्थित होना चाहिए। दो ध्रुवीय रेखाएँ a और q के समानांतर होने की आवश्यकता नहीं है।

एक बिंदु P की ध्रुवीय रेखा का एक अन्य विवरण इस मामले में है कि यह वृत्त 'C' के बाहर स्थित है। इस मामले में, P के माध्यम से दो रेखाएँ हैं जो वृत्तों की स्पर्श रेखाएँ हैं, और ध्रुवीय P स्पर्शरेखा के दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा है (यहाँ नहीं दिखाया गया है)। इससे पता चलता है कि ध्रुव और ध्रुवीय रेखा समतल की प्रक्षेपी ज्यामिति में अवधारणाएँ हैं और वृत्त C के स्थान पर किसी भी गैर-एकवचन शंकु के साथ सामान्यीकरण करते हैं।

ध्रुवीय पारस्परिकता

Main article: सहसंबंध (प्रक्षेपी ज्यामिति)

बिंदुओं और रेखाओं के बीच द्वैत का चित्रण, और घटना का दोहरा अर्थ। यदि दो रेखाएँ a और k एक बिंदु 'Q' से होकर गुजरती हैं, तो 'Q' का ध्रुवीय q क्रमशः रेखाओं a और k के ध्रुवों 'A' और 'K' को मिलाता है।

एक ध्रुव की अवधारणाएं प्रक्षेपी ज्यामिति में उन्नत हैं। उदाहरण के लिए, ध्रुवीय रेखा को शंकु के संबंध में दिए गए बिंदु, ध्रुव के प्रक्षेपी सुसंगत संयुग्मों के सम्मुच्चय के रूप में देखा जा सकता है। प्रत्येक बिंदु को उसके ध्रुवीय और इसके विपरीत बदलने की क्रिया को ध्रुवता के रूप में जाना जाता है।

एक 'ध्रुवीयता' एक सहसंबंध (प्रक्षेपी ज्यामिति) है जो कि एक अंतर्वलन (गणित) भी है।

किसी बिंदु P और उसके ध्रुवीय p के लिए, p पर कोई अन्य बिंदु Q, P से होकर जाने वाली रेखा q का ध्रुव है। इसमें एक पारस्परिक संबंध सम्मिलित है, और वह है जिसमें घटनाओं को संरक्षित किया जाता है।

सामान्य शांकव खंड

रेखा p बिंदु 'P', l से 'L' और m से 'M' तक जाने वाली ध्रुवीय रेखा है

p बिंदु 'P' की ध्रुवीय रेखा है; m, 'M' की ध्रुवीय रेखा है

ध्रुव, ध्रुवीय और पारस्परिकता की अवधारणाओं को मंडलियों से अन्य शांकव वर्गों में सामान्यीकृत किया जा सकता है जो दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय हैं। यह सामान्यीकरण संभव है क्योंकि शांकव खंड एक दूसरे वृत्त में एक चक्र के पारस्परिकता से उत्पन्न होते हैं, और इसमें सम्मिलित गुण, जैसे कि आपतन (ज्यामिति) और वज्रानुपात, सभी अनुमानित परिवर्तनों के तहत संरक्षित होते हैं।

एक बिंदु के ध्रुवीय की गणना

समतल (ज्यामिति) के कार्तीय निर्देशांक (x, y) में एक सामान्य शंकु खंड को द्वितीय-घात समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है।

$A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0\,$

जहाँ A_xx, A_xy, A_yy, B_x, B_y, और C समीकरण को परिभाषित करने वाले स्थिरांक हैं। ऐसे शंक्वाकार खंड के लिए, किसी दिए गए ध्रुव बिंदु (ξ, η) की ध्रुवीय रेखा को समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है

$Dx+Ey+F=0\,$

जहां D, E और F इसी तरह स्थिरांक हैं जो ध्रुव निर्देशांक (ξ, η) पर निर्भर करते हैं

${\begin{aligned}D&=A_{xx}\xi +A_{xy}\eta +B_{x}\\E&=A_{xy}\xi +A_{yy}\eta +B_{y}\\F&=B_{x}\xi +B_{y}\eta +C\,\end{aligned}}$

एक रेखा के ध्रुव की गणना

$Dx+Ey+F=0$ रेखा का ध्रुव, गैर-पतित शांकव खंड के सापेक्ष

$A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0\,$

दो चरणों में गणना की जा सकती है।

सबसे पहले, x, y और z संख्याओं से गणना करें

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{xx}&A_{xy}&B_{x}\\A_{xy}&A_{yy}&B_{y}\\B_{x}&B_{y}&C\end{bmatrix}}^{-1}\cdot {\begin{bmatrix}D\\E\\F\end{bmatrix}}$

अब, ध्रुव निर्देशांकों वाला बिंदु $\left({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}}\right)$ है

ध्रुव-ध्रुवीय संबंधों के लिए सारणियाँ

• दीर्घवृत्त के लिए ध्रुव-ध्रुवीय संबंध
• एक अतिपरवलय के लिए ध्रुव-ध्रुवीय संबंध
• परवलय के लिए ध्रुव-ध्रुवीय संबंध

शांक्व	समीकरण	$P=(x_{0},y_{0})$ बिन्दु का ध्रुव
वृत्त	$x^{2}+y^{2}=r^{2}$	$x_{0}x+y_{0}y=r^{2}$
दीर्घवृत्त	$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1$	${\frac {x_{0}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1$
अतिपरवलय	$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1$	${\frac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1$
परवलय	$y=ax^{2}$	$y+y_{0}=2ax_{0}x$

शांक्व	समीकरण	u x + v y = w रेखा का ध्रुव
वृत्त	$x^{2}+y^{2}=r^{2}$	$({\frac {r^{2}u}{w}},\;{\frac {r^{2}v}{w}})$
दीर्घवृत्त	$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1$	$({\frac {a^{2}u}{w}},\;{\frac {b^{2}v}{w}})$
अतिपरवलय	$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1$	$({\frac {a^{2}u}{w}},\;{\frac {-b^{2}v}{w}})$
परवलय	$y=ax^{2}$	$({\frac {-u}{2av}},\;{\frac {-w}{v}})$

पूर्ण चतुर्भुज के माध्यम से

एक पूर्ण चतुर्भुज बनाने वाले चार बिंदुओं को देखते हुए, बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखाएँ अतिरिक्त तीन विकर्ण बिंदुओं को पार करती हैं। एक बिंदु Z दिया गया है जो शंक्वाकार C पर नहीं है, बिंदु A, B, D, और E पर पारगमन करते हुए Z से C के माध्यम से दो छेदक रेखाएँ खींचें। फिर ये चार बिंदु एक पूर्ण चतुर्भुज बनाते हैं जिसमें Z एक विकर्ण बिंदु पर होता है। अन्य दो विकर्ण बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा Z का ध्रुव है, और Z इस रेखा का ध्रुव है।

अनुप्रयोग

ध्रुव और ध्रुवीय को जोसेफ डियाज गेरगोन द्वारा परिभाषित किया गया था और एपोलोनियस की समस्या के समाधान में उनकी महत्वपूर्ण भूमिका थी।

समतल गतिकी में एक ध्रुव घूर्णन का केंद्र है, ध्रुवीय क्रिया की बल रेखा है और शंकु द्रव्यमान-जड़त्व मैट्रिक्स है। [4] ध्रुव-ध्रुवीय संबंध का उपयोग एक तलीय कठोर पिंड के क्रिया के केंद्र को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। यदि ध्रुव काज बिंदु है, तो ध्रुवीय क्रिया की क्रिया रेखा है जैसा कि प्लानर स्क्रू सिद्धांत में वर्णित है।

यह भी देखें

• द्वैध बहुभुज
• द्वैध बहुतल
• ध्रुवीय वक्र
• प्रक्षेपी ज्यामिति
• प्रक्षेपी सुसंगत संयुग्म

ग्रन्थसूची

• Johnson RA (1960). Advanced Euclidean Geometry: An Elementary treatise on the geometry of the Triangle and the Circle. New York: Dover Publications. pp. 100–105.
• Coxeter HSM, Greitzer SL (1967). Geometry Revisited. Washington: MAA. pp. 132–136, 150. ISBN 978-0-88385-619-2.
• Gray J J (2007). Worlds Out of Nothing: A Course in the history of Geometry in the 19th century. London: Springer Verlag. pp. 21. ISBN 978-1-84628-632-2.
• Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. pp. 43–45. LCCN 59014456. The paperback version published by Dover Publications has the ISBN 978-0-486-41147-7.
• Wells D (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. pp. 190–191. ISBN 0-14-011813-6.

बाहरी कड़ियाँ

• Interactive animation with multiple poles and polars at Cut-the-Knot
• Interactive animation with one pole and its polar
• Interactive 3D with coloured multiple poles/polars - open source
• Weisstein, Eric W. "Polar". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Reciprocation". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Inversion pole". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Reciprocal curve". MathWorld.
• Tutorial at Math-abundance