त्रिभुज असमानताओं की सूची: Difference between revisions

Latest revision as of 16:55, 2 November 2023

ज्यामिति में, त्रिभुज असमानताएँ असमानताएँ (गणित) हैं जिनमें त्रिभुजों के पैरामीटर सम्मिलित होते हैं, जो प्रत्येक त्रिभुज के लिए, या प्रत्येक त्रिभुज के लिए कुछ शर्तों को पूरा करते हैं। असमानताएँ दो अलग-अलग मानों का क्रम देती हैं: वे इससे कम, इससे कम या इसके बराबर, से अधिक, या इससे अधिक या इसके बराबर के रूप में हैं। त्रिभुज असमानता में पैरामीटर पक्ष की लंबाई, अर्धपरिधि, कोण के उपाय, उन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान, त्रिभुज का क्षेत्रफल (ज्यामिति), भुजाओं की माध्यिका (ज्यामिति), ऊंचाई (ज्यामिति) हो सकते हैं। ), आंतरिक द्विभाजन की लंबाई या कोण द्विभाजक प्रत्येक कोण से विपरीत दिशा में, द्विभाजन भुजाओं के बहुभुज के पक्षों के लंबवत द्विभाजक, स्वैच्छिक बिंदु से दूसरे बिंदु तक की दूरी, अंतःत्रिज्या, बाह्यवृत्त, परित्रिज्या, और/या अन्य मात्राएँ।

जब तक अन्यथा निर्दिष्ट नहीं किया जाता है, यह लेख यूक्लिडियन विमान में त्रिभुजों से संबंधित है।

मुख्य पैरामीटर और नोटेशन

त्रिकोण असमानताओं में सामान्यतः दिखाई देने वाले पैरामीटर हैं:

भुजा की लंबाई ए, बी, और सी है;
अर्द्धपरिमाप s = (a + b + c) / 2 (आधी परिधि p);
कोण शीर्ष (ज्यामिति) के कोणों के ए, बी, और सी को मापता है या संबंधित पक्षों ए, बी, और सी के विपरीत पॉलीटोप का (उनके कोण उपायों के समान प्रतीकों के साथ दर्शाए गए कोने के साथ);
कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान;
त्रिभुज का क्षेत्रफल (ज्यामिति) T;
माध्यिका (ज्यामिति) m_a, m_b, और m_c पक्षों की (प्रत्येक पक्ष के मध्य बिंदु से विपरीत शीर्ष तक रेखा खंड की लंबाई है);
ऊंचाई (ज्यामिति) h_a, h_b, और h_c (प्रत्येक खंड की लंबाई एक तरफ लंबवत है और उस तरफ से (या संभवतः उस तरफ का विस्तार) विपरीत शीर्ष तक पहुंच रहा है);
द्विभाजन की लंबाई या कोण द्विभाजक t_a, t_b, और t_c (प्रत्येक शीर्ष से विपरीत दिशा में एक खंड है और शीर्ष कोण को समद्विभाजित करता है);
द्विभाजक बहुभुज की भुजाओं का द्विभाजकp_a, p_b, और p_c पक्षों की (प्रत्येक अपने मध्य बिंदु पर एक तरफ लंबवत खंड की लंबाई है और दूसरे पक्षों में से एक तक पहुंच रहा है);
समतल में स्वैच्छिक बिंद पी पर अंत बिंदु के साथ रेखा खंडों की लंबाई (उदाहरण के लिए, p से शीर्ष a तक के खंड की लंबाई को पीए या एपी के रूप में दर्शाया गया है);
अंतःत्रिज्या r (त्रिकोण में उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या, तीनों भुजाओं की स्पर्शरेखा), बहिर्वृत्त r_a,r_b, और r_c (प्रत्येक क्रमशः ए, बी, या सी के लिए बाहरी स्पर्शरेखा की त्रिज्या है और अन्य दो पक्षों के विस्तार के लिए स्पर्शरेखा है), और परिवृत्त आर (त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या और तीनों शीर्षों से होकर गुजरती है) .

पक्ष की लंबाई

मूल त्रिकोण असमानता है

a<b+c,\quad b<c+a,\quad c<a+b

या समकक्ष

\max(a,b,c)<s.

इसके साथ ही,

{\frac {3}{2}}\leq {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}<2,

जहां दाईं ओर का मान न्यूनतम संभव सीमा है, ^[1]^{: p. 259} पहुँची हुई सीमा (गणित) के रूप में त्रिकोण के कुछ वर्ग शून्य क्षेत्र के पतन (गणित) के मामले में आते हैं। बाएं असमानता, जो सभी सकारात्मक a, b, c के लिए है, नेस्बिट की असमानता है।

अपने पास

3\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2\left({\frac {b}{a}}+{\frac {c}{b}}+{\frac {a}{c}}\right)+3.

^[2]^{: p.250, #82}

abc\geq (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c).\quad

^[1]^{: p. 260}

{\frac {1}{3}}\leq {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{(a+b+c)^{2}}}<{\frac {1}{2}}.\quad

^[1]^{: p. 261}

{\sqrt {a+b-c}}+{\sqrt {a-b+c}}+{\sqrt {-a+b+c}}\leq {\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}.

^[1]^{: p. 261}

a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)\geq 0.

^[1]^{: p. 261}

यदि कोण C अधिक कोण (90° से अधिक) है तो

a^{2}+b^{2}<c^{2};

यदि C एक्यूट (90° से कम) है तो

a^{2}+b^{2}>c^{2}.

समानता के बीच का मामला जब C समकोण है, पायथागॉरियन प्रमेय है।

सामान्य रूप में, ^[2]^{: p.1, #74}

a^{2}+b^{2}>{\frac {c^{2}}{2}},

समता की सीमा में तभी पहुँचता है जब समद्विबाहु त्रिभुज का शीर्ष कोण 180° के करीब पहुँचता है।

यदि त्रिभुज का केन्द्रक त्रिभुज के अंतःवृत्त के अंदर है, तब ^[3]^{: p. 153}

a^{2}<4bc,\quad b^{2}<4ac,\quad c^{2}<4ab.

जबकि उपरोक्त सभी असमानताएँ सही हैं क्योंकि a, b, और c को मूल त्रिभुज असमानता का पालन करना चाहिए, जो कि सबसे लंबी भुजा परिधि के आधे से कम है, निम्नलिखित संबंध सभी सकारात्मक a, b, और c के लिए हैं: ^[1]^: p.267

{\frac {3abc}{ab+bc+ca}}\leq {\sqrt[{3}]{abc}}\leq {\frac {a+b+c}{3}},

प्रत्येक होल्डिंग समानता के साथ ही जब a = b = c। यह कहता है कि गैर-समतुल्य मामले में पक्षों का अनुकूल माध्य उनके ज्यामितीय माध्य से कम होता है जो बदले में उनके अंकगणितीय माध्य से कम होता है।

कोण

\cos A+\cos B+\cos C\leq {\frac {3}{2}}.

^[1]^{: p. 286}

(1-\cos A)(1-\cos B)(1-\cos C)\geq \cos A\cdot \cos B\cdot \cos C.

^[2]^{: p.21, #836}

\cos ^{4}{\frac {A}{2}}+\cos ^{4}{\frac {B}{2}}+\cos ^{4}{\frac {C}{2}}\leq {\frac {s^{3}}{2abc}}

अर्ध-परिधि s के लिए, केवल समबाहु मामले में समानता के साथ। ^[2]^{: p.13, #608}

a+b+c\geq 2{\sqrt {bc}}\cos A+2{\sqrt {ca}}\cos B+2{\sqrt {ab}}\cos C.

^[4]^: Thm.1

\sin A+\sin B+\sin C\leq {\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}.

^[1]^: p.286

\sin ^{2}A+\sin ^{2}B+\sin ^{2}C\leq {\frac {9}{4}}.

^[1]^{: p. 286}

\sin A\cdot \sin B\cdot \sin C\leq \left({\frac {\sin A+\sin B+\sin C}{3}}\right)^{3}\leq \left(\sin {\frac {A+B+C}{3}}\right)^{3}=\sin ^{3}\left({\frac {\pi }{3}}\right)={\frac {3{\sqrt {3}}}{8}}.

^[5]^{: p. 203}

\sin A+\sin B\cdot \sin C\leq \varphi

^[2]^{: p.149, #3297}

कहाँ $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},$ सुनहरा अनुपात।

\sin {\frac {A}{2}}\cdot \sin {\frac {B}{2}}\cdot \sin {\frac {C}{2}}\leq {\frac {1}{8}}.

^[1]^{: p. 286}

\tan ^{2}{\frac {A}{2}}+\tan ^{2}{\frac {B}{2}}+\tan ^{2}{\frac {C}{2}}\geq 1.

^[1]^{: p. 286}

\cot A+\cot B+\cot C\geq {\sqrt {3}}.

^[6]

\sin A\cdot \cos B+\sin B\cdot \cos C+\sin C\cdot \cos A\leq {\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}.

^[2]^{: p.187, #309.2}

परिधि आर और अंतःत्रिज्या आर के लिए हमारे पास है

\max \left(\sin {\frac {A}{2}},\sin {\frac {B}{2}},\sin {\frac {C}{2}}\right)\leq {\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {1-{\frac {2r}{R}}}}\right),

समानता के साथ यदि और केवल यदि त्रिभुज समद्विबाहु है जिसका शीर्ष कोण 60° से अधिक या उसके बराबर है; ^[7]^{: Cor. 3} और

\min \left(\sin {\frac {A}{2}},\sin {\frac {B}{2}},\sin {\frac {C}{2}}\right)\geq {\frac {1}{2}}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2r}{R}}}}\right),

समानता के साथ यदि और केवल यदि त्रिभुज समद्विबाहु है जिसका शीर्ष कोण 60° से कम या बराबर है। ^[7]^{: Cor. 3}

हमारे पास भी है

{\frac {r}{R}}-{\sqrt {1-{\frac {2r}{R}}}}\leq \cos A\leq {\frac {r}{R}}+{\sqrt {1-{\frac {2r}{R}}}}

और इसी तरह कोण बी, सी के लिए, पहले भाग में समानता के साथ यदि त्रिकोण समद्विबाहु है और शीर्ष कोण कम से कम 60 डिग्री है और दूसरे भाग में समानता यदि और केवल यदि त्रिभुज समद्विबाहु है जिसका शीर्ष कोण 60 डिग्री से अधिक नहीं है . ^[7]^{: Prop. 5}

इसके अतिरिक्त, किन्हीं भी दो कोणों का माप A और B विपरीत भुजाएँ क्रमशः a और b के अनुसार संबंधित हैं ^[1]^{: p. 264}

A>B\quad {\text{if and only if}}\quad a>b,

जो समद्विबाहु त्रिभुज प्रमेय और इसके विलोम से संबंधित है, जो बताता है कि A = B यदि और केवल यदि a = b है।

यूक्लिड के बाहरी कोण प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज का कोई भी बाहरी कोण विपरीत शीर्षों पर आंतरिक कोण में से किसी एक से बड़ा होता है:^[1]^{: p. 261}

180^{\circ }-A>\max(B,C).

यदि बिंदु D त्रिभुज ABC के अभ्यंतर में है, तो

\angle BDC>\angle A.

^[1]^{: p. 263}

तीव्र त्रिभुज के लिए हमारे पास है ^[2]^{: p.26, #954}

\cos ^{2}A+\cos ^{2}B+\cos ^{2}C<1,

विषम त्रिभुज के लिए रिवर्स असमानता के साथ।

इसके अतिरिक्त, हमारे पास गैर-अक्षम त्रिकोणों के लिए है ^[8]^{: Corollary 3}

{\frac {2R+r}{R}}\leq {\sqrt {2}}\left(\cos \left({\frac {A-C}{2}}\right)+\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\right)

समानता के साथ यदि और केवल यदि यह कर्ण AC के साथ समकोण त्रिभुज है।

क्षेत्र

वीटजेनबॉक की असमानता, क्षेत्रफल T के संदर्भ में है,^[1]^{: p. 290}

a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}\cdot T,

केवल समबाहु मामले में समानता के साथ। यह हैडविगर-फिन्सलर असमानता का परिणाम है, जो कि है

a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4{\sqrt {3}}\cdot T.

भी,

ab+bc+ca\geq 4{\sqrt {3}}\cdot T

^[9]^{: p. 138}

और ^[2]^{: p.192, #340.3} ^[5]^{: p. 204}

T\leq {\frac {abc}{2}}{\sqrt {\frac {a+b+c}{a^{3}+b^{3}+c^{3}+abc}}}\leq {\frac {1}{4}}{\sqrt[{6}]{\frac {3(a+b+c)^{3}(abc)^{4}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}}}\leq {\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{2/3}.

अंकगणितीय-ज्यामितीय माध्य असमानता का उपयोग करते हुए, T पर सबसे ऊपरी सीमा से, त्रिभुजों के लिए समपरिमितीय असमानता प्राप्त की जाती है:

T\leq {\frac {\sqrt {3}}{36}}(a+b+c)^{2}={\frac {\sqrt {3}}{9}}s^{2}

^[5]^{: p. 203}

अर्धपरिधि एस के लिए इसे कभी-कभी परिमाप p के रूप में व्यक्त किया जाता है

p^{2}\geq 12{\sqrt {3}}\cdot T,

समबाहु त्रिभुज के लिए समानता के साथ। ^[10] इससे बल मिलता है

T\leq {\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{2/3}.

बोनेसेन की असमानता भी समपरिमितीय असमानता को शक्तिशाली करती है:

\pi ^{2}(R-r)^{2}\leq (a+b+c)^{2}-4\pi T.

हमारे पास भी है

{\frac {9abc}{a+b+c}}\geq 4{\sqrt {3}}\cdot T

^[1]^{: p. 290} ^[9]^{: p. 138}

समानता के साथ केवल समबाहु मामले में;

38T^{2}\leq 2s^{4}-a^{4}-b^{4}-c^{4}

^[2]^{: p.111, #2807}

अर्धपरिधि के लिए; और

{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}<{\frac {s}{T}}.

^[2]^{: p.88, #2188}

न्यून त्रिभुजों (जिनके सभी कोण 90° से कम हैं) के लिए ओनो की असमानता है

27(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\leq (4T)^{6}.

त्रिभुज के क्षेत्रफल की तुलना अंतर्वृत्त के क्षेत्रफल से की जा सकती है:

{\frac {\text{Area of incircle}}{\text{Area of triangle}}}\leq {\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}

केवल समबाहु त्रिभुज के लिए समानता के साथ। ^[11]

यदि संदर्भ त्रिकोण में आंतरिक त्रिकोण अंकित किया गया है ताकि आंतरिक त्रिकोण के कोने संदर्भ त्रिकोण की परिधि को समान लंबाई वाले खंडों में विभाजित करें, तो उनके क्षेत्रों का अनुपात निम्न द्वारा सीमित होता है ^[9]^{: p. 138}

{\frac {\text{Area of inscribed triangle}}{\text{Area of reference triangle}}}\leq {\frac {1}{4}}.

मान लीजिए कि A, B और C के आंतरिक कोण समद्विभाजक विपरीत भुजाओं को D, E और F पर मिलते हैं। फिर ^[2]^{: p.18, #762}

{\frac {3abc}{4(a^{3}+b^{3}+c^{3})}}\leq {\frac {{\text{Area of triangle}}\,DEF}{{\text{Area of triangle}}\,ABC}}\leq {\frac {1}{4}}.

त्रिभुज के माध्यिका के माध्यम से रेखा क्षेत्र को इस प्रकार विभाजित करती है कि छोटे उप-क्षेत्र का मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल से अनुपात कम से कम 4/9 है। ^[12]

मेडियन और सेंट्रोइड

तीन माध्यिका (त्रिकोण)। $m_{a},\,m_{b},\,m_{c}$ त्रिकोण के प्रत्येक शीर्ष को विपरीत दिशा के मध्य बिंदु से जोड़ता है, और उनकी लंबाई का योग संतुष्ट करता है ^[1]^{: p. 271}

{\frac {3}{4}}(a+b+c)<m_{a}+m_{b}+m_{c}<a+b+c.

इसके अतिरिक्त, ^[2]^{: p.12, #589}

\left({\frac {m_{a}}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m_{b}}{b}}\right)^{2}+\left({\frac {m_{c}}{c}}\right)^{2}\geq {\frac {9}{4}},

समानता के साथ केवल समबाहु मामले में, और अंतःत्रिज्या आर के लिए, ^[2]^{: p.22, #846}

{\frac {m_{a}m_{b}m_{c}}{m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}}}\geq r.

यदि हम परिवृत्त के साथ उनके चौराहों तक विस्तारित माध्यिका की लंबाई को M_a,M_b , और M_c के रूप में निरूपित करते हैं तब ^[2]^{: p.16, #689}

{\frac {M_{a}}{m_{a}}}+{\frac {M_{b}}{m_{b}}}+{\frac {M_{c}}{m_{c}}}\geq 4.

केन्द्रक G माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन है। बता दें कि AG, BG और CG परिवृत्त को क्रमश: U, V और W पर मिलते हैं। फिर दोनों^[2]^: p.17#723

GU+GV+GW\geq AG+BG+CG

और

GU\cdot GV\cdot GW\geq AG\cdot BG\cdot CG;

इसके साथ ही,^[2]^{: p.156, #S56}

\sin GBC+\sin GCA+\sin GAB\leq {\frac {3}{2}}.

तीव्र त्रिभुज के लिए हमारे पास है ^[2]^{: p.26, #954}

m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}>6R^{2}

परिधि R के संदर्भ में, जबकि विपरीत असमानता अधिक त्रिभुज के लिए है।

IA, IB, IC के रूप में वर्टिकल से केंद्र की दूरी को निरूपित करते हुए, निम्नलिखित धारण करता है: ^[2]^{: p.192, #339.3}

{\frac {IA^{2}}{m_{a}^{2}}}+{\frac {IB^{2}}{m_{b}^{2}}}+{\frac {IC^{2}}{m_{c}^{2}}}\leq {\frac {4}{3}}.

किसी भी त्रिभुज की तीन माध्यिकाएँ दूसरे त्रिभुज की भुजाएँ बना सकती हैं: ^[13]^{: p. 592}

m_{a}<m_{b}+m_{c},\quad m_{b}<m_{c}+m_{a},\quad m_{c}<m_{a}+m_{b}.

आगे, ^[14]^{: Coro. 6}

\max\{bm_{c}+cm_{b},\quad cm_{a}+am_{c},\quad am_{b}+bm_{a}\}\leq {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{\sqrt {3}}}.

ऊंचाई

ऊंचाई h_a , आदि प्रत्येक एक शीर्ष को विपरीत दिशा से जोड़ते हैं और उस तरफ लंबवत होते हैं। वे दोनों को संतुष्ट करते हैं ^[1]^{: p. 274}

h_{a}+h_{b}+h_{c}\leq {\frac {\sqrt {3}}{2}}(a+b+c)

और

h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2}\leq {\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).

इसके अतिरिक्त यदि $a\geq b\geq c,$ तब ^[2]^{: 222, #67}

a+h_{a}\geq b+h_{b}\geq c+h_{c}.

हमारे पास भी है ^[2]^{: p.140, #3150}

{\frac {h_{a}^{2}}{(b^{2}+c^{2})}}\cdot {\frac {h_{b}^{2}}{(c^{2}+a^{2})}}\cdot {\frac {h_{c}^{2}}{(a^{2}+b^{2})}}\leq \left({\frac {3}{8}}\right)^{3}.

आंतरिक कोण द्विभाजक के लिए t_a, t_b, t_c शीर्षों से A, B, C और परिकेन्द्र और अंतःकेन्द्र हैं, हमारे पास है ^[2]^{: p.125, #3005}

{\frac {h_{a}}{t_{a}}}+{\frac {h_{b}}{t_{b}}}+{\frac {h_{c}}{t_{c}}}\geq {\frac {R+4r}{R}}.

किसी त्रिभुज के शीर्षलंबों के व्युत्क्रम स्वयं त्रिभुज बना सकते हैं: ^[15]

{\frac {1}{h_{a}}}<{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}},\quad {\frac {1}{h_{b}}}<{\frac {1}{h_{c}}}+{\frac {1}{h_{a}}},\quad {\frac {1}{h_{c}}}<{\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}.

आंतरिक कोण समद्विभाजक और अंत:केंद्र

आंतरिक कोण समद्विभाजक त्रिभुज के आंतरिक भाग में खंड होते हैं जो शीर्ष से विपरीत दिशा में पहुंचते हैं और शीर्ष कोण को दो समान कोणों में विभाजित करते हैं। कोण द्विभाजक t_a आदि संतुष्ट

t_{a}+t_{b}+t_{c}\leq {\frac {3}{2}}(a+b+c)

पक्षों के संदर्भ में, और

h_{a}\leq t_{a}\leq m_{a}

ऊंचाई और माध्यिका के संदर्भ में, और इसी तरह के लिए t_b और t_c . ^[1]^{: pp. 271–3} आगे, ^[2]^{: p.224, #132}

{\sqrt {m_{a}}}+{\sqrt {m_{b}}}+{\sqrt {m_{c}}}\geq {\sqrt {t_{a}}}+{\sqrt {t_{b}}}+{\sqrt {t_{c}}}

माध्यिका के संदर्भ में, और ^[2]^{: p.125, #3005}

{\frac {h_{a}}{t_{a}}}+{\frac {h_{b}}{t_{b}}}+{\frac {h_{c}}{t_{c}}}\geq 1+{\frac {4r}{R}}

ऊँचाई के संदर्भ में, अंतःत्रिज्या r और परित्रिज्या R।

चलो t_a , t_b , और t_c परिवृत्त तक विस्तारित कोण द्विभाजक की लंबाई हो। तब ^[2]^{: p.11, #535}

T_{a}T_{b}T_{c}\geq {\frac {8{\sqrt {3}}}{9}}abc,

केवल समबाहु मामले में समानता के साथ, और ^[2]^{: p.14, #628}

T_{a}+T_{b}+T_{c}\leq 5R+2r

परिधि आर और अंतःत्रिज्या आर के लिए, फिर से केवल समबाहु मामले में समानता के साथ। इसके साथ ही,। ^[2]^{: p.20, #795}

T_{a}+T_{b}+T_{c}\geq {\frac {4}{3}}(t_{a}+t_{b}+t_{c}).

केंद्र I के लिए (आंतरिक कोण समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन), ^[2]^{: p.127, #3033}

6r\leq AI+BI+CI\leq {\sqrt {12(R^{2}-Rr+r^{2})}}.

भुजाओं के मध्यबिंदु L, M, N के लिए, ^[2]^{: p.152, #J53}

IL^{2}+IM^{2}+IN^{2}\geq r(R+r).

अंतःकेन्द्र I, केन्द्रक G, परिकेन्द्र O, नौ-बिंदु केंद्र N, और लंबकेन्द्र H के लिए, हमारे पास गैर-समबाहु त्रिभुजों के लिए दूरी असमानताएँ हैं ^[16]^: p.232

IG<HG,

IH<HG,

IG<IO,

और

IN<{\frac {1}{2}}IO;

और हमारे पास कोण असमानता है ^[16]^: p.233

\angle IOH<{\frac {\pi }{6}}.

इसके साथ ही, ^[16]^{: p.233, Lemma 3}

IG<{\frac {1}{3}}v,

जहाँ v सबसे लंबी माध्यिका है।

केंद्र में शीर्ष के साथ तीन त्रिभुज, OIH, GIH, और OGI, कुंद हैं: ^[16]^: p.232

\angle OIH

>

\angle GIH

> 90° ,

\angle OGI

> 90 डिग्री।

चूँकि इन त्रिभुजों में संकेतित अधिक कोण हैं, इसलिए हमारे पास है

OI^{2}+IH^{2}<OH^{2},\quad GI^{2}+IH^{2}<GH^{2},\quad OG^{2}+GI^{2}<OI^{2},

और वास्तव में इनमें से दूसरा पहले की तुलना में अधिक शक्तिशाली परिणाम के बराबर है, जिसे यूलर द्वारा दिखाया गया है:^[17]^[18]

OI^{2}<OH^{2}-2\cdot IH^{2}<2\cdot OI^{2}.

त्रिभुज के दो कोणों में से बड़े का आंतरिक कोण द्विभाजक छोटा होता है: ^[19]^{: p.72, #114}

{\text{If}}\quad A>B\quad {\text{then}}\quad t_{a}<t_{b}.

पक्षों के लम्ब समद्विभाजक

ये असमानताएँ लंबाई p_a से संबंधित हैं त्रिभुज की भुजाओं के लंब समद्विभाजकों के त्रिभुज-आंतरिक भाग आदि। पक्षों को नकारना ताकि $a\geq b\geq c,$ अपने पास ^[20]

p_{a}\geq p_{b}

और

p_{c}\geq p_{b}.

स्वैच्छिक बिंदु से खंड

आंतरिक बिंदु

त्रिभुज के अभ्यंतर में किसी बिंदु P पर विचार करें, जिसमें त्रिभुज के शीर्षों को A, B, और C से दर्शाया गया है और रेखाखंडों की लंबाई को PA आदि से दर्शाया गया है। हमारे पास है ^[1]^{: pp. 275–7}

2(PA+PB+PC)>AB+BC+CA>PA+PB+PC,

और इन असमानताओं में से दूसरी से अधिक दृढ़ता से है:^[1]^{: p. 278} यदि $AB$ तब त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा है

PA+PB+PC\leq AC+BC.

हमारे पास टॉलेमी की असमानता भी है^[2]^{: p.19, #770}

PA\cdot BC+PB\cdot CA>PC\cdot AB

आंतरिक बिंदु P के लिए और इसी तरह शीर्षों के चक्रीय क्रमपरिवर्तन के लिए।

यदि हम आंतरिक बिंदु P से त्रिभुज की भुजाओं पर लंब खींचते हैं, भुजाओं को D, E, और F पर प्रतिच्छेद करते हुए, हमारे पास है ^[1]^{: p. 278}

PA\cdot PB\cdot PC\geq (PD+PE)(PE+PF)(PF+PD).

इसके अतिरिक्त, एर्डोस-मोर्डेल असमानता बताती है कि^[21] ^[22]

{\frac {PA+PB+PC}{PD+PE+PF}}\geq 2

समबाहु मामले में समानता के साथ। अधिक दृढ़ता से, बैरो की असमानता बताती है कि यदि आंतरिक बिंदु P पर कोणों के आंतरिक द्विभाजक (अर्थात्, ∠APB, ∠BPC, और ∠CPA के) त्रिभुज की भुजाओं को U, V, और W पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो ^[23]

{\frac {PA+PB+PC}{PU+PV+PW}}\geq 2.

एर्डोस-मोर्डेल असमानता से भी शक्तिशाली निम्न है: ^[24] मान लीजिए कि D, E, F क्रमशः BC, CA, AB पर P के ओर्थोगोनल प्रोजेक्शन हैं, और H, K, L क्रमशः A, B, C पर त्रिभुज के परिवृत्त की स्पर्श रेखाओं पर P के ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन हैं। तब

PH+PK+PL\geq 2(PD+PE+PF).

ऑर्थोगोनल अनुमानों के साथ पी से एच, के, एल क्रमशः ए, बी, सी पर त्रिकोण के परिवृत्त के स्पर्शरेखा पर, हमारे पास है ^[25]

{\frac {PH}{a^{2}}}+{\frac {PK}{b^{2}}}+{\frac {PL}{c^{2}}}\geq {\frac {1}{R}}

जहाँ R परित्रिज्या है।

फिर से पक्षों से आंतरिक बिंदु P की दूरी PD, PE, PF के साथ हमारे पास ये तीन असमानताएँ हैं: ^[2]^{: p.29, #1045}

{\frac {PA^{2}}{PE\cdot PF}}+{\frac {PB^{2}}{PF\cdot PD}}+{\frac {PC^{2}}{PD\cdot PE}}\geq 12;

{\frac {PA}{\sqrt {PE\cdot PF}}}+{\frac {PB}{\sqrt {PF\cdot PD}}}+{\frac {PC}{\sqrt {PD\cdot PE}}}\geq 6;

{\frac {PA}{PE+PF}}+{\frac {PB}{PF+PD}}+{\frac {PC}{PD+PE}}\geq 3.

आंतरिक बिंदु P के लिए दूरियों PA, PB, PC के साथ और त्रिकोण क्षेत्र T के साथ, ^[2]^{: p.37, #1159}

(b+c)PA+(c+a)PB+(a+b)PC\geq 8T

और ^[2]^{: p.26, #965}

{\frac {PA}{a}}+{\frac {PB}{b}}+{\frac {PC}{c}}\geq {\sqrt {3}}.

आंतरिक बिंदु P के लिए, केन्द्रक G, मध्यबिंदु L, M, N भुजाओं का, और अर्धपरिमाप s, ^[2]^{: p.140, #3164} ^[2]^{: p.130, #3052}

2(PL+PM+PN)\leq 3PG+PA+PB+PC\leq s+2(PL+PM+PN).

इसके अतिरिक्त, सकारात्मक संख्या k₁, k₂, k₃ के लिए और t के साथ 1 से कम या उसके बराबर: ^[26]^: Thm.1

k_{1}\cdot (PA)^{t}+k_{2}\cdot (PB)^{t}+k_{3}\cdot (PC)^{t}\geq 2^{t}{\sqrt {k_{1}k_{2}k_{3}}}\left({\frac {(PD)^{t}}{\sqrt {k_{1}}}}+{\frac {(PE)^{t}}{\sqrt {k_{2}}}}+{\frac {(PF)^{t}}{\sqrt {k_{3}}}}\right),

जबकि t > 1 के लिए हमारे पास है ^[26]^: Thm.2

k_{1}\cdot (PA)^{t}+k_{2}\cdot (PB)^{t}+k_{3}\cdot (PC)^{t}\geq 2{\sqrt {k_{1}k_{2}k_{3}}}\left({\frac {(PD)^{t}}{\sqrt {k_{1}}}}+{\frac {(PE)^{t}}{\sqrt {k_{2}}}}+{\frac {(PF)^{t}}{\sqrt {k_{3}}}}\right).

आंतरिक या बाहरी बिंदु

त्रिभुज के खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या r के संदर्भ में विमान में स्वैच्छिक आंतरिक या बाहरी बिंदु के लिए विभिन्न असमानताएँ हैं। उदाहरण के लिए, ^[27]^{: p. 109}

PA+PB+PC\geq 6r.

दूसरों में सम्मिलित हैं: ^[28]^{: pp. 180–1}

PA^{3}+PB^{3}+PC^{3}+k\cdot (PA\cdot PB\cdot PC)\geq 8(k+3)r^{3}

के = 0, 1, ..., 6 के लिए;

PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}+(PA\cdot PB\cdot PC)^{2/3}\geq 16r^{2};

PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}+2(PA\cdot PB\cdot PC)^{2/3}\geq 20r^{2};

और

PA^{4}+PB^{4}+PC^{4}+k(PA\cdot PB\cdot PC)^{4/3}\geq 16(k+3)r^{4}

के = 0, 1, ..., 9 के लिए।

इसके अतिरिक्त, परिधि आर के लिए,

(PA\cdot PB)^{3/2}+(PB\cdot PC)^{3/2}+(PC\cdot PA)^{3/2}\geq 12Rr^{2};

^[29]^{: p. 227}

(PA\cdot PB)^{2}+(PB\cdot PC)^{2}+(PC\cdot PA)^{2}\geq 8(R+r)Rr^{2};

^[29]^{: p. 233}

(PA\cdot PB)^{2}+(PB\cdot PC)^{2}+(PC\cdot PA)^{2}\geq 48r^{4};

^[29]^{: p. 233}

(PA\cdot PB)^{2}+(PB\cdot PC)^{2}+(PC\cdot PA)^{2}\geq 6(7R-6r)r^{3}.

^[29]^{: p. 233}

मान लीजिए ABC त्रिभुज है, मान लीजिए G इसका केंद्रक है, और मान लीजिए D, E, और F क्रमशः BC, CA और AB के मध्य बिंदु हैं। एबीसी के विमान में किसी बिंदु पी के लिए:

PA+PB+PC\leq 2(PD+PE+PF)+3PG.

^[30]

इन्रेडियस, एक्सराडी, और सर्कमरेडियस

अंतर्त्रिज्या और परित्रिज्या

परिधि आर और अंतःत्रिज्या आर के लिए यूलर असमानता बताती है कि

{\frac {R}{r}}\geq 2,

समानता के साथ केवल समबाहु त्रिभुज मामले में। ^[31]^{: p. 198}

शक्तिशाली संस्करण ^[5]^{: p. 198} है

{\frac {R}{r}}\geq {\frac {abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}}\geq {\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}-1\geq {\frac {2}{3}}\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2.

तुलना से, ^[2]^{: p.183, #276.2}

{\frac {r}{R}}\geq {\frac {4abc-a^{3}-b^{3}-c^{3}}{2abc}},

जहां दायां पक्ष सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है।

यूलर की असमानता के दो अन्य परिशोधन हैं ^[2]^{: p.134, #3087}

{\frac {R}{r}}\geq {\frac {(b+c)}{3a}}+{\frac {(c+a)}{3b}}+{\frac {(a+b)}{3c}}\geq 2

और

\left({\frac {R}{r}}\right)^{3}\geq \left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}\right)\left({\frac {b}{c}}+{\frac {c}{b}}\right)\left({\frac {c}{a}}+{\frac {a}{c}}\right)\geq 8.

एक और सममित असमानता है ^[2]^{: p.125, #3004}

{\frac {\left({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}\right)^{2}+\left({\sqrt {b}}-{\sqrt {c}}\right)^{2}+\left({\sqrt {c}}-{\sqrt {a}}\right)^{2}}{\left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}\right)^{2}}}\leq {\frac {4}{9}}\left({\frac {R}{r}}-2\right).

इसके अतिरिक्त,

{\frac {R}{r}}\geq {\frac {2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}};

^[1]^: 288

a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 8s(R^{2}-r^{2})

अर्धपरिधि के संदर्भ में; ^[2]^{: p.20, #816}

r(r+4R)\geq {\sqrt {3}}\cdot T

क्षेत्र टी के संदर्भ में; ^[5]^{: p. 201}

s{\sqrt {3}}\leq r+4R

^[5]^{: p. 201}

और

s^{2}\geq 16Rr-5r^{2}

^[2]^: p.17#708

अर्धपरिधि के संदर्भ में; और

{\begin{aligned}&2R^{2}+10Rr-r^{2}-2(R-2r){\sqrt {R^{2}-2Rr}}\leq s^{2}\\&\quad \leq 2R^{2}+10Rr-r^{2}+2(R-2r){\sqrt {R^{2}-2Rr}}\end{aligned}}

अर्धपरिधि के संदर्भ में भी। ^[5]^{: p. 206} ^[7]^{: p. 99} यहाँ अभिव्यक्ति ${\sqrt {R^{2}-2Rr}}=d$ जहाँ d अंतःकेंद्र और परिकेन्द्र के बीच की दूरी है। बाद की दोहरी असमानता में, पहला भाग समानता के साथ धारण करता है यदि और केवल यदि त्रिभुज कम से कम 60 ° के शीर्ष (ज्यामिति) कोण के साथ समद्विबाहु है, और अंतिम भाग समानता के साथ धारण करता है यदि और केवल यदि त्रिभुज एक के साथ समद्विबाहु है अधिकतम 60° का शीर्ष कोण। इस प्रकार दोनों समानताएँ हैं यदि और केवल यदि त्रिभुज समबाहु है।^[7]^{: Thm. 1}

हमारे पास किसी भी पक्ष के लिए a भी है ^[32]

(R-d)^{2}-r^{2}\leq 4R^{2}r^{2}\left({\frac {(R+d)^{2}-r^{2}}{(R+d)^{4}}}\right)\leq {\frac {a^{2}}{4}}\leq Q\leq (R+d)^{2}-r^{2},

कहाँ $Q=R^{2}$ यदि परिकेन्द्र अंतःवृत्त पर या उसके बाहर है और $Q=4R^{2}r^{2}\left({\frac {(R-d)^{2}-r^{2}}{(R-d)^{4}}}\right)$ यदि परिकेन्द्र अंतःवृत्त के अंदर है। परिकेन्द्र अंतःवृत्त के भीतर है यदि और केवल यदि ^[32]

{\frac {R}{r}}<{\sqrt {2}}+1.

आगे,

{\frac {9r}{2T}}\leq {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}\leq {\frac {9R}{4T}}.

^[1]^{: p. 291}

ब्लंडन की असमानता बताती है कि ^[5]^{: p. 206,} ^[33] ^[34]

s\leq (3{\sqrt {3}}-4)r+2R.

हमारे पास सभी न्यून त्रिभुजों के लिए भी है, ^[35]

s>2R+r.

अंतर्वृत्त केंद्र I के लिए, AI, BI और CI को क्रमशः D, E और F पर परिवृत्त को काटने के लिए I से आगे बढ़ाएं। तब^[2]^{: p.14, #644}

{\frac {AI}{ID}}+{\frac {BI}{IE}}+{\frac {CI}{IF}}\geq 3.

हमारे पास शीर्ष कोणों के संदर्भ में ^[2]^{: p.193, #342.6}

\cos A\cdot \cos B\cdot \cos C\leq \left({\frac {r}{R{\sqrt {2}}}}\right)^{2}.

के रूप में निरूपित करें $R_{A},R_{B},R_{C}$ त्रिकोण की तनरडी। तब ^[36]^{: Thm. 4}

{\frac {4}{R}}\leq {\frac {1}{R_{A}}}+{\frac {1}{R_{B}}}+{\frac {1}{R_{C}}}\leq {\frac {2}{r}}

केवल समबाहु मामले में समानता के साथ, और ^[37]

{\frac {9}{2}}r\leq R_{A}+R_{B}+R_{C}\leq 2R+{\frac {1}{2}}r

केवल समबाहु मामले में समानता के साथ।

परिधि और अन्य लंबाई

परिधि R के लिए हमारे पास है ^[2]^{: p.101, #2625}

18R^{3}\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})R+abc{\sqrt {3}}

और^[2] ^{: p.35, #1130}

a^{2/3}+b^{2/3}+c^{2/3}\leq 3^{7/4}R^{3/2}.

हमारे पास भी है ^[1]^{: pp. 287–90}

a+b+c\leq 3{\sqrt {3}}\cdot R,

9R^{2}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2},

h_{a}+h_{b}+h_{c}\leq 3{\sqrt {3}}\cdot R

ऊंचाई के मामले में,

m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}\leq {\frac {27}{4}}R^{2}

माध्यिका के संदर्भ में, और^[2]^{: p.26, #957}

{\frac {ab}{a+b}}+{\frac {bc}{b+c}}+{\frac {ca}{c+a}}\geq {\frac {2T}{R}}

क्षेत्र के संदर्भ में।

इसके अतिरिक्त, परिकेन्द्र O के लिए, मान लीजिए रेखाएँ AO, BO, और CO विपरीत भुजाओं BC, CA, और AB को क्रमश: U, V और W पर प्रतिच्छेद करती हैं। तब^[2]^{: p.17, #718}

OU+OV+OW\geq {\frac {3}{2}}R.

न्यूनकोण त्रिभुज के लिए परिकेन्द्र O और लंबकेन्द्र H के बीच की दूरी संतुष्ट करती है^[2]^{: p.26, #954}

OH<R,

विषम त्रिकोण के लिए विपरीत असमानता के साथ।

परिधि पहले और दूसरे ब्रोकार्ड बिंदु B₁ और B₂ के बीच की दूरी से कम से कम दुगुनी हैB₁ और B₂:^[38]

R\geq 2B_{1}B_{2}.

इनरेडियस, एक्सराडी, और अन्य लंबाई

त्रिज्या आर के लिए हमारे पास है^[1]^{: pp. 289–90}

{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}\leq {\frac {\sqrt {3}}{2r}},

9r\leq h_{a}+h_{b}+h_{c}

ऊंचाई के संदर्भ में, और

{\sqrt {r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}}}\geq 6r

बाह्यवृत्तों की त्रिज्या के संदर्भ में। हमारे पास भी है

{\sqrt {s}}({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}})\leq {\sqrt {2}}(r_{a}+r_{b}+r_{c})

^[2]^{: p.66, #1678}

और

{\frac {abc}{r}}\geq {\frac {a^{3}}{r_{a}}}+{\frac {b^{3}}{r_{b}}}+{\frac {c^{3}}{r_{c}}}.

^[2]^{: p.183, #281.2}

एक्सराडी और माध्यिका संबंधित हैं^[2]^{: p.66, #1680}

{\frac {r_{a}r_{b}}{m_{a}m_{b}}}+{\frac {r_{b}r_{c}}{m_{b}m_{c}}}+{\frac {r_{c}r_{a}}{m_{c}m_{a}}}\geq 3.

इसके अतिरिक्त, तीव्र त्रिभुज के लिए अंतःवृत्त केंद्र I और ऑर्थोसेंटर H के बीच की दूरी संतुष्ट करती है^[2]^{: p.26, #954}

IH<r{\sqrt {2}},

अधिक त्रिकोण के लिए विपरीत असमानता के साथ।

इसके अतिरिक्त, तीव्र त्रिकोण संतुष्ट करता है^[2]^{: p.26, #954}

r^{2}+r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}<8R^{2},

परिधि R के संदर्भ में, फिर से विषम त्रिभुज के लिए उलटी असमानता के साथ।

यदि कोण A, B, C के आंतरिक कोण समद्विभाजक विपरीत भुजाओं को U, V, W पर मिलते हैं तो^[2]^{: p.215, 32nd IMO, #1}

{\frac {1}{4}}<{\frac {AI\cdot BI\cdot CI}{AU\cdot BV\cdot CW}}\leq {\frac {8}{27}}.

यदि आंतरिक कोण I के माध्यम से आंतरिक कोण द्विभाजक X, Y और Z पर परिवृत्त को पूरा करने के लिए विस्तारित होता है ^[2]^{: p.181, #264.4}

{\frac {1}{IX}}+{\frac {1}{IY}}+{\frac {1}{IZ}}\geq {\frac {3}{R}}

परिधि आर के लिए, और ^[2]^{: p.181, #264.4} ^[2]^{: p.45, #1282}

0\leq (IX-IA)+(IY-IB)+(IZ-IC)\leq 2(R-2r).

यदि अंतःवृत्त D, E, F पर भुजाओं को स्पर्श करता है, तो ^[2]^{: p.115, #2875}

EF^{2}+FD^{2}+DE^{2}\leq {\frac {s^{2}}{3}}

अर्धपरिधि एस के लिए

खुदा आंकड़े

खुदा षट्कोण

यदि त्रिभुज के अंत:वृत्त पर तीन खंडों को खींचकर और भुजा के समानांतर स्पर्शरेखा बहुभुज बनाया जाता है, ताकि षट्भुज त्रिभुज में अंकित हो, इसके अन्य तीन भुजाएँ त्रिभुज की भुजाओं के भागों के साथ मेल खाती हैं, तो ^[2]^{: p.42, #1245}

{\text{Perimeter of hexagon}}\leq {\frac {2}{3}}({\text{Perimeter of triangle}}).

खुदा त्रिकोण

यदि संदर्भ त्रिभुज ABC की संबंधित भुजाओं AB, BC और CA पर तीन बिंदु D, E, F खुदे हुए त्रिकोण के शीर्ष हैं, जो संदर्भ त्रिकोण को चार त्रिकोणों में विभाजित करता है, तो खुदे हुए त्रिकोण का क्षेत्रफल बड़ा होता है अन्य आंतरिक त्रिकोणों में से कम से कम एक के क्षेत्रफल की तुलना में, जब तक कि खुदा हुआ त्रिकोण के कोने संदर्भ त्रिकोण के पक्षों के मध्य बिंदु पर न हों (जिस मामले में खुदा हुआ त्रिकोण औसत दर्जे का त्रिकोण है और सभी चार आंतरिक त्रिकोणों का क्षेत्रफल समान है ):^[9]^: p.137

{\text{Area(DEF)}}\geq \min({\text{Area(BED), Area(CFE), Area(ADF)}}).

खुदा वर्ग

न्यूनकोण त्रिभुज में तीन खुदे हुए चित्र होते हैं, जिनमें से प्रत्येक की एक भुजा त्रिभुज की एक भुजा के भाग से मेल खाती है और वर्ग के अन्य दो शीर्ष त्रिभुज की शेष दो भुजाओं पर होते हैं। ( समकोण त्रिभुज में केवल दो अलग-अलग खुदे हुए वर्ग होते हैं।) यदि इनमें से किसी वर्ग की लंबाई x_a है और दूसरे की भुजा की लंबाई x_b के साथ x_a <x_b है, तब ^[39]^{: p. 115}

1\geq {\frac {x_{a}}{x_{b}}}\geq {\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\approx 0.94.

इसके अतिरिक्त, हमारे पास किसी भी त्रिकोण में अंकित किसी भी वर्ग के लिए ^[2]^{: p.18, #729}^[39]

{\frac {\text{Area of triangle}}{\text{Area of inscribed square}}}\geq 2.

यूलर लाइन

त्रिभुज की यूलर रेखा उसके लंबकेन्द्र, उसके परिकेन्द्र और उसके केन्द्रक से होकर जाती है, किन्तु इसके अंत:केन्द्र से तब तक नहीं जाती जब तक कि त्रिभुज समद्विबाहु त्रिभुज न हो।^[16]^: p.231 सभी गैर-समद्विबाहु त्रिभुजों के लिए, केंद्र से यूलर रेखा तक की दूरी d त्रिभुज की सबसे लंबी माध्यिका (ज्यामिति) v, इसकी सबसे लंबी भुजा u, और इसके अर्धपरिमाप s के संदर्भ में निम्नलिखित असमानताओं को संतुष्ट करती है:^[16]^{: p. 234, Propos.5}

{\frac {d}{s}}<{\frac {d}{u}}<{\frac {d}{v}}<{\frac {1}{3}}.

इन सभी अनुपातों के लिए, 1/3 की ऊपरी सीमा सबसे कड़ी संभव है।^[16]^{: p.235, Thm.6}

समकोण त्रिभुज

समकोण त्रिभुजों में पैर a और b और कर्ण c निम्नलिखित का पालन करते हैं, केवल समद्विबाहु मामले में समानता के साथ:^[1]^{: p. 280}

a+b\leq c{\sqrt {2}}.

अंतःत्रिज्या के संदर्भ में, कर्ण पालन करता है^[1]^{: p. 281}

2r\leq c({\sqrt {2}}-1),

और कर्ण से ऊँचाई के संदर्भ में पैर पालन करते हैं^[1]^{: p. 282}

h_{c}\leq {\frac {\sqrt {2}}{4}}(a+b).

समद्विबाहु त्रिभुज

यदि समद्विबाहु त्रिभुज की दो समान भुजाओं की लंबाई a और दूसरी भुजा की लंबाई c है, तो आंतरिक कोण द्विभाजक t दो समान कोण वाले शीर्षों में से एक को संतुष्ट करता है ^[2]^{: p.169, # $\eta$ 44}

{\frac {2ac}{a+c}}>t>{\frac {ac{\sqrt {2}}}{a+c}}.

समबाहु त्रिभुज

समबाहु त्रिभुज ABC के तल में किसी भी बिंदु P के लिए, शीर्षों, PA, PB, और PC से P की दूरी ऐसी है कि, जब तक कि P त्रिभुज के परिवृत्त पर न हो, वे मूल त्रिभुज असमानता का पालन करते हैं और इस प्रकार स्वयं कर सकते हैं त्रिभुज की भुजाएँ बनाएँ:^[1]^{: p. 279}

PA+PB>PC,\quad PB+PC>PA,\quad PC+PA>PB.

हालाँकि, जब P परिवृत्त पर होता है, तो P से निकटतम दो शीर्षों की दूरियों का योग सबसे दूर के शीर्ष की दूरी के बराबर होता है।

त्रिभुज समबाहु होता है यदि और केवल यदि, समतल में प्रत्येक बिंदु P के लिए, त्रिभुज की भुजाओं से PD, PE, और PF के साथ और इसके शीर्षों से PA, PB, और PC की दूरी के साथ,^[2]^{: p.178, #235.4}

4(PD^{2}+PE^{2}+PF^{2})\geq PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}.

दो त्रिकोण

दो त्रिकोणों के लिए पेडो की असमानता, एक पक्ष a, b, और c और क्षेत्र T के साथ, और दूसरा पक्ष d, e, और f और क्षेत्र s के साथ, बताता है कि

d^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+e^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})+f^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\geq 16TS,

समानता के साथ यदि और केवल यदि दो त्रिकोण समानता (ज्यामिति) हैं।

हिंज प्रमेय या ओपन-माउथ प्रमेय में कहा गया है कि यदि त्रिभुज की दो भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं के सर्वांगसम हों, और पहले का सम्मिलित कोण दूसरे के सम्मिलित कोण से बड़ा हो, तो पहले त्रिभुज की तीसरी भुजा दूसरे त्रिभुज की तीसरी भुजा से अधिक है। अर्थात्, त्रिभुज ABC और DEF में भुजाओं a, b, c, और d, e, f के साथ क्रमशः (विपरीत A आदि के साथ), यदि a = d और b = e और कोण C> कोण F, तो

c>f.

विलोम भी मान्य है: यदि c > f, तो C > F.

किन्हीं भी दो त्रिभुजों ABC और DEF के कोण कोटिस्पर्श फलन के अनुसार संबंधित हैं^[6]

\cot A(\cot E+\cot F)+\cot B(\cot F+\cot D)+\cot C(\cot D+\cot E)\geq 2.

गैर-यूक्लिडियन त्रिकोण

त्रिभुजों के एक हल में या गोलीय त्रिभुजों को हल करना, साथ ही अण्डाकार ज्यामिति में,

\angle A+\angle B+\angle C>180^{\circ }.

अतिशयोक्तिपूर्ण त्रिभुजों के लिए यह असमानता उलट दी गई है।

यह भी देखें

संदर्भ

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[30] Dao Thanh Oai, Problem 12015, The American Mathematical Monthly, Vol.125, January 2018

[31] Dragutin Svrtan and Darko Veljan, "Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities", Forum Geometricorum 12 (2012), 197–209. http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217index.html

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[33] Blundon, W. J. (1965). "त्रिभुज से जुड़ी असमानताएँ". Canad. Math. Bull. 8 (5): 615–626. doi:10.4153/cmb-1965-044-9.

[34] Dorin Andrica, Cătălin Barbu. "A Geometric Proof of Blundon’s Inequalities", Mathematical Inequalities & Applications, Volume 15, Number 2 (2012), 361–370. http://mia.ele-math.com/15-30/A-geometric-proof-of-Blundon-s-inequalities

[35] Bencze, Mihály; Drǎgan, Marius (2018). "एक तीव्र त्रिकोण और कुछ परिणामों में ब्लंडन प्रमेय" (PDF). Forum Geometricorum. 18: 185–194.

[AM-36] Andrica, Dorin; Marinescu, Dan Ştefan (2017). "New Interpolation Inequalities to Euler's R ≥ 2r" (PDF). Forum Geometricorum. 17: 149–156.

[37] Lukarevski, Martin: "An inequality for the tanradii of a triangle", Math. Gaz. 104 (November 2020) pp. 539-542. doi: 10.1017/mag.2020.115

[38] Scott, J. A. "Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry", Mathematical Gazette 83, November 1999, 472–477.

[Ox-39] 39.0 ^39.1 Oxman, Victor, and Stupel, Moshe. "Why are the side lengths of the squares inscribed in a triangle so close to each other?" Forum Geometricorum 13, 2013, 113–115. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201311index.html

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Contents

मुख्य पैरामीटर और नोटेशन

पक्ष की लंबाई

कोण

क्षेत्र

मेडियन और सेंट्रोइड

ऊंचाई

आंतरिक कोण समद्विभाजक और अंत:केंद्र

पक्षों के लम्ब समद्विभाजक

स्वैच्छिक बिंदु से खंड

आंतरिक बिंदु

आंतरिक या बाहरी बिंदु

इन्रेडियस, एक्सराडी, और सर्कमरेडियस

अंतर्त्रिज्या और परित्रिज्या

परिधि और अन्य लंबाई

इनरेडियस, एक्सराडी, और अन्य लंबाई

खुदा आंकड़े

खुदा षट्कोण

खुदा त्रिकोण

खुदा वर्ग

यूलर लाइन

समकोण त्रिभुज

समद्विबाहु त्रिभुज

समबाहु त्रिभुज

दो त्रिकोण

गैर-यूक्लिडियन त्रिकोण

यह भी देखें

संदर्भ

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@@ Line 1: / Line 1: @@
-{{Short description|none}}
+[[ज्यामिति]] में, '''त्रिभुज असमानताएँ''' असमानताएँ (गणित) हैं जिनमें त्रिभुजों के [[पैरामीटर]] सम्मिलित होते हैं, जो प्रत्येक त्रिभुज के लिए, या प्रत्येक त्रिभुज के लिए कुछ शर्तों को पूरा करते हैं। असमानताएँ दो अलग-अलग मानों का क्रम देती हैं: वे इस[[से कम]], इससे कम या इसके बराबर, से अधिक, या इससे अधिक या इसके बराबर के रूप में हैं। त्रिभुज असमानता में पैरामीटर पक्ष की लंबाई, अर्धपरिधि, [[कोण]] के उपाय, उन कोणों के [[त्रिकोण]]मितीय कार्यों के मान, त्रिभुज का क्षेत्रफल (ज्यामिति), भुजाओं की [[माध्यिका (ज्यामिति)]], [[ऊंचाई (ज्यामिति)]] हो सकते हैं। ), आंतरिक द्विभाजन की लंबाई या कोण द्विभाजक प्रत्येक कोण से विपरीत दिशा में, द्विभाजन भुजाओं के बहुभुज के पक्षों के लंबवत द्विभाजक, स्वैच्छिक बिंदु से दूसरे बिंदु तक की दूरी, अंतःत्रिज्या, बाह्यवृत्त, परित्रिज्या, और/या अन्य मात्राएँ।
-{{For|the basic inequality <math>a < b + c</math>|Triangle inequality}}
-{{For|inequalities of acute or obtuse triangles|Acute and obtuse triangles}}
-[[ज्यामिति]] में, त्रिभुज असमानताएँ असमानताएँ (गणित) हैं जिनमें त्रिभुजों के [[पैरामीटर]] शामिल होते हैं, जो प्रत्येक त्रिभुज के लिए, या प्रत्येक त्रिभुज के लिए कुछ शर्तों को पूरा करते हैं। असमानताएँ दो अलग-अलग मानों का क्रम देती हैं: वे इस[[से कम]], इससे कम या इसके बराबर, से अधिक, या इससे अधिक या इसके बराबर के रूप में हैं। एक त्रिभुज असमानता में पैरामीटर पक्ष की लंबाई, अर्धपरिधि, [[कोण]] के उपाय, उन कोणों के [[त्रिकोण]]मितीय कार्यों के मान, त्रिभुज का क्षेत्रफल (ज्यामिति), भुजाओं की [[माध्यिका (ज्यामिति)]], [[ऊंचाई (ज्यामिति)]] हो सकते हैं। ), आंतरिक द्विभाजन की लंबाई # कोण द्विभाजक प्रत्येक कोण से विपरीत दिशा में, द्विभाजन # भुजाओं के बहुभुज के पक्षों के लंबवत द्विभाजक, एक मनमाना बिंदु से दूसरे बिंदु तक की दूरी, अंतःत्रिज्या, बाह्यवृत्त, परित्रिज्या, और/या अन्य मात्राएँ।
 जब तक अन्यथा निर्दिष्ट नहीं किया जाता है, यह लेख [[यूक्लिडियन विमान]] में त्रिभुजों से संबंधित है।
@@ Line 9: / Line 5: @@
 == मुख्य पैरामीटर और नोटेशन ==
-त्रिकोण असमानताओं में आमतौर पर दिखाई देने वाले पैरामीटर हैं:
+त्रिकोण असमानताओं में सामान्यतः दिखाई देने वाले पैरामीटर हैं:
-* भुजा की लंबाई a, b, और c है;
+* भुजा की लंबाई ए, बी, और सी है;
 *अर्द्ध[[परिमाप]] s = (a + b + c) / 2 (आधी परिधि p);
-*कोण शीर्ष (ज्यामिति) के कोणों के ए, बी, और सी को मापता है # संबंधित पक्षों ए, बी, और सी के विपरीत एक पॉलीटोप का (उनके कोण उपायों के समान प्रतीकों के साथ दर्शाए गए कोने के साथ);
+*कोण शीर्ष (ज्यामिति) के कोणों के ए, बी, और सी को मापता है या संबंधित पक्षों ए, बी, और सी के विपरीत पॉलीटोप का (उनके कोण उपायों के समान प्रतीकों के साथ दर्शाए गए कोने के साथ);
 *कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान;
 * त्रिभुज का क्षेत्रफल (ज्यामिति) T;
-*माध्यिका (ज्यामिति) मी<sub>''a''</sub>, एम<sub>''b''</sub>, और एम<sub>''c''</sub> पक्षों की (प्रत्येक पक्ष के [[मध्य]] बिंदु से विपरीत शीर्ष तक रेखा खंड की लंबाई है);
+*माध्यिका (ज्यामिति) m<sub>''a''</sub>, m<sub>''b''</sub>, और m<sub>''c''</sub> पक्षों की (प्रत्येक पक्ष के [[मध्य]] बिंदु से विपरीत शीर्ष तक रेखा खंड की लंबाई है);
-*ऊंचाई (ज्यामिति) h<sub>''a''</sub>, एच<sub>''b''</sub>, और वह<sub>''c''</sub> (प्रत्येक एक खंड की लंबाई एक तरफ लंबवत है और उस तरफ से (या संभवतः उस तरफ का विस्तार) विपरीत शीर्ष तक पहुंच रहा है);
+*ऊंचाई (ज्यामिति) h<sub>''a''</sub>, h<sub>''b''</sub>, और h<sub>''c''</sub> (प्रत्येक खंड की लंबाई एक तरफ लंबवत है और उस तरफ से (या संभवतः उस तरफ का विस्तार) विपरीत शीर्ष तक पहुंच रहा है);
-*द्विभाजन की लंबाई#कोण द्विभाजक t<sub>''a''</sub>, टी<sub>''b''</sub>, और टी<sub>''c''</sub> (प्रत्येक शीर्ष से विपरीत दिशा में एक खंड है और शीर्ष कोण को समद्विभाजित करता है);
+*द्विभाजन की लंबाई या कोण द्विभाजक t<sub>''a''</sub>, t<sub>''b''</sub>, और t<sub>''c''</sub> (प्रत्येक शीर्ष से विपरीत दिशा में एक खंड है और शीर्ष कोण को समद्विभाजित करता है);
-*द्विभाजक#बहुभुज p की भुजाओं का द्विभाजक<sub>''a''</sub>, पी<sub>''b''</sub>, और पी<sub>''c''</sub> पक्षों की (प्रत्येक अपने मध्य बिंदु पर एक तरफ लंबवत खंड की लंबाई है और दूसरे पक्षों में से एक तक पहुंच रहा है);
+*द्विभाजक बहुभुज की भुजाओं का द्विभाजकp<sub>''a''</sub>, p<sub>''b''</sub>, और p<sub>''c''</sub> पक्षों की (प्रत्येक अपने मध्य बिंदु पर एक तरफ लंबवत खंड की लंबाई है और दूसरे पक्षों में से एक तक पहुंच रहा है);
-* समतल में एक मनमाना बिंदु P पर एक अंत बिंदु के साथ रेखा खंडों की लंबाई (उदाहरण के लिए, P से शीर्ष A तक के खंड की लंबाई को PA या AP के रूप में दर्शाया गया है);
+* समतल में स्वैच्छिक बिंद पी पर अंत बिंदु के साथ रेखा खंडों की लंबाई (उदाहरण के लिए, p से शीर्ष a तक के खंड की लंबाई को पीए या एपी के रूप में दर्शाया गया है);
-* अंतःत्रिज्या r (त्रिकोण में उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या, तीनों भुजाओं की [[स्पर्शरेखा]]), बहिर्वृत्त r<sub>''a''</sub>, आर<sub>''b''</sub>, और आर<sub>''c''</sub> (प्रत्येक क्रमशः ए, बी, या सी के लिए एक बाहरी स्पर्शरेखा की त्रिज्या है और अन्य दो पक्षों के विस्तार के लिए स्पर्शरेखा है), और परिवृत्त आर (त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या और तीनों शीर्षों से होकर गुजरती है) .
+* अंतःत्रिज्या r (त्रिकोण में उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या, तीनों भुजाओं की [[स्पर्शरेखा]]), बहिर्वृत्त r<sub>''a''</sub>,r<sub>''b''</sub>, और r<sub>''c''</sub> (प्रत्येक क्रमशः ए, बी, या सी के लिए बाहरी स्पर्शरेखा की त्रिज्या है और अन्य दो पक्षों के विस्तार के लिए स्पर्शरेखा है), और परिवृत्त आर (त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या और तीनों शीर्षों से होकर गुजरती है) .
 ==पक्ष की लंबाई==
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 इसके साथ ही,
 <math display="block">\frac{3}{2} \le \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} < 2,</math>
-जहां दाईं ओर का मान न्यूनतम संभव सीमा है,<ref name=PL>[[Alfred Posamentier|Posamentier, Alfred S.]] and Lehmann, Ingmar. ''[[The Secrets of Triangles]]'', Prometheus Books, 2012.</ref>{{rp|p. 259}} पहुँची हुई [[सीमा (गणित)]] के रूप में त्रिकोण के कुछ वर्ग शून्य क्षेत्र के [[पतन (गणित)]] के मामले में आते हैं। बाएं असमानता, जो सभी सकारात्मक ए, बी, सी के लिए है, नेस्बिट की असमानता है।
+जहां दाईं ओर का मान न्यूनतम संभव सीमा है, <ref name=PL>[[Alfred Posamentier|Posamentier, Alfred S.]] and Lehmann, Ingmar. ''[[The Secrets of Triangles]]'', Prometheus Books, 2012.</ref>{{rp|p. 259}} पहुँची हुई [[सीमा (गणित)]] के रूप में त्रिकोण के कुछ वर्ग शून्य क्षेत्र के [[पतन (गणित)]] के मामले में आते हैं। बाएं असमानता, जो सभी सकारात्मक a, b, c के लिए है, नेस्बिट की असमानता है।
 अपने पास
-:<math>3\left( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right) \geq 2\left( \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} \right) +3.</math><ref name=Crux/>{{rp|p.250,#82}}
+:<math>3\left( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right) \geq 2\left( \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} \right) +3.</math> <ref name=Crux/>{{rp|p.250,#82}}
-:<math>abc \geq (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c). \quad </math><ref name=PL/>{{rp|p. 260}}
+:<math>abc \geq (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c). \quad </math> <ref name=PL/>{{rp|p. 260}}
 :<math>\frac{1}{3} \leq \frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2} < \frac{1}{2}. \quad </math><ref name=PL/>{{rp|p. 261}}
-:<math>\sqrt{a+b-c} + \sqrt{a-b+c} + \sqrt{-a+b+c} \leq \sqrt{a}+\sqrt{b} + \sqrt{c}.</math><ref name=PL/>{{rp|p. 261}}
+:<math>\sqrt{a+b-c} + \sqrt{a-b+c} + \sqrt{-a+b+c} \leq \sqrt{a}+\sqrt{b} + \sqrt{c}.</math> <ref name=PL/>{{rp|p. 261}}
 :<math>a^2b(a-b) + b^2c(b-c) + c^2a(c-a) \geq 0.</math><ref name=PL/>{{rp|p. 261}}
@@ Line 51: / Line 47: @@
 :<math>a^2+b^2 > c^2.</math>
-समानता के बीच का मामला जब C एक [[समकोण]] है, पायथागॉरियन प्रमेय है।
+समानता के बीच का मामला जब C [[समकोण]] है, पायथागॉरियन प्रमेय है।
-सामान्य रूप में,<ref name=Crux>''Inequalities proposed in “[[Crux Mathematicorum]]” and elsewhere", [http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf].</ref>{{rp|p.1,#74}}
+सामान्य रूप में, <ref name=Crux>''Inequalities proposed in “[[Crux Mathematicorum]]” and elsewhere", [http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf].</ref>{{rp|p.1,#74}}
 :<math>a^2+b^2 > \frac{c^2}{2},</math>
-समता की सीमा में तभी पहुँचता है जब एक समद्विबाहु त्रिभुज का शीर्ष कोण 180° के करीब पहुँचता है।
+समता की सीमा में तभी पहुँचता है जब समद्विबाहु त्रिभुज का शीर्ष कोण 180° के करीब पहुँचता है।
-यदि त्रिभुज का [[केन्द्रक]] त्रिभुज के अंतःवृत्त के अंदर है, तब<ref>Nyugen, Minh Ha, and Dergiades, Nikolaos.  "Garfunkel's Inequality", ''Forum Geometricorum'' 4, 2004, 153–156. http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200419index.html</ref>{{rp|p. 153}}
+यदि त्रिभुज का [[केन्द्रक]] त्रिभुज के अंतःवृत्त के अंदर है, तब <ref>Nyugen, Minh Ha, and Dergiades, Nikolaos.  "Garfunkel's Inequality", ''Forum Geometricorum'' 4, 2004, 153–156. http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200419index.html</ref>{{rp|p. 153}}
 :<math>a^2 < 4bc, \quad b^2 < 4ac, \quad c^2 < 4ab.</math>
-जबकि उपरोक्त सभी असमानताएँ सही हैं क्योंकि a, b, और c को मूल त्रिभुज असमानता का पालन करना चाहिए, जो कि सबसे लंबी भुजा परिधि के आधे से कम है, निम्नलिखित संबंध सभी सकारात्मक a, b, और c के लिए हैं:<ref name=PL/>{{rp|p.267}}
+जबकि उपरोक्त सभी असमानताएँ सही हैं क्योंकि a, b, और c को मूल त्रिभुज असमानता का पालन करना चाहिए, जो कि सबसे लंबी भुजा परिधि के आधे से कम है, निम्नलिखित संबंध सभी सकारात्मक a, b, और c के लिए हैं: <ref name=PL/>{{rp|p.267}}
 :<math>\frac{3abc}{ab+bc+ca} \leq \sqrt[3]{abc} \leq \frac{a+b+c}{3},</math>
-प्रत्येक होल्डिंग समानता के साथ ही जब ए = बी = सी। यह कहता है कि गैर-समतुल्य मामले में पक्षों का [[अनुकूल माध्य]] उनके ज्यामितीय माध्य से कम होता है जो बदले में उनके अंकगणितीय माध्य से कम होता है।
+प्रत्येक होल्डिंग समानता के साथ ही जब a = b = c। यह कहता है कि गैर-समतुल्य मामले में पक्षों का [[अनुकूल माध्य]] उनके ज्यामितीय माध्य से कम होता है जो बदले में उनके अंकगणितीय माध्य से कम होता है।
 == कोण ==
-:<math>\cos A + \cos B + \cos C \leq \frac{3}{2}.</math>  <ref name=PL/>{{rp|p. 286}}
+:<math>\cos A + \cos B + \cos C \leq \frac{3}{2}.</math> <ref name=PL/>{{rp|p. 286}}
-:<math>(1-\cos A)(1-\cos B)(1-\cos C) \geq \cos A \cdot \cos B \cdot \cos C.</math><ref name=Crux/>{{rp|p.21,#836}}
+:<math>(1-\cos A)(1-\cos B)(1-\cos C) \geq \cos A \cdot \cos B \cdot \cos C.</math> <ref name=Crux/>{{rp|p.21,#836}}
 :<math>\cos ^4\frac{A}{2} + \cos ^4\frac{B}{2} + \cos ^4\frac{C}{2} \leq \frac{s^3}{2abc}</math>
-अर्ध-परिधि s के लिए, केवल समबाहु मामले में समानता के साथ।<ref name=Crux/>{{rp|p.13,#608}}
+अर्ध-परिधि s के लिए, केवल समबाहु मामले में समानता के साथ। <ref name=Crux/>{{rp|p.13,#608}}
 :<math>a+b+c \ge 2\sqrt{bc} \cos A + 2 \sqrt{ca} \cos B + 2\sqrt{ab} \cos C.</math> <ref>Lu, Zhiqin. "An optimal inequality", ''[[Mathematical Gazette]]'' 91, November 2007, 521–523.</ref>{{rp|Thm.1}}
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 :<math>\sin A + \sin B + \sin C \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}.</math> <ref name=PL/>{{rp|p.286}}
-:<math>\sin ^2 A + \sin ^2 B + \sin ^2 C \leq \frac{9}{4}.</math>  <ref name=PL/>{{rp|p. 286}}
+:<math>\sin ^2 A + \sin ^2 B + \sin ^2 C \leq \frac{9}{4}.</math> <ref name=PL/>{{rp|p. 286}}
-:<math>\sin A \cdot \sin B \cdot \sin C  \leq \left(\frac{\sin A+\sin B+\sin C}{3}\right)^3 \leq\left(\sin\frac{A+B+C}{3}\right)^3 =\sin^3\left(\frac{\pi}{3}\right)= \frac{3\sqrt{3}}{8}.</math>  <ref name=SV>Svrtan, Dragutin and Veljan, Darko. "Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities", ''Forum Geometricorum'' 12, 2012, 197–209. http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217index.html</ref>{{rp|p. 203}}
+:<math>\sin A \cdot \sin B \cdot \sin C  \leq \left(\frac{\sin A+\sin B+\sin C}{3}\right)^3 \leq\left(\sin\frac{A+B+C}{3}\right)^3 =\sin^3\left(\frac{\pi}{3}\right)= \frac{3\sqrt{3}}{8}.</math> <ref name=SV>Svrtan, Dragutin and Veljan, Darko. "Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities", ''Forum Geometricorum'' 12, 2012, 197–209. http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217index.html</ref>{{rp|p. 203}}
-:<math>\sin A+\sin B \cdot \sin C \leq \varphi</math><ref name=Crux/>{{rp|p.149,#3297}}
+:<math>\sin A+\sin B \cdot \sin C \leq \varphi</math> <ref name=Crux/>{{rp|p.149,#3297}}
 कहाँ <math>\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2},</math> [[सुनहरा अनुपात]]।
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 :<math>\sin \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{B}{2} \cdot \sin \frac{C}{2}  \leq \frac{1}{8}.</math> <ref name=PL/>{{rp|p. 286}}
-:<math>\tan ^2 \frac{A}{2} + \tan ^2 \frac{B}{2} + \tan ^2 \frac{C}{2} \geq 1.</math>  <ref name=PL/>{{rp|p. 286}}
+:<math>\tan ^2 \frac{A}{2} + \tan ^2 \frac{B}{2} + \tan ^2 \frac{C}{2} \geq 1.</math> <ref name=PL/>{{rp|p. 286}}
-:<math>\cot A + \cot B + \cot C \geq \sqrt{3}.</math>  <ref name= Scott>Scott, J. A., "A cotangent inequality for two triangles", ''Mathematical Gazette 89, November 2005, 473–474.</ref>
+:<math>\cot A + \cot B + \cot C \geq \sqrt{3}.</math> <ref name= Scott>Scott, J. A., "A cotangent inequality for two triangles", ''Mathematical Gazette 89, November 2005, 473–474.</ref>
-:<math>\sin A \cdot \cos B +\sin B \cdot \cos C+\sin C \cdot \cos A \leq \frac{3\sqrt{3}}{4}.</math><ref name=Crux/>{{rp|p.187,#309.2}}
+:<math>\sin A \cdot \cos B +\sin B \cdot \cos C+\sin C \cdot \cos A \leq \frac{3\sqrt{3}}{4}.</math> <ref name=Crux/>{{rp|p.187,#309.2}}
 परिधि आर और अंतःत्रिज्या आर के लिए हमारे पास है
 :<math>\max\left(\sin \frac{A}{2}, \sin \frac{B}{2}, \sin \frac{C}{2} \right) \le \frac{1}{2} \left(1+\sqrt{1-\frac{2r}{R}} \right),</math>
-समानता के साथ अगर और केवल अगर त्रिभुज समद्विबाहु है जिसका शीर्ष कोण 60° से अधिक या उसके बराबर है;<ref name= Birsan/>{{rp|Cor. 3}} और
+समानता के साथ यदि और केवल यदि त्रिभुज समद्विबाहु है जिसका शीर्ष कोण 60° से अधिक या उसके बराबर है; <ref name= Birsan/>{{rp|Cor. 3}} और
 :<math>\min\left(\sin \frac{A}{2}, \sin \frac{B}{2}, \sin \frac{C}{2} \right) \ge \frac{1}{2} \left(1-\sqrt{1-\frac{2r}{R}} \right),</math>
-समानता के साथ अगर और केवल अगर त्रिभुज समद्विबाहु है जिसका शीर्ष कोण 60° से कम या बराबर है।<ref name=Birsan/>{{rp|Cor. 3}}
+समानता के साथ यदि और केवल यदि त्रिभुज समद्विबाहु है जिसका शीर्ष कोण 60° से कम या बराबर है। <ref name=Birsan/>{{rp|Cor. 3}}
 हमारे पास भी है
 :<math>\frac{r}{R}-\sqrt{1-\frac{2r}{R}} \le \cos A \le \frac{r}{R}+\sqrt{1-\frac{2r}{R}}</math>
-और इसी तरह कोण बी, सी के लिए, पहले भाग में समानता के साथ यदि त्रिकोण समद्विबाहु है और शीर्ष कोण कम से कम 60 डिग्री है और दूसरे भाग में समानता यदि और केवल अगर त्रिभुज समद्विबाहु है जिसका शीर्ष कोण 60 डिग्री से अधिक नहीं है .<ref name=Birsan/>{{rp|Prop. 5}}
+और इसी तरह कोण बी, सी के लिए, पहले भाग में समानता के साथ यदि त्रिकोण समद्विबाहु है और शीर्ष कोण कम से कम 60 डिग्री है और दूसरे भाग में समानता यदि और केवल यदि त्रिभुज समद्विबाहु है जिसका शीर्ष कोण 60 डिग्री से अधिक नहीं है . <ref name=Birsan/>{{rp|Prop. 5}}
-इसके अलावा, किन्हीं भी दो कोणों का माप A और B विपरीत भुजाएँ क्रमशः a और b के अनुसार संबंधित हैं<ref name=PL/>{{rp|p. 264}}
+इसके अतिरिक्त, किन्हीं भी दो कोणों का माप A और B विपरीत भुजाएँ क्रमशः a और b के अनुसार संबंधित हैं <ref name=PL/>{{rp|p. 264}}
 :<math>A>B \quad \text{if and only if} \quad a > b,</math>
 जो [[समद्विबाहु त्रिभुज प्रमेय]] और इसके विलोम से संबंधित है, जो बताता है कि A = B यदि और केवल यदि a = b है।
-[[यूक्लिड]] के [[बाहरी कोण]] प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज का कोई भी बाहरी कोण विपरीत शीर्षों पर [[आंतरिक कोण]]ों में से किसी एक से बड़ा होता है:<ref name=PL/>{{rp|p. 261}}
+[[यूक्लिड]] के [[बाहरी कोण]] प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज का कोई भी बाहरी कोण विपरीत शीर्षों पर [[आंतरिक कोण]] में से किसी एक से बड़ा होता है:<ref name=PL/>{{rp|p. 261}}
 :<math>180^\circ - A > \max(B,C).</math>
-यदि एक बिंदु D त्रिभुज ABC के अभ्यंतर में है, तो
+यदि बिंदु D त्रिभुज ABC के अभ्यंतर में है, तो
-:<math>\angle BDC > \angle A.</math><ref name=PL/>{{rp|p. 263}}
+:<math>\angle BDC > \angle A.</math> <ref name=PL/>{{rp|p. 263}}
-एक तीव्र त्रिभुज के लिए हमारे पास है<ref name=Crux/>{{rp|p.26,#954}}
+तीव्र त्रिभुज के लिए हमारे पास है <ref name=Crux/>{{rp|p.26,#954}}
 :<math>\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C < 1,</math>
 विषम त्रिभुज के लिए रिवर्स असमानता के साथ।
-इसके अलावा, हमारे पास गैर-अक्षम त्रिकोणों के लिए है<ref>Shattuck, Mark. “A Geometric Inequality for Cyclic Quadrilaterals”, ''Forum Geometricorum'' 18, 2018, 141-154. http://forumgeom.fau.edu/FG2018volume18/FG201822.pdf</ref>{{rp|Corollary 3}}
+इसके अतिरिक्त, हमारे पास गैर-अक्षम त्रिकोणों के लिए है <ref>Shattuck, Mark. “A Geometric Inequality for Cyclic Quadrilaterals”, ''Forum Geometricorum'' 18, 2018, 141-154. http://forumgeom.fau.edu/FG2018volume18/FG201822.pdf</ref>{{rp|Corollary 3}}
 :<math>\frac{2R+r}{R}\le \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{A-C}{2}\right)+\cos\left(\frac{B}{2}\right)\right)</math>
-समानता के साथ अगर और केवल अगर यह कर्ण AC के साथ एक समकोण त्रिभुज है।
+समानता के साथ यदि और केवल यदि यह कर्ण AC के साथ समकोण त्रिभुज है।
 == क्षेत्र ==
-Weitzenböck की असमानता, क्षेत्रफल T के संदर्भ में है,<ref name=PL/>{{rp|p. 290}}
+वीटजेनबॉक की असमानता, क्षेत्रफल T के संदर्भ में है,<ref name=PL/>{{rp|p. 290}}
 : <math>a^2 + b^2 + c^2 \geq 4\sqrt{3}\cdot T, </math>
@@ Line 139: / Line 135: @@
 भी,
-:<math>ab+bc+ca \geq 4\sqrt{3} \cdot T</math><ref name=Torrejon/>{{rp|p. 138}}
+:<math>ab+bc+ca \geq 4\sqrt{3} \cdot T</math> <ref name=Torrejon/>{{rp|p. 138}}
-और<ref name=Crux/>{{rp|p.192,#340.3}}<ref name=SV/>{{rp|p. 204}}
+और <ref name=Crux/>{{rp|p.192,#340.3}} <ref name=SV/>{{rp|p. 204}}
 :<math>T \leq \frac{abc}{2}\sqrt{\frac{a+b+c}{a^3+b^3+c^3+abc}} \leq \frac{1}{4}\sqrt[6] \frac{3(a+b+c)^3(abc)^4}{a^3+b^3+c^3}  \leq \frac{\sqrt{3}}{4}(abc)^{2/3}.</math>
@@ Line 151: / Line 147: @@
 :<math>p^2 \ge 12\sqrt{3} \cdot T,</math>
-समबाहु त्रिभुज के लिए समानता के साथ।<ref name=Chakerian>Chakerian, G. D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in ''Mathematical Plums'' (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.</ref> इससे बल मिलता है
+समबाहु त्रिभुज के लिए समानता के साथ। <ref name=Chakerian>Chakerian, G. D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in ''Mathematical Plums'' (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.</ref> इससे बल मिलता है
 :<math>T \le \frac{\sqrt{3}}{4}(abc)^{2/3}.</math>
-बोनेसेन की असमानता भी समपरिमितीय असमानता को मजबूत करती है:
+बोनेसेन की असमानता भी समपरिमितीय असमानता को शक्तिशाली करती है:
 :<math> \pi^2 (R-r)^2 \leq (a+b+c)^2-4\pi T. </math>
 हमारे पास भी है
-:<math>\frac{9abc}{a+b+c} \ge 4\sqrt{3} \cdot T</math> <ref name=PL/>{{rp|p. 290}}<ref name=Torrejon>Torrejon, Ricardo M. "On an Erdos inscribed triangle inequality", ''Forum Geometricorum'' 5, 2005, 137–141. http://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200519index.html</ref>{{rp|p. 138}}
+:<math>\frac{9abc}{a+b+c} \ge 4\sqrt{3} \cdot T</math> <ref name=PL/>{{rp|p. 290}} <ref name=Torrejon>Torrejon, Ricardo M. "On an Erdos inscribed triangle inequality", ''Forum Geometricorum'' 5, 2005, 137–141. http://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200519index.html</ref>{{rp|p. 138}}
 समानता के साथ केवल समबाहु मामले में;
-:<math>38T^2 \leq 2s^4-a^4-b^4-c^4</math><ref name=Crux/>{{rp|p.111,#2807}}
+:<math>38T^2 \leq 2s^4-a^4-b^4-c^4</math> <ref name=Crux/>{{rp|p.111,#2807}}
 अर्धपरिधि के लिए; और
-:<math>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} < \frac{s}{T}.</math><ref name=Crux/>{{rp|p.88,#2188}}
+:<math>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} < \frac{s}{T}.</math> <ref name=Crux/>{{rp|p.88,#2188}}
 न्यून त्रिभुजों (जिनके सभी कोण 90° से कम हैं) के लिए ओनो की असमानता है
@@ Line 175: / Line 171: @@
 :<math>\frac{\text{Area of incircle}}{\text{Area of triangle}} \leq \frac{\pi}{3\sqrt{3}}</math>
-केवल समबाहु त्रिभुज के लिए समानता के साथ।<ref name=MP>Minda, D., and Phelps, S., "Triangles, ellipses, and cubic polynomials", ''[[American Mathematical Monthly]]'' 115, October 2008, 679–689: Theorem 4.1.</ref>
+केवल समबाहु त्रिभुज के लिए समानता के साथ। <ref name=MP>Minda, D., and Phelps, S., "Triangles, ellipses, and cubic polynomials", ''[[American Mathematical Monthly]]'' 115, October 2008, 679–689: Theorem 4.1.</ref>
-यदि एक संदर्भ त्रिकोण में एक आंतरिक त्रिकोण अंकित किया गया है ताकि आंतरिक त्रिकोण के कोने संदर्भ त्रिकोण की परिधि को समान लंबाई वाले खंडों में विभाजित करें, तो उनके क्षेत्रों का अनुपात निम्न द्वारा सीमित होता है<ref name=Torrejon/>{{rp|p. 138}}
+यदि संदर्भ त्रिकोण में आंतरिक त्रिकोण अंकित किया गया है ताकि आंतरिक त्रिकोण के कोने संदर्भ त्रिकोण की परिधि को समान लंबाई वाले खंडों में विभाजित करें, तो उनके क्षेत्रों का अनुपात निम्न द्वारा सीमित होता है <ref name="Torrejon" />{{rp|p. 138}}
 :<math>\frac{\text{Area of inscribed triangle}}{\text{Area of reference triangle}} \leq \frac{1}{4}.</math>
-मान लीजिए कि A, B और C के आंतरिक कोण समद्विभाजक विपरीत भुजाओं को D, E और F पर मिलते हैं। फिर<ref name=Crux/>{{rp|p.18,#762}}
+मान लीजिए कि A, B और C के आंतरिक कोण समद्विभाजक विपरीत भुजाओं को D, E और F पर मिलते हैं। फिर <ref name="Crux" />{{rp|p.18,#762}}
 :<math>\frac{3abc}{4(a^3+b^3+c^3)} \leq \frac{\text{Area of triangle} \,DEF}{\text{Area of triangle} \, ABC} \leq \frac{1}{4}.</math>
-त्रिभुज के माध्यिका के माध्यम से एक रेखा क्षेत्र को इस प्रकार विभाजित करती है कि छोटे उप-क्षेत्र का मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल से अनुपात कम से कम 4/9 है।<ref>Henry Bottomley, “Medians and Area Bisectors of a Triangle” http://www.se16.info/js/halfarea.htm</ref>
+त्रिभुज के माध्यिका के माध्यम से रेखा क्षेत्र को इस प्रकार विभाजित करती है कि छोटे उप-क्षेत्र का मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल से अनुपात कम से कम 4/9 है। <ref>Henry Bottomley, “Medians and Area Bisectors of a Triangle” http://www.se16.info/js/halfarea.htm</ref>
 == मेडियन और सेंट्रोइड ==
-तीन [[माध्यिका (त्रिकोण)]]। <math>m_a, \,m_b, \, m_c</math> एक त्रिकोण के प्रत्येक शीर्ष को विपरीत दिशा के मध्य बिंदु से जोड़ता है, और उनकी लंबाई का योग संतुष्ट करता है<ref name=PL/>{{rp|p. 271}}
+तीन [[माध्यिका (त्रिकोण)]]। <math>m_a, \,m_b, \, m_c</math> त्रिकोण के प्रत्येक शीर्ष को विपरीत दिशा के मध्य बिंदु से जोड़ता है, और उनकी लंबाई का योग संतुष्ट करता है <ref name=PL/>{{rp|p. 271}}
 :<math>\frac{3}{4}(a+b+c) < m_a+m_b+m_c < a+b+c.</math>
-इसके अतिरिक्त,<ref name=Crux/>{{rp|p.12,#589}}
+इसके अतिरिक्त, <ref name=Crux/>{{rp|p.12,#589}}
 :<math>\left( \frac{m_a}{a} \right)^2 + \left( \frac{m_b}{b} \right)^2  + \left( \frac{m_c}{c} \right)^2 \geq \frac{9}{4},</math>
-समानता के साथ केवल समबाहु मामले में, और अंतःत्रिज्या आर के लिए,<ref name=Crux/>{{rp|p.22,#846}}
+समानता के साथ केवल समबाहु मामले में, और अंतःत्रिज्या आर के लिए, <ref name=Crux/>{{rp|p.22,#846}}
 :<math>\frac{m_am_bm_c}{m_a^2+m_b^2+m_c^2} \geq r.</math>
-यदि हम परिवृत्त के साथ उनके चौराहों तक विस्तारित माध्यिका की लंबाई को M के रूप में निरूपित करते हैं<sub>''a''</sub> ,
+यदि हम परिवृत्त के साथ उनके चौराहों तक विस्तारित माध्यिका की लंबाई को M<sub>''a''</sub>,M<sub>''b''</sub> , और M<sub>''c''</sub> के रूप में निरूपित करते हैं तब <ref name=Crux/>{{rp|p.16,#689}}
-एम<sub>''b''</sub> , और एम<sub>''c''</sub> , तब<ref name=Crux/>{{rp|p.16,#689}}
 :<math>\frac{M_a}{m_a} + \frac{M_b}{m_b} + \frac{M_c}{m_c} \geq 4.</math>
@@ Line 209: / Line 206: @@
 :<math>\sin GBC+\sin GCA+\sin GAB \leq \frac{3}{2}.</math>
-एक तीव्र त्रिभुज के लिए हमारे पास है<ref name=Crux/>{{rp|p.26,#954}}
+तीव्र त्रिभुज के लिए हमारे पास है <ref name=Crux/>{{rp|p.26,#954}}
 :<math>m_a^2+m_b^2+m_c^2 > 6R^2</math>
-परिधि R के संदर्भ में, जबकि विपरीत असमानता एक अधिक त्रिभुज के लिए है।
+परिधि R के संदर्भ में, जबकि विपरीत असमानता अधिक त्रिभुज के लिए है।
-IA, IB, IC के रूप में वर्टिकल से केंद्र की दूरी को निरूपित करते हुए, निम्नलिखित धारण करता है:<ref name=Crux/>{{rp|p.192,#339.3}}
+IA, IB, IC के रूप में वर्टिकल से केंद्र की दूरी को निरूपित करते हुए, निम्नलिखित धारण करता है: <ref name=Crux/>{{rp|p.192,#339.3}}
 :<math>\frac{IA^2}{m_a^2}+\frac{IB^2}{m_b^2}+\frac{IC^2}{m_c^2} \leq \frac{4}{3}.</math>
-किसी भी त्रिभुज की तीन माध्यिकाएँ दूसरे त्रिभुज की भुजाएँ बना सकती हैं:<ref>Benyi, A ́rpad, and C ́́urgus, Branko. "Ceva's triangle inequalities", ''Mathematical Inequalities & Applications''  17 (2), 2014, 591-609.</ref>{{rp|p. 592}}
+किसी भी त्रिभुज की तीन माध्यिकाएँ दूसरे त्रिभुज की भुजाएँ बना सकती हैं: <ref>Benyi, A ́rpad, and C ́́urgus, Branko. "Ceva's triangle inequalities", ''Mathematical Inequalities & Applications''  17 (2), 2014, 591-609.</ref>{{rp|p. 592}}
 :<math>m_a < m_b+m_c, \quad m_b<m_c+m_a, \quad m_c< m_a+m_b.</math>
-आगे,<ref>Michel Bataille, “Constructing a Triangle from Two Vertices and the Symmedian Point”, ''Forum Geometricorum'' 18 (2018), 129--133.</ref>{{rp|Coro. 6}}
+आगे, <ref>Michel Bataille, “Constructing a Triangle from Two Vertices and the Symmedian Point”, ''Forum Geometricorum'' 18 (2018), 129--133.</ref>{{rp|Coro. 6}}
 :<math>\max\{bm_c +cm_b, \quad cm_a +am_c,\quad am_b +bm_a\} \le \frac{a^2+b^2+c^2}{\sqrt{3}}.</math>
@@ Line 227: / Line 224: @@
 == ऊंचाई ==
-ऊंचाई एच<sub>''a''</sub> , आदि प्रत्येक एक शीर्ष को विपरीत दिशा से जोड़ते हैं और उस तरफ लंबवत होते हैं। वे दोनों को संतुष्ट करते हैं<ref name=PL/>{{rp|p. 274}}
+ऊंचाई h<sub>''a''</sub> , आदि प्रत्येक एक शीर्ष को विपरीत दिशा से जोड़ते हैं और उस तरफ लंबवत होते हैं। वे दोनों को संतुष्ट करते हैं <ref name=PL/>{{rp|p. 274}}
 :<math>h_a+h_b+h_c \leq \frac {\sqrt{3}}{2}(a+b+c)</math>
@@ Line 233: / Line 230: @@
 :<math>h_a^2+h_b^2+h_c^2 \le \frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2).</math>
-इसके अलावा अगर <math>a\geq b \geq c,</math> तब<ref name=Crux/>{{rp|222,#67}}
+इसके अतिरिक्त यदि <math>a\geq b \geq c,</math> तब <ref name=Crux/>{{rp|222,#67}}
 :<math>a+h_a \geq b+h_b \geq c+h_c.</math>
-हमारे पास भी है<ref name=Crux/>{{rp|p.140,#3150}}
+हमारे पास भी है <ref name=Crux/>{{rp|p.140,#3150}}
 :<math>\frac{h_a^2}{(b^2+c^2)}\cdot \frac{h_b^2}{(c^2+a^2)} \cdot \frac{h_c^2}{(a^2+b^2)} \leq \left(\frac{3}{8} \right)^3.</math>
-आंतरिक कोण द्विभाजक के लिए t<sub>''a''</sub>, टी<sub>''b''</sub>, टी<sub>''c''</sub> शीर्षों से A, B, C और परिकेन्द्र और अंतःकेन्द्र हैं, हमारे पास है<ref name=Crux/>{{rp|p.125,#3005}}
+आंतरिक कोण द्विभाजक के लिए t<sub>''a''</sub>, t<sub>''b''</sub>, t<sub>''c''</sub> शीर्षों से A, B, C और परिकेन्द्र और अंतःकेन्द्र हैं, हमारे पास है <ref name=Crux/>{{rp|p.125,#3005}}
 :<math>\frac{h_a}{t_a}+\frac{h_b}{t_b}+\frac{h_c}{t_c} \geq \frac{R+4r}{R}.</math>
-किसी त्रिभुज के शीर्षलंबों के व्युत्क्रम स्वयं त्रिभुज बना सकते हैं:<ref>Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle", ''Mathematical Gazette'' 89 (November 2005), 494.</ref>
+किसी त्रिभुज के शीर्षलंबों के व्युत्क्रम स्वयं त्रिभुज बना सकते हैं: <ref>Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle", ''Mathematical Gazette'' 89 (November 2005), 494.</ref>
 :<math>\frac{1}{h_a}<\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}, \quad \frac{1}{h_b}<\frac{1}{h_c}+\frac{1}{h_a},  \quad \frac{1}{h_c}<\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}.</math>
@@ Line 248: / Line 245: @@
 ==आंतरिक कोण समद्विभाजक और अंत:केंद्र==
-आंतरिक कोण समद्विभाजक त्रिभुज के आंतरिक भाग में खंड होते हैं जो एक शीर्ष से विपरीत दिशा में पहुंचते हैं और शीर्ष कोण को दो समान कोणों में विभाजित करते हैं। कोण द्विभाजक टी<sub>''a''</sub> आदि संतुष्ट
+आंतरिक कोण समद्विभाजक त्रिभुज के आंतरिक भाग में खंड होते हैं जो शीर्ष से विपरीत दिशा में पहुंचते हैं और शीर्ष कोण को दो समान कोणों में विभाजित करते हैं। कोण द्विभाजक t<sub>''a''</sub> आदि संतुष्ट
 :<math>t_a+t_b+t_c \leq \frac{3}{2}(a+b+c)</math>
@@ Line 254: / Line 251: @@
 :<math>h_a \leq t_a \leq m_a</math>
-ऊंचाई और माध्यिका के संदर्भ में, और इसी तरह टी के लिए<sub>''b''</sub> और टी<sub>''c''</sub> .<ref name=PL/>{{rp|pp. 271–3}} आगे,<ref name=Crux/>{{rp|p.224,#132}}
+ऊंचाई और माध्यिका के संदर्भ में, और इसी तरह के लिए t<sub>''b''</sub> और t<sub>''c''</sub> . <ref name=PL/>{{rp|pp. 271–3}} आगे, <ref name=Crux/>{{rp|p.224,#132}}
 :<math>\sqrt{m_a}+\sqrt{m_b}+\sqrt{m_c} \geq \sqrt{t_a}+\sqrt{t_b}+\sqrt{t_c}</math>
-माध्यिका के संदर्भ में, और<ref name=Crux/>{{rp|p.125,#3005}}
+माध्यिका के संदर्भ में, और <ref name=Crux/>{{rp|p.125,#3005}}
 :<math>\frac{h_a}{t_a}+\frac{h_b}{t_b}+\frac{h_c}{t_c}\geq 1+\frac{4r}{R}</math>
 ऊँचाई के संदर्भ में, अंतःत्रिज्या r और परित्रिज्या R।
-चलो टी<sub>''a''</sub> ,  टी<sub>''b''</sub> , और टी<sub>''c''</sub> परिवृत्त तक विस्तारित कोण द्विभाजक की लंबाई हो। तब<ref name=Crux/>{{rp|p.11,#535}}
+चलो t<sub>''a''</sub> , t<sub>''b''</sub> , और t<sub>''c''</sub> परिवृत्त तक विस्तारित कोण द्विभाजक की लंबाई हो। तब <ref name=Crux/>{{rp|p.11,#535}}
 :<math>T_aT_bT_c \geq \frac{8\sqrt{3}}{9}abc,</math>
-केवल समबाहु मामले में समानता के साथ, और<ref name=Crux/>{{rp|p.14,#628}}
+केवल समबाहु मामले में समानता के साथ, और <ref name=Crux/>{{rp|p.14,#628}}
 :<math>T_a+T_b+T_c \leq 5R +2r</math>
-परिधि आर और अंतःत्रिज्या आर के लिए, फिर से केवल समबाहु मामले में समानता के साथ। इसके साथ ही,।<ref name=Crux/>{{rp|p.20,#795}}
+परिधि आर और अंतःत्रिज्या आर के लिए, फिर से केवल समबाहु मामले में समानता के साथ। इसके साथ ही,। <ref name=Crux/>{{rp|p.20,#795}}
 :<math>T_a+T_b+T_c \geq \frac{4}{3}(t_a+t_b+t_c).</math>
-केंद्र I के लिए (आंतरिक कोण समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन),<ref name=Crux/>{{rp|p.127,#3033}}
+केंद्र I के लिए (आंतरिक कोण समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन), <ref name=Crux/>{{rp|p.127,#3033}}
 :<math>6r \leq AI+BI+CI \leq \sqrt{12(R^2-Rr+r^2)}.</math>
-भुजाओं के मध्यबिंदु L, M, N के लिए,<ref name=Crux/>{{rp|p.152,#J53}}
+भुजाओं के मध्यबिंदु L, M, N के लिए, <ref name=Crux/>{{rp|p.152,#J53}}
 :<math>IL^2+IM^2+IN^2 \geq r(R+r).</math>
-अंतःकेन्द्र I, केन्द्रक G, परिकेन्द्र O, [[नौ-बिंदु केंद्र]] N, और लंबकेन्द्र H के लिए, हमारे पास गैर-समबाहु त्रिभुजों के लिए दूरी असमानताएँ हैं<ref name=Franzsen>[http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201126.pdf Franzsen, William N.. "The distance from the incenter to the Euler line", ''Forum Geometricorum'' 11 (2011): 231–236.]</ref>{{rp|p.232}}
+अंतःकेन्द्र I, केन्द्रक G, परिकेन्द्र O, [[नौ-बिंदु केंद्र]] N, और लंबकेन्द्र H के लिए, हमारे पास गैर-समबाहु त्रिभुजों के लिए दूरी असमानताएँ हैं <ref name=Franzsen>[http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201126.pdf Franzsen, William N.. "The distance from the incenter to the Euler line", ''Forum Geometricorum'' 11 (2011): 231–236.]</ref>{{rp|p.232}}
 :<math>IG<HG,</math>
@@ Line 285: / Line 282: @@
 :<math>IN < \frac{1}{2}IO;</math>
-और हमारे पास कोण असमानता है<ref name=Franzsen/>{{rp|p.233}}
+और हमारे पास कोण असमानता है <ref name=Franzsen/>{{rp|p.233}}
 :<math>\angle IOH < \frac{\pi}{6}.</math>
-इसके साथ ही,<ref name=Franzsen/>{{rp|p.233,Lemma 3}}
+इसके साथ ही, <ref name=Franzsen/>{{rp|p.233,Lemma 3}}
 :<math>IG < \frac{1}{3}v,</math>
 जहाँ v सबसे लंबी माध्यिका है।
-केंद्र में शीर्ष के साथ तीन त्रिभुज, OIH, GIH, और OGI, कुंद हैं:<ref name=Franzsen/>{{rp|p.232}}
+केंद्र में शीर्ष के साथ तीन त्रिभुज, OIH, GIH, और OGI, कुंद हैं: <ref name=Franzsen/>{{rp|p.232}}
 :<math>\angle OIH </math> > <math> \angle GIH</math> > 90° , <math> \angle OGI </math> > 90 डिग्री।
@@ Line 300: / Line 297: @@
 :<math>OI^2+IH^2 < OH^2, \quad GI^2+IH^2 < GH^2, \quad OG^2+GI^2 < OI^2,</math>
-और वास्तव में इनमें से दूसरा पहले की तुलना में अधिक मजबूत परिणाम के बराबर है, जिसे [[यूलर]] द्वारा दिखाया गया है:<ref>L. Euler, "Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum", ''Novi Comm. Acad. Scie. Petropolitanae'' 11 (1765); reprinted in ''Opera Omnia, serie prima'', vol. 26 (A. Speiser,
+और वास्तव में इनमें से दूसरा पहले की तुलना में अधिक शक्तिशाली परिणाम के बराबर है, जिसे [[यूलर]] द्वारा दिखाया गया है:<ref>L. Euler, "Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum", ''Novi Comm. Acad. Scie. Petropolitanae'' 11 (1765); reprinted in ''Opera Omnia, serie prima'', vol. 26 (A. Speiser,
 ed.), n. 325, 139–157.</ref><ref>{{cite journal | last1 = Stern | first1 = Joseph | year = 2007 | title = यूलर की त्रिकोण निर्धारण समस्या| url = http://forumgeom.fau.edu/FG2007volume7/FG200701index.html | journal = Forum Geometricorum | volume = 7 | pages = 1–9 }}</ref>
 :<math>  OI^2 < OH^2 - 2 \cdot IH^2 <  2\cdot OI^2.</math>
-त्रिभुज के दो कोणों में से बड़े का आंतरिक कोण द्विभाजक छोटा होता है:<ref name=ac>Altshiller-Court, Nathan. ''College Geometry''. Dover Publications, 2007.</ref>{{rp|p.72,#114}}
+त्रिभुज के दो कोणों में से बड़े का आंतरिक कोण द्विभाजक छोटा होता है: <ref name=ac>Altshiller-Court, Nathan. ''College Geometry''. Dover Publications, 2007.</ref>{{rp|p.72,#114}}
 :<math>\text{If} \quad A>B \quad \text{then} \quad t_a<t_b.</math>
@@ Line 310: / Line 307: @@
 == पक्षों के लम्ब समद्विभाजक ==
-ये असमानताएँ लंबाई p से संबंधित हैं<sub>''a''</sub> त्रिभुज की भुजाओं के लंब समद्विभाजकों के त्रिभुज-आंतरिक भाग आदि। पक्षों को नकारना ताकि <math>a \geq b \geq c,</math> अपने पास<ref name=Mitchell>Mitchell, Douglas W. "Perpendicular bisectors of triangle sides", ''Forum Geometricorum'' 13, 2013, 53–59: Theorem 4. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201307index.html</ref>
+ये असमानताएँ लंबाई p<sub>''a''</sub> से संबंधित हैं त्रिभुज की भुजाओं के लंब समद्विभाजकों के त्रिभुज-आंतरिक भाग आदि। पक्षों को नकारना ताकि <math>a \geq b \geq c,</math> अपने पास <ref name=Mitchell>Mitchell, Douglas W. "Perpendicular bisectors of triangle sides", ''Forum Geometricorum'' 13, 2013, 53–59: Theorem 4. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201307index.html</ref>
 :<math>p_a \geq p_b</math>
 और
@@ Line 316: / Line 313: @@
 :<math>p_c \geq p_b.</math>
+=== स्वैच्छिक बिंदु से खंड ===
-== एक मनमाना बिंदु == से खंड
 === आंतरिक बिंदु ===
-त्रिभुज के अभ्यंतर में किसी बिंदु P पर विचार करें, जिसमें त्रिभुज के शीर्षों को A, B, और C से दर्शाया गया है और रेखाखंडों की लंबाई को PA आदि से दर्शाया गया है। हमारे पास है<ref name=PL/>{{rp|pp. 275–7}}
+त्रिभुज के अभ्यंतर में किसी बिंदु P पर विचार करें, जिसमें त्रिभुज के शीर्षों को A, B, और C से दर्शाया गया है और रेखाखंडों की लंबाई को PA आदि से दर्शाया गया है। हमारे पास है <ref name=PL/>{{rp|pp. 275–7}}
 :<math>2(PA+PB+PC) > AB+BC+CA > PA+PB+PC,</math>
-और इन असमानताओं में से दूसरी से अधिक दृढ़ता से है:<ref name=PL/>{{rp|p. 278}} अगर <math> AB</math> तब त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा है
+और इन असमानताओं में से दूसरी से अधिक दृढ़ता से है:<ref name=PL/>{{rp|p. 278}} यदि <math> AB</math> तब त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा है
 :<math>PA+PB+PC \leq AC+BC. </math>
@@ Line 332: / Line 328: @@
 आंतरिक बिंदु P के लिए और इसी तरह शीर्षों के चक्रीय क्रमपरिवर्तन के लिए।
-यदि हम आंतरिक बिंदु P से त्रिभुज की भुजाओं पर लंब खींचते हैं, भुजाओं को D, E, और F पर प्रतिच्छेद करते हुए, हमारे पास है<ref name=PL/>{{rp|p. 278}}
+यदि हम आंतरिक बिंदु P से त्रिभुज की भुजाओं पर लंब खींचते हैं, भुजाओं को D, E, और F पर प्रतिच्छेद करते हुए, हमारे पास है <ref name=PL/>{{rp|p. 278}}
 :<math>PA \cdot PB \cdot PC \geq (PD+PE)(PE+PF)(PF+PD).</math>
-इसके अलावा, एर्डोस-मोर्डेल असमानता बताती है कि<ref>{{citation
+इसके अतिरिक्त, एर्डोस-मोर्डेल असमानता बताती है कि<ref>{{citation
   | last1 = Alsina | first1 = Claudi
   | last2 = Nelsen | first2 = Roger B.
@@ Line 355: / Line 351: @@
   | doi=10.2307/2308580}}.</ref>
 :<math>\frac{PA+PB+PC}{PD+PE+PF} \geq 2</math>
-समबाहु मामले में समानता के साथ। अधिक दृढ़ता से, बैरो की असमानता बताती है कि यदि आंतरिक बिंदु P पर कोणों के आंतरिक द्विभाजक (अर्थात्, ∠APB, ∠BPC, और ∠CPA के) त्रिभुज की भुजाओं को U, V, और W पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो<ref>{{citation
+समबाहु मामले में समानता के साथ। अधिक दृढ़ता से, बैरो की असमानता बताती है कि यदि आंतरिक बिंदु P पर कोणों के आंतरिक द्विभाजक (अर्थात्, ∠APB, ∠BPC, और ∠CPA के) त्रिभुज की भुजाओं को U, V, और W पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो <ref>{{citation
   | last = Mordell | first = L. J. | author-link = Louis J. Mordell
   | issue = 357
@@ Line 365: / Line 361: @@
   | year = 1962| doi = 10.2307/3614019 | s2cid = 125891060 }}.</ref>
 :<math>\frac{PA+PB+PC}{PU+PV+PW} \geq 2.</math>
-एर्डोस-मोर्डेल असमानता से भी मजबूत निम्न है:<ref>Dao Thanh Oai, Nguyen Tien Dung, and Pham Ngoc Mai, "A strengthened version of the Erdős-Mordell inequality", ''Forum Geometricorum'' 16 (2016), pp. 317--321, Theorem 2  http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201638.pdf</ref> मान लीजिए कि D, E, F क्रमशः BC, CA, AB पर P के ओर्थोगोनल प्रोजेक्शन हैं, और H, K, L क्रमशः A, B, C पर त्रिभुज के परिवृत्त की स्पर्श रेखाओं पर P के ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन हैं। तब
+एर्डोस-मोर्डेल असमानता से भी शक्तिशाली निम्न है: <ref>Dao Thanh Oai, Nguyen Tien Dung, and Pham Ngoc Mai, "A strengthened version of the Erdős-Mordell inequality", ''Forum Geometricorum'' 16 (2016), pp. 317--321, Theorem 2  http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201638.pdf</ref> मान लीजिए कि D, E, F क्रमशः BC, CA, AB पर P के ओर्थोगोनल प्रोजेक्शन हैं, और H, K, L क्रमशः A, B, C पर त्रिभुज के परिवृत्त की स्पर्श रेखाओं पर P के ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन हैं। तब
 :<math>PH + PK + PL \ge 2(PD + P E + P F ).</math>
-ऑर्थोगोनल अनुमानों के साथ पी से एच, के, एल क्रमशः ए, बी, सी पर त्रिकोण के परिवृत्त के स्पर्शरेखा पर, हमारे पास है<ref>Dan S ̧tefan Marinescu and Mihai Monea, "About a Strengthened Version of the Erdo ̋s-Mordell Inequality", ''Forum Geometricorum'' Volume 17 (2017), pp. 197–202, Corollary 7. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201723.pdf</ref>
+ऑर्थोगोनल अनुमानों के साथ पी से एच, के, एल क्रमशः ए, बी, सी पर त्रिकोण के परिवृत्त के स्पर्शरेखा पर, हमारे पास है <ref>Dan S ̧tefan Marinescu and Mihai Monea, "About a Strengthened Version of the Erdo ̋s-Mordell Inequality", ''Forum Geometricorum'' Volume 17 (2017), pp. 197–202, Corollary 7. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201723.pdf</ref>
 :<math>\frac{PH}{a^2}+\frac{PK}{b^2}+\frac{PL}{c^2}\ge \frac{1}{R}</math>
 जहाँ R परित्रिज्या है।
-फिर से पक्षों से आंतरिक बिंदु P की दूरी PD, PE, PF के साथ हमारे पास ये तीन असमानताएँ हैं:<ref name=Crux/>{{rp|p.29,#1045}}
+फिर से पक्षों से आंतरिक बिंदु P की दूरी PD, PE, PF के साथ हमारे पास ये तीन असमानताएँ हैं: <ref name=Crux/>{{rp|p.29,#1045}}
 :<math>\frac{PA^2}{PE\cdot PF}+\frac{PB^2}{PF\cdot PD}+\frac{PC^2}{PD\cdot PE} \geq 12;</math>
 :<math>\frac{PA}{\sqrt{PE\cdot PF}}+\frac{PB}{\sqrt{PF\cdot PD}}+\frac{PC}{\sqrt{PD\cdot PE}}\geq 6;</math>
 :<math>\frac{PA}{PE+PF}+\frac{PB}{PF+PD}+\frac{PC}{PD+PE}\geq 3.</math>
-आंतरिक बिंदु P के लिए दूरियों PA, PB, PC के साथ और त्रिकोण क्षेत्र T के साथ,<ref name=Crux/>{{rp|p.37,#1159}}
+आंतरिक बिंदु P के लिए दूरियों PA, PB, PC के साथ और त्रिकोण क्षेत्र T के साथ, <ref name=Crux/>{{rp|p.37,#1159}}
 :<math>(b+c)PA+(c+a)PB+(a+b)PC \geq 8T</math>
-और<ref name=Crux/>{{rp|p.26,#965}}
+और <ref name=Crux/>{{rp|p.26,#965}}
 :<math>\frac{PA}{a}+\frac{PB}{b}+\frac{PC}{c} \geq \sqrt{3}.</math>
-एक आंतरिक बिंदु P के लिए, केन्द्रक G, मध्यबिंदु L, M, N भुजाओं का, और अर्धपरिमाप s,<ref name=Crux/>{{rp|p.140,#3164}}<ref name=Crux/>{{rp|p.130,#3052}}
+आंतरिक बिंदु P के लिए, केन्द्रक G, मध्यबिंदु L, M, N भुजाओं का, और अर्धपरिमाप s, <ref name=Crux/>{{rp|p.140,#3164}} <ref name=Crux/>{{rp|p.130,#3052}}
 :<math>2(PL+PM+PN) \leq 3PG+PA+PB+PC \leq s + 2(PL+PM+PN) .</math>
-इसके अलावा, सकारात्मक संख्या k के लिए<sub>1</sub>, क<sub>2</sub>, क<sub>3</sub>, और t के साथ 1 से कम या उसके बराबर:<ref name=Janous>Janous, Walther. "Further inequalities of Erdos–Mordell type", ''Forum Geometricorum'' 4, 2004, 203–206. http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200423index.html</ref>{{rp|Thm.1}}
+इसके अतिरिक्त, सकारात्मक संख्या k<sub>1</sub>, k<sub>2</sub>, k<sub>3</sub> के लिए और t के साथ 1 से कम या उसके बराबर: <ref name=Janous>Janous, Walther. "Further inequalities of Erdos–Mordell type", ''Forum Geometricorum'' 4, 2004, 203–206. http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200423index.html</ref>{{rp|Thm.1}}
 :<math>k_1\cdot (PA)^t + k_2\cdot (PB)^t + k_3\cdot (PC)^t \geq 2^t \sqrt{k_1k_2k_3} \left(\frac{(PD)^t}{\sqrt{k_1}} + \frac{(PE)^t}{\sqrt{k_2}} + \frac{(PF)^t}{\sqrt{k_3}} \right),</math>
-जबकि t > 1 के लिए हमारे पास है<ref name=Janous/>{{rp|Thm.2}}
+जबकि t > 1 के लिए हमारे पास है <ref name=Janous/>{{rp|Thm.2}}
 :<math>k_1\cdot (PA)^t + k_2\cdot (PB)^t + k_3\cdot (PC)^t \geq 2 \sqrt{k_1k_2k_3} \left(\frac{(PD)^t}{\sqrt{k_1}} + \frac{(PE)^t}{\sqrt{k_2}} + \frac{(PF)^t}{\sqrt{k_3}} \right).</math>
@@ Line 396: / Line 392: @@
 === आंतरिक या बाहरी बिंदु ===
-त्रिभुज के खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या r के संदर्भ में विमान में एक मनमाना आंतरिक या बाहरी बिंदु के लिए विभिन्न असमानताएँ हैं। उदाहरण के लिए,<ref name=Sandor>Sandor, Jozsef. "On the geometry of equilateral triangles", ''Forum Geometricorum'' 5, 2005, 107–117. http://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200514index.html</ref>{{rp|p. 109}}
+त्रिभुज के खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या r के संदर्भ में विमान में स्वैच्छिक आंतरिक या बाहरी बिंदु के लिए विभिन्न असमानताएँ हैं। उदाहरण के लिए, <ref name=Sandor>Sandor, Jozsef. "On the geometry of equilateral triangles", ''Forum Geometricorum'' 5, 2005, 107–117. http://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200514index.html</ref>{{rp|p. 109}}
 :<math>PA+PB+PC \geq 6r.</math>
-दूसरों में शामिल हैं:<ref>Mansour, Toufik, and Shattuck, Mark. "On a certain cubic geometric inequality", ''Forum Geometricorum'' 11, 2011, 175–181. http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201118index.html</ref>{{rp|pp. 180–1}}
+दूसरों में सम्मिलित हैं: <ref>Mansour, Toufik, and Shattuck, Mark. "On a certain cubic geometric inequality", ''Forum Geometricorum'' 11, 2011, 175–181. http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201118index.html</ref>{{rp|pp. 180–1}}
 :<math>PA^3+PB^3+PC^3 + k \cdot (PA \cdot PB \cdot PC) \geq8(k+3)r^3</math>
@@ Line 411: / Line 407: @@
 के = 0, 1, ..., 9 के लिए।
-इसके अलावा, परिधि आर के लिए,
+इसके अतिरिक्त, परिधि आर के लिए,
-:<math>(PA \cdot PB)^{3/2} + (PB \cdot PC)^{3/2} + (PC \cdot PA)^{3/2} \geq 12Rr^2;</math><ref name=MS2>Mansour, Toufik  and Shattuck, Mark.  "Improving upon a geometric inequality of third order", ''Forum Geometricorum'' 12, 2012, 227–235. http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201221index.html</ref>{{rp|p. 227}}
+:<math>(PA \cdot PB)^{3/2} + (PB \cdot PC)^{3/2} + (PC \cdot PA)^{3/2} \geq 12Rr^2;</math> <ref name=MS2>Mansour, Toufik  and Shattuck, Mark.  "Improving upon a geometric inequality of third order", ''Forum Geometricorum'' 12, 2012, 227–235. http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201221index.html</ref>{{rp|p. 227}}
-:<math>(PA \cdot PB)^{2} + (PB \cdot PC)^{2} + (PC \cdot PA)^{2} \geq 8(R+r)Rr^2;</math><ref name=MS2/>{{rp|p. 233}}
+:<math>(PA \cdot PB)^{2} + (PB \cdot PC)^{2} + (PC \cdot PA)^{2} \geq 8(R+r)Rr^2;</math> <ref name=MS2/>{{rp|p. 233}}
-:<math>(PA \cdot PB)^{2} + (PB \cdot PC)^{2} + (PC \cdot PA)^{2} \geq 48r^4;</math><ref name=MS2/>{{rp|p. 233}}
+:<math>(PA \cdot PB)^{2} + (PB \cdot PC)^{2} + (PC \cdot PA)^{2} \geq 48r^4;</math> <ref name=MS2/>{{rp|p. 233}}
-:<math>(PA \cdot PB)^{2} + (PB \cdot PC)^{2} + (PC \cdot PA)^{2} \geq 6(7R-6r)r^3.</math><ref name=MS2/>{{rp|p. 233}}
+:<math>(PA \cdot PB)^{2} + (PB \cdot PC)^{2} + (PC \cdot PA)^{2} \geq 6(7R-6r)r^3.</math> <ref name=MS2/>{{rp|p. 233}}
-मान लीजिए ABC एक त्रिभुज है, मान लीजिए G इसका केंद्रक है, और मान लीजिए D, E, और F क्रमशः BC, CA और AB के मध्य बिंदु हैं। एबीसी के विमान में किसी बिंदु पी के लिए:
+मान लीजिए ABC त्रिभुज है, मान लीजिए G इसका केंद्रक है, और मान लीजिए D, E, और F क्रमशः BC, CA और AB के मध्य बिंदु हैं। एबीसी के विमान में किसी बिंदु पी के लिए:
-:<math>PA+PB+PC \le 2(PD+PE+PF)+3PG.</math><ref> Dao Thanh Oai, Problem 12015, The American Mathematical Monthly, Vol.125, January 2018</ref>
+:<math>PA+PB+PC \le 2(PD+PE+PF)+3PG.</math> <ref> Dao Thanh Oai, Problem 12015, The American Mathematical Monthly, Vol.125, January 2018</ref>
@@ Line 433: / Line 429: @@
 :<math>\frac{R}{r} \geq 2,</math>
-समानता के साथ केवल समबाहु त्रिभुज मामले में।<ref>Dragutin Svrtan and Darko Veljan, "Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities", ''Forum Geometricorum'' 12 (2012),  197–209.  http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217index.html</ref>{{rp|p. 198}}
+समानता के साथ केवल समबाहु त्रिभुज मामले में। <ref>Dragutin Svrtan and Darko Veljan, "Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities", ''Forum Geometricorum'' 12 (2012),  197–209.  http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217index.html</ref>{{rp|p. 198}}
-एक मजबूत संस्करण<ref name=SV/>{{rp|p. 198}} है
+शक्तिशाली संस्करण <ref name=SV/>{{rp|p. 198}} है
 :<math>\frac{R}{r} \geq \frac{abc+a^3+b^3+c^3}{2abc} \geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-1 \geq \frac{2}{3} \left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right) \geq 2.</math>
-तुलना से,<ref name=Crux/>{{rp|p.183,#276.2}}
+तुलना से, <ref name=Crux/>{{rp|p.183,#276.2}}
 :<math>\frac{r}{R} \geq \frac{4abc-a^3-b^3-c^3}{2abc},</math>
 जहां दायां पक्ष सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है।
-यूलर की असमानता के दो अन्य परिशोधन हैं<ref name=Crux/>{{rp|p.134,#3087}}
+यूलर की असमानता के दो अन्य परिशोधन हैं <ref name=Crux/>{{rp|p.134,#3087}}
 :<math> \frac{R}{r} \geq \frac{(b+c)}{3a}+\frac{(c+a)}{3b}+\frac{(a+b)}{3c} \geq 2</math>
@@ Line 449: / Line 445: @@
 :<math>\left( \frac{R}{r} \right)^3 \geq \left( \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right) \left( \frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right) \geq 8.</math>
-एक और सममित असमानता है<ref name=Crux/>{{rp|p.125,#3004}}
+एक और सममित असमानता है <ref name=Crux/>{{rp|p.125,#3004}}
 :<math> \frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}\leq \frac{4}{9}\left(\frac{R}{r}-2\right).</math>
 इसके अतिरिक्त,
-:<math>\frac{R}{r} \geq \frac{2(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca};</math><ref name=PL/>{{rp|288}}
+:<math>\frac{R}{r} \geq \frac{2(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca};</math> <ref name=PL/>{{rp|288}}
 :<math>a^3+b^3+c^3 \leq 8s(R^2-r^2)</math>
-अर्धपरिधि के संदर्भ में;<ref name=Crux/>{{rp|p.20,#816}}
+अर्धपरिधि के संदर्भ में; <ref name=Crux/>{{rp|p.20,#816}}
 :<math>r(r+4R) \geq \sqrt{3} \cdot T</math>
-क्षेत्र टी के संदर्भ में;<ref name=SV/>{{rp|p. 201}}
+क्षेत्र टी के संदर्भ में; <ref name=SV/>{{rp|p. 201}}
 :<math>s\sqrt{3} \leq r+4R</math> <ref name=SV/>{{rp|p. 201}}
@@ Line 474: / Line 470: @@
 &\quad\leq 2R^2+10Rr-r^2+2(R-2r)\sqrt{R^2-2Rr}
 \end{align}</math>
-अर्धपरिधि के संदर्भ में भी।<ref name=SV/>{{rp|p. 206}}<ref name=Birsan>{{cite journal | last1 = Birsan | first1 = Temistocle | year = 2015 | title = आर, आर, और एस द्वारा व्यक्त त्रिकोण के तत्वों के लिए सीमा| url = http://forumgeom.fau.edu/FG2015volume15/FG201508.pdf | journal = Forum Geometricorum | volume = 15 | pages = 99–103 }}</ref>{{rp|p. 99}} यहाँ अभिव्यक्ति <math>\sqrt{R^2-2Rr}=d</math> जहाँ d अंतःकेंद्र और परिकेन्द्र के बीच की दूरी है। बाद की दोहरी असमानता में, पहला भाग समानता के साथ धारण करता है यदि और केवल यदि त्रिभुज कम से कम 60 ° के [[शीर्ष (ज्यामिति)]] कोण के साथ समद्विबाहु है, और अंतिम भाग समानता के साथ धारण करता है यदि और केवल यदि त्रिभुज एक के साथ समद्विबाहु है अधिकतम 60° का शीर्ष कोण। इस प्रकार दोनों समानताएँ हैं यदि और केवल यदि त्रिभुज समबाहु है।<ref name=Birsan/>{{rp|Thm. 1}}
+अर्धपरिधि के संदर्भ में भी। <ref name=SV/>{{rp|p. 206}} <ref name=Birsan>{{cite journal | last1 = Birsan | first1 = Temistocle | year = 2015 | title = आर, आर, और एस द्वारा व्यक्त त्रिकोण के तत्वों के लिए सीमा| url = http://forumgeom.fau.edu/FG2015volume15/FG201508.pdf | journal = Forum Geometricorum | volume = 15 | pages = 99–103 }}</ref>{{rp|p. 99}} यहाँ अभिव्यक्ति <math>\sqrt{R^2-2Rr}=d</math> जहाँ d अंतःकेंद्र और परिकेन्द्र के बीच की दूरी है। बाद की दोहरी असमानता में, पहला भाग समानता के साथ धारण करता है यदि और केवल यदि त्रिभुज कम से कम 60 ° के [[शीर्ष (ज्यामिति)]] कोण के साथ समद्विबाहु है, और अंतिम भाग समानता के साथ धारण करता है यदि और केवल यदि त्रिभुज एक के साथ समद्विबाहु है अधिकतम 60° का शीर्ष कोण। इस प्रकार दोनों समानताएँ हैं यदि और केवल यदि त्रिभुज समबाहु है।<ref name=Birsan/>{{rp|Thm. 1}}
-हमारे पास किसी भी पक्ष के लिए a भी है<ref name=MK>Yurii, N. Maltsev and Anna S. Kuzmina, "An improvement of Birsan's inequalities for the sides of a triangle", ''Forum Geometricorum'' 16, 2016, pp. 81−84.</ref>
+हमारे पास किसी भी पक्ष के लिए a भी है <ref name=MK>Yurii, N. Maltsev and Anna S. Kuzmina, "An improvement of Birsan's inequalities for the sides of a triangle", ''Forum Geometricorum'' 16, 2016, pp. 81−84.</ref>
 :<math>(R-d)^2-r^2 \le 4R^2 r^2\left(\frac{(R+d)^2-r^2}{(R+d)^4} \right) \le \frac{a^2}{4} \le Q \le (R+d)^2-r^2,</math>
-कहाँ <math>Q=R^2</math> यदि परिकेन्द्र अंतःवृत्त पर या उसके बाहर है और <math>Q=4R^2 r^2 \left(\frac{(R-d)^2-r^2}{(R-d)^4}\right)</math> यदि परिकेन्द्र अंतःवृत्त के अंदर है। परिकेन्द्र अंतःवृत्त के भीतर है यदि और केवल यदि<ref name=MK/>
+कहाँ <math>Q=R^2</math> यदि परिकेन्द्र अंतःवृत्त पर या उसके बाहर है और <math>Q=4R^2 r^2 \left(\frac{(R-d)^2-r^2}{(R-d)^4}\right)</math> यदि परिकेन्द्र अंतःवृत्त के अंदर है। परिकेन्द्र अंतःवृत्त के भीतर है यदि और केवल यदि <ref name=MK/>
 :<math>\frac{R}{r} <\sqrt{2}+1.</math>
 आगे,
-:<math>\frac{9r}{2T} \leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq \frac{9R}{4T}.</math><ref name=PL/>{{rp|p. 291}}
+:<math>\frac{9r}{2T} \leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq \frac{9R}{4T}.</math> <ref name=PL/>{{rp|p. 291}}
-ब्लंडन की असमानता बताती है कि<ref name=SV/>{{rp|p. 206;}}<ref>{{cite journal | last1 = Blundon | first1 = W. J. | year = 1965 | title = त्रिभुज से जुड़ी असमानताएँ| journal = [[Canad. Math. Bull.]] | volume = 8 | issue = 5| pages = 615–626 | doi=10.4153/cmb-1965-044-9 | doi-access=free}}</ref><ref>[[Dorin Andrica]], Cătălin Barbu. "A Geometric Proof of Blundon’s Inequalities", ''Mathematical Inequalities & Applications'', Volume 15, Number 2 (2012), 361–370. http://mia.ele-math.com/15-30/A-geometric-proof-of-Blundon-s-inequalities</ref>
+ब्लंडन की असमानता बताती है कि <ref name=SV/>{{rp|p. 206;}} <ref>{{cite journal | last1 = Blundon | first1 = W. J. | year = 1965 | title = त्रिभुज से जुड़ी असमानताएँ| journal = [[Canad. Math. Bull.]] | volume = 8 | issue = 5| pages = 615–626 | doi=10.4153/cmb-1965-044-9 | doi-access=free}}</ref> <ref>[[Dorin Andrica]], Cătălin Barbu. "A Geometric Proof of Blundon’s Inequalities", ''Mathematical Inequalities & Applications'', Volume 15, Number 2 (2012), 361–370. http://mia.ele-math.com/15-30/A-geometric-proof-of-Blundon-s-inequalities</ref>
 :<math>s \leq (3\sqrt{3}-4)r+2R.</math>
-हमारे पास सभी न्यून त्रिभुजों के लिए भी है,<ref>{{cite journal | last1=Bencze | first1=Mihály | last2=Drǎgan | first2=Marius | title=एक तीव्र त्रिकोण और कुछ परिणामों में ब्लंडन प्रमेय| journal=Forum Geometricorum | volume=18 | date=2018 | pages=185–194 | url=http://forumgeom.fau.edu/FG2018volume18/FG201825.pdf}}</ref>
+हमारे पास सभी न्यून त्रिभुजों के लिए भी है, <ref>{{cite journal | last1=Bencze | first1=Mihály | last2=Drǎgan | first2=Marius | title=एक तीव्र त्रिकोण और कुछ परिणामों में ब्लंडन प्रमेय| journal=Forum Geometricorum | volume=18 | date=2018 | pages=185–194 | url=http://forumgeom.fau.edu/FG2018volume18/FG201825.pdf}}</ref>
 :<math>s > 2R+r.</math>
 अंतर्वृत्त केंद्र I के लिए, AI, BI और CI को क्रमशः D, E और F पर परिवृत्त को काटने के लिए I से आगे बढ़ाएं। तब<ref name=Crux/>{{rp|p.14,#644}}
@@ Line 495: / Line 491: @@
 :<math>\cos A \cdot \cos B \cdot \cos C \leq \left( \frac{r}{R\sqrt{2}} \right)^2.</math>
-के रूप में निरूपित करें <math>R_A , R_B , R_C</math> त्रिकोण की tanradii। तब<ref name=AM>{{cite journal | last1=Andrica | first1=Dorin | last2=Marinescu | first2=Dan Ştefan | title=New Interpolation Inequalities to Euler's R ≥ 2r | journal=Forum Geometricorum | volume=17 | date=2017 | pages=149–156 | url=http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201719.pdf}}</ref>{{rp|Thm. 4}}
+के रूप में निरूपित करें <math>R_A , R_B , R_C</math> त्रिकोण की तनरडी। तब <ref name=AM>{{cite journal | last1=Andrica | first1=Dorin | last2=Marinescu | first2=Dan Ştefan | title=New Interpolation Inequalities to Euler's R ≥ 2r | journal=Forum Geometricorum | volume=17 | date=2017 | pages=149–156 | url=http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201719.pdf}}</ref>{{rp|Thm. 4}}
 :<math>\frac{4}{R}\le \frac{1}{R_A}+\frac{1}{R_B}+\frac{1}{R_C}\le \frac{2}{r}</math>
@@ Line 504: / Line 500: @@
 === परिधि और अन्य लंबाई ===
-परिधि R के लिए हमारे पास है<ref name=Crux/>{{rp|p.101,#2625}}
+परिधि R के लिए हमारे पास है <ref name=Crux/>{{rp|p.101,#2625}}
 :<math>18R^3\geq (a^2+b^2+c^2)R+abc\sqrt{3}</math>
@@ Line 510: / Line 506: @@
 :<math>a^{2/3}+b^{2/3}+c^{2/3} \leq 3^{7/4}R^{3/2}.</math>
-हमारे पास भी है<ref name=PL/>{{rp|pp. 287–90}}
+हमारे पास भी है <ref name=PL/>{{rp|pp. 287–90}}
 :<math>a+b+c \leq 3\sqrt{3} \cdot R,</math>
@@ Line 523: / Line 519: @@
 क्षेत्र के संदर्भ में।
-इसके अलावा, परिकेन्द्र O के लिए, मान लीजिए रेखाएँ AO, BO, और CO विपरीत भुजाओं BC, CA, और AB को क्रमश: U, V और W पर प्रतिच्छेद करती हैं। तब<ref name=Crux/>{{rp|p.17,#718}}
+इसके अतिरिक्त, परिकेन्द्र O के लिए, मान लीजिए रेखाएँ AO, BO, और CO विपरीत भुजाओं BC, CA, और AB को क्रमश: U, V और W पर प्रतिच्छेद करती हैं। तब<ref name=Crux/>{{rp|p.17,#718}}
 :<math>OU+OV + OW \geq \frac{3}{2}R.</math>
-एक न्यूनकोण त्रिभुज के लिए परिकेन्द्र O और लंबकेन्द्र H के बीच की दूरी संतुष्ट करती है<ref name=Crux/>{{rp|p.26,#954}}
+न्यूनकोण त्रिभुज के लिए परिकेन्द्र O और लंबकेन्द्र H के बीच की दूरी संतुष्ट करती है<ref name=Crux/>{{rp|p.26,#954}}
 :<math>OH < R,</math>
 विषम त्रिकोण के लिए विपरीत असमानता के साथ।
-परिधि पहले और दूसरे ब्रोकार्ड बिंदु B के बीच की दूरी से कम से कम दुगुनी है<sub>1</sub> और बी<sub>2</sub>:<ref>Scott, J. A. "Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry", ''[[Mathematical Gazette]]'' 83, November 1999, 472–477.</ref>
+परिधि पहले और दूसरे ब्रोकार्ड बिंदु B<sub>1</sub> और B<sub>2</sub> के बीच की दूरी से कम से कम दुगुनी हैB<sub>1</sub> और B<sub>2</sub>:<ref>Scott, J. A. "Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry", ''[[Mathematical Gazette]]'' 83, November 1999, 472–477.</ref>
 :<math>R \ge 2B_1B_2.</math>
@@ Line 555: / Line 551: @@
 :<math>\frac{r_ar_b}{m_am_b}+\frac{r_br_c}{m_bm_c}+\frac{r_cr_a}{m_cm_a} \geq 3.</math>
-इसके अलावा, एक तीव्र त्रिभुज के लिए अंतःवृत्त केंद्र I और ऑर्थोसेंटर H के बीच की दूरी संतुष्ट करती है<ref name=Crux/>{{rp|p.26,#954}}
+इसके अतिरिक्त, तीव्र त्रिभुज के लिए अंतःवृत्त केंद्र I और ऑर्थोसेंटर H के बीच की दूरी संतुष्ट करती है<ref name=Crux/>{{rp|p.26,#954}}
 :<math>IH < r\sqrt{2},</math>
-एक अधिक त्रिकोण के लिए विपरीत असमानता के साथ।
+अधिक त्रिकोण के लिए विपरीत असमानता के साथ।
-इसके अलावा, एक तीव्र त्रिकोण संतुष्ट करता है<ref name=Crux/>{{rp|p.26,#954}}
+इसके अतिरिक्त, तीव्र त्रिकोण संतुष्ट करता है<ref name=Crux/>{{rp|p.26,#954}}
 :<math>r^2+r_a^2+r_b^2+r_c^2 < 8R^2,</math>
@@ Line 571: / Line 567: @@
 :<math>\frac{1}{IX}+\frac{1}{IY}+\frac{1}{IZ} \geq \frac{3}{R}</math>
-परिधि आर के लिए, और<ref name=Crux/>{{rp|p.181,#264.4}}<ref name=Crux/>{{rp|p.45,#1282}}
+परिधि आर के लिए, और <ref name=Crux/>{{rp|p.181,#264.4}} <ref name=Crux/>{{rp|p.45,#1282}}
 :<math>0\leq (IX-IA)+(IY-IB)+(IZ-IC) \leq 2(R-2r). </math>
-यदि अंतःवृत्त D, E, F पर भुजाओं को स्पर्श करता है, तो<ref name=Crux/>{{rp|p.115,#2875}}
+यदि अंतःवृत्त D, E, F पर भुजाओं को स्पर्श करता है, तो <ref name=Crux/>{{rp|p.115,#2875}}
 :<math>EF^2+FD^2+DE^2 \leq \frac{s^2}{3}</math>
@@ Line 583: / Line 579: @@
 === खुदा षट्कोण ===
-यदि एक त्रिभुज के अंत:वृत्त पर तीन खंडों को खींचकर और एक भुजा के समानांतर एक [[स्पर्शरेखा बहुभुज]] बनाया जाता है, ताकि षट्भुज त्रिभुज में अंकित हो, इसके अन्य तीन भुजाएँ त्रिभुज की भुजाओं के भागों के साथ मेल खाती हैं, तो<ref name=Crux/>{{rp|p.42,#1245}}
+यदि त्रिभुज के अंत:वृत्त पर तीन खंडों को खींचकर और भुजा के समानांतर [[स्पर्शरेखा बहुभुज]] बनाया जाता है, ताकि षट्भुज त्रिभुज में अंकित हो, इसके अन्य तीन भुजाएँ त्रिभुज की भुजाओं के भागों के साथ मेल खाती हैं, तो <ref name=Crux/>{{rp|p.42,#1245}}
 :<math>\text{Perimeter of hexagon} \leq \frac{2}{3}(\text{Perimeter of triangle}).</math>
@@ Line 590: / Line 586: @@
 === खुदा त्रिकोण ===
-यदि एक संदर्भ त्रिभुज ABC की संबंधित भुजाओं AB, BC और CA पर तीन बिंदु D, E, F एक खुदे हुए त्रिकोण के शीर्ष हैं, जो संदर्भ त्रिकोण को चार त्रिकोणों में विभाजित करता है, तो खुदे हुए त्रिकोण का क्षेत्रफल बड़ा होता है अन्य आंतरिक त्रिकोणों में से कम से कम एक के क्षेत्रफल की तुलना में, जब तक कि खुदा हुआ त्रिकोण के कोने संदर्भ त्रिकोण के पक्षों के मध्य बिंदु पर न हों (जिस मामले में खुदा हुआ त्रिकोण औसत दर्जे का त्रिकोण है और सभी चार आंतरिक त्रिकोणों का क्षेत्रफल समान है ):<ref name=Torrejon/>{{rp|p.137}}
+यदि संदर्भ त्रिभुज ABC की संबंधित भुजाओं AB, BC और CA पर तीन बिंदु D, E, F खुदे हुए त्रिकोण के शीर्ष हैं, जो संदर्भ त्रिकोण को चार त्रिकोणों में विभाजित करता है, तो खुदे हुए त्रिकोण का क्षेत्रफल बड़ा होता है अन्य आंतरिक त्रिकोणों में से कम से कम एक के क्षेत्रफल की तुलना में, जब तक कि खुदा हुआ त्रिकोण के कोने संदर्भ त्रिकोण के पक्षों के मध्य बिंदु पर न हों (जिस मामले में खुदा हुआ त्रिकोण औसत दर्जे का त्रिकोण है और सभी चार आंतरिक त्रिकोणों का क्षेत्रफल समान है ):<ref name=Torrejon/>{{rp|p.137}}
 :<math>\text{Area(DEF)} \ge \min(\text{Area(BED), Area(CFE), Area(ADF)}).</math>
@@ Line 597: / Line 593: @@
 === खुदा वर्ग ===
-एक न्यूनकोण त्रिभुज में तीन खुदे हुए चित्र होते हैं, जिनमें से प्रत्येक की एक भुजा त्रिभुज की एक भुजा के भाग से मेल खाती है और वर्ग के अन्य दो शीर्ष त्रिभुज की शेष दो भुजाओं पर होते हैं। (एक समकोण त्रिभुज में केवल दो अलग-अलग खुदे हुए वर्ग होते हैं।) यदि इनमें से किसी एक वर्ग की लंबाई x है<sub>''a''</sub> और दूसरे की भुजा की लंबाई x है<sub>''b''</sub> एक्स के साथ<sub>''a''</sub> < एक्स<sub>''b''</sub>, तब<ref name=Ox>Oxman, Victor,  and Stupel, Moshe. "Why are the side lengths of the squares inscribed in a triangle so close to each other?" ''Forum Geometricorum'' 13, 2013, 113–115. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201311index.html</ref>{{rp|p. 115}}
+न्यूनकोण त्रिभुज में तीन खुदे हुए चित्र होते हैं, जिनमें से प्रत्येक की एक भुजा त्रिभुज की एक भुजा के भाग से मेल खाती है और वर्ग के अन्य दो शीर्ष त्रिभुज की शेष दो भुजाओं पर होते हैं। ( समकोण त्रिभुज में केवल दो अलग-अलग खुदे हुए वर्ग होते हैं।) यदि इनमें से किसी वर्ग की लंबाई x<sub>''a''</sub> है और दूसरे की भुजा की लंबाई x<sub>''b''</sub> के साथ x<sub>''a''</sub> <x<sub>''b''</sub> है, तब <ref name=Ox>Oxman, Victor,  and Stupel, Moshe. "Why are the side lengths of the squares inscribed in a triangle so close to each other?" ''Forum Geometricorum'' 13, 2013, 113–115. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201311index.html</ref>{{rp|p. 115}}
 :<math>1 \geq \frac{x_a}{x_b} \geq \frac{2\sqrt{2}}{3} \approx 0.94.</math>
-इसके अलावा, हमारे पास किसी भी त्रिकोण में अंकित किसी भी वर्ग के लिए<ref name=Crux/>{{rp|p.18,#729}}<ref name=Ox/>
+इसके अतिरिक्त, हमारे पास किसी भी त्रिकोण में अंकित किसी भी वर्ग के लिए <ref name=Crux/>{{rp|p.18,#729}}<ref name=Ox/>
 :<math>\frac{\text{Area of triangle}}{\text{Area of inscribed square}} \geq 2.</math>
@@ Line 607: / Line 603: @@
 == [[यूलर लाइन]] ==
-एक त्रिभुज की यूलर रेखा उसके लंबकेन्द्र, उसके परिकेन्द्र और उसके केन्द्रक से होकर जाती है, लेकिन इसके अंत:केन्द्र से तब तक नहीं जाती जब तक कि त्रिभुज समद्विबाहु त्रिभुज न हो।<ref name=Franzsen/>{{rp|p.231}} सभी गैर-समद्विबाहु त्रिभुजों के लिए, केंद्र से यूलर रेखा तक की दूरी d त्रिभुज की सबसे लंबी माध्यिका (ज्यामिति) v, इसकी सबसे लंबी भुजा u, और इसके अर्धपरिमाप s के संदर्भ में निम्नलिखित असमानताओं को संतुष्ट करती है:<ref name=Franzsen/>{{rp|p. 234,Propos.5}}
+त्रिभुज की यूलर रेखा उसके लंबकेन्द्र, उसके परिकेन्द्र और उसके केन्द्रक से होकर जाती है, किन्तु इसके अंत:केन्द्र से तब तक नहीं जाती जब तक कि त्रिभुज समद्विबाहु त्रिभुज न हो।<ref name=Franzsen/>{{rp|p.231}} सभी गैर-समद्विबाहु त्रिभुजों के लिए, केंद्र से यूलर रेखा तक की दूरी d त्रिभुज की सबसे लंबी माध्यिका (ज्यामिति) v, इसकी सबसे लंबी भुजा u, और इसके अर्धपरिमाप s के संदर्भ में निम्नलिखित असमानताओं को संतुष्ट करती है:<ref name=Franzsen/>{{rp|p. 234,Propos.5}}
 :<math>\frac{d}{s} < \frac{d}{u} < \frac{d}{v} < \frac{1}{3}.</math>
@@ Line 627: / Line 623: @@
 ==समद्विबाहु त्रिभुज==
-यदि एक समद्विबाहु त्रिभुज की दो समान भुजाओं की लंबाई a और दूसरी भुजा की लंबाई c है, तो आंतरिक [[कोण द्विभाजक]] t दो समान कोण वाले शीर्षों में से एक को संतुष्ट करता है<ref name=Crux/>{{rp|p.169,#<math>\eta</math>44}}
+यदि समद्विबाहु त्रिभुज की दो समान भुजाओं की लंबाई a और दूसरी भुजा की लंबाई c है, तो आंतरिक [[कोण द्विभाजक]] t दो समान कोण वाले शीर्षों में से एक को संतुष्ट करता है <ref name=Crux/>{{rp|p.169,#<math>\eta</math>44}}
 :<math>\frac{2ac}{a+c} > t > \frac{ac\sqrt{2}}{a+c}.</math>
@@ Line 634: / Line 630: @@
 ==समबाहु त्रिभुज==
-एक समबाहु त्रिभुज ABC के तल में किसी भी बिंदु P के लिए, शीर्षों, PA, PB, और PC से P की दूरी ऐसी है कि, जब तक कि P त्रिभुज के [[परिवृत्त]] पर न हो, वे मूल त्रिभुज असमानता का पालन करते हैं और इस प्रकार स्वयं कर सकते हैं त्रिभुज की भुजाएँ बनाएँ:<ref name=PL/>{{rp|p. 279}}
+समबाहु त्रिभुज ABC के तल में किसी भी बिंदु P के लिए, शीर्षों, PA, PB, और PC से P की दूरी ऐसी है कि, जब तक कि P त्रिभुज के [[परिवृत्त]] पर न हो, वे मूल त्रिभुज असमानता का पालन करते हैं और इस प्रकार स्वयं कर सकते हैं त्रिभुज की भुजाएँ बनाएँ:<ref name=PL/>{{rp|p. 279}}
 <math display="block">PA+PB > PC, \quad PB+PC > PA, \quad PC+PA > PB.</math>
 हालाँकि, जब P परिवृत्त पर होता है, तो P से निकटतम दो शीर्षों की दूरियों का योग सबसे दूर के शीर्ष की दूरी के बराबर होता है।
-एक त्रिभुज समबाहु होता है यदि और केवल यदि, समतल में प्रत्येक बिंदु P के लिए, त्रिभुज की भुजाओं से PD, PE, और PF के साथ और इसके शीर्षों से PA, PB, और PC की दूरी के साथ,<ref name=Crux/>{{rp|p.178,#235.4}}
+त्रिभुज समबाहु होता है यदि और केवल यदि, समतल में प्रत्येक बिंदु P के लिए, त्रिभुज की भुजाओं से PD, PE, और PF के साथ और इसके शीर्षों से PA, PB, और PC की दूरी के साथ,<ref name=Crux/>{{rp|p.178,#235.4}}
 <math display="block">4(PD^2+PE^2+PF^2) \geq PA^2+PB^2+PC^2.</math>
@@ Line 644: / Line 640: @@
 == दो त्रिकोण ==
-दो त्रिकोणों के लिए पेडो की असमानता, एक पक्ष ए, बी, और सी और क्षेत्र टी के साथ, और दूसरा पक्ष डी, ई, और एफ और क्षेत्र एस के साथ, बताता है कि
+दो त्रिकोणों के लिए पेडो की असमानता, एक पक्ष a, b, और c और क्षेत्र T के साथ, और दूसरा पक्ष d, e, और f और क्षेत्र s के साथ, बताता है कि
 :<math>d^2(b^2+c^2-a^2)+e^2(a^2+c^2-b^2)+f^2(a^2+b^2-c^2)\geq 16TS,</math>
-समानता के साथ [[अगर और केवल अगर]] दो त्रिकोण [[समानता (ज्यामिति)]] हैं।
+समानता के साथ [[अगर और केवल अगर|यदि और केवल यदि]] दो त्रिकोण [[समानता (ज्यामिति)]] हैं।
-हिंज प्रमेय या ओपन-माउथ प्रमेय में कहा गया है कि यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं के सर्वांगसम हों, और पहले का सम्मिलित कोण दूसरे के सम्मिलित कोण से बड़ा हो, तो पहले त्रिभुज की तीसरी भुजा दूसरे त्रिभुज की तीसरी भुजा से अधिक है। अर्थात्, त्रिभुज ABC और DEF में भुजाओं a, b, c, और d, e, f के साथ क्रमशः (विपरीत A आदि के साथ), यदि a = d और b = e और कोण C> कोण F, तो
+हिंज प्रमेय या ओपन-माउथ प्रमेय में कहा गया है कि यदि त्रिभुज की दो भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं के सर्वांगसम हों, और पहले का सम्मिलित कोण दूसरे के सम्मिलित कोण से बड़ा हो, तो पहले त्रिभुज की तीसरी भुजा दूसरे त्रिभुज की तीसरी भुजा से अधिक है। अर्थात्, त्रिभुज ABC और DEF में भुजाओं a, b, c, और d, e, f के साथ क्रमशः (विपरीत A आदि के साथ), यदि a = d और b = e और कोण C> कोण F, तो
 :<math> c>f.</math>
@@ Line 661: / Line 657: @@
 == गैर-यूक्लिडियन त्रिकोण ==
-त्रिभुजों के एक हल में# गोलीय त्रिभुजों को हल करना, साथ ही [[अण्डाकार ज्यामिति]] में,
+त्रिभुजों के एक हल में या गोलीय त्रिभुजों को हल करना, साथ ही [[अण्डाकार ज्यामिति]] में,
 :<math>\angle A+\angle B+\angle C >180^\circ.</math>
@@ Line 670: / Line 666: @@
 *[[असमानताओं की सूची]]
 * [[त्रिकोण विषयों की सूची]]
-*{{slink|Quadrilateral|Inequalities}}
+*{{slink|चतुष्कोष|असमानता}}
-*{{slink|Quadrilateral|Maximum and minimum properties}}
+*{{slink|चतुष्कोष|अधिकतम और न्यूनतम गुण}}
 ==संदर्भ==
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त्रिभुज असमानताओं की सूची: Difference between revisions

Latest revision as of 16:55, 2 November 2023

मुख्य पैरामीटर और नोटेशन

पक्ष की लंबाई

कोण

क्षेत्र

मेडियन और सेंट्रोइड

ऊंचाई

आंतरिक कोण समद्विभाजक और अंत:केंद्र

पक्षों के लम्ब समद्विभाजक

स्वैच्छिक बिंदु से खंड

आंतरिक बिंदु

आंतरिक या बाहरी बिंदु

इन्रेडियस, एक्सराडी, और सर्कमरेडियस

अंतर्त्रिज्या और परित्रिज्या

परिधि और अन्य लंबाई

इनरेडियस, एक्सराडी, और अन्य लंबाई

खुदा आंकड़े

खुदा षट्कोण

खुदा त्रिकोण

खुदा वर्ग

यूलर लाइन

समकोण त्रिभुज

समद्विबाहु त्रिभुज

समबाहु त्रिभुज

दो त्रिकोण

गैर-यूक्लिडियन त्रिकोण

यह भी देखें

संदर्भ

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